Examen de admisión 2019-2 PREGUNTAS Y RESPUESTASUNIcloud.vallejo.com.pe/SL_Mie_UNI_2019-2RCZAHxiizd.pdf · Si n1, n2, n3, ... son todos los números naturales tales ... PREGUNTA

PREGUNTAS Y RESPUESTASPREGUNTAS Y RESPUESTAS UNIUNI

Examen de admisión 2019-2

Matemática

1

PREGUNTA N.º 1

Determine el conjunto de valores de n (n ∈ N) de tal modo que, la expresión

E(n)= (2n+1)(3n+2) sea divisible por 6.

A) {6t – 1/t ∈ N} B) {6t – 2/t ∈ N}C) {6t – 3/t ∈ N}D) {6t – 4/t ∈ N}E) {6t – 5/t ∈ N}

RESOLUCIÓN

Tema: Divisibilidad E(n)= (2n+1)(3n+2); n ∈ N

E(n)=6n2+7n+2

Por condición

E(n)=6°

E n n n n( )= + + + =6 6 2 62

6 6° °

°

7n

E(n)=6° +6° +n+2=6°

E(n)=n+2=6°

De donde

n= 6° – 2 n=6t – 2; t ∈ N

Finalmente n={6t – 2/t ∈ N}

Respuesta: {6t – 2 / t ∈ N}

PREGUNTA N.º 2

Se sabe que abcd es igual al producto de tres números pares consecutivos y además 4(ab)=5(cd). Calcule el valor de abcd más 1936.

A) 5962 B) 5964 C) 5966D) 5968 E) 5970

RESOLUCIÓN

Tema: Operaciones fundamentalesDel primer dato:

abcd n n n= ( ) +( ) +( )2 2 2 2 4

producto de tres númerospares consecuttivos

� ��

abcd=2×2×2×n(n+1)(n+2)

abcd=8×n×(n+1)(n+2) (I)

Del segundo dato:

4ab=5cd

ab

cd

ab k

cd kk= →

=

=

<( )5

4

5

420

De (I)

abcd n n n = × +( )× +( )8 1 2

ab cd n n n × + = × × +( )× +( )10 8 1 22

5 100 4 8 1 2k k n n n( ) + = × × +( )× +( )

504k=8×n×(n+1)×(n+2)

63k=n×(n+1)×(n+2)

7 9 1 2× = = × +( )× +( )k n n n

Debemos hallar un producto de tres númerros naturales consecutivos

� ��

Analizamos la última igualdad k=8

2

Lumbreras EditoresAcademia CÉSAR VALLEJO

PREGUNTA N.º 3

En una urna se tienen fichas idénticas en cada una de las cuales está escrito un número de 3 cifras del sistema de base 3. La urna contiene a todos los números de 3 cifras del sistema ternario, sea ∈: el experimento aleatorio que consiste en extraer aleato-riamente una ficha de urna y X: la variable aleatoria discreta asociada, definida como la suma de cifras del número seleccionado. Halle la esperanza matemática de la variable aleatoria X.

A) 3,2 B) 3,3 C) 3,4D) 3,5 E) 3,6

RESOLUCIÓN

Tema: ProbabilidadesSe tiene una urna con fichas, en las cuales están escritos todos los números de 3 cifras del sistema ternario.e: Se extrae una ficha y se suma las cifras

a b c 3

n(W)=2×3×3=18

En la urna se tiene 18 fichas en toral.

Suma de cifras

1

1003

2

1013

1103

2003

3

1023

1113

1203

2013

2103

4

1123

1213

2023

2113

2203

5

1223

2123

2213

6

2223

Entonces ab=5k=40 y cd=4k=32

Finalmente nos piden

abcd+1936=4032+1936

abcd+1936=5968

Respuesta: 5968

Se tiene la variable aleatoria.x: suma de cifras del número seleccionado

Se deduce

X 1 2 3 4 5 6

P(x)1

18

3

18

5

18

5

18

3

18

1

18

Como piden la esperanza matemática

E x x P xi

i

i( ) ( )= ×=

∑1

6

→ E x( )= × + × + × + × +11

182

3

183

5

184

5

18

53

186

1

18x + ×

∴ E(x) =3,5

Respuesta: 3,5

PREGUNTA N.º 4

Dadas las siguientes proposiciones.I. El producto de dos fracciones propias positivas

es una función propia.II. La suma de dos fracciones propias positivas es

también propia.

