SPAZIO

FUTUROINACCESSIBILE

EVENTO PRESENTE

PASSATOINACCESSIBILE

PASSATO ACCESSIBILE

FUTURO ACCESSIBILEanumero 186

febbraio 1984anno xvrivolume xxxii

T

ra le forze della natura la gravitàpare abbia uno stato particolare.Altre forze, come l'elettroma-

gnetismo, agiscono nello spazio-tempo,che ha semplicemente la funzione di rife-rimento per gli eventi fisici. La gravità ècompletamente diversa: non è una forzaapplicata su un fondo passivo di spazio edi tempo, ma costituisce una distorsionedello spazio-tempo stesso. Un campogravitazionale è una «curvatura» dellospazio-tempo. È questa la concezione del-la gravità che Einstein raggiunse in quellache descrisse come la più pesante faticadella sua vita.

La distinzione qualitativa tra la gravitàe le altre forze diventa molto più chiaraquando si tenta di formulare una teoriadella gravitazione che concordi con i pre-cetti della meccanica quantistica. Il mon-do quantistico non è mai in quiete. Peresempio, nella teoria quantistica dei cam-pi elettromagnetici, il valore del campoelettromagnetico fluttua continuamente.In un universo dominato dalla gravitàquantistica sarebbero soggette a fluttua-zioni la curvatura dello spazio-tempo eperfino la sua stessa struttura. E probabi-le in realtà che la sequenza degli eventinel mondo e il significato di passato e difuturo siano suscettibili di modificazioni.

Qualcuno potrebbe pensare che, se esi-stessero fenomeni del genere, sicuramen-te dovrebbero già essere stati rilevati. Ac-cade, invece, che tutti gli effetti di naturaquantomeccanica della gravitazione sianoconfinati in una scala straordinariamentepiccola, sulla quale, nel 1899, Max Planckrichiamò per primo l'attenzione. In quel-

LE SCIENZE

di Bryce S. DeWitt

l'anno, Planck introdusse la sua famosacostante, chiamata quanto d'azione e in-dicata con -h. Egli stava cercando di dareun significato allo spettro della radiazionedi corpo nero, la luce che sfugge da unapiccola apertura praticata in una cavitàmolto calda. Come fatto curioso, notò chela sua costante, combinata con la velocitàdella luce e con la costante di gravitazionedi Newton, dà origine a un sistema assolu-to di unità di misura. Tali unità fornisconola scala della gravità quantistica.

Le unità di Planck sono completamen-te estranee alla fisica di ogni giorno.Per esempio, l'unità di lunghezza è di1,61 x 10-33 centimetri, ovvero inferioredi 21 ordini di grandezza al diametro di unnucleo atomico. Essa sta alle dimensioninucleari grosso modo nello stesso rappor-to in cui stanno le dimensioni dell'uomo aquelle della nostra galassia. Ancora piùcuriosa è l'unità di tempo di Planck: 5,36x 10-44 secondi. Per verificare sperimen-talmente queste scale di distanza e ditempo impiegando strumenti costruiticon l'attuale tecnologia sarebbe necessa-rio un acceleratore di particelle delledimensioni della Galassia!

Dal momento che la via sperimentalenon ci può aiutare, la gravità quantistica èinsolitamente speculativa. Ciononostan-te, essa è di spirito fondamentalmenteconservatore: prende la teoria attualmen-te consolidata e si limita a spingerla finoalle sue estreme conseguenze logiche. Neisuoi aspetti essenziali ha per obiettivoquello di fondere tre teorie: la relativitàristretta, la teoria einsteiniana della gravi-tazione e la meccanica quantistica, e nien-

t'altro. Una tale sintesi non è stata an-cora completamente realizzata, ma neltentativo di raggiungerla si è già potutoapprendere molto.

Lo sviluppo di una valida teoria dellagravità quantistica offre, inoltre, la solastrada che si conosca verso la conoscen-za dell'origine del big bang e del destinofinale dei buchi neri, eventi che si pos-sono considerare caratteristici dell'ini-zio e della fine dell'universo.

Delle tre teorie che convergono nellagravità quantistica, la relatività ri-

stretta è venuta storicamente per prima. Èla teoria che unisce spazio e tempo attra-verso il postulato (poi confermato speri-mentalmente) che la velocità della luce è lastessa per tutti gli osservatori che si muo-vono nel vuoto, sottratti a forze esterne. Leconseguenze di questo postulato, introdot-to nel 1905 da Einstein, si possono descri-vere con l'aiuto di un diagramma spazio-tempo, un grafico che riporta curve cherappresentano le posizioni di oggetti nellospazio in funzione del tempo. Le curvesono chiamate «linee universali».

Per amore di semplicità ignorerò duedelle dimensioni spaziali. Si può alloratracciare una linea universale su un grafi-co bidimensionale nel quale si misuranoorizzontalmente le distanze spaziali e ver-ticalmente gli intervalli di tempo. Unaretta verticale è la linea universale di unoggetto in quiete nel sistema di riferimen-to scelto per la misurazione. Una rettainclinata è la linea universale di un ogget-to in moto a velocità costante nel sistemadi riferimento scelto. Una linea universa-

le curva rappresenta, infine, un oggettosottoposto ad accelerazione.

Un punto del diagramma spazio-tempodefinisce sia una posizione dello spazio siaun istante di tempo ed è chiamato evento.La distanza spaziale tra due eventi dipen-de dal sistema di riferimento prescelto elo stesso vale per l'intervallo di tempo. Ilconcetto di simultaneità dipende dal si-stema di riferimento: due eventi collegatida una linea orizzontale in un dato siste-ma di riferimento sono simultanei in talesistema, ma non in altri.

Per stabilire una relazione tra sistemi diriferimento in moto relativo, si deve intro-durre un'unità comune per la misura dellospazio e del tempo. La velocità della lucegiunge da fattore di conversione, collegan-do una data distanza al tempo necessarioperché la luce la percorra. Adotterò il me-tro come unità sia dello spazio sia del tem-po. Un metro di tempo è pari a circa 3,33nanosecondi (miliardesimi di secondo).

Misurando lo spazio e il tempo nellestesse unità, la linea universale di un foto-ne (un quanto di luce) è inclinata a 45gradi. La linea universale di qualsiasi og-getto materiale ha, invece, un'inclinazionerispetto alla verticale sempre minore di 45gradi, il che è un altro modo di dire che lasua velocità è sempre inferiore a quelladella luce. Se la linea universale di un og-getto o di un segnale qualsiasi fosse inclina-ta a più di 45 gradi dalla verticale, a certiosservatori l'oggetto o il segnale appari-rebbe muoversi a ritroso nel tempo. Met-tendo a punto un relè per segnali più velocidella luce, un uomo potrebbe trasmettereinformazioni nel suo passato, violando intal modo il principio di causalità. Tali se-gnali sono però vietati dalle caratteristichedella relatività ristretta.

Si considerino due eventi sulla linea uni-versale di un osservatore non sottopostoad accelerazione. Si supponga che gli even-ti, in un particolare sistema di riferimento,siano distanti quattro metri nello spazio ecinque metri nel tempo. In tale sistemal'osservatore si sta quindi muovendo aiquattro quinti della velocità della luce. Inun altro sistema la sua velocità sarebbedifferente e la stessa cosa accadrebbe pergli intervalli di spazio e di tempo associati.C'è però una grandezza che si manterreb-be inalterata in tutti i sistemi di riferimen-to. Questa grandezza invariante è detta«tempo proprio» tra i due eventi ed è

11 cono di luce, che definisce le regioni dell'uni-verso accessibili da un dato punto dello spazio eda un dato istante di tempo, diventerebbe unconcetto male espresso in una teoria della gravi-tà quantistica. Il cono (a) è una superficie nellospazio-tempo tetradimensionale, ma viene quirappresentato eliminando una dimensione spa-ziale. Se la gravitazione è quantizzata. la formadel cono può fluttuare fortemente su brevi di-stanze (b). In realtà le fluttuazioni non si posso-no percepire direttamente; il cono di luce sicomporta come se fosse vago. Alla domanda sedue punti dello spazio-tempo possano comuni-care l'uno con l'altro (mediante segnali in motoa velocità inferiore a quella delle luce) si puòquindi dare solo una risposta probabilistica (c).

edizione italiana di SC I ENTIFICAMERICAN

La gravità quantisticaIn una teoria quantomeccanica della gravitazione la stessa geometriadello spazio e del tempo sarebbe soggetta a continue fluttuazioni eperfino la distinzione tra passato e futuro potrebbe divenire incerta

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—TEMPO PROPRIO(ANNI)

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MESSAGGI

LINEA UNIVERSALEACCELERATA

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LINEA UNIVERSALENON ACCELERATA

1 2 3

4

5

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0,5 1 1,5 2TEMPO (SECONDI)

La curvatura dello spazio-tempo in presenza di una massa costituisceun campo gravitazionale. Una palla, lanciata in aria a un'altezza dicinque metri, resta sollevata per due secondi. Il suo moto di salita e didiscesa rivela la curvatura dello spazio-tempo nei pressi della superfi-cie terrestre. La curvatura della traiettoria è immediatamente visibile,

ma è in realtà piccolissima quando si misurano lo spazio e il temponelle stesse unità. Per esempio, i secondi si possono trasformare inmetri moltiplicandoli per la velocità della luce, pari a 300 milioni dimetri al secondo. In tal caso, la traiettoria diventa un arco estrema-mente piatto lungo 600 milioni di metri e alto cinque metri (a destra).

