Apresentao do PowerPoint
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECENTRO DE CINCIAS
EXATAS E DA TERRACUROS DE LICENCIATURA EM MATEMTICA 2015.1
ELPIDIO ROGRIO NASCIMENTO COELHOROBERTA DA SILVA SANTOSWANDSON
VICENTE DA SILVA
FUNES TRIGONOMTRICAS
NATAL/RN2015FUNES TRIGONOMTRICASPROFESSORA: JULIA
VICTORIATEMA:MAT1501 -MATEMTICA BSICA (2015 .1 - T02)PROFESSORA
JULIA2NOTA INICIALIremos dar um pequeno embasamento sobre
trigonometria, para podermos obter um bom entendimento sobre funes
trigonomtricas. 1 INTRODUO 1.1 TRIGONOMETRIA
A trigonometria um ramo da matemtica que estuda os elementos de
um tringulo, ou seja, os lados e ngulos de um tringulo. A palavra
Trigonometria deriva da unio de trs radicais gregos: tri (trs)+
gonos (ngulos)+ metron (medidas) e a partir dessa unio de radicais
gregos que podemos compreender o objetivo principal da
trigonometria: o de estudar medies em tringulos.Um pouco da histria
da Trigonometria (resumo):Origem incerta;Provavelmente nasceu por
volta do sculo IV ou V a.C. com os egpcios, babilnios e gregos;Por
Problemas surgidos pela astronomia e navegao;Significado da palavra
Trigonometria: medida do tringulo;Principais precursores da
Trigonometria na antiguidade: Hiparco de Nicia (por volta de 180 a
125 a.C. - pode ser considerado o pai da Trigonometria);Menelau de
Alexandria (100 a.C.);Ptolomeu (sc. II d.C.).Dentre todas as obras
deixadas por esses gnios a mais influente, significativa e elegante
foi sem dvida a Syntaxis mathematica, uma obra composta de 13
livros escrita por Ptolomeu e que mais tarde ficou conhecida entre
os rabes como o Almajesto.
Aplicaes prticas da trigonometria:
Engenharia;Mecnica;Eletricidade;Acstica;Medicina;Astronomia;
Msica.
No tringulo retngulo, a trigonometria nos permite realizar
facilmente clculos como:
altura de um prdio atravs de sua sombra; distncia a ser
percorrida em uma pista circular de atletismo; largura de rios,
montanhas;medida do raio da Terra, distncia entre a Terra e a Lua
etc.Definio: Tringulo retngulo aquele que tem um ngulo reto (90
)Caractersticas:Num tringulo retngulo, o lado situado OPOSTO ao
ngulo reto chamado de HIPOTENUSA.Os dois lados que formam o ngulo
reto so chamados de CATETOS . De acordo com suas posies, os catetos
podem ser:Cateto oposto: o lado situado em frente ao ngulo
dado.Cateto adjacente : o lado que ajuda a formar o ngulo dado
.Tringulo retngulo a c b ngulo reto
cateto oposto hipotenusa cateto adjacente ngulo dado Teorema de
Pitgoras:a = b + c 1 RELAO : Seno de um ngulo agudo SENO : a razo
entre a medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa .
a b
RELAES TRIGONOMTRICAS 2 RELAO : Cosseno de um ngulo agudo
COSSENO : a razo entre a medida do cateto adjacente e a medida da
hipotenusa .
a c
3 RELAO : Tangente de um ngulo agudo TANGENTE : a razo entre a
medida do cateto oposto e o cateto adjacente .
c
b
OUTRAS RAZES TRIGONOMTRICAS c b
aConsiderando-se os 3 lados de um tringulo retngulo e 2 lados
quaisquer. So possveis 6 razes para um determinado ngulo.
