Etude du système de deux points - CGDSMPSI

MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 08 Deux points ds - 2 avril 2012 page 1 / 6

Mécanique 8

Etude du système de deux points

Même s'il est vrai qu'après l'étude mécanique d'un point matériel il est logique de passer à celle de deux points matériels, l'importance du problème à deux corps dépasse largement ces considérations.

Le problème se pose de l'infiniment petit, la molécule diatomique, à l'infiniment grand, les mouvements de planètes autour du Soleil, ce que nous appellerons le problème de Kepler.

Il s'agit donc d'un système de deux points : donc deux points M1 et M2, de masses m1 et m2.

I. Description du problème

I.1. Centre d'inertie ou centre de masse

Soient

€

OM 1 =

€

r 1 et

€

OM 2 =

€

r 2 les vecteurs positions de M1 et M2 dans un référentiel R quelconque.

On définit le barycentre G du système par (m1 + m2)�

€

OG = m1�

€

OM 1 + m2�

€

OM 2 où O est un point

quelconque. Si O est confondu avec G on obtient : m1�

€

GM1 + m2�

€

GM2 =

€

0 ,

G étant entre M1 et M2 on en déduit aisément :

€

GM1 =

€

GM2 -

€

M1M2 →

€

GM2 =

€

m1m1 +m 2

•

€

M1M2 et

€

GM1 = -

€

m2m1 +m 2

•

€

M1M2

I.2. Eléments cinétiques dans R

I.2.1. Résultante cinétique

La résultante cinétique est la quantité de mouvement totale

€

p du système :

€

p =

€

p 1 +

€

p 2

€

p = m1�

€

v 1 + m2�

€

v 2 = m1�

€

d OM1dt

+ m2�

€

d OM2dt

=

€

d m1 ⋅OM1 +m2 ⋅OM2( )dt

= (m1 + m2)�

€

d OGdt

→

€

p = (m1 + m2)�

€

v G qui est la quantité de mouvement d'un point matériel ayant la masse totale du

système et la position de son centre d'inertie.

I.2.2. Moment cinétique

Rappel : moment cinétique en O :

€

L O =

€

OM ^

€

p =

€

OM ^ m•

€

v pour un point M de masse m.

Pour l'ensemble des deux points on aura

€

L O =

€

OM 1 ^ m1•

€

v 1 +

€

OM 2 ^ m2•

€

v 2

Si on change l'origine O en O' :

€

O'M =

€

O'O +

€

OM →

€

L O' =

€

L O +

€

O'O ^

€

p 1 +

€

O'O ^

€

p 2 =

€

L O +

€

O'O ^

€

p

Moment cinétique par rapport à un axe ∆ de vecteur unitaire

€

e ∆ passant par O : L∆ =

€

L O•

€

e ∆

I.2.3. Energie cinétique

L'énergie cinétique de l'ensemble des deux points dans R est Ec =

€

12

•m1•

€

v12 +

€

12

•m2•

€

v22

I.3. Référentiel barycentrique

I.3.1. Définition

On appelle référentiel barycentrique d'un système de points le référentiel R* animé d'un mouvement de translation par rapport au référentiel R, et dans lequel le point G est fixe.

Autrement dit, le référentiel R* est animé d'un mouvement de translation de vitesse

€

v G par rapport au

référentiel R et les vecteurs de base de R* sont invariants au cours du temps.

Pratiquement on choisira pour la base dans R* l'origine en G et les vecteurs unitaires égaux à ceux de R.


Nous allons calculer maintenant tous les éléments cinétiques dans ce référentiel particulier R* et tous ces éléments seront notés avec une *.

I.3.2. Eléments cinétiques dans le référentiel barycentrique

• Résultante cinétique barycentrique

On calcule

€

p * = (m1 + m2)�

€

v *G =

€

0 puis que G est immobile dans R*

• Moment cinétique barycentrique

€

L *G =

€

GM1 ^ m1•

€

v *1 +

€

GM2 ^ m2•

€

v *2

Par ailleurs de

€

L *A =

€

L *G +

€

AG ^

€

p * et

€

p * =

€

0 on déduit que le moment cinétique barycentrique de

notre système est le même quelque soit le point où on le calcule dans R*. En conséquence on le notera

simplement

€

L * .

Rappel : loi de composition des vitesses :

€

v R(M) =

€

v *(M) +

€

v e avec

€

v e =

€

v G vitesse de G dans R.

