1

COLEGIO INTERNACIONAL SEK-ATLÁNTICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA – SEMINARIO DE MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS 3º E.S.O. CURSO 2 011 / 2 012

UNIDAD 4: LAS ECUACIONES B/ EVALUACIÓN INICIAL – CORRECCIÓN 1. Completa la siguiente tabla sabiendo que Miguel tiene tres años menos que Silvia, Juan dos más y Sandra el doble.

Miguel Silvia Juan Sandra Hace 2 años Edad actual x Dentro de 5 años

Respuesta:

Miguel Silvia Juan Sandra Hace 2 años x – 5 x – 2 x 2x – 2 Edad actual x – 3 x x + 2 2x Dentro de 5 años x + 2 x + 5 x + 7 2x + 5

2. Averigua si la siguiente expresión es una identidad o una ecuación: 7(4 – 2x) – 4(5 – 3x) = 2(5 – x) – 2 Respuesta: Para averiguarlo, la tratamos como si fuese una ecuación y tratamos de resolverla: 7(4 – 2x) – 4(5 – 3x) = 2(5 – x) – 2 ⇔ 28 – 14x – 20 + 12x = 10 – 2x – 2 ⇔ ⇔ 8 – 2x = 8 – 2x ⇔ 8 – 8 = 2x – 2x ⇔ 0 = 0 IDENTIDAD 3. Relaciona cada ecuación de la izquierda con una solución de la derecha (puede que algún valor sea solución de más de una ecuación)

Ecuaciones Soluciones

x + 2 = 0 −2

2x – 8 = 6 +2

x 2 – 4 = 0 +4

2(x – 3) = 2

x +7

Respuesta:

Ecuaciones Soluciones

x + 2 = 0 −2

2x – 8 = 6 +2

x 2 – 4 = 0 +4

2(x – 3) = 2

x +7

Existen dos métodos simples para justificar esta relación: 1) sustituir cada posible solución en las ecuaciones y ver en cuál o cuáles se cumplen y 2) resolver cada ecuación. Método 1):

2

x = −2: x + 2 = 0 → −2 + 2 = 0 válida

2x – 8 = 6 → 2(−2) – 8 = −4 – 8 = −12 ≠ 0 no válida

x 2 – 4 = 0 → (−2) 2 – 4 = 4 – 4 = 0 válida

2(x – 3) = 2

x → 2(−2 – 3) = −10 ≠

2

2

− = −1 no válida

x = +2: x + 2 = 0 → +2 + 2 = 4 ≠ 0 no válida

2x – 8 = 6 → 2(+2) – 8 = 4 – 8 = −4 ≠ 0 no válida

x 2 – 4 = 0 → (+2) 2 – 4 = 4 – 4 = 0 válida

2(x – 3) = 2

x → 2(2 – 3) = −2 ≠

2

2 = 1 no válida

x = +4: x + 2 = 0 → +4 + 2 = 6 ≠ 0 no válida

2x – 8 = 6 → 2(+4) – 8 = 8 – 8 = 0 válida

x 2 – 4 = 0 → (+4) 2 – 4 = 16 – 4 = 12 ≠ 0 no válida

2(x – 3) = 2

x → 2(4 – 3) = 2 =

4

2 válida

x = +7: x + 2 = 0 → +7 + 2 = 9 ≠ 0 no válida

2x – 8 = 6 → 2(+7) – 8 = 14 – 8 = 6 ≠ 0 no válida

x 2 – 4 = 0 → (+7) 2 – 4 = 49 – 4 = 45 ≠ 0 no válida

2(x – 3) = 2

x → 2(7 – 3) = 8 ≠

7

2 no válida

Método 2) x + 2 = 0 ⇔ x = −2

2x – 8 = 6 2x – 14 = 0 ⇔ x = 14

2 = 7

x 2 – 4 = 0 ⇒ x = 4 = ±2

2(x – 3) = 2

x ⇔ 2x – 6 –

2

x = 0 ⇔

4 12

2

x x− − = 0 ⇔

⇔ 3x – 12 = 0 ⇔ x = 12

2 = 4

4. Uno de los documentos matemáticos más antiguos es el papiro de Rhind, escrito en Egipto por el escriba Ahmes en el siglo XVII a. C. En sus problemas de álgebra, a nuestra incógnita x le denomina “cosa”. Uno de los problemas del papiro dice: “Calcula el valor de la cosa si la cosa y la cuarta parte de la cosa es igual a 15”. a) Plantea la ecuación correspondiente a esa frase. b) Resuelve por el método de ensayo-error con esta tabla:

Cosa x 4 1

4 de cosa

1

4x 1

Suma 5 Respuesta:

a) Si llamamos x a ”la cosa”: x + 1

4x = 15

b)

3

Cosa x 4 8 12 1

4 de cosa

1

4x 1 2 3

Suma 5 10 15

La cosa vale 12. 5. ¿Cuánto tardará un coche que lleva una velocidad de 90 km/h en llegar a su destino que está a 360 km? Respuesta:

1er Método: la distancia recorrida por un coche es directamente proporcional a su velocidad. Planteamos, pues la proporción (o una regla de tres):

90 km

1h =

360 km

ht

Despejamos el tiempo: t = 360

90 = 4 h

2º Método: por Cinemática (esa parte de la Física que se encarga de estudiar los movimientos sin atender a las causas que los producen), sabemos que velocidad es igual a espacio partido por tiempo, es decir:

v = e

t

Sustituyendo nuestros datos:

90 = 360

t

Despejamos el tiempo: t = 360

90 = 4 h

6. Tres amigos tienen en total 1 266 €. El primero tiene doble cantidad que el segundo, y éste el triple que el tercero. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? Respuesta:

Para asignar el nombre a la incógnita nos fijamos en el amigo con el que se relacionan los demás (tanto uno como el otro), que en este caso es el tercero. A su cantidad le llamamos x: x ≡ cantidad de dinero que tiene el tercer amigo. El amigo que se relaciona directamente con él es el segundo que tiene el triple que él: 3x ≡ cantidad de dinero que tiene el segundo amigo. El que queda (el primero) tiene el doble que el segundo (que, a su vez, tiene el triple que el tercero). Por tanto: 2(3x) = 6x ≡ cantidad de dinero que tiene el primer amigo. Sumando esas cantidades hallamos el total: x + 3x + 6x = 10x = 1 266 Despejamos la x (cantidad de dinero que tiene el tercer amigo): x = 126,60 € Y a partir de ella calculamos las demás cantidades: 3x = 379,80 € 6x = 759,60 € (Comprobamos que la respuesta es correcta: 126,60 + 379,80 + 759,60 = 1 266)

4

Así: el primer amigo tiene 126,60 €; el segundo 379,80 €; y el tercero, 759,60 €.

7. El perímetro de un rectángulo es 126 m. Calcula su área sabiendo que su base mide 40 m. Respuesta:

El perímetro es la suma de las longitudes de los lados que, al ser iguales dos a dos en un rectángulo, puede escribirse como: P = 2b + 2h donde P ≡ perímetro, b ≡ base y h ≡ altura Sustituyendo los valores conocidos: 126 = 2�40 + 2h ⇒ h = 23 m El área es: A = b�h; por tanto: A = 40�23 = 920 m2

8.- Escribe para cada una de las siguientes ecuaciones el enunciado de un problema que se pueda resolver con ella: a) x + 3 = 17 (x es la edad de Sergio)

b) 3m + 2u = 6,65 (m es el precio de un kilo de manzanas, y u el de un kilo de uvas)

Respuesta:

a) Calcula la edad de Sergio sabiendo que dentro de tres años tendrá 17. b) Por 3 kilos de manzanas y dos de uvas se han pagado 6,65 €.

9.- Una bolsa de patatas y tres paquetes de yogures cuestan 7 €. Dos bolsas de patatas y cuatro paquetes de yogures cuestan 10 €. ¿Cuál es el precio en € de la bolsa de patatas y del paquete de yogures? Resuélvelo utilizando un sistema de ecuaciones. Respuesta:

Si llamamos b ≡ precio de la bolsa de patatas, y ≡ precio del paquete de yogures, podemos traducir cada frase: Una bolsa de patatas y tres paquetes de yogures cuestan 7 €: b + 3y = 7 Dos bolsas de patatas y cuatro paquetes de yogures cuestan 10 €: 2b + 4y = 10 En forma de sistema de ecuaciones:

3 7

2 4 10

b y

b y

+ =

+ =

→

7 3b y= −

→

( )2 7 3 4 10y y− + = →

7 3�2 1 €b = − =

14 – 6y + 4y = 10 14 – 10 = 2y

y = 4

2 = 2 €

10. Recuerda la fórmula de la ecuación de segundo grado y resuelve: a) x 2 – 5x + 6 = 0 b) 2x 2 – 8 = 0 c) –3x 2 + 7x = 0 d) 3x 2 – 9x + 51 = 0 Respuesta:

La fórmula general de resolución de ecuaciones de 2º grado es: 2 4

2

b b acx

a

− ± −=

5

a) 2 35 5 4 1 6 5 1

2 1 2 2x

± − ⋅ ⋅ ±= = =

⋅

b) ( )20 0 4 2 8 264

2 2 4 2x

± − ⋅ ⋅ − ±= = =

⋅ −

o, de otra forma: 2 22 8 4 2x x x= ⇒ = ⇒ = ±

c) ( )

( )

2 77 7 4 8 0 7 493

2 3 60

x

− ± − ⋅ − ⋅ − ± = = =

⋅ − −

o, de otra forma: ( )0

3 7 0 73 7 0

3

x

x xx x

=

− + = ⇒ − + = ⇒ =

d) 2 23 9 51 0 3 17 0x x x x− + = ⇔ − + =23 3 4 1 17 3 59

sol2 1 2

x± − ⋅ ⋅ ± −

⇒ = = ⇒ ∃/⋅