1 O 100 MILIONI 200 MILIONI 300 MILIONITEMPO (METRI)

400 MILIONI 500 MILIONI 600 MILIONI

5

o o

l'intervallo di tempo misurato da un orolo-gio che l'osservatore porta con sé.

Nel sistema di riferimento prescelto lalinea universale tra i due eventi è l'ipote-nusa di un triangolo rettangolo aventeuna base di quattro metri e un'altezza dicinque. Il tempo proprio corrisponde alla«lunghezza» di quest'ipotenusa, ma vienecalcolato in modo insolito: mediante un«teorema pseudopitagorico». Come nelcaso del normale teorema di Pitagora, sicominciano a calcolare i quadrati dei latidel triangolo. Nella relatività ristretta,però, il quadrato dell'ipotenusa è ugualealla differenza tra i quadrati dei catetianziché alla loro somma.

Nel presente esempio il tempo proprioè di tre metri e resta di tre metri nel siste-ma di riferimento di qualsiasi osservatorenon sottoposto ad accelerazione. Questainvarianza del tempo proprio è ciò cheunisce spazio e tempo in un'unica entità.La geometria dello spazio-tempo, essen-do basata su un teorema pseudopitagori-

DISTANZA (ANNI LUCE)

La linea universale definisce una traiettoriaattraverso lo spazio e il tempo. Qui sono indi-cate due linee universali in una versione delparadosso dei gemelli di Einstein. La linea uni-versale «curva» del gemello che subisce accele-razione nel punto di inversione del suo viaggioappare la più lunga, ma tale gemello registra il«tempo proprio» più breve. In effetti, in undiagramma spazio-tempo una linea retta rap-presenta l'intervallo più lungo tra due punti.

co, non è quella euclidea, ma per moltiaspetti è analoga a essa. Nella geometriaeuclidea, tra tutte le linee che colleganodue punti una retta si può definire comelinea di lunghezza estrema. Lo stesso valeper la geometria dello spazio-tempo. Nel-la geometria euclidea, però, l'estremo èsempre un minimo, mentre nello spazio--tempo è un massimo quando i due puntisi possono collegare mediante una lineauniversale che richiede un viaggio a velo-cità non superiore a quella della luce.

Nel 1854 il matematico tedesco G. F.B. Riemann trovò una generalizza-

zione della geometria euclidea per glispazi curvi. Due spazi curvi bidimensiona-li sono stati studiati fin dall'antichità: essisono chiamati superfici curve e sono soli-tamente visti nella prospettiva dello spa-zio euclideo tridimensionale ordinario.Riemann dimostrò che uno spazio curvopuò avere un numero di dimensioni qual-siasi e che può essere studiato intrinseca-mente. Non è necessario che lo si imma-gini immerso in uno spazio euclideo conun maggior numero di dimensioni.

Riemann sottolineò, inoltre, che lospazio fisico in cui viviamo può esserecurvo. Secondo Riemann, la questione sipotrebbe decidere soltanto con un espe-rimento. Come si potrebbe eseguire unsiffatto esperimento, almeno in linea diprincipio? Si dice che lo spazio euclideo èpiatto. Uno spazio piatto ha la proprietàche si possono tracciare rette parallele inmodo da creare una griglia rettangolareuniforme. Che cosa accadrebbe se si ten-tasse di disegnare una griglia come questasulla superficie della Terra, supponendoche la Terra sia piatta?

Si può osservare il risultato da un aereoin un giorno limpido, al di sopra delleregioni coltivate delle Great Plains ame-ricane. Il territorio viene suddiviso dastrade che corrono da est a ovest e da norda sud in sezioni di un miglio quadrato. Lestrade che corrono da est a ovest si esten-dono spesso ininterrottamente per moltemiglia, ma non quelle che corrono danord a sud. Percorrendo una strada versoil nord vi sono ogni poche miglia bruschesvolte verso est o verso ovest che sonodovute alla curvatura della Terra. Se sieliminassero, le strade confluirebberofino a creare sezioni di meno di un miglioquadrato.

Nel caso di uno spazio tridimensionale,si può pensare di costruire in esso un'im-palcatura gigante fatta di tubolari rettili-nei di uguale lunghezza congiunti in mododa formare angoli esattamente di 90 e di180 gradi. Se lo spazio è piatto, la costru-zione dell'impalcatura procederebbe sen-za difficoltà; se è curvo, prima o poi saràinevitabile dover accorciare o tirare i tu-bolari per farli combaciare.

La stessa generalizzazione introdottada Riemann nella geometria euclidea sipuò applicare alla geometria della relati-vità ristretta. La generalizzazione fu ope-rata da Einstein tra il 1912 e il 1915 conl'aiuto del matematico Marcel H. Gross-mann. Il risultato è una teoria dello spa-zio-tempo curvo. In mano a Einstein si

trasformò in una teoria della gravitazio-ne. Nella relatività ristretta i campi gravi-tazionali si considerano assenti e lo spa-zio-tempo si assume piatto. In uno spa-zio-tempo curvo è presente un campogravitazionale: in realtà, «curvatura» e«campo gravitazionale» sono sinonimi.

Dal momento che la teoria del campogravitazionale di Einstein è una genera-lizzazione della relatività ristretta, egli lachiamò relatività generale. Il nome è im-proprio. La relatività generale è in realtàmeno relativistica della relatività ristret-ta. La completa mancanza di peculiaritàdello spazio-tempo piatto, la sua omoge-neità e isotropia sono ciò che garantisceche le posizioni e le velocità siano stret-tamente correlate. Non appena lo spazio--tempo si arricchisce di «protuberanze»,cioè regioni locali di curvatura, diventaassoluto perché si possono precisare posi-zione e velocità rispetto alle protuberan-ze. Lo spazio-tempo, invece di esseresemplicemente un'arena priva di caratte-ristiche peculiari per la fisica, è a sua voltadotato di proprietà fisiche.

Nella teoria di Einstein la curvatura èprodotta dalla materia. La relazione

tra la quantità di materia e il grado dicurvatura è semplice in linea di principio,ma complicata da calcolarsi. Sono neces-sarie venti funzioni delle coordinate di unpunto dello spazio-tempo per descriverela curvatura in quel punto. Dieci di talifunzioni corrispondono a una parte dellacurvatura che si propaga liberamente sot-to forma di onde gravitazionali, o «oscil-lazioni di curvatura». Le altre 10 funzionisono determinate dalla distribuzione del-la massa, della quantità di moto, delmomento angolare e dalle tensioni inter-ne della materia, nonché dalla costante digravitazione di Newton, G.

Con riferimento alle densità di massaincontrate sulla Terra, G è una costantepiccolissima. È necessaria una massaenorme per curvare apprezzabilmente lospazio-tempo. La grandezza inversa 11Gsi può considerare come una misura della«rigidità» dello spazio-tempo. In base al-l'esperienza quotidiana, lo spazio-tempoè molto rigido. L'intera massa della Terrainduce una curvatura dello spazio-tempoche è pari a solo un miliardesimo circadella curvatura della superficie terrestre.

Nella teoria di Einstein un corpo incaduta libera o un corpo liberamente or-bitante seguono una linea universale geo-detica. Una geodetica che collega duepunti dello spazio-tempo è una linea uni-versale di lunghezza estrema tra essi: èuna generalizzazione del concetto di linearetta. Se si immagina uno spazio-tempocurvo immerso in uno spazio piatto dimaggior numero di dimensioni, una geo-detica appare come una linea curva.

L'effetto della curvatura su un corpo inmovimento è stato spesso illustrato da unmodello nel quale una sfera rotola su unfoglio di gomma deformato. Il modellonon è esatto in quanto può rappresentaresoltanto la curvatura spaziale. Nella vitareale siamo costretti a restare nell'univer-so a quattro dimensioni dello spazio e del

TRAIETTORIASPAZIALE

tempo. Inoltre, non possiamo evitare dimuoverci in tale universo, perché siamoproiettati in avanti nel tempo. Il tempo èl'elemento chiave. Risulta che, benché inun campo gravitazionale lo spazio sia cur-vo, è molto più importante la curvaturadel tempo. Ciò è dovuto all'elevato valoredella velocità della luce, che collega lascala dello spazio a quella del tempo.