→

€

L O/R =

€

OM 1 ^ m1•

€

v 1 +

€

OM 2 ^ m2•

€

v 2 =

€

OM 1 ^ m1•(

€

v *1 +

€

v G) +

€

OM 2 ^ m2•(

€

v *2 +

€

v G)

€

L O/R =

€

OM 1 ^ m1•

€

v *1 +

€

OM 2 ^ m2•

€

v *2 +

€

OM 1 ^ m1•

€

v G +

€

OM 2 ^ m2•

€

v G

€

L O/R =

€

L *O + (m1•

€

OM 1 + m2•

€

OM 2 ) ^

€

v G =

€

L * + (m1 + m2)•

€

OG ^

€

v G.

Ce qui constitue le premier théorème de Koenig.

• Energie cinétique barycentrique

L'énergie cinétique de l'ensemble des deux points dans R est Ec =

€

12

•m1•

€

v12 +

€

12

•m2•

€

v22

Avec la loi de composition des vitesses :

EC = EC* +

€

12

.(m1+ m2)•

€

vG2 + (m1•

€

v *1 + m2•

€

v *2) •

€

v G or m1•

€

v *1 + m2•

€

v *2 =

€

p * =

€

0

On trouve le second théorème de Koenig : EC = EC* +

€

12

.(m1+ m2)•

€

vG2

II. Etude dynamique du système de deux points matériels

II.1. Forces intérieures et forces extérieures

On appelle force intérieure à un système de points une interaction entre deux points appartenant au système.

Ici donc, le système S étant constitué des deux points M1 (masse m1) et M2 (masse m2) l'action

€

F 1/2 de

M1 sur M2 est une force intérieure.

En plus de ces forces intérieures, le système peut être soumis à des forces extérieures.

• La somme – ou résultantes – des forces subies est donc somme de la résultante des forces intérieures

€

F int et de la résultante des forces extérieures

€

F ext.

Par le principe des actions réciproques

€

F 1/2 = -

€

F 2/1 et ces forces sont portées par l'axe M1M2. Donc la

somme des forces intérieures

€

F int =

€

0 .

La résultante des forces subies par un système se calcule donc en considérant seulement les forces extérieures.

• Le moment résultant en O des forces subies se compose du moment résultant en O des forces

extérieures

€

MO(

€

F ext) et du moment résultant en O des forces intérieures

€

MO(

€

F int)

€

MO(

€

F int) =

€

OM 1 ^

€

F 2/1 +

€

OM 2 ^

€

F 1/2 = (

€

OM 1 -

€

OM 2) ^

€

F 2/1 =

€

M2M1 1 ^

€

F 2/1 =

€

0 puisque

€

F 2/1 est portée par M1M2.

Le moment résultant en O des forces subies par un système se calcule donc en considérant seulement le moment en O des forces extérieures.


Même chose si on calcule le moment des forces par rapport à un axe.

II.2. Théorème du centre de masse

Hypothèses : soit un système S formé de deux points M1 (masse m1) et M2 (masse m2) fermé, ce qui veut

dire qu'il n'échange pas de matière avec l'extérieur. Le référentiel d'étude Rg est galiléen.

On peut alors écrire la RFD pour chacun des deux points soumis à des forces extérieures

€

F e et à l'action

de l'autre point → m1•

€

a 1 =

€

F e1 +

€

F 2/1 et m2•

€

a 2 =

€

F e2 +

€

F 1/2.

Par addition et avec

€

F 2/1 +

€

F 2/1 = 0 on a : m1•

€

a 1 + m2•

€

a 2 =

€

F e1 +

€

F e2

m1•

€

a 1 + m2•

€

a 2 = m1•

€

d 2OM1

dt 2 + m2•

€

d 2OM2

dt 2 =

€

d 2 m1 ⋅OM1 +m2 ⋅OM2( )dt 2 =

€

d 2 m1 +m2( ) ⋅OG

dt 2

En posant m1 + m2 = m on trouve le théorème du centre d'inertie m•

€

a G = ∑

€

F ext.

Dans un référentiel galiléen Rg le mouvement du centre de masse d'un système de deux points matériels

est celui d'un point matériel où serait concentrée toute la masse du système.

Sera généralisée en seconde année aux systèmes matériels quelconques.

