Embed Size (px)
DESCRIPTION
EU-8-58 – DERIVACE FUNKCE XIV (konvexnost a konkávnost funkce). MOTIVACE KONVEXNOSTI A KONKÁVNOSTI FUNKCE V BODĚ x 0. Graf funkce f leží nad tečnou t. Graf funkce f leží pod tečnou t. Graf funkce f leží nad tečnou t v libovolném bodě. Graf funkce f leží pod tečnou t v libovolném bodě. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace
Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616
Název projektu: Inovace výuky
Číslo a název šablony klíčové aktivity:
EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol
Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)
EU-8-58 – DERIVACE FUNKCE XIV(konvexnost a konkávnost funkce)
AnotaceDefinice funkce konvexní a konkávní v bodě i v intervalu. Použití při řešení úloh o průběhu funkcí. Animace jako důležitý prostředek pochopení lokálního významu znaménka druhé derivace.
Autor PaedDr. Milan Rieger
Jazyk Čeština
Očekávaný výstupŽák rozumí definicím funkce konvexní a konkávní v bodě i v intervalu, je schopen řešit jednoduché úlohy na zjišťování konvexnosti či konkávnosti v kontextu úloh o průběhu funkce.
Klíčová slova Funkce konvexní (konkávní) v bodě, funkce konvexní (konkávní) v intervalu. Důkaz vět.
Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy
Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace
Cílová skupina Žák
Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání
Typická věková skupina 17 – 19 let
Datum vytvoření 10. 12. 2013
MOTIVACE KONVEXNOSTI A KONKÁVNOSTI FUNKCE V BODĚ x0
Graf funkce f leží nad tečnou t. Graf funkce f leží pod tečnou t.
Graf funkce f leží nad tečnou t v libovolném bodě. Graf funkce f leží pod tečnou t v libovolném bodě.
LOKÁLNÍ VÝZNAM ZNAMÉNKA DRUHÉ DERIVACE V BODĚ x0
DEFINICE FUNKCE RYZE KONVEXNÍ V BODĚ x0
Předpokládejme existenci derivaci f/(x) v bodě x0. Existuje-li > 0 tak, že pro všechna x(x0– ; x0) (x0; x0+ ) leží bod [x; f(x)] nad tečnou t, říkáme, že funkce
f je ryze konvexní v bodě x0.
Pohybující se bod [x; f(x)] je vždy nad tečnou t (pokud je x x0) .
t: y = f(x0) + f/(x0) . (x – x0) leží-li bod [x; f(x)] nad tečnou t, potom platí f(x) > f(x0) + f/(x0) . (x – x0).
LOKÁLNÍ VÝZNAM ZNAMÉNKA DRUHÉ DERIVACE V BODĚ x0
DEFINICE FUNKCE RYZE KONKÁVNÍ V BODĚ x0
Předpokládejme existenci derivaci f/(x) v bodě x0. Existuje-li > 0 tak, že pro všechna x(x0– ; x0) (x0; x0+ ) leží bod [x; f(x)] pod tečnou t, říkáme, že funkce
f je ryze konkávní v bodě x0.
Pohybující se bod [x; f(x)] je vždy pod tečnou t (pokud je x x0) .
t: y = f(x0) + f/(x0) . (x – x0) leží-li bod [x; f(x)] pod tečnou t, potom platí f(x) < f(x0) + f/(x0) . (x – x0).
VĚTA (lokální význam znaménka druhé derivace funkce f v bodě x0):
Je-li f//(x0) > 0, potom je funkce f v bodě x0 ryze konvexní. Důkaz věty:
Máme dokázat, že je funkce f v bodě x0 ryze konvexní. Máme tedy dokázat, že existuje > 0 tak, že pro
libovolné x, pro které platí 0 < x – x0 < , leží bod [x; f(x)] nad tečnou t (tečna k funkci f v bodě [x0; f(x0)]).Tedy f(x) > f(x0) + f/(x0) . (x – x0).Z předpokladu f//(x0) > 0 plyne, že je funkce y = f/(x) rostoucí v bodě x0. Z toho plyne, že existuje > 0 tak,
že pro (x0 - ; x0) platí f/() < f/(x0). Pro (x0; x0 + ) platí f/(x0) < f/().
Zvolme libovolně x (x0 - ; x0). Podle Lagrangeovy věty (viz materiál EU-8-54 – derivace funkce
a monotónnost funkce) musí existovat číslo (x < < x0) tak, že platí f/() (x – x0) = f(x) – f(x0).Protože je funkce y = f/(x) rostoucí v bodě x0, platí f/() < f/(x0). Pokud tuto nerovnost násobíme záporným číslem (x – x0), dostaneme f/(). (x – x0) > f/(x0) . (x – x0). Použijeme červeně označenou rovnost, dostaneme:f(x) – f(x0) > f/(x0) . (x – x0), odtud dostáváme f(x) > f(x0) + f/(x0) . (x – x0).
