ESTYMACJA PRZEDZIALOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW … · Wprowadzenie Przedziały ufno´sci dla sredniej´ Przedział ufnosci dla frakcji´ Przedział ufno´sci dla wariancji Szkic wykładu

WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej

Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWAWYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI

Agnieszka Rossa

Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI



Szkic wykładu

1 Wprowadzenie

2 Przedziały ufnosci dla sredniej

3 Przedział ufnosci dla frakcji

4 Przedział ufnosci dla wariancji




Przypomnienie dotychczasowych rozwazan

Przedziałem ufnosci nazywamy przedział losowy,o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodo-bienstwem, ze zawiera nieznany parametr populacji.

Parametrami populacji, których estymacja bedziemy siezajmowac sa: srednia, wariancja i frakcja.

Z przedziałem ufnosci zwiazany jest poziom ufnosci1− α, okreslajacy prawdopodobienstwo tego, ze przedziałufnosci rzeczywiscie zawiera interesujacy nas parametr.

Krance przedziału ufnosci – wyznaczone na podstawiekonkretnej realizacji próby losowej – dostarczaja ocenyprzedziałowej nieznanego parametru.

W przeciwienstwie do oceny przedziałowej, mozliwa jesttez ocena punktowa szukanego parametru.









































Przykładowo, mówiac, ze srednia w populacji – oszaco-wana na podstawie próby – wynosi 10, podajemy ocenepunktowa tego parametru.

Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana war-tosc odbiega od rzeczywistej sredniej populacji. Z tego po-wodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa.Przypuscmy, ze do estymacji wykorzystalismy przedziałufnosci skonstruowany dla zadanego 1− α. Np. 95-pro-centowy przedział [9,11] informuje, ze mozemy miec 95%ufnosci, iz w tym przedziale znajduje sie srednia populacji.Estymacja przedziałowa dostarcza zatem wiecej informacjio mozliwej wartosci parametru populacji, niz estymacjapunktowa. Uwzglednia bowiem wielkosc błedu estymacjidla zadanego poziomu ufnosci.





Przykładowo, mówiac, ze srednia w populacji – oszaco-wana na podstawie próby – wynosi 10, podajemy ocenepunktowa tego parametru.Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana war-tosc odbiega od rzeczywistej sredniej populacji. Z tego po-wodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa.

Przypuscmy, ze do estymacji wykorzystalismy przedziałufnosci skonstruowany dla zadanego 1− α. Np. 95-pro-centowy przedział [9,11] informuje, ze mozemy miec 95%ufnosci, iz w tym przedziale znajduje sie srednia populacji.Estymacja przedziałowa dostarcza zatem wiecej informacjio mozliwej wartosci parametru populacji, niz estymacjapunktowa. Uwzglednia bowiem wielkosc błedu estymacjidla zadanego poziomu ufnosci.





Przykładowo, mówiac, ze srednia w populacji – oszaco-wana na podstawie próby – wynosi 10, podajemy ocenepunktowa tego parametru.Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana war-tosc odbiega od rzeczywistej sredniej populacji. Z tego po-wodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa.Przypuscmy, ze do estymacji wykorzystalismy przedziałufnosci skonstruowany dla zadanego 1− α. Np. 95-pro-centowy przedział [9,11] informuje, ze mozemy miec 95%ufnosci, iz w tym przedziale znajduje sie srednia populacji.

Estymacja przedziałowa dostarcza zatem wiecej informacjio mozliwej wartosci parametru populacji, niz estymacjapunktowa. Uwzglednia bowiem wielkosc błedu estymacjidla zadanego poziomu ufnosci.





Przykładowo, mówiac, ze srednia w populacji – oszaco-wana na podstawie próby – wynosi 10, podajemy ocenepunktowa tego parametru.Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana war-tosc odbiega od rzeczywistej sredniej populacji. Z tego po-wodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa.Przypuscmy, ze do estymacji wykorzystalismy przedziałufnosci skonstruowany dla zadanego 1− α. Np. 95-pro-centowy przedział [9,11] informuje, ze mozemy miec 95%ufnosci, iz w tym przedziale znajduje sie srednia populacji.Estymacja przedziałowa dostarcza zatem wiecej informacjio mozliwej wartosci parametru populacji, niz estymacjapunktowa. Uwzglednia bowiem wielkosc błedu estymacjidla zadanego poziomu ufnosci.