On en déduit immédiatement le théorème de la quantité de mouvement :

€

d p

dt = ∑

€

F ext

II.3. Théorème du moment cinétique

Même démarche : on écrit le théorème du moment cinétique pour chacun des points dans Rg

€

d

L O ,1dt

=

€

OM 1 ∧ (

€

F e1 +

€

F 2/1) et

€

d

L O ,2dt

=

€

OM 2 ∧ (

€

F e2 +

€

F 1/2) et on les additionne :

€

d

L O ,1dt

+

€

d

L O ,2dt

=

€

OM 1 ∧

€

F e1 +

€

OM 2 ∧

€

F e2 +

€

OM 1 ∧

€

F 2/1 +

€

OM 2 ∧

€

F 1/2 dont les deux derniers

termes sont la somme des moments des forces intérieures qui est nulle.

On pose

€

L O =

€

L O,1 +

€

L O,2 moment cinétique résultant de S en O et on obtient le théorème du

moment cinétique en O fixe dans le référentiel galiléen Rg :

€

d

L Odt

= ∑

€

M (

€

F ext).

Dans un référentiel galiléen Rg la dérivée du moment cinétique résultant d'un système de deux points

matériels en un point fixe du référentiel est égale à la somme des moments en ce point des forces extérieures au système.

On en déduit le théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe :

€

dLOz

dt= Mz,ext.

III. Etude énergétique

III.1. Puissance et travail des forces intérieures

Soit Pint la somme des puissances des forces intérieures : Pint =

€

F 2/1•

€

v 1 +

€

F 1/2•

€

v 2 =

€

F 1/2•(

€

v 2 -

€

v 1)

ou Pint =

€

F 1/2•

€

d M1M2dt

= F1/2•

€

dM1M2dt

puisque

€

F 1/2 est colinéaire à

€

M1M2 .

On remarque que la puissance des forces intérieures est fonction de la position relative des deux points et ne dépend pas du référentiel d'étude.

Le travail des forces intérieures est Wint =

€

∫ P•dt =

€

∫ F1/2•

€

dM1M2dt

•dt =

€

∫ F1/2•d(M1M2)

On constate que Wint est nul si d(M1M2) = 0 soit si M1M2 = constante c'est à dire pour un système

indéformable.

La puissance et le travail des forces intérieures ne sont nuls que pour des systèmes indéformables.


III.2. Théorèmes de la puissance et de l'énergie cinétiques

En écrivant ces théorèmes pour chacun des points matériels – sans oublier les forces d'inertie au cas où le référentiel d'étude ne serait pas galiléen – puis en additionnant les équations obtenues :

€

dEC1dt

+

€

dEC2dt

= P1 + P2 = Pint,1 + Pext,1 + Pint,2 + Pext,2 soit :

€

dECdt

= Pext + Pint

La dérivée de l'énergie cinétique du système est égale à la somme des puissances de toutes les forces, intérieures et extérieures, subies par le système.

Par intégration, on retrouve le théorème de l'énergie cinétique : ∆Ec = Wext + Wint : dans un référentiel

galiléen la variation de l'énergie cinétique d'un système de points entre deux instants, est égale à la somme des travaux effectués entre des deux dates par toutes les forces, intérieures et extérieures subies par le système.

Noter que dans le cas de systèmes rigides et indéformables la puissance et le travail des forces intérieures sont nuls.

III.3. Energies potentielle et mécanique

On peut encore distinguer parmi les forces extérieures comme parmi les forces intérieures, des forces conservatives et des forces non conservatives et poser ∆Ep = - W pour les forces conservatives.

∆Ec = - ∆Ep,ext - ∆Ep,int + Wnoncons soit ∆Ec + ∆Ep,ext + ∆Ep,int = ∆E = Wnoncons

L'énergie mécanique du système est somme des énergies cinétiques des points et de toutes les énergies potentielles d'interaction des points du système avec l'extérieur et de l'énergie potentielle interne résultant des interactions des points du système entre eux.

Entre deux dates, la variation de l'énergie mécanique du système est égale au travail effectué entre ces dates par les forces non conservatives.

IV. Système isolé de deux points

IV.1. Hypothèses d'étude

Nous supposerons que le système est isolé, autrement dit la seule interaction non négligeable est celle qui a lieu entre les deux points.

L'étude est faite dans un référentiel supposé galiléen Rg. Le choix de ce référentiel dépend du système

concret envisagé.

Exemples de cas concrets :

• noyau et électron d'un atome d'hydrogène dans un référentiel terrestre : le poids des particules est négligeable devant la force électrostatique qu'ils exercent l'un sur l'autre.

