UNIVERZITET U BANJOJ LUCI ELEKTROTEHNIKI FAKULTET ZADACISA KVALIFIKACIONIH ISPITA 2001-2008. Banja Luka 2008. Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 11 Dr Zoran Mitrovi Mr Biljana Vojvodi ZADACISA KVALIFIKACIONIH ISPITA 2001-2008. Banja Luka 2008. Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 22 Dr Zoran Mitrovi, Mr Biljana Vojvodi Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. Izdava Elektrotehniki fakultet, Banja Luka Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 33 KVALIFIKACIONIISPIT IZ MATEMATIKE 02.07.2001. 1.Uprostiti izraz .1111 2 3122 32+ + + ++ x xxxx xxx 2.Rijeiti jednainu . 1 2 2 + = x x 3.Rijeiti nejednainu. 8 9 91> x x 4.Rijeiti nejednainu > + 8 22x x . 1 x 5.Dokazati identitet .22 sin1cos1sin12 2ooooo=++tg ctg 6.Ako u trouglu vrijedi ( )( ) ab c b a c b a 3 = + + + , dokazati da je.3t = 7.Rijeiti jednainu . 0 2 cos 2 sin cos sin 1 = + + + + x x x x 8.Odreditijednainukrunicekojaprolazikroztaku( ) 9 , 8 idodiruje svaku od koordinatnih osa. 9.Upravouglitrougaoupisanajekrunica.Takadodiratekrunicesa hipotenuzomdijelihipotenuzunaodsjekeduine5i12.Nai poluprenik te krunice. 10. Rijeiti sistem: , 32 4 =+xyyx( ) ( ). log 1 log3 3y x y x + = Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 44 Rjeenja: 1. Vrijedi ( )( )=+ + ++ ++=+ + + ++ 111 11 2 3121111 2 3122 222 32x xxx x xx xxxx xxxx xxx ( ) ( )( )( )( )=+ ++ + + + =1 11 1 1 2 3 1 222 2x x xx x x x x x x ( )( )=+ ++ + + + =1 11 1 2 3 2 2 222 2 2 3x x xx x x x x x ( ), 211 233=++=xx . 1 = x 2.Poto je < + > = 2 , 22 , 22x xx xx, razlikujemo dva sluaja: a)za ( ) 2 , e xdata jednaina je ekvivalentna jednaini, 1 2 2 + = + x xodakle dobijamo 31= x, i to je rjeenje jednaine jer( ) 2 ,31 e ; b)za| ) e , 2 xdata jednaina je ekvivalentna jednaini 1 2 2 + = x x ,odakleje, 3 = x tonijerjeenjejednainejer | ) e , 2 3 . 3.Data nejednaina je ekvivalentna nejednaini 0 9 9 8 92> x x,koja se smjenom0 , 9 > = t tx svodi na kvadratnu nejednainu , 0 9 82> t ttj. ( )( ) 0 9 1 > + t t .Odavde dobijamo ( | | ) e , 9 1 , t , to uz uslov0 > t, daje| ) e , 9 t. Dakle, | ) e , 9 9x , odnosno| ) e , 1 x. Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 55 4.Iz uslova0 8 22> + x x , tj.( )( ) 0 2 4 > + x xdobijamo (1)( | | ) e , 2 4 , x . Ako je, 0 1 < xna osnovu (1) za ( | 4 , e ximamo . 1 0 8 22 > > + x x xAko je, 0 1 > xodnosno na osnovu (1) za | ) e , 2 x , nakon kvadriranja dobijamo , 1 2 8 22 2+ > + x x x x tj. 49> x . Prema tome, rjeenje date nejednaine je ( | . ,494 , |.|

\| e x

5.Vrijedi =++ =++oooooooooocossin1cossincos1sin11cos1sin12 2 2 2tg ctg

( )( ) =o + oo + o o o o + o ==o + ooo + oo =cos sincos cos sin sin cos sin1sin coscoscos sinsin12 23 3

. , ,4,2,22 sin22 sin1 1 Z n k nke + = = = |.|

\| = ttotoo o 6.Iz uslova( )( ) ab c b a c b a 3 = + + + ,dobijamo( ) , 32 2ab c b a = +tj. .2 2 2ab b a c + =Iz kosinusne teoreme imamo , cos 22 2 2 ab b a c + = pa dobijamo21cos = , tj..3t = 7.Data jednaina je ekvivalentna slijedeim jednainama, 0 sin cos cos sin 2 cos sin 12 2= + + + + x x x x x x , 0 1 cos 2 cos sin 2 cos sin 12= + + + + x x x x x ( ) ( )( )( ) . 0 cos 2 1 sin cos, 0 cos 2 1 sin cos 2 1 cos= + += + + +x x xx x x x

Odavde dobijamo0 sin cos = + x x ili, 0 cos 2 1 = + x tj. Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 66 1 = tgxili.21cos = xRjeenja jednaine su. , , , 232, 234,4Z e + = + = + = n m k n x m x k xn m ktttttt 8.Nekajejednainakrunice( ) ( ) .2 2 2r q y p x = + Potokrunica dodirujeobekoordinatneose,vrijedir q p = = ,ipotoprolazikroz datu taku vrijedi( ) ( ) . 9 82 2 2r q p = + Ako sup iqistog znaka, tj., q p = dobijamo jednainu ( ) ( )2 2 29 8 p p p = + , odnosno kvadratnu jednainu0 145 342= + p p . Njena rjeenja su 5 i 29. Ako sup iq suprotnog znaka,, q p =dobijamo jednainu ( ) ( )2 2 29 8 p p p = + + ,tj. jednainu 0 145 22= + + p p , koja nemarealna rjeenja.Dakle, jednaine krunica su ( ) ( )2 2 25 5 5 = + y xi( ) ( ) . 29 29 292 2 2= + y x 9.TrougloviDAOiOAEsupodudarnipaje DA=AE=5.AnalognojeBE=BF=12. Primjenjujui Pitagorinu teoremu dobijamo ( ) ( )2 2 217 5 12 = + + + r r , tj. kvadratnujednainu 0 60 172= + r r . Poluprenik krunice je r=3.

