Fichier : EX 7-8.doc

ESDEP

GROUPE DE TRAVAIL 7

ELEMENTS STRUCTURAUX

Exemple 7.8 (i), (ii) & (iii)

Poutres maintenues latralement

Leon support : Leon 7.8.1 - Poutres maintenues latralement 1re

partie

Page 2

CONTENU

Exemple 7.8(i) : Section en I simplement appuye. Vrification ELU (flexion, cisaillement)

et ELS.

Exemple 7.8(ii) : Tube rectangulaire en console. Vrification ELU (flexion, cisaillement) et

ELS.

Exemple 7.8(iii) : Poutre compose monosymtrique de pont roulant.

Dans la mesure du possible, les calculs ont t mens selon l'Eurocode 3 [1].

[1] Eurocode 3 : Calcul des structures en acier : ENV 1993-1-1 : Partie 1-1 : Rgles

gnrales et rgles pour les btiments, CEN, 1992.

Rfrence

Eurocode 3

Page 3

EXEMPLE 7.8(i) SECTION EN I SIMPLEMENT

APPUYE. VERIFICATION ELU,

(FLEXION, CISAILLEMENT) ET

ELS.

Notations

fy = Limite dlasticit nominale

fyd = Valeur de calcul de la limite dlasticit

M = Coefficient partiel de scurit

MSd = Valeur de calcul du moment flchissant

Mc.Rd = Moment rsistance de calcul des sections transversales

Mpl.Rd = Moment de rsistance plastique de calcul de la section brute

Wpl = Module plastique

VSd = Rsistance de calcul au cisaillement de chaque section

transversale

Vpl.Rd = Rsistance plastique de calcul au cisaillement

Av = Aire de cisaillement

MNy.Rd = Moment de rsistance plastique de calcul, selon laxe fort,

rduit par la prise en compte de leffort axial

MNz.Rd = Moment de rsistance plastique de calcul, selon laxe faible,

rduit par la prise en compte de leffort axial

Rfrence

Eurocode 3

Page 4

Problme

Choisir un profil IPE capable de supporter une charge d'exploitation

uniformment distribue de rsultante gale 245 kN. Il sagit dune poutre sur

appuis simple dune porte de 6 m. On suppose que le poids propre de

llment est de 5 kN. L'acier constitutif est un acier S235.

L = 6,0 m

Charge totale non pondre = 250 kN

Valeur de calcul de la rsistance :

En supposant : t 40 mm

nous avons : M = 1,1

fyd = fy / M

fyd = 235 / 1,1 = 213,5 MPa

Valeurs caractristiques des actions :

Charge permanente : Gk = 5 kN

Charge variable : Qk = 245 kN

Pour l'tat limite ultime, ces valeurs sont combines pour fournir les valeurs de

calcul :

Fd = Gd + Qd

= G . Gk + Q . Qk

= 1,35 Gk + 1,5 Qk

= 1,35 5 + 1,5 245 kN

375 kN

2.2.3.2

Tableau 3.1

5.1.1

2.3.2.2

2.3.3.1

Tableau 2.2

Rfrence

Eurocode 3

Page 5

1) Flexion

Pour une charge uniformment distribue

Msd = Fd L / 8

= 375 6 / 8 = 281,25 kN.m

Le moment rsistant de calcul Mc.Rd ncessaire est tel que :

Mc.Rd MSd

Supposons que la section est de Classe 1. Nous avons alors :

Mc.Rd = Mpl.Rd = Wpl.y fyd

Le module plastique minimum est alors :

Wpl.y = 281,25

213,5

103 = 1317,3 cm

3

Choisissons un IPE O 400. Son module plastique Wpl est de 1502 cm3.

Ses caractristiques sont :

Hauteur : h = 404 mm

Largeur : b = 182 mm

Partie droite de l'me : d = 331 mm

paisseur de semelle : tf = 15,5 mm

paisseur de l'me : tw = 9,7 mm

Rayon de raccordement : r = 21 mm

Inertie : Izz = 1564 cm4

Iyy = 26750 cm4

Aire de la section transversale : A = 96,4 cm2

Vrification du poids propre :

Gk = 96,4 10-4

78,5 6 = 4,54 kN

La valeur prise par hypothse tait : Gk = 5 kN OK

5.4.5.1

Rfrence

Eurocode 3

Page 6

Vrification de la classe de la section transversale :

= 1 pour fy = 235 MPa

Semelle : c/tf = 182 / 2

15,5 = 5,87 10

me : d/tw = 331

9,7 = 34,12 72

La section respecte les limites de la Classe 1.

De plus, tf < 40 mm. La limite dlasticit considre au dbut du calcul,

fy = 235 MPa, est donc convenable.

En consquence, le calcul prcdent est valable. La section possde une

rsistance suffisante vis--vis du moment de flexion.