Vicino alla Terra la curvatura dellospazio è talmente lieve da non potersirilevare con misurazioni statiche. Tutta-via la nostra precipitosa corsa nel tempo ècosì veloce che nelle situazioni dinamichela curvatura diventa notevole, allo stessomodo in cui una lieve gobba in un'auto-strada, pur passando inosservata a unpedone, può diventare pericolosa perun'automobile veloce. Lo spazio attornoalla Terra appare piatto, con un alto gra-do di precisione, ma possiamo vedere lacurvatura dello spazio-tempo semplice-mente lanciando in aria una palla. Se lapalla rimane in aria per due secondi, de-scrive un arco con un'altezza di cinquemetri. La luce percorre 600 000 chilome-tri in due secondi. Se immaginiamo l'arcoalto cinque metri stirato orizzontalmentefino a una lunghezza di 600 000 chilome-tri, la curvatura dell'arco è la curvaturadello spazio-tempo.

l'introduzione da parte di Riemann delconcetto di spazi curvi diede l'avvio a

un'altra fruttuosa branca della matemati-ca: lo topologia. Si sapeva che esistonosuperfici bidimensionali prive di contorniin una varietà infinita di tipi che non pos-sono essere deformati l'uno nell'altro concontinuità; ne sono due semplici esempiuna sfera e un toro. Riemann fece notareche la stessa cosa vale per spazi curvi conun maggior numero di dimensioni e fece iprimi passi per una loro classificazione.

Esiste un numero infinito di tipi topo-logici anche dello spazio-tempo curvo (o,più esattamente, dei modelli di spazio--tempo curvo). Alcuni modelli si possonorifiutare come candidati per una descri-

TRAIETTORIA NELLOSPAZIO-TEMPO

zione dell'universo reale perché portanoa paradossi di causalità o perché in essinon possono essere rispettate le leggi fisi-che note. Tuttavia resta ancora un nume-ro di possibilità enorme.

Un modello dell'universo degno dinota venne proposto dal matematico rus-so Alexander A. Friedmann nel 1922.Nella relatività ristretta lo spazio-tempoviene visto non solo come piatto, ma an-che di estensione infinita sia nello spaziosia nel tempo. Nel modello di Friedmannqualsiasi sezione trasversale spaziale a tredimensioni dello spazio-tempo ha un vo-lume finito e ha la topologia di una trisfe-ra, uno spazio che può essere immerso inuno spazio euclideo quadridimensionalein modo tale che tutti i suoi punti sianoequidistanti da un punto dato. Il modelloè stato il preferito dai cosmologi dalmomento in cui Edwin P. Hubble, neglianni venti, scoprì l'espansione dell'uni-verso. Se si combina il modello di Fried-mann con la teoria della gravitazione diEinstein, esso prevede un big bang in unistante iniziale di compressione infinita,seguito da un'espansione che dura miliar-di di anni per mutua attrazione gravita-zionale di tutta la materia dell'universo.

Uno spazio-tempo di Friedmann ha laproprietà che qualsiasi curva chiusa dise-gnata in esso può essere ridotta in modocontinuo a un punto. Uno spazio-temposiffatto è detto «semplicemente connes-so». L'universo reale non può avere unatale proprietà. Pare che il modello diFriedmann descriva molto bene la regio-ne di spazio entro alcuni miliardi di anniluce nella nostra galassia, ma non possia-mo vedere l'intero universo.

Un semplice esempio di universo mol-teplicemente connesso è quello di unastruttura ripetuta all'infinito, come il mo-tivo di una carta da parati, in una datadirezione spaziale. Ogni galassia di un sif-fatto universo è un membro di una serieinfinita di galassie identiche poste a unadistanza fissa (e necessariamente enor-me) l'una dall'altra. Se i membri di una

serie sono veramente identici, è discutibi-le se si debbano considerare distinti. È piùconveniente considerare ogni serie comerappresentante una sola galassia. Unviaggio da un membro della serie a quellosuccessivo riporta, quindi, un viaggiatoreal punto di partenza e una linea che de-scrive tale viaggio è una curva chiusa chenon può essere ridotta a un punto. Essaassomiglia a una curva chiusa sulla super-ficie di un cilindro che gira attorno al ci-lindro una sola volta. L'universo che siripete è detto universo cilindrico.

Un altro esempio di una struttura mol-teplicemente connessa, su una scala mol-to più piccola, è il wormhole (alla letteracunicolo o galleria di tarlo), introdotto nel1957 da John Archibald Wheeler, ora al-l'Università del Texas ad Austin. Si puòcostruire un «cunicolo» bidimensionalepraticando due aperture circolari in unasuperficie bidimensionale e congiungen-done accuratamente i bordi (si veda l'illu-strazione a pagina 13). Il procedimentonelle tre dimensioni è lo stesso, ma è piùdifficile visualizzarlo.

Dal momento che le due aperture pos-sono trovarsi a una grande distanza nellospazio originario, anche se avvicinate dalpassaggio che le collega, il cunicolo è di-ventato un dispositivo comune nella fan-tascienza per spostarsi da un punto a unaltro molto più velocemente di quantopossa fare la luce: basta praticare dueaperture nello spazio, collegarle e stri-sciare lungo il passaggio. Sfortunatamen-te, anche se si potesse costruire un perfo-ratore (il che è molto dubbio), lo schemanon funzionerebbe. Se la geometria dellospazio-tempo è regolata dalle equazionidi Einstein, il cunicolo è un oggetto dina-mico. Ne consegue che le due apertureche esso collega sono necessariamentebuchi neri e qualsiasi cosa entri in essenon ne può più uscire. Ciò che avviene èche il passaggio «si restringe» e che ognicosa al suo interno viene compressa a unadensità infinita prima di poter raggiunge-re l'altro capo.

FOTONI

REFRIGERATORE

1 RIVELATORII DI PARTICELLE

VUOTO ESTERNO(ENERGIA NULLA)

VELOCITÀ

MONTACARICHI

Un montacarichi è l'apparecchiatura adatta per un esperimento idealeche si basa sulla natura del vuoto nella meccanica quantistica e sull'ef-fetto che l'accelerazione o la gravitazione hanno sul vuoto. Si supponeche il montacarichi sia vuoto e sigillato, in modo che inizialmente esisteun vuoto perfetto sia all'interno sia all'esterno del montacarichi. Appe-na inizia l'accelerazione, però, viene emessa un'onda elettromagneticadal pavimento e il montacarichi si riempie di un tenue gas di fotoni, oquanti di radiazione elettromagnetica (a sinistra). Un refrigeratorealimentato da una fonte di energia esterna estrae fotoni (al centro).Una volta eliminati tutti i fotoni, i rivelatori di fotoni misurano l'energia

del vuoto sia all'interno sia all'esterno (a destra). Poiché lo strumentoall'esterno sta accelerando nel vuoto, esso è sensibile alle fluttuazioniquantomeccaniche dei campi che permeano lo spazio anche in assenzadi particelle. Il rivelatore all'interno è in quiete rispetto al montacarichie non sente le fluttuazioni. Ne consegue che i vuoti all'interno e all'e-sterno del montacarichi non sono equivalenti. Se si attribuisce energianulla al vuoto «standard» all'esterno del montacarichi, il vuoto all'in-terno deve avere energia negativa. Per poter riportare l'energia azero, si dovrebbero ripristinare i fotoni rimossi dal refrigeratore. Ancheun campo gravitazionale può creare un vuoto con energia negativa.

Un «cunicolo» (wormhole) nello spazio-tempo è una struttura ipotetica che potrebbe alterare latopologia dell'universo. In uno spazio piatto un cunicolo si forma praticando due aperture e sti-randone i bordi in tubi che vengono poi congiunti. Nel piano originario qualsiasi curva chiusapuò essere ridotta a un punto (in colore), ma non è possibile per una curva che attraversi il cu-nicolo. Un cunicolo nello spazio a tre o a quattro dimensioni non è concettualmente differente.

T a meccanica quantistica, la terza com-ponente della gravità quantistica, è

stata ideata nel 1925 da Werner Heisen-berg e da Erwin Schródinger, ma la loroformulazione iniziale non teneva contodella teoria della relatività. Il suo successofu cionondimeno immediato e brillante,perché attendevano di essere spiegatemoltissime osservazioni sperimentali nel-le quali dominano gli effetti quantistici,mentre la relatività ha un ruolo di minoreimportanza o trascurabile. Si sapeva peròche in alcuni atomi gli elettroni raggiun-gono velocità pari a una notevole frazionedella velocità della luce e, quindi, la ricer-ca di una teoria quanto-relativistica nonvenne rinviata a lungo.

