Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace

Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616

Název projektu: Inovace výuky

Číslo a název šablony klíčové aktivity:

EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol

Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)

EU-8-49 – DERIVACE FUNKCE V(věty o derivaci funkcí)

Anotace Věty o derivaci funkcí (derivace součinu a podílu funkcí).

Autor PaedDr. Milan Rieger

Jazyk Čeština

Očekávaný výstupŽák chápe věty o derivování funkcí jako nástroj pro efektivní výpočet derivací funkcí a také jako nástroj odvození derivací dalších elementárních funkcí. Žák umí formulované a dokázané věty aplikovat.

Klíčová slova Derivace, matematická věta, důkaz věty, věta o derivování součinu a podílu funkcí.

Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy

Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace

Cílová skupina Žák

Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání

Typická věková skupina 17 – 19 let

Datum vytvoření 28. 12. 2012

MOTIVACE VĚTY o derivaci součinu dvou funkcíNa obrázku vidíme graf funkce y = x . sin x [ y = f(x) . g(x) ]. Ukažme si nejdříve výpočet derivace použitím definice derivace, pokusme se „objevit“ vzorec pro výpočet derivace součinu dvou funkcí.

Výpočet derivace funkce y = x . sin x pomocí definice derivace:

y = x . sinx y' = [ x . sinx ]' = (x)' . sinx + x . (sinx)' = sinx + x . cosxy = f(x) . g(x) y' = [ f(x) . g(x) ]' = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x)

VĚTA 1: Předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x0. Potom má v bodě x0 derivaci funkce f(x) . g(x) a platí:

[f(x) • g(x)]'(x0) = f'(x0) • g(x0) + f(x0) • g'(x0).

Přímý důkaz věty:1. předpoklad - Funkce f(x) má v bodě x0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita:

2. předpoklad - funkce g(x) má v bodě x0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita:

3. předpoklad - funkce g(x) má v bodě x0 vlastní derivaci, to znamená, že platí:

Je tedy patrné, že nemůžeme mechanicky přenášet zkušenost z derivování součtu a rozdílu funkcí na derivování součinu dvou funkcí.

ILUSTRATIVNÍ PŘÍKLAD – derivujte funkci

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxyxxy

xxy

2cos2sin

cos2sin

cossin21

sinsinsin

sin

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

MOTIVACE VĚTY o derivaci podílu dvou funkcíNa obrázku vidíme funkce y = x [funkce f(x)] a y = x2 + 1 [funkce g(x)]. Jejich vydělením [f(x) : g(x)] dostaneme novou funkci o rovnici

Chceme vypočítat derivaci "nové" funkce v libovolném bodě x0 definičního oboru funkce [to je množina všech reálných čísel]. Pomocí definice derivace dostaneme:

1)()(

2 xx

xgxf

y

Z výpočtu derivace je zřejmé, že nebude platit pravidlo „derivace podílu je rovna podílu derivací“. Jak tedy vypočítáme derivaci podílu dvou funkcí?

VĚTA 2: Předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x0

a g(x0) 0.Potom má v bodě x0 derivaci funkce f(x)/g(x) a platí:

20

0000

/

)( )(

)()()()()()(

0xg

xgxfxgxfxgxf

x

Přímý důkaz věty:

1. předpoklad - Funkce f(x) má v bodě x0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita:

2. předpoklad – Funkce g(x) má v bodě x0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita:

3. předpoklad - funkce g(x) má v bodě x0 vlastní derivaci, to znamená, že platí:

4. předpoklad - g(x0) 0

ILUSTRATIVNÍ PŘÍKLAD

DŮLEŽITÝ PŘÍKLAD – odvození derivace funkce y = tg x pomocí věty 2

xxxx

xxxx

xxxxx

xx

y

xx

tgxy

22

22

2

2

2

cos1

cossincos

cossin.sincos

coscossincossin

cossin

cossin

DŮLEŽITÝ PŘÍKLAD – POROVNÁNÍ odvození derivace funkce y = tg x pomocí definice derivace

Vypčítejte derivace následujících funkcí v libovolném bodě definičního oboru. (Vždy určete definiční obor dané funkce a její derivace.)

41

.6

23

.5

.4

cos.3

sin.2

cot.1

2

2

4

5

7 2

xx

y

xx

y

tgxxy

xxy

xxy

gxy

ŘEŠENÍ ÚLOH

Úloha 1

xx

xx

x

xxxx

x

xxxx

x

xy

x

xgxy

22

22

22

sin

1

sin

cossin

sin

cos.cossinsin

sin

sincossincos

sin

cos

sin

coscot

Úloha 2

7 5

7 2

7 5

7

2

7

5

7

2

7

2

7

27 2

7

cos7sin2cos

7

sin2

cossin72

sinsin

sinsin

x

xxxxx

x

x

xxxxxxxxy

xxxxy

Úloha 3

5 45

5 4

5

1

5

4

5

1

5

1

5

15

5

sin5cossin

5

cos

sincos51

coscos

coscos

x

xxxxx

x

x

xxxxxxxxy

xxxxy

Úloha 4

x

xxxx

xxxx

xxxxx

xx

xx

x

xxtgxxtgxxtgxxy

tgxxy

2

3

2

43

2

43

2

43

24344

4

cos2sin2

coscossin22

coscossin4

coscossin

4

cos1

4

Úloha 5

Úloha 6

222 2

5

2

32

2

2323

23

xx

xx

x

xxxxy

xx

y

2222

22

22

22

22

2222

2

2

4

10

4

142

4

2142

4

4141

41

x

x

x

xxx

x

xxxx

x

xxxxy

xx

y

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.