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UNIVERSITE D’ANTANANARIVO
---------------------------------------
ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE
D'ANTANANARIVO
-------------------------
MENTION SCIENCE ET INGENIERIE DES MATERIAUX
Mémoire de fin d’étude en vue de l’obtention d’un diplôme MASTER II, titre d’Ingénieur
ETUDE DE LA VIBRATION D'UNE POUTRE
MONOCASTRE PAR LA METHODE DES
ELEMENTS FINIS
Présenté par : Monsieur Harilaza RATSIMANISAINANA
Soutenu le 9 décembre 2019
Promotion 2018
UNIVERSITE D’ANTANANARIVO
----------------------------------
ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE
--------------------------
MENTION SCIENCE ET INGENIERIE DES
MATERIAUX
Mémoire de fin d’étude en vue de l’obtention d’un diplôme MASTER II, titre d’Ingénieur
ETUDE DE LA VIBRATION D'UNE POUTRE
MONOCASTRE PAR LA METHODE DES
ELEMENTS FINIS
Présenté et soutenu par : Monsieur Harilaza RATSIMANISAINANA
Président de Jury : Madame Mirana RAZAFIMAHEFA, Maitre de conférences
Rapporteur : Monsieur Faliniaina RASOANOAVY, Maitre de conférences
Examinateurs : Madame Bienvenue RAHELIARILALAO, Professeur Titulaire
Monsieur Hery Mikaela RATSIMBAZAFY, Maitre de conférences
Soutenu le 09 décembre 2019
Promotion 2018
i
TENY FISAORANA
Voaloahany indrindra dia misaotra an’Andriamanitra lehibe aho, noho ni fitahiany sy ny
fitantany ka afaka nanatontosa ity asa ity nandritra ity fikaroana izay natao.
Manaraka izany,fisaorana sy fankasitrahana ho an’
Andriamatoa Professeur titulaire Yvon ANDRIANAHARISON, filoha teo alohan'ny Sekoly
Ambony Politekinika Antananarivo.
Andriamatoa Professeur Rija RAKOTOSAONA, filohan'ny Sekoly Ambony Politekinika
Antananarivo
Ramatoa Docterur Mino Patricia RANDRIANARISON, mpapianatra sy pikaroka ary
lehiben’ny “mention Science et Ingenierie des Materiaux”
Andriamtoa Docteur Faliniaina RASOANOAVY, mpampianatra pikaroka ,nanaiky ho
“encadreur” hanoro sy hitarika anatontosa ity asa ity.
Ireo mpampianatra izay nanaika ho “examinateur”:
• Ramatoa Bienvenue RAHELIARILALAO, Professeur titulaire eto amin'ny Sekoly
Ambony Politekinika Antananarivo
• Ramatoa Mirana RAZAFIMAHEFA, Maitre de conférences eto amin'ny Sekoly
Ambony Politekinika Antananarivo
• Andriamatoa Hery Mikaela RATSIMBAZAFY, Maitre de conférences eto amin'ny
Sekoly Ambony Politekinika Antananarivo
Ny ray aman-dreny sy ny fianakaviana ary ireo namanana nanampy akaiky tamin’ny
fanatanterahana ity asa ity.
ii
REMERCIEMENTS
Dieu tout puissant m’ayant donné la foi, la force et l’intelligence, je rends d’abord grâce
à sa bénédiction divine que j’ai pu parvenir à ce stade de ma vie.
Monsieur Yvon ANDRIANARISON, Professeur Titulaire et Ancien Directeur de l’Ecole
Supérieure Polytechnique d’Antananarivo ;
Monsieur Rija RAKOTOSAONA, Professeur et Directeur de l’Ecole Supérieure
Polytechnique d’Antananarivo ;
Madame Mino Patricia RANDRIANARISON, Maitre de conférences à l’Ecole Supérieure
Polytechnique d’Antananarivo, et Chef de la Mention Science et Ingénierie des Matériaux, qui a
bien voulu m’autoriser à soutenir ce présent mémoire ;
Monsieur Faliniaina RASOANOAVY, Maitre de conférences et Encadreur de ce mémoire,
qui m’a accordé ses précieux temps, ses conseils et ses critiques constructives malgré ses
nombreuses fonctions ;
Mes vifs et profonds remerciements s’adressent aussi aux membres de Jury composés de :
• Madame Bienvenue RAHELIARILALAO, Professeur Titulaire à l’Ecole
Supérieure Polytechnique d’Antananarivo ;
• Madame Mirana RAZAFIMAHEFA, Maitre de conférences à l’Ecole Supérieure
Polytechnique d’Antananarivo ;
• Monsieur Hery Mikaela RATSIMBAZAFY, Maitre de conférences à l’Ecole
Supérieure Polytechnique d’Antananarivo.
Mes remerciements vont enfin à toute personne qui a contribué de près ou loin à
l’élaboration de ce travail.
iii
SOMMAIRE
REMERCIEMENTS
NOTATIONS
LISTE DES TABLEAUX
LISTE DES FIGURES
INTRODUCTION
PARTIE 1 : ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
Chapitre I : PLANCHER VIBRANT
PARTIE 2 : METHODOLOGIE
Chapitre II. MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUES
PARTIE 2 : SIMULATION NUMERIQUE
Chapitre III. RESULTAT
CONCLUSION GENERALE
BIBLIOGRAPHIE
WEBOGRAPHIE
SOURCE
TABLE DES MATIÈRES
iv
NOTATIONS
[𝐴] : Matrice associée à la fonction de déplacement
𝐴 : Matrice symétrique
𝛼1 : Constantes utilisées dans la fonction de déplacement
𝛼 𝑒𝑡 𝛽 : coefficient
[𝐵] : Matrice reliant les déformations de l'élément à ses déplacements nodaux
[C] : matrice de coefficient d’élasticité
[𝐷] : Matrice d'élasticité
𝑑𝑑𝑙 : Degré De Liberté
𝐸 : Module d'Young en [GPa]
ε : Déformation en [mm]
e : Épaisseur en [mm]
휀𝑥,휀𝑦, 휀𝑧: Déformations directes en [mm]
휀 ̿: tenseur de déformation
휀𝑖𝑗: tenseur indice de déformation
𝐹 : force en [N]
{F} : Vecteur des forces nodales
[𝐻] : Matrice reliant contraintes et déplacements
I : Deuxième moment de l’aire
𝐽𝛼𝛽: Transformation de Jacobi
𝐾𝑖𝑗: Terme de [K] situé sur la ligne i de la colonne f
[K] : Matrice de rigidité
L : Longueur en [m]
𝑀𝐸𝐹: Méthode d’éléments finis.
𝜆 𝑒𝑡 𝜇 : coefficient de lamé de matériau
{δ} : Vecteur des déplacements nodaux
[ ] : Désigne une matrice
[ ]T: Transposée d'une matrice
[ ]-1 : Inverse d'une matrice
𝑁 : fonction de forme
𝜌 : masse volumique en [Kg.m-3]
𝑃. 𝑃. 𝑉 : Principe de puissance virtuelle
R : résidu
v
t : temps en [s]
u, v : Déplacements le long des axes x, y et z
𝜈 : coefficient de poisson
{𝑈} : vecteur déplacement
V : vecteur vitesse en [m.s-1]
𝑥 : variable de l’abscisse
𝑋 : grandeur lagrangienne
𝑦 : variable des ordonnées
𝑧 : déplacement suivant la hauteur
W : fonction de pondération
𝜎 : Contrainte en [N.m-2]
𝜎𝑥,𝜎𝑦, 𝜎𝑧 : Contraintes directes en [N.m-2]
𝜎 : tenseur de contrainte
Π : matrice donnant les valeur prises par les monômes de la base polynomiale
𝜋 : fonctionnel
𝛿 : opérateur variationnel
vi
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1 : Paramètres de la plaque .......................................................................................... 5
Tableau 2 : Paramètres du raidisseur ......................................................................................... 7
Tableau 3 : Paramètres de la membrane ................................................................................... 8
Tableau 4 : Paramètres modaux identifiés numériquement ................................................... 12
Tableau 5 : Fréquences propres identifiée .............................................................................. 17
Tableau 6 : Variables d’optimisation ........................................................................................ 21
Tableau 7 : Fréquences propres ............................................................................................... 22
Tableau 8 : Références des appareils utilisés pour les analyses modales ............................... 24
Tableau 9 : Paramètres des analyses modales expérimentales .............................................. 25
Tableau 10 : Fréquences propres du gong inferieures à 600 Hz, avec les nombres 𝒌, 𝒏 de cercles (𝒌) et de rayons (𝒏) nodaux. ....................................................................................... 28
vii
LISTE DES FIGURES
Figure 1 : Cuve équipée de modules vibrants - source [2] ......................................................... 3
Figure 2 : Vue schématique complète du système- source [2] .................................................. 4
Figure 3 : Déformées modales de la plaque obtenue numériquement- source [2] .................. 6
Figure 4 : Déformées modales du raidisseur - source [2] .......................................................... 7
Figure 5 : Caractérisation de la raideur de la membrane .......................................................... 8
Figure 6 : Balourds montés sur le moteur - source [2] .............................................................. 9
Figure 7 : Méthode de réglage de l’intensité des vibrations produites par un vibrateur industriel - source [2] ................................................................................................................. 9
Figure 8 : Caractérisation de la raideur des ressorts - source [2] ............................................ 10
Figure 9 : Modèle multicorps de l’assemblage d’un module (MSC Adams) - source [2] ......... 11
Figure 10 : Définition des points de mesure de performance du système - source [2] .......... 12
Figure 11 : Mesure des participations modales au point d’acquisition 1 ................................ 13
Figure 12 : Mesure des participations modales au point d’acquisition 2 ................................ 13
Figure 13 : Algorithme d’identification de la base modale - source [2] ................................... 14
Figure 14 : Matrice des fonctions de transfert entre les forces excitatrices et les accélérations mesurées - source [2] ............................................................................................................... 15
Figure 15 : Définition de l’ensemble des points d’acquisition - source [2] .............................. 16
Figure 16 : MAC calculé entre un ensemble de modes identifiés et lui-même - source [2] .... 18
Figure 17 : Fréquences propres et déformées modales avant la procédure d’optimisation du modèle numérique - source [2]................................................................................................ 20
Figure 18 : Schéma théorique et photographie du tam-tam du laboratoire - source [1] ........ 23
Figure 19 : Schéma expérimental utilisé pour l’analyse modale du gong - source [1] ............ 24
Figure 20 : Moyenne des DSPs pour les P x P points de mesure. (—) : Expérience 1, excitation au centre du gong, (- -) expérience 2, excitation `a 100 mm du centre - source [1] ............... 27
Figure 21 : Fréquences modales en fonction du nombre de rayons nodaux. (- -) : mesurées, () : calculées par EF - source [1] ................................................................................................... 28
Figure 22 : Déformées et fréquences modales du gong, expérimentales (colonnes de gauche) et numérique par EF (colonne de droite) - source [1] ............................................................. 29
Les déformées modales expérimentales sont tracées à partir des DSP des signaux, si bien que les ventres supérieurs et inférieurs sont représentés en positif, avec les mêmes coloris. ..... 29
Figure 23 : Structure treillis ...................................................................................................... 32
Figure 24 : Présentation de commande de MATLAB ............................................................... 58
Figure 25 : Editeur de script mode de programmation ........................................................... 59
Figure 26 : Maillage de l'élément Q4 ....................................................................................... 59
Figure 27 : La pulsation de la première à la trentième valeur ................................................. 63
Figure 28 : Algorithme des valeurs propres ............................................................................. 65
1
INTRODUCTION
Pour évaluer les caractéristiques vibratoires dans la conception des produits, des pièces
mécaniques et des structures, l’ingénieur a besoin de modèle qui lui permettent de simuler le
comportement dynamique de systèmes physiques complexes. Il peut ainsi prévoir l'influence
de ses décisions au moment de la conception du système.
Les sciences de l'ingénieur (mécanique des solides et, thermique, etc.) permettent de
décrire le comportement des systèmes physiques grâce à des équations aux dérivées partielles.
La méthode des éléments finis est l'une des méthodes les plus utilisées aujourd'hui pour
résoudre effectivement ces équations. Elle nécessite l'utilisation intensive de l'ordinateur.
C'est une méthode très générale qui s'applique à la majorité des problèmes rencontrés
dans la pratique : problèmes stationnaires ou non stationnaires, linéaires ou non linéaires,
définis dans un domaine géométrique quelconque à une, deux ou trois dimensions.
La méthode des éléments finis consiste à utiliser une approximation simple des variables
inconnues pour transformer les équations aux dérivées partielles en équations algébriques.
En effet l’utilisation des éléments finis a champs de déplacement pour l’analyse statique,
non linéaires et vibratoire connait une certaine extension fantastique qui va de pair avec
l’évolution de l’industrie. Dans le contexte d’avoir de bons résultats dans l’analyse structurale,
l’ingénieur à besoin de plus en plus aux outils numériques de simulation par éléments finis à la
place de outils de prototypage ou expérimentale qui sont très couteux.
Le premier lieu introduit les concepts et mettre en valeur l’aspect d’importance de notre
étude, cela à travers quelque extrait d’étude déjà existante. Le second lieu rappelle les équations
de base utilisée pour le problème de mécanique de milieu continue et puis les détails sur les
différentes méthodes à employer : méthode pour l’analyse numérique et la méthode de
diagonalisation. Enfin sera le travail personnel au programme conçu sur matlab dans lequel aura
l’établissement d’un couplage de méthode.
2
ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
3
Chapitre I : Plancher vibrant [8]
I. État de l’art
La modélisation du comportement dynamique de structures à vibrations actives est
nécessaire pour étudier les phénomènes vibratoires et optimiser leurs performances au cours de
leurs fonctionnements. La connaissance du comportement permet d’optimiser le mode de
déformation de la structure afin d’en optimiser les performances. L’analyse des systèmes
multicorps est désormais un outil standard pour l’accélération de nouveaux produits,
notamment dans le secteur de l’automobile. Ce type d’analyse consiste en la modélisation du
comportement dynamique de corps rigides ou flexibles interconnectés par des liaisons
mécaniques et soumis à de grands déplacements en translation et en rotation. Dans cette partie
nous allons voir quelques travaux qui ont faits appel à ces éléments, dans le premier lieu l’étude
de vibration et l’aspect de la méthode numérique, enfin l’étude abordera la méthode
expérimentale qui est complémentairement à celle que la numérique.
II. Présentation du système : vibration
Cette section présente les diverses phases nécessaires à la création d’un modèle numérique
robuste de simulation du comportement dynamique d’une structure.
Le système étudié est un module de plancher vibrant rectangulaire de 2700mm x 1700mm
(Fig.1).
Figure 1 : Cuve équipée de modules vibrants - source [2]
II.1. Méthode numérique
Le système peut se diviser en plusieurs sous-systèmes (Fig.2) :
• Une tôle de 3mm d’épaisseur sur laquelle repose les éléments granulaires stockés ;
4
• Quatre rangées de ressorts sur lesquelles la tôle repose ;
• Un raidisseur en tôle pliée de 3mm d’épaisseur dont la fonction est de diriger les
vibrations dans la longueur de la tôle ;
• Une sous-plaque de 3mm d’épaisseur placée sous le raidisseur ;
• Un moteur vibrant à balourds dont la fonction est de créer les vibrations du système ;
• Une membrane dont le but est de relier la tôle au cadre ;
• Un cadre en profilé sur lequel sont montées les différentes séries de ressorts ;
• Des plaques de polystyrène pour le remplissage du cadre.
Figure 2 : Vue schématique complète du système- source [2]
1. Modélisation de la plaque
La plaque est la partie du module vibrant qui sert de support au milieu granulaire. Son
épaisseur a été définie suffisamment petite afin d’assurer sa déformation lors de la mise en
vibration du moteur.
5
Tableau 1 : Paramètres de la plaque
La discrétisation adoptée pour la modélisation de la plaque n’est pas uniforme. Afin
d’assurer un meilleur rendu du comportement au niveau de la zone en contact avec le raidisseur,
cette dernière a été maillée en utilisant un affinage deux fois plus important que sur le reste de
la pièce.
L’utilisation d’éléments SHELL63 pour la modélisation de plaque est standard. Cette
dénomination dans Ansys correspond à des éléments à quatre nœuds avec six degrés de libertés
à chaque nœud : trois translations et trois rotations selon les axes x, y et z.
À partir de ce modèle de plaque, il est possible d’en caractériser le comportement dynamique
par analyse modale. On peut ainsi déterminer les fréquences propres de la pièce ainsi que ces
déformées modales associées (Fig.2). Le tableau (2) recense les valeurs des fréquences propres
et les descriptions des déformées modales associées. La plaque est laissée libre en ses bords
pour cette étude.
6
Figure 3 : Déformées modales de la plaque obtenue numériquement- source [2]
Les déformées modales numéros 1, 2 et 5 correspondent aux déformées fondamentales.
L’ensemble des autres déformées modales est une combinaison linéaire de ces 3 ci. Les valeurs
associées à m, n et t correspondent respectivement au nombre de déformées élémentaires selon
les directions x, y et z. À partir de ces trois paramètres il est ainsi facile de caractériser le mode
de vibration associé à une fréquence propre.