Alla metà degli anni trenta era giàchiaro che, quando si combina la teoriaquantistica con la relatività, si possonodedurre numerosi fatti del tutto nuovi,fra i quali due di fondamentale impor-tanza. In primo luogo, ogni particella èassociata a un tipo di campo e ognicampo è associato a una classe di parti-celle indistinguibili. Non fu più possibileconsiderare il campo elettromagnetico equello gravitazionale come i soli campifondamentali della natura. In secondoluogo, esistono due tipi di particelleclassificate secondo il loro momentoangolare di spin (quantizzato). Quellecon spin 1/2 Il , 3/21 e così via seguono ilprincipio di esclusione (non possonocoesistere due particelle nello stesso sta-to quantico); quelle con spin O, h, 21 1 ecosì via sono gregarie.

Queste sorprendenti conseguenze de-rivanti dall'unione della relatività ristret-ta alla meccanica quantistica sono sta-te ripetutamente confermate nell'ultimo

mezzo secolo. La relatività e la teoria deiquanti insieme conducono a una teoriasuperiore alla somma delle due parti.L'effetto sinergico è ancora più pronun-ciato allorché si inserisce la gravità.

Nella fisica classica uno spazio-tempopiatto e vuoto («il vuoto» per eccellenza)è privo di strutture, mentre nella fisicaquantistica il nome di «vuoto» è dato aun'entità più complessa dotata di una ric-ca struttura. La sua struttura deriva dal-l'esistenza nel vuoto di campi liberi chenon si annullano mai, campi, cioè, lontanidalle loro sorgenti.

Un campo elettromagnetico libero èmatematicamente equivalente a un in-sieme infinito di oscillatori armonici, chesi possono rappresentare come molle allequali sono fissate delle masse. Nel vuotociascun oscillatore si trova nel suo statofondamentale, o stato di minima energia.Quando un oscillatore classico (nonquantomeccanico) si trova nel suo statofondamentale, è immobile in un puntoben definito. Ciò non è vero per un oscil-latore quantistico. Se un oscillatore quan-tistico fosse in un punto ben definito, lasua posizione sarebbe nota con precisioneinfinita; per il principio di indetermina-zione allora dovrebbe avere quantità dimoto ed energia infinite, il che è impossi-bile. Nello stato fondamentale di un oscil-latore quantistico non sono esattamentedefinite né la posizione né la quantità dimoto. Entrambe sono soggette a fluttua-zioni casuali. Nel vuoto quantistico è ilcampo elettromagnetico (e qualsiasi altrocampo) a fluttuare.

Benché casuali, le fluttuazioni del cam-po nel vuoto quantistico sono di una spe-cie particolare. Soddisfano il principio di

relatività nel senso che «paiono» le stessea tutti gli osservatori non accelerati, qua-lunque sia la loro velocità. Si può dimo-strare che questa proprietà implica che ilcampo sia nullo in media e che le fluttua-zioni aumentino di ampiezza alle lun-ghezze d'onda minori. Il risultato com-plessivo è che un osservatore non puòsfruttare le fluttuazioni per determinarela propria velocità.

Le fluttuazioni possono però servireper determinare l'accelerazione. Nel1976 William G. Unruh dell'Universitàdella British Columbia dimostrò che unipotetico rivelatore di particelle sottopo-sto a un'accelerazione costante reagireb-be alle fluttuazioni del vuoto come se fos-sé in quiete in un gas di particelle (e quin-di non nel vuoto) con una temperaturaproporzionale all'accelerazione. Un rive-latore non accelerato non reagirebbe af-fatto alle fluttuazioni.

L'idea che la temperatura e l'accelera-zione possano essere correlate in questomodo ha condotto a una revisione delconcetto di «vuoto» e al riconoscimentodell'esistenza di diversi tipi di vuoto. Unodei più semplici vuoti non tradizionali sipuò creare ripetendo, in un contestoquantomeccanico, un esperimento idealeproposto per la prima volta da Einstein. Siimmagini un montacarichi chiuso che sista muovendo liberamente nel vuoto.Uno «spirito scherzoso» si aggrappa aesso, portandolo in uno stato di accelera-zione costante con l'estremità superiorein avanti. Si suppone che le pareti delmontacarichi siano perfettamente con-duttrici, impermeabili alla radiazioneelettromagnetica, e che il montacarichistesso sia completamente vuoto, in modo

da non contenere alcuna particella. Ein-stein introdusse questa descrizione im-maginaria per illustrare l'equivalenza tragravitazione e accelerazione, ma un rie-same mostra anche che ci si possonoaspettare numerosi effetti strettamentequantomeccanici.

Tanto per cominciare, nell'istante in cuiinizia l'accelerazione il pavimento del

montacarichi emette un'onda elettroma-gnetica che si propaga verso il soffitto erimbalza su e giù. (Il dimostrare perchévenga emessa l'onda richiederebbe unadettagliata analisi matematica di un con-duttore elettrico accelerato, ma l'effetto èanalogo alla creazione dell'onda acusticadi compressione che apparirebbe se ilmontacarichi fosse pieno d'aria.) Se lepareti del montacarichi consentono tem-poraneamente una certa dissipazione,l'onda elettromagnetica viene trasforma-ta in fotoni con uno spettro energeticotermico, o in altre parole in una radiazio-ne di corpo nero caratteristica di una certatemperatura.

Il montacarichi contiene ora un tenuegas di fotoni. Per liberarci dai fotoni pos-siamo installare un refrigeratore con unradiatore all'esterno, con una certa spesadi energia di fonte esterna. Il risultatofinale, quando tutti i fotoni sono statiestratti, è un nuovo vuoto all'interno delmontacarichi, un vuoto lievemente diver-so dal vuoto standard all'esterno. In pri-mo luogo, infatti, un rivelatore di Unruhche condivide l'accelerazione del monta-carichi, e che reagirebbe termicamentealle fluttuazioni del campo se venisse po-sto nel vuoto standard all'esterno, all'in-terno non mostra alcuna reazione; in se-condo luogo, i due vuoti differiscono peril contenuto di energia.

Per precisare l'energia di un vuoto, ènecessario risolvere alcuni problemi deli-cati della teoria quantistica dei campi. Hosottolineato prima come un campo liberoequivalga a un insieme di oscillatori ar-monici. Le fluttuazioni dello stato fon-damentale degli oscillatori danno al cam-po nel vuoto un'energia residua, chiamataenergia di punto zero. Essendo infinito ilnumero di oscillatori del campo, sembre-rebbe che debba essere infinita anche ladensità di energia del vuoto.

Una densità di energia infinita è imba-razzante e i teorici hanno introdottonumerosi dispositivi tecnici per esorciz-zarla. Tali dispositivi fanno parte di unprogramma generale, chiamato teoriadella rinormalizzazione, per la trattazionedei vari infiniti che compaiono nella teo-ria quantistica del campi. Qualsiasi dispo-sitivo adottato deve essere universale,cioè non costruito «su misura» per unparticolare problema fisico, ma tale daadattarsi uniformemente a tutti i proble-mi. Esso deve anche dar luogo a una den-sità di energia che scompare nel vuotostandard. Quest'ultimo requisito è fon-damentale per la coerenza con la teoria diEinstein. perché il vuoto standard è l'e-quivalente quantistico dello spazio-tem-po piatto e vuoto. Se in esso vi fosse ener-gia, esso non sarebbe piatto.

Di regola le varie impostazioni dellateoria della rinormalizzazione danno ri-sultati identici quando vengono applicateallo stesso problema, il che dà garanziesulla loro validità. Quando vengono ap-plicate ai vuoti all'interno e all'esterno delmontacarichi, danno una densità di ener-gia nulla all'esterno e una densità di ener-gia negativa all'interno. Un'energia delvuoto negativa costituisce una sorpresa.Che cosa può voler dire meno di niente?Un attimo di riflessione spiega però laragionevolezza dell'apparente valorenegativo. All'interno del montacarichidevono essere aggiunti fotoni termici,perché un rivelatore di Unruh all'interno

si comporti come nel vuoto standard all'e-sterno. Quando si aggiungono i fotoni, laloro energia riporta a zero l'energia totaleinterna, uguale a quella del vuoto esterno.

Dobbiamo sottolineare che tali stranieffetti sarebbero difficili da osservare inpratica. Per le accelerazioni ricorrenti nel-la vita quotidiana, perfino nelle macchinead alta velocità, l'energia negativa è digran lunga troppo piccola per essere rile-vata. Esiste però un caso nel quale è stataosservata un'energia negativa del vuoto,almeno indirettamente: in un effetto pre-visto nel 1948 da H. B. G. Casimir deiLaboratori di ricerca Philips in Olanda.Nell'effetto Casimir vengono affacciate

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La topologia fluttuante, che è un aspetto dello spazio-tempo in alcuni tentativi diretti a formulareuna teoria della gravità quantistica, solleva serie difficoltà concettuali. Qui sono mostrate due rap-presentazioni di un cunicolo che è appena stato strizzato, lasciando due «increspature». Se un taleevento può aver luogo, dovrebbe essere possibile anche il processo inverso; in altri termini, le in-crespature dovrebbero essere in grado di fondersi per formare un nuovo cunicolo. Il processo inversosembra possibile quando le increspature appaiono abbastanza vicine, ma non quando sono moltolontane. I concetti di «vicino» e «lontano» però dipendono dal vedere la superficie immersa in unospazio con un maggior numero di dimensioni. Per un osservatore che si trovi nello spazio bidimen-sionale della superficie, gli oggetti rappresentati dai due disegni apparirebbero indistinguibili.