Przedział ufnosci dla sredniej, gdy dysponujemy duza próba

W wykładzie ”Podstawy wnioskowania – czesc I” wyzna-czony był przedział ufnosci dla sredniej µ cechy X w po-pulacji w przypadku, gdy dysponujemy duza próba.

Teoretycznie zakłada sie tu, ze liczebnosc próby dazy donieskonczonosci. W praktyce przyjmuje sie, ze próba po-winna liczyc co najmniej 30 obserwacji, tj. n ≥ 30.Przy tym załozeniu przedział ufnosci dla parametru µ, dlazadanego poziomu ufnosci 1− α, ma postac:[

X − uασ√n

; X + uασ√n

],

gdzie uα jest kwantylem rzedu 1− α2 rozkładu N(0,1),

σ jest odchyleniem standardowym cechy X w populacji.Jesli nie znamy parametru σ, zastepujemy go odchyleniemstandardowym S z próby.





W wykładzie ”Podstawy wnioskowania – czesc I” wyzna-czony był przedział ufnosci dla sredniej µ cechy X w po-pulacji w przypadku, gdy dysponujemy duza próba.Teoretycznie zakłada sie tu, ze liczebnosc próby dazy donieskonczonosci. W praktyce przyjmuje sie, ze próba po-winna liczyc co najmniej 30 obserwacji, tj. n ≥ 30.

Przy tym załozeniu przedział ufnosci dla parametru µ, dlazadanego poziomu ufnosci 1− α, ma postac:[

X − uασ√n

; X + uασ√n

],







W wykładzie ”Podstawy wnioskowania – czesc I” wyzna-czony był przedział ufnosci dla sredniej µ cechy X w po-pulacji w przypadku, gdy dysponujemy duza próba.Teoretycznie zakłada sie tu, ze liczebnosc próby dazy donieskonczonosci. W praktyce przyjmuje sie, ze próba po-winna liczyc co najmniej 30 obserwacji, tj. n ≥ 30.Przy tym załozeniu przedział ufnosci dla parametru µ, dlazadanego poziomu ufnosci 1− α, ma postac:[

X − uασ√n

; X + uασ√n

],


σ jest odchyleniem standardowym cechy X w populacji.

Jesli nie znamy parametru σ, zastepujemy go odchyleniemstandardowym S z próby.





W wykładzie ”Podstawy wnioskowania – czesc I” wyzna-czony był przedział ufnosci dla sredniej µ cechy X w po-pulacji w przypadku, gdy dysponujemy duza próba.Teoretycznie zakłada sie tu, ze liczebnosc próby dazy donieskonczonosci. W praktyce przyjmuje sie, ze próba po-winna liczyc co najmniej 30 obserwacji, tj. n ≥ 30.Przy tym załozeniu przedział ufnosci dla parametru µ, dlazadanego poziomu ufnosci 1− α, ma postac:[

X − uασ√n

; X + uασ√n

],






Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego

Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution




Przykład 1

W pewnym hipermarkecie przeprowadzono badanie maja-ce na celu oszacowanie sredniego, dziennego zapotrzebo-wania na mleko (w dniach roboczych). Zbadano wielkoscsprzedazy w ciagu 50 losowo wybranych dni roboczych,otrzymujac srednia dzienna sprzedaz równa 100 litrów,przy odchyleniu standardowym 15 litrów.

Oszacowac przedziałowo srednia, dzienna sprzedaz mlekaw tym hipermarkecie, przyjmujac poziom ufnosci 0,95.Rozwiazanie. Kwantyl uα rzedu 1− α

2 = 0,975 rozkładuN(0,1) wynosi 1,96 - zob. poprzedni slajd. Podstawiajacdane z próby do wzoru na przedział ufnosci:[

100− 1,9615√50

; 100 + 1,9615√50

],

otrzymujemy ocene przedziałowa: [96 (l); 104 (l)].




