Evidencia de aprendizaje. Unidad 1. Ecuaciones diferenciales.

Se sabe de observaciones experimentales que la temperatura de un objeto cambia a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del ambiente en que est inmerso. Esto se conoce como:

Ley de Enfriamiento de Newton.

Si llamamos a la temperatura de un objeto en un instante de tiempo , a la temperatura del medio ambiente y a la constante de proporcionalidad, entonces la ecuacin diferencial que modela el enfriamiento o calentamiento de un objeto es:.

Para poder utilizar esta ecuacin se necesita conocer la temperatura del objeto en dos instantes diferentes, ya que hay dos constantes por determinar; la constante de proporcionalidad y la constante de integracin.

De esta manera tenemos un problema con valores en la frontera:

.

Problema.Una pequea barra metlica, cuya temperatura inicial era de 20C, se deja caer en un recipiente que contiene agua hirviendo. Cunto tiempo le llevar a la barra alcanzar los 95C si se sabe que la temperatura aument 2C en un segundo?

Instrucciones:i. Plantea el problema con valores en la fronteraii. Establece el tipo de ecuacin diferencialiii. Resuelve la ecuacin diferencial. Justifica todas tus respuestas.iv. Da la solucin al problema (Puedes usar cualquier software para encontrar los valores de las constantes.)Adems, recuerda revisar la Escala de evaluacin de la evidencia de aprendizaje de la unidad 1 para conocer los criterios con los que ser evaluado el trabajo.

T= temperatura del objetoA: temperatura del medio ambiente (el agua hierve aproximadamente a 100)

ecuacin diferencial de primer orden

Ln = kt +CT-100=C T= C +100

T= 20 t=0 20= C +100

20-100= C -80= C(1)C=-80 valor de la constante de integracin

Comprobacin:t=0T(0) = C +100T(0) = -80 +100

T(0) = -80(1) +100T(0) = -80 +100T(0) = 20

T= 22 t=1 c= -80T= C +10022 = -80 +100

=

=975=Ln .975=kK= -.02531 valor de la constante de proporcionalidad

T= 95 k=-.02531 c= -80 95 = -80 +100

==

.0625=Ln .0625= -.02531 t-2.7725=-.02531 t= t

t= 109.54 le llevara 109.54 segundos a la barra alcanzar los 95 .Comprobacin:t=109.54T(109.54) = C +100T(109.54) = -80 +100

T(109.54) = -80(.0625) +100T(109.54) = -5.000 +100T(109.54) = 95