In linea di principio regioni lontane dell'universo potrebbero essereconnesse da un cunicolo, facendo pensare alla possibilità di stabiliretra esse comunicazioni più veloci della luce; in realtà tale schema nonpuò essere valido. Nel cunicolo in alto a sinistra la distanza tra leaperture nel «mondo esterno» è paragonabile alla distanza lungo il«passaggio». Nel cunicolo in basso a sinistra la distanza esterna èmolto maggiore. Nei disegni in basso lo spazio rappresentato dal pia-

no appare curvo, ma ciò è solo dovuto al fatto che viene visto dallaprospettiva di uno spazio con un maggior numero di dimensioni; perun osservatore che vive nel piano esso apparirebbe quasi piatto. Cheil passaggio sia o no una scorciatoia, è impossibile attraversarlo, datoche un cunicolo collega immancabilmente due buchi neri. Il passag-gio «si strozza», come si vede a destra, e qualunque cosa entri vieneschiacciata a una densità infinita prima di raggiungere il lato opposto.

vicinissime nel vuoto due lastre metalli-che microscopicamente piane, pulite,parallele e scariche e si vede che si attira-no debolmente a vicenda con una forzache si può attribuire a una densità di ener-gia negativa nel vuoto che sta tra di esse.

I I vuoto diventa ancor più complesso1- quando lo spazio-tempo è curvo. Lacurvatura influenza la distribuzione spa-ziale delle fluttuazioni del campo quanti-stico e, come l'accelerazione, può indur-re un'energia del vuoto non nulla. Dalmomento che la curvatura può variare daluogo a luogo, può variare anche l'energiadel vuoto, mantenendosi positiva in alcu-ni luoghi e negativa in altri.

In qualsiasi teoria coerente, l'energia sideve conservare. Supponiamo per ilmomento che un aumento di curvaturaprovochi un aumento dell'energia delvuoto quantistico. Tale aumento devevenire da qualche parte e, quindi, la stessaesistenza delle fluttuazioni del campoquantistico implica che sia necessariaenergia per curvare lo spazio-tempo. Neconsegue che lo spazio-tempo si opponealla curvatura. È proprio come nella teo-ria di Einstein.

Nel 1967 il fisico Andrei Sakharov ipo-tizzò che la gravitazione potesse essere unfenomeno puramente quantistico deri-

vante dall'energia del vuoto e che la co-stante di Newton G o, in modo equivalen-te, la rigidità dello spazio-tempo, fossecalcolabile dai principi fondamentali.Quest'idea incontra molte difficoltà. Inprimo luogo, richiede che la gravità vengasostituita, come campo fondamentale, daqualche «campo di gauge di grande unifi-cazione» suggerito dalle particelle ele-mentari note. Si deve introdurre a questopunto una massa fondamentale per poterottenere un'altra scala assoluta di unità;quindi una costante fondamentale vienesostituita da un'altra.

In secondo luogo, e forse più importan-te, la dipendenza calcolata dell'energiadel vuoto dalla curvatura conduce a unateoria della gravità più complessa di quel-la di Einstein. A seconda del numero e deltipo dei campi elementari scelti e del me-todo di rinormalizzazione, l'energia delvuoto, anziché aumentare all'aumentaredella curvatura, può perfino diminuire. Inbase a questa relazione di proporzionalitàinversa lo spazio-tempo piatto sarebbeinstabile e tenderebbe a raggrinzirsi comeuna prugna. Supporrò qui che il campogravitazionale sia fondamentale.

Un vero vuoto è definito come uno sta-to di equilibrio termico alla temperaturadello zero assoluto. Nella gravità quanti-stica un tale vuoto può esistere soltanto se

la curvatura è indipendente dal tempo.Quando la curvatura dipende dal tempo,nel vuoto possono apparire spontanea-mente particelle (con il risultato che, ov-viamente, non si tratta più di un vuoto).

Il meccanismo di produzione di parti-celle può essere spiegato anche in terminidi oscillatori armonici. Quando cambia lacurvatura dello spazio-tempo, cambianoanche le proprietà fisiche degli oscillatoridel campo. Supponiamo che un comuneoscillatore si trovi inizialmente nel suostato fondamentale, soggetto a oscillazio-ni di punto zero. Se una delle sue proprie-tà, quali la massa o la rigidità della molla,cambia, le sue oscillazioni di punto zerodevono a loro volta adattarsi alla varia-zione. Dopo l'adattamento c'è una pro-babilità finita che l'oscillatore non si trovipiù nel suo stato fondamentale, ma in unostato eccitato. Il fenomeno è analogo al-l'aumento di vibrazione indotto in unacorda vibrante di un pianoforte quandoaumenta la sua tensione; l'effetto è chia-mato eccitazione parametrica. Nel campoquantistico, l'analogo dell'eccitazioneparametrica è la produzione di particelle.

T e particelle prodotte da una curvaturavariabile nel tempo appaiono ca-

sualmente. Non è possibile prevedereesattamente in anticipo dove o quando

nascerà una data particella. Si può peròcalcolare la distribuzione statistica dell'e-nergia e della quantità di moto delle par-ticelle. La produzione di particelle è mas-sima dove la curvatura è massima e stacambiando con la massima rapidità. Essafu probabilmente molto grande durante ilbig bang e potrebbe aver avuto un effettopredominante sulla dinamica dell'univer-so nei primi istanti. Particelle create inquesto modo potrebbero spiegare tutta lamateria dell'universo.

Tentativi di calcolare la produzione diparticelle durante il big bang furono ini-ziati indipendentemente una decina dianni fa dall'accademico russo Yakov B.Zel'dovich e da Leonard E. Parker del-l'Università del Wisconsin a Milwaukee.Da allora, molti altri hanno esaminato ilproblema, con risultati anche suggestivi,ma senza raggiungere una soluzione defi-nitiva. Inoltre, pende in proposito unadomanda fondamentale: quale statoquantico iniziale si deve scegliere per l'i-stante del big bang? Qui il fisico deveassumere il ruolo di Dio. Nessuna delleproposte finora avanzate sembra perfet-tamente convincente.

L'altro evento dell'universo durante ilquale la curvatura dovrebbe cambiarerapidamente è il collasso di una stella chedà origine a un buco nero. A questo pro-posito i calcoli quantomeccanici hannoportato a una vera sorpresa, sostanzial-mente indipendente dalle condizioni ini-ziali. Nel 1974 Stephen W. Hawking del-l'Università di Cambridge dimostrò che lavariazione di curvatura in vicinanza di unbuco nero in fase di collasso crea un flussoradiante di particelle. Il flusso è staziona-rio e continua per lungo tempo dopo che ilbuco nero è diventato geometricamentequiescente. Esso può continuare poichépare che il tempo rallenti nell'enormecampo gravitazionale vicino alla superfi-cie di «orizzonte» di un buco nero; per unosservatore esterno tutta l'attività si portaa una condizione virtuale di riposo. Leparticelle nate più vicine all'orizzontevengono maggiormente ritardate nel loroviaggio verso l'esterno.

Anche se il ritardo nell'emissione im-plica che debba esistere un enorme nume-ro di particelle addensate nei pressi del-l'orizzonte, ciascuna «in attesa del pro-prio turno» per sfuggire, la densità dienergia totale in questa regione è effetti-vamente negativa e piuttosto piccola.L'energia positiva trasportata dalle parti-celle è ampiamente compensata da un'e-nergia del vuoto enormemente negativache sarebbe presente se fossero assenti leparticelle (per esempio, se il buco nerofosse sempre esistito e non fosse mai statocreato da un collasso gravitazionale).

Si può dimostrare che le particelleemesse sono statisticamente non correla-te e che il loro spettro energetico è termi-co. Il carattere di corpo nero della radia-zione è forse la sua proprietà più impor-tante e consente di assegnare a un buconero sia una temperatura sia un'entropia.L'entropia, che misura il disordine ter-modinamico del sistema, risulta propor-zionale all'area della superficie di oriz-

zonte. Per un buco nero di massa stellareessa è enorme: è di oltre diciannove ordi-ni di grandezza superiore all'entropia del-la stella collassata che ha formato il buconero. La temperatura, a sua volta, è inver-samente proporzionale alla massa e, se lamassa è stellare, è di oltre undici ordini digrandezza inferiore a quella della stellamadre.