AB C 12 12 D E F O r r rr r 5 5 Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 77 10. Iz 522 2 =||.|

\|+xyyx,, 0 , 0 = = y xdobijamo 25= +xyyx.Uvoenjem smjenetyx= , dobijamo kvadratnu jednainu 0 2 5 22= + t t ,ija su rjeenja 2 i 21.Iz druge jednaine sistema, uz uslove0 > + y xi0 > y x , dobijamo ( ) . 3 log log32 23= y xZa2 = tdati sistem je ekvivalentan sistemu . 322 2= =y xy x Uvrtavajuix izprvejednaineudrugu,dobijamojednainu12= y , ija su rjeenja 1 i1 . Odavde dobijamo rjeenja sistema (2,1), (-2,-1),od kojih samo rjeenje (2,1) zadovoljava postavljene uslove.Za 21= tdati sistem je ekvivalentan sistemu

. 322 2= =y xx y Uvrtavajuiyiz prve jednaine u drugu, dobijamo jednainu12 = x koja nema realnih rjeenja. Dakle, rjeenje sistema je( ) ( ). 1 , 2 , = y x

Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 88 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 05.09.2001. 1.Uprostitiizraz( ). 0, 1 1 ,111111111= < < +++++a aaaaaaaaaa 2.Ako je,1a x x = izraunati.3 3 x x 3.Za koje vrijednosti parametraajednaina ( ) ( ) ( ) 0 7 2 5 7 2 12= + + + + a x a x aima bar jedan realan korijen. 4.Rijeiti nejednainu 122 3 + x x 7.Dokazati da za uglove | o , ,proizvoljnog trougla vrijedi. 1 cos cos cos 2 cos cos cos2 2 2= + + + | o | o 8.Na jednoj teinoj liniji trougla ABCodabrati taku M tako da zbir 2 2 2MC MB MA s + + = ima minimalnu vrijednost. 9.Akosua ib paralelnestranice,c id kracitrapeza,p iq dijagonale trapeza, dokazati da je. 22 2 2 2ab d c q p + + = + 10. Sastavitijednainukrunicekojaprolazitakama( ) 0 , 2 A i( ) 1 , 1 B a centar joj lei na pravoj0 = + y x . Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 99 Rjeenja: 1.Vrijedi = +++++aaaaaaaaa111111111 +++++aaaaaaaa11111111= ++++++aaaaaaaaa111111111 = ++++++++=aaaaaaaaaaaaa11111111111211

( ) ( ) ( )( ) ( )= + + + +=aaa aaa a a111 111 1 2 122 222 2 2 . 0 , 1 1 , 01 1 142 2 2 22 2= < < = = + += a aa a a aa a 2.Vrijedi

( )( ) ( ) . 3 33 33 1312 1 231 3 3a a x x x xx x x x x x x x+ = + == + = 3.Jednaina ima bar jedan realan korijen ako vrijedi , 0 > D odnosno ( ) ( )( ) . 0 7 2 1 20 7 22> + + a a a Ova nejednaina je ekvivalentna nejednaini ( )( ) , 0 3 2 7 2 s + a a odakle se dobija.23,27((

e a (Za1 = ajednaina se svodi linearnu jednainu, 0 45 9 = + x ije je rjeenje. 5 = x ) 4.Data nejednaina je ekvivalentna nejednaini , 0 122 3< ++xx odnosno. 025 + . > . > x x x dobijamo( ) e , 1 x ,itadajejednaina ekvivalentna jednaini ( ) ( ) 3 2 2 log 1 log + = x x x , odnosno jednaini . 6 42+ = x x x Dobijamo kvadratnu jednainu , 0 6 52= x x ijasurjeenja. 6 , 12 1= = x x Izuslova( ) e , 1 x dobijamodaje rjeenje date jednaine . 6 = x 6.Data nejednaina je ekvivalentna slijedeim nejednainama: ,213sin,213sin cos3cos sin,21cos23sin21>|.|

\|+> +> +tt txx xx x pa je rjeenje nejednaine , 265, 26 3Z kk k xe|.|

\|+ + e + tttt t odnosno . 22, 26Z kk k xe|.|

\|+ + e tttt 7.Poto je| o t =i( ) t cos cos = dobijamo= + + + | o | o cos cos cos 2 cos cos cos2 2 2 ( ) ( ) = + + + + = | o | o | o | o cos cos cos 2 cos cos cos2 2 2 ( )( ) = | o | o | o | o | o + | + o =sin sin cos cos cos cos 2 sin sin cos cos cos cos2 2 2 = | o | o + | o | o ++ | o | o | o + | + o =sin sin cos cos 2 cos cos 2 sin sin sin sin cos cos 2 cos cos cos cos2 2 2 22 2 2 2 ( )( ) = + + = | o | o | o2 2 2 2 2 2cos 1 cos 1 cos cos cos cos. 1cos cos cos cos 1 cos cos cos cos2 2 2 2 2 2 2 2== | o + | o + | o | + o = Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 1111 ABCM A1PQ8.Rjeenje I: NekajeMproizvoljnatakana teinojdui 1AA .Uzimajuina pravoj 1AA taku 1M takodaje 1 1 1M A MA =dobijamo paralelogram.1C MBM Potojeuparalelogramu zbirkvadratastranicajednakzbiru kvadrata dijagonala dobijamo ( ) . 22 212 2BC MM MC MB + = +Dalje je( ) MA AA MA MM = =1 1 12 2 pa dobijamo( ) ( ), 2 42 2 2 21MC MB BC MA AA + = + ( ). 2 4 8 42 2 2 2121MC MB BC MA MA AA AA + = + + Odavde je ( ) , 4 8 6 22 21 12 2 2 2BC AA MA AA MA MA MC MB + + = + + tj.2 21212 2 22132323 BC AA AA MA MC MB MA s + +|.|

\| = + + = .Ovajzbirebitinajmanjikadaje 132AA MA = ,tj.akojetakaM teite trougla. Rjeenje II:

TrougloviC QA1 iBP A1 su podudarni pa je.1 1P A Q A =Iz kosinusne teoreme imamo. cos 22 2 2 AM AC AC MA MC + =Dalje je, cosACAQ= pa je . cos AQ AC = Dakle . 22 2 2AM AQ AC MA MC + =Analogno je, cos, cos 22 2 2ABAPAB AM AB MA MB = + = pa je . 22 2 2AP AM AB MA MB + = ABCM A1 M1Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 1212 Prema tome( ). 2 32 2 2 2 2 2AQ AP AM AB AC MA MC MB MA s + + + = + + =Poto je, 21 1 1 1 1AA Q A AA P A AA AQ AP = + + = + dobijamo .34323 4 3212 2212 212AA AB AC AA MAAB AC AA MA MA s + + |.|