III. ∀n ∈ N, n >1: 1

11 1

1n n n−+ +

+ se convierte en un

decimal periódico mixto.

Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

A) FFF B) FVF C) VFFD) VFV E) VVV

UNI 2018-1Solucionario de

3

MatemáticaUNI 2019-2

RESOLUCIÓN

Tema: Conjunto de los números QI. Verdadero

Sean las fracciones propias

a

b

c

d y ; {a; b; c; d} ∈ Z+

Tenemos que

a

ba b < 1 → <

c

dc d < 1 → <

De donde a×c < b×d

Dividimos entre b×d.

a c

b d

b d

b d

×

×<

×

×

→×

×<

a c

b d1

∴

×

×

a c

b d(propia)

II. Falso

Ejemplo:

2

5

3

51+ = ∈ +Z

fraccionespropias

III. Verdadero

Tenemos

1

1

1 1

1

3 1

1 1

3 1 2 2

1 1

2 2

n n n

n

n n n

n

n n n−+ +

+=

−

−( ) +( )=

− − +

−( ) +( )

=−( )+

−( )( ) +( ) = +−( ) +( ) >

3 1 2

1 1

3 2

1 11

2n

n n n n n n nn;

Sabemos que n n n−( ) +( )=°

1 1 6

Entonces, como mínimo, la primera fracción origina decimal exacto y la segunda periódico puro; por consiguiente, la suma será periódico mixto.

Respuesta: VFV

PREGUNTA N.º 5

Se tiene que cercar, con alambre, un terreno rec-

tangular cuyas dimensiones son 576 m y 848 m. Si

los postes de soporte se colocarán equidistantes, la

equidistancia debe ser un número entero de metros

y el número de postes el menor posible. ¿Cuántos

postes serán necesarios?

A) 178 B) 184 C) 188

D) 204 E) 208

RESOLUCIÓN

Tema: MCD - MCMGraficamos.

d d d

d

d

. . .

. . .

. . .

848 m

576 m

Donde d será la distancia que existe entre dos postes consecutivos, además, d es un número entero en metros.

Del gráfico se puede notar que d debe ser un divisor de 848 y de 576, es decir, un divisor común de estos números; como el número de postes debe ser el menor posible, d debe ser máximo. Entonces

d=MCD(576; 848)

d=16 576 848 2

288 424 2

144 212 2

72 106 2

36 53

−−−−−

d

4


Una vez hallada la diferencia entre dos postes, para determinar el número de postes usamos la siguiente relación:

contorno de unafigura cerrada

N.º de postes en el Perímetr=

oo de la figura

Distancia entre dos postes

contorno del rectánguloN.º de postes en el =

+( )=

2 848 576

161778

Por lo tanto, son necesarios 178 postes.

Respuesta: 178

PREGUNTA N.º 6

Sea la expresiónE(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)+1, con n ∈ N.Si n1, n2, n3, ... son todos los números naturales tales que E(nk) es divisible por 5 para todo k, ordenados de manera que 1 ≤ n1 < n2 <n3 < ..., entonces el valor de n1+n2+n3 es

A) 12 B) 14 C) 16D) 18 E) 20

RESOLUCIÓN

Tema: Teoría de divisibilidadPor condición E(n)=n× (n+1)(n+2)(n+3)+1=5°

n n n n� � ��

× +( )× +( )× +( )= − = +° °

1 2 3 5 1 5 4

( ) ( ) ( ) ( )5 1 5 2 5 3 5 2° ° ° °+ + + + � ��

5° +24=5° +4

Solo cumple para n=5° +1

Como n1; n2; n3; .... son los valores de n que cumplen la condición inicial.

Además

5+1°

1 ≤ n1<n2<n3<...

