This article was downloaded by: [Florida State University]On: 13 November 2014, At: 05:27Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH,UK

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Etude de la stabilité desmurs en terre armée souschargements sismiquesRanda Abdi a & Isam Shahrour aa Laboratoire de Mécanique de Lille (URA 1441) ,Ecole Centrale de Lille , 59651, Villeneuve d'AscqcedexPublished online: 04 Oct 2011.

To cite this article: Randa Abdi & Isam Shahrour (1997) Etude de la stabilité des mursen terre armée sous chargements sismiques, Revue Française de Génie Civil, 1:3,569-584, DOI: 10.1080/12795119.1997.9692138

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Etude de la stabilitii des murs en terre armbe sous chargements sismiques

Randa Abdi, Isam Shahrour

Laboratoire de Mkcanique ak Lille (URA 1441) Ecole Centrale de Lille 59451 V i l l e m e d'Ascq c e h

&XJML? On propose d'e'tudier la stabilite' des murs en terre arme'e soumis b des sollicitations sismiques dam le cadre de l'analyse pseudo-statique applique'e au mate'riau homoge'dise'. Dans un premier temps, on pre'sente une analyse de la stabilite' de ce type d'ouvrages dans le cadre de la the'orie de I'analyse limite, ensuite on applique la me'thode de Newmark pour I'estimation des de'pacements induits par le chargement sismique afin de disposer d'un critsre & stabilite' sur les diplacements. Les re'sultats obtenus mettent en Cvidence I'apport du renforcement dans l'amilioration de la risistance au se'isme des murs en terre armie.

~ ~ R A C T . We purpose to study the stability of reinforced earth walls subjected t o seismic loading within the framework of conventional pseudo-static analysis applied to homogenous material. Firstly, we present a study of the stability of reinforced earth walls within the framework of the limit analysis. Secondly, we use the Newmark method for the determination of displacement field induced by seismic loading. Results of numerical simulations show a signifcant contribution of the reinforcement in the improvement of the resistance of reinforced walls to seismic loading.

MOTS-CL~S : analyse limite. homoge'niisation, mur, Newmark, pseudo-statique, sismique, stabilite', terre armke. KEY WORDS : homogenization. limit analysis, Newmark, pseudo-static, reinforced earth, seismic, stability, wall.

Revue franqaise de gtnie civil. Volume 1 - no 3/1997, pages 569 il 584

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1. Introduction

Des observations sur des ouvrages dels (Richardson et al., 1977 ; Bastick et Schlosser, 1986) et des experiences sur modtles rtduits (Richardson et Lee, 1975) et a grande echelle (Segrestin et Bastick, 1988) ont montrt la capacite de la terre arm& a rtsister aux vibrations et aux sollicitations sismiques @ce il son caractkre a la fois massif et souple. Ces exp6riences ont donnt des renseignements inttressants sur le comportement dynamique des ouvrages constituts de ce mattriau, en particulier, les modes de rupture, I'tvolution des tractions dans les armatures et le frottement sol- armature.

Au niveau thtorique, on trouve dans la litttrature des analyses du comportement des ouvrages en terre armte il I'aide de la mtthode des tltments finis. On peut ainsi citer les calculs par tldments finis dans le domaine antlastique eflbluds par Udaka qui a dtveloppt le programme SUPERFLUSH et a mis au point avec la socidtt Terre Ann& un modkle pour I'ttude dynamique des murs en terre am& (Segrestin et Bastick, 1988). On cite tgalement les moddlisations par tltments finis rhlis6es par Yogendrakumar et al. (1992) en utilisant deux approches : une approche linhire Quivalente I I'aide du programme QUAD4B et une appmche tlastique incrementale pour modtliser le comportement non lintaire du sol I I'aide du programme TAW-3. Dhouib (1987) a propost de mCme une modtlisation par tltments finis avec trois types d'analyses : lintaire dlastique, lintaire tquivalente et non lintaire. Joshi et al. (1990) proposent de leur c6tt une mtthode d'analyse sous chargements sismiques des murs en terre arm& dans le domaine plastique. Les rtsultats obtenus par ces analyses apportent des informations intdressantes sur les cas traitds, mais la mise en Oeuvre de la mtthode des tltments finis pour des applications pratiques reste lourde et fastidieuse, en particulier si on s'inttresse aux probltmes de stabilitt sous chargement complexe comme le chargement sismique.