\| == + + = Ovaj zbir e biti najmanji kada je 132AA MA = , tj. ako je taka M teite trougla. 9. PrimjenomkosinusneteoremenatrougloveABC,ACD,ABD,BCDredom, dobijamo ( )( ). cos 2, cos 2, cos 2, cos 22 2 22 2 22 2 22 2 2| too t| + = + = + = + =bc b c qad d a qbd d b pac c a p Poto je( ) t cos cos = , sabiranjem dobijamo( ) ( )| + o o + | + + + = +cos 2 cos 2 cos 2 cos 22 22 2 2 2 2 2bc ad bd acd c b a q p odnosno ( )( ). cos cos ) 1 (2 2 2 2 2 2| + o + + + = + c d b a d c b a q pS druge strane, iz pravouglih trouglova AED i FBCimamo| o cos , cos = =cydx, o |A BC Dabp qxyc dZadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 1313 pa je. cos cos b a y x c d = + = + | oUvrtavanjem u (1)dobijamo ( ) ,2 2 2 2 2 2 2b a d c b a q p + + + = + i nakon sreivanja . 22 2 2 2ab d c q p + + = +

10. Nekajejednainakrunice( ) ( ) .2 2 2r q y p x = + Potocentar kruniceleinapravoj0 = + y x ,vrijedi, 0 = + q p padobijamo jednainukrunice( ) ( ) .2 2 2r p y p x = + + Potokrunicaprolazi datim takama, dobijamo sistem jednaina ( )( ) ( )2 2 22 2 21 1 ) 2 (2) 1 (r p pr p p= + + = + Iz (1)-(2) dobijamo ( ) ( ) , 0 1 2 2 1 3 = + + p podnosno.21 = p Uvrtavanjem u (1) dobijamo.210= r Dakle, jednaina krunice je .2521212 2= |.|

\| + |.|

\|+ y x Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 1414 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 01.07.2002. 1.Uprostiti izraz |.|

\|+ ++2 22 1 1 12x xxxxx:3 2214 1x x xx+ . 2.Pokazati da je5 12 29 5 12 29 + cio broj. Koji je to broj? 3.Odrediti parametarmtako da zbir kubova korijena jednaine 02= + m x xbude jednak 10. 4.Rijeiti nejednainu 1 12 > + x x x . 5. Rijeiti nejednainu ( ) 0 6 log log 22121> + x x . 6. Rijeiti sistem ( ). 3 9 39 log log 292= = +y xy x 7.Rijeiti jednainu. 1 4 sin 2 sin2 2= + x x 8. Ako za straniceb a,i ugaotrougla vrijedi cos 2b a =dokazati da je tajtrougao jednakokraki. 9.Krunicepoluprenika2i1dodirujusespoljautakiT.Njihova zajednikaunutranjatangentasijeespoljanjutangentuutakiA. Izraunati duinu dui AT. 10. Odrediti jednainu krunice iji je poluprenik2 3 = r , a prave0 4 = + y xi0 7 = + y x je tangiraju.

Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 1515 Rjeenja: 1.Vrijedi |.|

\|+ ++2 22 1 1 12x xxxxx: =+ 3 2214 1x x xx

( )( )( ) ||.|

\|+ ++=211 1 12xxx xxx: ( )( )( ) = + x x xx x1 12 1 2 12

( ) ( )( ) ( ) x xx x x x x x+ + + + =1 11 1 2 4 222: ( )( )( )( ) = + 21 12 1 2 1x xx x ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( ).21, 1 ,2 122 1 2 12 1 22 1 2 11 11 12 422 = =+==+ =+ + + + =x xxx xxx xx xx xx 2.Neka je 5 12 29 5 12 29 + = m . Oigledno je0 < m .Kvadriranjem dobijamo ( ) 5 12 29 5 12 29 2 5 12 2922 2+ + = m , 121 2 582 = m , 362= m .Prema tome. 6 = m 3.Na osnovu Vietovih formula je m x x x x = = +2 1 2 1 , 1 . Dalje je ( )( )( ) ( ) ( ) . 3 1 3 2 122 1 2 122 2 121 2 13231m x x x x x xx x x x x x x x = + + == + + = +

Znai,, 10 3 1 = mtj.. 3 = m 4.Nejednaina je uvijek definisana jer je( ) R x x x e > + 0 12 .Ako je0 1 < x , vrijedi 1 0 12 > > + x x x , pa je rjeenje nejednaine( ) 1 , e x .Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 1616 Ako je0 1 > x , nakon kvadriranja dobijamo nejednainu1 2 12 2+ > + x x x x , ije je rjeenje0 > x , odnosno, uzimajui u obzir postavljeni uslov,| ) e , 1 x .Prema tome, rjeenje nejednaine je svako. R x e 5.Nejednaina je definisana za0 6 0 > + . > x x , tj. za(1) 6 0 > . = x x . Prema tome, za( ) ( ) e , 0 0 , 6 xdata nejednaina je ekvivalentna nejednainama ( ) 6 log log21221+ > x x , , 62+ < x x 0 62< x x .Rjeenje ove kvadratne nejednaine je( ) 3 , 2 e x . Uzimajui u obzir (1) dobijamo rjeenje nejednaine( ) ( ) 3 , 0 0 , 2 e x . 6.Ako je0 > + y x , dati sistem je ekvivalentan sistemu

( ), 3 33 log log9 22== ++ y xy x odnosno sistemu . 9 232= + = +y xy x Uvrtavajuiy iz prve jednaine u drugu, dobijamo kvadratnu jednainu 0 3 22= x x ,ija su rjeenja. 3 , 12 1= = x xOdavde se dobija 0 , 42 1= = y y .Oba rjeenja zadovoljavaju uslov, 0 > + y x pa je rjeenje sistema skup( ) ( ) { } 0 , 3 , 4 , 1 . 7.Data jednaina je ekvivalentna slijedeim jednainama. 0 1 2 sin 5 2 sin 4, 1 2 sin 4 2 sin 4 2 sin, 1 2 cos 2 sin 4 2 sin2 44 2 22 2 2= + = += +x xx x xx x x Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 1717 Stavljajui , 0 , 2 sin2> = t t xdobijamo kvadratnu jednainu , 0 1 5 42= + t tija su rjeenja.41 , 12 1= = t tOdavde dobijamo 212 sin , 1 2 sin = = x x ,pa surjeenja jednaine,2 4t t kxk+ =,2 12t t nxn+ = . , , ,2 125Z m n kmxmet+t= 8.Iz kosinusne teoreme imamo cos 22 2 2ab b a c + =i uvrtavajui da je, cos 2 a b = dobijamo,2 2 2 2a b a c + = tj.b c = . 9. VrijediAB AT AC = = (tangentnedui),tj,BC AT21= .DaljejeD O CB1= ,pa iz pravouglog trouglaD O O2 1 dobijamo, 1 32 2 21 = D Oodnosno2 21= D O .Dakle,2 = AT . AB CDT O 1 O2Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 1818 10. Nekajejednainakrunice( ) ( ) . 182 2= + q y p x Izuslovadodira prave i krunice( ) ( )2 2 21 n q pk k r + = +, dobijamo sistem( )( ) . 7 364 3622+ =+ =q pq p Razlikujemo 4 sluaja: 16 76 4= + = + q pq p ;rjeenje ovog sistema je,21,23 = = q ppa je jednaina krunice 1821232 2= |.|

