Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSITEIT GENT
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE
ACADEMIEJAAR 2009 – 2010
Exacte oplossingsmethode voor order picker routing
Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van
Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur
David Claus
onder leiding van
Prof. Birger Raa
2
3
UNIVERSITEIT GENT
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE
ACADEMIEJAAR 2009 – 2010
Exacte oplossingsmethode voor order picker routing
Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van
Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur
David Claus
onder leiding van
Prof. Birger Raa
4
PERMISSION Ondergetekende verklaart dat de inhoud van deze masterproef mag geraadpleegd en/of gereproduceerd worden, mits bronvermelding. David Claus
I
Voorwoord Het schrijven van deze scriptie is een leerrijke ervaring geweest die mij zowel heeft
toegestaan een verder begrip te krijgen over de wereld van de logistiek als over het
programmeren van algoritmes. Zonder de hulp van vele mensen had ik deze scriptie nooit tot
een goed einde kunnen brengen. Bij deze wens ik ze dan ook allemaal te bedanken.
Mijn promotor professor Birger Raa voor de begeleiding en het te allen tijde opheffen van
anders onoverwinnelijke barrières.
Professor Wout Dullaert voor de aanwijzingen en verbeteringen die mij in staat hebben
gesteld het werk verder te verbeteren.
Hendrik Slabbinck, assistent aan de UGent, die mij geholpen heeft met verscheidene
statistische problemen.
En natuurlijk mijn familie en vriendin voor hun steun en eindeloos begrip.
II
Inhoudsopgave
VOORWOORD............................................................................................................ I
INHOUDSOPGAVE.................................................................................................... II
FIGURENLIJST....................................... .................................................................. IV
TABELLENLIJST...................................... ................................................................ VI
INLEIDING ................................................................................................................. 1
1. Situering............................................................................................................................................................. 1
2.Doelstelling van de scriptie................................................................................................................................ 2
3.Opbouw van de scriptie ..................................................................................................................................... 2
HOOFDSTUK 1: ORDER PICKING : EEN INLEIDING ......... .................................... 4 a) Opslag....................................................................................................................................................... 4 b) Zoning....................................................................................................................................................... 6 c) Batching.................................................................................................................................................... 6 d) Accumulatie en sorteren van orders.......................................................................................................... 7 e) Order picker routing ................................................................................................................................. 7
HOOFDSTUK 2 : ORDER PICKER ROUTING: HEURISTIEKEN... ........................ 11
1. Heuristieken voor single-blok magazijnen.................................................................................................... 11 a) S-shape heuristiek................................................................................................................................... 11 b) Return heuristiek..................................................................................................................................... 12 c) Mid-point heuristiek ............................................................................................................................... 13 d) Largest gap heuristiek............................................................................................................................. 13 e) Combined heuristiek............................................................................................................................... 14
2. Heuristieken voor multi-blok magazijnen .................................................................................................... 15 a) S-shape heuristiek................................................................................................................................... 15 b) Largest gap heuristiek............................................................................................................................. 16 c) Aisle-by-aisle heuristiek ......................................................................................................................... 16 d) Combined en combined+ heuristieken.................................................................................................... 17 e) Lin-Kernighan Travelling Salesman heuristiek ...................................................................................... 19
3. Voordelen van het gebruik van een optimale methode ten opzichte van een heuristiek........................... 20
HOOFDSTUK 3: ORDER PICKER ROUTING: OPTIMALE METHODE N............... 24
1.Het algoritme van Ratliff en Rosenthal voor single-blok magazijnen ......................................................... 24
2.Het algoritme van Roodbergen en de Koster voor magazijnen bestaande uit 2 blokken .......................... 31
HOOFDSTUK 4: OPTIMALE METHODES: EEN UITBREIDING .... ........................ 35
1.Voorbereidend werk ........................................................................................................................................ 36 a) Equivalentieklassen ................................................................................................................................ 36
III
b) Tabellen om de rijen te vullen (Lj+ tabellen)........................................................................................... 38
c) Configuraties om van rij j naar rij j+1 over te gaan................................................................................ 38 d) Tabel om de overgang van rij j naar rij j+1 te maken (van Lj
+ naar L(j+1)-) ............................................ 39
2.Uiteindelijke oplossing..................................................................................................................................... 40
HOOFDSTUK 5: ANALYSE VAN DE UITBREIDING............ .................................. 43
1.tijdsverschillen tussen de gebruikte methodes............................................................................................... 44 a) Branch and bound benchmark versus nieuwe methode (zonder clusteren) ............................................ 44 b) Branch en bound methode versus branch and bound methode met clusteren van de orders...................50 c) Branch en bound methode met clusteren van de orders versus branch and bound methode met clusteren
en reduceren............................................................................................................................................ 52 d) De nieuwe methode zonder clusteren versus de nieuwe methode met clusteren .................................... 54 e) De branch and bound methode met clusteren en reduceren versus de nieuwe methode (zonder clusteren) ................................................................................................................................................................ 55
2.Verschillende methodes opgesplitst naar hun drivers .................................................................................. 56 a) branch en bound methode met clusteren en reduceren ........................................................................... 56 b) de nieuwe methode (zonder clusteren).................................................................................................... 59
3.Vergelijking van beide methoden ................................................................................................................... 63
BESLUIT ............................................ ...................................................................... 66
REFERENTIES ........................................................................................................ VII
APPENDIX A : INHOUD CD-ROM......................... ................................................ - 1 -
IV
Figurenlijst Figuur 1.1: Illustratie van 2 gebruikelijke manieren van opslag gebaseerd op ABC-
classificatie (de Koster et al. 2007) .................................................................................... 5 Figuur 1.2: Distributie van de tijd van een order picker (Tompkins et al., 2003)......................8 Figuur 1.3: multi-blok magazijn met parallelle rijen ................................................................. 8 Figuur 1.4: Termen in verband met order picking ..................................................................... 9 Figuur 2.1: Een voorbeeld van de S-shape heuristiek (Roodbergen, 2001)............................. 12 Figuur 2.2: Een voorbeeld van de return heuristiek (Roodbergen, 2001)................................ 12 Figuur 2.3: Een voorbeeld van de mid-point heuristiek (Roodbergen, 2001).......................... 13 Figuur 2.4: Een voorbeeld van de largest gap heuristiek (Roodbergen, 2001)........................ 14 Figuur 2.5: Een voorbeeld van de combined heuristiek (Roodbergen, 2001).......................... 14 Figuur 2.6: Een voorbeeld van de S-shape heuristiek voor multi-blok magazijnen
(Roodbergen, 2001).......................................................................................................... 15 Figuur 2.7: Een voorbeeld van de largest gap heuristiek voor multi-blok magazijnen
(Roodbergen, 2001).......................................................................................................... 16 Figuur 2.8: Een voorbeeld van de aisle-by-aisle heuristiek voor multi-blok magazijnen
(Roodbergen, 2001).......................................................................................................... 17 Figuur 2.9: Een voorbeeld van de combined heuristiek voor multi-blok magazijnen
(Roodbergen, 2001).......................................................................................................... 18 Figuur 2.10: Een voorbeeld van de combined+ heuristiek voor multi-blok magazijnen
(Roodbergen, 2001).......................................................................................................... 19 Figuur 2.11: Vergelijking van verschillende heuristieken ten opzichte van de optimale
methode met toenemend aantal rijen (Petersen, 1997).................................................... 20 Figuur 2.12: Vergelijking van verschillende heuristieken ten opzichte van de optimale
methode met toenemend aantal aantal te picken items (Petersen, 1997) ......................... 21 Figuur 2.13: Gemiddelde gevonden afstanden van verschillende heuristieken voor
verschillende parameter waarden (Theys et al., 2010)..................................................... 23 Figuur 3.1: Voorbeeld van een single-blok magazijn (Ratliff en Rosenthal, 1983) ................ 25 Figuur 3.2: Omzetting van figuur 3.1 tot een graaf pesentatie (Ratliff en Rosenthal, 1983)... 26 Figuur 3.3: De zes mogelijke configuraties voor een rij (Ratliff en Rosenthal, 1983) ............ 28 Figuur 3.4: De vijf mogelijke configuraties om van rij j naar rij (j+1) over te gaan (Ratliff en
Rosenthal, 1983)............................................................................................................... 29 Figuur 3.5: Omzetting van een magazijn met twee blokken naar een graaf (Roodbergen en de
Koster, 2001).................................................................................................................... 31 Figuur 3.6: Mogelijke configuraties om van rij j naar rij j+1 te gaan in een magazijn met twee
blokken (Roodbergen en de Koster, 2001)....................................................................... 34 Figuur 5.1: Boxplot branch and bound benchmark methode................................................... 45 Figuur 5.2: Boxplot nieuwe methode....................................................................................... 46 Figuur 5.3: Histogram branch and bound methode.................................................................. 47 Figuur 5.4: Histogram nieuwe methode................................................................................... 47 Figuur 5.5: Boxplots nieuwe methode per blok ....................................................................... 48 Figuur 5.6: Boxplots van de branch and bound methode per blok .......................................... 48 Figuur 5.7: Boxplots branch and bound methode na clusteren van de orders ......................... 50 Figuur 5.8: Histogram branch and bound methode na clusteren van de orders ....................... 51 Figuur 5.9: Boxplot "clusteren en reduceren" methode ........................................................... 52 Figuur 5.10: Histogram "clusteren en reduceren" methode ..................................................... 53 Figuur 5.11: Exponentieel verloop van de tijd in functie van het aantal items (Applegate et al.)
.......................................................................................................................................... 56 Figuur 5.12: Verloop van de tijd voor een klein aantal orders (Applegate et al.).................... 57
V
Figuur 5.13: Verloop van de tijd voor verschillende drivers ("clusteren en reduceren" methode)........................................................................................................................... 57
Figuur 5.14: Verloop van de tijd voor verschillende drivers ("nieuwe methode") .................. 59 Figuur 5.15: Lineaire benadering van een exponentiële .......................................................... 60 Figuur 5.16: Beide methodes opgesplitst naar het aantal blokken........................................... 63
VI
Tabellenlijst Tabel 2.1: Gemiddelde loop- en totale tijden voor order pickers (de Koster en Van der Poort,
1998)................................................................................................................................. 21 Tabel 2.2: Procentuele verschillen tussen de optimale methode en de combined+ heuristiek
(Roodbergen, 2001).......................................................................................................... 22 Tabel 3.1: Overgang van Lj
- naar Lj+ (Ratliff en Rosenthal, 1983) ......................................... 28
Tabel 3.2:Overgang van Lj+ naar L(j+1)
- (Ratliff en Rosenthal, 1983) ...................................... 30 Tabel 3.3: Overgang van Lj
- naar Lj+y (Roodbergen en de Koster, 2001) ................................ 33
Tabel 3.4: Overgang van Lj+y naar Lj+x (Roodbergen en de Koster, 2001) ........................... 33
Tabel 3.5: Overgang van Lj+x naar Lj
- (Roodbergen en de Koster, 2001) ................................ 34
1
Inleiding
1. Situering
Alhoewel automatisering steeds meer de kop opsteekt is order picking een voornamelijk
manueel proces. Gezien de nood aan continue verbetering en het streven naar een steeds
efficiëntere economie is het minimaliseren van overbodige handelingen een topic met
groeiende aandacht. Wanneer de order pickers door het magazijn wandelen, op zoek naar de
items op hun picklist, zijn zij dus in se bezig met een nutteloze activiteit (zonder toegevoegde
waarde). Elke vermindering van de wandelafstand is dan ook een directe tijdswinst die het
bedrijf zal helpen in haar zoektocht naar efficiëntie.
Vandaag de dag wordt aan de hand van heuristieken gezocht naar een efficiënte routing. Dit
omwille van verschillende redenen. Zo kan het volgens de Koster, Le-Duc en Roodbergen
(2007) zijn dat optimale methoden voor die particuliere layout van het magazijn nog niet
bestaan. Ook zijn de meeste heuristieken veel intuïtiever dan optimale methoden. Van
optimale trajecten kan bijvoorbeeld afgeweken worden omdat de order picker de logica
hiervan niet inziet. Tevens zijn heuristieken soms, meer dan optimale methoden, in staat om
opstopping in drukbezochte delen van het magazijn te vermijden. Optimale methoden hebben
daarentegen het voordeel korter te zijn en kunnen de wandelafstand dus verkorten.
Onderzoek naar optimale methoden is reeds gebeurd door Ratliff en Rosenthal (1983), en
Roodbergen en de Koster (2001b) doch hun optimale methoden beperken zich tot een
specifieke (maar veelvoorkomende) layout. Hun methode kan dan ook toegepast worden op
respectievelijk magazijnen bestaande uit één blok (voor de betekenis van deze en andere
magazijnspecifieke termen in verband met order picking wordt verwezen naar figuur 1.4, p 9)
en magazijnen bestaande uit twee blokken.
2
2.Doelstelling van de scriptie
Het doel van deze scriptie is dan ook om eerst een korte beschrijving te geven van de
bestaande literatuur en oplossingen terzake en vervolgens deze uit te breiden door een
algoritme voor te stellen dat is staat is een optimale oplossing te genereren voor magazijnen
bestaande uit meerdere blokken. Aangezien het aantal magazijnen dat uit vele blokken
bestaan in de praktijk beperkt zijn zal er, bij de analyse van de methode, dan ook enkel
aandacht worden geschonken aan magazijnen met een beperkt (realistisch) aantal blokken.
3.Opbouw van de scriptie
In het eerste hoofdstuk wordt getracht een omschrijving van het begrip order picking te geven
evenals een ontleding in zijn verschillende componenten. Op deze manier wordt eerst een
ruimer kader geschetst waarna specifiek op order picking routing kan worden ingegaan. Zo
worden de begrippen opslag, zoning, batching en accumulatie en sorteren van orders eerst
kort besproken.
Teneinde alle onduidelijkheid in de volgende hoofdstukken te minimaliseren wordt op het
einde van dit eerste hoofdstuk geopteerd voor een korte uiteenzetting van de nomenclatuur die
in deze scriptie wordt gebruikt.
Alvorens dieper in te gaan op de uiteindelijke kern van deze scriptie wordt in het tweede
hoofdstuk een kort overzicht gegeven van verscheidene bestaande heuristieken en hun
voordelen. Een onderverdeling wordt gemaakt naargelang het heuristieken voor single-blok
magazijnen betreft of multi-blok magazijnen. Zo worden ondermeer de S-shape, midpoint en
largest gap heuristiek besproken evenals de meer gesofistikeerde combined en combined +
heuristieken.
In het volgende hoofdstuk wordt bestaande literatuur in verband met optimale methodes voor
order picker routing uitgebreid besproken. Hoewel de bestaande literatuur beperkt is en
slechts uit een tweetal papers bestaat is deze informatie cruciaal voor het verdere verloop van
de scriptie. Ook in de hierop volgende hoofdstukken zal geregeld naar deze informatie
verwezen worden.
3
Teneinde een optimale methode voor order picker routing in multi-blok magazijnen te
ontwikkelen werd de methode, besproken in het vorig hoofdstuk, uitgebreid. De verschillen
met voorgaand onderzoek worden aangekaart en bondig besproken. Tevens wordt een
onderscheidt gemaakt tussen voorbereidend werk, zijnde noodzakelijke tussenstappen, en de
uiteindelijke oplossing, het algoritme dat een kortste weg kan vinden in een multi-blok
magazijn.