1 6 11

Nos piden n1+n2+n3=1+6+11=18

Respuesta: 18

PREGUNTA N.º 7

Si los siguientes números son cuadrados perfectos: aabb, 1ccc y al multiplicar sus raíces cuadradas con x0y se obtiene un cuadrado perfecto. Calcule (x+y), sabiendo que aabb y 1ccc son múltiplos de cuatro.

A) 10 B) 11 C) 12D) 14 E) 15

RESOLUCIÓN

Tema: Potenciación-radicación

b ≠ 2; 3; 7; 8

• aabb=k2 → 100aa+bb=k2

11×p2

11(a 0 b)=k2

7 0 4=+ – +

11°

(además 4°)

Luego aabb=7744=882

• 1ccc=R2 · (4° ); cc=4°

1000 ≠ R2

1444=382

88 ¡no! (c ≠ 8)


5


Luego

aabb ccc x y M× × =1 0 2

88×38×x0y=M2

11×23×19×2×x0y=M2

24×11×19×x0y=M2

11×19×p2 p=1 → 209 p=2 → 836

→ x0y=209

∴ x+y=11

Respuesta: 11

PREGUNTA N.º 8

Se tiene abc(9)=cba(7). Exprese el número en base 10. Dé como respuesta la suma de sus cifras de dicho número.

A) 10 B) 12 C) 14D) 16 E) 18

RESOLUCIÓN

Tema: Teoría de numeraciónDel dato

abc9=cba7=N

El número en base 10

Para poder hallar N, debemos determinar los valores de a, b y c que hacen que la igualdad se cumpla.

De la igualdad

abc9=cba7 (descomponemos polinómicamente ambos numerales)

a ·92+b ·9+c=c ·72+b ·7+a

80a+2b=48c simplificamos 40a+b=24c (aplicamos múltiplo de 8)

8o

8o

b=8o (b<7)

→ b=0

De la ecuación

40a+0=24c

40a=24c

5a=3c

(a<7)(b<7)

a

c= 35

→ a=3 y c=5

Finalmente, para poder hallar N pasamos cualquiera de los dos números a base 10.

N=abc9 → N=3059

N=3×92+5

N=248

Por lo tanto, la suma de cifras de N es 14.

Respuesta: 14

PREGUNTA N.º 9

Señale la alternativa que presenta la secuencia co-rrecta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. Toda sucesión acotada es convergenteII. Toda sucesión monótona es convergente.III. Toda sucesión convergente es acotada

A) VVV B) VFF C) FVVD) FFV E) FFF

RESOLUCIÓN

Tema: SucesionesI. Falso

Sea el siguiente contraejemplo: (an)= (1; –1; 1; –1; 1; –1; ...) Es acotada –1 ≤ an ≤ 1 ∀ n ∈ Z+

pero no convergente.

II. Falso

Sea el siguiente contraejemplo: (an)= (1; 2; 3; 4; ...) Es monótona creciente (an < an+1; ∀ n ∈ Z+) pero no convergente lim

nna

→+∞= +∞( ).

6


III. Verdadero

Veamos un ejemplo.

1

123

2

4

3

5

4+

=

n

; ; ; ; ...

La sucesión converge a uno limn n→+∞

+

=

11

1

Entonces, podemos afirmar que 1 11

2≤ + ≤n

es acotada.

En general, toda sucesión convergente es acotada.

Justificación gráfica

R

N

M

L

N

1 2 3 4 ...

an

a4

a3

a2

a1

n

Si limn

na L M N→+∞

= → ∃ ∧ ∈R / N ≤ an ≤ M

Respuesta: FFV

PREGUNTA N.º 10

A un atleta que va a participar en una competencia, le informaron que cuando haya recorrido 12 km, le faltará recorrer menos de los 3/5 de la longitud total, y si recorre 16 km la distancia que le faltará recorrer es mayor que 1/5 de la longitud total. Halle la mayor longitud posible del recorrido de la competencia sabiendo que es un número entero. Dé como respuesta la suma de las cifras de esta longitud.