Dato che la quantità di radiazioneemessa da un oggetto dipende dalla suatemperatura, la radiazione di Hawkingproveniente da un buco nero astrofisico èdel tutto trascurabile. Essa diventa im-portante solo per buchi neri «mini», ossiaquelli di una massa inferiore a 1010grammi. Il solo modo immaginabile in cuisi sarebbero potuti formare i minibuchineri è per compressione durante il bigbang. È probabile che allora ne siano statiprodotti in abbondanza, nel qual casoavrebbero contribuito in modo significa-tivo all'entropia dell'universo.

I'energia delle particelle create da una, curvatura variabile nel tempo non

può essere evocata dal nulla. Essa derivadallo stesso spazio-tempo. Ne consegueche le particelle agiscono a loro volta sullospazio-tempo. Sono stati fatti tentativiper calcolare questa «retroazione» nelcaso del big bang. per determinare il suoeffetto dinamico sull'universo primitivo.Si voleva vedere se la retroazione potevaeliminare la densità iniziale infinita della

materia richiesta dalla teoria classica diEinstein e che è un ostacolo per tutte lericerche ulteriori. Se la si potesse sostitui-re con una densità semplicemente enor-me, ci si potrebbe domandare: che cosafaceva l'universo prima del big bang?

Negli anni sessanta Roger Penrose del-l'Università di Oxford e Hawking dimo-strarono che la teoria classica di Einsteinè incompleta. Essa prevede il verificarsi,nel passato o nel futuro, di densità infinitee di curvature infinite sotto una varietà dicondizioni attuali fisicamente ragionevo-li. Una teoria che prevede un valore infi-nito per una grandezza osservabile non èpiù in grado di avanzare previsioni al di làdi quel punto. Dato che i fisici credononella comprensibilità della natura, essi siaspettano che una teoria siffatta richiedaun ampliamento fino a comprendere unagamma più ampia di fenomeni. Secondol'attuale punto di vista prudenziale l'in-clusione degli effetti quantistici è la solaterapia ragionevole per l'incompletezzadella teoria di Einstein.

Calcoli della retroazione sul big bangeseguiti mediante simulazione numericasu un calcolatore digitale hanno dato fi-nora risultati ambigui. Difficile è stata ladeterminazione, come dato di ingressoper il calcolatore, di un valore accettabiledella densità di energia combinata per leparticelle prodotte e per il vuoto quanti-stico al quale esse sono sovrapposte.

L'effetto della retroazione è di partico-

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15

La dimensionalità dello spazio viene messa in discussione dalla possibilità che lo spazio-tempo abbiauna topologia complessa. La superficie mostrata è bidimensionale, ma per le sue connessionitopologiche ha un aspetto tridimensionale. È ammissibile che lo spazio tridimensionale percepito a unascala macroscopica abbia in realtà un minor numero di dimensioni, ma sia topologicamente convoluto.

10- 33 CENTIMETRIl<

10-'2 CENTIMETRI

Il vuoto quantistico. pensato da John Archibald Wheeler nel 1957, diventa sempre più caoticoispezionando regioni di spazio sempre più piccole. Alla scala del nucleo atomico (in alto) lo spazioappare molto regolare. Alle dimensioni di 10- 3° centimetri (al centro) appaiono nella geometriacerte asperità. Alla scala della lunghezza di Planck, 1000 volte ancora più piccola (in basso),la curvatura e la topologia dello spazio sono continuamente sottoposte a violente fluttuazioni.

lare importanza nel caso di un buco nero.La radiazione di Hawking «ruba» da unbuco nero sia energia sia entropia. Lamassa del buco di conseguenza diminui-sce. Il tasso di diminuzione è dapprimalento, ma cresce rapidamente all'aumen-tare della temperatura. Alla fine il tasso divariazione diventa tanto elevato che leapprossimazioni nei calcoli di Hawkingnon sono più valide. Non si sa che cosaaccada da quel momento in poi. Hawkingritiene che le sue approssimazioni si man-tengono qualitativamente corrette e che ilbuco nero finisca di vivere con un lampospettacolare, lasciandosi dietro momen-taneamente una «singolarità nuda» nellastruttura causale dello spazio-tempo.

Qualsiasi singolarità, nuda o meno,costituisce un fallimento della teoria. SeHawking ha ragione, non è incompletasolo la teoria di Einstein, ma anche lateoria dei quanti. La ragione è dovuta alfatto che, per ogni particella nata al difuori della superficie di orizzonte, ne na-sce una all'interno. Le due particelle sonocorrelate nel senso che un osservatorepotrebbe rilevare «effetti di interferenzadi probabilità» se potesse comunicaresimultaneamente con entrambe le parti-celle. Hawking suppone che le particelleall'interno vengano schiacciate fino a unadensità infinita e cessino di esistere. Nelmomento in cui cessano di esistere viene a

cadere la normale interpretazione proba-bilistica della meccanica quantistica. Laprobabilità stessa scompare nello schiac-ciamento a densità infinita.

Secondo un'ipotesi alternativa edegualmente plausibile la costruzione stes-sa della teoria quantistica dei campi cheviene eretta attorno alla teoria di Einsteinimpedisce che vengano perse nel collassosia la probabilità sia l'informazione. È deltutto probabile che la retroazione arrivi aun tale estremo da impedire che lo schiac-ciamento si estenda all'infinito. L'oriz-zonte, che è un costrutto matematico enon fisico, potrebbe non essere affattouna barriera strettamente a senso unico.La materia che è collassata formando ilbuco nero potrebbe alla fine essere spie-gata, particella per particella. Nessunodubita che si abbia un lampo finale diradiazione di Hawking e che si raggiun-gano densità enormi all'interno del buco.La pressione stessa alla quale sono sotto-poste le particelle nucleari potrebbe tut-tavia trasformarle in fotoni e in altre par-ticelle prive di massa, che alla fine po-trebbero sfuggire, trasportando con sé lapoca energia restante e tutte le correla-zioni quantistiche. Non è necessario chequesti prodotti finali portino via alcunaparte dell'entropia originaria del buconero. Essa è stata tutta rubata dalla radia-zione di Hawking.

Passo ora alla parte profonda e difficile

della gravità quantistica. Quando uneffetto quantistico, quale la produzione diparticelle o l'energia del vuoto, retroagi-sce sulla curvatura dello spazio-tempo, lastessa curvatura diventa un oggetto quan-tistico. Uno schema teorico coerente ri-chiede che lo stesso campo gravitazionalesia quantizzato. Per lunghezze d'ondagrandi rispetto alla lunghezza di Planck,le fluttuazioni quantistiche del campogravitazionale quantizzato sono piccole.Esse possono essere rappresentate conprecisione se vengono trattate come unadebole perturbazione su un fondo classi-co. La perturbazione può essere analizza-ta allo stesso modo di un campo indipen-dente e contribuisce per la sua parte siaall'energia del vuoto sia alla produzionedi particelle.

Alle lunghezze d'onda e alle energie diPlanck la situazione è decisamente piùcomplessa. Le particelle associate a uncampo gravitazionale debole sono dettegravitoni ; sono prive di massa e hanno unmomento angolare di spin 2l. È impro-babile che i singoli gravitoni possano maiessere osservati direttamente. La comunemateria, perfino un'intera galassia dimateria comune, è quasi totalmente tra-sparente a essi. I gravitoni interagisconoapprezzabilmente con la materia soloquando raggiungono le energie di Planck.Tuttavia, a tali energie, essi sono in gradodi indurre curvature di Planck nella geo-metria di fondo. A questo punto il campoal quale i gravitoni sono associati non èpiù debole e lo stesso concetto di «parti-cella» è mal definito.

Alle lunghezze d'onda maggiori l'ener-gia trasportata da un gravitone distorce lageometria di fondo. Alle lunghezze d'on-da minori essa distorce le onde associateal gravitone stesso. È una conseguenzadella non linearità della teoria di Ein-stein: quando si sovrappongono duecampi gravitazionali, il campo risultantenon è uguale alla somma dei due compo-nenti. Tutte le teorie di campo significati-ve sono non lineari. Per alcune si puòtrattare la non linearità con un metodo diapprossimazioni successive chiamato teo-ria delle perturbazioni, nome la cui origi-ne risale alla meccanica celeste. Il metodosi basa sul perfezionamento di un'appros-simazione iniziale mediante una serie dicorrezioni progressivamente più piccole.Quando si applica la teoria delle pertur-bazioni ai campi quantizzati, essa condu-ce a infiniti che devono essere eliminatiper rinormalizzazione.