In het vijfde en laatste hoofdstuk wordt tenslotte deze nieuw ontwikkelde methode
gebenchmarked met een reeds bestaande doch relatief onvoorspelbare (de rekentijden hebben
een hoge variantie, (zie infra, hfst 5)) methode op basis van branch and bound. Op deze
manier worden vlakken waar de nieuwe methode beter, even goed of slechter presteert in
perspectief gezet. Er wordt een vergelijkende analyse gemaakt waarbij gemiddelde
rekentijden en hun varianties worden vergeleken voor de verschillende methodes en voor
varianties op deze methodes. Tevens zullen deze methodes meer in detail bestudeerd worden
en zullen de rekentijden naar hun bestandsdelen worden opgesplitst om tot betere inzichten te
komen waar en wanneer welke methode het best gebruikt wordt.
4
Hoofdstuk 1: order picking : een inleiding
Het begrip order picking kan als volgt omschreven worden: het proces van producten uit de
opslag halen ten gevolge van een specifieke vraag door een klant. (de Koster et al.,2007). Ook
vandaag de dag, waar geautomatiseerde systemen steeds meer de kop opsteken, blijft
handmatig order picken de standaard. Tevens kan deze operatie tot 55% van de totale kosten
in warehousing uitmaken (Tompkins et al.,1996, Roodbergen en de Koster, 2001b, de Koster
et al., 2007) die op zijn beurt tot 20% van de logistieke kosten van een bedrijf omvatten.
Order picking wordt beïnvloed door zowel externe als interne factoren. Volgens Goetschalckx
en Ashayeri (1989) bestaan deze externe factoren uit de keuze van marketingkanalen, het
patroon van de vraag en de bevoorrading, het voorraadniveau, de totale vraag naar het product
en de bloei van de economie. Interne factoren bestaan dan weer uit karakteristieken van het
systeem (zoals de graad van mechanisering, de beschikbaarheid van informatie en de layout
van het magazijn), de organisatie en het operationeel beleid inzake order picking systemen.
In de rest van dit hoofdstuk zullen de vijf voornaamste elementen van deze laatste interne
factor kort toegelicht worden (cfr. De Koster et al. (2007)).
a) Opslag
Vaak wordt beslist om niet de volledige stock in de order pick ruimte op te slaan. In plaats
daarvan wordt een groot deel van de voorraad in een reserveplaats ondergebracht. Dit om de
order pick ruimte te verkleinen en efficiëntere pick tijden te bekomen. Het herbevoorraden
van de pick ruimte kan op andere tijdstippen gebeuren. Het blijft echter een delicate zaak om
de goede balans te vinden tussen het herbevoorraden van de pick ruimte en de reductie in
order pick tijd. Het is daarenboven niet onmogelijk dat bepaalde stock keeping units enkel in
de reserveopslag voorkomen (bijvoorbeeld indien zij zelden gevraagd worden of enkel in
grote hoeveelheden). Oplossingen voor dit probleem worden gegeven door Frazelle et
all.(1994), Hackman en Platzman (1990), Van den Berg en Sharp (1998) en Bartholdi en
Hackman (2005).
Een andere beslissing over de opslag van goederen is waar ze exact op te slaan. Wanneer een
nieuw pallet goederen wordt binnengebracht, moet het dan naar een specifieke locatie
gebracht worden of krijgt het gewoon een random plaats toegewezen? Het spreekt vanzelf dat
er tussen deze twee extremen een heel spectrum aan mogelijkheden ligt. Zo kan men beslissen
5
een pallet goederen onder te brengen bij de dichtst bijzijnde open plaats, een andere methode
van opslag te gebruiken voor de order pick ruimte en de reserve plaats, enzovoorts.
Een van deze methodes verdient echter bijzondere aandacht namelijk ABC-classificatie. In dit
geval worden de goederen in 3 (of meerdere al naar gelang) klassen onderverdeeld in functie
van hun aandeel in de verkoop of hun pickfrequentie. Het is alom bekend dat ongeveer 15%
van de opgeslagen producten voor ongeveer 85% van de omzet verantwoordelijk kunnen zijn.
Men zal dan deze klasse aan producten A-items noemen, de volgende klasse (bestaande uit
deze producten die net iets minder frequent worden gepikt of afhankelijk van de maatstaf een
lagere beoordeling krijgen) B-items enzovoort. A-items worden zo dicht mogelijk bij het
depot gezet om de pick tijd te verminderen. Deze manier van klassen aanmaken kan tot in het
oneindige worden doorgedreven tot voor elk product een klasse is aangemaakt. Deze klassen
zijn echter niet statisch en het herberekenen hiervan kan veel tijd in beslag nemen. In de
praktijk beperkt men zich voorts tot een drietal klassen. Figuur 1 geeft meer uitleg omtrent de
praktische implementatie.
Figuur 1.1: Illustratie van 2 gebruikelijke manieren van opslag gebaseerd op ABC-classificatie (de Koster et al. 2007)
Een laatste aandachtspunt is het feit dat er een relatie kan bestaan tussen verschillende
producten. Zo worden bepaalde items vaker samen gekocht en bevinden zij zich dus in
hetzelfde order. (Een koffiezetapparaat kan bijvoorbeeld vaak samen met koffiefilters gekocht
worden). Er bestaat dus een duidelijk voordeel indien men deze producten vooraf clustert en
op nabije locaties opslaat. Op deze manier kan de wandelafstand van de order picker
substantieel worden verkort. Verdere informatie over het onderwerp wordt verstrekt door
Frazelle en Sharp (1989) en Brynzér en Johansson (1996).
6
b) Zoning
In plaats van een order in zijn geheel door één order picker te laten ophalen kan men de order
pick ruimte in zones verdelen. Elke order picker blijft dan in zijn zone en pickt dat deel van
het order dat daar ligt. De voordelen van deze methode zijn een kortere wandelafstand voor de
order picker en het feit dat deze persoon zich gemakkelijker met zijn zone zal familiariseren.
Het nadeel is natuurlijk dat deze deelorders op het einde van de rit weer samengebracht
moeten worden om naar de klant te kunnen worden verstuurd. Om dit op te lossen bestaan er
verscheidene alternatieven. In een “pick and pass” systeem zal een order picker telkens in zijn
zone een order verder aanvullen alvorens het mandje met de orders en het lijstje met te picken
orders door te geven aan de order picker van de volgende zone. Om de grootte van de zones te
bepalen (wanneer items enkel uit één rek moeten gepickt worden) kan men bijvoorbeeld
gebruik maken van “bucket brigades”. Deze manier balanceert de werklast door de order
picker op te dragen het order aan de volgende order picker door te geven wanneer zij elkaar
tegen komen. Bij “parallel picking” zal elke order picker tegelijk aan hetzelfde order picken
waarna alle bestanddelen worden samengebracht. Literatuur is beschikbaar om uit te vissen
welk aantal zones optimaal zou zijn (Le-Duc en De Koster, 2005a ) en welke producten net in
welke zones moeten ondergebracht worden (Jewkes, Lee, Vickson, 2004 ).
c) Batching
Wanneer elk order uit een groot aantal items bestaat dan zal de order picker gedurende zijn
ronde slechts één order verzamelen (single picking tour). Het kan echter voorkomen dat
orders uit een beperkt aantal items bestaan. In dit geval kan men tijd besparen door orders te
groeperen en tijdens één en dezelfde ronde op te halen. Het groeperen van zulke orders noemt
men “order batching”. Welke orders samen gepickt zullen worden hangt af van twee criteria.
Een eerste criteria is natuurlijk het tijdsinterval waarop deze orders toekomen (time window
batching). Men zal namelijk de orders die tijdens dezelfde tijdspanne toekomen in één batch
onderbrengen. Deze orders zullen onderverdeeld worden in groepen van orders (of delen van
orders) die samen gepickt moeten worden. Afhankelijk van het feit of orders over
verschillende order picking toeren mogen uitgesplitst worden of niet kan men orders tijdens
het afhalen sorteren of moet dit nadien gebeuren. Men spreekt respectievelijk van “sort-while-
pick” en “pick-and-sort”. Verdere oplossingen en literatuur over dit onderwerp worden onder
andere gegeven door Tang en Chew (1997), Chew en Tang (1999) en Le-Duc en De Koster
7
(2003, 2007). Het tweede criteria bestaat eruit om deze orders samen te picken die voor een
groot deel uit dezelfde items bestaan of uit items die dicht bij elkaar liggen (proximity
batching). Op deze manier kan de wandelafstand verkort worden. Heuristieken om dit op te
lossen worden gegeven door Gademann, Van den Berg en Van der Hoff (2001), Gademann en
Van de Velde (2005), Chen en Wu (2005), Chen, M. C., Huang, Chen, K. I., en Wu. (2005)
en Hsu, Chen, K. I., Chen, M. C., (2005).
d) Accumulatie en sorteren van orders
Indien men zoals vooraf besproken in punt b en c beslist eenzelfde order door verschillende
order pickers te laten ophalen is er een manier nodig om deze delen van eenzelfde order weer
bij elkaar te voegen. Een veelgebruikte methode is om al deze delen van orders op een
circulaire lopende band te plaatsen. Aan deze band zijn een aantal terminals verbonden die
één of meerdere orders kunnen bevatten. Een nieuw order kan zo slechts een terminal binnen
komen indien alle delen van het voorgaande order deze terminal al zijn binnengekomen. (Het
spreekt vanzelf dat een order één en slechts één terminal krijgt toegewezen). Indien dit nog
niet het geval is zal het deelorder blijven ronddraaien op de circulair lopende band. Le-Duc en
De Koster (2005a) bieden een oplossing om de gezamenlijke order-pick tijd en sorteringstijd
te minimaliseren. Verdere literatuur wordt gegeven door Bozer en Sharp (1985), Bozer,
Quiroz en Sharp (1988) en Johnson (1998), Johnson en Lofgren (1994), Meller (1997) en
Russel en Meller (2003).
e) Order picker routing
Dit deel zal in de volgende hoofdstukken uitgebreid aan bod komen aangezien dit het
onderwerp van dit proefstuk is. Het betreft het optimaliseren van de wandelafstand van de
order picker bij het afhalen van een order bestaande uit verschillende items. Hiertoe moeten
de op te halen items geordend worden zodat de totaal te doorlopen afstand geminimaliseerd
wordt.
Onderstaande grafiek geeft de distributie aan van de tijd van een order picker. Zoals
aangetoond bestaat deze tijd voor 50% uit wandeltijd (zie figuur 1.2). Dit levert op zichzelf
geen toegevoegde waarde en wordt dus best zoveel mogelijk beperkt.
8
Figuur 1.2: Distributie van de tijd van een order picker (Tompkins et al., 2003)
In het vervolg van dit werkstuk zal men uitgaan van een zogenaamde “multi-blok, parallel-
aisle warehouse” layout. Deze layout betsaat uit één of meerdere blokken, van elkaar
gescheiden door “cross-aisles” of tussengangen. Deze blokken bestaan op hun beurt uit een
reeks parallelle rijen waarlangs de goederen staan opgeslaan. Een voorbeeld wordt gegeven
door onderstaande figuur.
Figuur 1.3: multi-blok magazijn met parallelle rijen
Verschillende variaties kunnen optreden. Zo kunnen de schappen waarvan de order picker
items moet nemen dicht genoeg bij elkaar staan om de order picker toe te laten om items te
picken zowel links als rechts van hem zonder wezenlijke afstand te moeten afleggen (in het
vervolg van dit werkstuk gaan we er van uit dat dit inderdaad het geval is). Een oplossing
9
voor brede rijen wordt gegeven door Goetschalckx en Ratliff (1988b). Een order picker kan
ook met een voertuig door het magazijn rijden. In dit geval moeten de ideale stoptijden van de
wagen bepaald worden. Een optimale oplossing voor dit probleem wordt eveneens gegeven
door Goetsschalckx en Ratliff (1988a). Ook kan het gebeuren dat men items kan deponeren
op een lopende band aan de uiteinden van de rijen en dat het dus niet noodzakelijk is om
helemaal terug te keren naar het depot (de Koster en Van de Poort, 1998).
Aan de hand van onderstaande figuur zal getracht worden alle relevante termen in verband
met order picker routing te verduidelijken om dubbelzinnigheid te vermijden in de volgende
hoofdstukken.
Figuur 1.4: Termen in verband met order picking
10
Een blok is dus een verzameling van parallelle rijen en wordt van een ander blok gescheiden
door een tussengang (bovenstaand magazijn bestaat uit 3 blokken). Andere gangen zijn de
onderste gang en de bovenste gang die respectievelijk het dichtst en het verst van het depot
zijn gelegen.
Een rij is dus een plaats waar men tussen de schappen heen kan lopen. Bovenstaande figuur
bestaat uit 5 rijen. Elke rij bestaat uit een aantal subrijen. Er zijn evenveel subrijen in een rij
als er blokken in het magazijn zijn. Elke subrij wordt dan weer gekarakteriseerd door het
aantal pickplaatsen (9 per tussenrij in figuur 1.4). Op elke pickplaats kan er dan weer een te
picken item liggen (in het zwart aangeduid). Alle te picken items samen (alle in het zwart
aangeduide vakjes) vormen een order en moeten dus in één tour opgehaald worden.
Doel van deze thesis is het vinden van een methode die de kortste weg doorheen
een magazijn met een willekeurig aantal blokken vindt en alle te picken items
afgaat.
11
Hoofdstuk 2 : order picker routing: heuristieken
Vaak wordt beslist om gebruik te maken van een heuristiek bij het plannen van de route van
de order picker. Volgens de Koster et al. (2007) kan dit omwille van verschillende redenen. Er
kan bijvoorbeeld geen optimale methode gekend zijn voor die particuliere layout van het
magazijn. Tevens kunnen optimale routes soms onlogisch lijken voor de order pickers met als
direct gevolg dat ze van het voorgeschreven traject afwijken. Ten slotte kunnen sommige
heuristieken (zoals de S-shape heuristic) vermijden dat sommige gangen te druk bezocht
worden en dus verstopping in smalle gangen verminderen. Volgens Roodbergen (2001) moet
hier aan toegevoegd worden dat heuristieken gemakkelijker aanpasbaar zijn bij veranderende
layout dan methodes die optimale oplossingen genereren.
In wat volgt zullen in navolging van Roodbergen (2001) eerst kort een aantal heuristieken
voor single-blok magazijnen (magazijnen zonder cross-aisle of tussengang) worden
besproken en vervolgens een aantal voor multi-blok magazijnen.