2. Modélisation du raidisseur
➢ Description
Le raidisseur est la partie du module qui a pour but d’apporter une maîtrise de l’onde
vibratoire du système en l’orientant.
7
Figure 4 : Déformées modales du raidisseur - source [2]
On peut observer que le nombre de modes propres déterminés sur la plage de fréquences 0
à 100Hz est bien inférieur à celui observé pour la plaque. Cela s’explique par le design de la
pièce qui a été pensé pour répondre à deux fonctions. Premièrement, réduire et maitriser le
comportement vibratoire du système en fonctionnement en rendant le module vibrant plus
rigide dans sa largeur. Deuxièmement, rigidifier localement la tôle au niveau de la fixation du
moteur.
Tableau 2 : Paramètres du raidisseur
Propriétés matériaux du raidisseur
Paramètre Symbole Valeur Unité
Densité / Masse volumique 𝑒𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒 1120 kg/m3
Module d’Young E 15 MPa
Coefficient de Poisson 𝑒𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒 0.25 NA
Épaisseur de plaque 𝑒𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒 3 mm
Propriétés géométriques du raidisseur
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur 𝐿𝑟𝑎𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠𝑒𝑢𝑟 1120 mm
Largeur 𝑒𝑝𝑙𝑎𝑞𝑢𝑒 1500 mm
Épaisseur 𝑒𝑝𝑙𝑎𝑞𝑢𝑒 3 mm
Paramètres de discrétisation
Paramètre Symbole Valeur Unité
Type d’éléments de maillage SHELL63* No unit
Taille de maillage 20 mm
8
3. Modélisation de la membrane
➢ Description
La membrane est la partie du système qui assure une liaison souple entre la plaque (partie
flexible du module) et le cadre (partie rigide qui permet d’assurer l’assemblage du module à la
cuve).
Tableau 3 : Paramètres de la membrane
Propriétés de la membrane
Paramètre Symbole Valeur Unité
Densité / Masse volumique 𝑒𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒 1120 kg/m3
Module d’Young E 15 MPa
Coefficient de Poisson 𝑒𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒 0.25 NA
Épaisseur de plaque 𝑒𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒 3 mm
Il n’est pas possible de caractériser le comportement dynamique d’un élastomère par Analyse
Modale Expérimentale. Ses propriétés élastiques ont donc été mesurées par essais de traction.
Figure 5 : Caractérisation de la raideur de la membrane
La caractérisation du module d’Young a été faite par test de traction (Fig.5). Il a ainsi été
possible de caractériser la contrainte en fonction de la déformation imposée. D’après la formule
𝜎 = 𝐸휀, le module d’Young est facilement identifiable en calculant la pente de la courbe.
On observe que cette relation varie en fonction de la vitesse de sollicitation, cependant cet
effet va être négligé par la suite en se situant dans le cas le plus critique. On obtient ainsi un
module d’Young de 15.10-3 GPa. L’ensemble des paramètres de la membrane sont consignés
dans le tableau 3.
9
4. Modélisation du moteur
➢ Description
Le moteur est la partie du système qui apporte une excitation. Sa rigidité étant largement
supérieure aux différentes autres entités du système, il est donc admissible de le considérer
comme un assemblage des pièces rigides bâti et arbre-balourd.
Figure 6 : Balourds montés sur le moteur - source [2]
Il est possible de régler l’intensité des vibrations par modification du réglage angulaire de
l’une des masselottes par rapport à l’autre afin de modifier la force résultante totale 𝐹𝑏𝑎𝑙𝑜𝑢𝑟𝑑
(Fig.7).
Figure 7 : Méthode de réglage de l’intensité des vibrations produites par un vibrateur industriel - source [2]
5. Modélisation des ressorts
➢ Description
Les ressorts ont une fonction de support de la tôle. Ainsi, en fonctionnement, la répartition
de ressort assure le fait que la tôle ne vienne pas en contact avec la structure du silo.
10
Figure 8 : Caractérisation de la raideur des ressorts - source [2]
La caractérisation de la raideur a été faite par test de compression (Fig.8 b). Le principe de
ce test est d’appliquer une vitesse de déplacement constante, dans le sens de la compression,
tout en mesurant l’effort de compression induit. On observe ainsi que l’angle de pente de la
courbe reste constant par rapport au déplacement imposé. La raideur des ressorts est donc
indépendante du déplacement. Cet essai a été reproduit pour différentes vitesses de déformation
avec pour résultat d’obtenir la même pente de courbe. La raideur des ressorts est donc également
indépendante de la vitesse de déplacement et définie par la valeur 𝑘𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡 = 590Nm−1.
Ces derniers vont être modélisés par des éléments de jonction entre la tôle et le sol (partie
rigide) avec une raideur verticale.
6. Modélisation du système assemblé
Afin de rendre compte du comportement dynamique du système le choix de simulation du
système s’est tourné vers l’utilisation de logiciel MSC Adams.
Les interfaces qui régissent les interactions entre les sous-ensembles du système peuvent être
décrites de la manière suivante :
• Liaison tôle - moteur : encastrement aux points de boulonnages ;
• Liaison tôle - membrane : liaisons pivots ;
• Liaison tôle - raidisseur : liaison complète ;
• Liaison tôle - sol : éléments ressorts ;
• Liaison membrane - sol : encastrement.
Pour des raisons de temps de calcul, les pièces {tôle et raidisseur} ont été modélisées comme
étant collées.
11
Ce choix est motivé par la volonté de minimiser les contacts entre les pièces flexibles, dont
les algorithmes de détection sont coûteux en ressources de calcul. Le modèle est paramétrable
pour être facilement adapté aux différentes configurations qui peuvent être demandées.
Figure 9 : Modèle multicorps de l’assemblage d’un module (MSC Adams) - source [2]
II.2. Résultats
L’objectif de cette section est de déterminer l’efficience du système à partir de son modèle
de simulation. Des critères d’évaluation de cette efficience sont définis en fonction des
paramètres considérés comme ajustables du système (fréquence d’excitation du moteur, sens
de rotation des balourds, masse des balourds). Le critère de performance du système est
caractérisé par la capacité du système à provoquer l’écoulement du milieu granulaire.
On suppose que la déstabilisation du milieu granulaire est directement liée au mode de
vibration appliqué ainsi qu’à l’amplitude de mouvement induit.
12
Figure 10 : Définition des points de mesure de performance du système - source [2]
Tableau 4 : Paramètres modaux identifiés numériquement
Mode
NO
Fréquences propres
Non-amorties [Hz]
Amortissement
modale
Description de la
déformée modale
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.52
8.47
12.48
12.40
16.47
18.96
22.58
24.58
25.75
28.07
0.47
0.24
0.17
0.09
0.15
0.10
0.09
0.08
0.10
0.10
m = 1 ; n = 1
m = 2 ; n = 1
m = 1 ; n = 2
m = 3 ; n = 1
m = 3 ; n = 2
m = 4 ; n = 1
m = 1 ; n = 3
m = 4 ; n = 2
m = 5 ; n = 1
m = 3 ; n = 3
13
Figure 11 : Mesure des participations modales au point d’acquisition 1
Figure 12 : Mesure des participations modales au point d’acquisition 2
III. Méthode expérimentales
Le développement d’un modèle numérique complexe requiert la collecte de données
obtenues expérimentalement qui pourront servir d’éléments de comparaison et de recalage afin
d’assurer la validité du modèle numérique proposé. Il est possible de réaliser une caractérisation
expérimentale du système moteur à l’arrêt afin d’identifier une base modale de référence
permettant d’investiguer les propriétés dynamiques du système en fonctionnement.
III.1. Description
L’estimation des paramètres modaux à la suite d’un test expérimental permet d’analyser le
comportement dynamique de la structure qui peut être difficile à modéliser analytiquement. Les
méthodes d’identification dans le domaine fréquentiel se basent sur le traitement de la fonction
de transfert, ou la FRF, entre l’excitation et la réponse vibratoire. La démarche générale pour
obtenir les paramètres modaux est présentée sur la figure 13.
14
Figure 13 : Algorithme d’identification de la base modale - source [2]
• Fonction
Le comportement dynamique du système d’étude peut être représenté par une matrice des
fonctions de transfert [𝐻(𝜔)]. Cette matrice est obtenue expérimentalement à partir des mesures
des signaux des réponses vibratoires et des forces d’excitation. Cette matrice est présentée dans
la figure 14 pour le cas général des réponses vibratoires (avec 𝑖 = 1,… , 𝑠) et e forces
d’excitations (avec 𝑗 = 1,… , 𝑒).
15
Figure 14 : Matrice des fonctions de transfert entre les forces excitatrices et les accélérations mesurées - source [2]
Les caractérisations dynamiques expérimentales utilisant un marteau d’impact comme source
d’excitation ont certains avantages qui les rendent largement appliquées dans les tests modaux.
En effet, la facilité et la rapidité de la prise en main du sonnage par marteau d’impact, et son
faible coût par rapport à d’autres sources d’excitation comme le pot vibrant, en font les
principaux avantages.
Cependant, cette méthode comporte des limitations quant à la force appliquée et la gamme
de fréquences étudiée. Il est important de bien sonner la structure perpendiculairement à la
surface du point d’excitation. Afin de palier à ces sources d’incertitudes, durant le test modal,
le choc est répété 3 fois, et le traitement des données est réalisé sur la moyenne des signaux
enregistrés. Le signal enregistré, à partir de l’impact du marteau, est similaire à une impulsion
forte de très courte durée. Il est alors convenu d’appliquer une fenêtre exponentielle sur ce
signal afin d’éviter le problème de fuite spectrale.
Le choix du positionnement des accéléromètres sur la structure représente un enjeu
important du test modal. En effet, la détermination des positions optimales contribue à
l’obtention d’une meilleure représentation du comportement dynamique de la structure.
Plusieurs techniques existent pour déterminer l’emplacement optimal des capteurs.
En se basant sur une étude préliminaire du comportement modal du système obtenu
numériquement, il est possible de déterminer pour un ensemble de fréquences propres les
points physiques qui sont sujets aux plus hautes amplitudes de vibration.
Le choix de la position des capteurs est alors réalisé en prenant un ensemble de 40 degrés
de libertés (ddl) sur la structure représentant au mieux son comportement dynamique. Cet
ensemble de points de mesure est le même que celui qui a été précédemment défini pour la
caractérisation du comportement de la tôle.
La modélisation expérimentale consiste à sonner la structure et à mesurer les réponses
vibratoires de chaque point de mesure (40 ddl selon l’axe Z) avec des accéléromètres. De cette
expérimentation est déduite une matrice de transfert carrée :
16
[𝐻(𝜔)] = (𝐻11 … 𝐻1𝑑⋮ ⋱ ⋮
𝐻𝑑1 … 𝐻𝑑𝑑
) (1)
La fonction de cohérence est utilisée pour déterminer les FRFs fiables. En effet, elle mesure le
degré de linéarité en fréquence entre le signal de sortie et le signal d’entrée. Une valeur proche
de 1 indique que le signal vibratoire mesuré provient de l’excitation appliquée. Si la valeur est
très inférieure à 1, cela veut dire que le signal de sortie est contaminé par le bruit, et ne provient
pas uniquement du signal d’excitation.
La fonction de cohérence s’écrit sous la forme suivante :
Γ�̈�𝐹 =𝑆𝐹�̈�(𝜔)𝑆�̈�𝐹(𝜔)
𝑆𝐹𝐹(𝜔)𝑆�̈��̈�(𝜔) (2)
Avec 𝑆𝐹𝐹(𝜔) et 𝑆�̈��̈�(𝜔) qui sont respectivement les auto-spectres du signal d’excitation et du
signal vibratoire, et 𝑆𝐹�̈�(𝜔) et 𝑆�̈�𝐹(𝜔) leur inter-spectres.
Figure 15 : Définition de l’ensemble des points d’acquisition - source [2]
17
Tableau 5 : Fréquences propres identifiée
Mode
No.
Fréquences propres
Non-amorties [Hz]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.688
8.601
13.21
15.567
19.691
21.297
24.044
24.525
27.073
30.132
39.955
44.201
51.539
62.591
84.953
93.906
Le Modal Assurance Criterion (MAC) (critère de forme) a été calculé entre l’ensemble des
modes identifiés présentés dans le tableau 5 et lui-même afin de vérifier qu’il n’y ait pas de
modes identifiés deux fois, et afin d’évaluer la corrélation entre ces derniers (Fig.16)
représente le pourcentage de corrélation entre 0% (bleu) et 100% (rouge)
18
Figure 16 : MAC calculé entre un ensemble de modes identifiés et lui-même - source [2]
Bien que la complexification des modèles numériques s’accompagne d’une amélioration de la
qualité des quantités calculées, celle-ci entraine inéluctablement une augmentation des sources
potentielles d’incertitudes. De nombreuses études viennent illustrer le fait que, aussi précis et
avancé soit un modèle numérique, il ne pourra jamais restituer la réponse réelle du système
qu’il représente à cause des fluctuations naturelles des spécimens d’un système qui entraînent
des fluctuations sur les réponses dynamiques de ces spécimens. Par conséquent, une stratégie
de quantification des incertitudes doit être incorporée aux modèles numériques complexes afin
de les rendre plus robuste par rapport aux incertitudes.
Plusieurs sources d’incertitudes peuvent affecter un modèle numérique :
− Incertitudes liées aux paramètres du système sont dues à un manque de connaissance ou à
une variabilité naturelle de ces paramètres induite par les tolérances de fabrication ou
pouvant apparaître durant le cycle de vie du système. Ces variabilités des paramètres du
système peuvent aussi être liées au fait qu’une famille de systèmes quasi-identiques est
souvent modélisée par un modèle générique construit à partir d’une configuration nominale
représentant toutes les configurations possibles du système étudié. Dans la littérature, les
incertitudes dues à un manque de connaissance et les incertitudes liées à une variabilité
naturelle sont parfois respectivement appelées incertitudes épistémiques et incertitudes
aléatoires.
− Une deuxième source d’incertitude est liée au chargement appliqué sur le système.
19
Ces incertitudes peuvent, elles aussi, être liées à un manque de connaissance ou à une
fluctuation statistique naturelle (comme un chargement sismique ou des forces turbulentes
induites par le vent).
Ces deux premiers types d’incertitudes sont souvent appelées incertitude de paramètres dans
la littérature. Nous adopterons cette notation.
− Une troisième source d’incertitude est liée aux erreurs de modélisation induites par
exemple par l’utilisation d’une cinématique réduite, par le choix d’une loi de
comportement élastique simplifiée, par un maillage grossier, etc. Ce type d’incertitude
sera appelé incertitude de modélisation.
Enfin, une quatrième source d’incertitude concerne la variabilité expérimentale. Celle-ci
est à prendre en considération en corrélation calcul/essai pour la validation ou le recalage d’un
modèle à partir de mesures expérimentales.
• Fonction objective
Du fait des résultats préalablement obtenus lors des sections précédentes par développement
d’un modèle numérique du système et par caractérisation expérimentale du comportement
dynamique de ce dernier, le Critère d’Assurance Modale (Modal Assurance Criterion – MAC)
est défini comme fonction objectif en fonction des vecteurs modaux obtenus par simulation
𝜙𝑠et les vecteurs modaux obtenus par mesure 𝜙𝑚.
𝑀𝐴𝐶(𝜙𝑚, 𝜙𝑠) =(𝜙𝑚
𝑇 𝜙𝑠)2
(𝜙𝑚𝑇 𝜙𝑚)(𝜙𝑠
𝑇𝜙𝑠) (3)
III.2. Méthodologie
Les stratégies d’évolution sont des méthodes d’optimisation métaheuristique qui
appartiennent à la classe des algorithmes évolutionnaires. Elles permettent la résolution de
problèmes non-linéaires ou non-convexes dans le domaine continu. Le principe est le suivant :
pour chaque génération (itération), les nouveaux individus (candidats solutions) sont générés
par recombinaison de certains parents actuels (de manière stochastique). Quelques individus
candidats sont ensuite sélectionnés pour devenir parents dans la génération suivante. La
sélection, qui subit une mutation, est basée sur une valeur de convenance (valeur d’une fonction
objective). Ainsi, au fil des générations, les individus générés sont, au regard de la fonction
objectif, meilleurs.
Le processus d’optimisation sélectionné pour cette étude est l’algorithme CMA-ES
(Covariance Matrix Adaptation – Evolution Strategy). Cette méthode a été introduite au milieu
des années 90
20
III.3. Résultats
À l’aide du logiciel Matlab, il a été possible de définir un algorithme de commande du
code de calcul Ansys, défini pour la structure d’un module vibrant. Ainsi, un ensemble de
variable a été défini dont les valeurs vont être piloté par l’algorithme d’optimisation.
Figure 17 : Fréquences propres et déformées modales avant la procédure d’optimisation du modèle numérique - source [2]
La figure présente les fréquences propres et les déformées modales associées.
Afin de comparer les résultats obtenus expérimentalement et numériquement, la méthode des
moindres carrés est adoptée.
𝑆(𝑥) = ∑ (𝑦𝑒𝑥𝑝 − 𝑓(𝑥))2
𝑏𝑎 (4)
Avec [a, b], le domaine de fréquence de comparaison.