\|+ + |.|

\|+ y x , 2 6 76 4= + = + q pq p ;rjeenje ovog sistema je,211,29= = q ppa je jednaina krunice , 18211292 2= |.|

\| + |.|

\| y x 36 76 4 = + = + q pq p ;rjeenje ovog sistema je,211,215= = q ppa je jednaina krunice, 182112152 2=|.|

\| +|.|

\|+ y x 46 76 4 = + = + q pq p ;rjeenje ovog sistema je,223,23= = q ppa je jednaina krunice . 18223232 2=|.|

\| +|.|

\|+ y x Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 1919 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 01.07.2003. 1. Uprostiti izraz ( ).3 9 33273 2 92 3++ ++aaa aaaa 2.Dokazati da je ( )( ) 2 15 4 6 10 15 4 = + . 3.Odreditizakojevrijednostirealnogparametramsuobakorijena jednaine0 2 42= + m x x pozitivna. 4.Rijeiti jednainu 1 22112 3 3 4+ = xxx x. 5.Rijeiti nejednainu ( ) 2 log 20 5 log x x xx > + . 6.Rijeiti jednainux x x x sin cos sin cos3 3 = . 7.Izraunati uglove pravouglog trougla ako je razlika kateta jednaka 22 c, gdje jec hipotenuza. 8.Stranica jednakostraninog trougla jea . Oko njegovog teita opisana je krunica poluprenika 3a. Odrediti povrinu dijela trougla koji se nalazi van ove krunice. 9.Nekasu 1d i 2d dijagonaleparalelogramaio ugaoizmeunjih. Odrediti povrinuparalelograma. 10. Taka( ) 3 , 1 Mje unutranja taka krunice( ) ( ) . 25 5 32 2= + + y xOdrediti jednainu najmanje tetive koja sadri M. Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 2020 Rjeenja: 1.Vrijedi( )=++ ++3 9 33273 2 92 3aaa aaaa ( )( )( )=++ ++ + +=3 9 333 9 33 2 92 2aaa aaa a aa ( ) ( )( )( )=+ + + + +=9 3 39 3 3 3 27 1822a a aa a a a a a ( )( )=+ + + +=9 3 39 3 3 9 27 1822 3 2a a aa a a a a a . 3 , 1272733= == aaa 2.Nekaje( )( ) . 15 4 6 10 15 4 m = + Oiglednoje0 > m ,pa nakon kvadriranja dobijamo ( ) ( )( ) 15 4 6 60 2 10 15 422 + + = m , odnosno ( )( )( ) ( )( ) . 4 15 4 15 4 4 60 2 16 15 16 15 42= + = + = mDakle,. 2 = m 3.Dabiobakorjenajednainebilapozitivnatrebadabuduispunjeni uslovi 0 , 0 , 02 1 2 1> > + > x x x x D . Koristei Vietove formule,odavde dobijamo sistem nejednaina 0 8 16 , 0 > > m m . Rjeenje ovog sistema je( | 2 , 0 e m. 4.Data jednaina je ekvivalentna sljedeim jednainama: , 3 3 4 412121+ + = +xx xx

, 3 3 3 1 4 421212121||.|

\|+ =||.|

\|+ x x Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 2121 ,3 31 3 33421+= |.|

\| x .3 31 3 3log2134+= x Odavde dobijamo .931 log2134||.|

\|+ + = x 5.Uz uslov0 20 5 > + xx, data nejednaina je ekvivalentna nejednainama( )x x xx 2 log 10 log 20 5 log > +, ( )x xx 5 log 20 5 log > + . Odavde je, 5 20 5x xx > + tj.. 20 > x Rjeenje nejednaine je( ) e , 20 x. 6. Data jednaina je ekvivalentna slijedeim jednainama: ( )( ) ( )( )( ) . 0 2 sin sin cos, 0 1 2 sin211 sin cos, 0 sin cos sin sin cos cos sin cos2 2= = |.|

\| + = + + x x xx x xx x x x x x x x Odavde dobijamo 0 sin cos = x xili, 0 2 sin = x odnosno1 = tgx ili. 0 2 sin = x Rjeenja jednaine su. , ,2,4Z n knx k xn ket= t +t= 7.Iz pravouglog trougladobijamo,2sin , sincbca= |.|

\| = otoodnosno .222sin sin == |.|

\| cb aoto obcat/2 o -Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 2222 Primjenjujuiformuluzatransformacijurazliketrigonometrijskih funkcija u proizvod dobijamo,224sin4cos 2 = |.|

\| tot

odnosno.214sin = |.|

\| to Odavde dobijamo.12,125 t|to = = 8. Jasno je da je 13P P = , gdje je 1Ppovrina dijela trougla van krunice sa tjemenomuB.IztruglaDFTdobijamo,633222||.|

\| |.|

\|=a aDF tj. .6aDF = Odavdesedobijedaje,3 6 2a a aFB = = pajeetverougao FBETromb.Prematome, k rP P P =1,gdjeje rP povrinaromba FBET, a kPpovrina krunog isjeka FET, sa uglom 60 , pa je.54 1836360 sin32 2221tta aaaP =|.|

\||.|

\|= Nakon sreivanja dobijamo ( ). 3 3182t =aPABCDEFTZadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 2323 9. Povrina trugla ABO je( ) , sin8sin2 2 212 1 2 11 td d d dP= = a povrina trougla BCO je . sin8sin2 2 212 1 2 12 d d d dP= = Prema tome, povrina paralelograma je( ) . sin2sin42 22 1 2 12 1 d d d dP P P= = + = 10. Najmanja tetiva krunice je ona za koju je taka M sredite.Naime, neka je AB tetiva ije je sredite taka M i CD bilo koja tetiva koja sadri M. NekajeNsreditetetiveCD.IzpravouglogtruglaONMjeoigledno ON OM > (OM jehipotenuzaaON kateta).IztrouglaOMAimamo 2 2221OM r AB = |.|

\|,aiztrouglaOCNje.212 22ON r CD = |.|

\| Odavde i iz nejednakostiON OM >dobijamoCD AB < .Poto jetetiva ABokomitanapravuodreenutakamaMiSimamo MSkk1 = ,tj. . 1 = k Prematome,jednainatraenepraveje, 1 3 + = x y tj. . 0 4 = + y x ABCDMNOrrA BC DOd1d2Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 2424 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE01.07.2004. 1. Uprostiti izraz b aabb ab ab aabb ab a+ ++ +3 3 3 3. 2. Rijeiti nejednainu2 5 2 + > + x x . 3. Rijeiti jednainu32273425+++=+++xxx xxxx. 4. Rijeiti jednainu ( ) xx = 3 2 9 log2. 5. Rijeiti sistem