Afin de disposer d'un outil plus facile et pratique pour traiter la stabilite des murs en terre armte, on propose d'utiliser une approche basde sur I'analyse pseudo-statique et la thtorie de i'analyse limite. Cette approche a dtt utiliste pour I'ttude de la stabilitt des talus en sol homogtne non m f o d sous chargements sismiques par Chang et al. (1984). Pour compltter leur analyse, les auteurs proposent de dtterminer les ddplacements induits au cows du chargement sismique selon la mtthode de Newmark (1965) ce qui permet de disposer d'un crittre de stabilitt sur les dtplacements.

L'analyse de stabilitt des ouvrages en teme arm& peut &e eff&u& sur le milieu htttroghe ou sur un milieu homogtne tquivalent en utilisant la thtorie de I'homogtntisation. Dans ce travail, notre choix a port6 sur la deuxikme mtthode qui permet de simplifier le probltme initial et dont les bases sont actuellement bien ttablies pour les ouvrages en terre armte (de Buhan 1986 ; Siad 1987 ; de Buhan et al. 1989 ; Abdi et al. 1994).

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Stabilite des mum en terre arm& 571

2. Probkme

0 Y

0 : contrainte axiale des armatures par unitd de surface transversale du massif, 0, - : champ de contrainte dans le sol,

- : champ de contrainte dans le mattriau homogdntist. - -

Figure 1. Homogknkisation de la terre armke : a) Problsme initial, b) Probl6me hornogknkisi

On dtudie le cas d'un mur en terre armte, vertical et non charge en t&te, constitut d'un sol homogtne et isotrope de poids volumique y, dont le critkre de plasticitt est celui de Coulomb avec un angle de httement interne cp et une cohtsion C, redom5 par des lits plans d'armatures distribuds pdriodiquement. On ddsigne par

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0; (respectivement 0:) la rdsistance en traction simple (respectivement en compression simple) d'un lit d'armatures par unit6 de surface transversale. Le contact A l'interface sol-armature est supposd A adherence parfaite. La longueur du mur est supposde grande vis-A-vis de sa hauteur H. L'ouvrage est alors plan et nous le reportons aux axes Ox et Oy (figure la).

L'espacement entre deux lits d'armatures est supposd suffisamment petit vis-A-vis de la hauteur totale du mur. Cette condition est satisfaite lorsque le nombre de lits d'annatures disposts dans l'ouvrage varie de cinq B dix lits et au-deli le recours A une mdthode d'homogdndisation semble alors valable et intdressant. Le mur homogene associd est gtomdtriquement identique au prkddent et subit le mdme mode de chargement, il est constitud d'un matdriau homogene A l'dchelle macroscopique, anisotrope, de poids volumique dgal A celui du sol, et dont le critkre de plasticitd est celui propose par de Buhan (1986) (figure lb). On trouve une presentation du crithre de plasticitd homogdndisd de ce matdriau ainsi qu'une justification de son utilisation dans les r6f-m suivantes : de Buhan (1985), de Buhan et al. (1986), Siad (1987), de Buhan et al. (1989), Abdi (1992), Abdi et al. (1 994).

3. Critere de resistance : acc616ration critique

3.1. Prdsentation du modiYe

Nous considtrons le mdcanisme reprkentd sur la figure 2. Le bloc ABC est animd d'un mouvement de rotation autour du centre 0, de vitesse R comptde positivement dans le sens des aiguilles d'une montre ainsi que l'angle polaire 8. La forme des lignes de discontinuitd en vitesses de ddplacement est une spirale logarithmique. Le choix de la spirale logarithmique est justifid par des raisons de performance et de commoditd. En effet, dans une approche cindmatique par blocs rigides en mouvement, cette surface correspond au meilleur mecanisme (Salenqon, 1983 ; Chen et Liu, 1990 ; de Buhan et Salenqon, 1993). L'tquation de la spirale logarithmique est donnde par :

r = r(e) = ro exp[(e - eo )tgcp] P I

Les grandeurs H et L sont relides aux angles €lo et 8 h par les relations suivantes

P I (cf. figure 2) :

H = q, sin 8 h - ro sin 80

L=rocos8o-q,cos0h [31

Selon I'approche pseudo-statique, l'effet du sdisme est reprdsentd par une fbrce . d'inertie horizontale, ddtermink comme le produit du coefficient sismique K (K= dg, oh a est l'accdldration du stisme et g, l'accdldration de la pesanteur) et du poids du bloc rigide en mouvement W, et appliqude au centre de gravitd du bloc. La distribution de l'accdldration latdrale est suppos& uniforme sur toute la hauteur du mur. Cette hypothese pmi t suffisante pour des applications pratiques (Chen et al., 1978 ; Sawada et al., 1993) et elle est en accord avec des mesures e f fx tuh sur ouvrages (Bastick et Schlosser, 1986).