Zvolme libovolně x (x0; x0 + ). Musí existovat číslo (x0 < < x) tak, že platí f/() (x – x0) = f(x) – f(x0).Protože je funkce y = f/(x) rostoucí v bodě x0, platí f/(x0) < f/(). Pokud tuto nerovnost násobíme kladným číslem (x – x0), dostaneme f/(x0). (x – x0) < f/() . (x – x0). Použijeme červeně označenou rovnost, dostaneme:f(x) – f(x0) > f/(x0) . (x – x0), odtud dostáváme f(x) > f(x0) + f/(x0) . (x – x0).
VĚTA (lokální význam znaménka druhé derivace funkce f v bodě x0):
Je-li f//(x0) < 0, potom je funkce f v bodě x0 ryze konkávní.
Důkaz věty bude velmi podobný předešlému důkazu.
MOTIVACE RYZÍ KONVEXNOSTI FUNKCE V INTERVALU I = (a; b)
11213
132 xfxx
xx
xfxfxf
DEFINICE FUNKCE RYZE KONVEXNÍ V INTERVALU I = (a; b)
Funkce f je ryze konvexní v intervalu (a; b) tehdy, když pro každou trojici reálných čísel x1, x2, x3 (a; b) splňující nerovnosti x1 < x2 < x3, leží bodP2[x2; f(x2)] pod přímkou spojující body P1[x1; f(x1)], P3[x3; f(x3)].
Funkce f je ryze konvexní v intervalu (a; b) tehdy, když pro každou trojici reálných čísel x1, x2, x3 (a; b) splňující nerovnosti x1 < x2 < x3, platí nerovnost
11213
132 xfxx
xx
xfxfxf
123231132 xxxfxxxfxxxf
MOTIVACE RYZÍ KONKÁVNOSTI FUNKCE V INTERVALU I = (a; b)
11213
132 xfxx
xx
xfxfxf
DEFINICE FUNKCE RYZE KONKÁVNÍ V INTERVALU I = (a; b)
Funkce f je ryze konkávní v intervalu (a; b) tehdy, když pro každou trojici reálných čísel x1, x2, x3 (a; b) splňující nerovnosti x1 < x2 < x3, leží bodP2[x2; f(x2)] nad přímkou spojující body P1[x1; f(x1)], P3[x3; f(x3)].
Funkce f je ryze konkávní v intervalu (a; b) tehdy, když pro každou trojici reálných čísel x1, x2, x3 (a; b) splňující nerovnosti x1 < x2 < x3, platí nerovnost
11213
132 xfxx
xx
xfxfxf
123231132 xxxfxxxfxxxf
VĚTA (souvislost znaménka druhé derivace funkce f a konvexnosti funkce v intervalu)
Jestliže v každém bodě intervalu (a; b) platí f//(x) > 0, potom je funkce f v intervalu (a; b) ryze konvexní.
VĚTA (souvislost znaménka druhé derivace funkce f a konkávnosti funkce v intervalu)
Jestliže v každém bodě intervalu (a; b) platí f//(x) < 0, potom je funkce f v intervalu (a; b) ryze konkávní.
Důkaz věty:Máme dokázat, že je funkce f v intervalu (a; b) ryze konvexní. Máme tedy dokázat, že pro každou trojici reálných čísel x1, x2, x3 (a; b), x1 < x2 < x3 platí nerovnost f(x2) (x3 –x1) < f(x1) (x3 – x2) + f(x3) (x2 – x1).
Z předpokladu f//(x0) > 0 plyne, že je funkce y = f/(x) rostoucí v intervalu (a; b). To znamená, že pro libovolná
dvě čísla , (a; b) platí, je-li < f/() < f/( ).
Zvolme libovolně x1, x2, x3 (a; b) tak, aby x1 < x2 < x3. Podle Lagrangeovy věty (viz materiál EU-8-54 –
derivace funkce a monotónnost funkce) musí existovat číslo (x1; x2) tak, že platí f/() (x2 – x1) = f(x2) – f(x1).Dále musí existovat číslo (x2; x3), pro které platí f/() (x3 – x2) = f(x3) – f(x2).Protože je funkce y = f/(x) rostoucí v intervalu (a; b) a < , platí f/() < f/(). Potom musí platit:
1223231223
23
12
12 xxxfxfxxxfxfxx
xfxf
xx
xfxf
123231132 xxxfxxxfxxxf
Důkaz věty bude velmi podobný předešlému důkazu.
ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1
Určete, zda je funkce f: y = x2 – 2 x – 3 v bodě x0 = 2 (x0 = 0) ryze konvexní nebo ryze konkávní. Nakreslete graf funkce f, najděte rovnici tečny k funkci f v bodě x0, tečnu zobrazte.
y/ = 2 x – 2 y// = 2
y//(2) = 2 > 0 funkce f je v bodě x0 = 2 ryze konvexní.
y/(2)= 2 = kt ; T[2; – 3] t: y + 3 = 2 . (x – 2) t: y – 2 x + 7 = 0
y//(0) = 2 > 0 funkce f je v bodě x0 = 0 ryze konvexní.
y/(0)= – 2 = kt ; T[0; – 3] t: y + 3 = – 2 x t: y + 2 x + 3 = 0
Průsečíky funkce s osami souřadnými:
f(0) = – 3; f(x) = 0 x2 – 2 x – 3 = 0 (x = – 1 x = 3)
y/ = 2 x – 2 y/ = 0 x = 1
funkce f je klesající v intervalu (– ; 1>,
funkce f je rostoucí v intervalu <1; + )
funkce f má v bodě x = 1 ostré lokální minimum, f(1) = – 4
ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2
Určete, zda je funkce f: y = sin x v bodě x0 = /6 (x0 = /2; x0 = 3 /4) ryze konvexní
nebo ryze konkávní. Nakreslete graf funkce f v intervalu <0; >, najděte rovnici tečny k funkci f v bodě x0, tečnu zobrazte.
y/ = cos x y// = – sin x
funkce f je rostoucí v intervalu <0; /2>
funkce f je klesající v intervalu </2; >
funkce f má v bodě x = /2 ostré lokální maximum, f(/2) = 1
konkávníryzexboděvjeffunkcey 4
3
2
2
4
3sin 04
3//
konkávníryzexboděvjeffunkcey62
1
6sin 06
//
konkávníryzexboděvjeffunkcey2
12
sin 02
//
62
3
2
1:
2
1;6
;2
3
6cos
6sin 11
/
1
xytTkt
4
3
2
2
2
2:
2
2;
4
3;
2
2
4
3cos
4
3sin 33
/
3xytTkt
01:1;2
;02
cos2
sin 22/
2
ytTkt
graf
ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 3
Je dána funkce f. Určete a) intervaly monotónnosti,b) lokální extrémy,c) najděte rovnici tečny t k funkci f v bodě T[-1; ?],d) intervaly konvexnosti, konkávnosti.Načrtněte co nejpřesněji graf funkce včetně tečny t.
y/ = x2 + 2 x = x . (x + 2) y/ = 0 ( x = 0 x = – 2)
funkce f je rostoucí v intervalech (– ; – 2>, <0; + )
funkce f je klesající v intervalu < – 2; 0>funkce f má v bodě x = – 2 ostré lokální maximum, f(– 2) = 10/3funkce f má v bodě x = 0 ostré lokální minimum, f(0) = 2
23
: 23
xx
yf
T[-1; 8/3 ]; kt = y/(-1) = – 1 t: 3 x + 3 y – 5 = 0
y// = 2 x + 2 = 2 . (x + 1)
funkce f je ryze konkávní v intervalu (– ; – 1>
funkce f je ryze konvexní v intervalu (– 1; +)
NÁROČNĚJŠÍ ÚLOHY K PROCVIČENÍ – dokažte následující věty
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.
Je-li f//(x0) < 0, potom je funkce f v bodě x0 ryze konkávní.
Jestliže v každém bodě intervalu (a; b) platí f//(x) < 0, potom je funkce f v intervalu (a; b) ryze konkávní.
ÚLOHY K PROCVIČENÍ
Určete, zda je funkce f: y = – x2 – 2 x + 3 v bodě x0 = – 2 (x0 = 0) ryze konvexní nebo ryze konkávní. Nakreslete graf funkce f, najděte rovnici tečny k funkci f v bodě x0, tečnu zobrazte.
Určete, zda je funkce f: y = – sin x v bodě x0 = /6 (x0 = /2; x0 = 3 /4) ryze
konvexní nebo ryze konkávní. Nakreslete graf funkce f v intervalu <0; >, najděte rovnici tečny k funkci f v bodě x0, tečnu zobrazte.
Je dána funkce f. Určete a) intervaly monotónnosti,b) lokální extrémy,c) najděte rovnici tečny t k funkci f v bodě T[1; ?],d) intervaly konvexnosti, konkávnosti.Načrtněte co nejpřesněji graf funkce včetně tečny t.
23
3: x
xyf
zpět