21
Tableau 6 : Variables d’optimisation
Variables Valeur
initiales
Variations
possible (%)
Valeurs obtenues
Après
optimisations
Variation (%)
Ep. du raidisseur
Ep. de la plaque
Ep. de la membrane
E tôles
𝑣 tôles
𝜌 tôles
E membrane
𝑣 membrane
𝜌 memnbrane
0.3 ∗ 10−3
0.3 ∗ 10−3
0.3 ∗ 10−3
2.1 ∗ 1011
0.3
7800
2.5 ∗ 107
0.11
1120
15
15
15
15
15
15
15
15
15
0.255 ∗ 10−3
0.255 ∗ 10−3
0.33647 ∗ 10−3
1.785 ∗ 1011
0.255
8970
2.47 ∗ 107
0.1186
1071.26
-15
-15
12.16
-15
-15
15
-1.2
7.8
-4.35
Afin d’assurer un recalage du modèle numérique le plus précis, on limite le critère de
comparaison des fréquences propres aux dix premières valeurs. Une variation possible de 15%,
par rapport aux valeurs de référence, a été réglée sur les paramètres à optimiser. Ainsi, après
utilisation du code d’optimisation CMA-ES, on obtient les valeurs de paramètres consignées
dans le tableau 4. Les fréquences propres du modèle, obtenues après optimisation, sont
contenues dans le tableau 6.
22
Tableau 7 : Fréquences propres
Numéro de
fréquence
Fréquences propres
Expérimentales
[Hz]
Fréquences propres
numériques
initiales [Hz]
Fréquences propres
numériques
initiales [Hz]
Écart
(%)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.688
8.601
13.245
15.567
19.691
21.297
24.044
25.525
27.073
30.132
39.955
44.201
51.539
62.591
84.953
93.906
4.5203
8.4695
12.4775
12.4011
16.4721
18.9651
22.5781
24.5781
25.753
28.0714
31.3132
32.4675
32.4675
34.4799
34.8629
35.5571
6.203
8.7403
14.128
16.167
17.351
21.956
27.471
28.128
29.495
30.570
31.300
35.305
35.600
41.116
44.648
46.311
6.07
1.62
6.67
3.91
-11.88
3.09
14.25
10.20
8.95
1.45
-21.66
-22.13
-30.93
-34.31
-47.44
-50.68
Le tableau ci-dessus présente les fréquences propres du système obtenues après optimisation.
On peut observer que pour les 10 premières fréquences propres on peut obtenir de bons
résultats. Pour les fréquences propres qui suivent on observe, au niveau des résultats obtenus
expérimentalement, de gros gaps entre les valeurs qui n’arrivent pas à apparaitre sur les valeurs
numériques après optimisation. Il faudrait voir si le problème ne pourrait pas venir d’un
problème au niveau du traitement des résultats expérimentaux. Attention, les valeurs de
fréquences propres obtenues par optimisation viennent d’une optimisation basée sur les dix
premiers modes : d’où la facilité pour le programme d’arriver à cette convergence sur les
fréquences propres basses et pas du tout sur les suivantes.
23
IV. Analyse des vibrations d’un gong [1]
Pour utiliser de d´développements mathématiques, les phénomènes principaux mis en jeu
dans les vibrations du gong sont mesurés, et une première analyse en est dégagée.
IV.1. Le gong
Figure 18 : Schéma théorique et photographie du tam-tam du laboratoire - source [1]
Le gong du laboratoire sur lequel les mesures et analyses ont ´été effectuées est un tam-tam
chinois, dont le profil, la vue de face et une mise en situation sont présentes sur Fig.18. Sa
géométrie idéalisée est celle d’une coque `a symétrie de révolution, de diamètres extérieur 640
mm et d’épaisseur 2 mm. La surface supérieure est plate sur les 3/4 du diamètre, puis faiblement
conique sur l’extérieur. Un anneau de 30 mm de large rigidifie la structure.
La géométrie ci-dessus est idéalisée, car le gong présente une structure fortement martelée,
d’´épaisseur peu homogène (la moyenne est 2 mm). Il parait avoir en premier lieu ´été forgé `a
chaud, puis martèle, ce qui lui confère un aspect brut, sauf sur une partie annulaire qui `a fait
l’objet d’un tournage par enlèvement de matière, dont l’aspect est brillant (Fig.18). Ainsi, il est
clair que le matériau, du bronze, n’est pas homogène (on peut penser que la partie martelée est
écrouie en surface).
En utilisation en conditions normales de jeu, le gong est suspendu dans un portique au moyen
de deux cordages de nylon (Fig.18). L’instrument est alors frappé en son centre au moyen d’une
mailloche de feutre, et on obtient alors le son caractéristique de ce genre d’instruments.
24
IV.2. Analyse modale expérimentale
Figure 19 : Schéma expérimental utilisé pour l’analyse modale du gong - source [1]
Tableau 8 : Références des appareils utilisés pour les analyses modales
Synthétiseur de signal Oros Carte OR 25.4 II
Amplificateur de puissance Crown Macrotech 2400
Vibromètre LASER Ometron VPI sensor
Des analyses modales expérimentales ont ´été menées sur le gong au Laboratoire de
Mécanique Physique1. Le principe de ces analyses est le suivant : le gong est suspendu par ses
deux cordages de nylon. Il est mis en vibration par le système bobine/aimant décrit en annexe
A, qui permet d’imposer une force proportionnelle au signal d’intensité qui parcourt la bobine.
Une somme de sinusoïdes à phases aléatoires (“random multisine” en anglais) est choisie
comme signal d’excitation de la structure. Son expression mathématique est :
𝑠(𝑡) = 𝑆𝑚 ∑ 𝑠𝑖𝑛(2𝜋(𝑓𝑚 + 𝑘Δ𝑓 + 𝜑𝑘)) 𝑎𝑣𝑒𝑐 Δ𝑓 =𝑓𝑀−𝑓𝑚
𝑁
𝑁𝑘=0 (5)
On choisit les fréquences minimum 𝑓𝑚et maximum 𝑓𝑀, le pas fréquentiel Δ𝑓 ; la phase de
chaque sinusoïde est choisie aléatoirement. La réponse en vitesse de la structure est mesurée en
chacun des points de coordonnées (𝑥𝑖, 𝑦𝑗) , (𝑖, 𝑗) ∈ {1…𝑃}2d’une grille carrée de points et de
largeur le diamètre extérieur du gong (640 mm). Ces signaux, notes 𝑣(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗: 𝑡)sont
échantillonnés à la fréquence 𝑓𝑒 = 2𝑓𝑀. La densité spectrale de puissance (DSP), moyennée
fois, estimée à partir de la transformée de Fourier à temps discret (TFTD) sur N points (calculé
par l’algorithme de Transformée de Fourier Rapide, FFT), de chacun des P x P signaux de
vitesse 𝑣(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗: 𝑡) est :
𝐺𝑣(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗; 𝑓𝑘) =2
𝑁𝑓𝑒[1
𝑄∑ |𝑉(𝑥𝑖, 𝑦𝑗; 𝑓𝑘)𝑞|
2𝑄−1𝑞=0 ] (6)
Où 𝑉(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗; 𝑓𝑘)𝑞 _ est la TFTD suivante :
25
𝑉(𝑥𝑖, 𝑦𝑗; 𝑓𝑘)𝑞 = ∑ 𝑣(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗; 𝑛∆𝑡 + 𝑞𝑡)𝑒
−2𝑖𝜋𝑛𝑘
𝑁𝑁𝑘=0 (7)
Avec les fréquences discrètes, le pas d’échantillonnage et
𝑇 = 𝑁. ∆𝑡 la longueur de la fenêtre temporelle.
À partir des DSP précédentes, on obtient deux types de représentations :
– une DSP globale de la structure étudiée, obtenue par moyennage des DSPs précédentes sur
les points de mesure. Elle s’écrit :
𝐺𝑣(𝑓𝑘) = ∑ ∑ 𝐺𝑣(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗; 𝑓𝑘)𝑝−1𝑗=1
𝑃−1𝑖=1 (8)
Tableau 9 : Paramètres des analyses modales expérimentales
La Fig. 20 représente la moyenne des DSPs pour les deux expériences, pour les fréquences
inferieures à 600 Hz. Les déformées modales associées à chacun des pics sont représentées dans
la figure ci-dessous. Un calcul des déformées modales du gong, modélise par la méthode des
éléments finis (EF.) implantée dans le code de calcul CASTEM 2000, fournie une comparaison, et
permet de mieux identifier les différentes d´déformées.
Avant toute chose, on peut remarquer que la moyenne des DSP issue de l’expérience 1
(excitation au centre) fait intervenir principalement les modes axisymétriques, alors que l’autre
(excitation décalée du centre) offre des réponses de modes asymétriques non n´négligeables, ce
qui était attendu. Le gong sujet du calcul par EF est à symétrie de révolution, à épaisseur
constante, de matériau homogène et isotrope dont les constantes d’élasticité ont été choisies de
sorte que les fréquences propres calculées se rapprochent au mieux des fréquences propres
mesurées 𝜌 = 8420 𝑘𝑔.𝑚−3 ,
𝐸 = 120 𝐺𝑃𝑎 , 𝑣 = 0,3. Les d´déformées modales issues de ce calcul, que l’on peut qualifier
de théoriques, possèdent des lignes nodales qui se répartissent en _ diamètres et _ cercles
concentriques.
On peut classer les modes en deux groupes.
- Les déformées modales du premier groupe ne déforment que la surface supérieure du
gong, avec le bord et la collerette qui subit un mouvement de solide rigide. Ces modes
26
ressemblent aux modes d’une plaque circulaire à bord encastré, et la collerette du gong a
ici un effet rigidifiant. Ce sont les modes de plaque.
- Les autres d´déformées, classées dans le deuxième groupe, ne font intervenir que le bord
du gong et sa collerette, si bien que les modes correspondants seront appelés modes de
bord.
D’autre part, certains modes ne possèdent pas de rayons nodaux, ce qui leur confère une
déformée axisymétrique. Les autres, qualifies d’asymétrique, sont toujours associes par deux.
Si la structure est à parfaite symétrie de révolution, matérielle et géométrique, à chaque
fréquence propre associée à une déformée modale asymétrique correspond deux modes propres.
Mathématiquement, la recherche des fréquences et déformées modales d’une structure se
caractérise par un problème aux valeurs propres. Les propriétés de symétrie produisent des
valeurs propres de multiplicité 2, qui correspondent aux fréquences des modes asymétriques.
27
Figure 20 : Moyenne des DSPs pour les P x P points de mesure. (—) : Expérience 1, excitation au centre du gong, (- -) expérience 2, excitation `a 100 mm du centre - source [1]
28
Tableau 10 : Fréquences propres du gong inferieures à 600 Hz, avec les nombres 𝒌, 𝒏 de
cercles (𝒌) et de rayons (𝒏) nodaux.
Les valeurs sont spécifiées avec une tolérance de ±∆𝑓
2= 0,6 𝐻𝑧.
Figure 21 : Fréquences modales en fonction du nombre de rayons nodaux. (- -) : mesurées, () : calculées par EF - source [1]
29
Figure 22 : Déformées et fréquences modales du gong, expérimentales (colonnes de gauche) et numérique par EF (colonne de droite) - source [1]
Les déformées modales expérimentales sont tracées à partir des DSP des signaux, si bien que les ventres supérieurs et inférieurs sont représentés en positif, avec les mêmes coloris.
30
IV.3. Analyse en régime forcé
La première difficulté rencontrée lors de l’analyse de ces systèmes est que le support spectral
de l’excitation due à la mailloche (ou à une baguette, dans le cas de cymbale, par exemple) en
régime libre est à large bande. De ce fait, un grand nombre de modes sont excites
simultanément, ce qui rend la réponse de la structure complexe, et ainsi difficile à étudier.
L’idée est donc d’étudier les structures soumises à une excitation forcée monofréquentielle.
Il est alors plus aisé de mettre en évidence et d’étudier différents régimes de vibration non-
linéaires (périodiques, quasipériodiques, chaotiques), et les transitions entre ces différents
régimes, appelées bifurcations. Un autre avantage primordial des études en régime forcé est que
les caractéristiques (amplitude, fréquence) du signal d’excitation sont facilement contrôlables,
et donc reproductibles, conditions difficiles à réunir dans le cadre d’une excitation
impulsionnelle. De plus, la réponse en régime forcé de la structure devient rapidement
permanente (lorsque le régime transitoire s’est éteint du fait de l’amortissement), ce qui laisse
tout le temps n´nécessaire pour effectuer les mesures, alors qu’en régime libre, la réponse de la
structure n’est jamais permanente.
On peut noter enfin que la réponse du gong en excitation forcée monofréquentielle possède
de grandes similitudes avec celle du gong frappé avec une mailloche, en termes de timbre et de
richesse spectrale, ce qui valide d’autant plus ces études. Cela a déjà ´été noté dans le cas d’une
cymbale dans, et se vérifie très bien à l’écoute.
IV.4. Détails expérimentaux
Le gong est mis en vibration par le système bobine/aimant et déjà utilisé lors des analyses
modales expérimentales précédemment évoquées. L’aimant est collé au centre du gong au
moyen de cire d’abeille. Une sinusoïde, de fréquence est amplifiée, puis envoyée à la bobine.
Comme le signal délivré par le synthétiseur n’est pas purement sinusoïdal, un filtre passe-bas
est inséré à l’entrée de l’amplificateur. Une mesure de l’intensité du courant parcourant la
bobine permet d’obtenir une estimation de l’amplitude de la force imposée à la structure.
Les vibrations de la structure sont mesurées par un accéléromètre, d délivrant l’accélération
du point où il est collé, et un vibromètre laser calculant la vitesse du point sur lequel le Laser
est dirigé, par effet Doppler. L’intérêt du vibromètre est que celui-ci offre une mesure sans
contact, et donc qu’aucune masse additionnelle ne perturbe la réponse de la structure (ce qui est
le cas avec un accéléromètre).
En revanche, une mesure d’accélération est intéressante car elle est liée à la pression
acoustique en champ proche, et donne donc une idée plus précise du timbre de l’instrument. Le
31
signal de l’accéléromètre est échantillonné et enregistré par un magnétophone DAT, pour être
ensuite traité.
31
METHODOLOGIE
32
Chapitre II. MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUES [2] [3]
[4] [6] [7] [9] [10] [11] (Matériaux isotropes et élastiques)
I. Méthode des éléments finis
I.1. Définition
La méthode des éléments finis est une technique d'analyse numérique qui permet d'obtenir
des solutions approchées dans une large variété de problèmes d'ingénieries. Tout au début cette
méthode était développée pour étudier les structures complexes.
Un grand nombre de structures utilisées par les ingénieurs sont composées d'une réunion de
parties indépendantes reliées entre elles par des points. Nous appellerons de telles structures
des « structures treillis », les points auxquels les parties indépendantes sont reliées étant
communément appelés nœuds
Figure 23 : Structure treillis
➢ Principes de la MEF :
• La MEF est basée sur une idée simple : subdiviser (discrétiser) une forme complexe en
un grand nombre de sous domaines élémentaires de forme géométrique simple
(éléments finis) interconnectés en des points appelés nœuds.
• Nous considérons le comportement mécanique de chaque élément séparément, puis
nous assemblons ces éléments de telle façon que l’équilibre des forces et la compatibilité
des déplacements soient satisfaits en chaque nœud.
• La MEF utilise des approximations simples des variables inconnues dans chaque
élément pour transformer les équations aux dérivées partielles en équations algébriques.
• Les nœuds et les éléments n’ont pas forcement de signification physique particulière,
mais sont basés sur des considérations de précision de l’approximation.
33
I.2. Rappel sur la mécanique des milieux continues
Voici la notation utilisée :
Le repère fixes : 𝑅(𝑂, 𝑥1𝑥2𝑥3) avec 𝑖, 𝑗, 𝑘𝜖{1,2,3} et 𝛼, 𝛽, 𝛾 𝜖{1,2}
La résolution d’un problème de structure consiste à étudier trois champs vectoriels ainsi que
la relation :
On note u(x) le champ de déplacement
34
𝑢(𝑥) = {
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑤 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) (9)
Le champ de déformation 휀(𝑥) est :
휀(𝑥) = [
휀11 휀12 휀13휀21 휀22 휀23휀31 휀32 휀33
] =
[ 휀11휀22
휀332휀12
2휀132휀23]
(10)
Et le champ des contraintes 𝜎(𝑥) noté :
𝜎(𝑥) = [
𝜎11 𝜎12 𝜎13𝜎21 𝜎22 𝜎23𝜎31 𝜎32 𝜎33
] =
[ 𝜎11𝜎22
𝜎33𝜎12
𝜎13𝜎23]
(11)
Les équations d’équilibre montrent sous forme de :
𝑑𝑖𝑣(�̿�) + 𝑓 = 𝜌�⃗� (12)
Et qui se simplifie dans le cas de la statique à :
𝑑𝑖𝑣(�̿�) + 𝑓 = 0⃗⃗ (13)
I.3. La déformation
Nous considérons 𝑀0 = {
𝑥0𝑦0𝑧0} un point dans la configuration de départ et
𝑀′0 = {
𝑥0 + 𝑑𝑥0𝑦0 + 𝑑𝑦0𝑧0 + 𝑑𝑧0
} (14)
Un point voisin. Suite au changement il se transforme respectivement en
𝑀 = {
𝑥 = 𝑥0 + 𝑢𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑧 = 𝑧0 + 𝑤
} (15)
Et
𝑀 = {𝑥′ = 𝑥 + 𝑑𝑥𝑦′ = 𝑦 + 𝑑𝑦
𝑧′ = 𝑧 + 𝑑𝑧
} (16)
35
Ce qui donne la configuration suivante :
Nous pouvons mettre en place la relation entre les déplacements et les déformations
𝑥 = 𝑥0 + 𝑢(𝑥𝑜, 𝑦0) (17)
𝑢(𝑥0 + 𝑑𝑥0, 𝑦0 + 𝑑𝑦0) = 𝑢(𝑥0, 𝑦0) +𝜕𝑢
𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)𝑑𝑥0 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0)𝑑𝑦0 (18)
(𝑥 − 𝑥0) + (𝑑𝑥 − 𝑑𝑥0) = (𝑥 − 𝑥0) +𝜕𝑢
𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)𝑑𝑥0 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0)𝑑𝑦0 (19)
𝑑𝑥 = (1 +𝜕𝑢
𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)) 𝑑𝑥0 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0)𝑑𝑦0 (20)
Ce calcul peut être effectué pour les autres composantes dy, dz, et écrit sous la forme
matricielle suivante :
[𝑑𝑋] = (𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
) = (𝐼𝑑 + [𝑑𝑈])[𝑑𝑋0] = 𝑑𝑈 + ([휀] + [Ω]) (21)
Où [휀] =1
2|𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑈) + 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑈)𝑇|
[Ω] =1
2|𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑈) − 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑈)𝑇| (22)
Le tenseur des déformations H on montre alors que s'écrit d'une façon générale :
[�̿�] = [휀] +1
2([휀] − [Ω])([휀] + [Ω]) (23)
Il suffit de prendre la partie linéaire de H dans le cadre des petites perturbations (faible
rotation, faible déplacement).
