Elektrostatika

Električno polje u homogenom, linearnom

i izotropnom dielektriku

U ovakvoj sredini koja se karakteriše konstantnom dielektričnom

propustljivošću, vektori su vezani jednostavnom relacijom: EDrr

i

EDrr

ε=Maksvelov postulat se može pisati u obliku:

QSdESdESS

== ∫∫rrrr

εε

εQ

SdES

=∫rr

Ovo je formalno identično sa Gausovim zakon za polje u vakuumu, s

tim što je ε0 zamenjeno sa ε.

Pošto ovo važi za osnovni zakon elektrostatike, očigledno je da će i svi

ostali zakoni i obrasci za elektrostatičke veličine u homogenim

(linearnim i izotropnim) dielektricima biti identični onima za vakuum,

uz uslov da se ε0 zameni sa rεεε 0=

rr

rVr

CU

Q

U

QC

V

r

dVV

εε

ε

ρ

εεπρ

ρ

0

0

0

0

04

1

===

== ∫

rr

rr

F

r

QQF

E

r

QE

εεεπ

εεεπ

0

2

21

0

0

2

0

4

1

4

1

==

==

Za tačkasta naelektrisanja:

U homogenom dielektriku, indukcija je nezavisna od dielektrične

propustljivosti. Ovo se lako može utvrditi na primeru polja tačkastog

naelektrisanja:

0204

1r

r

QEED r

rrrr

πεεε ===

Pošto se i najsloženije polje može smatrati kao geometrijski zbir

elementarnih polja što ih stvaraju elementarna tačkasta naelektrisanja,

ovaj zaključak ima opšti karakter.

Dr

Granični uslovi na razdvojnoj površini dva

dielektrikaOsobine dielektrika na razdvojnoj

površini se menjaju skokovito, pa se

očekuje i diskontinuitet vektora

pri prelazu iz jedne u drugu

sredinu. EDrr

iS∆

η

1nr

2nr

1Dr

2Dr

Neka je Gausova površina cilindrična.

Primenimo na nju Maksvelov postulat,

imajući u vidu da na razdvojnoj

površini nema slobodnih naelektrisanja.

Ako ∆h teži nuli, fluks vektora indukcije

se svodi samo na flukseve kroz osnovice

valjka:

02211 =∆⋅+∆⋅=⋅∫ SnDSnDSdDS

rrrrrr

Ako se uvede zajednički jedinični vektor , onda je:nnnrrr

=−= 21

nDnDrrrr⋅=⋅ 21

odnosno:

nn DD 21 =

Normalne komponente vektora električne indukcije s jedne i druge strane

granične površine su jednake.

1lr

∆

2lr

∆

Ponašanje tangencijalnih komponenata

jačine električnog polja se može lako

odrediti ako se teorema o bezvrtložnom

karakteru primeni na elementarnu

pravougaonu konturu ABCD.

1. uslov

02211 =∆⋅+∆⋅=⋅∫ lElEldEABCD

rrrrrr

Ako je , prethodna relacija je:lllrrr

∆=∆−=∆ 21

lElErrrr

∆⋅=∆⋅ 21

Jednačina može biti zadovoljena samo ako su tangencijalne komponente

vektora polja jednake:

tgtg EE 21 = 2. uslov

Pošto u linearnim i izotropnim dielektricima važi veza , 1. uslov

se može napisati u formi:

EDrr

ε=

nn EE 2211 εε = 3. uslov

Normalne komponente vektora jačine polja skokovito se menjaju pri

prolasku kroz graničnu površinu.

Granični uslov 2 se može napisati u formi:

2

2

1

1

εεtgtg DD

= 4. uslov

Tangencijalne komponente vektora električne indukcije se skokovito

menjaju kroz graničnu površinu.

1ε

2ε

1Er

2Er

1α

2α

n

tg

n

tg

E

E

E

E

2

2

2

1

1

1 tgtg == αα

2

1

2

1

tg

tg

εε

αα

=

Pri prelazu iz sredine veće dielektrične

propustljivostu u sredinu manje dielektrične

propustljivosti linije polja se priklanjaju ka

normali.

Tube fluksa električne indukcije

Pod tubom fluksa električne indukcije podrazumeva se deo prostora

u polju koji zahvata cevasta površina formirana od linija vektora

električne indukcije.