Przykład 1

W pewnym hipermarkecie przeprowadzono badanie maja-ce na celu oszacowanie sredniego, dziennego zapotrzebo-wania na mleko (w dniach roboczych). Zbadano wielkoscsprzedazy w ciagu 50 losowo wybranych dni roboczych,otrzymujac srednia dzienna sprzedaz równa 100 litrów,przy odchyleniu standardowym 15 litrów.Oszacowac przedziałowo srednia, dzienna sprzedaz mlekaw tym hipermarkecie, przyjmujac poziom ufnosci 0,95.

Rozwiazanie. Kwantyl uα rzedu 1− α2 = 0,975 rozkładu

N(0,1) wynosi 1,96 - zob. poprzedni slajd. Podstawiajacdane z próby do wzoru na przedział ufnosci:[

100− 1,9615√50

; 100 + 1,9615√50

],

otrzymujemy ocene przedziałowa: [96 (l); 104 (l)].




Przykład 1

W pewnym hipermarkecie przeprowadzono badanie maja-ce na celu oszacowanie sredniego, dziennego zapotrzebo-wania na mleko (w dniach roboczych). Zbadano wielkoscsprzedazy w ciagu 50 losowo wybranych dni roboczych,otrzymujac srednia dzienna sprzedaz równa 100 litrów,przy odchyleniu standardowym 15 litrów.Oszacowac przedziałowo srednia, dzienna sprzedaz mlekaw tym hipermarkecie, przyjmujac poziom ufnosci 0,95.Rozwiazanie. Kwantyl uα rzedu 1− α

2 = 0,975 rozkładuN(0,1) wynosi 1,96 - zob. poprzedni slajd. Podstawiajacdane z próby do wzoru na przedział ufnosci:[

100− 1,9615√50

; 100 + 1,9615√50

],

otrzymujemy ocene przedziałowa: [96 (l); 104 (l)].Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI



Przedział ufnosci dla sredniej, gdy cecha ma rozkład normalny

Istnieje jeszcze inna formuła okreslajaca przedział ufnoscidla sredniej µ badanej cechy w populacji, wyprowadzonaprzy pewnych załozeniach dotyczacych tej cechy.

Załózmy, ze badana cecha ma rozkład normalny (czegonie wymagalismy w przypadku poprzedniego modelu) oraznie znamy odchylenia standardowego σ tej cechy.Przy tych załozeniach – niezaleznie od liczebnosci n próbylosowej – przedział ufnosci dla sredniej µ okreslony dlazadanego poziomu ufnosci 1− α ma postac:[

X − tαS√

n − 1; X + tα

S√n − 1

],

gdzie tα oznacza kwantyl rzedu 1− α2 rozkładu Studenta

o k = n − 1 stopniach swobody (wielkosci tα sa stablico-wane – zob. nastepny slajd).





Istnieje jeszcze inna formuła okreslajaca przedział ufnoscidla sredniej µ badanej cechy w populacji, wyprowadzonaprzy pewnych załozeniach dotyczacych tej cechy.Załózmy, ze badana cecha ma rozkład normalny (czegonie wymagalismy w przypadku poprzedniego modelu) oraznie znamy odchylenia standardowego σ tej cechy.

Przy tych załozeniach – niezaleznie od liczebnosci n próbylosowej – przedział ufnosci dla sredniej µ okreslony dlazadanego poziomu ufnosci 1− α ma postac:[

X − tαS√

n − 1; X + tα

S√n − 1

],







Istnieje jeszcze inna formuła okreslajaca przedział ufnoscidla sredniej µ badanej cechy w populacji, wyprowadzonaprzy pewnych załozeniach dotyczacych tej cechy.Załózmy, ze badana cecha ma rozkład normalny (czegonie wymagalismy w przypadku poprzedniego modelu) oraznie znamy odchylenia standardowego σ tej cechy.Przy tych załozeniach – niezaleznie od liczebnosci n próbylosowej – przedział ufnosci dla sredniej µ okreslony dlazadanego poziomu ufnosci 1− α ma postac:[

X − tαS√

n − 1; X + tα

S√n − 1

],






Fragment tablicy kwantyli rozkładu Studenta





Przykład 2

Kierownictwo banku chce oszacowac sredni czas obsługiklienta przy pewnym okienku kasowym. Na podstawie cza-su obsługi dla 20 losowo wybranych klientów, stwierdzono,ze sredni czas obsługi przy tym okienku wynosi 15 min,przy odchyleniu standardowym 5 min. Wiadomo dodatko-wo, ze czas obsługi jest zmienna losowa o rozkładzie nor-malnym.