[�̅�] = [휀] (24)
Le tenseur des déformations [휀] est symétrique par construction, il est défini positif et donc
il a des valeurs propres réelles. Ces directions principales sont orthogonales. On les détermine
à l'aide d'un cercle de Mohr et des mesures obtenues sur une rosette à 45°.
I.4. Contrainte
Dans le cas où le vecteur normal est colinéaire à un vecteur de base, on a �⃗� est la contrainte
dans le solide sur la facette de normal �⃗⃗� donc 𝜎𝑖𝑗 ou i correspond à la direction de la normal j à
la composante dans le plan de la facette.
36
▪ Invariant du tenseur des contraintes
Pour définir un certain nombre d'invariant sur une matrice et donc sur le tenseur des contraintes.
Les trois premiers invariants sont :
𝐽1 = 𝑇𝑟|𝜎| = 𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎33 = 𝜎𝑖𝑖 (25)
𝐽2 =1
2((𝐽1)
2 + 𝑇𝑟|𝜎2|) (26)
𝐽3 = 𝐷𝑒𝑡|𝜎| = 𝜎1𝜎2𝜎3 (27)
𝜎𝑖𝑗 est un tenseur symétrique défini positif et donc ses valeurs propres sont réelles,
Notée : 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3. Il est facile de montrer que les directions principales sont orthogonales.
▪ La loi de comportement
On peut écrit que les tenseurs de contrainte dépendant linéairement Hook : des déformations.
Nous allons ici nous intéresser seulement au matériau élastique linéaire et donc à la loi de
�̿� = �̿̿�. 휀 ̿ (28)
L est le tenseur d’ordre 4, mais comme le tenseur des déformations et des contraintes sont
symétriques, en utilisant une représentation la représentation vectorielle des champs de
déformation et de contrainte, on a :
𝜔 =1
2(𝐿𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑘𝑙) (29)
𝜕𝜔
𝜕𝜀𝑖𝑗= 𝜎𝑖𝑗 ⇒
𝜕2𝜔
𝜕𝜀𝐼𝐽𝜕𝜀𝑘𝑙= 𝐿𝑖𝑗𝑘𝑙 =
𝜕2𝜔
𝜕𝜀𝑘𝑙𝜕𝜀𝑖𝑗= 𝐿𝑘𝑙𝑖𝑗 (30)
𝜔 est la densité d’énergie de déformation interne
Pour un matériau anisotrope aucune direction privilégiée, le matériau macroscopiquement
homogène. On applique ce modèle à la plupart des matériaux comme l’acier, béton et plastique,
etc.
▪ La loi de comportement s’écrit :
𝜎𝑖𝑗 = 𝜆휀11𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇휀𝑖𝑗 (31)
Les coefficients des matériaux 𝜆𝑒𝑡𝜇 sont les coefficients de Lamè
En utilisant 휀11 =𝐹
𝐸 , il est facile de montrer que le module d’Young E est égal à :
𝐸 =𝜇(3𝜆+2𝜇)
𝜆+𝜇 (32)
En posant classiquement on déduit le coefficient de poison est :
𝑣 =𝜆
2(𝜆+𝜇) (33)
Nous pouvons récapituler ces quantités :
𝜆 =𝑣𝐸
(1−2𝑣)(1+𝜇) (34)
𝜇 =𝐸
2(1+𝜇) (35)
37
𝐾 =𝐸
(1−2𝑣)𝑜ù 𝑣 =
1
2 (36)
En inversant la loi de Hook, et en introduisant les relations précédentes on obtient :
휀𝑖𝑗 =1+𝑣
𝐸𝜎𝑖𝑗 −
𝑣
𝐸𝜎𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 (37)
I.5. Méthode énergétique en élasticité
Ainsi d'obtenir une formulation plus compacte et donc facile à discrétiser, les différentes
formulations énergétiques permettent de faire une synthèse de ces trois éléments constitutifs
d'un problème de structure. Ce sont ces formulations qui sont à la base des méthodes par
éléments finis.
▪ Le théorème des puissances virtuelles
Soit D le domaine,𝑓 les forces de volume, �⃗� les forces de surfaces.
Les champs virtuels vérifiant 𝑢 ∗ (𝑥) = 𝑢𝑑∀𝑥𝜖𝐷𝑢 sont dit cinématiquement admissible, noté
C.A.
Le principe des Puissances Virtuelles s’écrit sous forme :
∀𝑢∗(𝑥)𝜖 C. A. {0}
𝑃𝑖𝑛𝑡𝑢∗(𝑥) + 𝑃𝑒𝑥𝑡𝑢
∗(𝑥) = 𝑃𝑎𝑐𝑐𝑢∗(𝑥) (38)
Où 𝑃𝑖𝑛𝑡(𝑢∗(𝑥)) = −∫ 𝑡𝑟(𝜎(𝑥). 휀∗(𝑥))
𝐷𝑑Ω
𝑃𝑖𝑛𝑡(𝑢∗(𝑥)) = ∫ 𝑓(𝑥). 𝑢∗
𝐷(𝑥)𝑑Ω + ∫ 𝐹(𝑥). 𝑢∗
𝐷𝐹(𝑥)𝑑S
𝑃𝑖𝑛𝑡(𝑢∗(𝑥)) = ∫ (𝜌
𝑑2(𝑢∗(𝑥))
𝑑2(𝑡))𝑢∗
𝐷(𝑥)𝑑Ω
▪ Formulation P.P.V.
Nous allons définir les différentes relations permettant d'écrire un problème complet
d'élasticité isotherme statique.
➢ La loi de comportement :
휀𝑖𝑗 = M𝑖𝑗𝑘𝑙𝜎𝑘𝑙 noté 휀 = M. σ (39)
Où 𝜎𝑖𝑗 = L𝑖𝑗𝑘𝑙𝜎𝑘𝑙 noté 𝜎 = L . ε
Les tenseur L et M ont des propriétés de symétrie
➢ Les conditions aux limites :
{𝑢(𝑥) = 𝑢𝑑(𝑥), ∀𝑥 𝜖𝐷𝑢𝐹(𝑥) = 𝐹𝑑(𝑥), ∀𝑥 𝜖𝐷𝐹
(40)
La loi de comportement dans l'écriture du P.P.V. introduisant, on obtient :
∀𝑢∗(𝑥)𝜖 C. A.
∫ 𝑡𝑟(𝐋. 𝛆(𝒙). 𝜺∗(𝒙))𝑑Ω = ∫ 𝑓(𝑥). 𝑢∗(𝑥)𝐷𝐷
𝑑Ω + ∫ 𝐹(𝑥). 𝑢∗(𝑥)𝐷𝐹
𝑑𝑆 + ∫ (𝜎. 𝑛)𝑢𝑑∗(𝑥)(𝑥)𝑑𝑆
𝐷𝑢 (41)
38
(𝜎. �⃗⃗�) sont les réactions inconnues le long de la surface, ou du bord, ayant un déplacement
imposé. Aussi pour éliminer ces inconnues nous allons choisir un champ de déplacement virtuel
cinématiquement admissible à zéro. En prenant un tel champ il est possible de réécrire la
puissance virtuelle des efforts extérieurs, qui dans ce cas est réduite à la puissance des efforts
donnés
𝑃𝑒𝑥𝑡(𝑢∗(𝑥)) = 𝑃𝑑𝑜𝑛𝑛(𝑢
∗(𝑥)) = ∫ 𝑓(𝑥). 𝑢∗(𝑥)𝑑Ω + ∫ 𝐹(𝑥). 𝑢∗(𝑥)𝐷𝐹
𝑑𝑆𝐷
(42)
Il est possible de montrer que ∫ 𝑡𝑟(𝐋. 𝛆(𝒙). 𝜺∗(𝒙))𝑑Ω𝐷
est une forme bilinéaire symétrique
en 𝑢(𝑥)et 𝑢∗(𝑥).
I.6. Énergie Potentielle
L'énergie de déformation élastique par unité de masse ou densité d'énergie de déformation
élastique, notée (휀) , est une fonction telle que la loi de comportement s'écrive :
𝜎 = 𝜌𝜕𝜔
𝜕𝜀= 𝐿휀 (43)
Le tenseur des contraintes σ dérive d'un potentiel, 𝜔(휀).
𝜌𝜕𝜔 = 𝜎𝑖𝑗𝜎휀𝑖𝑗 = 𝑡𝑟(𝜎. 𝜕휀) (44)
Déterminons 𝜔(휀) :
𝜌𝜕𝜔 = 𝜎𝑖𝑗𝜎휀𝑖𝑗 = L𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑘𝑙𝜕휀𝑖𝑗 = L𝑖𝑗𝑘𝑙𝜕휀𝑖𝑗휀𝑘𝑙 (45)
Nous faisons apparaître ici seulement la partie due à un chargement mécanique car nous
sommes dans un isotherme. Dans un cadre plus général il est facile de montrer qu'il s'écrit de la
façon suivante :
𝜌𝜕𝜔 = 𝜎𝑖𝑗𝜎휀𝑖𝑗 = L𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑘𝑙𝜕휀𝑖𝑗 − L𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑘𝑙𝑡ℎ𝜕휀𝑖𝑗 = L𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑘𝑙𝜕휀𝑖𝑗 − 𝜎𝑖𝑗
𝑡ℎ𝜕휀𝑖𝑗 (46)
Calculons :
𝜕 (1
2L𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑖𝑗휀𝑘𝑙) =
1
2(L𝑖𝑗𝑘𝑙𝜕휀𝑖𝑗휀𝑘𝑙 + L𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑖𝑗𝜕휀𝑘𝑙) = L𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑖𝑗𝜕휀𝑘𝑙 = 𝜌𝜕𝜔 + 𝜎𝑘𝑙
𝑡ℎ𝜕휀𝑖𝑗
Donc 𝜌𝜔(휀) =1
2L𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑖𝑗휀𝑘𝑙 − 𝜎𝑖𝑗
𝑡ℎ휀𝑖𝑗 (47)
On appelle énergie potentielle la fonctionnelle suivant :
Π𝑑(𝑢) = W(𝑢) − P𝑑(𝑢) (48)
Formulation
𝑢(𝑥) 𝜖 C. A{𝑢𝑑}
𝛿(Π𝑑(𝑢)) = 0 ⟺ 𝑃. 𝑃𝑉
Cette formulation est très adaptée aux méthodes de discrétisation de type Gallerkine ou Ritz.
Elle est généralement le support pour la méthode par élément finis.
39
I.7. Formulation mixte
Les méthodes en déplacement sont précises pour trouver u(x), mais moins précises pour
trouver les contraintes. Les méthodes en contraintes sont très séduisantes car précises en
contrainte donc en déplacement, mais elles sont quasiment impossibles à mettre en œuvre. D'où
l'idée de mettre en place une fonctionnelle en (𝑢, 𝜎) , pour cela il suffit d'introduire des
multiplicateurs de Lagrange.
On rappelle que le problème :
𝛿𝑓(𝑢) = 0 avec n contraintes et 𝑔𝑖(𝑢) = 0
Est équivalent à :
𝛿(𝑓(𝑢) − 𝜆𝑖𝑔𝑖(𝑢)) = 0 (49)
Car 𝛿(𝑓(𝑢) − 𝜆𝑖𝑔𝑖(𝑢)) = 𝑓(𝛿𝑢) − 𝜆𝑖𝑔𝑖(𝛿𝑢) − 𝛿𝜆𝑖𝑔𝑖(𝑢) = 0 (50)
Et donc :
{𝑓(𝛿𝑢) − 𝜆𝑖𝑔𝑖(𝛿𝑢) = 0
𝑔𝑖(𝑢) = 0 (51)
On n'a plus à imposer les conditions𝑔𝑖(𝑢) = 0, elles deviennent des conséquences de
𝛿𝑓(𝑢) = 0
II. Technique de résolution
II.1. Principes généraux
Une structure en élément de forme donnée on découpe : triangle, quadrilatère, tétraèdre
Puis on cherche des solutions comme une C.L. de fonctions données sur chaque élément et non
plus sur la structure complète comme Ritz ou Gallerkine. La méthode par éléments finis
correspond donc à une méthode de Ritz ou Gallerkine par morceau. L'ensemble de tous les
éléments constitue Maillage.
II.2. Matrice élémentaire
II.2.1. Approximation des déplacements
Sur chaque élément, nous prenons ici une interpolation linéaire des déplacements :
{𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3𝑦
𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑎4 + 𝑎5𝑥 + 𝑎6𝑦 (52)
Et
[𝑈] = [𝑢(𝑥, 𝑦)
𝑣(𝑥, 𝑦)] = [
1 𝑥 𝑦 0 0 00 0 0 1 𝑥 𝑦]
[
𝑎1𝑎2𝑎3
𝑎4𝑎5𝑎6 ]
(53)
Les cordonnées d'un point de l'élément considéré sont (𝑥, 𝑦) . Nous pouvons le réécrire de la
façon suivante :
40
[𝑈]𝑒 = [𝑃(𝑥, 𝑦)𝐼 𝑎]𝑒 (54)
II.2.2. Approximation nodale
L'approximation des déplacements à partir uniquement des coefficients des polynômes
d'interpolation n'a pas de sens physique évident. Aussi pour des raisons de compréhension, on
exprime les déplacements sur un élément à partir des déplacements de ces sommets, ou d'autre
point de la figure, appelé Nœud. Nous allons développer un exemple avec un triangle à trois
nœuds.
Élément triangle à trois nœuds
Les déplacements, ou les inconnues, en chacun des nœuds sont appelés degré de liberté (ddl),
noté [Q] :
[Q] = [𝑞𝑖] = [𝑈𝑖𝑈𝑗𝑈𝑘 𝑉𝑖𝑉𝑗 𝑉𝑘] (55)
Nous pouvons relier ces ddl aux coefficients des polynômes d'interpolation
𝑞1 = 𝑎1 + 𝑎2𝑥𝑖 + 𝑎3𝑦𝑖 (56)
III. Présentation du problème
L’équation différentiel qui décrit le mouvement transversal d’une structure est semblable
et après peut être dérivé comme s’écrit :
Ε𝑙 =𝜕4𝜐
𝜕𝑥4= −𝜌
𝜕4𝜐
𝜕𝑡4 (57)
𝜌 est la densité de masse par unité de longueur, le mouvement harmonique libre et dérive avec
l'élément finie correspondant.
L'élément fini dont le modèle côté à gauche a été dérivé et analysé. Il reste pour développer
un modèle pour la limite dynamique du côté droit de l'équation. L'utilisation de la méthode de
Galerkin de dériver le modèle d'élément fini peut être de valeur d'instruction.
𝜈(𝑥, 𝑡) = [𝑁(𝑥)]{𝑣(𝑡)} (58)
Où [𝑁(𝑥)] = [𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁4 ] et 𝜈(𝑡) = [𝜐1 𝜃1 𝜐2 𝜃1 ]𝒯 la solution d'essai dans l'équation
régissante du produit de remplacé
𝐸𝑙 =𝜕4[𝑁]
𝜕𝑥4{𝜈}𝑑𝑥 + 𝜌[𝑁]
𝜕4{𝜈}
𝜕𝑡4 = R(𝑥, 𝑡: {𝑣}) (59)
41
On aura
∫ 𝐸𝑙𝐿
0[𝑁]𝒯
𝜕4[𝑁]
𝜕𝑥4{𝜈}𝑑𝑥 + ∫ 𝜌[𝑁]𝒯
𝐿
0[𝑁]
𝜕4{𝜈}
𝜕𝑡4= 0 (60)
L’intégration deux fois du premier terme de l'équation précédente donne
∫ [𝐸𝑙𝜕2[𝑁]𝒯
𝜕𝑥2𝜕2[𝑁]
𝜕𝑥2{𝜈} + 𝜌[𝑁]𝒯[𝑁]
𝜕2{𝑣}
𝜕𝑡2] 𝑑𝑥 = 𝐸𝑙
𝐿
0[𝜕[𝑁]
𝜕𝑥
𝜕2[𝑁]
𝜕𝑥2{𝜈} − [𝑁]
𝜕3[𝑁]
𝜕𝑥3{𝜈}]
0
𝐿
(61)
Les limites à droite du signe égal représentent les conditions ou les moments de cisaillement
qui ont été traités la charge commune provoquée par la charge transversale appliqué.