1. Heuristieken voor single-blok magazijnen
a) S-shape heuristiek
Dit is een van de simpelste maar ook meest gebruikte heuristieken in order picker routing. De
bedoeling is dat de order picker elke rij inloopt waar ten minste één order moet gepickt
worden en deze vervolgens helemaal tot het einde doorloopt. Na alle rijen op deze manier te
zijn afgelopen keert hij terug naar het depot. Onderstaande figuur bevat een voorbeeld van de
S-shape heuristiek. De blauw gekleurde vakjes zijn items die de order picker moet afhalen en
de stippellijn is de afgelegde weg volgens deze heuristiek. (Roodbergen, 2001)
12
Figuur 2.1: Een voorbeeld van de S-shape heuristiek (Roodbergen, 2001)
b) Return heuristiek
Bij deze eveneens simpele heuristiek is het de bedoeling elke rij in te lopen waar een item
moet gepickt worden en er dan steeds langs dezelfde kant terug uit te lopen. Deze methode zal
verkozen worden boven de S-shape heuristiek indien men in de onmogelijkheid verkeert de
bovenste gang te gebruiken of indien men met brede rijen te maken heeft en het dus
voordeliger is telkens slechts van één kant van de rij items af te halen (Goetschalckx en
Ratliff, 1988a). Onderstaande figuur toont een voorbeeld van de return heuristiek.
(Roodbergen, 2001)
Figuur 2.2: Een voorbeeld van de return heuristiek (Roodbergen, 2001)
13
c) Mid-point heuristiek
Bij deze heuristiek verdeelt men het magazijn virtueel in twee delen. Items die zich in het
onderste deel van het magazijn bevinden worden bezocht vanuit de onderste gang, de andere
items vanuit de bovenste gang. Nooit wordt de virtuele scheidingslijn in het midden van het
magazijn overgestoken behalve in de laatste en de eerste rij. Onderstaande figuur beeldt dit
uit. (Roodbergen, 2001)
Figuur 2.3: Een voorbeeld van de mid-point heuristiek (Roodbergen, 2001)
d) Largest gap heuristiek
Deze methode is ongeveer dezelfde als de mid-point heuristiek. Alleen is er hier geen sprake
van een virtuele scheidingslijn en wordt voor elke rij de “largest gap” bepaald. Dit is de
grootst mogelijke afstand tussen twee individuele items van een rij. Men zal vervolgens deze
rij inslaan (langs beide kanten) tot op het punt van deze largest gap. Deze heuristiek vergt dus
weliswaar meer rekentijd dan de mid-point heuristiek maar zal in alle gevallen korter (of op
zijn minst even lang) zijn. Onderstaande figuur toont de route van de largest gap heuristiek.
(Roodbergen, 2001)
14
Figuur 2.4: Een voorbeeld van de largest gap heuristiek (Roodbergen, 2001)
e) Combined heuristiek
Deze heuristiek maakt gebruik van dynamisch programmeren (het opsplitsen van één
complex probleem in meerdere gemakkelijker op te lossen subproblemen) om te kiezen of hij
een rij volledig door zal lopen of slechts tot aan het verste item in die rij zal gaan en dan terug
zal keren. Deze keuze zal gemaakt worden op basis van de items in de rij maar ook door de
startpositie die vervolgens verkregen wordt voor de volgende rij. Onderstaande figuur geeft
een voorbeeld van deze heuristiek. (Roodbergen, 2001)
Figuur 2.5: Een voorbeeld van de combined heuristiek (Roodbergen, 2001)
15
2. Heuristieken voor multi-blok magazijnen
a) S-shape heuristiek
Indien men de S-shape heuristiek voor meerdere blokken toepast moet de order picker eerst
naar het verste blok (gemeten van het depot) dat een te picken item bevat, stappen. Daar zal
hij de S-shape heuristiek uitvoeren zoals voor een single-blok magazijn. Met dat verschil dat
hij bij de laatste subrij van dit blok dat een item bevat terug zal moeten keren naar de
tussengang het dichtst bij het depot gelegen. De order picker zal dan naar de meest linkse of
meest rechtse (welkeen van de twee het dichtst bij ligt) subrij van het volgende blok dat een
nog niet gepickt item bevat stappen en de procedure herbeginnen tot alle items gepickt zijn.
Daarna zal hij naar het depot terugkeren. Een meer gedetailleerde beschrijving van deze
manier wordt gegeven door Roodbergen (2001). Hieronder staat een figuur dat het
bovenstaande verduidelijkt.
Figuur 2.6: Een voorbeeld van de S-shape heuristiek voor multi-blok magazijnen (Roodbergen, 2001)
16
b) Largest gap heuristiek
Bij deze heuristiek wordt eerst naar het blok dat het verst van het depot verwijderd is (en dat
te picken items bevat) gestapt. Vervolgens wordt op dat blok de largest gap heuristiek
toegepast identiek als werd uitgelegd bij single-blok magazijnen. Voor het volgende blok zal
men dan beginnen vanaf die subrij die het meest links of rechts gelegen (welkeen van de twee
het dichtst bij ligt) is en nog een te picken item bevat. Een meer gedetailleerde beschrijving
wordt gegeven door Roodbergen (2001). Hieronder wordt een voorbeeld gegeven van deze
heuristiek.
Figuur 2.7: Een voorbeeld van de largest gap heuristiek voor multi-blok magazijnen (Roodbergen, 2001)
c) Aisle-by-aisle heuristiek
Deze heuristiek, besproken in Vaughan en Petersen (1999) stelt voor om elke rij maar
éénmaal te doorlopen. Gebruik makend van dynamisch programmeren wordt op deze manier
een route getekend. Men zal eerst alle items picken in de eerste rij, vervolgens alle afstanden
17
berekenen indien men via één van de tussengangen, begin- of eindgang naar de volgende rij
stapt om daar alle items op te halen en vervolgens alle afstanden berekenen indien men via
één van de volgende tussengangen, begin- of hoofdgang naar de volgende rij zou stappen. Op
deze manier wordt de weg gekozen die men in de eerste rij aflegt. Deze procedure kan
vervolgens voor alle volgende rijen herhaald worden. Een meer gedetailleerde beschrijving
wordt gegeven door Roodbergen (2001). Onderstaande figuur verduidelijkt deze heuristiek.
Figuur 2.8: Een voorbeeld van de aisle-by-aisle heuristiek voor multi-blok magazijnen (Roodbergen, 2001)
d) Combined en combined+ heuristieken
Ook in deze heuristiek wordt gebruik gemaakt van dynamisch programeren. De exacte
methode wordt beschreven door Roodbergen (2001). Samenvattend kan men zeggen dat er
eerst naar het blok het verst verwijderd van het depot waaruit een item moet worden gepickt,
wordt gegaan. Van daaruit wordt elke subrij van dit blok aangedaan waarna men naar het
volgende blok gaat om deze procedure te herhalen. Verbeteringen hierop worden gegeven
door de combined+ heuristiek. Hierbij stelt men dat men het blok het dichtst bij het depot
steeds naar het depot toewerkend moet afgaan. Tevens kunnen bij het bewegen naar het verst
18
verwijderde blok en terug naar het dichtstbijzijnde blok meerdere rijen tegelijk in ogenschouw
worden genomen. Onderstaande voorbeelden geven de routes bepaald door de combined en
combined+ heuristieken.
Figuur 2.9: Een voorbeeld van de combined heuristiek voor multi-blok magazijnen (Roodbergen, 2001)
19
Figuur 2.10: Een voorbeeld van de combined+ heuristiek voor multi-blok magazijnen (Roodbergen, 2001)
e) Lin-Kernighan Travelling Salesman heuristiek
Theys, Bräysy, Dullaert en Raa (2010) stellen voor om het probleem te beschouwen als een
travelling salesman problem (TSP) en aldus op te lossen. Een eerste stap hiertoe is het
berekenen van een symmetrische afstandsmatrix die de afstanden tussen de verschillende op
te halen items bevat. Hiertoe kan men eenvoudigweg de Manhattan afstand gebruiken (x1-x2,
y1-y2). Voor items die in verschillende rijen maar in hetzelfde blok zitten moet echter een
andere methode worden toegepast. Daar bepaalt men op twee manieren de afstand en kiest
men de kortste. Na deze eerste stap wordt de symmetrische afstandsmatrix onderworpen aan
bestaande TSP-heuristieken. Theys et al. (2010) stellen voor om de Lin-Kernighan Travelling
Salesman heuristiek te gebruiken. Zo slagen ze er in om (ten koste van langere maar
acceptabele rekentijden) afstanden te vinden die beduidend korter zijn dan voornoemde
heuristieken .
20
3. Voordelen van het gebruik van een optimale methode ten opzichte van een heuristiek
In het begin van dit hoofdstuk werden verschillende voordelen van heuristieken opgesomd
over optimale methodes. Het voordeel dat een optimale methode echter biedt is duidelijk:
kortere routes. De vraag blijft natuurlijk in welke mate een optimale methode beter presteert
dan de voorgestelde heuristieken. Alvorens in volgend hoofdstuk dieper in te gaan op hoe
optimale routes berekend kunnen worden zal hier eerst dieper ingegaan worden op hoeveel
korter deze routes nu eigenlijk zijn.
Een eerste inzicht wordt gegeven door Petersen (1997). Hoewel zijn analyse zich beperkt tot
magazijnen bestaande uit één blok kunnen hier al belangrijke conclusies getrokken worden.
Zo werd geanalyseerd hoe een optimale methode (O) zich verhoudt ten aanzien van de return
(R), S-shape (ook wel transversal genoemd, T), midpoint (M), largest gap (LG) en combined
(C) heuristiek naarmate het aantal te picken items of het aantal rijen toeneemt. Deze
conclusies worden samengevat in de volgende grafieken waaruit de superioriteit van de
optimale methode duidelijk blijkt.
Figuur 2.11: Vergelijking van verschillende heuristieken ten opzichte van de optimale methode met toenemend aantal rijen (Petersen, 1997)
21
Figuur 2.12: Vergelijking van verschillende heuristieken ten opzichte van de optimale methode met toenemend aantal aantal te picken items (Petersen, 1997)
Uit beide grafieken blijkt duidelijk dat de return heuristiek het slechtst presteert. Het wordt
dan ook aangeraden om deze heuristiek enkel in voornoemde gevallen van brede rijen of het
ontbreken van een bovenste gang te gebruiken. Verder blijkt dat de S-shape heuristiek aan
kracht wint naarmate het aantal te picken items toeneemt (wat logisch is gezien in zulks geval
steeds meer rijen sowieso volledig doorgelopen zullen moeten worden). Wanneer men alleen
naar de heuristieken kijkt ziet men dat de combined heuristiek over het algemeen te prefereren
is.
Concrete cijfers worden gegeven door de Koster en Van der Poort (1998). In onderstaande
tabel merkt men eveneens de voordelen van een optimale methode ten opzichte van de S-
shape heuristiek. Naarmate het aantal rijen toeneemt worden de verschillen belangrijker.
Tabel 2.1: Gemiddelde loop- en totale tijden voor order pickers (de Koster en Van der Poort, 1998)
22
Aangezien het doel van deze scriptie bestaat uit het vinden van een optimale methode voor
magazijnen bestaande uit meerdere blokken zal ook een korte analyse worden gemaakt van de
voordelen van optimale methoden in multi-blok magazijnen.
Roodbergen (2001) concludeert dat de combined+ methode in de meeste gevallen alle andere
heuristieken zal overtreffen (hierbij werd weliswaar de Lin-Kernighan Traveling Salesman
heuristiek niet beschouwd). Voor kleine picklists waren de verschillen tussen de optimale
methode en de combined+ heuristiek beperkt (rond de 7% voor picklists van 10 items).
Tevens nam het verschil toe met het aantal rijen. Als conclusie stelt Roodbergen dat hoe
complexer het probleem wordt hoe meer een optimale methode voordeel kan brengen.
Hieronder wordt een tabel opgenomen die de verschillen tussen de combined+ methode en de
optimale methode weergeeft. “length” geeft de lengte van de rijen aan. Naarmate het aantal
tussengangen toeneemt, vermindert dus de lengte van de subrijen. De grootste verschillen
worden waargenomen daar waar de order picker meer routes zou kunnen inslaan.
Een maximaal verschil wordt gemeten van 24,6 % voor vijftien rijen, picklists van dertig
items en een rijlengte van 10 meter.
Tabel 2.2: Procentuele verschillen tussen de optimale methode en de combined+ heuristiek (Roodbergen, 2001)
23
In een recentere studie over het onderwerp vonden Theys et al. (2010) dat het gebruik van de
Lin-Kernighan Traveling Salesman heuristiek tot nog veel grotere verbeteringen leidde dan de
combined+ methode. Zo werd een gemiddelde afwijking van slechts 0.1 % van het optimum
gevonden. Onderstaande grafieken verschaffen meer inzicht in de gerealiseerde verbeteringen
opgesplitst naar verschillende parameters.
Figuur 2.13: Gemiddelde gevonden afstanden van verschillende heuristieken voor verschillende parameter waarden (Theys et al., 2010)
24
Hoofdstuk 3: order picker routing: optimale methode n
Wat optimale methoden voor order picking routing betreft is de literatuur eerder beperkt.
Slechts twee methodes zijn bekend.
1) Order-Picking in a Rectangular Warehouse: A Solvable Case of the Traveling
Salesman Problem (Ratliff an Rosenthal (1983))
2) Routing order pickers in a warehouse with a middle aisle (Roodbergen en de Koster
(2001b))
Hierbij is de tweede bespreking een uitbreiding van de eerste. Ratliff en Rosenthal
ontwikkelden een algoritme voor een magazijn (met specifieke layout) bestaande uit één blok.
Roodbergen en de Koster breidden deze methode uit tot magazijnen bestaande uit 2 blokken
(dus met één tussengang). Hieronder zal kort uitgelegd worden wat deze methodes inhouden
en hoe men hiermee tot een optimale (kortste) weg komt.
1.Het algoritme van Ratliff en Rosenthal voor single-blok magazijnen
Dit algoritme biedt een exacte oplossing voor de eerder besproken single-blok magazijnen.
Dit zijn magazijnen bestaande uit een discreet aantal parallelle rijen waarlangs goederen
(items) staan opgeslagen. Onderaan het magazijn (langs de kant van het depot) bevindt zich
de onderste gang en bovenaan bevindt zich de bovenste gang. In de onderste en bovenste gang
zijn per definitie geen goederen opgeslagen. De bedoeling is dus om door deze rijen de kortste
weg te vinden, beginnend en eindigend bij het depot, die alle items aandoet (afhaalt). In
onderstaande bespreking beperken we ons tot een praktische beschrijving. Voor verdere
bewijzen verwijzen we dan ook naar Ratliff en Rosenthal (1983).
De eerste stap van dit algoritme bestaat erin om de layout van het magazijn om te zetten tot
een graaf presentatie (zie figuur 3.1. en figuur 3.2.). Hierbij stellen de knopen aangeduid met
de letter a de bovenste punten van rijen voor. De knopen aangeduid met de letter b stellen dan
weer de onderste punten van deze rijen voor. Beide soorten knopen mogen worden aangedaan
25
door de order picker maar zijn optioneel. De knopen met letter v daarentegen stellen de items
uit de eerste figuur voor en moeten dus wel verplicht worden aangedaan (zoniet heeft de order
picker niet alle items uit zijn op halen order kunnen afhalen). Ook het depot wordt met de
letter v aangeduid aangezien het ook verplicht moet worden meegerekend (start-en eindpunt).
Omdat het depot niet in een rij gelegen is maar wel in de graaf moet worden opgenomen (om
het model eenvoudig te houden wordt er beslist geen extra tak buiten het magazijn naar het
depot toe in rekening te nemen) wordt de afstand tussen het depot (v0 in figuur 3.2.) en de
onderste gang nul verondersteld (tak tussen v0 en b4 heeft dus een lengte van nul).