Nel caso della gravità quantistica lateoria delle perturbazioni non è applicabi-le per due motivi. In primo luogo, alleenergie di Planck i successivi termini dellaserie di perturbazioni (cioè le successivecorrezioni) sono di grandezza analoga.Troncare la serie a un numero finito ditermini non porta a una approssimazionevalida; si deve invece sommare l'interaserie infinita. In secondo luogo, non pos-sono essere rinormalizzati in modo coe-rente i singoli termini della serie. In ogniordine di approssimazione appaiononuove classi di infiniti, che non hanno

alcuna corrispondenza nell'ordinaria teo-ria quantistica dei campi. Nascono perchénel quantizzare il campo gravitazionale siquantizza lo stesso spazio-tempo. Nel-l'ordinaria teoria quantistica dei campi lospazio-tempo è un fondo fisso. Nella gra-vità quantistica il fondo non solo reagiscealle fluttuazioni quantistiche, ma si suddi-vide anche tra esse.

Sono stati fatti alcuni tentativi per dareuna risposta strettamente tecnica a questedifficoltà sommando sottoinsiemi infinitidi termini della serie di perturbazioni. Irisultati, in particolare la completa scom-parsa degli infiniti, sono sia suggestivi siaincoraggianti. Dobbiamo però esaminarlicon cautela perché per ricavarli sono stateoperate pesanti approssimazioni e la seriedi perturbazioni non viene mai sommatain toto; ciononostante vengono impiegatiper calcolare stime migliori dell'effettodella retroazione sul big bang.

Da un punto di vista più ampio ci sideve aspettare l'insorgere di altri proble-mi la cui soluzione non può neppure esse-re tentata con la somma della serie. Unospazio-tempo quantizzato possiede unastruttura causale fluttuante e incerta. Alledimensioni di Planck la stessa distinzionetra passato e futuro diventa nebulosa. Peranalogia con l'effetto tunnel nei sistemiatomici, che consente a un elettrone diattraversare una barriera energetica chenon potrebbe mai scavalcare, dobbiamoattenderci processi non ammessi nellateoria classica di Einstein, tra i quali viag-gi su distanze di Planck a velocità superio-ri a quella della luce. Non sappiamo affat-to come calcolare le probabilità di taliprocessi. In molti casi non si sa neppurequali siano le domande giuste da porre.Non vi sono esperimenti che possano farcida guida e perciò è ancora lecito indulgerea voli di fantasia.

Uno dei voli di fantasia più ricorrenti,ripetutamente citato nella letteratu-

ra sulla gravità quantistica, è il concetto ditopologia fluttuante. La nozione fonda-mentale introdotta da Wheeler nel 1957 èla seguente: le fluttuazioni nel vuoto delcampo gravitazionale, come quelle di tuttigli altri campi, aumentano di intensità allelunghezze d'onda minori. Se si estrapola-no alla regione di Planck i risultati stan-dard per il campo debole, le fluttuazionidi curvatura diventano talmente violenteda apparire in grado di produrre buchinello spazio-tempo alterandone la topo-logia. Wheeler immagina il vuoto in unostato di perenne agitazione, con la conti-nua comparsa e scomparsa di cunicoli (edi altre strutture più complesse) di dimen-sioni planckiane. L'agitazione è «visibile»soltanto al livello di Planck. A un livellopiù grossolano lo spazio-tempo continuaad apparire regolare.

Si può sollevare un'obiezione immedia-ta: ogni variazione di topologia è necessa-riamente seguita da una singolarità nellastruttura causale dello spazio-tempo, co-sicché ci si trova di fronte alla stessa diffi-coltà che nasce nell'interpretazione diHawking del decadimento dei buchi neri.Supponiamo comunque che l'interpreta-

zione di Wheeler sia corretta. Una delleprime domande alle quali si deve darerisposta è: in quale misura le fluttuazionitopologiche contribuiscono all'energiadel vuoto e come influenzano la resisten-za alla curvatura dello spazio-tempo (allivello grossolano)? Finora nessuno hadato una risposta convincente, principal-mente perché non è emersa alcuna descri-zione coerente del processo stesso di tran-sizione topologica.

Per renderci conto di almeno uno degliostacoli che si incontrano nella costruzio-ne di tale descrizione, si consideri il pro-cesso visualizzato nell'illustrazione a pa-gina 15. Il disegno fornisce due rappre-sentazioni dello stesso evento: un cunico-lo è stato appena strizzato lasciando due«pseudopodi» residui in uno spazio con-nesso semplicemente. In una rappresen-tazione lo spazio si presenta curvo, nel-l'altra piatto.

Si consideri ora il processo inverso: laformazione di un cunicolo. Se esiste unaprobabilità finita che un cunicolo scom-

paia per strizzatura, esiste anche una pro-babilità finita che se ne formi un altro. Aquesto punto sorge una nuova difficoltà.Dal punto di vista dell'inversione l'illu-strazione rappresenta due pseudopodicresciuti spontaneamente nel vuoto quan-tistico. In una rappresentazione appareragionevole la possibilità che due pseu-dopodi si uniscano formando un cunicolo.Nell'altra non è così. Eppure la situazionefisica è la stessa nei due disegni. Nel primocaso la formazione del cunicolo sembraragionevole perché gli pseudopodi ap-paiono vicini. La «vicinanza», però, non èuna proprietà intrinseca della disposizio-ne spaziale, come l'altra rappresentazio-ne mostra chiaramente. Una nozione di«vicinanza» richiede l'esistenza di unospazio con un maggior numero di dimen-sioni nel quale sia immerso lo spazio--tempo. Inoltre, lo spazio a più dimensionideve essere dotato di proprietà fisiche taliche gli pseudopodi possano trasmettereuna sensazione di vicinanza gli uni aglialtri. Ma allora lo spazio-tempo non è più

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I

LE SCIENZEquaderni

MATEMATKAE CALCOLATORE

DIMENSIONI SPAZIALI ORDINARIE

Potrebbero esistere altre dimensioni spaziali, oltre a quelle conosciute,se avessero una forma «compatta». Per esempio, una quarta dimensio-ne spaziale potrebbe essere arrotolata su un cilindro con una circonfe-renza di forse 10- 32 centimetri. Qui l'ipotetica dimensione compatta èstata «srotolata» e viene rappresentata come l'asse verticale di undiagramma spazio-tempo. La traiettoria di una particella può quindiavere una componente ciclica: ogni volta che raggiunge la massima

estensione della dimensione compatta si ritrova al punto di partenza.La traiettoria osservata è la proiezione di quella reale sulle dimensionimacroscopiche dello spazio-tempo. Se la traiettoria è una geodetica,può assumere l'aspetto di una particella elettricamente carica in motoin un campo elettrico. Una teoria di questo genere è stata introdottanegli anni venti da Theodor Kaluza e Oskar Klein, per dimostrare comeessa sia in grado di spiegare sia la gravitazione sia l'elettromagnetismo.

DIMENSIONESPAZIALECOMPATTA

l'universo. L'universo è qualcosa di più.Se restiamo fedeli all'idea che le proprietàdello spazio-tempo siano intrinseche eche non siano il risultato di qualcosa diesterno, sembra che una descrizione coe-rente delle transizioni topologiche, siafuori dalla nostra portata.

Un'altra difficoltà collegata alle flut-tuazioni topologiche è che esse potrebbe-ro danneggiare la dimensionalità macro-scopica dello spazio. Se i cunicoli si pos-sono formare spontaneamente, gli stessicunicoli possono formare altri cunicoli, ecosì via all'infinito. Lo spazio potrebbeevolversi in una struttura la quale, benchétridimensionale a livello di Planck, pre-senta quattro o più dimensioni apparentiin una scala maggiore. Un esempio co-mune di tale processo è la formazione diuna schiuma, che è costituita interamenteda superfici bidimensionali, ma ha unastruttura tridimensionale (si veda l'illu-strazione a pagina 17).

A causa di difficoltà come queste, alcu-ni fisici hanno suggerito che la descrizioneconvenzionale dello spazio-tempo comeun continuo regolare perde validità al li-vello di Planck e deve essere sostituita daqualcos'altro. Non è mai stato molto chia-ro di che cosa possa consistere questoqualcos'altro. Visto il successo della de-scrizione del continuo su scale di lunghez-za che coprono oltre quaranta ordini digrandezza (o sessanta se si suppone che lapossibile perdita di validità intervengasolo al livello di Planck), parrebbeugualmente ragionevole che la descrizio-ne del continuo sia valida a tutti i livelli eche le transizioni topologiche semplice-mente non esistano.

Anche se la topologia dello spazio èimmutabile, non è necessariamente

semplice, neppure a un livello microscopi-co. E concepibile che lo spazio possa avereuna struttura a schiuma sin dall'inizio, nelqual caso la sua apparente dimensionalità

potrebbe essere maggiore della sua dimen-sionalità reale. La sua dimensionalità ap-parente, però, potrebbe anche essere infe-riore alla sua dimensionalità reale.