• Soleil et planète dans le référentiel de Copernic : les forces de gravitation exercées par les autres astres sont négligeables

IV.2. Mouvement des points M1 et M2 dans Rg

IV.2.1. Mouvement du barycentre

Nous supposerons le système isolé du monde extérieur, autrement dit, seules les forces intérieures au système ne sont pas nulles (ou négligeables).

La RFD dans le référentiel galiléen Rg donne : ➀ m1•

€

d v 1

dt =

€

F 2/1 = -

€

F et ➁ m2•

€

d v 2

dt =

€

F 1/2 =

€

F

Ces deux équations couplées, ne peuvent pas être résolues séparément car

€

F dépend des positions des

deux points. D'où la difficulté.

Si l'on ajoute membre à membre les deux équations, on aboutit à

€

d v

dt=

€

0 . Ce qui revient à dire que le

mouvement d'ensemble d'un système de deux particules isolé, défini par le mouvement de son centre d'inertie G, est un mouvement rectiligne uniforme.

On le savait déjà, c'est le principe d'inertie.


IV.2.2. Mouvement relatif des particules

Nous noterons

€

r =

€

r 2 –

€

r 1 = r•

€

u , la position relative de M2 par rapport à M1. Sa dérivée

temporelle

€

v =

€

d

r dt

=

€

v 2 –

€

v 1 est la vitesse de M2 par rapport à M1 ou vitesse relative de M2 par rapport

à M1.

• En divisant l'équation ➀ par m1, l'équation ➁ par m2, et en soustrayant membre à membre, on obtient :

€

d v 2

dt -

€

d v 1

dt=

€

1m2

•

€

F 1/2 -

€

1m1

€

F 2/1 =

€

1m2

+1

m1

"

# $

%

& ' •

€

F =

€

d v

dt. Posons

€

1µ

=

€

1m1

+

€

1m2

On obtient µ•

€

d v

dt =

€

F = µ•

€

d 2 r dt 2 ce qui n'est autre que la RFD appliquée à un mobile ponctuel (fictif)

de masse µ, placé en M tel que

€

r =

€

OM =

€

M1M2 , soumis à la force

€

F égale à celle que le point M1

exerce sur M2. µ est appelée masse réduite de ce système.

La solution

€

r (t) détermine le mouvement de ce mobile fictif qui est le mouvement relatif de M2 par

rapport à M1.

IV.2.3. Mouvements dans Rg

On connaît le mouvement du barycentre G, mouvement rectiligne uniforme dans Rg puisque le système

est isolé et le mouvement relatif de M2 par rapport à M1. On peut donc déterminer les mouvements des

deux points : m2�

€

GM2 = - m1�

€

GM1 →

€

GM2m1

= -

€

GM1m2

=

€

GM2 −GM1m1 +m 2

=

€

M1M2m1 +m 2

=

€

r

m1 +m 2

→

€

GM2 =

€

m1 ⋅

r m1 +m 2

→

€

OM 2 =

€

OG +

€

m1 ⋅

r m1 +m 2

et

€

GM1 = -

€

m2 ⋅

r m1 +m 2

→

€

OM 1 =

€

OG +

€

m2 ⋅

r m1 +m 2

.

Une manière élégante de simplifier ces expressions, serait d'avoir

€

OG constamment nul. Autrement dit il faudrait placer l'origine du repère en G dans un référentiel galiléen.

IV.3. Mouvements dans le référentiel barycentrique

Le référentiel barycentrique R* est en translation rectiligne uniforme dans Rg, Rg étant un référentiel

galiléen, R* est également galiléen.

IV.3.1. Réduction canonique

• Mobile "équivalent" ou mobile "réduit"

L'application de la RFD dans Rg a conduit à la relation µ�

€

d 2 r dt 2 =

€

F , donc à la RFD appliquée à un

point matériel M de masse µ dont la position est repérée par

€

r et soumis à la force

€

F . Ce point est appelé

mobile fictif équivalent ou mobile réduit. La résolution de cette équation permet de déterminer

€

r .

L'équation est vrai dans tout référentiel galiléen, choisissons R*. On a donc

€

r =

€

GM =

€

M1M2

On en déduira

€

GM2 =

€

m1 ⋅

r m1 +m 2

et

€

GM1 = -

€

m2 ⋅

r m1 +m 2

par homothétie.

Remarquons que la force

€

F a la direction de

€

M1M2 donc passe constamment par G, c'est une force centrale. Autrement dit, le mouvement de la particule fictive M est un mouvement à force centrale.