1 21 4 1 216 4 43 243 27+ += =y x yy x. 6. Dokazati identitet|.|

\| =++oto oo4cos 2cos sin2 sin 1. 7. Rijeiti jednainu x x 4 cos 2 sin 5 3 = + . 8. Dokazati da je 2 2 2 2212 a c b ta + = , gdje suc b a , ,stranice trouglaABC , a atteinica iz vrha A. 9. Osnovice jednakokrakog trapeza razlikuju se za 10, krak je aritmetikasredina osnovica, a visina3 2due osnovice. Nai povrinu trapeza. 10. Pravakx y =sijee krunicu( ) 1 12 2= + y xu takamaAiB . Odreditikoordinate taakaA iBi izraunatikako je 2____= AB .Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 2525 Rjeenja: 1. Vrijedi =+ ++ +b aabb ab ab aabb ab a3 3 3 3( ) ( )= + ++ + b aab b ab ab aab b ab a23 323 3 ( )( ) ( )=+ + ++ ++ + + =2 22 22 22 2) ( ) ( ) (b ab ab a b ab a b ab ab ab a b ab a b a ( ) 02 2 2 2= = b a b a ,uz uslov b a = . 2.Za |.|

\| e25, x datanejednainajeekvivalentnanejednaini 2 5 2 + > x x , tj. nejednaini 7 < x ,pa je u ovom sluaju rjeenje( ) 7 , e x . Za |.|

e ,25x datanejednainajeekvivalentnanejednaini 2 5 2 + > + x x ,tj.nejednaini1 > x ,pauovomsluajurjeenje ( ) + e , 1 x . Dakle, rjeenje nejednaine je ( ) ( ) e , 1 7 , x . 3.Izuslova032034025>++. >+. >+xxxxxxdobijamodajejednainadefinisanaza( ) | ) e , 5 3 , x .Uzuslov0 2 > + x ,nakon kvadriranja i sreivanja dobijamo ekvivalentnu jednainu ( )( )( )( ) ( )( ) 3 236 23 24 52+ ++ + =+ + x xx xx xx x. Potoje( )( ) 0 3 2 > + + x x morabitii0 36 22> + + x x ,odakle dobijamo (uz gornja ogranienja )da5,1 37 x (e + .Kvadriranjem i sreivanjemdobijamokvadratnujednainu0 24 22= x x ,ijasurjeenja61 = x i42 = x .Rjeenje6 = x pripadadefinicionom podruju jednaine i to je jedinorjeenje jednaine.Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 2626 4.Izuslova0 2 9 > xdobijamodajeza9 log2< x datajednaina ekvivalentnajednaini x x = 32 2 9 .Smjenom0 , 2 > = t tx

dobijamokvadratnujednainu0 8 92= + t t ,ijasurjeenja11 = t i 82 = t .Odavdedobijamo1 2 =x,odnosno8 2 =x,pasurjeenja jednaine { } 3 , 0 e x . 5. Vrijedi 1 21 4 1 216 4 43 243 27+ += =y x yy x 1 2 11 4 5 ) 1 2 ( 34 43 3+ + +==y x yy x 0 31 4 6= + = +y xy x. Rjeenje sistema je( )|.|

\|=221,223, y x . 6. Vrijedi ( ),4cos 24cos4sin 22sin sin cos sincos sincos sincos sincos cos sin 2 sincos sin2 sin 12 2 2|.|

\|o t== |.|

\|o t t= |.|

\|o t+ o = o + o ==o + oo + o=o + oo + o o + o=o + oo + uz uslov 0 cos sin = + o o ,tj.Z k k e + = ,4tto . 7.Datajednainajeekvivalentnajednainix x x 2 sin 2 cos 2 sin 5 32 2 = + ,tj. jednaini 0 2 2 sin 5 2 sin 22= + + x x .Smjenom| | 1 , 1 , 2 sin e = t t x dobijamokvadratnujednainu0 2 5 22= + + t t , ija su rjeenja 21 = ti212 = t .Zbog ogranienja zat ( x x 2 sin je ograniena funkcija)uzimamo samo rjeenje 2t .Jednaina 212 sin = x ima rjeenja Z n k n x k xn ke + = + = , ,127,12tttt. Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 2727 8.IztrouglaADC imamo, cos22222 2a ata at b |.|

\|+ =tj( ) . cos4122 2 + =a at aat bAnalogno iztrouglaABD dobijamo ( ), cos22222 2 t |.|

\|+ =a ata at c tj.( ) + + = cos4222 2a at aat c . Sabiranjem (1) i (2) dobijamo 2 2 2 2212 a c b ta + = . 9.Iz 210b ac b a+= . = dobijamoc=a-5.PrimjenjujuiPitagorinuteoremunatrougaoAEDdobijamo( ) ,325 522 2|.|

\|+ = a a odakleje a=18.

Dalje je12 , 8 = = h b , pa je . 156 = P AB C D a/2 a/2 c b ta t- AEB DC h c Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 2828 10. Odredimo koordinate presjenih taaka prave i krunice.Iz jednaine ( ) 1 12 2 2= + x k x dobijamo22 112, 0kx x+= = . Odavdeje( ) 0 , 0 A i |.|

\|+ +2 212,12kkkB .Izuslova2____= AB dobijamo ( ) ( )2141422222=+++ kkk,pa je 12= k , tj.1 = k .Dakle,pravex y = ix y = odsjecajunakrunici( ) 1 12 2= + y xtetivu duine2 . x 12 y=kx y Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 2929 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 06.09.2004. 1.Uprostiti izraz ||.|

\|||.|

\|++ y x y xxyy x y xxy 1 1 1 1. 2.Rijeiti nejednainu5 3 2 + s + x x . 3.Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m jednaina ( ) ( ) m x m x = 2 1 82 ima jednake korijene. 4.Rijeiti jednainu1 1 2 17 7 4 4 4 + + + = + +x x x x x. 5.Rijeiti sistem

247 3 419 3 4log 2 log 2log log= = +y xy x. 6.Rijeiti jednainu 0 cos 3 cos sin 42= x x x . 7.Stranica romba je5 = a , a zbir dijagonala142 1= + d d . Odrediti povrinu romba. 8.Nai uglove trougla ije su stranice date jednainama362 2= +b a ,182 2= b a ,2 : 1 : = c b . 9.Visina i teina linija povuene iz tjemena C trouglaABCdijele ugao kod tjemena C na tri jednaka dijela. Odrediti uglove trouglaABC. 10. Nai jednainu prave koja sadri taku M(3,1) i iji je odsjeak nax osi dva puta vei nego na yosi. Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 3030 Rjeenja: 1. Vrijedi 2 ) 1 ( 11 1 1 1= ==++=||.|