Le problème de vibration libre sans chargement transversal est régi par l'équation
différentielle suivant le volume d’intégrale. La solution s’écrit sous forme :
𝜐(𝑥, 𝑡) = 𝑉𝑒𝑖𝜔𝑡 Equation (62)
Et en faisant un remplacement dans l'équation différentielle pour obtenir le problème de
valeur propre correspondant
∫ (𝐸𝑙𝜕2[𝑁]𝒯
𝜕𝑥2𝜕2[𝑁]
𝜕𝑥2{𝑉} − 𝜌𝜔2[𝑁]𝒯[𝑁]{𝑉})
𝐿
0𝑑𝑥 = 0 (63)
Dans l’équation (63), le premier terme est la matrice de rigidité et le second, la matrice
masse.
[𝑚] = ∫ 𝜌[𝑁]𝒯[𝑁]𝑑𝑥𝐿
0 (64)
En résumé, le problème de valeur propre peut être écrit sous forme :
[𝐾]{𝑉} − 𝜔2[𝑚]{𝑉}= 0 (65)
III.1. Modèles d'élément finis
Une examination des équations de valeur propre a dérivé dans la section précédente prouve
qu'ils sont un cas spécial des équations étudiées.
−𝑑
𝑑𝑥(𝑎
𝑑𝑢
𝑑𝑥) = 𝑓 (66)
L'équation de valeur propre liée est
−𝑑
𝑑𝑥(𝑎
𝑑𝑢
𝑑𝑥) = 𝜆𝑐0𝑈 (67)
Où 𝑎 et 𝑐0 sont des quantités qui dépendent du problème physique, pour le transfert thermique
𝑎 = 𝑘𝐴, 𝑐0 = 𝜌𝑐𝐴
Où 𝑐 est la chaleur spécifique, tandis que, pour une barre
𝑎 = 𝑘𝐴, 𝑐0 = 𝜌𝐴
De même, l'équation de valeur propre liée aux vibrations transversales et la boucle des
faisceaux sont les caisses spéciales de leurs contreparties statiques. Par conséquent, les modèles
d’élément finis des équations de valeur propre peuvent aisément être développés.
42
Il est important de noter que les opérateurs dérivés spatiaux de la charge statique (c'est-à-
dire, non-temps-dépendants) et l’équation de valeur propre sont identique. La différence entre
les équations (67) et (68) est que, au lieu de la limite de source, nous avons 𝜆𝑐0𝑈 dans les
équations de valeur propre. Cette différence est responsable d'une autre matrice de coefficient,
en plus le coefficient de la matrice habituelle [𝐾𝑒], dans les problèmes de valeur propre. La
dérivation des modèles d'élément finis des équations de valeur propre est présentée après.
Au-dessus d'un élément typique Ω𝑒, nous cherchons une approximation d'élément finie de
𝑢 sous la forme
𝑈 = ∑ 𝑢𝑗𝑒𝑛
𝑗=1 𝑁𝑗𝑒(𝑥) (69)
La forme faible de l’équation (69) est
0 = ∫ (𝑑𝑤
𝑑𝑥𝑎𝑑𝑈
𝑑𝑥− 𝜆𝑐0𝑤𝑈)
𝑥𝐵
𝑥𝐴
𝑑𝑥 − 𝑄1𝑤(𝑥𝐴) − 𝑄𝑛𝑤(𝑥𝐵)
Où 𝑤 est la fonction de poids, et 𝑄1 et 𝑄𝑛 sont les variables secondaires (𝑄𝑖𝑒 = 0), 𝑖 ≠ 0, 𝑛
𝑄1 = −(𝑎𝑑𝑈
𝑑𝑥)|𝑥𝐴
, 𝑄𝑛 = (𝑎𝑑𝑈
𝑑𝑥)|𝑥𝐵
La substitution de l'approximation d'élément finie dans la forme faible donne le modèle
d’élément fini de l'équation de valeur propre de l'équation (69)
[𝐾𝑒]{𝑢𝑒} − 𝜆[𝑀𝑒]{𝑢𝑒} = {𝑄𝑒} (70)
Où 𝐾𝑖𝑗𝑒 = ∫ 𝑎
𝑑𝑁𝑖𝑒
𝑑𝑥
𝑥𝐵𝑥𝐴
𝑑𝑁𝑗𝑒
𝑑𝑥𝑑𝑥, 𝑀𝑖𝑗
𝑒 = ∫ 𝑐0𝑁𝑖𝑒𝑁𝑗
𝑒𝑥𝐵𝑥𝐴
𝑑𝑥
L'équation (70) représente le modèle d'élément fini de l’équation de valeur propre (69) et (70).
Le modèle d'élément fini dans est
[𝐾𝑒]{𝑢𝑒} − 𝜆[𝑀𝑒]{𝑢𝑒} = {𝑄𝑒} (71)
Où {𝑢𝑒} et {𝑄𝑒} sont les colonnes des degrés de déplacement et de force de liberté généralisés
nodaux de l'Euler-Bernoulli rayonnent l'élément :
{𝑢𝑒} =
{
𝑤1𝑒
(−𝑑𝑊
𝑑𝑥)1
𝑒
𝑤2𝑒
(−𝑑𝑊
𝑑𝑥)2
𝑒
}
; {𝑄𝑒} =
{
[
𝑑
𝑑𝑥(𝐸𝐼
𝑑2𝑊
𝑑𝑥2)]1
(𝐸𝐼𝑑2𝑊
𝑑𝑥2)1
[−𝑑
𝑑𝑥(𝐸𝐼
𝑑2𝑊
𝑑𝑥2)]2
(−𝐸𝐼𝑑2𝑊
𝑑𝑥2)2 }
Où les indices inférieurs 1 et 2 se rapportent aux nœuds d’élément 1 et 2 (𝑥 = 𝑥𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝑥 = 𝑥𝐵).
Les matrices [𝐾𝑒] and [𝑀𝑒], connues sous le nom de matrices de rigidité et de masse, sont
définies par :
43
𝐾𝑖𝑗𝑒 = ∫ 𝐸𝐼
𝑑2𝑁𝑖𝑒
𝑑𝑥2
𝑥𝐵
𝑥𝐴
𝑑2𝑁𝑗𝑒
𝑑𝑥2𝑑𝑥
𝐾𝑖𝑗𝑒 = ∫ 𝜌𝐴
𝑥𝐵𝑥𝐴
𝑁𝑖𝑒𝑁𝑗
𝑒𝑑𝑥 (72)
Où 𝑁𝑖𝑒 sont la fonction cubique d'interpolation de Hermite.
Le modèle d'élément fini avec l’interpolation de W et S, est :
[[𝐾11]
[𝐾12]𝑇[𝐾12]
[𝐾22]] {{𝑤𝑒}
{𝑆𝑒}} − 𝜆 [
[𝑀11] [0]
[0] [𝑀22]] {{𝑤𝑒}
{𝑆𝑒}} = {𝑉
𝑒
𝑀𝑒} (73)
Où
𝐾𝑖𝑗11 = ∫ 𝐺𝐴𝐾
𝑑𝑁𝑖𝑒
𝑑𝑥
𝑥𝐵
𝑥𝐴
𝑑𝑁𝑗𝑒
𝑑𝑥𝑑𝑥
𝐾𝑖𝑗12 = ∫ 𝐺𝐴𝐾
𝑑𝑁𝑖𝑒
𝑑𝑥
𝑥𝐵
𝑥𝐴
𝑁𝑗𝑒𝑑𝑥
𝐾𝑖𝑗22 = ∫ (𝐺𝐴𝐾𝑁𝑖
𝑒𝑁𝑗𝑒 + 𝐸𝐼
𝑑𝑁𝑖𝑒
𝑑𝑥
𝑑𝑁𝑗𝑒
𝑑𝑥)𝑑𝑥
𝑥𝐵
𝑥𝐴
𝑀𝑖𝑗11 = ∫ 𝜌𝐴𝑁𝑖
𝑒𝑁𝑗𝑒𝑑𝑥
𝑥𝐵
𝑥𝐴
𝑀𝑖𝑗22 = ∫ 𝜌𝐼𝑁𝑖
𝑒𝑁𝑗𝑒𝑑𝑥
𝑥𝐵
𝑥𝐴
➢ Détermination du paramètre de valeur de 𝝀
Tels que l'équation
𝐴(𝑢) = 𝜆𝐵(𝑢)
Où A et B dénotent les opérateurs différentiels linéaires, a la solution non triviale 𝑢 s’appelle
un problème de valeur propre. Les valeurs de 𝜆 s'appellent les valeurs propres et les fonctions
associées 𝑢 s'appellent les fonctions propres.
Par exemple, l'équation :
−𝑑2𝑢
𝑑𝑥2= 𝜆𝑢 , avec 𝐴 =
𝑑2
𝑑𝑥2′ 𝐵 = 1
Ce qui surgit en liaison avec les oscillations axiales d’une barre ou les oscillations
transversales d'un câble, constitue un problème de valeur propre. Ici 𝜆 dénote la place de la
fréquence de la vibration 𝜔.
En général, la détermination des valeurs propres est de la technologie aussi bien que
l'importance mathématique. Dans le problème structural, les valeurs propres dénotent des
fréquences normales ou des charges de boucle.
44
Dans le transfert de mécanique et thermique liquide, les problèmes de valeur propre
surgissent en liaison avec la détermination des parties homogènes de la solution. Dans ces
caisses, les valeurs propres dénotent souvent l’amplitude des composants de Fourier faisant vers
le haut de la solution. Les valeurs propres sont également utiles en déterminant les
caractéristiques de stabilité des arrangements temporels.
Dans cette section, nous développons les modèles d’élément finis du problème de valeur
propre. En raison de la similitude étroite entre les équations de la valeur propre et le problème
de valeur, l’étape impliquée dans la construction de leurs modèles d'élément finis sont
entièrement analogue. Le problème différentiel de valeur propre sont réduits aux problèmes
algébriques de valeur propre au moyen de l'approximation finie d'élément. Les méthodes de
solution des problèmes algébriques de valeur propre sont alors employées pour résoudre pour
la valeur propre et les vecteurs propres.
III.2. Formulation des problèmes de valeur propre
𝜌𝑐𝐴𝜕𝑢
𝜕𝑡−
𝜕
𝜕𝑥(𝑘𝐴
𝜕𝑢
𝜕𝑥) = 𝑞(𝑥, 𝑡) (74)
Ce qui régit le transfert thermique passager dans le système unidimensionnel. Ici 𝑢 dénote
la température, 𝑘 la conductivité thermique, le 𝝆 la densité, 𝑨 la section, le 𝑐 la chaleur
spécifique et 𝑞 la génération de la chaleur par unité de longueur. La solution homogène (c'est-
à-dire, la solution quand 𝑞 = 0 ) de l'équation (74) est souvent cherchée sous forme de produit
d'une fonction de 𝒙 et d'une fonction de 𝑡 (c'est-à-dire, cependant la séparation de la technique
de variables) :
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑆(𝑥)𝑇(𝑡) (75)
La substitution de cette forme assumée de solution dans la forme homogène de l'équation (75)
donne
𝜌𝑐𝐴𝑑𝑇
𝑑𝑡−
𝑑
𝑑𝑥(𝑘𝐴
𝑑𝑆
𝑑𝑥) 𝑇 = 0 (76)
Séparation des variables (supposant que 𝜌𝑐𝐴 et 𝑘𝐴 sont des fonctions de 𝒙 seulement),
1
𝑇
𝑑𝑇
𝑑𝑡=
1
𝜌𝑐𝐴
1
𝑆
𝑑
𝑑𝑥(𝑘𝐴
𝑑𝑆
𝑑𝑥) (77)
Notez que le côté à gauche de cette équation est une fonction de 𝑡 seulement tandis que le côté
droit est une fonction de 𝑥 seulement. Pour la fonction deux de deux variables indépendantes à
être toujours égale, tous les deux doivent être égaux à la même constante, la parole – 𝜆 :
1
𝑇
𝑑𝑇
𝑑𝑡=
1
𝜌𝑐𝐴
1
𝑆
𝑑
𝑑𝑥(𝑘𝐴
𝑑𝑆
𝑑𝑥) = −𝜆 (78)
Où 𝑑𝑇
𝑑𝑡=–𝜆 𝑇 , −
𝑑
𝑑𝑥(𝑘𝐴
𝑑𝑆
𝑑𝑥) − 𝜆𝜌𝑐𝐴𝑆 = 0
45
Le signe négatif est le constant 𝜆 est basé sur la condition physique que la solution 𝑆(𝑥)soit
harmonique dans 𝑥 tandis que 𝑇(𝑡) doit se délabrer exponentiellement avec l'augmentation du
temps 𝑡.
La solution de la première équation est 𝑇 = 𝑇0𝑒−𝜆𝑡. Quand 𝑘, 𝐴, 𝜌, 𝑎𝑛𝑑 𝑐 sont des
constantes, la solution de la deuxième équation est :
𝑆(𝑥) = 𝐵1𝑠𝑖𝑛√�̅�𝑥 + 𝐵2𝑐𝑜𝑠√�̅�𝑥, �̅� =𝜌𝑐
𝑘𝜆 (79)
Les constantes 𝜆, 𝑇0, 𝐵1, 𝑎𝑛𝑑 𝐵2 sont déterminées à l'aide des états initiale et de frontière.
En raison de la discussion ci-dessus, la solution de l'équation (79) est de la forme :
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑈(𝑥)𝑒−𝜆𝑡
Cette forme est conformée à la solution que nous avons dérivée en haut, avec
𝑈(𝑥) = 𝑆(𝑥)𝑇0. La substitution de la forme homogène nous donne :
−𝑑
𝑑𝑥(𝑘𝐴
𝑑𝑈
𝑑𝑥) 𝑒−𝜆𝑡 − 𝜆𝜌𝑐𝐴𝑈(𝑥)𝑒−𝜆𝑡 = 0 (80)
Où −𝑑
𝑑𝑥(𝑘𝐴
𝑑𝑈
𝑑𝑥) − 𝜆𝜌𝑐𝐴𝑈 = 0
Nous souhaitons déterminer 𝜆 et non zéro de 𝑈(𝑥) tels que l'équation (80) prise et les
conditions de frontière du problème sont rencontrées. L'équation (80) décrit un problème de
valeur propre, 𝜆 étant la valeur propre et 𝑈(𝑥) la fonction propre.
Le mouvement axial d'une barre peut être décrit par l’équation hyperbolique
𝜌𝐴𝜕2𝑢
𝜕𝑡2−
𝜕
𝜕𝑥(𝐸𝐴
𝜕𝑢
𝜕𝑥) = 𝑞(𝑥, 𝑡) (81)
Ici 𝑢 note le déplacement, 𝐸 le module d'élasticité, 𝝆 la densité, 𝑨 la section, et 𝑞 la
génération de la chaleur par unité de longueur.
Les oscillations axiales normales de la barre sont périodiques, et elles peuvent être
déterminées en assumant une solution de la forme :
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑈(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑡 , avec 𝑖 = √−1 (82)
Où 𝜔 dénote la fréquence du mouvement ou de la vibration axiale normal, et 𝑈(𝑥) dénote
la configuration de la barre, appelée la forme de mode, pendant la vibration. Pour chaque valeur
de, il y a une forme associée de mode. La substitution de la forme homogène de l'équation (82)
donne
[−𝜌𝐴𝜔2𝑈 −𝑑
𝑑𝑥(𝐸𝐴
𝑑𝑈
𝑑𝑥)] 𝑒−𝑖𝜔𝑡 = 0 (83)
Où −𝑑
𝑑𝑥(𝐸𝐴
𝑑𝑈
𝑑𝑥) − 𝜆𝜌𝐴𝑈 = 0 avec 𝜆 = 𝜔2.
L'équation (83) est un problème de valeur propre, qui implique de déterminer la place des
fréquences normales 𝜆 et de l'équation de 𝑈.