A) 7 B) 8 C) 9D)10 E) 11

RESOLUCIÓN

Tema: Conjunto de los números racionalesSea D la longitud del recorrido de una competencia realizada por un atleta.

Primer dato

D D D− < → <123

530

12(lleva recorrido) D –12

(falta recorrer)

Segundo dato

D D D− > → >161

520

16(lleva recorrido) D –16

(falta recorrer)

Se concluye que 20 < D < 30

Dato:D es el mayor entero positivo.→ D=29

Nos piden la suma de cifras de D.

∴ 2+9=11

Respuesta: 11


7


PREGUNTA N.º 11

Dada una función lineal f(x; y), donde (x; y) ∈ R, siendo R una región acotada y cerrada de R2, se pide maximizar f(x; y) en R. Si adicionamos una inecuación más a las restricciones del problema, sea

esta ax+by+c > 0. Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. La solución del problema no cambia si la nueva

restricción (inecuación) genera un semiplano que contiene R.

II. La solución del problema no existe si el semiplano que genera la nueva restricción no interseca a R.

III. La solución del problema existe si la recta

ax+by +c=0 corta a R.

A) VVV B) VFV C) VFFD) FVV E) FFF

RESOLUCIÓN

Tema: Programación linealRecordemos que en un problema de programación lineal, si la región factible es cerrada y acotada, su función objetivo tiene máximo y mínimo valor.

En el problema tenemos una región R cerrada y acotada, además una restricción ax+by+c>0 que genera un semiplano H.

I. Verdadero

Si H contiene a R, su intersección es R y su valor óptimo no cambia.

R

H

X

Yax+by+c=0

II. Verdadero

Si H no interseca a R, no hay región factible y

por tanto no hay solución factible.

R

H

X

Y

ax+by+c=0

III. Verdadero

Si ax+by+c=0 corta a R, la intersección genera

una región acotada y por tanto hay solución.

R

X

YH ax+by+c=0

regiónacotada

R

X

YH

ax+by+c=0

regiónacotada

Respuesta: VVV

PREGUNTA N.º 12

Sea [ai j] 4×4 con ai j=mín{i; j}. Determine |A|.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

8


RESOLUCIÓN

Tema: Determinantes

A a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a

ij= =×4 4

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 aa44

Dato: ai j=mín{i; j}.

Por ejemplo a41=mín{4; 1}=1

De ello resulta que

A=

1 1 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2 3 4

Piden determinante

Mediante operaciones filaI. fila 4 - fila 3

1 1 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

0 0 0 1

II. fila 3 - fila 2

1 1 1 1

1 2 2 2

0 0 1 1

0 0 0 1

III. fila 2 - fila 1

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

1=

El determinante de la triangular superior es producto de elementos de su diagonal principal.

Respuesta: 1

PREGUNTA N.º 13

Identifique la gráfica del siguiente conjunto de números complejos:

M z z z zz

z= ∈ + ≥

+

+≤

C 22

11y

A)

–5/2

C

0

B)

–3/2

C

0

C)

–1/2

C

0

D)

3/2

C

0

E)

1/2

C

0

RESOLUCIÓN

Tema: Números complejosSea z=x+yi ∈ C tal que {x; y} ∈ R.

Usamos la desigualdad triangular.

z z z z+ ≥ +2 2

→ z z z+ ≥2

Se cumple que ∀ z ∈ C. Por lo tanto, no nos brinda restricciones.

De la otra restricción

z

z

++

≤2

11

→ |z+1| ≠ 0 ↔ z ≠ –1

→ |z+2| ≤ |z+1|


9


x y x y+( ) + ≤ +( ) +2 12 2 2 2

x y x y+( ) + ≤ +( ) +2 12 2 2 2

(x+2)2–(x+1)2 ≤ 0

(2x+3)(1) ≤ 0

x ≤ −3

2

Por lo tanto, su gráfica es la siguiente:

–3/2

C

0

Respuesta:

–3/2

C

0

PREGUNTA N.º 14

Señale la alternativa que presente la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. Existen funciones sobreyectivas que son

inyectivas.II. Existen funciones de N en Z que son biyectivas.III. La suma de dos funciones impares es impar.