\|||.|

\|++ xyx yy xxyxyx yy xxyy x y xxyy x y xxy ako jey x y x = = = , 0 , 0 . 2. Za |.|

e23, xdata nejednaina je ekvivalentna sa 5 3 2 + s x x ,tj. sa8 > xpa je u ovom sluaju rjeenje|.|

e23, 8 x .Za|.|

e ,23x datanejednainajeekvivalentnasa5 3 2 + s + x x ,tj. sa32s x , pau ovom sluajurjeenje((

e32,23x . Dakle, rjeenje nejednaine je ((

e32, 8 x . 3.Dabijednaina( ) 0 8 2 82= + m x m x imalajednakekorijenemora bitiispunjenuslov0 = D ,tj.( ) ( ) 0 8 32 22= m m .Odavdedobijamo kvadratnujednainu0 260 362= + m m ,ijasurjeenja101 = m i 262 = m . 4. Data jednaina je ekvivalentna sa ( ) ( ) 1 7 7 4 4 4 42 1 3 2 1 = + + x x odakle dobijamo748448741= =|.|

\| x,pa je1 1= x , tj.2 = x . Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 3131 5. Ako uvedemo smjenuv uy x= =log log3 , 4 , uz uslov 0 , 0 > > y x , dobijamo sistem . 247 ) 2 (19 ) 1 (2 2= = +v uv u Iz (2) imamo ( )( ) 247 = + v u v u , pa koristei (1)dobijamo13 = v u . Dakle 1319= = +v uv u odakle lako dobijamo da je3 , 16 = = v u .Vraajui se na smjenu dolazimo do3 3 , 16 4log log= =y x,tj.1 log , 2 log = = y x .Rjeenje sistema je( ) ( ) 10 , 100 , = y x . 6.Data jednaina je ekvivalentna jednaini0 ) 3 sin 4 ( cos2= x x , odakle dobijamo23sin 0 cos = v = x x .Rjeenja jednaine suZ n k n x k xn ke + = = , ,3, 2 ttt . 7.Za povrinu romba koristimoformulu22 1d dP = .Poto je2221 22 2|.|

\|+ |.|

\|=d dadobijamo ( )2 122 122 4 d d d d a + = . Uvrtavajui 2 1d d +iadobijamo 482 1= d d , tj.. 24 = P A B C D d1/2 d2/2a Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 3232 8.Za stranice trugla vrijedi 36 ) 1 (2 2= +b a 18 ) 2 (2 2= b a ( ) 2 : 1 : 3 = c b . Sabiranjem(1)i(2)dobijamo, 54 22= a tj.3 3 = a .Sadaselako dobija3 = b ,azatimiz(3). 6 = c Primjenomkosinusneteoreme dobijamo

bca c b2cos2 2 2 += o ,pa je3to = . Analogno dibijamo6t| =i 2t_ = . 9.UoimodajetrougaoDBC jednakokraki.(Visina ch jeujednoi simetralaugla.)OdavdejeEB DE = ipotoje 2cDB = ,dobijamo 4cEB DE = = . Prematome 43cAE = .IztrouglaEBCimamo chctg4= ,aiztrougla AEC je chctg432 = .Stavljajuixhcc=4iprimjenjujuiformuluza tangens dvostrukog ugla2122tgtgtg= , dobijamo2123xxx= , odakle je 31= x . Dakle, 31= tg , pa je 6t = . Prema tome, ugao 2t_ = .AA C ab c/2 hC tC AB ADAE Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 3333 PotojetrougaoDBC jednakokrakiiugaouC jednak 2 ,tj. 3t, zakljuujemo da je taj trougao jednakostranini, pa je ugao 3t| = . 10.Potojeodsjeaknax osidvaputaveinegonay osi,moemo zapisati jednainu prave u segmentnom obliku . 12= +mymx Poto prava sadri taku M, dobijamo 1123= +m mpa je 25= m . Jednaina prave je0 5 2 = + y x . Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 3434 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 01.07.2005. 1.Pokazati da je 1 0 , 1 11 11 111 1122< < =||.|

\| ||.|

\|+ + ++aa aa aaa aa. 2.Odrediti koeficijente kvadratne jednaine 02= + + q px x tako da njeni korijeni budu piq . 3.Rijeiti nejednainu 3 42 32 31 2312 2+ +++ +s x xxx xxx . 4.Rijeiti jednainu( )x x x x6 3 3 4 92 = . 5.Rijeiti jednainu ||.|

\|+ +|.|

\|=||.|

\|+221 log41111 log2212x x. 6. Rijeiti jednainu 2sin 1cosxx+= . 7.Dokazati identitet xx tg x ctgx2 sin41 2 cos22 2=. 8.Izraunatistraniceiuglovetrouglaakojestranicaa jednaka polupreniku,astranicab prenikuopisanekruniceivisina chjednaka 3. 9.Urombijajestranicaa iotriugao 3tupisanajekrunica.Odrediti povrinupravougaonikaijivrhovileeutakamadodirakrunicesa stranicama romba. 10. Odrediti jednainu sjeice konstruisane iz take A(15,-5)na krunicu 502 2= + y xtako da duina odgovarajue tetive iznosi 10.Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 3535 Rjeenja: 1.Vrijedi ( )( )( ) ( ). 1 0 , 11 1 1 121 1 21 121 11 11 11 11 11 1 1) 1 (1 111 1) 1 ( 1 111 1111 11 111 1122 2 22222 22222< < = = += + +== + + +== ||.|

\| + + ++==||.|

\|||.|

\| + + ++==||.|

\| ||.|

\|+ + ++aaaaaaaaaaa aaaa aa aaaa a aaa aaaaaa a aaa aaa aa aaa aa 2.IzVietovihformuladobijamo. q pq p q p = . = + Izdrugejednaine dobijamo1 0 = v = p q .Za0 = q dobijamo0 = p ,dokza1 = pdobijamo . 2 = q 3.Izuslova0 3 4 0 2 3 0 32 2= + . = + . = x x x x x dobijamodaje nejednainadefinisaneza{ } 3 , 2 , 1 \ R xe .Datanejednainaje ekvivalentna sa ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )03 2 12 1 2 2 3 3 1 2> + + +x x xx x x x x x,odakle sreivanjem dobijamo ( )( )( )03 2 19 6 42> x x xx x.Rjeenje ove nejednaine je( ) + ((

