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Etudes des principales lois de probabilité Loi Binomiale probabilité d’une variable aléatoire discrète modèle : urne avec deux types de boules • effectuer n tirages équiprobables avec remise. l’urne contient (N 1 +N 2 ) boules dont N 1 sont blanches et N 2 sont noires. probabilité de tirer une boule blanche B est p N N N 1 1 2

Etudes des principales lois de probabilité

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Etudes des principales lois de probabilité. Loi Binomiale probabilité d’une variable aléatoire discrète modèle : urne avec deux types de boules effectuer n tirages équiprobables avec remise . l’urne contient (N 1 +N 2 ) boules dont N 1 sont blanches et N 2 sont noires. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Etudes des principales lois de probabilité

Etudes des principales lois de probabilité

Loi Binomiale

• probabilité d’une variable aléatoire discrète

• modèle : urne avec deux types de boules

• effectuer n tirages équiprobables avec remise.

• l’urne contient (N1+N2) boules dont N1 sont

blanches et N2 sont noires.

• probabilité de tirer une boule blanche B est p N

N N1

1 2

Page 2: Etudes des principales lois de probabilité

Etudes des principales lois de probabilité

• La probabilité de tirer une boule noire N est

• L’univers des éventualités comprend uniquement deux éventualités : = {B, N}

• on peut alors construire une V.A.

qN

N N1 p

2

1 2

Page 3: Etudes des principales lois de probabilité

Loi binomiale : tirage d’une boule

• L’univers des éventualités est = {B, N}.

On a :

• telle que X(B) = 1 avec une probabilité

Pr{X = 1} = p

• et X(N) = 0 avec une probabilité

Pr{X = 0} = q

Page 4: Etudes des principales lois de probabilité

Loi binomiale : tirage de deux boules avec remise

• L’univers des éventualités est

= {BB, BN, NB, NN}

• X(BB) = 2 avec une probabilité Pr{X = 2} = p²

• X(BN) = 1 et X(NB) = 1 avec une probabilité Pr{X = 1} = 2pq

• X(NN) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q²

• Les valeurs des probabilités sont obtenues par le développement de (p + q)² = 1

Page 5: Etudes des principales lois de probabilité

Loi binomiale : tirage de trois boules avec remise

• L’univers des éventualités est

= {BBB, BBN, BNB, NBB, BNN, NBN, NNB, NNN}

• X(BBB) = 3 avec une probabilité Pr{X = 3} = p3

• X(BBN) = 2, X(BNB) = 2, X(NBB) = 2 avec une probabilité Pr{X = 2} = 3p²q

• X(BNN) = 1, X(NBN) = 1, X(NNB) = 1, avec une probabilité Pr{X = 1} = 3pq²

• X(NNN) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q3

Page 6: Etudes des principales lois de probabilité

Loi binomiale : tirage de quatre boules avec remise

• Pour quatre tirages avec remise, les probabilités

s’obtiennent par le développement de :• (p+q)4 = p4 + 4p3q + 6p²q² + 4pq3 + q4 = 1

Page 7: Etudes des principales lois de probabilité

Généralisation

• on effectue n tirages avec remise (tirage non exhaustif). Les probabilités Pr(X = x), d’obtenir x boules blanches en effectuant n tirages avec remise s’obtiennent par le développement de :

• (p+q)n =

+ + ...

+ + ...

+

= 1

n

n n 0C p q

n

n-1 n-1 1C p q

n

x x n-xC p q

n

0 0 nC p qn

x

Cn!

x!(n x)!

Page 8: Etudes des principales lois de probabilité

Loi binomiale

• La probabilité Pr{X = x}, d’obtenir x boules blanches lors de n tirages

• avec remise est : Pr {X = x} = • = loi binomiale• Propriétés :

E(X) =

Var(X) =

F(X) = Pr(Xx) =

n

xxp n-xqC

np= x. (X x)Prx 0

n

npq= (x-E(X)) . (X x)2

x 0

n

Pr

Pr(X x)x 0

x-1

Page 9: Etudes des principales lois de probabilité

Histogramme et fonction de répartition de la loi binomiale n = 6, p=q=0,5

x Pr(X=x)

0 : 1(0,5)0 (0,5)6 = 1/64 = 0,016

1 : 6(0,5)1 (0,5)5 = 6/64 = 0,094

2 : 15(0,5)2 (0,5)4 = 15/64 = 0,234

3 : 20(0,5)3 (0,5)3 = 20/64 = 0,312

4 : 15(0,5)4 (0,5)2 = 15/64 = 0,234

5 : 6(0,5)5 (0,5)1 = 6/64 = 0,094

6 : 1(0,5)6 (0,5)0 = 1/64 = 0,016

Page 10: Etudes des principales lois de probabilité

Diagramme en bâton de la distribution Binomiale

N=6; p=q=0,5

00,10,20,30,4

0 1 2 3 4 5 6

x

Pr(X=x)