A) VVV B) VVF C) FVFD) FFV E) FFF

RESOLUCIÓN

Tema: FuncionesI. Verdadero

La función f(x)=x es sobreyectiva e inyectiva, entonces existen funciones sobreyectivas e inyectivas, se denominan funciones biyectivas.

II. Verdadero

Una de estas funciones es f: N → Z

f x

xx

xx

( )

;

;

=−

− −

21

1

2

es par

es impar

N Z

246

pares

impares

f

012

enteros nonegativos

135

–1–2–3

enterosnegativos

III. Verdadero

Si f es impar f(– x)= – f(x), así g(– x)= – g(x) Sea H(x)= f(x) + g(x), luego

H(– x)= f(– x) + g(– x)= – f(x) – g(x)=– ( f(x)+ g(x))= –H(x)

Entonces H(– x)= – H(x); H es impar

Respuesta: VVV

PREGUNTA N.º 15

Dado el sistema lineal

x+2y – z=4

– 3x+5y+z=5

– 4x+3y+2z=1

Señale la alternativa correcta, luego de determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:I. El conjunto solución tiene infinitos puntos que

constituyen una recta.II. El conjunto solución tiene infinitos puntos que

constituyen un plano.III. Existe solución que se puede expresar en la forma

(x, y, z)= (x0+at, y0+bt, z0+ct), t ∈ R. Donde x0, y0, z0, a, b, c son constantes.

A) VVV B) VFF C) FFVD) VFV E) FFF

10


RESOLUCIÓN

Tema: Sistema de ecuacionesx+2y – z=4 (I)– 3x+5y + z=5 (II)– 4x+3y – 2z=1 (III)

Al sumar (I) y (III) resulta la ecuación (II).

También son planos secantes (I) y (II). 1x+2y – z=4 por eso son – 3x+5y+z=5

→−

≠1

3

2

5 secantes

Del lo anterior se tiene el siguiente gráfico aproximado.

L

(I)

(III)

(II)

Las soluciones estarían en la recta R3.

I. Verdadero El conjunto solución está representado por la

recta L que tiene infinitos puntos.

II. Falso No es un plano el conjunto solución.

III. Verdadero L ={(x; y; z)∈R3/x=x0+at; y=y0+at; z=a0+at} donde x0; y0; z0; a; b; c son constante. Del gráfico siguiente se deduce

L

t(a; b; c)

PC=(x0; y0; z0)

(x; y; z)

xy

z

(x; y; z)= (x0; y0; z0)+ t(a; b; c) = (x0+at; y0+bt; z0+ct)

Respuesta: VFV

PREGUNTA N.º 16

Una marca de producto de limpieza usada para obtener una solución es 25% ácida. Otra marca de producto de limpieza es 50% ácida. ¿Cuántos galones de cada producto de limpieza se deberán mezclar para producir 20 galones de una solución 40% ácida?

A) 7 y 13 B) 8 y 12 C) 9 y 11D) 10 y 10 E) 16 y 4

RESOLUCIÓN

Tema: Mezcla

N.º de balones acidez

a

b

20

(acidez dela mezcla)

ganancia

pérdida

25%

50%40%

Recordemos que

aparenteGanancia

aparentePérdida( )= ( )

15%a=10%b

a

b= 23

a=2k

b=3k

Sabemos que

a + b=20

2k+3k=20

k=4∴ a=8 y b=12

Respuesta: 8 y 12

PREGUNTA N.º 17

Dada la ecuación:2x2–nx = 2x+m

Determine el valor de 4n+m −5, donde el conjunto solución es {5}.