Tube fluksa polaze od slobodnih naelektrisanja i završavaju na njima

prolazeći kroz dielektrik bez prekidanja. Fluks vektora je isti u svim

poprečnim presecima jedne tube.

Dr

Q −Q

S1 S2

∆Q1 ∆Q2

Dr

S0

Primena Maksvelovog postulata na zatvorenu površinu koja se sastoji od

površina S1, S2 i S0 daje:

21

210

QQSdDSSS

∆+∆=⋅∫++

rr

Kako je fluks kroz omotač S0 jednak nuli, a i fluksevi kroz površine S1i S2 u unutrašnjosti provodnika su jednaki nuli (u unutrašnjosti

provodnika nema polja), to je:

21 QQ ∆−=∆

Na svojim krajevima tuba se oslanja na slobodna naelektrisanja jednakih

količina, ali suprotnih znakova:

Primeri polja u nehomogenim

dielektricima

Ravan kondenzator sa dva sloja dielektrika

21 εε <Er

Maksvelov postulat primenjen na

zatvorenu površinu S0 koja obuhvata

pozitivnu elektrodu:

QSDSdDS

==⋅∫ 1

0

rr

gde je Q slobodno naelektrisanje

obuhvaćene elektrode. Odavde je:

SQD /1 =

Analogno, za dielektrik 2:

SQD /2 =

1d 2d

d

21 εε <Dr

S

0S

Vektor električne indukcije ima isti intenzitet u oba dielektrika:

η==== SQDDD /21

Polje vektora električne indukcije je homogeno u celom prostoru

izmeñu elektroda.

Pošto su oba dielektrika linearna i izotropna, jačine polja u pojedinim

slojevima su:

2

2

1

1 εεD

ED

E ==

Polje je jače u sredini sa manjom dielektričnom konstantom.

Potencijalna razlika izmeñu elektroda kondenzatora je:

+=+=

2

2

1

12211 εε

dd

S

QdEdEU

Kapacitivnost ovog kondenzatora je:

21

21

CC

CC

U

QC

+==

gde su:

2

22

1

11d

SC

d

SC εε ==

Sve se dešava kao da su dva kondenzatora vezana na red.

Dr

Er

Izmeñu elektroda se nalazi blok od homogenog dielektrika, čije su

površine paralelne elektrodama, ali su od njih odvojene vazdušnim

prostorom. Ovo je ravni kondenzator sa tri sloja dielektrika, a problem

se rešava na analogan način kao i prethodni.

1ε

2ε

1S

2S

Er

Dr

1ε

2ε

1S

2S

S

1Q

2Q

Kako svaka elektroda predstavlja ekvipotencijalnu površinu, napon na

elekrodama je isti za oba dela kondenzatora, pa je i jačina polja ista:

d

UEEE === 21

Kako se radi o linearnim i izotropnim dielektricima, to su električne

indukcije u dielektricima:

EDED 2211 εε ==

U sredini u kojoj je veća dielektrična konstanta, veći je i intenzitet

vektora električne indukcije.

Na delu elektrode S1 koji se nalazi u dodiru sa dielektrikom 1, količina

slobodnih naelektrisanja je:

11111 SESDQ ε==

Na delu elektrode S2 koji se nalazi u dodiru sa dielektrikom 2, količina

slobodnih naelektrisanja je:

22222 SESDQ ε==

Ukupno naelektrisanje elektrode je:

( ) ( )d

USSESSQQQ 2211221121 εεεε +=+=+=

Kapacitivnost ovakvog kondenzatora je:

d

S

d

S

U

QC 2

21

1 εε +==

Koaksijalni vod sa dva koncentrična sloja

dielektrika

1R

2RR′

r

1ε2ε

Kad se unutrašnji i spoljašnji provodnik voda

opterete po površini podužnom gustinom

naelektrisanja Q', iz razloga simetrije vektor

električne indukcije će imati isti intenzitet

u svim tačkama na istom rastojanju r od ose

voda.

Nek je Gausova površ valjak čije su kružne

osnovice poluprečnika r normalne na osu

voda, a omotač je koaksijalni cilindar aksijalne

dužine h.

Primenom Maksvelovog postulata, fluks vektora se svodi samo na

fluks kroz omotač, pa je:

Dr

hQhrD ′=π2

Odnosno:

212

RrRr

QD ≤≤

′=

πNa graničnoj cilindričnoj površini poluprečnika R' električna indukcija

ima isti intenzitet sa obe strane granične površine. Jednačine polja u

dvema dielektičnim sredinama su:

Na graničnoj površini, jačina električnog polja se skokovito menja.