Oszacowac przedziałowo sredni czas obsługi klientów,przyjmujac poziom ufnosci 0,98.Rozwiazanie. Kwantyl tα z rozkładu Studenta o 19 stop-niach swobody wynosi 2,539 - zob.poprzedni slajd. Stad:[

15− 2,5395√19

; 15 + 2,5395√19

].

Otrzymalismy ocene przedziałowa: [12,1(min); 17,9(min)].




Przykład 2

Kierownictwo banku chce oszacowac sredni czas obsługiklienta przy pewnym okienku kasowym. Na podstawie cza-su obsługi dla 20 losowo wybranych klientów, stwierdzono,ze sredni czas obsługi przy tym okienku wynosi 15 min,przy odchyleniu standardowym 5 min. Wiadomo dodatko-wo, ze czas obsługi jest zmienna losowa o rozkładzie nor-malnym.Oszacowac przedziałowo sredni czas obsługi klientów,przyjmujac poziom ufnosci 0,98.

Rozwiazanie. Kwantyl tα z rozkładu Studenta o 19 stop-niach swobody wynosi 2,539 - zob.poprzedni slajd. Stad:[

15− 2,5395√19

; 15 + 2,5395√19

].

Otrzymalismy ocene przedziałowa: [12,1(min); 17,9(min)].




Przykład 2

Kierownictwo banku chce oszacowac sredni czas obsługiklienta przy pewnym okienku kasowym. Na podstawie cza-su obsługi dla 20 losowo wybranych klientów, stwierdzono,ze sredni czas obsługi przy tym okienku wynosi 15 min,przy odchyleniu standardowym 5 min. Wiadomo dodatko-wo, ze czas obsługi jest zmienna losowa o rozkładzie nor-malnym.Oszacowac przedziałowo sredni czas obsługi klientów,przyjmujac poziom ufnosci 0,98.Rozwiazanie. Kwantyl tα z rozkładu Studenta o 19 stop-niach swobody wynosi 2,539 - zob.poprzedni slajd. Stad:[

15− 2,5395√19

; 15 + 2,5395√19

].

Otrzymalismy ocene przedziałowa: [12,1(min); 17,9(min)].Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI



Przedział ufnosci dla frakcji

Załózmy, ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartos-ci (warianty). Taka ceche okresla sie czesto mianemcechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płec.

Przypuscmy, ze interesuje nas jeden z dwóch wariantówcechy X . Niech p oznacza udział elementów populacjiposiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobietw pewnej zbiorowosci osób.Parametr p okresla sie mianem frakcji elementów wyróz-nionych (w skrócie – frakcji lub wskaznika struktury).Przyporzadkujmy elementom populacji posiadajacym wy-brany wariant cechy X wartosc 1, natomiast pozostałymelementom – wartosc 0.W ten sposób zdefiniowalismy zmienna losowa o rozkła-dzie zero-jedynkowym z parametrem p.





Załózmy, ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartos-ci (warianty). Taka ceche okresla sie czesto mianemcechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płec.Przypuscmy, ze interesuje nas jeden z dwóch wariantówcechy X . Niech p oznacza udział elementów populacjiposiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobietw pewnej zbiorowosci osób.

Parametr p okresla sie mianem frakcji elementów wyróz-nionych (w skrócie – frakcji lub wskaznika struktury).Przyporzadkujmy elementom populacji posiadajacym wy-brany wariant cechy X wartosc 1, natomiast pozostałymelementom – wartosc 0.W ten sposób zdefiniowalismy zmienna losowa o rozkła-dzie zero-jedynkowym z parametrem p.