A) 15 B) 17 C) 19D) 21 E) 23


11


RESOLUCIÓN

Tema: Ecuación cuadrática

2x2 – nx=2x+m ↔ 2x2 – (n+2)x–m=0

↔ xn

xm2 2

2 20−

+( )− = (I)

Como CS={5} el polinomio cuadrático resulta de escribir(x – 5)2=0

Desarrollamos.

x2 –10x+25=0 (II)

Comparamos (I)= (II).

n

n+

= → =2

210 18

− = → =−m

m2

25 50

∴ 4n+m – 5=4(18)+ (– 50) – 5=17

Respuesta: 17

PREGUNTA N.º 18

Un granjero tiene un terreno donde siembra hor-talizas. Cierto día decide cercar con tablones de madera una parte de su terreno para criar vacas. Las especificaciones que el granjero dio al carpintero fueron las siguientes: El corral debe ser rectangular con un perímetro de 1748 m y debe tener el área más grande posible, sea A m2 dicha área, hallar la suma de las cifras de A.

A) 34 B) 35 C) 36D) 37 E) 38

Datos• 2x+2y=1748 m• x+y=874 m (I)

Condición: Debe tener el área más grande posible. A(x; y)=x · y (II)

En (I) x=874 – y

En (II) A(y)= (874 – y)y

A(y)=874y – y2

A'(y)=874 – 2y=0

y=437

Luego x=437

Entonces el área será A= (437)(437)=190 969

Finalmente, la suma de cifras de A es 1+9+9+6+9.

∴ 34

Respuesta: 34

RESOLUCIÓN

Tema: Área de regiones cuadrangularesNos piden la suma de cifras de A.

y

y

x xterreno rectangular

a cercar

PREGUNTA N.º 19

Considere la función f: R \ {0} → R definida por f x x( ) log .= 2 Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. Existen únicamente dos valores para x, que

vuelven mínimo a la función f(x).II. f es creciente en los intervalos ⟨–1; 0⟩ y ⟨1; +∞⟩.III. f es inyectiva en el intervalo ⟨0; +∞⟩.

A) VVV B) VVF C) VFFD) FFV E) FFF

12


RESOLUCIÓN

Tema: Función logarítmicaGraficamos la función: f(x)=|log2|x||

X

Y

X

Y

1

X

Y

1–1

1–1

y=log2|x|

y=|log2|x||

y=log2x

Del gráfico

I. VERDADERO

En x= –1 ∧ x=1 vuelve mínimo a f(x).

II. VERDADERO

En ⟨–1; 0⟩ y ⟨1; +∞⟩ la función es creciente.

III. FALSO

La recta horizontal y=2 corta la gráfica de f cuando x ∈ ⟨0; +∞⟩ en más de un punto, entonces no es inyectiva.

Respuesta: VVF

PREGUNTA N.º 20

Si [(p∧q)∨(∼r)]∧∼p es verdadera, indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición compuesta es verdadera (V) o falsa (F).I. [(– p ∨ r) ∧ q]∨ ∼ pII. ∼ p ∧ (∼ r ∨ q)III. [p ∨ (r ∧ ∼ q)] ∧ r

A) VFV B) VVF C) FFVD) FVV E) VVV

RESOLUCIÓN

Tema: Lógica proposicionalRecuerdeLa tabla de verdad de las proposiciones compuestas, disyunción y conjunción.

p q p ∧ q p ∨ q

V VV FF VF F

VFFF

VVVF

Algunas leyes de lógica proposicional.• p ∨ F ≡ p • p ∨ V ≡ V• p ∧ V≡p • p ∧ F ≡ F

Del dato

p q r p

q

∧( )∨ ( ) ∧ ≡

∧( )

∨

∼ ∼

��

� ��

V

F F

F V F

V V

Sabemos de lo anterior que p ≡ F

Tenemos los valores de verdad de p=F, r=F y q no se puede determinar.

Con esta información veamos el valor de verdad de las proposiciones compuestas planteadas.I. ∼

� ��

∼p r q p∨( )∧ ∨

∨ ≡A V V

No es necesario determinar su

valor de verdad

II. ∼�

∼

��

p r q

q

∧ ∨( )

∧ ∨( )

∧ ≡

V V

V V V

III. p r q r∨ ∧( ) ∧

∧ ≡

∼� ��

B F F

Respuesta: VVF


13


PREGUNTA N.º 21

Dado un prisma cuadrangular regular ABCD - EFGH, donde AE=2(AB). Sabiendo que la suma de las distancias del punto “B” a los centros de las seis caras del prisma es 2 2 5 3+ +( ) m. Determine el volumen de dicho prisma (en m3 ).