11. Observaes :
a c b
(Pitgoras : a = b + c a = (a ) + ( a )
1 Observaongulos Notveis da tabela trigonomtrica:
NOTA SOBRE AS LIMITAES DO TRINGULO RETNGULOAt agora o tringulo
retngulo apresenta uma srie de vantagens. MAS A UM DETALHE GRAVE:O
TRINGULO RETNGULO E QUALQUER OUTRO TRINGULO POSSUI NO MXIMO
180...PIOR AINDA: Como definimos seno, cosseno e tangente para os
ngulos do tringulo retngulo diferente do ngulo reto, a
trigonometria com tringulos retngulos nos permite assim na prtica,
clculos para ngulos menores que 90.
Os ngulos e so menoresQue 90.
Para resolver esse problema foi criado o ciclo trigonomtrico que
veremos no prximo quadro.14CICLO TRIGONOMTRICOComo vimos, atrelar a
Trigonometria uma ferramenta poderosa, as limitaes do Tringulo
Retngulo no era uma boa ideia. Era Necessrio um outro conceito que
permitisse o seu desenvolvimento. Eis que surge o Ciclo
Trigonomtrico.O ciclo trigonomtrico uma circunferncia de raio
unitrio (r = 1), cujo centro coincide com a origem de um plano
cartesiano.01111XyO ciclo trigonomtrico o avano natural da
trigonometria. O ciclo permite que haja um tratamento mais algbrico
e uma interpretao para o caso citado no plano cartesiano. O
conceito de funo trigonomtrica torna-se possvel graas a esse
avano.15CICLO TRIGONOMTRICOOrientao do sentido do ciclo
trigonomtrico:
+-OBS.: O ponto A (1 , 0) a origem de todos os arcos a serem
medidos na circunferncia. Se um arco for medido no sentido
anti-horrio, ento a essa medida ser atribudo o sinal positivo
(+).
Se um arco for medido no sentido horrio, ento a essa medida ser
atribudo o sinal negativo (-).
3/2 rad rad/2 rad2 rad00 radABQualquer16CICLO TRIGONOMTRICOOs
eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regies
chamadas quadrantes; esses quadrantes so contados no sentido
anti-horrio, a partir do ponto A.01111A1 Q2 Q3 Q4 Q+Qualquer ponto
no ciclo trigonomtrico possui pelo menos 3caractersticas:
Um ngulo associado;Uma abcissa (Cosseno);Uma ordenada
(Seno).
O xsen cos Py= 11110/36090180270CICLO TRIGONOMTRICOExemplos dos
ngulos notveis de 30, 45 e 60 e suas caractersticas do ciclo
trigonomtrico:Um ngulo associado;Uma abcissa (Cosseno);Uma ordenada
(Seno).
sencos30 ou /630 sencos45 ou /4
CICLO TRIGONOMTRICO45 sencos60 ou /3
CICLO TRIGONOMTRICO60 CICLO TRIGONOMTRICOSINAIS DOS SENOS NOS
QUADRANTESO xA AyBB1-1Seno: marcado no eixo Y varia de 1 at 1 -1
sen(x) 1 sinal do seno:21CICLO TRIGONOMTRICOSINAIS DOS COSSENO NOS
QUADRANTESA AyBB-1 1Cosseno: marcado no eixo X varia de 1 at 1 -1
cos(x) 1 sinal do cosseno:CICLO TRIGONOMTRICOSINAIS DA TANGENTE NOS
QUADRANTESO xA AyBBCICLO TRIGONOMTRICONGULOS SIMTRICOSNo muito
difcil perceber que h simetria em circunferncia. Exatamente por
este motivo, se as coordenadas de um ponto so conhecida muito fcil
estabelecer as coordenadas de um outro ponto simtrico usando essa
simetria.