46
L'équation semblable à l'équation (83) peut être dérivée pour les vibrations transversales du
faisceau en utilisant l’Euler-Bernoulli ou les théories de faisceau de Timoshenko. Pour la
théorie de faisceau d'Euler-Bernoulli, nous supposons que
𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑊(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑡 (84)
Où 𝜔 est la fréquence du mouvement transversal et 𝑊(𝑥) est la forme de mode du mouvement
transversal. Sa substitution se rapporte à l’équation du mouvement de faisceau de la théorie
d'Euler-Bernoulli
𝜌𝐴𝜕2𝑤
𝜕𝑡2+
𝜕2
𝜕𝑥2(𝐸𝐼
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2) = 0 (85)
Et donne 𝑑2
𝑑𝑥2(𝐸𝐼
𝑑2𝑤
𝑑𝑥2) − 𝜆𝜌𝐴𝑊 = 0 Equation (86)
Où 𝜆 = 𝜔2 . Pour la théorie de faisceau de Timoshenko, nous supposons (d'après l'équation
(84))
𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑊(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑡
𝑁(𝑥, 𝑡) = 𝑆(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑡
Et substituez dans l'équation du mouvement de la théorie
𝜌𝐴𝜕2𝑤
𝜕𝑡2−𝜕
𝜕𝑥[𝐺𝐴𝐾 (
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑁)] = 0
𝜌𝐼𝜕2𝑁
𝜕𝑡2−
𝜕
𝜕𝑥(𝐸𝐼
𝜕𝑁
𝜕𝑥) + 𝐺𝐴𝐾 (
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑁) = 0 (87)
Pour obtenir le problème de valeur propre
−𝑑
𝑑𝑥[𝐺𝐴𝐾 (
𝑑𝑤
𝑑𝑥+ 𝑆)] − 𝜆𝜌𝐴𝑊 = 0
−𝑑
𝑑𝑥(𝐸𝐼
𝑑𝑆
𝑑𝑥) + 𝐺𝐴𝐾 (
𝑑𝑤
𝑑𝑥+ 𝑆) − 𝜆𝜌𝐼𝑆 = 0 (88)
IV. Techniques de diagonalisations [5]
IV.1. La méthode de puissance
La méthode de puissance est une technique itérative employée pour déterminer la valeur
propre dominante d’une matrice, c'est-à-dire, la valeur propre avec la plus grande grandeur. En
modifiant la méthode légèrement, elle peut également utiliser pour déterminer d’autres valeurs
propres. Un dispositif utile la méthode de puissance est qu'elle produit non seulement une valeur
propre, mais également un vecteur propre associé. En effet, la méthode de puissance est souvent
appliquée pour trouver un vecteur propre pour une valeur propre qui est déterminée par
quelques autres moyens.
Pour appliquer la méthode de puissance, nous supposons que la matrice 𝐴 𝑑𝑒 𝑛 × 𝑛 avec n
valeurs propres de 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 n avec une collection associée de vecteurs propres
47
linéairement indépendants 𝑉(1), 𝑉(2), 𝑉(3), … , 𝑉(𝑛). D'ailleurs, nous supposons que A avec
précision une valeur propre, 𝜆1, qui est le plus grand dans la grandeur, de sorte que :
|𝜆1| > |𝜆2| ≥ |𝜆3| ≥ ⋯ ≥ |𝜆𝑛| ≥ 0
Si x est n'importe quel vecteur dans ℝ𝑛le fait que {𝑉(1), 𝑉(2), 𝑉(3), … , 𝑉(𝑛)} est linéairement
indépendant implique que les constantes 𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑛 existent avec
𝑥 = ∑ 𝛽𝑗𝑉(𝑗)𝑛
𝑗=1 (89)
Multiplication les deux côtés de cette équation par 𝐴, 𝐴2, … , 𝐴𝑘 , … donne
𝐴𝑥 =∑ 𝛽𝑗𝐴𝑉(𝑗)
𝑛
𝑗=1=∑ 𝛽𝑗𝜆𝑗𝑉
(𝑗)𝑛
𝑗=1
𝐴2𝑥 =∑ 𝛽𝑗𝜆𝑗𝐴𝑉(𝑗)
𝑛
𝑗=1=∑ 𝛽𝑗𝜆𝑗
2𝑉(𝑗)𝑛
𝑗=1
Et généralement :
𝐴𝑘𝑥 = ∑ 𝛽𝑗𝜆𝑗𝑘𝑉(𝑗)𝑛
𝑗=1 (90)
Si 𝜆1𝑘est factorisé de chaque limite du bon côté de la dernière équation, on a :
𝐴𝑘𝑥 = 𝜆1𝑘 ∑ 𝛽𝑗 (
𝜆𝑗
𝜆1)𝑘
𝑉(𝑗)𝑛𝑗=1 (91)
Puis |𝜆1| > |𝜆2| pour le tout j= 2,3,…,n, nous avons que lim𝑘→∞
(𝜆𝑗
𝜆1)𝑘
= 0, et
lim𝑘→∞
𝐴𝑘𝑋 = lim𝑘→∞
𝜆1𝑘𝛽1𝑉
(1) (92)
Dans l'ordre de l’équation (9,2) converge à 0 si|𝜆1| < 1 et diverge si |𝜆1| > 1, si,
naturellement, ce 𝛽1 ≠ 0 . Par conséquent, les entrées dans 𝐴𝑘𝑋 se développeront avec k si
|𝜆1| > 1 et ira à 0 si |𝜆1| < 1 , peut-être ayant pour résultat le débordement. Pour prendre
soin de cela possibilité, nous mesurons les puissances de 𝐴𝑘𝑋 d'une façon appropriée
d'assurer à cela, la limite dans l’équation (92) est finie et non zéro. La graduation commence
en choisissant 𝑥 pour être un vecteur 𝑥(0) relativement ‖. ‖∞ et choix d'un composant 𝑋𝑝0(0)
de
𝑋(0) avec 𝑋𝑝0(0) = 1 = ‖𝑋(0)‖
∞ (93)
Laissez 𝑦(1) = 𝐴𝑋(0) et définis 𝜇(1) = 𝑦𝑝0(1)
.
Puis 𝜇(1) = 𝑦𝑝0(1)=
𝑦𝑝0(1)
𝑥𝑝0(0) =
𝛽1𝜆1𝑣𝑝0(1)+∑ 𝛽𝑗𝜆𝑗𝑣𝑝0
(𝑗)𝑛𝑗=2
𝛽1𝑣𝑝0(1)+∑ 𝛽𝑗𝑣𝑝0
(𝑗)𝑛𝑗=2
= 𝜆1 [𝛽1𝑣𝑝0
(1)+∑ 𝛽𝑗(𝜆𝑗 𝜆1⁄ )𝑣𝑝0
(𝑗)𝑛𝑗=2
𝛽1𝑣𝑝0(1)+∑ 𝛽𝑗𝑣𝑝0
(𝑗)𝑛𝑗=2
] (94)
Tels que 𝑝1 est le moindre nombre entier 𝑦𝑝1(1) = ‖𝑦(1)‖
∞ et 𝑋(1)définis par
𝑋(1) =1
𝑦𝑝1(1) 𝑦
(1) =1
𝑦𝑝1(1) 𝐴𝑋
(0) (95)
48
Puis 𝑥𝑝1(1) = 1 = ‖𝑋(1)‖
∞
Définissons maintenant 𝑦(2) = 𝐴𝑋(1) =1
𝑦𝑝1(1) 𝐴
2𝑋(0) (96)
Et 𝜇(2) = 𝑦𝑝1(2) =
𝑦𝑝1(2)
𝑥𝑝1(1) =
[𝛽1𝜆12𝑣𝑝1
(1)+∑ 𝛽𝑗𝜆𝑗
2𝑣𝑝1(𝑗)𝑛
𝑗=2 ] 𝑦𝑝1(1)
⁄
[𝛽1𝜆1𝑣𝑝1(1)+∑ 𝛽𝑗𝜆𝑗𝑣𝑝1
(𝑗)𝑛𝑗=2 ] 𝑦𝑝1
(1)⁄
= 𝜆1 [𝛽1𝑣𝑝1
(1)+∑ 𝛽𝑗(𝜆𝑗 𝜆1⁄ )
2𝑣𝑝1(𝑗)𝑛
𝑗=2
𝛽1𝑣𝑝1(1)+∑ 𝛽𝑗(𝜆𝑗 𝜆1⁄ )𝑣𝑝1
(𝑗)𝑛𝑗=2
]
Tels que 𝑝2 est le moindre nombre entier avec 𝑦𝑝2(2) = ‖𝑦(2)‖
∞
Et 𝑋(2) = 1
𝑦𝑝2(2) 𝑦
(1) =1
𝑦𝑝2(2) 𝐴𝑋
(1) =1
𝑦𝑝2(2)𝑦𝑝1(1) 𝐴
2𝑋(0) (97)
D'une façon semblable, les ordres des vecteurs définissent {𝑋(𝑚)}𝑚=0
∞ et {𝑦(𝑚)}
𝑚=1
∞ , et un
ordre des grandeurs scalaires {𝜇(𝑚)}𝑚=1
∞ près inductivement 𝑦(𝑚) = 𝐴𝑋(𝑚−1)
𝜇(𝑚) = 𝑦𝑝𝑚−1(𝑚) = 𝜆1 [
𝛽1𝑣𝑝𝑚−1(1)
+∑ 𝛽𝑗(𝜆𝑗 𝜆1⁄ )𝑚𝛽𝑗𝑣𝑝𝑚−1
(𝑗)𝑛𝑗=2
𝛽1𝑣𝑝𝑚−1(1)
+𝛽𝑗(𝜆𝑗 𝜆1⁄ )𝑚−1
𝛽𝑗𝑣𝑝𝑚−1(𝑗) ] (98)
𝑋(𝑚) =𝑦(𝑚)
𝑦𝑝𝑚(𝑚)
=𝐴𝑚𝑋(0)
∏ 𝑦𝑝𝑘(𝑘)m
k=1
Pour lequel à chaque étape, 𝑝𝑚 est employé pour représenter le plus petit nombre entier
𝑦𝑝𝑚(𝑚) = ‖𝑦(𝑚)‖
∞
En examinant l’équation (98), nous voyons que |𝜆𝑗 𝜆1⁄ | < 1, pour j=2,3,…,n, lim𝑚→+∞
𝜇(𝑚) = 𝜆1
à condition que 𝑋(0) est choisi que 𝛽1 ≠ 0 . D'ailleurs, l'ordre des vecteurs {𝑋(𝑚)}𝑚=0
∞
converge à un vecteur propre lié à 𝜆1 cela a 𝑙∞ norme égale à un.
La méthode de puissance a l'inconvénient qu'elle est inconnue au départ si la matrice a une
valeur propre dominante simple.
IV.1.1. L'algorithme applique à la méthode de puissance
Pour rapprocher la valeur propre dominante et un vecteur propre associé 𝑛 × 𝑛 de la matrice
A donné un vecteur X non zéro :
INTPUT dimension n, matrice A ; vecteur X ; tolérance TOL ; nombre maximum des itérations
N
OUTPUT approximative valeur propre 𝜇 ; approximative vecteur propre X (𝑎𝑣𝑒𝑐‖𝑋‖∞ = 1)
ou un message que le nombre maximum des itérations a été excédé.
Set k=1
Trouvez le plus petit nombre entier p avec 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 𝑒𝑡 |𝑥𝑝| = ‖𝑋‖∞
Set 𝑋 = 𝑋 𝑥𝑝⁄
While (𝑘 ≤ 𝑁) faites les étapes 5-11
49
Set 𝑦 = 𝐴𝑋
Set 𝜇 = 𝑦𝑝
Trouvez le plus petit nombre entier p avec 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 𝑒𝑡 |𝑦𝑝| = ‖𝑦‖∞
If 𝑦𝑝 = 0 puis OUTPUT (vecteur propre, X ) ;
OUTPUT (A la valeur propre 0, choisit un nouveau vecteur X et relancement)
Stop
Set err = ‖𝑋 − (𝑦𝑦𝑝⁄ )‖
∞
X = 𝑦𝑦𝑝⁄
If err < tol puis OUTPUT ((𝜇, 𝑋)
(Le procédé était réussi)
Stop
Set k= k+1
OUTPUT (le nombre maximum des itérations excédées)
(Le procédé était non réussi)
Stop
IV.1.2. Matrice symétrique
Quand A est symétrique, une variation du choix des vecteurs 𝑋(𝑚) et 𝑦(𝑚) et les grandeurs
scalaires 𝜇(𝑚) peuvent être faites pour améliorer de manière significative le taux de
convergence de l'ordre {𝜇(𝑚)}𝑚=1
∞ à la valeur propre dominante 𝜆1. En fait, bien que le taux de
convergence de la méthode de puissance générale soit 0 (|𝜆2𝜆1⁄ |
𝑚
) le taux de convergence
du procédé modifié donné dans l'algorithme 9,2 pour les matrices symétriques est
0 (|𝜆2𝜆1⁄ |
2𝑚
) . Puisque l'ordre {𝜇(𝑚)} est toujours linéairement convergent, le procédé Δ2peut
également soyez appliqué.
IV.1.3. Méthode Symétrique De Puissance
IV.1.3.1. Théorie
Supposez que A est une matrice symétrique 𝑛 × 𝑛 avec les valeurs propres 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛,si
nous avons ‖𝐴𝑋 − 𝜆𝑋‖2 < 휀 pour un certain vrai nombre 𝜆 et un vecteur X avec ‖𝑋‖2 = 1,
puis min1≤𝑗≤𝑛
|𝜆𝑗 − 𝜆| < 휀
50
Supposez que 𝑉(1), 𝑉(2), 𝑉(3), … , 𝑉(𝑛) forme d’orthonormal de vecteurs propres de A s'est
associé, respectivement, avec les valeurs propres 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 . Par le théorème 93 et 95, X peut
être exprimé, pour un certain ensemble unique de constante 𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑛
𝑥 = ∑ 𝛽𝑗𝑉(𝑗)𝑛
𝑗=1 (99)
Ainsi
‖𝐴𝑋 − 𝜆𝑋‖22 = ‖∑ 𝛽𝑗(𝜆𝑗 − 𝜆)𝑉
(𝑗)𝑛
𝑗=1‖2
2
=∑ |𝛽𝑗|2|𝜆𝑗 − 𝜆|
2≥ min
1≤𝑗≤𝑛|𝜆𝑗 − 𝜆|
2∑ |𝛽𝑗|
2𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑗=1
Mais ∑ |𝛽𝑗|2𝑛
𝑗=1 = ‖𝑋‖22 = 1
Ainsi 휀 ≥ ‖𝐴𝑋 − 𝜆𝑋‖2 > min1≤𝑗≤𝑛
|𝜆𝑗 − 𝜆|
IV.1.3.2. Algorithme
Pour rapprocher la valeur propre dominante et un vecteur propre associé 𝑛 × 𝑛 de la matrice
A symétrique donné un vecteur X non zéro :
INTPUT dimension n, matrice A ; vecteur X ; tolérance TOL ; nombre maximum des itérations
N
OUTPUT approximative valeur propre 𝜇 ; approximative vecteur propre X (𝑎𝑣𝑒𝑐‖𝑋‖2 = 1)
ou un message que le nombre maximum des itérations a été excédé.
Set k=1
𝑋 = 𝑋 ‖𝑋‖2⁄
While (𝑘 ≤ 𝑁)
Set 𝑦 = 𝐴𝑋
Set 𝜇 = 𝑋𝑡𝑦
If ‖𝑦‖2 = 0
OUTPUT (A la valeur propre 0, choisit un nouveau vecteur X et relancement)
Stop
Set err = ‖𝑋 − (𝑦
‖𝑦‖2)‖
2
X = 𝑦‖𝑦‖2⁄
If err < tol puis OUTPUT ((𝜇, 𝑋) (Le procédé était réussi)
Stop
Set k= k+1
51
OUTPUT (le nombre maximum es itérations excédées)
(Le procédé était non réussi)
Stop
IV.1.4. Méthode de Puissance Inverse
IV.1.4.1. Théorie
La méthode de puissance inverse est une modification de la méthode de puissance qui donne
une convergence plus rapide. Elle est employée pour déterminer la valeur propre de 𝐴 qui est
le plus proche d'un nombre indiqué 𝑞
Supposez que la matrice A est les valeurs propres de 𝜆1, … , 𝜆𝑛 avec des vecteurs propres
linéairement indépendants 𝑉(1), … , 𝑉(𝑛) . Les valeurs propres de (𝐴 − 𝑞𝐼)−1 pour ≠ 𝜆𝑖 , aves
𝑖 = 1,2, … , 𝑛 sont 1
𝜆1−𝑞,
1
𝜆2−𝑞, … ,
1
𝜆𝑛−𝑞
Avec ces mêmes vecteurs propres 𝑉(1), 𝑉(2), 𝑉(3), … , 𝑉(𝑛)
Application de la méthode de puissance à (𝐴 − 𝑞𝐼)−1 donne
𝑦(𝑚) = (𝐴 − 𝑞𝐼)−1𝑋(𝑚−1)
𝜇(𝑚) = 𝑦𝑝𝑚−1(𝑚) =
𝑦𝑝𝑚−1(𝑚)
𝑥𝑝𝑚−1(𝑚−1) = [
∑ 𝛽𝑗1
(𝜆𝑗−𝑞)𝑚𝑣𝑝𝑚−1
(𝑗)𝑛𝑗=1
∑ 𝛽𝑗1
(𝜆𝑗−𝑞)𝑚−1𝑣𝑝𝑚−1
(𝑗)𝑛𝑗=1
] (100)
Et 𝑋(𝑚) =𝑦(𝑚)
𝑦𝑝𝑚(𝑚)
A chaque étape, 𝑝𝑚 représente le plus petit nombre entier pour lequel |𝑦𝑝𝑚(𝑚)| = ‖𝑦(𝑚)‖
∞ .