A) 1 C) 2 C) 3

D) 2 E) 5

RESOLUCIÓN

Tema: PrismaDato: AE=2AB

Sea AB=2b

GH

D

A B

F

H

E

Cb3b

O1

O4

O3

O2

O5O6

2b 2b

5b 5b

5b 5b

2b 2b

18b 18b2b

4b

2b

2b

2b

Se observa AO1B : BO1=b 2 BHO5 : BO5=b 5 , análogamente BO b6 5= BFO2 : BO2=3 2b

O4AB : BO4=3b, análogamente BO3=3b

Dato: BO1+BO2+...+BO6=2 2 5 3+ +→ b=1/2

Luego Vprisma= (4b2)(4b)=2

Respuesta: 2

PREGUNTA N.º 22

El paralelogramo ABCD es perpendicular a la base del cilindro oblicuo de sección recta circular y el ángulo BCD mide 53° AD=10, DM=2MC. Calcule el área total del sólido que resulta de quitar la porción de la cuña cilíndrica AMD

αα

A D

CB

M

A) 2 25 2 5π +( ) B) 4 25 2 5π +( )C) 4 25 4 5π +( )D) 4 25 6 5π +( ) E) 8 5 2 5π +( )

RESOLUCIÓN

Tema: Tronco de cilindroAST: tronco de cilindro oblicuo

Datos• AD=10• DM=2MC

A D

C5

554

554

5

15

10

5

4

5

4B

M

53°

444

R4

53°2

53°2

53°2

4

44

14


PREGUNTA N.º 23

En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, se traza la bisectriz interior BM y las alturas AN y CQ, donde AN=a y CQ=b. Calcule la medida de la altura trazada desde M en el triángulo BMC.

A) a

a b+ B)

b

a b+ C)

ab

a b+

D) 2aba b+

E) ab

• Se observa que ANB ∼ CQB y AB=ak, además, BC=bk.

• En el ABC, por teorema de la bisectriz interior

ak

bk

AM

MCAM a MC b= = =, ,

• Luego, MHC ∼ ANC, entonces

x

a

b

a b=

+( )

∴ =+

xab

a b

Respuesta: ab

a b+

En el ADM

DM=AD=10

Además mSMAD=53°/2De ahí tenemos AM =8 5

Luego SR=AMsen53°/2Entonces SR=8

Como nos piden el área de la superficie total del sólido sombreado

A total = ( )( )+ ( )+

+

( )( )π π π5 4 2 415 5

24 4 5

A total = +( )4 25 4 5π

Respuesta: 4 25 4 5π +( )

PREGUNTA N.º 24

En la figura, P es punto medio de AB, Q es punto medio BC y R es punto medio de AC, entonces mSABC es

C

Q

B

P

RA

A) 75° B) 80° C) 85°D) 90° E) 95°

RESOLUCIÓN

Tema: Semejanza de triángulosNos piden x.

Dato: BM: bisectriz interior

a b

b

Q

CMA

N

a

Bα α

θ

β

θbkak

x

RESOLUCIÓN

Tema: CircunferenciaNos piden mS ABC=x.

Dato: P, Q y R son puntos medios.En el ABC, por teorema base media PR=b y QR=a

B

P

A

R

c

c

a

a

a

x

xC

b

b

b

Q


15


Luego, en el paralelogramo PBQR, los ángulos opuestos son iguales, entonces mS PBC=mS PRQ=x

También, PBQR está inscrito en la circunferencia, así x+x=180°

∴ x=90°

Respuesta: 90°

PREGUNTA N.º 25

Las dos bases de un prismoide son triángulos equiláteros de lados 18 cm y 6 cm, respectivamente, y las caras laterales son trapecios isósceles, donde el área de cada trapecio es 482 cm2. Halle el volumen (en cm3) del prismoide.