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Stabilitt des murs en terre armtie

'////////

X

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Figure 2. Illustration du mkcanisme de rupture adopt& et des chargements appliqu&s

Le coefficient sismique K est calculd en appliquant le thdodme des puissances virtuelles :

py"m + ppm = phom disc 141

Le terme Pp"' reprdsente la puissance des forces de la pesanteur dans le mouvement

de rotation du bloc ngide ABC autour du centre 0 ; P?"' est la puissance des forces d'inertie dues au poids du sol. Ces deux termes peuvent s'krire sous la f m e (Chen, 1975 ; Chen et Sawada, 1983) :

Py"" = +(f, - f2 - f3)

ppm = K $ 2 ( f 4 - f5 - f6)

Les expressions des coefficients f1, f2, f3, G, f5 et f6 sont donndes en annexe 2.

[51

Le terme P&T ddsigne la puissance dissipde le long de la ligne de discontinuitd en vitesses, il est donnd par :

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r( e)de cos cp

e

00 P,&' = f nhom([u])dl ; dl = -

ou [d est le vecteur discontinuitd de vitesse. La puissance nhom([u]) est calculte partir du critkre de rdsistance et du matdriau homogdndist dans le plan de Mohr (de Buhan et al., 1989 ; Abdi et Pastor, 1991 ; Abdi et al., 1994). Son expression est donnte par :

+m([ u]) = Z,, [ u], + Znt [ uIt ; [ u] associ6 A z [71

a) O<p<.lr/2-cp

b) ~ / 2 - ~ p 5 p < x 1 2 + ~ p

c) Ir/2+cp<p5a

IA = Q r' sinp

IB = a; sinp

01 = c cotgcp

Figure 3. Crifzre de rksistance du mafiriau homoginiisi

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Stabilitt des murs en terre armte 575

Selon les valeurs de l'angle p que fait la facette avec Ox, nous obtenons trois types de frontikres des domaines de vecteurs contraintes plastiquement admissibles c o m e le montre la figure 3 :

- C ~ S (6) : nhom([u]) est donnte par [S].

En remplapnt les equations [5] et [6] dans l'tquation [4] nous obtenons :

'j xhom([u])dl -$a(fI -f2 -f3)

K = 'O = F(80, Oh [I01 ?$df4 - f5 - f6)

Les valeurs de K trouvtes il partir de l'dquation (10) sont les solutions chtmatiques du coefficient sismique correspondant au mkanisme de rupture. La meilleure valeur chtmatique K, du coefficient K est obtenue pour les valeurs de 80, et ehc qui minimisent la fonction F(eo,eh) en vtrifiant les deux conditions :

Les deux valeurs critiques 80, et ehc permettent de calculer K, i3 partk de :

K, = minF(eo.eh) =F(eO,,eh,) t121

Cette valeur constitue une majoration de la valeur thtorique exacte.

3.2. Application numdrique

Un programme de calcul a dtt ddveloppt en employant le modele ddcrit ci-dessus. Dans cette section, on prtsente une application de ce programme ti l'ttude des cas types de murs en terre armte. Les rdsultats obtenus permettent d'illustrer l'apport du renforcement dans l'amtlioration de la resistance sismique de ce type d'ouvrages.

Dans un premier temps, nous avons traitt le cas d'un mur constitut d'un sol de Coulomb renforct (yHIC = 5 , (p = 30", 0: / C = 0; / C = 1) et celui d'un mur non redom! (yH/C = 5 , (p = 30"). Nous prtsentons sur la figure 4, l'influence du renforcement sur les mtcanismes de rupture et les valeurs du coefficient sismique critique. On note que le renforcement a pour e f f i d'tlargir, d'une manikre sensible, la zone active en rendant la surface de rupture plus profonde et d'augmenter la valeur du coefficient sismique critique qui, suite au renforcement, passe de 0,191 i3 0,614.