L'ordre {𝜇(𝑚)} dans l’équation (99) converge à 1 (𝜆𝑘 − 𝑞)⁄ , où
1
(𝜆𝑘 − 𝑞)= max
1≤𝑖≤𝑛
1
|𝜆𝑖 − 𝑞|
Et 𝜆𝑘 ≈ 𝑞 + 1 𝜇(𝑚)⁄ est la valeur propre de A la plus proche de q
Avec k connu, l’équation (99) peut être écrit
𝜇(𝑚) =1
(𝜆𝑘−𝑞)
[ 𝛽𝐾𝑣𝑝𝑚−1
(𝐾)+∑ 𝛽𝑗[
𝜆𝑘−𝑞
𝜆𝑗−𝑞]
𝑚
𝑣𝑝𝑚−1(𝑗)𝑛
𝑗=1𝑗≠𝑘
𝛽𝐾𝑣𝑝𝑚−1(𝐾)
+∑ 𝛽𝑗[𝜆𝑘−𝑞
𝜆𝑗−𝑞]
𝑚−1
𝑣𝑝𝑚−1(𝑗)𝑛
𝑗=1
𝑗≠𝑘 ]
(101)
Ainsi, le choix de q détermine la convergence, à condition que 1 (𝜆𝑘 − 𝑞)⁄ est un valeur propre
unique dominante de (𝐴 − 𝑞𝐼)−1 (bien que ce peut être une valeur propre multiple).
52
Le plus étroit q est une valeur propre 𝜆𝑘plus est rapide la convergence puisque la convergence
est l'ordre de 0 (|(𝜆−𝑞)−1
(𝜆𝑘−𝑞)−1|𝑚
) = 0 (|(𝜆𝑘−𝑞)
(𝜆−𝑞)|𝑚
)
Où 𝜆 représente la valeur propre de 𝐴 qui est en second lieu le plus proche de q.
Le vecteur 𝑦(𝑚)est obtenu en résolvant le système linéaire (𝐴 − 𝑞𝐼)𝑦(𝑚) = 𝑋(𝑚−1)
En général, l'élimination gaussienne avec le pivotement est employée, mais comme dans le cas
de la factorisation de LU, les multiplicateurs peuvent être sauvés pour réduire le calcul. Le
choix de q peut être basé sur le théorème de cercle de Geršgorin ou sur des autres moyens de
localiser une valeur propre.
L'algorithme calcule q d'une première approximation au vecteur propre 𝑋(0)par
𝑞 =𝑋(0)𝑡𝐴𝑋(0)
𝑋(0)𝑡𝑋(0) (102)
Ce choix de q résulte de l'observation qui si X est un vecteur propre de 𝐴 en ce qui concerne
la valeur propre 𝜆 puis 𝑋 = 𝜆𝑋 .
Ainsi 𝑋𝑡𝐴𝑋 = 𝜆𝑋𝑡𝑋 et 𝜆 =𝑋𝑡𝐴𝑋
𝑋𝑡𝑋=
𝑋𝑡𝐴𝑋
‖𝑋‖22
Si 𝑞 est près d'une valeur propre, la convergence sera tout à fait rapide, mais une technique de
pivotement si soyez employé dans l'étape 6 pour éviter la contamination par erreur
approximative. L'algorithme 9,3 est souvent employé pour rapprocher un vecteur propre
quand une valeur propre approximative 𝑞 est connu.
IV.1.1.2. Algorithme
Pour rapprocher la valeur propre dominante et un vecteur propre associé 𝑛 × 𝑛 de la matrice
A donné un vecteur X non zéro :
INTPUT dimension n, matrice A ; vecteur X ; tolérance TOL ; nombre maximum des itérations
N
OUTPUT approximative valeur propre 𝜇 ; approximative vecteur propre X (𝑎𝑣𝑒𝑐‖𝑋‖∞ = 1)
ou un message que le nombre maximum des itérations a été excédé.
Set 𝑞 =𝑋𝑡𝐴𝑋
𝑋𝑡𝑋
Set k=1
Trouvez le plus petit nombre entier p avec 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 𝑒𝑡 |𝑥𝑝| = ‖𝑋‖∞
Set 𝑋 = 𝑋 𝑥𝑝⁄
While (𝑘 ≤ 𝑁) faites les étapes 6-12
Résolvez le système linéaire (𝐴 − 𝑞𝐼)𝑦 = 𝑋
Si le système n'a pas une solution unique, puis
53
OUTPUT (𝑞 est une valeur propre , q) :
stop
Set 𝜇 = 𝑦𝑝
Trouvez le plus petit nombre entier p avec 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 𝑒𝑡 |𝑦𝑝| = ‖𝑦‖∞
Set err = ‖𝑋 − (𝑦𝑦𝑝⁄ )‖
∞
X = 𝑦𝑦𝑝⁄
If err < tol alors
OUTPUT (𝜇, 𝑋);
(Le procédé était réussi)
Stop
Set k= k+1
OUTPUT (le nombre maximum des itérations excédées)
(Le procédé était non réussi)
Stop
La convergence de la méthode inverse de puissance est linéaire, ainsi la méthode d’Aitken
∆2 peut encore soyez employé pour expédier la convergence. L'exemple suivant illustre la
convergence rapide de la méthode inverse de puissance si q est près d’une valeur propre.
IV.2. L'Algorithme de QR
IV.2.1. Théorie
Les méthodes de déflation discutées dans la section 9,3 ne sont pas généralement appropriées
au calcul toutes les valeurs propres d'une matrice en raison de la croissance de l’erreur
approximative. Dans cette section nous considérez l'algorithme de QR, une technique de
réduction de matrice employée pour déterminer simultanément toutes les valeurs propres d'une
matrice symétrique.
Pour appliquer la méthode de QR, nous commençons par une matrice symétrique sous la forme
de tridiagonal ; cela est, les seules entrées de non zéro dans le mensonge de matrice sur la
diagonale ou sur les subdiagonals directement au-dessus ou au-dessous de la diagonale.
Si ce n'est pas la forme de la matrice symétrique, la première l'étape est d'appliquer la méthode
du chef de ménage pour calculer un symétrique, matrice de tridiagonal semblable à la matrice
donnée.
Dans le reste de cette section on le supposera que la matrice symétrique pour laquelle ces
valeurs propres doivent être calculées est tridiagonal.
54
Si nous laissions A dénoter une matrice de ce type, nous pouvons simplifier la notation
légèrement en marquant les entrées de A comme suit :
𝐴 =
[ 𝑎1 𝑏2 0 ⋯ 0
𝑏20⋮0
𝑎2 𝑏3 ⋱ ⋮𝑏3 𝑎3 ⋱ 0
⋱ ⋱ ⋱ 𝑏𝑛⋯ 0 𝑏𝑛 𝑎𝑛]
(103)
Si 𝑏2 = 0 ou 𝑏𝑛 = 0, puis la matrice 1 × 1 du [𝑎1] ou [𝑎𝑛] produit immédiatement une valeur
propre 𝑎1 ou 𝑎𝑛 de 𝐴 . La méthode de QR tire profit de cette observation en diminuant
successivement les valeurs des entrées au-dessous de la diagonale principale jusqu' à 𝑏2 ≈ 0 ou
𝑏𝑛 ≈ 0
Quand 𝑏𝑗 = 0 pour un certain j où 2 < 𝑗 < 𝑛 le problème peuvent être réduits à considérer,
au lieu de 𝐴 les matrices plus petites.
[ 𝑎1 𝑏2 0 ⋯ 0
𝑏20⋮0
𝑎2 𝑏3 ⋱ ⋮𝑏3 𝑎3 ⋱ 0
⋱ ⋱ ⋱ 𝑏𝑗−1
⋯ 0 𝑏𝑗−1 𝑎𝑗−1]
et
[ 𝑎𝑗 𝑏𝑗+1 0 ⋯ 0
𝑏𝑗+10⋮0
𝑎𝑗+1 𝑏𝑗+2 ⋱ ⋮
𝑏3 𝑎3 ⋱ 0⋱ ⋱ ⋱ 𝑏𝑛⋯ 0 𝑏𝑛 𝑎𝑛]
Si aucun 𝑏𝑗 n'est zéro, la méthode de QR procède en formant un ordre des matrices
𝐴 = 𝐴(1), 𝐴(2), 𝐴(3), 𝑒𝑡𝑐., comme suit :
1. 𝐴(1) = 𝐴 est factorisé comme produit 𝐴(1) = 𝑄(1), 𝑅(1) ou 𝑄(1) est orthogonal et 𝑅(1) est
triangulaire supérieur.
2. 𝐴(2) est défini 𝐴(2) = 𝑅(1)𝑄(1)
En général, 𝐴(𝑖) est factorisé comme produit 𝐴(𝑖) = 𝑄(𝑖)𝑅(𝑖) d'une matrice orthogonale 𝑄(𝑖) et
une matrice triangulaire supérieure 𝑅(𝑖) . Puis 𝐴(𝑖+1) est défini par le produit 𝑅(𝑖) et de 𝑄(𝑖)
dans direction d'inversion 𝐴(𝑖+1) = 𝑅(𝑖)𝑄(𝑖) .
Puisque 𝑄(𝑖) est orthogonal,
𝑅(𝑖) = 𝑄(𝑖)𝑡𝐴(𝑖) et 𝐴(𝑖+1) = 𝑅(𝑖)𝑄(𝑖) = (𝑄(𝑖)𝑡𝐴(𝑖))𝑄(𝑖) = 𝑄(𝑖)𝑡𝐴(𝑖)𝑄(𝑖) (104)
Ceci s'assure que 𝐴(𝑖+1) est symétrique avec les mêmes valeurs propres 𝐴(𝑖) . Par la façon dans
ce qui nous définissons 𝑅(𝑖) et 𝑄(𝑖) nous assurons également qu'𝐴(𝑖+1) est tridiagonal.
Continuant par induction, 𝐴(𝑖+1) a les mêmes valeurs propres que la matrice originale A et
𝐴(𝑖+1) tend à une matrice diagonale avec les valeurs propres de A le long de la diagonale.
55
Convergence D'Accélération
Si les valeurs propres de A ont les modules distincts avec |𝜆1| > |𝜆2| > ⋯ > |𝜆𝑛| puis le taux
de convergence de l'entrée 𝑏𝑗+1(𝑖+1)
dans la matrice 𝐴(𝑖+1) dépend du rapport | λ j + 1 / λ j | . Le
taux de convergence de 𝑏𝑗+1(𝑖+1)
à 0 détermine le taux auquel l'entrée de 𝑎𝑗(𝑖+1)
converge à la
valeur propre 𝜆𝑗 de j. Ainsi, le taux de convergence peut être lent si |𝜆𝑗+1 𝜆𝑗⁄ | est pas
sensiblement moins de 1.
Accélérez cette convergence, une technique de décalage est semblable utilisé à cela utilisé
avec l’inverse de la méthode de puissance dans la section 9.3. A constant 𝜎 est choisie près
d'une valeur propre de A. Ceci modifie la factorisation dans l'équation (103) selon choisir 𝑄(𝑖)
et 𝑅(𝑖) de sorte que :
𝐴(𝑖) − 𝜎𝐼 = 𝑄(𝑖)𝑅(𝑖) (105)
Et, également, la matrice 𝐴(𝑖+1) est défini pour être :
𝐴(𝑖+1) = 𝑅(𝑖)𝑄(𝑖) + 𝜎𝐼 (106)
Avec cette modification, le taux de convergence de 𝑏𝑗+1(𝑖+1)
à 0 dépend du rapport
|𝜆𝑗+1 − 𝜎 𝜆𝑗 − 𝜎⁄ |
Ceci peut avoir comme conséquence une amélioration significative au-dessus du taux original
de convergence de 𝑎𝑗(𝑖+1)
à 𝜆𝑗 si 𝜎 est près de 𝜆𝑗+1 mais pas près à 𝜆𝑗
Nous changeons 𝜎 à chaque étape de sorte que quand A est des valeurs propres de module
distinct, 𝑏𝑛(𝑖+1)
converge à 0 plus rapide que 𝑏𝑗(𝑖+1)
pour tout nombre entier j moins que n.
Quand 𝑏𝑛(𝑖+1)
est suffisamment petits, nous supposons que 𝜆𝑛 ≈ 𝑎𝑛(𝑖+1)
suppriment la rangée
de n et la colonne de la matrice, et procédez de la même manière trouver une approximation à
𝜆𝑛−1 . Le processus est continué jusqu'à ce qu'une approximation ait été déterminée pour chaque
valeur propre.
La technique de décalage choisit, à ième étape, la constante de décalage 𝜎𝑖 où 𝜎𝑖 est la valeur
propre de la matrice.
𝐸(𝑖) = [𝑎𝑛−1(𝑖) 𝑏𝑛
(𝑖)
𝑏𝑛(𝑖) 𝑎𝑛
(𝑖)] (107)
C'est le plus proche d'un 𝑎𝑛(𝑖)
. Ce décalage traduit les valeurs propres de A par le facteur 𝜎𝑖 .
Avec ceci la technique de décalage, la convergence est habituellement cubique.
La méthode s'accumule ces décalages jusqu' à 𝑏𝑛(𝑖+1) ≈ 0 et ajoute alors les décalages à 𝑎𝑛
(𝑖+1)
pour rapprocher le valeur propre 𝜆𝑛.
56
Si A est les valeurs propres du même module, 𝑏𝑗(𝑖+1)
peut tendre à 0 pour certains 𝑗 ≠ 𝑛 à a
une vitesse plus rapide que 𝑏𝑛(𝑖+1)
.
Dans ce cas, la technique de la matrice (matrix-splitting) décrite dans l’équation (106) peut
être utilisé pour ramener au problème en impliquant une paire de matrices d'ordre réduit.
IV.2.1. L'Algorithme
Set k=1
Shift = 0
While 𝑘 ≤ 𝑀
If |𝑏𝑛(𝑘)| ≤ 𝑡𝑜𝑙 set 𝜆 = 𝑎𝑛
(𝑘) + 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡
Output (𝜆);
Set 𝑛 = 𝑛 − 1
If |𝑏2(𝑘)| ≤ 𝑡𝑜𝑙 set 𝜆 = 𝑎1
(𝑘) + 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡
Output (𝜆);
Set 𝑛 = 𝑛 − 1;
𝑎1(𝑘) = 𝑎2
(𝑘);
Avec 𝑗 = 2,… , 𝑛
Set 𝑎𝑗(𝑘) = 𝑎𝑗+1
(𝑘);
𝑏𝑗(𝑘)= 𝑏𝑗+1
(𝑘)
If 𝑛 = 0
End
Si 𝑛 = 1 puis
set 𝜆 = 𝑎1(𝑘) + 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡
Output (𝜆);
End
With 𝑗 = 3,… , 𝑛 − 1
If |𝑏𝑗(𝑘)| ≤ 𝑡𝑜𝑙
Set 𝑘 = 𝑘 + 1
OUTPUT (le nombre maximum des itérations excédées) (Le procédé était non réussi)
End
57
SIMULATION NUMERIQUE
58
CHAPITRE III. RESULTAT DE SIMULATION
On a bien connu le logiciel MATLAB qui est un logiciel scientifique très puissante au point
de vue calcul pour effectuer la simulation. Le programme est entièrement écrit avec lui. Toutes
les démarches présentées dans les chapitres précédents sont traduites en code afin de pouvoir
résoudre le système linéaire.
I. Présentation du logiciel MATLAB
Le MATLAB est une abréviation de MATrix LABoratory, inventé en 1970 par Cleve Moler
et après développé par Math Works Inc. MATLAB offre un langage de haut niveau et des outils
de développement qui permet d’analyser rapidement les algorithmes et applications.
Etant un langage interprété, MATLAB offre et incorpore une large variété de commande et
de fonctions intrinsèque, comme les fonctions mathématiques pour les algèbres linéaire et
l’intégration numérique, des fonctions graphiques 2-D et 3-D pour visualiser les données et des
fonctions pour intégrer des algorithmes basé MATLAB pour avec des langages et applications
externes.
Figure 24 : Présentation de commande de MATLAB
59
Figure 25 : Editeur de script mode de programmation
Avec le langage de MATLAB, on peut développer et programmer rapidement qu’avec les
langages traditionnels parce qu’on a plus besoin de déclarer les variables, spécifier le type de
variable et allouer les mémoires.
II. Presentation du modèle
element 'Q4'; the element type used in the FEM simulation
element 'T3' is for a three-node triangular element,
element 'Q4' is for a four-node quadrilateral element,
element 'Q9' is for a nine-node quadrilateral element.