Item
Rij Depot Onderste gang
Figuur 3.1: Voorbeeld van een single-blok magazijn (Ratliff en Rosenthal, 1983)
Elke boog stelt een op zich onbeperkt aantal takken met dezelfde (de afstand tussen de twee
knopen die hij verbindt) lengte voor (omdat één enkele boog meerdere keren kan doorlopen
worden). Het is echter duidelijk dat het meer dan tweemaal doorlopen van dezelfde boog niet
tot een optimale oplossing zal leiden (men kan een item gaan halen en dan op zijn stappen
26
terugkeren, een volgende maal langs hetzelfde item passeren is inefficiënt). Om deze reden
stellen Ratliff en Rosenthal voor om elke boog als een collectie van twee takken met
voorgestelde lengte te beschouwen.
Figuur 3.2: Omzetting van figuur 3.1 tot een graaf pesentatie (Ratliff en Rosenthal, 1983)
In de uiteindelijke representatie zal elke knoop een graad nul of een even graad hebben (een
order picking tour is een route die vertrekt en aankomt in het depot, men moet dus uit elke
knoop waar men toekomt weer vertrekken).
Bij het opbouwen van de order picking tour zal men telkens een deel van de graaf
beschouwen en van links naar rechts verder werken. Rij na rij zal op deze manier worden
afgegaan. Alle knopen (op de knopen a en b van de laatst beschouwde rij na) zullen dus,
tijdens de opbouw, weer graad nul of een even graad hebben. Ook zal het voorlopige parcours
uit nul (indien er nog geen enkel item gepickt moest worden), één of twee componenten
bestaan. Elk van deze componenten zal op zijn minst één van de knopen a of b bevatten uit de
laatste rij of uit de laatste rij waar nog een item gepickt moest worden (indien er rechts van de
laatste rij geen items meer afgehaald moeten worden).
27
In de tweede stap onderscheiden Ratliff en Rosenthal zeven equivalentieklassen. Dit zijn
manieren waarop men een deel van de reeds aangemaakte route kan identificeren.
Deze equivalentieklassen bestaan uit 3 delen. De eerste twee stellen de graad van de
respectievelijk laatst aangedane a-knoop en de laatst aangedane b-knoop voor. Dit kan dus
nul, even (aangeduid door E) of oneven (aangeduid door U) zijn. Het laatste deel toont aan uit
hoeveel componenten de oplossing onder constructie bestaat (nul, één of twee componenten).
Deze zeven equivalentieklassen zijn:
-(U,U,1C)
-(0,E,1C)
-(E,0,1C)
-(E,E,1C)
-(E,E,2C)
-(0,0,0C)
-(0,0,1C)
De twee laatste klassen bestaan enkel indien er respectievelijk nog geen items gepickt zijn of
er geen items meer gepickt hoeven te worden. De kortste van de equivalentieklassen,
(0,E,1C), (E,0,1C),(E,E,1C),(0,0,1C) of (0,0,0C) nadat de laatste rij is afgegaan zal de kleinst
mogelijke lengte bevatten.
Bij het aanmaken van een minimale tour gaat men als volgt tewerk. Men beschouwt, zoals
eerder vermeld, alle rijen één na één. Men begint bij een zogeheten Lj- graaf (de eerste
beschouwde graaf is dus L0-). Daar voegt men dan de configuratie van rij j aan toe om naar de
Lj+ graaf te gaan. Van daar gaat men dan naar de L(j+1)
- graaf door de configuratie om van aj
en bj naar a(j+1) en b(j+1) te gaan aan de bestaande graaf toe te voegen.
Er zijn volgens Ratliff en Rosenthal slechts 6 mogelijke configuraties voor een rij. Deze
worden gegeven door figuur 3.3. Bij configuratie (I) wandelt de order picker volledig door de
rij heen. Bij configuratie (II) en (III) zal hij slechts tot het verst gelegen item in die rij gaan.
Configuratie (IV) is iets ingewikkelder. Hier zal de order picker langs beide zijden de rij
ingaan maar slechts tot aan de plaats waar de grootste afstand tussen twee naast elkaar
liggende items wordt waargenomen (cfr. “largest gap”). Een andere manier om de rij binnen
28
te stappen zou suboptimaal zijn. Configuratie (V) en (VI) spreken voor zich. Configuratie
(VI) zal echter enkel voorkomen indien geen items gepickt hoeven te worden in deze rij
(anders zal de tour niet alle te picken items bevatten).
Figuur 3.3: De zes mogelijke configuraties voor een rij (Ratliff en Rosenthal, 1983)
Onderstaande tabel toont alle mogelijke overgangen van een Lj- naar een Lj
+ graaf.
Tabel 3.1: Overgang van Lj- naar Lj
+ (Ratliff en Rosenthal, 1983)
Door een configuratie toe te voegen (bovenaan de tabel aangeduid) aan één van de
equivalentieklassen (links) wordt een nieuwe equivalentieklasse bekomen in de kruising van
de gekozen kolom en rij.
29
Bijkomende opmerkingen hierbij zijn dat de overgang op de vierde rij, vijfde kolom eigenlijk
overbodig is (aangezien het hier slechts één klasse betreft zal de gewonnen tijd door deze weg
te laten weliswaar minimaal zijn). Inderdaad kan van dezelfde equivalentieklasse naar deze
equivalentieklasse overgegaan worden door gebruik te maken van één van de overgangen in
de drie voorgaande kolommen. Deze zullen gezien hun configuratie altijd korter zijn. Voor j =
0 begint men weliswaar vanaf equivalentieklasse (0,0,0C).
Om nu van Lj+ naar L(j+1)
- over te gaan, stellen Ratliff en Rosenthal vijf alternatieven voor.
Dezen staan afgebeeld in figuur 3.4.
Figuur 3.4: De vijf mogelijke configuraties om van rij j naar rij (j+1) over te gaan (Ratliff en Rosenthal, 1983)
Er kan weer worden opgemerkt dat de vijfde configuratie enkel mogelijk is indien er geen
item meer ligt rechts van rij j. Onderstaande tabel geeft de mogelijke overgangen van Lj+ naar
L(j+1)- aan.
30
Tabel 3.2:Overgang van Lj+ naar L(j+1)
- (Ratliff en Rosenthal, 1983)
Opnieuw merkt men dat niet elke configuratie aan elke equivalentieklasse kan toegevoegd
worden. De voornaamste reden hiervoor is dat elke knoop een even graad moet hebben in de
afgewerkte tour. De knopen aj en bj, waar geen takken meer aan zullen toegevoegd worden,
moeten dus een even graad hebben (aangeduid in tabel 3.2 door letter a). Tevens zou het
toevoegen van een andere configuratie dan configuratie (V) aan equivalentieklasse (0,0,0C)
nooit optimaal zijn (aangeduid door letter c). Nog andere overgangen (gekenmerkt door de
letter b) kunnen niet gemaakt worden omdat een volledige tour maken dan niet meer tot de
mogelijkheden behoort.
Ook hier kan een bijkomende opmerking gemaakt worden. De overgangen op de tweede en
derde rij van de vierde kolom zullen ook nooit tot een optimum leiden. Het toevoegen van
takken naar een plaats waar geen verdere connectie is, is overbodige wandelafstand.
De tabellen worden op volgende wijze gebruikt. Voor elke equivalentieklasse wordt de lengte
van de voorlopig gevormde route bijgehouden. Bij elke overgang wordt dus voor elke
equivalentieklasse een nieuwe lengte berekend. Bij een overgang kiest men als startpunt deze
equivalentieklasse die samen met de lengte van de bijkomende configuratie tot de kortste
lengte leiden voor die equivalentieklasse.
Voor het analyseren van een voorbeeldoplossing verwijzen we naar Ratliff en Rosenthal
(1983).
31
2.Het algoritme van Roodbergen en de Koster voor magazijnen bestaande uit 2 blokken
Dit algoritme is een uitbreiding op het vorige, besproken algoritme van Ratliff en Rosenthal.
Het is in staat om optimale oplossingen te bieden voor magazijnen met een tussengang en dus
bestaande uit twee blokken met parallelle rijen. De aanpak is identiek en in wat volgt zal dan
ook voornamelijk aan de verschillen met voorgaand algoritme aandacht worden geschonken.
De eerste identieke stap is de omzetting van de layout van het magazijn naar een graaf. De
aanpak is identiek aan deze gebruikt door Ratliff en Rosenthal. Het enige verschil is natuurlijk
de toevoeging van knopen tussen de twee blokken (wat leidt tot de ingebruikname van
benamingen aj, bj en cj). Dit is noodzakelijk om aan te geven dat men zich ook in deze
tussengang kan voortbewegen. Onderstaande figuur verduidelijkt dit.
Figuur 3.5: Omzetting van een magazijn met twee blokken naar een graaf (Roodbergen en de Koster, 2001)
32
Een zelfde aanpak wordt gehanteerd voor de tweede stap. Men heeft echter geen zeven
equivalentieklassen meer maar vijfentwintig. Hier merkt men al dat een toename in het aantal
blokken zorgt voor een meer dan evenredige toename van het aantal equivalentieklassen. De
equivalentieklassen worden nu niet door slechts drie elementen bepaald maar door vijf
elementen (waarvan de laatste in vele gevallen verwaarloosbaar is).
De eerste drie elementen stellen de graad van de knopen aj, bj en cj voor (terug nul, even of
oneven). Het volgende element stelt het aantal componenten waaruit deze equivalentieklasse
bestaat voor (met een minimum van 0 en een maximum van 3). Het laatste element bepaalt
welke knopen tot welke component behoren. In de situatie met slechts één blok was dit steeds
evident. Inderdaad konden componenten slechts knopen bevatten met een graad verschillend
van nul. Bestond een equivalentieklasse uit twee componenten dan behoorden beide knopen,
per definitie, tot een verschillende component. In het geval van een tussengang en twee
componenten kunnen problemen optreden. Indien slechts één van de knopen een even graad
heeft (en de overige knopen dus een oneven graad hebben) is de equivalentieklasse eenduidig
bepaald. De som van de graad van alle knopen uit 1 component moet namelijk altijd even zijn
(zoniet kan men nooit een volledige tour vormen). Indien de drie knopen echter een even
graad hebben maar de reeds gevormde route uit slechts twee componenten bestaat is het
onduidelijk welke knopen samen in één component zitten en welke knoop in de andere zit.
Hiertoe wordt een vijfde element aan de equivalentieklassebenaming toegevoegd. De knopen
die in dezelfde component zitten worden achter elkaar neergeschreven en met een “-“ van de
overige knoop gescheiden.
De vijfentwintig equivalentieklassen zijn:
(0,0,0,0), (0,0,0,1), (e,e,e,1), (e,e,e,3),
(e,0,0,1), (0,e,0,1), (0,0,e,1), (e,e,0,1), (e,0,e,1), (0,e,e,1),
(u,u,0,1), (u,0,u,1), (0,u,u,1), (e,u,u,1), (u,e,u,1), (u,u,e,1),
(e,e,0,2), (e,0,e,2), (0,e,e,2), (e,u,u,2), (u,e,u,2), (u,u,e,2),
(e,e,e,2,a–bc), (e,e,e,2,b–ac), (e,e,e,2,c–ab)
De mogelijke configuraties voor een subrij zijn natuurlijk identiek aan deze geïdentificeerd
door Ratliff en Rosenthal (Figuur 3.3.) en zullen hier dan ook niet verder besproken worden.
De overgangen van Lj- naar Lj
+ worden nu bepaald door twee tabellen. Eén voor het onderste
blok en één voor het bovenste blok. Eerst wordt van Lj- overgegaan naar Lj
+y, waar +y aanduidt
dat de subrij in het onderste blok van rij j wordt gevuld. Daarna komt de overgang van Lj+y
33
naar Lj+x. Hierbij wordt ook de subrij in het bovenste blok van rij j gevuld. Onderstaande
tabellen tonen de mogelijke overgangen aan.
Tabel 3.3: Overgang van Lj- naar Lj
+y (Roodbergen en de Koster, 2001)
Tabel 3.4: Overgang van Lj+y naar Lj
+x (Roodbergen en de Koster, 2001)
34
Dezelfde beperkingen als bij de tabellen van Ratliff en Rosenthal zijn ook hier van kracht.
De volgende stap is de overgang van Lj+x naar L(j+1)
-. Hiervoor is kennis van de mogelijke
configuraties die tot deze overgang kunnen leiden noodzakelijk. Roodbergen en de Koster
vonden 14 zulke configuraties. Ze staan opgesomd in figuur 3.6.
Figuur 3.6: Mogelijke configuraties om van rij j naar rij j+1 te gaan in een magazijn met twee blokken (Roodbergen en de Koster, 2001)
Nogmaals identiek aan het algoritme van Ratliff en Rosenthal kan hieruit een tabel (infra,
p32) gedistilleerd worden die de mogelijke overgangen van Lj+x naar Lj
- vastlegt. Met deze
middelen is het mogelijk om een optimale route te bepalen in magazijnen met twee blokken.
Tabel 3.5: Overgang van Lj+x naar Lj
- (Roodbergen en de Koster, 2001)
35
Hoofdstuk 4: optimale methodes: een uitbreiding
Een logische volgende stap is natuurlijk om ditzelfde algoritme nogmaals uit te breiden, dit
maal voor een magazijn met drie blokken of dus twee tussengangen. In wat volgt werd deze
aanpak gebruikt en werd een methode ontwikkeld, voortbouwend op het algoritme van Ratliff
en Rosenthal, om de kortste route te vinden in een magazijn met n blokken (n zijnde een
natuurlijk getal). Om praktische (programmatorische) redenen zal het programma eigenlijk
beperkt blijven tot het berekenen van problemen tot maximaal acht blokken. Een simpele
modificatie kan dit echter verhelpen. Aangezien men in de praktijk echter zelden een
magazijn met meer dan acht blokken tegenkomt werd deze modificatie niet daadwerkelijk
uitgevoerd. Tevens moet vermeld worden dat de rekentijden van het voorbereidend werk
(infra, p 36-39) exponentieel kunnen toenemen.
Het aanmaken en testen van zulk een algoritme verloopt in verschillende stappen. Eerst is er
wat het voorbereidend werk genoemd zal worden. Dit zijn magazijnspecifieke zaken die
slechts éénmaal berekend moeten worden. Bij veranderende layout zal men deze zaken
opnieuw moeten doorworstelen maar het is veilig om te zeggen dat dit eerder uitzonderlijke
omstandigheden zijn. Voor het voorbereidend werk is de rekentijd dus van ondergeschikt
belang (hoewel extremen nog steeds voor problemen kunnen zorgen).
Ten slotte zijn er de eigenlijke problemen die opgelost moeten worden. Hierbij geeft men een
aantal te picken items in, in het syteem, samen met een paar magazijnspecifieke variabelen.
Het ontwikkelde programma zal dan de kortste afstand doorheen het magazijn berekenen.
Voor dit deel is rekentijd wel van groot belang. Hieronder volgt een bondige beschrijving van
het gerealiseerde werk, uitgesplitst naar voorbereidend werk en uiteindelijke oplossing.