Załózmy, ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartos-ci (warianty). Taka ceche okresla sie czesto mianemcechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płec.Przypuscmy, ze interesuje nas jeden z dwóch wariantówcechy X . Niech p oznacza udział elementów populacjiposiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobietw pewnej zbiorowosci osób.Parametr p okresla sie mianem frakcji elementów wyróz-nionych (w skrócie – frakcji lub wskaznika struktury).

Przyporzadkujmy elementom populacji posiadajacym wy-brany wariant cechy X wartosc 1, natomiast pozostałymelementom – wartosc 0.W ten sposób zdefiniowalismy zmienna losowa o rozkła-dzie zero-jedynkowym z parametrem p.





Załózmy, ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartos-ci (warianty). Taka ceche okresla sie czesto mianemcechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płec.Przypuscmy, ze interesuje nas jeden z dwóch wariantówcechy X . Niech p oznacza udział elementów populacjiposiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobietw pewnej zbiorowosci osób.Parametr p okresla sie mianem frakcji elementów wyróz-nionych (w skrócie – frakcji lub wskaznika struktury).Przyporzadkujmy elementom populacji posiadajacym wy-brany wariant cechy X wartosc 1, natomiast pozostałymelementom – wartosc 0.

W ten sposób zdefiniowalismy zmienna losowa o rozkła-dzie zero-jedynkowym z parametrem p.





Załózmy, ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartos-ci (warianty). Taka ceche okresla sie czesto mianemcechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płec.Przypuscmy, ze interesuje nas jeden z dwóch wariantówcechy X . Niech p oznacza udział elementów populacjiposiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobietw pewnej zbiorowosci osób.Parametr p okresla sie mianem frakcji elementów wyróz-nionych (w skrócie – frakcji lub wskaznika struktury).Przyporzadkujmy elementom populacji posiadajacym wy-brany wariant cechy X wartosc 1, natomiast pozostałymelementom – wartosc 0.W ten sposób zdefiniowalismy zmienna losowa o rozkła-dzie zero-jedynkowym z parametrem p.





Zauwazymy, ze parametr p równy jest tez sredniejarytmetycznej z zer i jedynek, składajacych sie na takokreslona zbiorowosc.

Np. w zbiorowosci liczacej 10 elementów mozemy otrzy-mac nastepujacy ciag zer i jedynek:

1,0,1,0,1,1,1,0,1,0

Liczba m jedynek w tym ciagu wynosi:

m = 6,

co daje udział jedynek równy: mn = 6

10 = 0,6.Łatwo sprawdzic, ze m

n jest srednia arytmetycznaz podanego zbioru liczb, natomiast iloczyn m

n

(1− m

n

)równy jest wariancji w tym zbiorze.





Zauwazymy, ze parametr p równy jest tez sredniejarytmetycznej z zer i jedynek, składajacych sie na takokreslona zbiorowosc.Np. w zbiorowosci liczacej 10 elementów mozemy otrzy-mac nastepujacy ciag zer i jedynek:

1,0,1,0,1,1,1,0,1,0


m = 6,


10 = 0,6.

Łatwo sprawdzic, ze mn jest srednia arytmetyczna

z podanego zbioru liczb, natomiast iloczyn mn

(1− m

n






Zauwazymy, ze parametr p równy jest tez sredniejarytmetycznej z zer i jedynek, składajacych sie na takokreslona zbiorowosc.Np. w zbiorowosci liczacej 10 elementów mozemy otrzy-mac nastepujacy ciag zer i jedynek:

1,0,1,0,1,1,1,0,1,0


m = 6,


10 = 0,6.Łatwo sprawdzic, ze m

n jest srednia arytmetycznaz podanego zbioru liczb, natomiast iloczyn m

n

(1− m

n






Zagadnienie estymacji przedziałowej parametru p moznawiec sprowadzic do zagadnienia estymacji sredniej w po-pulacji. Korzysta sie tu z tw. granicznych. Warunkiem jestwiec dysponowanie dostatecznie duza próba (n ≥ 100).