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0 A 1 2 1 ' " ' 1 ' " ' I " I

A 1 2 1 ' " ' 1 ' " ' I " I '

...................

................. 0 =79.7' B0 = 56.7"

eh = 70.00

Figure 4. Influence du renforcement sur le mkanisme de rupture et l'accklkration critique

Cette ttude comparative a t t t ensuite rtaliste pour diffkmtes valeurs du parametre adimensionnel yH/C et de l'angle de fiottement interne du sol cp. Les rdsultats obtenus sont illustrts sur la figure 5 . Cette figure met en dvidence l'apport sensible du renforcement dans l'amtlioration de la rtsistance sismique du mur. De mQme, on note un dlargissement du domaine d'utilisation de sols ii faibles valeurs d'angle de fiottement interne cp dans le cas du sol renfod. Les valeurs de K, augmentent comme prtvu avec l'angle de httement interne du sol et diminuent avec le parametre adimensionnel yH/C. Afm de disposer de rdsultats pratiques pour le dimensionnement des murs en terre arm& sous chargement sismique, nous avons ttudit la variation des valeurs cintmatiques du coefficient sismique K, en fonction du paramktre adimensionnel yH / 6, pour une strie de valeun de l'angle de fiottement interne du sol cp dans le cas d'un'mur constitut d'un sol purement frottant (C = 0) renforct par des armatures

dont la resistance en compression est supposde nulle (0 = 0 r, 0 = 0 kPa). Cette hypothese va dans le sens de la stcuritt et parait conforme ii la rtalitt pratique ou les armatures dispostes dans un ouvrage en terre arm& sont flexibles et ont pour fonction de supporter les efforts de traction dtveloppts dans la masse et auxquels le sol ne peut pas resister. Les rtsultats obtenus sont illustrts sur la figure 6. On note que les valeurs du coefficient sismique K, augmentent avec l'angle de fiottement interne du sol, et diminuent avec le parametre adimensionnel yH I 6,.

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0.8

0.7

0.6

0.5

K 0.4

0.3

0.2

0.1

0

C

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

CP" Figure 5. Influence de I'angle de frottement sur I'acce'lkration critique dans le cas d'un sol renforck (0: I C = O; I C = 1) et d'un sol non renforck

2

1 .5

K i C

0.5

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

VWor Figure 6. Variation de I'acctlkration critique avec le rapport yH I or (C = 0, 6, = a,, 6; = 0 ) pour une skrie de valeurs de cp

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4. Critere sur les deplacements

4.1. Prhentation du mod2le

Dans l'analyse pseudo-statique, la force d'inertie est appliqute d'une h p n permanente, mais en rtalitt la rduction de la stabilitt existe uniquement pendant unesourte pdriode pour laquelle cette force est active. Donc, pendant le stisme, le coefficient de stcuritt p u t &re plusieurs fois inftrieur A 1, en induisant ainsi wrtains mouvements sans pourtant causer la rupture du mur. Par consequent, la stabilite doit ddpendre des dtplacements cumulds dtveloppts pendant le stisme plut6t que du coefficient de stcurit6 (Chang et al, 1984). Newmark (1965) a propost 1es tldments de base d'une p r d u r e d'tvaluation des dtplacements dans un talus soumis A des sollicitations sismiques. Dans son analyse, le bloc se ddplace vers le bas sous l'effet des forces d'inertie produites par le stisme. En gtnbral, on determine les acctlbrations du stisme Ki.g A partir de l'a&ltrogramme donne pour des intervalles de temps constants. A l'interieur de chaque intervalle, l'acdldration est supposte linixiire. Le mouvement du bloc dtmarre lorsque l'acdl6ration Ki.g devient plus g m d e que l'acctltration critique &.g (figure 7).

0 0

Figure 7 . Illustration du mouvement du bloc sous chargement sismique : a) forces appliqudes au bloc QU dibut du mouvement ; b) forces appliqudes au bloc en mouvement

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..

Figure 8. Calcul du temps to correspondant au &but du mouvement

L'accel&ation angulaire ei du mecanisme de rupture de la spirale logarithmique est calculee comme suit :

Quand Ki = &, 6 = 0 (figure 7a), nous avons :

O f xhom ([u])dl &

'Fi(fi -f i - f3)+Kc'Fi(f4-ff5-f6)= R

Les equations [ 131 et [ 141 permettent de calculer l'acceltration angulake 6 : * * v:g(Ki - &)(f4 -f5 -fa)

w l 2 8=

1 ttant le bras de levier de la force F (figure 7b).