Page 11: Etudes des principales lois de probabilité

Fonction de répartition

x F(x) = Pr(Xx)

x = 0 : 1/64 = 0,016

x = 1 : 7/64 = 0,110

x = 2 : 22/64 = 0,344

x = 3 : 42/64 = 0,656

x = 4 : 57/64 = 0,890

x = 5 : 63/64 = 0,984

x = 6 : 64/64 = 1,000

Page 12: Etudes des principales lois de probabilité

Fonction de répartition

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7

x

Pr(X=x)

F(X) = Pr(X x)

0 1 2 3 4 5 6

Page 13: Etudes des principales lois de probabilité

Exemple• On considère un test constitué de QCM pour

lesquelles cinq réponses sont présentées dont une seule est correcte. Le test comprend n = 6 questions.

Quelle est : • - la probabilité d’avoir au moins 4 bonnes réponses en

répondant au hasard, soit Pr(X 4)

• - la probabilité d’avoir moins de 4 bonnes réponses en répondant au hasard, soit Pr(X < 4)

• - l’espérance mathématique E(X)

• - la variance Var(X)

Page 14: Etudes des principales lois de probabilité

Exercice

• Solution : En répondant au hasard à chaque question on a 1 chance sur 5 de répondre correctement à la question et 4 chances sur 5 de donner une réponse fausse.

• p = 0,2 d’avoir une réponse juste et une probabilité q = 0,8 d’avoir une réponse fausse.

• Le nombre de tirage est n = 6, le tirage peut être considéré avec remise puisqu’à chaque tirage les probabilités p et q ne changent pas.

Page 15: Etudes des principales lois de probabilité

Exercice

• Donc loi binomiale : avec n = 6, p = 0,2, q= 0,8.• X ; Formule de calcul ; Pr(X=x)• 0 : 1(0,2)0 (0,8)6 = 0,262• 1 : 6(0,2)1 (0,8)5 = 0,393• 2 : 15(0,2)2 (0,8)4 = 0,245• 3 : 20(0,2)3(0,8)3 = 0,082• 4 : 15(0,2)4 (0,8)2 = 0,015• 5 : 6(0,2)5 (0,8)1 = 0,001• 6 : 1(0,2)6 (0,8)0 = 0,00006

Page 16: Etudes des principales lois de probabilité

Probabilité d'avoir X réponses justes

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

1 2 3 4 5 6 7

x

Pr(X=x)

Page 17: Etudes des principales lois de probabilité

exercice

• La probabilité Pr(X 4) est obtenue en faisant la somme des probabilités suivantes

• Pr(X 4) = Pr(X=4) + Pr(X=5) + Pr(X=6) = 0,015 + 0,001 + 0,000006 0,017

• La probabilité Pr(X < 4) est obtenue en faisant la somme des probabilités suivantes

• Pr(X < 4) = Pr(X=0) + Pr(X=1) + Pr(X=2) + Pr(X=3) = 1- Pr(X 4) = 0,983

Page 18: Etudes des principales lois de probabilité

exercice

• Espérance mathématique : E(X) = np = 6 * 0,2 = 1,2

• Variance : Var(X) = npq = 6 * 0,2 * 0,8 = 0,96

Page 19: Etudes des principales lois de probabilité

Exercice 2

• Epidémie de méningite à méningocoque

• 7 sujets atteints

• Purpura Fulminans dans 21% des cas en général

• Probabilité d’avoir au moins 1 cas ?

• Probabilité d’avoir plus de 3 cas ?

Page 20: Etudes des principales lois de probabilité

Exercice 2

• Soit X le nombre de PF

• Pr(X = 0) = 1 * 0,210 * 0,797 = 0,192

• Pr(X = 1) = 7 * 0,211 * 0,796 = 0,357

• Pr(X = 2) = 21 * 0,212 * 0,795 = 0,285

• Pr(X = 3) = 35 * 0,213 * 0,794 = 0,126

• Pr(X = 4) = 35 * 0,214 * 0,793 = 0,034

Page 21: Etudes des principales lois de probabilité

Exercice 2

• Pr(X = 5) = 21 * 0,215 * 0,792 = 0,005

• Pr(X = 6) = 7 * 0,216 * 0,791 = 0,0005

• Pr(X = 7) = 1 * 0,217 * 0,790 = 0,00002

• Donc Pr(X >0) = 1-0,192 = 0,808

• Pr(X>2) = 0,166

Page 22: Etudes des principales lois de probabilité

Exemple : Essai Th. phase II

• Développement médicaments : 4 phases

Phase : I / II / III / IV

• Phase II : Étudie l’efficacité thérapeutique (relation effet dose)

• Efficacité « pharmacologique » (critère de substitution) : pharmacodynamie

• médicament n ’a pas encore fait ses preuves : sécurité max et minimiser nombre de sujets

Page 23: Etudes des principales lois de probabilité

Exemple : Essai Th. phase II

• Principe :

• inclusion de n1 sujets dans la première étape,

• puis selon les résultats, ajout ou non d ’une seconde étape avec n2 sujets.