2

2

1

1 εεD

ED

E ==

Potencijalna razlika izmeñu elektroda voda je:

dok je podužna kapacitivnost:

′

+′′

=

′+

′=

+==

∫∫

∫∫∫

′

′

′

′

R

R

R

RQ

r

drQ

r

drQ

drEdrEdrEU

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

2

211

21

21

ln1

ln1

2

22

2

1

2

1

2

1

εεπ

επεπ

R

R

R

RU

QC

′+′

=′

=′2

211

ln1

ln1

2

εε

π

Energija i sile u

elektrostatičkom polju

Energija kondenzatora

Svako elektrostatičko polje sadrži odreñenu količinu energije koja je

jednaka radu koji je izvršen u procesu uspostavljanja polja.

Pretpostavimo da u početku elektrode nisu bile naelektrisane. Ako se

sa elektrode 1 na elektrodu 2 prenese elementarna količina

naelektrisanja dq, elektrode će se opteretiti malim i po znaku suprotnim

količinama naelektrisanja, i uspostaviće se polje malog intenziteta.

1

2

Ponavljanjem postupka, naelektrisanja na elektrodama će rasti, samim

tim i jačina polja, kao i potencijalna razlika izmeñu elektroda. U bilo

kom trenutku, ova potencijalna razlika je odreñena količinom

naelektrisanja na elektrodama i kapacitivnošću kondenzatora:

C

qu =

Prilikom prenošenja naelektrisanja dq moraju se savladati sile

elektrostatičkog polja i protiv njih izvršiti odreñeni rad:

dqC

qdqudA ==

Ukupan rad koji je potrebno izvršiti da bi se kondenzator opteretio

količinom naelektrisanja Q je:

C

Qdqq

CA

Q2

0 2

11== ∫

Prema zakonu o održanju energije, ovaj rad se transformiše u energiju

elektrostatičkog polja kondenzatora:

22

2

1

2

1

2

1UCQU

C

QW ===

Energija sistema naelektrisanih tela

Nek se sistem sastoji od N elektroda koje su opterećene količinama

naelektrisanja Q1, Q2, ...Qi,..., QN i imaju potencijale V1, V2, ..., Vi,..., VN.

Pretpostavka: u procesu opterećivanja, naelektrisanja na provodnicima

rastu srazmerno svojim konačnim vrednostima. Ako je koeficijent

srazmernosti, koji se menja od 0 do 1, obeležen sa x, naelektrisanje na

pojedinim elektrodama u nekom trenutku je:

Pošto izmeñu naelektrisanja i potencijala postoji linearna zavisnost,

potencijali provodnika u istom trenutku će biti:

Ni xQxQxQQx ,...,,...,, 21

Ni xVxVxVVx ,...,,...,, 21

Da bi se sa nivoa nultog potencijala na sve provodnike donele

elementarne količine naelektrisanja , potrebno je protiv sila

polja izvršiti rad:

dxQdq ii =

∑=

=N

i

ii dxQVxdA1

Rad koji se izvrši tokom celog procesa opterećivanja je:

∑∑ ∫==

==N

i

ii

N

i

ii QVdxxQVA11

1

0 2

1

Elektrostatička energija sistema je jednaka ovom radu (pod

pretpostavkom da nije bilo nikakvih gubitaka):

∑=

=N

i

iiQVW12

1

Lokalizacija energije u elektrostatičkom polju

Elektrostatička energija se može izraziti i preko jačine polja i električne

indukcije. Razmatramo ravni kondenzator izmeñu čijih elektroda je

homogeno polje. Napon i opterećenje na oblogama kondenzatora su:

Na osnovu ovoga je sada izraz za energiju kondenzatora:

SDSQdEU === η

VEDdSEDQUW2

1

2

1

2

1===

gde je V=Sd zapremina prostora izmeñu elektroda, tj. prostora u kom

postoji polje. Ovaj izraz ima poseban značaj jer ukazuje da je energija

lokalizovana u polju, koje je njen oslonac.