Pour un seisme donnd, on cherche la premiere acceleration positive 6i pour laquelle le bloc rigide commence se deplacer vers le bas (6i > 0 au temps ti et ei > Kc.g). On calcule alors le temps to pour lequel l'acctleration est nulle (figure 8) :

[I61 6i-l (ti - ti-1 to = ti-1 - .. ..

8i - 8i-1

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La vitesse 6i au temps ti est kgale A :

. 6. ei =-+ti - to) 2

Connaissant 6i, la vitesse i i + l au temps tj+l vaut :

En utilisant la m&me proc&dure, on peut calculer la vitesse A tout instant. On note que le bloc se deplace uniquement vers le bas avec les vitesses positives. Le deplacement de la surface de rupture €++I, au temps tj+l , peut Ctre calcult en se basant sur les acctltrations et les vitesses entre les deux temps ti et ti+l :

4.2. Application nundrique

La mkthode present& ci-dessus a ktk appliquee pour determiner les dkplacements induits aux murs illustres sur la figure 4 par un chargement sismique sinusofdal (figure 9a). Les figures 9b et 9c montrent les dhplacements aux points d'intersection de la surface de rupture avec la surface du massif (point B pour le mur renfod et B' pour le mur non renfod). On note que le renforcement permet une rdduction sensible du dtplacement cumult. En effet, le dkplacement horizontal (respectivement vertical) au point B du mur en sol rerhorcd est de l'ordre de 10 % (respectivement 3 YO) de celui obtenu au point correspondant du mur en sol non renfod (B'). Cet exemple montre que le renforcement du sol apporte une amelioration de la rtsistance au sdisme des murs de soutknement en reduisant d'une manibre sensible les deplacements cumults induits par le seisme.

5. Conclusion

La stabilitd des murs en terre armte a ttk Ctudike d'aprks deux critbres. Le premier porte sur la rksistance, il est bask sur le calcul de I'acceltration critique dans le cadre de l'approche pseudo-statique et sur la mkthode cinematique de l'analyse limite appliqude au materiau homogtntist. Le second est fond6 sur I'estimation du dkplacement induit par le stisme d'aprks la methode de Newmark (1965). L'application de ces critkres sur des cas types a montrk le r61e important du renforcement dans l'amtlioration de la capacitd des murs en terre armte A resister aux sollicitations sismiques.

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0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 TEMPS (8)

(a)

2 0.8 0.6

0

8

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 (8)

(b)

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 -Eh.fPs (6)

(c)

Figure 9. Application de la mtthode de Newmark au rnur pre'sente' sur la figure 4 : a) chargement applique' ; b) comparaison des de'placements horizontam du mur renforce' (point B) el du mur non renforce' (point By illusrris sur la $gure 4 ; c) comparaison des dtplacements verticaux du mur renforcC (point B) et du rnur non renforct (point BY

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Stabilitt des murs en terre armte 583

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Annexe 1

Les tquations de fiontikres des domaines de vecteurs contraintes plastiquement admissibles du mathriau homogtnhisC dans le plan de Mohr, sont donntes pour les cas a, b ou c par (figure 3) :

+ sin2p 2 -Xnntgcp + Znt - (C + 0, (- -sin ptgcp)) = 0 (a. 1) 2 - sin2p 2

-Z,,tgcp-Z,, - ( C + o , (--sin ptgcp))=O (a.2) 2 -Znn cos psin tp + Znt sin psin cp - C cospcos cp = 0 (a.3)

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584 Revue franqaise de genie civil. Volume 1 - no 3/1997

sin2p 2 -Z,,tgcp+Z,, -(C+OF(-- + sin ptgcp)) = 0

-ZnnWP - Znt - (C + Q, (7 + sin2 ptgcp)) = o 2

- sin2p

sin2p 2 -2;,,tgcp + Z,, - (C + OF(-- + sin ptgcp)) = 0

2 + sin2p 2 -Znntgcp-Znt -(C-O, (- + sin ptgcp)) = 0

-Znn cos psin cp - Z,, sin psin cp + Ccospcoscp = 0 2

avec : 2 Z,, = onnS + 6, sin p

C,, = z,,, + Q, sin pcos p

Annexe 2

L fs = -sin2 eo 3r0

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