\|+

||.|

e , 345 3 3, 2 1 ,45 3 3x . Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 3636 4.Nakon dijeljenja sa x6dobijamo jednainu 32333223|.|

\|=|.|

\||.|

\|x x x. Nakonsmjene0 ,23> =|.|

\|t txdatajednainapostaje0 312 = +tt ,tj.0 1 3 22= + t t .Rjeenjaovejednainesu1 ,212 1= = t t ,odakle dobijamorjeenja polazne jednaine21log23= x i0 = x . 5. Iz uslova0221 0111 0 0 1 >+ . >+ . > . = x xx xdobijamo da je jednaina definisana za1 > x .Imamo

221log 22log1log2 2 2=+ =+xxxxxxxx pa je 412=+xx.Rjeenje jednaine je. 4 = x 6.Potoje0 sin 1 > + x zasvakirealanbroj,uzuslov0 cos > x ,nakon kvadriranjadobijamojednainux x sin 1 cos 22+ = ,odnosnojednainu 0 1 sin sin 22= + x x .Stavljajui| | 1 , 1 , sin e = t t xdobijamo kvadratnu jednainu0 1 22= +t t , ija su rjeenja21, 12 1= = t t .Za1 sin = x dobijamottk xk22 + = ,aza 21sin = x ,uzuslov 0 cos > x ,dobijamoZ n k n xne t +t= , , 26. Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 3737 7. Vrijedi

( )( )( )( ), 2 sin41cos sinsin cos sin cossin cos cos sinsin cossin cos cos sincossinsincossin cos 2 cos2 2 22 2 2 22 2 2 24 42 2 2 222222 22 2x x xx x x xx x x xx xx x x xxxxxx xx tg x ctgx= =+ ==== uz uslovx x x x sin cos 0 cos 0 sin = . = . = . 8. Iz sinusne teoreme imamoRb2sin=|,tj1 sin = | , pa je.2t| =Takoe jeRa2sin=o, pa je 21sin = o , .6to =Odavde dobijamo da je.3t_ = Iz pravouglog trouglaADC dobijamo bhc= o sin , pa je. 6 = bSada lako dobijamo da je3 = ai3 3 = c . 9.Povrinapravougaonikajexy P 4 = .TrougaoDBC jejednakostranini pajea DB = i 23 aOC = .TrougaoOPCjepravouglipaje 6sin t=OCOP, odakle dobijamo 43 aOP= . A a o hC | c b C B Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 3838 Potojex visinapravouglogtrougla OPC, vrijediEC y EC OE x = =2) 1 ( . Iz pravouglog trouglaEPC je 6ttgECx= , pajex EC 3 = .Uvrtavajuiu(1) dobijamo3 y x = .Sadaprimjenom PitagorineteoremenatrougaoOPE dobijamo 2 2 2OP y x = + ,tj. 163422ay = . Dobijamo 83,83 axay = = .Povrina je163 32aP = . 10. Sjeice na krunicu su tangente na koncentrinu krunicu, poluprenika221050|.|

\| ,tj.nakrunicu252 2= + y x .Izuslovadasjeicasadritaku A(15,-5) i uslova dodira prave i krunice dobijamo sistem ( )2 21 25 15 5 n k n k = + . + = , odakle dobijamo jednainu0 6 82= + k k , ija su rjeenja 0 i 43 . Jednaine sjeica su 0 5 = + y i0 25 4 3 = + y x . O(0,0) A(15,-5) B C A B C D PQ M N O Ex y 6t 6t Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 3939 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 05.09.2005. 1.Uprostiti izraz ||.|

\|+||.|

\|+ ++2 222 23 2:2 b aab aab ab aab aa. 2.Rijeiti nejednainu211s+xx . 3.Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m jednaina ( ) 0 8 2 82= + m x m x ima pozitivne korijene. 4.Rijeiti jednainu 0 3 3 4 32= + x x. 5.Rijeiti jednainu( ) 2 3 271 log3110 log5= + +x. 6.Odrediti ( ) t 2 , 0 e x tako da vrijedictgx xx 25sinsin2= . 7.U jednakokrakom trapezu sa paralelnim stranicamaaibdijagonale se sijeku pod pravim uglom. Odrediti duinu kraka. 8.Nai uglove trougla ije su stranice date jednainama362 2= +c b , 182 2= c b ,2 : 1 : = a c . 9.Visina i teina linija povuene iz tjemena C trouglaABCdijele ugao kod tjemena C na tri jednaka dijela. Odrediti uglove trouglaABC. 10. Nai jednainu prave koja sadri taku M(1,3) i iji je odsjeak nay osi dva puta vei nego na xosi. Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 4040 Rjeenja: 1.Vrijedi ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ). 0 , 0 ,uslove uz ,:::222 223 2223 22 222 23 2= = =+ == ++= + + +==||.|

\|+ +||.|

\|++==||.|

\|+||.|

\|+ ++b a b ab ab a aabb a b ab ab ab a b aa b a ab aa b a ab a b aab aab aab aab aab aab ab aab aa 2.Vrijedi01 x3 - x - 0 211211s+ s + s+xxxx,odakle dobijamo ( | ( ) + e , 1 3 , x . 3.Dabijednainaimalapozitivnekorijene,morabitidiskriminanta nenegativna i zbir i proizvod korijena pozitivni. Dakle, 0 0 02 1 2 1> . > + . > x x x x D. Koristei Vietove formule dobijamo sistem nejednaina ( ) ( ) 0880820 8 32 22>. >. > m mm m .Izprvenejednaineje0 260 362> + m m ,tj.( | | ) + e , 26 10 , m , dokizdrugeitreenejednainedobijamo( ) + e , 8 m .Prematome, korijeni jednaine e biti pozitivni za( | 10 , 8 e m .

4.Uvodeismjenu0, 3 > = t txdobijamokvadratnujednainu

0 3 42= + t t ,ijasurjeenja3 , 12 1= = t t .Odavdedobijamorjeenja polazne jednaine 0 = xi1 = x . 5.Jednaina je definisana za0 > x (jer je0 3 2715> +x).Imamo