36
1.Voorbereidend werk
a) Equivalentieklassen
Net als bij Ratliff en Rosenthal (1983) en Roodbergen en de Koster (2001) was een eerste
vereiste het berekenen van de equivalentieklassen. Er werd gekozen voor een aanpak waar
eerst alle mogelijke klassen werden aangemaakt waarna overbodige klassen uit de lijst werden
verwijderd. Zoals vooraf besproken (zie Hfst 3) bestaat elke equivalentieklasse uit drie delen.
Deel 1
Het eerste deel bestaat uit n+1 elementen (met n het aantal blokken). Deze elementen stellen
de graad van de knoop van de bovenste gang, onderste gang en tussengangen van de laatst
afgelopen rij voor. Deze graad kan even zijn (waarvoor uit praktische overwegingen het cijfer
2 in plaats van de letter E wordt gebruikt), oneven (1), of nul (0). Deel één bestaat dus uit 3
tot de nde verschillende mogelijkheden.
Men kan echter onmiddellijk sommige van deze delen schrappen. Uit het voorgaande bleek
namelijk dat slechts equivalentieklassen waarvan de som van de graad van de knopen even (of
nul) is tot een oplossing kunnen leiden. Door hiermee rekening te houden kan ruwweg de
helft van de gegenereerde deeloplossingen geschrapt worden.
Deel 2
Het volgende element is het aantal componenten waaruit de equivalentieklasse bestaat. Dit is
een cijfer tussen 0 en n+1 (0 kan enkel in één geval voorkomen: wanneer het eerste deel van
de equivalentieklasse enkel uit nullen bestaat, n+1 kan enkel voorkomen wanneer het eerste
deel van de equivalentieklasse uit 2’s bestaat). Ook hier zijn er weliswaar beperkingen die in
acht genomen moeten worden. Men kan maximaal zoveel componenten hebben als de som
van de cijfers uit het eerste deel gedeeld door twee. Elke component moet namelijk een even
graad hebben en men kan niet meer componenten hebben dan gangen (anders komt men nooit
tot één aaneengesloten route).
37
Deel 3
Het laatste element van de equivalentieklasse toont (net als bij Roodbergen en de Koster,
2001) aan welke knopen uit de laatst behandelde rij in welke component thuishoren. Opnieuw
gebruiken we cijfers in plaats van letters. Zo wordt de knoop in de onderste gang aangeduid
door het cijfer 1 en deze in de bovenste gang door het cijfer n+1. Verder is de aanpak vrij
identiek als in hoofdstuk 3. Om alle mogelijke combinaties af te lopen werd gebruik gemaakt
van de “permutation generator” klasse van Michael Gilleland
(http://www.merriampark.com/perm.htm). Dit algoritme is op zijn beurt gestoeld op het boek
van Kenneth H. Rosen (Discrete Mathematics and Its Applications, 2nd edition (NY:
McGraw-Hill, 1991), pp. 282-284).
Niet alle permutaties zullen echter tot een nieuwe equivalentieklasse leiden. Zo is de volgorde
van de knopen in de componenten zelf en de volgorde van de componenten onderling van
geen belang. Hier werd dan ook rekening mee gehouden in het ontwikkelde algoritme. Enkel
zinvolle nieuwe equivalentieklassen werden uiteindelijk bewaard. Op deze manier werd het
geheugengebruik van de computer danig beperkt. (Om maar een idee te geven: indien alles
zomaar aan een lijst equivalentieklassen werd toegevoegd bekwam men voor vijf blokken
ongeveer 3,500,000 equivalentieklassen. Na het invoeren van de besproken beperking waren
dit minder dan 70,000 equivalentieklassen) Toch is een waarschuwing hier op zijn plaats.
Zoals Gilleland stelt neemt het aantal permutaties snel toe naarmate het aantal elementen dat
men permuteerd toeneemt. Zo heeft een lijst met twintig elementen twintig faculteit (20!)
permutaties. Dit zijn er 2,432,902,008,176,640,000. Het spreekt dus vanzelf dat dit
programma zijn beperkingen heeft.
Uiteindelijk moesten een aantal equivalentieklassen die toch nog onmogelijk waren maar door
de voorgaande barrières waren geslopen (door beperkingen van het ontwikkelde programma)
eruit worden gefilterd.
Het is duidelijk dat het aantal equivalentieklassen snel toeneemt naarmate het aantal blokken
toeneemt. Hoewel men ze voor elke layout van een magazijn maar éénmaal moet berekenen
kunnen de rekentijden toch een beperking vormen. Daar waar men voor vier blokken al na
luttele seconden output verkrijgt duurt het al meer dan één minuut voor vijf blokken. Voor zes
38
blokken wordt de rekentijd dan weer op een paar dagen (afhankelijk van de kracht en
kloksnelheid van de gebruikte computer) geschat.
b) Tabellen om de rijen te vullen ( Lj+ tabellen)
Voor magazijnen bestaande uit één blok was slechts één tabel benodigd om de configuratie
van de subrijen (en de bijhorende overgang naar een andere equivalentieklasse) te bepalen
(Ratliff en Rosenthal, 1983). Voor magazijnen bestaande uit twee blokken waren dit twee
tabellen. Eén per blok. Voor magazijnen bestaande uit meerdere blokken is dit dus eenvoudig
door te trekken. Er is één tabel benodigd per blok. Deze tabellen worden berekend op basis
van de equivalentieklassen berekend in de vorige stap. Voor elke equivalentieklasse zijn er
namelijk zes overgangen mogelijk (identiek met figuur 3.3, p 28).
Bij het berekenen van deze tabellen moet rekening gehouden worden met het veranderen van
de graad van de elementen van het eerste deel van de equivalentieklassen door toevoegen van
een configuratie uit figuur 3.3. Tevens kan het aantal componenten en welke kopen tot welke
componenten behoren veranderen. Configuratie (I) en (V) kunnen bijvoorbeeld ofwel het
aantal componenten onveranderd laten (de bovenste knoop of de onderste knoop waren al een
deel van dezelfde component) ofwel één component toevoegen aan de equivalentieklasse
(geen van beide knopen waren al deel van een component) ofwel de equivalentieklasse met
één component doen dalen (door twee afzonderlijke componenten te connecteren). Net als bij
voorgaande algoritmes zullen ook hier bepaalde overgangen niet mogelijk zijn.
c) Configuraties om van rij j naar rij j+1 over te gaan
Het is niet voldoende equivalentieklassen te berekenen voor magazijnen met n blokken. Men
moet ook de configuraties bepalen waarmee men van de ene rij naar de andere overgaat.
Dit aantal is van op voorhand te bepalen via de eenvoudige formule (3 tot de macht n+1
gedeeld door 2) afgerond naar boven. Inderdaad zijn er voor elke knoop drie mogelijkheden.
Men kan van deze naar de volgende knoop gaan maar slechts in één richting. Of men kan naar
de volgende knoop gaan en later terugkeren in tegenovergestelde richting. Ten slotte kan men
ook beslissen dit pad helemaal niet te gebruiken. Aangezien deze keuze voor elk van de n+1
knopen gemaakt kan worden heeft men dus 3 tot de n+1ste mogelijkheden. Hiervan zijn de
39
helft echter overgangen die nooit tot een optimale oplossing kunnen leiden. De som van de
graad van al deze knopen moet namelijk even zijn om eerder vermelde redenen. Dit geeft dus
3 tot de macht n+1 gedeeld door 2. 3 tot de macht n+1 is echter steeds een oneven getal en
moet dus naar boven afgerond worden (om de mogelijkheid waar men niet langer naar de
volgende rij overstapt in rekening te nemen). Men kan dit zelf eenvoudig nagaan voor een
geval van één knoop waar er dus drie mogelijkheden zijn, slechts twee zullen een mogelijke
overgang weergeven. Een eenvoudig programma is dus in staat deze mogelijkheden snel op te
sommen. Voor elke extra blok zullen het aantal te beschouwen overgangen dus ongeveer
toenemen met een factor drie.
d) Tabel om de overgang van rij j naar rij j+1 te maken (van Lj+ naar
L(j+1)-)
Deze laatste tabel wordt weer op identieke wijze geconstrueerd als in de besproken literatuur.
Voor elke equivalentieklasse worden de mogelijke overgangen beschouwd (berekend in
puntje 1.c van dit hoofdstuk) en aan de hand hiervan worden nieuwe equivalentieklassen
gebouwd. De graad van de nieuwe knopen (overgang van rij j naar rij j+1 dus de knopen op
rij j+1 worden beschouwd) wordt voor honderd procent bepaald door de gekozen overgang.
Welke knopen tot welke component behoren, wordt bepaald door de interactie tussen de
oorsprongsequivalentieklasse en de gekozen overgang.
Niet elke combinatie van een equivalentieklasse met een overgang zal tot een nieuwe
equivalentieklasse leiden. Zo moet men opletten dat geen volledige component
ongeconnecteerd wordt achtergelaten (in welk geval men nooit tot één gesloten tour zal
komen), dat men geen connectie legt met een knoop met graad nul (suboptimaal, zie supra, p
30) en dat elke knoop uit de vorige rij (rij j ) een even graad bekomt.
40
2.Uiteindelijke oplossing
Hier is het uiteindelijk de bedoeling om een specifiek probleem op te lossen. Een aantal items
worden samen met een paar magazijnspecifieke kenmerken ingegeven om een optimale route
te bepalen. Weliswaar moeten eerst een aantal andere gegevens ingelezen worden. Dit zijn:
-een opsomming van alle equivalentieklassen (Hfst 4: 1.a)
-Lj+ tabellen (Hfst 4: 1.b)
-de configuraties om van de ene rij naar de volgende over te gaan (Hfst 4: 1.c)
-Lj- tabel (Hfst 4: 1.d)
Aangezien deze zaken enkel veranderen als ook de layout van het magazijn verandert is het
voldoende ze slechts één maal in te lezen (bv. bij het opstarten van de computer) om er
vervolgens alle mogelijke problemen mee op te lossen. Zodoende wordt er met de tijd nodig
om deze (soms lijvige) bestanden in te lezen geen rekening gehouden.
De oplossing werd bekomen door, identiek aan Ratliff en Rosenthal (1983) en Roodbergen en
de Koster (2001) eerst alle subrijen van eenzelfde rij op te vullen (gebruik makend van de Lj+
tabellen, en de berekening van de zes mogelijke configuraties uit figuur 3.3), een overgang te
maken naar de volgende rij (gebruik makend van de Lj- tabel en de rijovergangen) en daar
weer opnieuw te beginnen tot alle rijen afgelopen zijn.
De manier van het overlopen van de tabellen kan echter ingekort worden. Indien men voor
elke equivalentieklasse de volledige te overlopen tabel beschouwt en dus telkens men deze
klasse tegenkomt bepaalt hoe lang zij is om ze met de andere mogelijkheden te vergelijken zal
men een hoog aantal zoekverichtingen moeten doen (naast de noodzakelijke berekeningen
indien de oorsprongsklasse wel degelijk de gezochte klasse is). Voor een Lj+ tabel: (aantal
equivalentieklassen) maal (aantal equivalentieklassen) maal (zes mogelijke rijconfiguraties).
Zolang het aantal equivalentieklassen beperkt blijft zal ook de rekentijd verwaarloosbaar zijn.
Zo zijn dit een luttele 3750 vergelijkingen per Lj+ tabel (of dus per te vullen subrij) voor
magazijnen bestaande uit twee blokken (en dus 25 equivalentieklassen). Voor magazijnen met
vijf blokken die 4089 equivalentieklassen hebben zijn dit echter 100,319,526 vergelijkingen
per op te vullen subrij. Hetzelfde geldt voor de Lj- tabel: (aantal equivalentieklassen) maal
(aantal equivalentieklassen) maal (aantal mogelijke overgangen). Voor twee blokken met
41
slechts 5 overgangen en 25 equivalentieklassen zijn dit 3125 vergelijkingen (per overgang van
rij j naar rij j+1). Opnieuw stijgt dit dramatisch wanneer het aantal blokken stijgt. Voor vijf
blokken met 4089 equivalentieklassen en 365 overgangen zijn dit echter 6,102,771,165
vergelijkingen.
De rekentijden lopen op deze manier dus snel op naarmate het aantal blokken stijgt. Het is
gemakkelijk te zien dat voor vijf blokken een oplossing nooit binnen de gewenste tijd (onder
de minuut) zal gevonden worden.
Een eenvoudige verbetering kan het aantal berekeningen echter ongelooflijk verlagen. Omdat
deze tabellen (Lj+ tabellen en Lj
-) op voorhand gekend zijn en men dus op voorhand weet
welke equivalentieklasse waar in de tabel te vinden is, is het opzoeken hiervan overbodig
werk. Veel beter is het (voor elk van deze tabellen) een nieuwe tabel op te stellen. Hierin kan
men per equivalentieklasse noteren wat de oorsprongsequivalentieklassen en de overgangen
of rijconfiguraties zijn die tot deze klasse leiden. Opnieuw is dit een berekening die maar
éénmaal per magazijnlayout gemaakt hoeft te worden. Hierdoor vervallen, zoals gezegd, de
latere vergelijkingen. Inderdaad zullen zowel voor de Lj+ tabellen als de Lj
- tabel het aantal
vergelijkingen verdwijnen en zal men slechts met gerichte berekeningen te maken hebben. Bij
een magazijn bestaande uit vijf blokken zijn dit voor elke subrij slechts 24,534 berekeningen
(deze berekeningen moesten bovendien ook in het eerste systeem gemaakt worden). Voor de
overgang van rij j naar rij j+1 zijn het nog slechts 1,492,485 berekeningen. Dit leidt tot een
oplossing in luttele seconden.
Een andere mogelijkheid tot verbetering bestaat uit het gebruik van de layout van het
magazijn ter simplificering van het probleem. Het is namelijk zo dat er maar zes mogelijke
configuraties zijn voor een subrij (gegeven door figuur 3.3). Bepaalde orders zullen dus items
bevatten die de route niet zullen beïnvloeden. Deze items kunnen dan best uit de orderpicklijst
verwijderd worden om de rekentijden te verminderen. Voor elke subrij moeten namelijk de
lengte van de zes configuraties berekend worden. Om deze te berekenen wordt de volledige
lijst met te picken items afgelopen op zoek naar deze items die in dat blok in die rij zitten. Op
basis van deze items kan dan weer voor elke configuratie een lengte bepaald worden. Hoe
minder items elke keer moeten afgelopen worden, hoe korter de rekentijd. De kost hiervan is
echter het feit dat een extra programma ter analysering van de overbodige items moet gebruikt
42
worden. Overbodige items kunnen voorkomen worden omdat slechts maximaal vier items per
subrij van belang zijn.
Deze zijn:
-Het eerste item dat in een rij gepickt moet worden
-De twee items rond de “largest gap” van een rij
-Het laatste item dat in een rij gepickt moet worden
Andere items van dezelfde subrij zullen geen invloed hebben op de routing van de order
picker. Er moet echter voor gezorgd worden dat de “largest gap” de “largest gap” blijft.
Zoniet riskeert men een suboptimale route te krijgen. Het kan hiervoor noodzakelijk zijn om
een aantal virtuele orders bij te plaatsen in de lijst om dit te blijven garanderen (concreet komt
dit neer op het plaatsen van een virtueel item om de “largest gap -1” plaatsen). Dit zal echter
steeds voor minder of evenveel items zorgen per rij.