Quest'ultima possibilità è stata propo-sta in una teoria avanzata da TheodorKaluza nel 1921 e da Oskar Klein nel1926. Nella teoria di Kaluza-Klein lo spa-zio è tetradimensionale e lo spazio-tempoè pentadimensionale. La ragione per laquale lo spazio appare tridimensionale èche una delle sue dimensioni è cilindrica,come nell'universo discusso in preceden-za, ma con una differenza importante: lacirconferenza dell'universo nella direzio-ne cilindrica, invece di essere di miliardidi anni luce, è soltanto di poche (forse 10o 100) unità di Planck. Di conseguenza,un osservatore che tenti di penetrare nellaquarta dimensione spaziale si ritrova qua-si istantaneamente al punto di partenza.In realtà ha poco significato parlare di taletentativo, perché gli atomi stessi dei qualil'osservatore è composto sono molto piùgrandi della circonferenza del cilindro. Laquarta dimensione è semplicemente nonosservabile come tale.

Cionondimeno, essa può manifestarsiin un altro modo: come luce! Kaluza eKlein dimostrarono che se il loro spazio--tempo pentadimensionale viene trattatomatematicamente esattamente allo stessomodo in cui lo spazio-tempo tetradimen-sionale viene trattato da Einstein, la loroteoria è equivalente alla teoria dell'elet-tromagnetismo di Maxwell combinatacon la teoria della gravitazione di Ein-stein. Le componenti del campo elettro-magnetico sono implicite nell'equazionesoddisfatta dalla curvatura dello spazio-tempo. Kaluza e Klein inventarono in talmodo la prima valida teoria unificata deicampi, una teoria che forniva una spiega-zione geometrica della radiazione elet-tromagnetica.

In un certo senso la teoria di Kaluza--Klein ebbe fin troppo successo. Pur fon-

dendo le teorie di Maxwell e di Einstein,essa non prevedeva nulla di nuovo equindi non poteva essere confrontata conle altre teorie. Il motivo fu che Kaluza eKlein avevano imposto limiti al modo incui lo spazio-tempo può curvarsi nelladimensione aggiuntiva. Se fossero statirimossi tali limiti, la teoria avrebbe previ-sto nuovi effetti, ma non sembrava che glieffetti trovassero corrispondenza nellarealtà. La teoria quindi venne considerataper molti anni come una piacevole curio-sità e relegata in un angolo.

La teoria di Kaluza-Klein venne tiratafuori dall'angolo negli anni sessantaquando si scoprì che le nuove teorie digauge che stavano destando un interessecrescente si potevano riformulare cometeorie di Kaluza-Klein nelle quali lo spa-zio è dotato non di una sola, ma di piùdimensioni microscopiche aggiuntive. Sicominciò a scoprire che tutta la fisica sipoteva spiegare in termini geometrici.Divenne importante a questo punto do-mandarsi che cosa accade se si rimuovonoi limiti alla curvatura nelle dimensionicompatte.

Accade che nelle dimensioni aggiunti-ve si prevedono fluttuazioni di curvatura,che si manifestano come particelle digrande massa. Se la circonferenza delledimensioni aggiuntive è di 10 unità diPlanck, la massa delle particelle associateè circa un decimo della massa di Planck,pari a circa un microgrammo. Dato chel'energia necessaria per creare tali parti-celle è enorme, esse non vengono quasimai prodotte. Pertanto, che si imponganoo meno limiti alle fluttuazioni di curvatu-ra fa poca differenza. I problemi riman-gono. Quello principale è che la curvaturaestrema delle dimensioni aggiuntive dàorigine a una grandissima densità di ener-gia nel vuoto classico. L'ipotesi di unagrande energia del vuoto è da scartarsi inbase alle osservazioni.

I modelli di Kaluza-Klein non sono mai

stati seguiti con molta attenzione e il lororuolo in fisica è ancora incerto. Però, negliultimi due o tre anni essi sono stati pro-fondamente riesaminati, questa volta inconnessione con la generalizzazione dellateoria di Einstein chiamata supergravità,ideata nel 1976 da Daniel Z. Freedman,Peter van Nieuwenhuizen e Sergio Ferra-ra e (in una versione migliorata) da Stan-ley Deser e Bruno Zumino.

Una delle inadeguatezze dei modellistandard di Kaluza-Klein consiste nel fat-to che prevedono soltanto l'esistenza diparticelle con momenti angolari di spin 0,h e 2h, e anche tali particelle sono o privedi massa o superpesanti. Non c'è postoper le particelle della materia comune, lamaggior parte delle quali ha momentoangolare di spin 1121i. Si scopre che, se lateoria di Einstein viene sostituita dallasupergravità e se si tratta lo spazio-tempocol metodo di Kaluza-Klein, si ottieneuna vera unione di tutte le varietà di spin.

Nel «supermodello» di Kaluza-Kleinoggi più diffuso vengono attribuite allospazio-tempo altre sette dimensioni.Queste dimensioni hanno la topologia diuna ettasfera, uno spazio che possiedealcune proprietà affascinanti. La teoriache ne risulta è straordinariamente ricca ecomplessa, dal momento che prevedeenormi supermultipletti di particelle. Lemasse delle particelle sono ancora o nulleo estremamente grandi, ma è possibileche una «rottura» della simmetria dellaettasfera attribuisca ad alcune particelleuna massa più realistica. Rimane ancorala grande energia del vuoto classico, mapotrebbe essere annullata da un'energianegativa del vuoto quantistico. Non si saancora se queste strategie per modificarela teoria avranno successo.

Se Einstein potesse ritornare a verifica-re che cosa è stato della sua teoria, ne

sarebbe certamente stupefatto e, credo,compiaciuto. Sarebbe compiaciuto che ifisici, dopo anni di esitazione, abbianofinito con l'accettare il suo punto di vistasecondo il quale le teorie matematica-mente eleganti meritano di essere studia-te anche se non sembrano corrispondereimmediatamente alla realtà. Sarebbeanche compiaciuto che i fisici oggi osinosperare di ricavare una teoria unificatadei campi. E sarebbe infine particolar-mente soddisfatto di scoprire che il suovecchio sogno che tutta la fisica si possaspiegare in termini geometrici pare sistia avverando.

Soprattutto, però, sarebbe meraviglia-to. Meravigliato del fatto che la teoria deiquanti abbia ancora un ruolo di premi-nenza nella sua forma originale su tutte lealtre teorie, arricchendo la teoria deicampi e venendo a sua volta da essa arric-chita. Einstein non credette mai che lateoria dei quanti rappresentasse la veritàfinale. Egli non accettò mai l'indetermini-smo che essa implica ed era convinto chesarebbe stata un giorno sostituita da unateoria dei campi non lineare. È accadutoesattamente il contrario. La teoria deiquanti ha invaso la teoria di Einstein el'ha trasformata.

n. 13 febbraio 1984

Un'approfondita edesauriente descrizione deiprocessi orogenetici chehanno dato origine ai

principali sistemi di catenemontuose della Terra.

LE SCIENZEquaderni

LA FORMAZIONEDELLE MONTAGNE

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OEG

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In questo numero:

Teorie orogenetiche prima della«tettonica a zolle»

di M. ParottoGeosinclinali. orogenesie crescita dei continenti

di R. S. DietzLa subduzione della litosfera

di M. N. ToksérzIl ruolo dei processi di subduzione

di R. FunicielloLa crescita del Nord America

di D. L. Jones, A. Cox, P. Coneye M. Beck

Gli Appalachi meridionalidi F. A. Cook, L. D. Brown

e J. E. OliverL'evoluzione delle Ande

di D. E. JamesLa collisione tra India ed Eurasia

di P. Molnar e P. TapponierEvoluzione e struttura delle Alpi

di H. P. LaubscherStruttura profonda dell'area mediterranea

di G. F. Panza, G. Calcagnile,P. Scandone e S. Mueller

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n. 14 marzo 1984

Per la prima volta proposta alivello divulgativo un'ampiaanalisi dell'influsso che larivoluzione informatica ha

avuto sulle scienzematematiche.

• O/ •KJ OE G

C • •

C • • L

In questo numero:

Matematica e calcolatoredi G. Lolli

Gli algoritmidi D. E. Knuth

Definizioni di algoritmodi G. Lolli

Linguaggi di programmazionedi J. A. Feldman

Algebra e calcolatoredi R. Pavelle, M. Rothstein e J. Fitch

Alla ricerca dei numeri primidi C. Pomerance

La teoria della complessitàdi N. Pippenger

Problemi intrinsecamente difficilidi L. i. Stockmeyer e A. K. Chandra

Il problema dei quattro coloridi K. Appel e W. Haken

Casualità e dimostrazionematematica

di G. J. Chaitin

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14

Otto quaderni all'anno, ogni mese da ottobre a maggio.In vendita in edicola e in libreria.

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