2) Cisaillement

La valeur de calcul de l'effort tranchant sur appui est :

VSd = 375 / 2 = 187,5 kN

La rsistance plastique de calcul au cisaillement Vpl.Rd doit tre telle que :

Vpl.Rd VSd

Vpl.Rd = Av (fy / 3 ) / M

= [A - 2 b tf + (tw + 2r)tf ] (fy / 3 ) / M

= [96,4 102-2 182 15,5+(9,7+2 21)15,5] (235/ 3 )/1,1

= 592 103 N = 592 kN

La section est donc suffisante pour rsister leffort tranchant.

3) Flches

Vrification de la flche sous les charges de service :

avec : f = 1,0

E = 210 000 MPa

Tableau 5.3.1

5.4.6

2.3.4(6)

3.2.5

Rfrence

Eurocode 3

Page 7

La flche totale max est :

max = 1 + 2 - o

avec :

0 prcintrage (contre-flche) de la poutre non charge

1 flche due aux charges permanentes

2 flche due aux charges variables

Dans le cas qui nous intresse ici, 0 = 0

Les limitations de l'Eurocode 3 sont :

2 L / 300

max L / 250

(remarque : si max L/300, les deux conditions sont satisfaites).

La valeur de calcul des actions pour la dtermination de max est :

Fd = Gk + Qk = 250 kN

max = 5

384 F Ld

3

EI

= 5

384

250

2,1 26750

6 10

10 10

3 12

5 9 = 12,5 mm

L/300 = 6 103 / 300 = 20 mm

soit : max L / 250 et 2 L / 300

La poutre vrifie donc les conditions de flche.

En consquence, un profil IPE O 400 convient.

4.2.2

Tableau 4.1

2.3.4(5)

quation 2.17

Rfrence

Eurocode 3

Page 8

EXEMPLE 7.8(ii) TUBE RECTANGULAIRE

FLECHI EN CONSOLE

Problme

Dterminer un profil creux rectangulaire (RHS) ncessaire pour raliser une

console de 1,8 m de longueur destine supporter des charges concentres

dintensit 5,6 kN verticalement et 2 kN horizontalement appliques son

extrmit.

Le poids propre est estim gal 0,4 kN. Lacier constitutif est un acier S235.

5,6 kN

2,0 kN

1,8 m

Point de chargement

Valeur de la rsistance de calcul : fyd = fy / M

Supposons t 40 mm : M = 1,1

fyd = 235 / 1,1 = 213,5 MPa

Les valeurs caractristiques des actions sont :

Charge permanente : Gk = 0,4 kN (uniforme)

Charge variable : verticale Qk = 5,6 kN (concentre)

horizontale Qk = 2 kN (concentre)

En utilisant les mmes coefficients partiels de scurit pour les charges

que dans l'exemple prcdent, les valeurs de calcul des actions pour l'tat

limite ultime sont :

Gd = 1,35 Gk = 0,54 kN

Qd = 1,5 Qk = 8,4 kN verticalement

= 3 kN horizontalement

2.2.3.2

5.1.1

Tableau 3.1

Rfrence

Eurocode 3

Page 9

1) ELU : Vrification en flexion

My.Sd = 0,54 1,8

2 + 8,4 1,8 = 0,486 + 15,12 = 15,6 kN.m

Mz.Sd = 3 1,8 = 5,4 kN.m

Vy.Sd = 0,54 1,8 + 8.4 = 9,372 kN

La section doit vrifier la condition dinteraction. Nous choisissons un

profil et nous vrifions sa rsistance.

Essai dun tube rectangulaire 120 80 6,3 (EN 10210-2)

Proprits :

Wpl.y = 91,3 cm3 Wpl.z = 68,2 cm

3

h = 120 mm b = 80 mm

t = 6,3 mm Iy = 440 cm4

A = 23,2 cm2

Vrification du poids propre :

Gk = 23,2 10-4

78,5 1,8 = 0,33 kN

Classification de la section :

= 1 pour fy = 235 MPa

d/tw = h - 3t

t =

120 3 6,3

6,3 = 16 72

(b - 3t)/t = 80 3 6,3

6,3 = 9,7 33

La section respecte les limites de la Classe 1.

Supposons que leffort tranchant soit tel que Vsd 50 % Vpl.Rd, cest--

dire 50 % de la rsistance plastique de calcul au cisaillement. Si cest le

cas, il peut tre nglig et le moment maximum est Mc.Rd.

Dans ce cas, nous devons vrifier :

y.Sd

Ny.Rd

z.Sd

Nz.Rd

M

M +

M

M 1

avec : = = 1,66

1 1,13 n2

6

5.4.8.1

EN 10210-2

Tableau 5.3.1

5.4.7

5.4.8.1(11)

Rfrence

Eurocode 3

Page 10

En labsence de charge axiale, nous avons :

n = 0 et = = 1,66

do : y.Sd

Ny.Rd

z.Sd

Nz.Rd

M

M +

M

M

= 1,1/2351068,2

105,4 +

1,1/235 1091,3

1015,63

61,66

3

61,66

= 0,690 + 0,192 = 0,882 1

La section convient pour rsister au moment flchissant sous rserve que leffort tranchant soit suffisamment faible pour respecter

lhypothse prcdente.