Pour une raison de l’approximation de degré de liberté par de nœud, on a choisi l’élément Q4
num y= 8
num x=20
Figure 26 : Maillage de l'élément Q4
60
Pour déterminer les fonctions de formes ont utilisés les codes suivants :
function [Nv,dNdxi]=lagrange_basis(type,coord,dim)
switch type
case 'Q4'
%%%%%%%%%%%%%%% Q4 FOUR NODE QUADRILATERIAL ELEMENT
%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% 4--------------------3
% | |
% | |
% | |
% | |
% | |
% | |
% | |
% | |
% | |
% 1--------------------2
%
if size(coord,2) < 2
disp('Error two coordinates needed for the Q4 element')
else
xi=coord(1); eta=coord(2);
N=1/4*[ (1-xi)*(1-eta);
(1+xi)*(1-eta);
(1+xi)*(1+eta);
(1-xi)*(1+eta)];
dNdxi=1/4*[-(1-eta), -(1-xi);
1-eta, -(1+xi);
1+eta, 1+xi;
-(1+eta), 1-xi];
end
61
III. La matrice de rigidité et la matrice masse
La matrice de rigidité [𝐾] et la matrice masse [𝑀] constitue la forme du système d'équation
s'écrit :
∫ (𝐸𝑙𝜕2[𝑁]𝒯
𝜕𝑥2𝜕2[𝑁]
𝜕𝑥2{𝑉} − 𝜌𝜔2[𝑁]𝒯[𝑁]{𝑉})
𝐿
0𝑑𝑥 = 0 (108)
[𝐾] = ∫ 𝐸𝑙𝜕2[𝑁]𝒯
𝜕𝑥2𝜕2[𝑁]
𝜕𝑥2{𝑉}𝑑𝑥
𝐿
0 (109)
[𝑀] = ∫ 𝜌𝜔2[𝑁]𝒯[𝑁]{𝑉}𝐿
0𝑑𝑥 (110)
On procède comme suit sur le Matlab pour tous ces éléments :
for e = 1:numelem % start of element loop
sctr = element(e,:); % element scatter vector
sctrBu = [ sctr sctr+numnode ]; % vector that scatters a B
matrix
nn = length(sctr);
for q = 1:size(W,1) % boucle quadrature
pt = Q(q,:); % quadrature point
wt = W(q); % quadrature weight
[N,dNdxi] = lagrange_basis(elemType,pt); % element shape
functions
J0 = node(sctr,:)'*dNdxi; % element Jacobian matrix
invJ0 = inv(J0);
dNdx = dNdxi*invJ0;
%-------COMPUTE B MATRIX
B = zeros(2,2*nn);
B(1,1:nn) = dNdx(:,1)';
B(2,nn+1:2*nn) = dNdx(:,2)';
B(3,1:nn) = dNdx(:,2)';
B(3,nn+1:2*nn) = dNdx(:,1)';
%-------COMPUTE ELEMENT STIFFNESS AT QUADRATURE POINT
N2=[N N]';
%on suppose que GAK=1
GAK=1;
EI=1;
rho=1;
I=1;
62
A=1;
M0=zeros(4,4);
K11=GAK*(dNdx*dNdx')*W(q)*det(J0);
K12=GAK*(dNdx*N2)*W(q)*det(J0);
K22=((GAK*(N2'*N2))+(EI*(dNdx*dNdx')))*W(q)*det(J0);
K21=K12;
M11=(rho*A*(N2'*N2))*W(q)*det(J0);
M22=(rho*I*(N2'*N2))*W(q)*det(J0);
Kk=[K11 K12; K21 K22];
Km=[M11 M0; M0 M22];
m= rho*N'*N*W(q)*det(J0);
KKglobal(sctrB,sctrB) = KKglobal(sctrB,sctrB)+Kk;
KMglobal(sctrB,sctrB) = KMglobal(sctrB,sctrB)+Km;
K(sctrB,sctrB) = K(sctrB,sctrB)+B'*B*W(q)*det(J0);
M(sctrB,sctrB) = M(sctrB,sctrB)+N'*N*W(q)*det(J0)+Km;
end % fin boucle quadrature
end % fin boucle for
IV. Le problème de valeur propre et vecteur propre
Résoudre un problème de valeurs propres consiste à trouver des couples 𝜆{𝑉} qui satisfont la
relation. A chaque valeur 𝜆 correspond un vecteur propre {𝑉}. La détermination des modes
propres de vibration d’une structure par la technique des éléments finis conduit à une relation
du type suivant :
[𝐾]{𝑉} − 𝜔2[𝑚]{𝑉}= 0 (111)
Cette équation nous rapporte à la relation suivante :
[𝐾]{𝑉} = 𝜔2[𝑚]{𝑉} (112)
Afin de nous amener au résultat suivant :
[𝐾]{𝑉} = λ{𝑉} (113)
Nous avons notre valeur propre λ avec son vecteur propre 𝑉 , à valeur matricielle de même
dimension que la matrice masse [𝑀] (378×378) ; cette taille est trop large pour la syntaxe
sur MATLAB, mais son résultat est utilisé pour les différentes calcules qui suit ; avec en
langage MATLAB, cette valeur est [λ; 𝑉; 𝐿] = eigs(M).
Concernant le mode propre ; la pulsation 𝜔 , d'après la relation [𝐾]{𝑉} − 𝜔2[𝑚]{𝑉}= 0,
nous donne : 𝜔2 = [𝐾]
[𝑚] (114)
63
D’où 𝜔 = √[𝐾]
[𝑀] (115)
Après le calcul sur MATLAB le mode propre de vibration est 378. Cette valeur est de la
même dimension que celle de la masse M. Le 30ème valeur de la pulsation est montré sur la
figure qui suit.
Figure 27 : La pulsation de la première à la trentième valeur
64
La méthode de puissance se traduit en langage MATLAB comme la suivante :
[V,L]=eigs(M)
e = eig(M), roots(poly(M))
L = diag(M)
for V = N:N
N=378;
L = V^-1*M*V
end
[V,L]=eigs(M)
toool=0.001;
df=eig(M);
xx=df;
for n=1:N
xx(n)=0,0003;
end
NN=3;%itteretion
xxx=xx/(norm(xx));
for k=1:NN
y=M*xx;
mu=xx.*y;
ERR=xx'-(y'/(norm(y')));
oo=y/(norm(y));
xx=oo;
if(ERR<toool)
disp('calcul terminé');
end
end
Pour la diagonalisation, nous sommes dirigés vers une méthode de résolution numérique
qui permet de calculer les fréquences propres par ordre croissant en nombre limité. Il s'agit
d'une méthode itérative basée sur le principe dit de la puissance, stipulant que :
𝜆𝑖{𝑉𝑖} = [𝐷]{𝑉𝑖} Equation (116)
On est alors ramené à l'étude des valeurs propres de la matrice [𝐷] = [𝐾]−1[𝑀] ou matrice
de flexibilité dynamique.
65
Pour 𝜆𝑖 la valeur propre associée au vecteur propre {𝑉𝑖}, on a donc 𝜆𝑖 =1
𝜔2 avec les
valeurs propres 𝜆𝑖 rangés par ordre décroissants.
Alors, 𝑥 étant un vecteur quelconque, nous avons :
lim𝑘→+∞
(𝑥𝑡[𝐷]𝑘𝑥
𝑥𝑡𝑥)
1𝑘
=1
𝜔12= 𝜆1
Lorsqu'on applique la méthode de la puissance, on obtient les valeurs propres par ordre
décroissantes car l'opération itérative donne la plus grande valeur propre.
Cette méthode est appelée de puissance inverse que nous allons adoptée, s'appuyant sur le
principe de l'élévation en puissances suivant :
[𝐷]𝑛𝑥𝑛−1 = ∏ 𝜆𝑖𝑛−1𝑖=1 𝑥0 (117)
Où 𝑋0 est un vecteur quelconque (nous le prenons tel que tous ses termes soient identiques
et normées par rapport à la matrice masse).
L'algorithme correspondant est résumé dans la figure ci-dessous qui suivent.
Figure 28 : Algorithme des valeurs propres
On applique la méthode de puissance la diagonalisation se traduit comme : 𝐿 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 (𝑀),
cette valeur est réduite à une diagonale d'une matrice de dimension (6 × 6).
66
V. Interprétation :
L’utilisation du programme spécifique ainsi conçu nous a permis d’analyser les vibrations
d'une poutre monocastrée et d’en déterminer les différentes valeurs des paramètres optimales
telles que la valeur propre λ, le vecteur propre V, le diagonale L et la pulsation ω ; à valeur
matricielle de dimension (378 × 378).
Théoriquement, on a utilisé plusieurs méthodes afin d'aboutir à ces résultats tels que la
matrice symétrique, la méthode de puissance et celle de puissance inverse. On a pu constater
que la démarche numérique est trop longue et très compliquée afin d'aboutir à ces résultats. Le
résultat de valeur propre, vecteur propre est la pulsation ω sont même valeur à celle de calcul
sur MATLAB, mais la diagonalisation est différente. Sur MATLAB, elle est 378 et la méthode
de puissance, elle est réduite à 6.
On a montré que les valeurs obtenues sont en bonne cohérence avec celles calculées avec
MATLAB, permettant ainsi de valider en premier temps notre méthode théorique.
Outre, la minimisation de la divergence entre les valeurs issues des deux programmes
constitue notre proche perspective. Pour l'instruction, nous avons constitué pour ce résultat
préliminaire. C'est-à-dire, dans ce travail, nous avons conduit pour la première fois l'étude d'une
poutre vibrante.
En conclusion, l’outil théorique proposé est donc capable pour l’analyse de la vibration d'une
poutre monocastrée siège l'augmentation de la valeur de la pulsation ω dépendant de la valeur
de la matrice de rigidité [K].
67
CONCLUSION
En bref, le développement d’un modèle de simulation numérique d’un système en
vibration interagissant avec son environnement est un sujet d’étude complexe, de par la
transdisciplinarité des domaines mis en jeu. Dans ce travail une investigation dans l’analyse
vibratoire par la méthode des éléments finis est faite, nous allons pu parcourir les étapes de
résolution numérique depuis le problème de l’ingénierie après une succession d’étude. Ces
études nécessitent la maîtrise de l’équation de la dynamique traité, la mécanique des milieux
continus mais encore l’algorithme de diagonalisation. Nous avons parlé de l’équation de
vibration en général. Après avoir fait un rapport sur les équations de système à l'étude (POO),
une formulation compacte de l'équation analytique est entretenue, en vue de développer un
algorithme adéquat pour l'assemblage et la résolution numérique du phénomène de la vibration
d'une poutre. Ensuite, une fois la matrice est obtenue, on a eu un problème aux valeurs propres
et vecteurs propres. La diagonalisation avec la méthode de puissance, qui nous a donné les
valeurs propres et les vecteurs propres puis la pulsation, a été obtenue par la fonction MATLAB
« eigs ».
Aujourd’hui, l’utilisation des différentes technologies devient incontournable pour traiter
les problèmes liés à la vibration d'une poutre monocastrée, cela permet de prédire les
possibilités d’éviter la destruction de l'ouvrage et de maximiser sa durée liée son utilisation
quotidienne.
Quant à l’exploitation des modèles développés pour des perspectives industrielles, une étude
en fatigue du système permettrait d’estimer son espérance de vie.
I
Bibliographies
[1] : Analyse vibratoire forcée des structures par éléments finis - BOUSBIA SALAH Seif
Eddine
[2]: Applied numerical method – John Morris
[3]: « Cours d’éléments Finis en Mécanique des Solides » Ecole Polytechnique de Montréal
- MARTIN LEVESQUE.
[4] : Cour éléments finis
[5]: finite element analysis – GEORGE R. BUCHANAN
[6]: Introduction to the finite element method – J.N.Reddy
[7] : L. ROCKEY et W. GRIFFITHS et R. EVANS et D. NETHERCOT. « Introduction à la
méthode des éléments finis » Éditions EYROLLES .61, bd Saint-Germain, 75005 PARIS
(1979)
[8] : Modélisation du comportement dynamique d’un plancher vibrant - Benoit Gely
[9] : Mécanique des milieux continus - Golay Frédéric
[10] : Méthode des éléments finis – Hervé Oudi
[11] : Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires
SOURCE
[1] : Analyse vibratoire forcée des structures par éléments finis - BOUSBIA SALAH Seif
Eddine
[2] : Modélisation du comportement dynamique d’un plancher vibrant - Benoit Gely
II
TABLE DES MATIÈRES
TENY FISAORANA .................................................................................................................. i
REMERCIEMENTS .................................................................................................................. ii
SOMMAIRE ............................................................................................................................. iii
NOTATIONS ............................................................................................................................ iv
LISTE DES TABLEAUX ......................................................................................................... vi
LISTE DES FIGURES ..............................................................................................................vii
INTRODUCTION ...................................................................................................................... 1
Chapitre I : Plancher vibrant [8] ................................................................................................. 3
I. État de l’art .......................................................................................................................... 3
II. Présentation du système : vibration ................................................................................... 3
II.1. Méthode numérique ........................................................................................................ 3
1. Modélisation de la plaque ............................................................................................... 4
2. Modélisation du raidisseur .............................................................................................. 6
3. Modélisation de la membrane ......................................................................................... 8
4. Modélisation du moteur .................................................................................................. 9
5. Modélisation des ressorts ................................................................................................ 9
6. Modélisation du système assemblé ............................................................................... 10
II.2. Résultats ........................................................................................................................ 11
III. Méthode expérimentales ................................................................................................. 13
III.1. Description ............................................................................................................... 13
III.2. Méthodologie ........................................................................................................... 19
III.3. Résultats ................................................................................................................... 20
IV. Analyse des vibrations d’un gong [1] ............................................................................. 23
IV.1. Le gong .................................................................................................................... 23
IV.2. Analyse modale expérimentale ................................................................................ 24
IV.3. Analyse en régime forcé .......................................................................................... 30
IV.4. Détails expérimentaux ............................................................................................. 30
Chapitre II. MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUES (Matériaux isotropes et élastiques)
.................................................................................................................................................. 32
I. Méthode des éléments finis ............................................................................................... 32
I.1. Définition .................................................................................................................... 32
I.2. Rappel sur la mécanique des milieux continues ......................................................... 33
I.3. La déformation ........................................................................................................... 34
I.4. Contrainte ................................................................................................................... 35
III
I.5. Méthode énergétique en élasticité .............................................................................. 37
I.6. Énergie Potentielle ..................................................................................................... 38
I.7. Formulation mixte ...................................................................................................... 39
II. Technique de résolution ................................................................................................... 39
II.1. Principes généraux .................................................................................................... 39
II.2. Matrice élémentaire ................................................................................................... 39
III. Présentation du problème ............................................................................................... 40
IV. Techniques de diagonalisations ...................................................................................... 46
IV.1. La méthode de puissance ......................................................................................... 46
IV.2. L'Algorithme de QR ................................................................................................ 53
CHAPITRE III. RESULTAT DE SIMULATION ................................................................... 58
I. Présentation du logiciel MATLAB ................................................................................ 58
II. Presentation du modèle ................................................................................................ 59
III. La matrice de rigidité et la matrice masse................................................................... 61
IV. Le problème de valeur propre et vecteur propre ......................................................... 62
V. Interprétation : .............................................................................................................. 66
CONCLUSION ........................................................................................................................ 67
Bibliographies ............................................................................................................................. I
TABLE DES MATIÈRES ......................................................................................................... II
Auteur : Harilaza RATSIMANISAINANA
Titre du mémoire : « Etude de la vibration d'une poutre monocastré par
la méthode des éléments finis »
Nombre de page : 67
Nombre de figures : 28
Nombre de tableau : 10
RESUME :
Au fil de ce mémoire, la transformation de l'équation différentielle en un modèle
d'élément fini par la méthode de Galerkin a été développé. L'utilisation du programme
spécifique ainsi conçu nous a permis d'analysé les vibrations de poutre et d'en déterminer les
différentes valeurs des paramètres optimales. On a utilisé plusieurs méthodes afin d'aboutir ces
résultats tels que méthode de puissance et puissance inverse. On a montré que les valeurs obtenues
sont en bonne cohérence avec celles calculées avec MATLAB. La minimisation de la divergence entre
les valeurs issues des deux programmes constitue notre proche perspective, l’outil théorique proposé est
donc capable pour l’analyse de la vibration d'une poutre monocastrée siège l'augmentation de la valeur
de la pulsation dépendant de la valeur de la matrice.
Mot clés : méthode des éléments finis, vibration, poutre, Méthode de Puissance.
ABSTRACT:
Over the course of this memory, the transformation of the differential equation in a finit
element model by the Galerkin method has been developed. The use of the specific program
thus conceived permitted us of analyzed the vibrations of beam and to determine the different
values of the optimal parameters of it. One used several methods in order to lead to these results.
One showed that the gotten values are in good consistency with those calculated with
MATLAB. The minimization of the divergence between the values descended of the two
programs constitutes our near perspective, the proposed theoretical tool is therefore capable for
the analysis of the vibration of a beam monocastrée seat the increase of the throbbing value
depending on the value of the matrix.
keywords: finit element method, vibration, beam, pawer method,
Directeur de mémoire : Docteur Mirana RAZAFIMAHEFA
Rapporteur du mémoire : Docteur Faliniaina RASOANOAVY
Adresse de l'auteur : Bloc 17 porte 586 Cur Vontovorona
Contact : 034 85 921 16
Adresse email : [email protected]
![SDLL125 - Diagramme de Campbell d'une poutre avec [] · SDLL125 – Diagramme de Campbell d'une poutre en rotation avec 2 disques et 2 paliers non symétriques soumise à la gyroscopie](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/603c2a87f8aee86eef0ba916/sdll125-diagramme-de-campbell-dune-poutre-avec-sdll125-a-diagramme-de-campbell.jpg)
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![[V6.02.119] SSNL119 - Réponse statique d'une poutre en béton armé](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/586e27ec1a28abfe5f8b9b02/v602119-ssnl119-reponse-statique-dune-poutre-en-beton-arme.jpg)