Svaki element zapremine dV u polju sadrži količinu energije:

dVEDdW2

1=

Zapreminska gustina energije je:

EDdV

dWw

2

1==

Pošto je u linearnom i izotropnom dielektriku , zapreminska

gustina energije se može još i odrediti preko:

EDrr

ε=

22

2

1

2

1DEw

εε ==

Izraz za energiju ravnog kondenzatora je:

VwW =

U opštem slučaju, kad polje nije homogeno, izraz za elektrostatičku

energiju se može pisati u formi zapreminskog integrala:

∫∫ ==VV

dVEDdVwW2

1

Sile u elektrostatičkom polju

Primena Kulonovog zakona za odreñivanje sile izmeñu naelektrisanih

tela dovodi do gotovo nepremostivih teškoća matematičke prirode.

Razmatra se ravni kondenzator čije se elektrode nalaze na kratkom

rastojanju x. Ako se elektrode opterete naelektrisanjem, izmeñu njih će

delovati sila privlačenja F koju je potrebno odrediti.

x dx

Q −Q

F ′r

Energija opterećenog kondenzatora je:

C

QW

2

2

1=

gde je x

SC 0ε=

Ako se pretpostavi da je rastojanje elektroda povećano za dx, a da je

naelektrisanje elektroda ostalo nepromenjeno, energija kondenzatora će

se povećati jer je smanjena kapacitivnost. Taj priraštaj energije iznosi:

( ) dxS

Qx

S

Qdxx

S

QdW

2

0

2

0

2

0 2

1

2

1

2

1

εεε=−+=

Ovo povećanje energije je nastalo na račun rada koji je izvršila

mehanička sila F' savladavajući silu privlačenja elektroda F= −F' za

vreme elementarnog pomeraja. Prema zakonu o održanju energije, rad

sile F' je jednak povećanju energije kondenzatora:

dx

dWFdWdxF =′⇒=′

a elektrostatička sila koja deluje na desnu elektrodu je:

S

QFF

2

02

1

ε−=′−=

Sila je ravnomerno rasporeñena po celoj površini elektroda. Površinska

gustina sile ima apsolutnu vrednost:

EDS

Q

S

FP

2

1

2

12

2

0

===ε

Elektrostatičke sile su vrlo male i mogu se koristiti samo u električnim

merenjima i nekim specijalnim primenama. Karakter ovih sila je takav

da imaju tendenciju da pomeranjem elektroda smanje energiju

opterećenog sistema na minimum.

Kretanje naelektrisane čestice u

vakuumu pod dejstvom električnog

polja

Ako se naelektrisanje mase m i količine elektriciteta Q nalazi u el. polju

u vakuumu, na njega će delovati mehanička sila:

čije su projekcije:

EQFrr

=

zzyyxx EQFEQFEQF === ,,

Pretpostavimo da je u svim fazama kretanja brzina čestice manja od

brzine svetlosti, pa se kretanje odvija po Drugom Njutnovom zakonu:

EQdt

vdm

rr

=

Ova vektorska jednačina se može razložiti na tri skalarne jednačine:

zz

y

y

xx EQ

dt

dvmEQ

dt

dvmEQ

dt

dvm === ,,

Odnosno, kako se projekcije brzine odreñuju na osnovu:

to se prethodni sistem jednačina može napisati u sledećem obliku:

dtdzvdtdyvdtdxv zyx /,/,/ ===

zyx EQdt

zdmEQ

dt

ydmEQ

dt

xdm ===

2

2

2

2

2

2

,,

Kada su poznati vektor jačine polja , početna brzina čestice

i početne koordinate , integraljenjem sistema

jednačina mogu se odrediti j-ne kretanja, brzine i trajektorija čestice.

Kada se čestica kreće pod dejstvom polja, sile polja vrše rad koji se

transformiše u kinetičku energiju čestice. Rad sila polja na putu po

kojem se kreće naelektrisana čestica (od tačke A do tačke B) je:

),,( zyxEr

),,( 0000 zyxvr

000 ,, zyx

( )BA

B

A

B

A

VVQldEQldFA −=⋅=⋅= ∫∫rrrr

Neka su vA i vB brzine čestice u krajnjim tačkama puta. Tada je

priraštaj kinetičke energije na posmatranom putu:

i ovaj priraštaj energije mora biti jednak radu električnog polja:

22

2

1

2

1ABkAkB mvmvWW −=−

( ) ( )BAAB VVQvvm −=− 22

2

1

Ako je početna brzina 0, a krajnja v, onda je:

( ) ( )BABA VVm

QvVVQmv −=⇒−=

2

2

1 2

Brzina čestice zavisi samo od razlike potencijala početne i krajnje tačke.