Volgend hoofdstuk is gewijd aan de analyse van de op deze manier bekomen resultaten.
43
Hoofdstuk 5: analyse van de uitbreiding
Om de resultaten van de in vorig hoofdstuk besproken methode te analyseren, is een tweede
methode noodzakelijk ter benchmarking. Hiertoe wordt het idee van Theys, Bräysy, Dullaert
en Raa (2010), besproken onder punt e van hoofdstuk 2, gebruikt. Hiertoe is het noodzakelijk
een afstandsmatrix op te stellen van de te picken items. Deze afstandsmatrix zal dan niet meer
aan de Lin-Kernighan Travelling Salesman heuristiek onderworpen worden maar aan een
branch and bound methode die de optimale oplossing zal vinden. Voor zulke methode is reeds
software beschikbaar. De ontwikkeling van een nieuw algoritme is dan ook niet meer aan de
orde. Op de site: <http://www.tsp.gatech.edu/concorde/> wordt deze software vrij ter
beschikking gesteld. Ook voor deze methode werden de overbodige items achterwege gelaten.
(in het vervolg van dit werkstuk zal naar het weglaten van onbelangrijke items verwezen
worden met de term “clusteren” aangezien voor deze methode alle belangrijke items per subrij
moeten geclusterd worden)
Ook werd geprobeerd om betere resultaten te bekomen voor deze tweede methode door routes
die op voorhand onmogelijk zijn uit te schakelen. Een groot getal werd ingeven in de
afstandsmatrix daar waar het duidelijk was dat het ene item niet na het andere bezocht zou
kunnen worden zodat de software deze wegen niet verder uitpluist (deze methode wordt
aangeduid met de term “clusteren en reduceren” omdat naast het clusteren van de orders ook
wordt overgegaan tot een reductie van het te beschouwen aantal paden). Onmogelijke paden
zijn deze waar:
- men van een item rond de largest gap naar een item uit een andere subrij gaat
verschillend van het onderste of bovenste item van die subrij
- men van één van de virtueel bijgeplaatste orders naar een item uit een andere subrij
gaat
- men van het onderste of bovenste item uit een subrij naar een ander item dan het
onderste of bovenste item uit een andere subrij gaat (naar een ander item uit dezelfde
subrij gaan, blijft weliswaar nog steeds mogelijk)
44
Voor het onderzoeksopzet werden ad random 800 orders aangemaakt. In wat volgt zullen
eerst verschillen in resultaten tussen de verschillende methodes besproken worden.
Vervolgens zal de benodigde tijd om tot een oplossing te komen ontleed worden naar zijn
“drivers” of elementen die voor de bekomen tijd zorgen.
Deze “drivers” zijn:
- Het aantal blokken (voor het onderzoeksopzet heeft men zich beperkt tot magazijnen
tussen de 2 en de 5 blokken)
- Het aantal op te halen items (tussen 25 en 125) waarvan het eerste item telkens vast
was en de plaats van het depot aanduidde
- Het aantal rijen (tussen de 10 en de 20)
- Het aantal plaatsen waar items kunnen opgestapeld liggen per rij (eveneens tussen de
10 en de 20)
- De afstand tussen twee opeenvolgende rijen of blokken (tussen de 2 en de 5)
- Het al dan niet toepassen van ABC classificatie
1.tijdsverschillen tussen de gebruikte methodes
a) Branch and bound benchmark versus nieuwe methode (zonder clusteren)
Vooreerst werd getest of de tijd tussen de zelf uitgewerkte methode en deze waartegen
gebenchmarkt wordt verschillend is (momenteel wordt nog geen rekening gehouden met het
al dan niet clusteren van de orders). Onderstaande samenvatting van de gepaarde t-test toont
aan dat dit inderdaad het geval is (voor het laten lopen van de testen werd de SAS 9.2
omgeving gekozen).
45
The TTEST Pro cedure
Difference: Tijd branch and bound benchmark – tijd nieuwe methode N Mean Std Dev St d Err Minimum Maximum 800 4.6919 26.6725 0 .9430 -3.2385 514.3 Mean 95% CL Mean Std Dev 95% CL Std Dev 4.6919 2.8408 6.5429 26.6725 25.4265 28.0478 DF t Value Pr > |t| 799 4.98 <.0001
De conclusies die men hieruit kan trekken zijn, voor de beperkingen met betrekking tot het
onderzoeksopzet, dat de nieuw ontwikkelde methode beter presteert. Gemiddeld bestaat er een
verbetering van bijna vijf seconden per order. De echte verbetering is echter veel groter en
kan slechts begrepen worden wanneer naar het minimum en maximum verschil wordt
gekeken tussen beide methodes. Zo heeft de nieuw ontwikkelde methode, in het slechtste
geval, amper drie seconden slechter gepresteerd dan benchmark. Deze benchmark presteerde
echter beduidend slechter in zijn worst case scenario. Een goede vijfhonderdveertien
seconden verschil konden gemeten worden.
Figuur 5.1: Boxplot branch and bound benchmark methode
46
Figuur 5.2: Boxplot nieuwe methode
Zoals duidelijk blijkt uit bovenstaande boxplots is de nieuwe methode aan veel minder
variantie onderworpen dan de branch and bound benchmark methode. Hoewel de
gemiddeldes en medianen niet wezenlijk van elkaar verschillen zijn het de extremen die voor
grote verschillen zorgen. Het is voor een order picker inderdaad geen probleem om een paar
seconden op zijn order te moeten wachten (in de tijd dat de order picker voor hem zijn order
ontvangt of afdrukt is het volgende order al berekend). Indien echter langer dan een minuut
moet worden gewacht, heeft men steeds meer met verloren tijd (waste) te maken. Extremen
zoals de branch and bound methode soms kan geven zijn dan ook uit den boze. De nieuwe
methode kan voor alle 800 orders echter steeds een kortste weg vinden in minder dan 4
seconden. In dit opzicht is deze methode dan ook een grote verbetering.
Onderstaande histogrammen komen tot eenzelfde conclusie. Wel is het duidelijk dat de tijden
niet normaal verdeeld zijn.
47
Figuur 5.3: Histogram branch and bound methode
Figuur 5.4: Histogram nieuwe methode
Een opmerking is hier echter op zijn plaats. Het is duidelijk dat de nieuwe methode veel
stabielere uitkomsten genereert. Maar het is ook duidelijk dat de tijden snel zullen stijgen
naarmate het aantal blokken zal stijgen (zoals uitgelegd in vorig hoofdstuk). Onderstaande
boxplots verschaffen een beter inzicht.
48
Figuur 5.5: Boxplots nieuwe methode per blok
Figuur 5.6: Boxplots van de branch and bound methode per blok
Het is duidelijk wat de prijs voor stabiliteit is. Naarmate het aantal blokken toeneemt, zullen
de rekentijden exponentieel toenemen. Zolang het aantal blokken van een magazijn beperkt
blijft is er geen probleem (en in de meeste praktische gevallen is dit inderdaad het geval).
Voor de branch and bound methode zijn het aantal blokken, zoals verwacht kon worden, van
geen belang. Uitschieters komen in alle gevallen voor.
Om de hypothese dat de standaarddeviaties verschillend zijn voor beide methodes te testen
werd Bartlett’s test gebruikt. Deze toont aan dat de standaarddeviaties inderdaad significant
verschillend zijn. De standaarddeviatie voor de branch and bound methode blijkt tot bijna
vijfentwintig maal groter te zijn dan deze van de nieuwe methode.
49
The ANOVA Procedure Bartlett's Test for Homogen eity of time Variance Source DF Chi-S quare Pr > ChiSq Class 1 3 926.2 <.0001
The ANOVA Procedure
Level of ------- ------time------------ Class N Mean Std Dev Tijd nieuwe methode 80 0 0.77474505 1.1391337 Tijd branch and bound benchmark 80 0 5.46660028 26.5779004
Een gevolg van het feit dat de gegevens niet normaal verdeeld zijn en de standaarddeviaties
met een grote factor van elkaar verschillen is dat de eerst berekende t-test mogelijks ongeldige
uitkomsten geeft. Gezien het grote aantal observaties en het feit dat voor elke methode
evenveel observaties gebruikt werden geeft de robuustheid van de t-test echter garantie voor
de getrokken conclusies (zo wordt algemeen aanvaard dat men zich voor meer dan vijftig
observaties geen zorgen moet maken zelfs al zijn er duidelijke afwijkingen van de assumpties
voor gelijke variantie en normaliteit).
50
b) Branch en bound methode versus branch and bound methode met clusteren van de orders
Om uit te maken of er een verschil in gemiddelde tijd bestaat tussen beide methodes werd
nogmaals gebruik gemaakt van een gepaarde t-test. Onderstaande samenvatting toont aan dat
er inderdaad een gemiddelde verbetering werd geboekt van bijna vijf seconden per order. Ook
hier schijnen de uitschieters danig beperkt te worden (al zijn de extreme verschillen met een
maxima van ongeveer zevenentwintig seconden wel groter dan bij de nieuwe methode).
The TTEST Pro cedure
Difference: tijd branch and bound – tijd met clust eren N Mean Std Dev St d Err Minimum Maximum 800 4.6340 26.4282 0 .9344 -27.3752 513.6 Mean 95% CL Mean Std Dev 95% CL Std Dev 4.6340 2.7998 6.4681 26.4282 25.1936 27.7909 DF t Value Pr > |t| 799 4.96 <.0001
Boks plots en histogrammen leveren een dieper inzicht.
Figuur 5.7: Boxplots branch and bound methode na clusteren van de orders
51
Figuur 5.8: Histogram branch and bound methode na clusteren van de orders
Door het clusteren van de orders kunnen een groot aantal items geschrapt worden van de lijst.
Vooral voor orders bestaande uit veel items is de kans groot dat het aantal te bezoeken knopen
verminderd wordt. Op deze manier worden net de extremen aangepakt. Hoge tijden blijven
voorkomen (tot boven de vijftig seconden) maar zijn al heel wat acceptabeler.
Ook hier is een variantieanalyse op zijn plaats. Volgens Bartlett’s test zijn de
standaardafwijkingen inderdaad significant kleiner.
The ANOVA Procedure
Bartlett's Test for Homogen eity of time Variance Source DF Chi-S quare Pr > ChiSq Class 1 2 327.2 <.0001 The ANOVA Pro cedure Level of ----- --------time------------ Class N Mean Std Dev Tijd branch and bound met clusteren 800 0.83264020 3.1379636 Tijd branch and bound 800 5.46660028 26.5779004
Of deze methode de voorkeur krijgt op de nieuw ontwikkelde methode zal later onderzocht
worden.
52
c) Branch en bound methode met clusteren van de ord ers versus branch and bound methode met clusteren en reduceren
Een volgende vraag die zich dan stelt is of de branch and bound methode nog verder
verbeterd kan worden en of extremen verder beperkt kunnen worden. Zoals aangegeven in het
begin van dit hoofdstuk werd gebruik gemaakt van een “clusteren en reduceren” methode.
Statistisch onderzoek leverde de conclusie dat het verschil tussen deze resultaten en
voorgaande niet significant zijn (zie onderstaande test). The TTEST Pro cedure
Difference: tijd clusteren – tijd clusteren en red uceren N Mean Std Dev St d Err Minimum Maximum 800 0.0987 2.4671 0 .0872 -16.3723 39.9988 Mean 95% CL Mean Std Dev 95% CL Std Dev 0.0987 -0.0725 0.2700 2.4671 2.3519 2.5944 DF t Value Pr > |t| 799 1.13 0.2579
Het minimum en maximum in voorgaande test doen echter wel het vermoeden rijzen dat een
verbetering op vlak van extremen is geboekt.
Figuur 5.9: Boxplot "clusteren en reduceren" methode
53
Figuur 5.10: Histogram "clusteren en reduceren" methode
De laatste stap van deze analyse is opnieuw de test voor gelijke variantie van Bartlett.
Opnieuw is het verschil tussen de standaardafwijkingen significant. Hoewel de methode met
clusteren en reduceren gemiddeld niet veel beter presteert dan eenvoudigweg clusteren heeft
het wel een significante invloed op de variantie van de uitkomsten. Aangezien dat het grootste
probleem blijkt te zijn voor de branch and bound methode is deze aanvulling zeker de moeite
om verder onderzocht te worden. In wat volgt zal dan ook niet langer met de methode van het
“clusteren” rekening gehouden worden maar wel met deze van het “clusteren en reduceren”
(die weliswaar op zich een uitbreiding is op het “clusteren”).
The ANOVA Procedure
Bartlett's Test for Homogen eity of time Variance Source DF Chi-S quare Pr > ChiSq Class 1 131.3 <.0001 The ANOVA Pro cedure Level of -- -----------time------------ Class N Mean Std Dev Tijd clusteren en reduceren 800 0.73389451 2.08038419 Tijd clusteren 800 0.83264020 3.13796359
54
d) De nieuwe methode zonder clusteren versus de nie uwe methode met clusteren
De vraag blijft of de nieuwe methode verder verbeterd kan worden door ook hier het
clusteralgoritme toe te passen en het aantal orders te verminderen. Analyse van figuur 5.5
(supra, p 48) maakte echter al duidelijk dat het grootste probleem van deze methode de
exponentiële toename van de rekentijden zijn naarmate het aantal blokken toeneemt. De
verwachting is dan ook dat de vermindering van het aantal orders slechts tot een bijzonder
kleine verbetering zal leiden. Onderstaande t-test lost onze verwachtingen in. De verbetering
blijkt niet significant te zijn.
The TTEST Procedure
Difference: Nieuwe methode met clusteren – Nieuwe methode
N Mean Std Dev St d Err Minimum Maximum 800 0.00321 0.0745 0. 00263 -0.3133 1.1537 Mean 95% CL Mean Std Dev 95% CL Std Dev 0.00321 -0.00196 0.00838 0.0745 0.0710 0.0783 DF t Value Pr > |t| 799 1.22 0.2233
Hoewel de standaardafwijking van de nieuwe methode bijzonder klein is, wordt ter
volledigheid ook hier Bartlett’s test opgenomen. Zoals verwacht is er geen statistisch
significant verschil. In wat volgt wordt deze laatste methode dan ook niet meer beschouwd.
The ANOVA Procedure
Bartlett's Test for Homogen eity of time Variance Source DF Chi-S quare Pr > ChiSq Class 1 0 .2247 0.6355 The ANOVA Pro cedure Level of ---- ---------time------------ Class N Mean Std Dev Tijd nieuwe methode met clusteren 800 0.77795399 1.12018359 Tijd nieuwe methode 800 0.77474505 1.13913373
55
e) De branch and bound methode met clusteren en red uceren versus de nieuwe methode (zonder clusteren)
De laatste vergelijking die gemaakt hoeft te worden is dan uiteindelijk de beste methode die
gebruik maakt van branch and bound ten opzichte van de nieuwe methode (zonder clusteren
aangezien dit geen verbetering bracht). Onderstaande t-test toont aan dat beide methodes even
goed presteren. Er is geen wezenlijk verschil merkbaar.