Przyjmujac p jako odpowiednik sredniej w populacji,mn jako odpowiednik sredniej arytmetycznej z próby orazmn

(1− m

n

)jako odpowiednik wariancji S2 z próby,

otrzymujemy nastepujacy przedział ufnosci dla frakcji p:mn− uα

√mn

(1− m

n

)n

;mn

+ uα

√mn

(1− m

n

)n

,gdzie uα jest kwantylem rzedu 1− α

2 rozkładu normalnegostandaryzowanego N(0,1) – zob. nastepny slajd.





Zagadnienie estymacji przedziałowej parametru p moznawiec sprowadzic do zagadnienia estymacji sredniej w po-pulacji. Korzysta sie tu z tw. granicznych. Warunkiem jestwiec dysponowanie dostatecznie duza próba (n ≥ 100).

Przyjmujac p jako odpowiednik sredniej w populacji,mn jako odpowiednik sredniej arytmetycznej z próby orazmn

(1− m

n

)jako odpowiednik wariancji S2 z próby,

otrzymujemy nastepujacy przedział ufnosci dla frakcji p:mn− uα

√mn

(1− m

n

)n

;mn

+ uα

√mn

(1− m

n

)n

,gdzie uα jest kwantylem rzedu 1− α

2 rozkładu normalnegostandaryzowanego N(0,1) – zob. nastepny slajd.




Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego





Przykład 3

Producent nowego leku interesuje sie, dla jakiej czescichorych pacjentów jest on skuteczny. W tym celu zbadanolosowa próbe 150 pacjentów, którym podano nowy lek,stwierdzajac, ze w 110 przypadkach wyleczył z choroby.

Oszacowac przedziałowo odsetek chorych, którzy zostalibyskutecznie wyleczeni tym lekiem, przyjmujac 1− α = 0,9.


N(0,1) wynosi 1,64 (poprzedni slajd). Mamy wiec:110150− 1,64

√110150

(1− 110

150

)150

;110150

+ 1,64

√110150

(1− 110

150

)150

,co daje ocene przedziałowa: [0,67; 0,79] lub [67%; 79%].




Przykład 3





√110150

(1− 110

150

)150

;110150

+ 1,64

√110150

(1− 110

150

)150





Przykład 3





√110150

(1− 110

150

)150

;110150

+ 1,64

√110150

(1− 110

150

)150





Przedział ufnosci dla wariancji

W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie wariancjazjawiska σ2 (wzglednie odchylenie standardowe σ), np.w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabil-nosc procesu.

W celu wyznaczenia przedziału ufnosci dla wariancji ko-rzysta sie z nastepujacego twierdzenia.Jesli próba prosta X1,. . . ,Xn pochodzi z populacji o roz-kładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z=nS2

σ2

ma rozkład chi-kwadrat o k =n−1 stopniach swobody.W zapisie nS2

σ2 symbol S2 oznacza wariancje z próby, czylizmienna losowa postaci:

S2 =1n

n∑i=1

(Xi − X

)2.





W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie wariancjazjawiska σ2 (wzglednie odchylenie standardowe σ), np.w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabil-nosc procesu.W celu wyznaczenia przedziału ufnosci dla wariancji ko-rzysta sie z nastepujacego twierdzenia.

Jesli próba prosta X1,. . . ,Xn pochodzi z populacji o roz-kładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z=nS2

σ2



S2 =1n

n∑i=1

(Xi − X

)2.





W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie wariancjazjawiska σ2 (wzglednie odchylenie standardowe σ), np.w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabil-nosc procesu.W celu wyznaczenia przedziału ufnosci dla wariancji ko-rzysta sie z nastepujacego twierdzenia.Jesli próba prosta X1,. . . ,Xn pochodzi z populacji o roz-kładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z=nS2

σ2

ma rozkład chi-kwadrat o k =n−1 stopniach swobody.

W zapisie nS2


S2 =1n

n∑i=1

(Xi − X

)2.





W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie wariancjazjawiska σ2 (wzglednie odchylenie standardowe σ), np.w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabil-nosc procesu.W celu wyznaczenia przedziału ufnosci dla wariancji ko-rzysta sie z nastepujacego twierdzenia.Jesli próba prosta X1,. . . ,Xn pochodzi z populacji o roz-kładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z=nS2

σ2



S2 =1n

n∑i=1

(Xi − X

)2.