• On considère ici uniquement la première étape qui consiste à arrêter l’étude lorsque le nombre de succès du traitement est insuffisant.

• Drogue jugée inefficace si série « longue » de patients sans succès thérapeutique ou sans effet pharmacologique.

Page 24: Etudes des principales lois de probabilité

Exemple : Essai Th. phase II

• Habituellement, rejet d’une molécule si moins de 20% de succès. Donc : urne, p = 0,2

• rejet de la molècule si n sujets consécutifs sans succès : si n « grand » : indicateur d ’un taux de succès insuffisant (d ’une efficacité insuffisante)

• d ’où calcul du nombre de sujets n devant ne pas répondre au traitement justifiant l ’arrêt du développement de la molécule

• Choisir un risque de rejeter à tort la molécule : 5%.

Page 25: Etudes des principales lois de probabilité

Exemple : Essai Th. phase II

• On sait que : Pr{X = x} = Cxn pxqn-x

• Pr{X = 0} = C00p0qn = 0,8n < 0,05

• d ’où : n = ln(0,05)/ln(0,8) = 13.42

• et Pr(X=0|p=0,2) = 0,044.

• Donc, si 14 sujets sans efficacité, on rejete la molécule, considéré comme ayant un taux de succès inférieur à 0,20.

Page 26: Etudes des principales lois de probabilité

Exemple : Essai Th. phase II

• Quelques autres valeurs du risque si n<14 : – n=13, p=0,055

– n=12, p=0,069

– n=11, p=0,086

– n=10, p=0,107

• Si, parmi 14 sujets, un ou plusieurs sujets répondent, on passe à la deuxième étape de l’étude (non étudiée ici).

Page 27: Etudes des principales lois de probabilité

Loi de Poisson

• C’est la loi des événements rares (événements se produisant peu souvent).

• Ceci se traduit par une probabilité p faible (correspond à quelques boules blanches et un grand nombre de boules noires dans une urne).

• Cette loi peut se déduire de la loi binomiale. • Définition : une loi de probabilité suit une loi de

Poisson si Pr(X=x) = !

x

xe

Page 28: Etudes des principales lois de probabilité

Loi de Poisson

• x est entier, E(X) = Var(X) = np = • Exemple : X = 1 = 0,6

Pr(X=1) = = 0,33

• On peut montrer que la loi Binomiale tend vers une loi de Poisson dans certaines conditions

lorsque n et p 0

Pr{X = x} =

!1e 6,0

6,0

q x-npxxnC !

x

xe

Page 29: Etudes des principales lois de probabilité

Loi de Poisson: n=600 p=0,001

0

0,2

0,4

0,6

0 1 2 3 4 5 6

X

Pr(

X=x)

Pr(X=x)

Densité de probabilité d ’une loi de Poisson

Page 30: Etudes des principales lois de probabilité

Loi de Poisson

• Soit n = 600 p = 0,001 ( np = 0,6 et nq = 0,4 )

Poisson Binomiale

• x Pr{X = x} = Pr{X = x} =

• 0 0,5488 0,5486

• 1 0,3292 0,3295

• 2 0,0987 0,0988

• 3 0,0197 0,0197

• 4 0,00296 0,00295

Page 31: Etudes des principales lois de probabilité

Loi de Poisson

• Applications :

• calcul du nombre de patients consultant aux urgences entre 22 et 23 h.

• Soit 100 plages horaires

• Objectif de plannification

Page 32: Etudes des principales lois de probabilité

Loi de Poisson

• Si moyenne = = 3

• Pr(X = 0) = 0,0498 5% des tranches horaires

• Pr(X = 1) = 0,1494

• Pr(X = 2) = 0,2240

• Pr(X = 3) = 0,2240

• Pr(X = 4) = 0,1680

• Pr(X = 5) = 0,1008

• Pr(X = 6) = 0,0504

• Pr(X > 6) = 0,0335

Page 33: Etudes des principales lois de probabilité

Exercice 2 (J. Bouyer)

• Dpt Calvados : 600 000 h. et 15 cas par an de K thyroïde.

• Proba d’observer 10 nouveaux cas en une année : Pr(X=10) = e-15 1510/10!

• Plus long à calculer avec Binomiale