The TTEST Procedure
Difference: nieuwe methode met clusteren en reduce ren- nieuwe methode N Mean Std Dev St d Err Minimum Maximum 800 -0.0892 2.3736 0 .0839 -3.5048 27.2872 Mean 95% CL Mean Std Dev 95% CL Std Dev -0.0892 -0.2540 0.0755 2.3736 2.2627 2.4960 DF t Value Pr > |t| 799 -1.06 0.2880
Het is dus de variantieanalyse en Bartlett’s test die zullen uitmaken welke methode het best
gebruikt wordt. Uit onderstaande output blijkt dat de standaardafwijkingen inderdaad
verschillend zijn voor beide methodes en dat de nieuwe methode er in slaagt deze zowat te
halveren. Op basis van deze conclusies zou men dan ook steeds aanraden de nieuwe methode
te gebruiken. Hier past echter een nuancering. Bij voorgaande analyse werd slechts rekening
gehouden met gemiddeldes genomen over verschillende situaties. Het is echter niet
ondenkbaar dat één van beide methodes beter presteert in bepaalde gevallen daar waar de
andere methode in andere gevallen betere resultaten kan geven. Dit zal het onderwerp vormen
van het volgende deel van dit hoofdstuk.
The ANOVA Procedure Bartlett's Test for Homogen eity of time Variance Source DF Chi-S quare Pr > ChiSq Class 1 273.7 <.0001 The ANOVA Pro cedure Level of -- -----------time------------ Class N Mean Std Dev
Nieuwe methode 800 0.77474505 1.139133 Methode met clusteren en reduceren 800 0. 73389451 2.08038419
56
2.Verschillende methodes opgesplitst naar hun drivers
a) branch en bound methode met clusteren en reducer en
Een eerste analyse betreft de branch and bound methode met clusteren en reduceren. Hier
werd gebruik gemaakt van “concorde” een programma dat een optimale oplossing vindt op
basis van “branch and bound” en dat te vinden is op <www.tsp.gatech.edu/concorde/>.
Hoewel dus moeilijk kan onderzocht worden hoe het aantal blokken of rijen een impact
hebben op de totale rekentijd kan dit wel voor het aantal items per order. Applegate, Bixby,
Chvátal en Cook tonen in hun boek “The Travelling Salesman Problem, 2006” aan dat de
rekentijd exponentieel stijgt met het aantal items.
Figuur 5.11: Exponentieel verloop van de tijd in functie van het aantal items (Applegate et al.)
Aangezien echter van een groot aantal items wordt uitgegaan (tussen de paar honderd en de
tweeduizendvijfhonderd) kan men zonder grote fout zeggen dat voor kleine orders onder de
honderdvijftig items een lineaire functie een goede benadering is. Tevens wordt vermeld dat
voor kleine orders (tussen 0 en 400 items) alle optimale oplossingen onder de tien seconden
gevonden worden (op een computer met kloksnelheid van 2.4 GHz). Weliswaar werd in dit
geval uitgegaan van geografische locaties waar de kortste afstand tussen twee punten altijd
wordt gegeven door de Manhattan afstand. Het is omwille van deze reden (en omwille van de
lagere kloksnelheid van de gebruikte computer) dat hogere tijden kunnen gevonden worden in
dit proefstuk. Onderstaande grafiek toont nogmaals het verloop van de tijd ten opzichte van
het aantal items, ditmaal voor kleinere orders.
57
Figuur 5.12: Verloop van de tijd voor een klein aantal orders (Applegate et al.)
Alvorens te beslissen of een lineaire methode van analyse op zijn plaats is zal voor elke driver
het verband met de tijd worden geschat op basis van de vermelde steekproef van 800 orders.
Figuur 5.13: Verloop van de tijd voor verschillende drivers ("clusteren en reduceren" methode)
58
Het is moeilijk om op het zicht verbanden vast te leggen (op de driver ABC na) ABC die
schijnbaar een lineair verband houdt met de tijd. Er is echter geen reden om te beslissen dat
een lineair model geen goede oplossing (of minstens een goede benadering) zou geven. In wat
volgt zal dan ook gebruik gemaakt worden van lineaire regressies om de impact van de
drivers te analyseren. Er werd besloten om achterwaartse regressie toe te passen. Dit houdt in
dat alle variabelen aan het model worden toegevoegd, men het model regresseert, en men ten
slotte de minst significante term verwijdert. Dit proces herhaalt men tot enkel de significante
termen overschieten.
Parameter Estimate E rror t Value Pr > |t|
Intercept -1.149101870 0.35690120 -3.22 0.0013 blocks -0.353245637 0.14782088 -2.39 0.0171 orders 0.028293233 0.00340199 8.32 <.0001 ABC 2.539444910 0.78556506 3.23 0.0013 blocks*aisleLength 0.027733823 0.00896571 3.09 0.0020 orders*ABC -0.023042254 0.00480599 -4.79 <.0001 ABC*aisleLength -0.115975617 0.04626574 -2.51 0.0124
Op deze manier werden bovenstaande resultaten berekend. Deze kunnen vertaald worden naar
de onderstaande formule.
Tijd branch and bound met clusteren en reduceren = -1.1491 + (-0.3532 + 0.0277*subrijlengte)*blokken + 0.0283*items + (2.5394 -0.0230*items -0.1160*subrijlengte)*ABC
Indien men enkel naar de hoofdtermen kijkt merkt men dat ABC-classificatie een onverwacht
positief effect heeft op de tijd. Het lineair verband dat tevoren werd vastgesteld was echter
negatief. Dit wordt echter duidelijk wanneer ook naar de interactietermen gekeken wordt. Hoe
meer items, hoe meer ABC-classificatie een invloed heeft. Ook subrijlengte blijkt in
combinatie met ABC-classificatie een invloed te hebben.
Zoals verwacht stijgt de rekentijd met het aantal items. Zelfs in het geval van ABC-
clasificatie zal een bijkomend item voor een bijkomende gemiddelde rekentijd van 0.005
seconden zorgen.
Ook de totale rijlengte (blokken * subrijlengte) blijkt van belang te zijn.
Wel moet er gewaarschuwd worden dat de “sum of squares” uitgelegd door het model beperkt
is. Hieruit volgt dan ook een “R square” van amper 14%.
59
b) de nieuwe methode (zonder clusteren)
Wat deze methode betreft kunnen bepaalde veronderstellingen al van op voorhand gemaakt
worden. Zo verwacht men een exponentiële toename van de rekentijd naarmate het aantal
blokken stijgt. Dit omdat het aantal equivalentieklassen exponentiëel toeneemt met het aantal
tussengangen. Ook wordt een lineair verband verwacht met het aantal rijen. Voor elke rij
moeten namelijk een aantal operaties steeds opnieuw uitgevoerd worden ( zie hoofdstuk 4).
Om meer inzicht te verkrijgen in de invloed van deze drivers op de tijd werden onderstaande
grafieken opgesteld.
Figuur 5.14: Verloop van de tijd voor verschillende drivers ("nieuwe methode")
60
Zoals verwacht wordt er inderdaad een exponentiëel verband gevonden voor het aantal
blokken en een duidelijk lineair verband voor het aantal rijen. Tevens kunnen in elke grafiek
(op de blokken grafiek na) meerdere patronen (of wolken) onderscheiden worden. Deze
stellen de verschillende tijden voor verschillende blokken voor. Het is hier al duidelijk dat het
aantal blokken een beslissende invloed heeft.
Hoewel een lineair model hier niet op zijn plaats is wegens het exponentieel verloop van de
tijd in functie van het aantal blokken zal hier toch eerst een lineaire regressie toegepast
worden. Deze zal ons helpen om een benaderende formule te vinden. Deze formule zal dan
ook slechts benaderend zijn in het gebied van de steekproef. Eenmaal men met meer dan 5
blokken te maken heeft zal de fout te groot worden. Naarmate het aantal equivalentieklassen
verantwoordelijk is voor de rekentijd kan onderstaande grafiek een beeld vormen van de
onderschatting die door dergelijk model zou worden gemaakt (het aantal equivalentieklassen
voor zes blokken berust op een schatting).
Figuur 5.15: Lineaire benadering van een exponentiële
Ook hier wordt achterwaartse regressie toegepast. Dezelfde initiële hoofd- en interactietermen
werden beschouwd. Tenslotte werd tot volgende conclusie en formule gekomen. Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Intercept -.0186881710 0.11462212 -0.16 0.8705 aisles -.1541490172 0.01034632 -14.90 <.0001 aisles*blocks 0.0557199442 0.00128456 43.38 <.0001 aisles*interaisle 0.0034749407 0.00154254 2.25 0.0245
61
Formule : Tijd nieuwe methode = (-0.1541+0.0557*blokken + 0.0035*tussenrijlengte)*rijen
Indien men opnieuw alleen de hoofdtermen beschouwt, krijgt men weer de verkeerde indruk
dat het aantal rijen een negatief effect heeft op de tijd. Het is pas wanneer men de combinatie
met het aantal blokken in ogenschouw neemt dat het effect duidelijk is. Zo zal voor vijf
blokken elke additionele rij de gemiddelde rekentijd met ongeveer 0.1 seconde doen stijgen.
Hoewel het interactieeffect tussen de tussenrijlengte en het aantal rijen significant is, is het
niet relevant te noemen. Deze factor zal dan ook slechts een fractie van een seconde verschil
verklaren.
Ook is het de moeite op te merken dat een groter deel van de sum of squares door het model
kan worden uitgelegd. Daar waar de R square voor het model uit punt a nog geen 15 %
bedroeg, bedraagt het hier meer dan 70%. Aangezien de afhankelijke variabelen van beide
modellen verschillend zijn kan men niet besluiten dat het laatste model superieur is. Toch
menen we dat de rekentijden van de nieuwe methode gemakkelijker te achterhalen zullen zijn
dan bij de branch and bound methode met clusteren en reduceren.
Tevens werden het Akaike Information Criterion (AIC) en het Schwartz Information Criterion
(SIC) berekend. Deze kunnen, in tegenstelling tot de R square, ook gebruikt worden om de
voorspellende waarde van het model buiten de gegevens van de steekproef te testen. Beide
waarden zijn respectievelijk 0.38 en 0.39.
Men ziet echter snel in dat bovenstaande formule approximatief is. De verwachte tijden voor
vijf blokken en rijen tussen de tien en twintig zouden tussen de twee en vier seconden moeten
liggen daar waar ze volgens deze formule tussen de één en twee seconden moeten liggen.
Een diepgaandere analyse dringt zich dus op. Daarom zal in het vervolg van dit punt een niet
lineaire regressie gebruikt en geanalyseerd worden. Het nadeel van niet lineaire technieken is
dat ze niet steeds tot een optimum leiden en dus waar mogelijk vermeden moeten worden. De
duidelijke aanwezigheid van een exponentiële term dwingt ons echter tot het gebruik hiervan.
62
Voor de gekozen niet lineaire techniek werd de “Gauss-Newton” methode gekozen omwille
van zijn snelle convergentie. Verschillende modellen werden getest en aangepast voor
multicollineariteit en uiteindelijk werd tussen deze het model uitgekozen met een zo hoog
mogelijk verklarende waarde (R square waarde van meer dan 78 %). Er werd eveneens op
gelet dat convergentie bereikt werd.
Ook hier werden het Akaike Information Criterion en het Schwartz Information Criterion
berekend. Deze bedragen respectievelijk 0.28 en 0.29. Deze lagere waarden tonen aan dat dit
model te verkiezen is boven het voorgaande lineair model.
Ratrossfull = a**(blocks) + d*aisles + aaa
Voor bovenstaand model werden volgende parameters gevonden (ook hier werd eerst aan
achterwaartse regressie gedaan).
App rox Parameter Estimate Std Er ror Approximate 95% Confidence Limits a 1.3556 0.00 351 1.3487 1.3625 d 0.0497 0.00 646 0.0370 0.0623 aaa -3.0387 0.1 035 -3.2419 -2.8355
Dit leidt tot volgende formule.
Formule : Tijd nieuwe methode = 1.3556^(blokken) + 0.0497*rijen - 3.0387
De analyse van deze formule is vanzelfsprekend. Doch valt op dat de enige term die de
benodigde tijd doet stijgen een exponentiële van het aantal blokken is. De tweede term is
(zeker naarmate het aantal blokken stijgt) bijna verwaarloosbaar. Zoals verwacht zijn geen
andere termen dan het aantal rijen en het aantal blokken significant. Als men op basis van
deze formule de benodigde tijd schat voor vijf blokken en tussen de tien en twintig rijen komt
men uit tussen de twee en drie seconden. Aangezien dit ongeveer is wat men ook op basis van
de waarnemingen verwachtte, kan besloten worden dat bovenstaand model een redelijke
benadering geeft.
63
3.Vergelijking van beide methoden
De vraag dringt zich natuurlijk op in welk geval welke methode moet gebruikt worden.
Enerzijds kunnen de opgestelde formules gebruikt worden. Anderzijds moet ook rekening
gehouden worden met de grotere variantie gepaard gaande met de branch and bound (met
clusteren en reduceren) methode. Zoals aangetoond (supra, p 55) is de standaarddeviatie van
deze laatste bijna dubbel zo groot als die van de nieuw ontwikkelde methode.
Het bleek echter al meermaals dat de differentiërende factor het aantal blokken bleek te zijn.
Hieronder worden dus nog een laatste maal beide methoden vergeleken opgesplitst naar het
aantal blokken. Figuur 5.16 herhaalt en vergelijkt beide methodes opgesplitst naar het aantal
blokken.
Figuur 5.16: Beide methodes opgesplitst naar het aantal blokken
64
Ook de analyse van de variantie verschilt waarschijnlijk met de hoeveelheid blokken.
Hieronder worden dan ook de belangrijkste conclusies samengevat. Voor alle vier de
beschouwde gevallen waren de resultaten significant. Ook hier past evenwel een
waarschuwing. Op het geval met vijf blokken na was de R square en dus de mate waarin het
model de resultaten kan interpreteren bijzonder laag (onder de 10% en soms zelfs onder de 5
%). The ANOVA Pro cedure Level of - ------------Time------------ Class N Mean Std Dev Nieuwe methode 5 blokken 200 2.67648094 0.53361934 Branch and bound 5 blokken 200 0.67078410 1.64518643
The ANOVA Pro cedure Level of - ------------Time------------ Class N Mean Std Dev Nieuwe methode 4 blokken 200 0.35989829 0.07577973 Branch and bound 4 blokken 200 0.92008047 2.31908240
The ANOVA Pro cedure Level of - ------------Time------------ Class N Mean Std Dev Nieuwe methode 3 blokken 200 0.05029396 0.01076823 Branch and bound 3 blokken 200 0.75630056 2.65077077
The ANOVA Pro cedure Level of - ------------Time------------ Class N Mean Std Dev Nieuwe methode 2 blokken 200 0.01230703 0.00459930 Branch and bound 2 blokken 200 0.58841290 1.48500983
Het is duidelijk dat de variantie van de benodigde tijd van de nieuw ontwikkelde methode
stijgt naarmate het aantal blokken stijgt (hoewel deze voor de onderzochte gevallen beperkt
bleef). Dezelfde conclusie kan echter niet uitgebreid worden naar de branch and bound
methode met clusteren en reduceren. Zoals verwacht, en kan worden afgelezen in voorgaande
boxplots, blijft deze methode ten allen tijde relatief onbetrouwbaar.