Niech c1 oraz c2 oznaczaja kwantyle rzedu odpowiednio α2

i 1− α2 rozkładu chi-kwadrat o k = n − 1 stopniach swo-

body (por. nastepne slajdy).

Dla zadanego poziomu ufnosci 1− α zachodzi równosc:

P (c1 ≤ Z ≤ c2) = 1− α,gdzie Z oznacza zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrato k = n − 1 stopniach swobody.Podstawiamy w miejsce Z wyrazenie nS2

σ2 . Po prostychprzekształceniach otrzymujemy:

P(

nS2

c2≤ σ2 ≤ nS2

c1

)= 1− α.

Stad przedział ufnosci dla wariancji σ2 ma postac:[nS2

c2;

nS2

c1

].







body (por. nastepne slajdy).Dla zadanego poziomu ufnosci 1− α zachodzi równosc:

P (c1 ≤ Z ≤ c2) = 1− α,gdzie Z oznacza zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrato k = n − 1 stopniach swobody.

Podstawiamy w miejsce Z wyrazenie nS2


P(

nS2

c2≤ σ2 ≤ nS2

c1

)= 1− α.


c2;

nS2

c1

].










P(

nS2

c2≤ σ2 ≤ nS2

c1

)= 1− α.


c2;

nS2

c1

].










P(

nS2

c2≤ σ2 ≤ nS2

c1

)= 1− α.


c2;

nS2

c1

].




Fragment tablicy kwantyli rozkładu chi-kwadrat





Fragment tablicy kwantyli rozkładu chi-kwadrat – c.d.

Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low ResolutionAgnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI



Przykład 4

Wrócmy do przykładu 2. Czas obsługi przy okienku kaso-wym nie powinien miec duzej wariancji. W przeciwnymprzypadku kolejka ma tendencje do rozrastania sie.

Korzystajac z informacji zawartych w przykładzie 2, osza-cowac przedziałowo wariancje czasu obsługi klientów przyokienku kasowym, przyjmujac 1− α = 0,9.Rozwiazanie. Kwantyle c1 i c2 rozkładu chi-kwadrat o 19stopniach swobody sa równe c1 = 10,117, c2 = 30,144(por. poprzednie slajdy). Mamy:[

20 · 52

30,144;

20 · 52

10,117

].

co daje ocene przedziałowa wariancji:[16,6(min)2; 49,4(min)2

].




Przykład 4

Wrócmy do przykładu 2. Czas obsługi przy okienku kaso-wym nie powinien miec duzej wariancji. W przeciwnymprzypadku kolejka ma tendencje do rozrastania sie.Korzystajac z informacji zawartych w przykładzie 2, osza-cowac przedziałowo wariancje czasu obsługi klientów przyokienku kasowym, przyjmujac 1− α = 0,9.

Rozwiazanie. Kwantyle c1 i c2 rozkładu chi-kwadrat o 19stopniach swobody sa równe c1 = 10,117, c2 = 30,144(por. poprzednie slajdy). Mamy:[

20 · 52

30,144;

20 · 52

10,117

].


].




Przykład 4

Wrócmy do przykładu 2. Czas obsługi przy okienku kaso-wym nie powinien miec duzej wariancji. W przeciwnymprzypadku kolejka ma tendencje do rozrastania sie.Korzystajac z informacji zawartych w przykładzie 2, osza-cowac przedziałowo wariancje czasu obsługi klientów przyokienku kasowym, przyjmujac 1− α = 0,9.Rozwiazanie. Kwantyle c1 i c2 rozkładu chi-kwadrat o 19stopniach swobody sa równe c1 = 10,117, c2 = 30,144(por. poprzednie slajdy). Mamy:[

20 · 52

30,144;

20 · 52

10,117

].


].


Documents

ESTYMACJA PRZEDZIALOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW … · Wprowadzenie Przedziały ufno´sci dla sredniej´ Przedział ufnosci dla frakcji´ Przedział ufno´sci dla wariancji Szkic wykładu