24
CICLO TRIGONOMTRICOSENOS E COSSENOS DE NGULOS SIMTRICOSCICLO
TRIGONOMTRICOTANGENTE DE NGULOS SIMTRICOSTANGENTE DE NGULOS
SIMTRICOS30 - 45 - 60Senos 11- 1- 1303 212-3 2-1 2
Eixo da Tangente
Eixo dos Senos 11- 1- 1450
1
Sen11- 1- 1600
Eixo da Tangente
CICLO TRIGONOMTRICO44
= 30= 45= 6090120 =135 =150 =210 =225 =240 =270= 300= 315=
330
TangenteSenoCosseno
CONVERSO DE GRAUS () PARA RADIANOS (rad).180 =360 2 rad180 rad90
/2 radTRANSFORMAO DE GRAUS PARA RADIANOSExemplo: Quantos radianos
correspondem a 540?540 x rad
CICLO TRIGONOMTRICOCICLO TRIGONOMTRICONGULOS CNGRUOS
Se dois valores de ngulos esto relacionados com as mesmas posies
no Ciclo Trigonomtrico, dizemos que eles so cngruos: 0 xy 0405 0 xy
045Note ento que os ngulos 45 e 405, so ngulos cngruos. Se um arco
mede , os arcos cngruosA ele podem ser dados pela expresso + K.360,
com (K Z).
32 0 xy 045CICLO TRIGONOMTRICONGULOS CNGRUOS
Como vimos os ngulos no ciclo trigonomtrico so medidos no
Sentido anti-horrio. Um ngulo negativo significa que ele est Sendo
medido no sentido horrio.
- 315 0 xy 0Note ento que os ngulos 45 e -315, so ngulos
cngruos. 33CICLO TRIGONOMTRICOPRIMEIRA DETERMINAO POSITIVA
Vimos que podemos expressa um ngulo de vrias formas: 45,405 e
-315 que correspondem ao ngulo de 45, por exemplo.Chamamos de
primeira determinao positiva ao menor ngulo (positivo ou nulo) que
cngruo ao determinado ngulo e que esteja em um intervalo 360 >
> 0. No caso, 45 a primeira determinao positiva de 405 e
-315.
Expresso geral para achar um ngulo cngruo ao um ngulo
qualquer.34CICLO TRIGONOMTRICOEXEMPLO DE APLICAO :PRIMEIRA
DETERMINAO POSITIVA
1- Qual primeira determinao positiva de um ngulo de 1320?
Devemos obter a primeira determinao positiva com a expresso +
k.360 = 1320, com k Z. Ento:Resoluo:2- Qual primeira determinao
positiva de um ngulo de -1237?CICLO TRIGONOMTRICOPRIMEIRA
DETERMINAO POSITIVA
Resoluo:
-157 + 360 = 203Resposta a primeira determinao positiva do ngulo
-1237 203.36TRIGONOMETRIAFUNES TRIGONOMTRICASFUNO SENO37NOO DE FUNO
TRIGONOMTRICAPouco muda na construo de uma funo trigonomtrica:
podemos simplesmente atribuir pontos e ver o comportamento da
funo.
As funes trigonomtricas so peridicas, ou seja, determinando-se o
padro de repetio da funo o mesmo ir se repetir para valores
superiores ou inferiores ao intervalo citado.38A FUNO SENOVamos
elaborar o grfico da funo seno mais simples: f(x) = sen x no
intervalo [0;2 ] .Elaborao do grfico no prximo quadro39
f(x) = sen xxsen x0/6/4/3/22/33/45/67/65/44/33/25/37/411/62
Elaborao do grficoFUNO SENOPERODOPERODO: A funo seno peridica. A
distncia horizontal entre dois picos ou dois vales chamados de
perodo. Tambm podemos formular um perodo com um pico e um vale.
O perodo da funo seno de 2 e indicamos assim: p = 241FUNO
SENOAMPLITUDE
AMPLITUDEPerododefinioAmplitude: Define-se a amplitude da funo
metade da distncia vertical entre um mnimo e um mximo, ou sejaA =
(ymax- ymin)/2. Na figura nota-se que a amplitude igual a 1
unidade. 42FUNO SENODOMNIO E IMAGEMDomnio: Corresponde aos
intervalos de valores em x para os quais a funo definida.
Imagem: Corresponde aos intervalos de valores em y para os quais
a funo definida.