Desalniettemin zijn er gevallen waar het gebruik van deze methode aan te raden is. Naarmate
het aantal blokken stijgt, zal het onmogelijk worden om de nieuwe methode te gebruiken. In
65
zulke gevallen zal de methode van “clusteren en reduceren” toch een goede oplossing
garanderen.
66
Besluit
De nieuwe methode die ontwikkeld werd in deze scriptie is een uitbreiding op het algoritme
van Ratliff en Rosenthal (1983) en Roodbergen en de Koster (2001b). Hierin wordt gezocht
naar een optimale routing voor order pickers. Het aantal situaties waar het algoritme kan
toegepast worden werd drastisch uitgebreid. Dit was mogelijk door het ontwikkelen van een
algoritme dat het discreet tellen van equivalentieklassen (unieke manieren om de afgelegde
weg te karakteriseren) overbodig maakte. Tevens konden alle noodzakelijke elementen, ter
berekening van een optimale route, vanaf deze equivalentieklassen ook aangemaakt worden.
Ten slotte werd de rekentijd van de methode ingeperkt door overbodige berekeningen
achterwege te laten.
Voornoemde methode werd vergeleken met een andere optimale methode ter benchmark,
gebaseerd op branch and bound. Ook hier werden eerst verbeteringen aangebracht (mogelijk
door de specifieke layout van het probleem). Zo werden overbodige items verwijderd en
werden ook onmogelijke routes achterwege gelaten. Factor van vergelijking betreft dan ook
de rekentijden. Hoewel deze laatste methode vaak tot betrekkelijk goede resultaten kan komen
is de variantie te hoog en vaak onaanvaardbaar in de praktijk. De nieuw ontwikkelde methode
scoort beter wat dit betreft. Aanvaardbare rekentijden werden gevonden voor alle situaties uit
het proefopzet.
Het reeds door voorvermelde auteurs aangekaarte probleem van exponentieel stijgende
rekentijden naarmate het aantal blokken toeneemt, blijft echter bestaan. Computers met een
voor vandaag de dag standaard kloksnelheid zijn echter in staat om voor de meeste praktische
gevallen uitkomst te bieden. Voor andere situaties kan worden teruggevallen op de branch and
bound methode of op verschillende bestaande heuristieken.
VII
Referenties - Applegate, D.L.,Bixby, R.E.,Chátal, V., Cook, W.,2006. The Traveling Salesman
Problem Hfst 16, 489-529.
- Applegate, D., Bixby, R., Chvátal, V., Cook, W., 2008. Concorde TSP Solver. URL
<http://www.tsp.gatech.edu/concorde/>. (15/11/2009).
- Bartholdi, J.J., Hackman, S.T., 2006. Warehouse and Distribution Science. Release
0.80. URL <http://www.warehouse-science.com>. (10/09/2009).
- Bozer, Y.A., Sharp, G.P., 1985. An empirical evaluation of general purpose automated
order accumulation and sortation system used in batch picking. Material Flow 2, 111–
113.
- Bozer, Y.A., Quiroz, M.A., Sharp, G.P., 1988. An evaluation of alternative control
strategies and design issues for automated order accumulation and sortation systems.
Material Flow 4, 265–282.
- Brynzér, H., Johansson, M.I., 1996. Storage location assignment: using the product
structure to reduce order picking times. International Journal of Production Economics
46, 595–603.
- Chen, M.C., Huang, C.L., Chen, K.Y., Wu, H.P., 2005. Aggregation of orders in
distribution centers using data mining. Expert Systems with Applications 28 (3), 453–
460.
- Chen, M.C., Wu, H.P., 2005. An association-based clustering approach to order
batching considering customer demand patterns. Omega International Journal of
Management Science 33 (4), 333–343.
- Chew, E. P., Tang, L.C., 1999. Travel time analysis for general item location
assignment in a rectangular warehouse. European Journal of Operational Research
112, 582–597.
- de Koster, R., Le-Duc, T., Roodbergen, K.J., 2007. Design and control of warehouse
order picking: A literature review. European Journal of Operational Research 128,
481-501.
- De Koster, R., Van der Poort, E.S., 1998. Routing orderpickers in a warehouse: A
comparison between optimal and heuristic solutions. IIE Transactions 30, 469–480.
- Frazelle, E.H., Hackman, S.T., Passy, U., Platzman, L.K., 1994.The forward–reserve
problem. In: Ciriani, T.C., Leachman,R.C. (Eds.), Optimization in Industry 2. Wiley,
New York,pp. 43–61.
VIII
- Frazelle, E.A., Sharp, G.P., 1989. Correlated assignment strategy can improve order-
picking operation. Industrial Engineering 4, 33–37.
- Gademann, A.J.R.N., Van den Berg, J.P., Van der Hoff, H.H., 2001. An order
batching algorithm for wave picking in a parallel-aisle warehouse. IIE Transactions
33, 385–398.
- Gademann, N., Van de Velde, S., 2005. Batching to minimize total travel time in a
parallel-aisle warehouse. IIE Transactions 37 (1), 63–75.
- Gilleland, M., Permutation Generator. URL
<http://www.merriampark.com/perm.htm>. (02/05/2010).
- Goetschalckx, M., Ashayeri, J., 1989. Classification and design of order picking
systems. Logistics World (Juni), 99-106.
- Goetschalckx, M., Ratliff, D.H., 1988a. An efficient algorithm to cluster order picking
items in a wide aisle. Engineering Costs and Production Economy 13, 263–271.
- Goetschalckx, M., Ratliff, D.H., 1988b. Order picking in an aisle. IIE Transactions 20,
531–562.
- Hackman, S.T., Platzman, L.K., 1990. Near optimal solution ofgeneralized resource
allocation problems with large capacities.Operations Research 38 (5), 902–910.
- Hsu, C.M., Chen, K.Y., Chen, M.C., 2005. Batching orders inwarehouses by
minimizing travel distance with genetic algorithms.Computers in Industry 56 (2), 169–
178.
- Jewkes, E., Lee, C., Vickson, 2004. Product location, allocation and server home base
location for an order picking line with multiple servers. Computers & Operations
Research 31, 623–626.
- Johnson, M.E., 1998. The impact of sorting strategies on automated sortation system
performance. IIE Transactions 30, 67–77.
- Johnson, M.E., Lofgren, T., 1994. Model decomposition speeds distribution center
design. Interfaces 24 (5), 95–106.
- Le-Duc, T., De Koster, R., 2003. An approximation for determining the optimal
picking batch size for order picker in single aisle warehouses. In: Meller, R., Ogle,
M.K., Peters, B.A., Taylor, G.D., Usher, J. (Eds.), Progress in Material Handling
Research: 2002, pp. 267–286.
- Le-Duc, T., De Koster, R., 2005a. Determining the optimal number of zones in a pick-
and-pack order picking system. Report ERS-2005-029-LIS, RSM Erasmus University,
the Netherlands.
IX
- Le-Duc, T., De Koster, R., 2007. Travel time estimation and order batching in a 2-
block warehouse. European Journal of Operational Research 176 (1), 374–388.
- Meller, R.D., 1997. Optimal order-to-lane assignments in an order
accumulation/sortation system. IIE Transactions 29 (4), 293–301.
- Petersen, C.G., 1997. An evaluation of order picking routing policies. International
Journal of Operations & Production Management 17 (11), 1098–1111.
- Ratliff, H.D., Rosenthal, A.S., 1983. Orderpicking in a rectangular warehouse: A
solvable case of the traveling salesman problem. Operations Research 31 (3), 507–
521.
- Roodbergen, K.J., De Koster, R., 2001a. Routing methods for warehouses with
multiple cross aisles. International Journal of Operations Research 39 (9),1865-1883.
- Roodbergen, K.J., De Koster, R., 2001b. Routing order pickers in a warehouse with a
middle aisle. European Journal of Operations Research 133, 32-43.
- Roodbergen, K.J.,2001. Layout and Routing Methods for Warehouses. Ph.D. Thesis,
RSM Erasmus Universiteit Rotterdam, The Netherlands.
- Rosen, K. H., 1991.Discrete Mathematics and Its Applications, 2nd edition. NY:
McGraw-Hill, 282-284.
- Russell, M.L., Meller, R.D., 2003. Cost and throughput modelling of manual and
automated order fulfilment systems. IIE Transactions 35 (7), 589–603.
- Tang, L.C., Chew, E.P., 1997. Order picking systems: batching and storage
assignment strategies. Computer & Industrial Engineering 33 (3), 817–820.
- Theys, C., Bräysy, O., Dullaert, W., Raa, B.,2010. Using a TSP heuristic to routing
order pickers in warehouses. European Journal of Operations Research 200, 755-763.
- Tompkins, J.A.,White, J.A., Bozer, Y.A., Frazelle, E.H.,Tanchoco, J.M.A.,Trevino,
1996. Facilities Planning. Wiley, New York.
- Tompkins, J.A., White, J.A., Bozer, Y.A., Frazelle, E.H., Tanchoco, J.M.A., 2003.
Facilities Planning. John Wiley & Sons, NJ.
- Van den Berg, J.P., Sharp, G.P.G.A.J.R.N., Pochet, Y., 1998. Forward–reserve
allocation in a warehouse with unit-load replenishments. European Journal of
Operational Research 111, 98–113.
- Vaughan, T.S., Petersen, C.G., 1999. The effect of warehouse cross aisles on order
picking efficiency. International Journal of Production Research 37 (4), 881–897.
- 1 -
Appendix A : Inhoud CD-rom
In deze bijlage wordt de inhoud van bijgevoegde Cd-rom toegelicht.
Volgende papers kunnen teruggevonden worden in de map “papers”:
Paper 1: de Koster, R., Le-Duc, T., Roodbergen, K.J., 2007. Design and control of warehouse
order picking: A literature review. European Journal of Operational Research 128,
481-501.
Paper 2: Theys, C., Bräysy, O., Dullaert, W., Raa, B.,2010. Using a TSP heuristic to routing
order pickers in warehouses. European Journal of Operations Research 200, 755-763.
Paper 3: Petersen, C.G., 1997. An evaluation of order picking routing policies. International
Journal of Operations & Production Management 17 (11), 1098–1111.
Paper 4: Roodbergen, K.J.,2001. Layout and Routing Methods for Warehouses. Ph.D. Thesis,
RSM Erasmus Universiteit Rotterdam, The Netherlands.
Paper 5: Ratliff, H.D., Rosenthal, A.S., 1983. Orderpicking in a rectangular warehouse: A
solvable case of the traveling salesman problem. Operations Research 31 (3), 507–
521.
Paper 6: Roodbergen, K.J., De Koster, R., 2001b. Routing order pickers in a warehouse with a
middle aisle. European Journal of Operations Research 133, 32-43.
Onder de map “kladblokbestanden” kunnen de volgende bestanden teruggevonden worden:
Excelbestand: Alle resultaten opgenomen in een excelbestand.
Type O, P, Q en R bevatten kladblokbestanden voor magazijnen met respectievelijk 5, 4, 3 en
2 blokken.
- 2 -
Deze zijn onderverdeeld naar:
Orders en ordersd: Bevat de kladblokbestanden met de te picken items in twee verschillende
inputformaten.
Ordersclustered, 2 en 3: Bevat de kladblokbestanden met te picken items na clusteren in drie
verschillende formaten.
DistanceMatrix: Bevat de kladblokbestanden van de afstandsmatrices.
DistanceMatrixclustered: Bevat de kladblokbestanden van de afstandsmatrices na clusteren.
DistanceMatrix2clustered: Bevat de kladblokbestanden van de afstandsmatrices na clusteren
en reduceren.
In de map “programma’s” kunnen de volgende programma’s gevonden worden:
Clusterorders: Dit programma kan op basis van een orderpicklijst alle overbodige items
verwijderen (zoals aangegeven in hoofdstuk 5).
Distance_matrix: Dit programma kan een afstandsmatrix opstellen op basis van een
orderpicklijst.
Thesis_recursief: Dit programma kan alle equivalentieklassen aanmaken na ingave van het
aantal blokken waaruit het magazijn bestaat.
Aislechange: Dit programma bepaald alle manieren om van rij j naar rij j+1 over te gaan.
TablesLplus: Dit programma maakt een eerste versie aan van de Lj+ tabellen aan op basis van
de equivalentieklassen.
NaarLmin: Dit programma maakt de Lj- tabel aan op basis van de equivalentieklassen en de
kolomovergangen.
- 3 -
Unification: Teneinde verbeteringen aan te brengen op voorgaande output moet deze eerst
gestandaardiseerd worden. Benodigd zijn dus de kolomovergangen, de
equivalentieklassen en de Lj- en Lj
+ tabellen.
Lpluselimination: Een eerste verbetering op de Lj+ tabellen op basis van de
equivalentieklassen en de output van het vorige programma.
SearcherLplus: Een tweede verbetering op basis van de equivalentieklassen,
kolomovergangen en voorgaande output van de Lj+ en Lj
- tabellen.
Finaalimproved2: Dit programma berekent tenslotte de optimale afstand op basis van
voorgaande output en een orderpicklijst.
Random2: Dit programma maakt random orders aan.
ABC2: Dit programma maakt random orders aan op basis van ABC-classificatie
In de map statistiek zitten de volgende bestanden:
T-testen: Hierin zijn alle gebruikte gepaarde T-testen voor verschillen opgenomen.
Anova procedures: Hierin zijn alle gebruikte Anova procedures opgenomen.
Regressies: Hierin zijn zowel de lineaire als niet-lineaire regressies opgenomen.
In de map scriptie is de scriptie zelf opgenomen.
![Exacte wetenschappen. Aanwinsten van Anet — Periode 2015/10anet.ua.ac.be/awlijst/2015-10/Anet/aww.pdf · Exacte wetenschappen. Aanwinsten van Anet — Periode 2015/10 [1]Exacte](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5c689efd09d3f2d4158b998c/exacte-wetenschappen-aanwinsten-van-anet-periode-2015-exacte-wetenschappen.jpg)
![Exacte wetenschappen. Aanwinsten van Techniek Explora Anet ...anet.ua.ac.be/awlijst/2014-06/Anet/aww.pdf · Exacte wetenschappen. Aanwinsten van Anet — Periode 2014/06 [1]Exacte](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5d48c67788c9938c798b99d6/exacte-wetenschappen-aanwinsten-van-techniek-explora-anet-anetuaacbeawlijst2014-06anetawwpdf.jpg)
![Exacte wetenschappen. Aanwinsten van Bio voor jou Anet ...anet.ua.ac.be/awlijst/2013-03/Anet/aww.pdf · Exacte wetenschappen. Aanwinsten van Anet — Periode 2013/03 [1]Exacte wetenschappen](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5d3819fb88c99359198b814c/exacte-wetenschappen-aanwinsten-van-bio-voor-jou-anet-anetuaacbeawlijst2013-03anetawwpdf.jpg)
![Bijlage cursusomschrijvingen [Technische bedrijfskunde] [voltijd](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/58a2f66a1a28ab724d8ba234/bijlage-cursusomschrijvingen-technische-bedrijfskunde-voltijd-.jpg)