Donc l'utilisation du mobile équivalent ramène le problème à deux corps à celui du mouvement d'un point matériel de masse µ dans un champ de forces F(r)�

€

e r centrale (et connu).

On a procédé à la réduction canonique du problème.

IV.3.2. Grandeurs barycentriques

Toutes les grandeurs caractéristiques du mouvement devront être exprimées dans le référentiel barycentrique, et seront notées avec une étoile.

•

€

r *1 =

€

GM1,

€

r *2 =

€

GM2 et

€

r =

€

r *2 -

€

r *1, avec m1�

€

r *1 + m2�

€

r *2 =

€

0 par définition du

barycentre


⇒

€

r *2 =

€

m1 ⋅

r m1 +m 2

et

€

r *1 = -

€

m2 ⋅

r m1 +m 2

• D'où, par dérivation dans R*, les vitesses :

€

v 2* =

€

m1m1 +m 2

�

€

v et

€

v 1* = -

€

m2m1 +m 2

�

€

v où

€

v est la

vitesse du mobile équivalent.

• Soit

€

p la quantité de mouvement du système dans Rg, la quantité de mouvement du système dans R*

est

€

p * =

€

0 puisque G est immobile dans R*. On en déduit que

€

p *1 +

€

p *2 =

€

0 .

• L'énergie cinétique barycentrique EC* du système est la somme des énergies cinétiques barycentriques

des deux points : EC* =

€

12�m1�v1*2 +

€

12�m2�v2*2 =

€

12�v2�

€

m1m1 +m2

"

# $

%

& '

2

⋅m2 +m2

m1 +m2

"

# $

%

& '

2

⋅m1

)

*

+ +

,

-

.

.

⇒ EC* =

€

12�v2�

€

m1 ⋅m2

m1 +m2( )2�(m1 + m2) =

€

12

•µ�v2. L'énergie cinétique du système dans le référentiel

barycentrique est égale à l'énergie cinétique du mobile équivalent.

• Le moment cinétique barycentrique du système est la somme des moments cinétiques barycentriques des deux points. Rappel il est le même en tout points du référentiel barycentrique :

€

L * =

€

r 1 ^ m1•

€

v 1* +

€

r 2 ^ m2•

€

v 2* =

€

m2m1 +m2

"

# $

%

& '

2

•m1•

€

r ^

€

v +

€

m1m1 +m2

"

# $

%

& '

2

•m2•

€

r ^

€

v

€

L * =

€

m1 ⋅m2m1 +m 2

•

€

r ^

€

v =

€

r ^ µ•

€

v qui est le moment cinétique mobile équivalent.

IV.4. Mouvement à force centrale

Donc l'étude du mouvement de ce système isolé de deux points revient à l'étude du mouvement de la particule fictive M associée. Mais il ne faudra pas oublier de revenir aux deux points dont les mouvements se déduisent de celui de la particule fictive par homothétie.

Cette particule est soumise à une force centrale

€

F nous étudions son mouvement dans R* qui est un

référentiel galiléen.

Comme pour tout mouvement à force centrale,

€

MG(

€

F ) =

€

0 → le théorème du moment cinétique

permet d'écrire que

€

L * est un vecteur constant. On choisit cette direction privilégiée du mouvement

comme axe

€

e z du référentiel tel que

€

L = L•

€

e z.

On en déduit :

⇒ que le mouvement plan :

€

r et

€

v restent perpendiculaires à

€

L , le mouvement est dans le plan

perpendiculaire à

€

L contenant G soit ici le plan xGy.

⇒ Les coordonnées polaires conviennent mieux →

€

GM =

€

r = r•

€

e r et

€

v =

€

˙ r •

€

e r + r•

€

˙ ϑ •

€

e ϑ

⇒

€

L * = µ•r2•

€

˙ ϑ •

€

e z est un vecteur constant donc sa norme est constante et C = r2�

€

˙ ϑ = constante

appelée constante des aires, déterminée par les conditions initiales : C =

€

r02 �

€

˙ ϑ 0.

⇒ la vitesse aréolaire : pendant dt, l'aire (assimilée à celle d'un petit triangle) balayée par le rayon

vecteur est dS =

€

12�r�r�dϑ =

€

12�r2�

€

˙ ϑ �dt → la vitesse aréolaire :

€

dSdt

=

€

12

•C qui justifie le nom de constante

des aires pour C.

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