43FUNO SENO
A funo f (x) = sen x impar, pois sen (-x) = - sen (x).FUNO
MPAR
44FUNO SENOFUNO CRESCENTE E FUNO DECRESCENTE
45FUNO SENOQUADRO - RESUMOfuno f (x) = sen x
VARIAES DA FUNO SENONos47VARIAES DA FUNO SENOFUNES DO TIPO y = a
+ sen xVamos construir um grfico y = 2 + sen x e comparar com y =
sen x.XSen x2 + sen x0021302-1 102
y = sen xy = 2 + sen x Concluso: Na funo y = a + sen x, o
parmetro a desloca verticalmente o grfico y = sen x em a unidades.
48VARIAES DA FUNO SENOFUNES DO TIPO y = sen (x + d)Vamos construir
o grfico da funo y = sen (x + ) e comparar com y = sen x. XX + sen
x +010-1 01
y = sen x +y = sen x Concluso: Na funo y = sen (x + d), o
parmetro d desloca horizontalmente o grfico y = sen x em d
unidades. 49VARIAES DA FUNO SENOFUNES DO TIPO y = sen cxVamos
construir o grfico da funo y = sen cx e comparar com y = sen x. X2X
sen 2x00010 -10
Concluso: Na funo y = sen cx, o parmetro c altera o perodo do
grfico y = sen x. Note que para c=2 o perodo reduzido a metade ,
(ou seja dividido por 2). y = sen 2x y = sen x
VARIAES DA FUNO SENOFUNES DO TIPO y = b sen xXSen x2 + sen
x0001200-1 -200Vamos construir o grfico da funo y = 2 sen x e
comparar com y = sen x. y = sen xy = 2 sen xConcluso: Na funo y = b
sen x, o parmetro b altera a amplitude o grfico y = sen x. FUNES DO
TIPO y = a + b . sen (cx + d)Os quatros parmetros (a, b, c e d)
podero aparecer simultaneamente, ou em combinaes diversas. Sozinhos
ou em conjunto, cada parmetro ir fornecer o mesmo comportamento j
mencionado. Assim sendo, comparando-se o grfico mencionado com o
padro y = sen x.a Desloca o grfico verticalmente; b Altera a
amplitude;c Altera o perodo;d Desloca o grfico
horizontalmente.Perodo: Imagem: [(a - b);(a + b)] Para a > 0 e b
> 0. A funo seno no injetora, pois para valores diferentes de x
temos o mesmo y. Por exemplo,
sobrejetora. 52TRIGONOMETRIAFUNES TRIGONOMTRICASFUNO COSSENOII.
A FUNO COSSENO definida como a relao f: que associa a cada valor
real x um valor real y correspondente abscissa xC do ponto C,
extremidade dos arcos cngruos a x na circunferncia trigonomtrica,
de tal modo que:
II. A FUNO COSSENO
1-110-10XCOS X (Y)010-1011) A cossenoide no uma nova curva, e
sim uma senoide transladada /2 unidades para a direita. A maioria
dos aspectos relevantes da funo cosseno so os mesmos da funo seno.
2) O domnio o mesmo: D =
3) A imagem a mesma: Im = [1,1].
4) O perodo o mesmo: Perodo = 2.
5) A funo cosseno no injetiva, mas sobrejetora.
6) A funo cosseno par, pois temos cos x = cos (x).
Observaes:Estudo da funo cossenoEstudo da funo cossenoSinal
A funo positiva para valores do 1 e 4 quadrantes e negativa para
valores do 2 e 3 quadrantes.Exercitando1.0 -Determine k para que
exista o arco que satisfaa a igualdade dada na funo cos x = 3k +
41-110-10
030456090
SEN0
1
COS1
0
TAN0
EMBED Equation.3 1
_1166701366.unknown
_1166701393.unknown
_1166701510.unknown
_1492112481.unknown
_1166701403.unknown
_1166701375.unknown
_1166701286.unknown
_1166701333.unknown
_1166701270.unknown
