Euclidean geometry

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. Lomonosov

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1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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11.1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.3 . . . . . . . . 235 11.4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.5 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 11.6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 11.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 11.8 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246


12 255

12.1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 12.2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 12.3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 12.4 - .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.5 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 12.6 -

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 12.7 - - .. . . . . . . . . . . . . . 275 12.8 -

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

13 285

13.1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 13.2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 13.3 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 13.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 13.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 13.6 - .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 13.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 13.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 13.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 13.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 13.11 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 13.12 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 13.13 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 13.14 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 13.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 13.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 13.17 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 13.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 13.19 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355


9 1

Ellsworth Kelly (, 1923). 2 2 , , 1974.


10

1.1

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11

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13

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14

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15

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Andrea Mantegna (, 1431 - 1506). "Camera degli Sposi" ( ), , .


16

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17

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18

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A B


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12

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13

A B

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20

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14

A B

15

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21

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22

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17

A

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23

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:

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AOB, K AOB: K > AOB (.21).

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21 21 21

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B

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A

B

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B

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24

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25

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24

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.

(.27) . , - (. 3.5), .

xx xx (.27).

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28

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29

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26

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25

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2.15

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-

i) O O O (.31).

. , - , .. O = O + O + O (.31).

ii) O > E (.32). E, O (.32). ZO E O - O E. E + O = O.

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iii) O - O.

OB = OB+OB+...+OB

,

.. O = OB+O+O = 3OB

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2.16

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30

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x

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33

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B

32

B

A

B

A

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34

B

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26

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35

A

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36

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y

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27

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37

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12

38

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ii) AB -;

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A

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1. - .

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28

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39

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B

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32

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33

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34

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ii) AB, A.

i) AB = 6 B = 2 , - AB + B + = 360 9 = 360

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ii) AOB AB, AOB = AB = 240 ( ). BO = 80 OA = 40.

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ii) AB + B + ,

iii) B.

2. :

i) 2 AB,

ii) 2 AB + ,

iii) 2 AB B,

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35

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ii) MB, -

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2. - 20. - .

3. , , , , B, , , - 1, 2, 3, 4. - .

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36

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37

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38

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, 508 .. A. Tournaire


40

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79

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80

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84

4.4

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11

12

13

1 2 - .

i) -.

ii) .

i) x, By A B .

= A

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B

2. A = B ( ).

= . x By . x//By.

ii) z A, zx ( - ). x//By, AzBy.

1

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B

14

z

z

x

x

y y

A

B

10


85

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4.5

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, .

, , , . x y , , - . , = . = , - . = , . , (O, OA) .

- . - . - , , .

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A

x

B

y 15


86

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B + = B

2 +

2 < B + < 2. (4.2 - IV)

B - , = . , = . A.

, . - , .

. . . , , , , (.17,).

- , - .

A

B

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B

A

17

A

B

16


87

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B +

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1. i) ; ;

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4. (AB = ) . (, ) , //.

5. , : = = . - //.

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2. . // . = + .


88

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A + B + = 2.

3. < x. - //x . = .

4. , . = +.

5. I - // //. .

1. ,

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2. - x y. - , x, y , = = . .

3. < , - . = .

4. < . - A, . :

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ii) + = .

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B

18


89

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i) A + B + = 2 + = 2,

A + B + = + = A + B.

ii) iv) .

4.7

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ii) -.

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ii) , (.20) + = 2, + = 2, = .

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19

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z

A

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20


90

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A + B + + + E = (25 4) .

, . - 2 . - O1+O2+O3+ ... +O = 4 :

A1 + A2 + A3 +...+ A = (2 4) .

: - 2 4 .

. 12... , .. 1, . 2 , , 12 1 - 1, . 2 2( 2) = (2 4) , :

- 2 4 .

- 4 .

A1 + A1 = 2 A2 + A2 = 2 ... + ... = ... : A + A = 2

(A1 + A2 + ... + A) + (A1 + A2 + ... + A) = 2

(A1 + A2 + ... + A) + (2 4) = 2v

A1 + A2+ ... + A = 4.

AB

12

345

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1

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4

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-1

12 3

4

-1

22

1

2

34 5

-1

23

1

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3

4

24


91

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A = B + = 2, A2

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ii) x// A1 = ( ) A2 = B ( ). B = ( A1 = A2), = .

1

21

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2.

ii) A

2.

iii) 90 A

2.

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I = 180 B

2

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B

2

2

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2 (

A

2 +

B

2 +

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(1) (2) I = A

2. (3)

iii) I B = 90, I+ I = 90 I = 90 I. (4)

(3) (4) I = 90 A

2.

2

2 211


92

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B

55

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23

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4. (A = 90) . B = A =A.

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B

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A

B

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2. B > - .

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,

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3. B > . -

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4. A, B

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5. - . A = 2 .


93

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6. (A = 90) - . .

7. (A = 90). B , . = .

1. ( = ) . , - = . .

2. B > - . ,

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4. ( = ) . , . :

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2


94

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3. (A = 90) . x, - . = .

4. A = = 90 = . - = . .

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6. 1, 2, 3 - , , . - 123.

7. , (, ) (I, ). O , , , , (, ) (, ) , , .

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95

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96

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(6) , .

(7) , .

(8) .

(9) .

(10) . ( ).

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. - . - . , (3). ( -) (petitio principi), . - - - [, ] , .

, - - , , - ( 993) , - . (836-901), . - , - ,


97

4 .

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, -, .

(1 . ..). - , , (6).

-. - - -, - -. - , - . - -- ().

, - (908-946): . - -. - -, , - ,

-. . (2) - , - . , - - (1201-1274) -, .

13 . - . -, - -, - (973-. 1050) , - . - - - ( -, 1263). -. . 13- 14 . - - (1236-1311), - -.

. - . -, .

13 18 . - 13 . (Vitelo, 1225-1280) (1572).


98

--. , .

14 . (Levi ben Gerson Gersonides, 1288-1344) , (1270-1346).

16 . - . . (1472-1538), - 1507. 1574 (Clavius (Schlussel), 1537-1612) . (6). -, .

17 . - , . 1603 - . (1548-1626), 1658 .. (1608-1679) , 1680 (1633-1711). 1693 . (J. Wallis, 1616-1703) V , -, , (9), .

- (G.G. Saccheri, 1667-1733). - . ,

-, . - -. - , ( ) .

- (J.H. Lambert, 1728-1777). , , , - , , . . - - . - . , , - . , - (.. , - , ..) .

, . (L. Bertrand, 1731-1812), , 1778, .. (1752-1833), - , .. (1764-1813), (Farkas Bolyai, 1775-1856), , .


99

4 .

.

.

.

:

.

.

1 2 :

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, .

.

.

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100

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.

60.


101

Josef Alberts (, 1888-1976). : , , 1959. Solomon R. Guggenheim, .

5 - , - . - , .


102

5.1

2.20, . - (.1) , .

, , .

(.2), (.3).

5.2

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A B


103

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A B

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1 1

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A B

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1

2

8

A B

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1

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A B

1

2

10

21

12

A B


104

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iii) A = = B = = (.11) A + B + + = 4 2 + 2 = 4 + = 2. , A + = 2, // A + B = 2, // , -.

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11

A

B

12

A B

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2. . , = , -.

3. , , . :

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105

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5.3

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