( ) ( ).536tj. , 6 5 3 3 1000 3 2713 3 271 log 2 3 271 log3110 log6 5 55 5= = = = + = + = + +x xx xx x Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 4141 6.Nakonmnoenjasax sin ( 0 sin = x )isreivanjadobijamojednainu 0 2 cos 5 cos 22= + x x ,kojasesmjenom| | 1 , 1, cos e = t t x ,svodina kvadratnujednainu0 2 5 22= + t t .Rjeenjaovejednainesu21 , 22 1= = t t .Zboguslova| | 1 , 1 e t ,odbacujemorjeenje 1t ,pa traimorjeenjajednaine 21cos= x kojapripadajuintervalu( ) t 2 , 0 . Dobijamo )`e35,3t tx . 7.PotojetrougaoABOjednakokrakopravougli,ugaoOAB je 4tpaje 2ax = . Analogno dobijamo da je 2by = . Iz pravouglog trouglaAODimamo2 2 2y x c + = , pa je 22 2b ac+= . 8.Vidjeti zadatak 8. od 06.09.2004. 9.Vidjeti zadatak 9. od 06.09.2004. 10. Kao i u zadatku 10. od 06.09.2004. imamo123 112= + . = +m m mymx odakle dobijamo25= m , pa je jednaina prave 0 5 2 = + y x . AB CD O x y cc x y Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 4242 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 04.07.2006. 1.Uprostiti izraz a ab ab ab a b a b a 2121:1 122 22 2 3 3+|.|

\|+ + + . 2.Rijeiti nejednainu. 514xx s 3.Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra k nejednakost ( ) 0 7 2 15 1 4 22 2> + k k x k x

vrijedi za svako realno x. 4.Rijeiti jednainu .913213 5 22xx x |.|

\|= 5.Rijeiti jednainu . 3 log log log2 , 0 25 5= + x x 6.Rijeiti sistem jednaina( ) . 0 1 log0 24 2 32006= = x yy x 7.Rijeiti jednainu3sin2x cos4x 1 = 0. 8.Duinestranicatrouglasua=p2+p+1,b=p2+2p,c=2p+1.Izraunati srednji po veliini ugao tog trougla. 9.U jednakostranini trougao stranice 2cm upisana su 3 jednaka kruga, koji se dodiruju. Svaki od njih dodiruje dvije stranice datog trougla. Odrediti povrinu krivolinijskog trougla odreenog ovim krugovima. 10.Napisatijednainukrunicenajmanjegpoluprenikakojukrunicax2 +y2 -2x-12y+29=0dodirujeiznutra,ikojadodirujepravu x - y - 3 = 0.

Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 4343 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 31.08.2006. 1.Uprostiti izraz 1 ,111 :1111>||.|

\|++ |.|

\| ++ +xxxx x x x. 2.Rijeiti nejednainu212 3sxx. 3.Za koje vrijednosti realnog parametra k oba korijena kvadratne jednaine ( ) 0 3 2 22= + k kx x ksu pozitivna? 4.Rijeiti nejednainu 125 5 124 25 > x x. 5.Rijeiti jednainu 3 log log log31 9 3= + x x .6.Rijeiti sistem jednaina525= + . = + y xxyyx. 7.Dokazati identitetoo o o o22 2 2 2cos1sin sin 2 cos = + + tg . 8.U krugu su date tetivecm AB 4 =icm AC 7 = . One grade ugao od 60 . Izraunati poluprenik krunice. 9.Ujednakokrakipravouglitrougaoupisanjekvadrattakodamudva tjemenapripadajuhipotenuzi,apojednokatetama.Odreditiduinu stranice kvadrata ako je duina katetecm 8 . 10.Napisatijednainukrunicekojajekoncentrinasakrunicom0 5 2 62 2= + + + + y x y xi sadri taku( ) 4 , 1 M . Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 4444 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 21.09.2006. 1.Uprostiti izraz a ab ab ab a b a b a 2121:1 122 22 2 3 3+|.|

\|+ + . 2.Rijeiti nejednainux x s + 1 2 5 3 . 3.Za koje vrijednosti realnog parametra k oba korijena kvadratne jednaine ( ) 0 3 2 22= + k kx x ksu negativna?4.Rijeiti jednainu27 249132 |.|

\|=xx x. 5.Rijeiti jednainu ( ) xx = 3 2 9 log2. 6.Rijeiti sistem jednaina10310= + . = + y xxyyx. 7.Rijeiti jednainu . 0 1 4 cos 2 sin 3 = x x 8.Duinestranicatrouglasu12+ + = p p a ,p p b 22+ = ,1 2 + = p c .Izraunati srednji po veliini ugao tog trougla. 9.U jednakostranini trougao stranicecm 5pisana su 3 jednaka kruga, koji se dodiruju. Svaki od njih dodiruje dvije stranice datog trougla. Odrediti povrinu krivolinijskog trougla odreenog ovim krugovima. 10.Napisatijednainukrunicekojajekoncentrinasakrunicom 0 8 2 82 2= + + y x y xi sadri taku( ) 4 , 1 M . Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 4545 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 10.07.2007. 1.Uprostiti izraz b aabb ab ab aabb ab a+ ++ +3 3 3 3. 2.Rijeiti nejednainu2 3 1 2 > x x . 3.Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m su rjeenja jednaine ( ) 0 2 12= + + mx x m negativna. 4.Rijeiti sistem jednaina. 106 25 914 5 3= += +y xy x 5.Rijeiti jednainu ( ) 0 2 log 1 log 2 log5 25 5= + x x . 6.Rijeiti sistem jednaina( ). 4 log 2 log5 log4 22 22= += +y xy x 7.Dokazati identitet o o o4cos 8 3 2 cos 4 4 cos = + + . 8.Rijeiti jednainu . 0 2 cos 2 sin cos sin 1 = + + x x x x 9.UtrougluABCje3 3 , 6 + = = c b i 4t= o .Izraunatistranicua i ugao| . 10.Krajnje take dui su (-1,4), (1,0). Iz koje se take na simetrali ove dui data du vidi pod pravim uglom? Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 4646 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 30.08.2007. 1.Uprostiti izraz 1 4 411 22 41 2 42 1:1 812 412 2 3+ +|.|

\|+ ++ a a aaa aaaaa. 2.Rijeiti nejednainu2 3 3 1 > + + x x x . 3.Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m su rjeenja jednaine ( ) 0 2 2 1 22= + + mx x mrealna. 4.Rijeiti jednainu ( ) 99 11 11 112+ = x x. 5.Rijeiti sistem jednaina( ) . 2 log576 2 32= = x yy x 6.Rijeiti jednainu32log log log log81 27 9 3= x x x x . 7.Dokazati identiteto o o o2 2 2 2cos cos ctg ctg = . 8.Rijeiti nejednainu21sin2s x . 9.U krugu su date tetive cm AB 4 =icm AC 7 = . One grade ugao od 60 . Izraunati poluprenik krunice. 10.Napisatijednainukrunicekojajekoncentrinasakrunicom 0 5 4 102 2= + + + y x y xi sadri taku( ) 4 , 2 M . Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 4747 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 07.07.2008. Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 4848 Rjeenja: Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 4949 Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 5050 Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 5151 Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 5252 Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 5353 Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 5454 Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 5555 Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 5656 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 27.08.2008. Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 5757 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 11.09.2008. Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. 5858 KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 26.09.2008.