2) ELU : Vrification en cisaillement

Pour le chargement vertical

Vpl.Rd = [Ah / (b + h)] (fy / 3 ) / M

= [23,2 102 120 / (80 + 120)] (235/ 3 ) / 1,1

= 173,7 kN

La condition VSd Vpl.Rd est vrifie. On pourrait montrer quil en est de

mme pour le chargement horizontal. Nous avons donc bien

Vsd 50 % Vpl.Rd.

3) ELS : Condition de flche

La condition de flche est vrifie ltat limite de service.

Nous considrons uniquement la flche verticale.

max = 1 + 2 (en labsence de prflche)

1 = k

3G L

8EI =

0,4

8

1,8

2,1 440

3 10

10

12

9 = 0,3 mm

2 = k

3Q L

3EI =

5 6

3

10

10

12

9

, 1,8

2,1 440

3

= 11,8 mm

max = 0,3 + 11,8 = 12,1 mm

5.4.6

Rfrence

Eurocode 3

Page 11

Selon larticle 4.2.2(2), nous devons prendre, pour les poutres en console, L

gale deux fois la longueur du porte--faux. Les valeurs limites sont issues du

tableau 4.1 relatif aux planchers courants .

limites de max = 2 1,8 103/250 = 14,4 mm

limites de 2 = 2 1,8 103/300 = 12,0 mm

la condition de flche est vrifie.

En consquence, un tube rectangulaire 120 80 6,3 convient.

Tableau 4.1

4.2.2(2)

Rfrence

Eurocode 3

Page 12

EXEMPLE 7.8(iii) POUTRE COMPOSE MONO-

SYMTRIQUE

Problme

Vrifier la capacit dune poutre de pont roulant monosymtrique, compose,

sous laction dun moment de 267 kN.m autour de laxe fort combin avec un

moment de 20,6 kN.m autour de laxe faible agissant au niveau de sa semelle

suprieure. La poutre est constitue dun profil IPE 500 surmont dun

UPN 260 dispos sur sa semelle suprieure.

Lacier constitutif est un acier S235.

Nota : En ralit, cette poutre devrait tre calcule comme

tant libre latralement entre

ses points de maintien mais le

prsent exemple nest destin

qu montrer la procdure

suivre pour dterminer le

moment rsistant dune poutre

constitue dune section trans-

versale monosymtrique.

Les vrifications au dver-

sement sont prsentes dans

lexemple 7.9(ii).

Caractristiques dimensionnelles :

UPN 260 IPE 500

hU = 260 mm hI = 500 mm

tfU = 10 mm b = 200 mm

twU = 14 mm twI = 10,2 mm

yU = 2,36 cm tfI = 16 mm

AU = 48,3 cm2 AI = 116 cm

2

IzzU = 317 cm4

IyyI = 48 200 cm4

IyyU = 4 820 cm4

IzzI = 2 142 cm4

Limite dlasticit : fy = 235 MPa pour lacier S235 M = 1,1

3.2.2.1

5.1.1(1)

Rfrence

Eurocode 3

Page 13

1) Position de laxe neutre de la section compose

y = )A + A(

2

h + t A + yA

IU

IUwIUU

=

48,3 2,36 + 116 14 + 500

2

(48,3 + 116)

10101

1

= 19,33 cm = 193,3 mm ( partir de la partie suprieure)

2) Inertie

Iyy (section) = IzzU + AU ( y -yU )2 + IyyI + AI y

2

h + t

IUw

2

= 317 + 48,3 (19,33-2,36)2 + 48200 +...

...+ 116

2

1,4 +50

219,33

= 68 225 cm4

3) Modules lastiques

Wel.y.compression = yyI

y =

68 225

19,33 = 3 529 cm

3

Wel.y..traction = )yt+h(

I

UwI

yy =

53 460,34

514 19,3310 1 = 2 127 cm

3

Wel.z (fibre. sup.) =

2

h

I2

1 + I

U

IzzUyy

=

4820 + 2142

2

260 10

2

1 = 453,15 cm

3

4) Moment flchissant

Mc.Rd = Wel fy / M

Pour la semelle comprime :

Mcy.Rd = 3 529.103 235 / 1,1 = 754 kN.m

5.4.5.1

Rfrence

Eurocode 3

Page 14

Pour la semelle tendue :

Mcy.Rd = 2 127.103 235 / 1,1 = 454 kN.m

Pour la flexion horizontale de la semelle comprime :

Mcz.Rd = 453,15.103 235 / 1,1 = 96,8 kN.m

Pour la flexion de la semelle suprieure, il faut vrifier :

y.Sd

e .y yd

z.Sd

e .z yd

M

W f +

M

W f 1

car NSd = 0

1,1/235103529

102673

6

+ 20,6

453 235 / 1,1

10

10

6

3 1

0,354 + 0,213 1

0,567 1

En flexion verticale seule, le moment sollicitant, MSd = 267 kN.m, est

infrieur au moment rsistant de la semelle tendue gal 454 kN.m

En consquence, la section convient

5.4.8.2