A) 78 3 3 B) 80 3 3 C) 81 33

D) 90 3 3 E) 100 33

P

R

Q

BM

C

A

1818

6

4

6

336332

h

33

S N

En el MSN: h=2

Vprismoide = + +( )2

39 3 81 3 27 32 2 2

∴ Vprismoide 78= 3 3

Respuesta: 78 3 3

RESOLUCIÓN

Tema: Tronco de pirámideNos piden volumen del prismoide.

De los datos del problema se puede representar al prismoide como se muestra en la figura.

Dato

A RCBQ MN= =+

48

6 18

22

De allí MN=4

A ABC =9 3 2

A PQR =81 3 2

PREGUNTA N.º 26

Determine a qué altura de la Tierra debe ubicarse un satélite para que la región visible sea 1/3 de la superficie terrestre; considere que el radio de la Tierra es R.

A) 1

2R B) R C)

3

2R

D) 2R E) 3R

16


RESOLUCIÓN

Tema: Esfera (superficie)Dato

• A Aregiónvisible

superficieTierra

= ( )1

3

• R: radio de la Tierra.

Por dato

2

1

34 2π πRh R= ( )

h

R=2

3satélite

R

R

R3R3

x

h=2R3

Región

visiblecasqueteesférico( )

Luego, se observa que

R

R3R3

R+x

Por relaciones métricas en el triángulo rectángulo

R

RR x2

3= +( ).

∴ x=2R

Respuesta: 2R

PREGUNTA N.º 27

En el arco BC de una circunferencia circunscrita a un octógono regular ABCDEFGH, se ubica un punto P,

tal que PC=1 m y PE=4 2 m. Calcule la longitud del radio de la circunferencia (en m).

A) 2

2 B)

3 2

2 C)

5 2

2

D) 7 2

2 E)

9 2

2

RESOLUCIÓN

Tema: Polígonos regularesNos piden R (longitud del radio de la circunferencia)

Datos:• PC=1

• PE = 4 2

OA

H

B

PC

D

E

F

R

R

R

G

45°1

3

45

24

L

Sea O centro de la circunferencia.

Se debe tener en cuenta que el octógono regular determina arcos de 90° sobre cada lado.

Trazamos EL ^ PC��

, en el PLE notable de 45°→ PL=LE=4


17


PREGUNTA N.º 28

En un trapecio circunscriptible ABCD, isósceles, AB // CD, cuyo perímetro es 20 cm. Las bisectrices exteriores por B y C se intersecan en P, y las bisec-trices interiores de B y C en Q. Calcule PQ (en cm).

A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25

Se observa que PCQB es un rectángulo, entonces PQ=CB=

Por teorema de Pithot CD+AB= + =2

Del dato

perímetro

de ABCDCD AB= + + + =

2

20

� ��

4=20 → =5

∴ PQ=5

Respuesta: 5

Luego, en el CLE notable de 37° y 53°, CE=5.

Finalmente, en el COE notable de 45°

R 2 5=

∴ R=5 2

2

Respuesta: 5 2

2

RESOLUCIÓN

Tema: Teorema de PithotPiden PQ.

Dato: perímetro de ABCD es 20

Q

D

A B

C

P

θθ

θθ

α

αα

α

PREGUNTA N.º 29

En la figura se tiene BC=2,5 cm y el radio de la circunferencia mostrada es de 5 cm. Halle el área del trapecio isósceles ABCD en cm2, siendo A y B puntos de tangencia.

B

CD

A

O

A) 13 B) 14 C) 15D) 16 E) 17

18


RESOLUCIÓN

Tema: Áreas de regiones cuadrangularesNos piden A ABCD

Por dato: ABCD es un trapecio isósceles, BC=2,5 cm y el

radio es 5 cm.

B

CD

A

O

2,5

2,5 2,5

2,54 4 37°

5

53

2

53°2

53°2

Hallamos el área de la región ABCD.

A ABCD =5 8

22

+

⋅

∴ A ABCD =13

Respuesta: 13

RESOLUCIÓN

Tema: Polígonos regulares

Nos piden RP.

Observación

52

10 2 5= −R

: longitud del lado del pentágono regular en

función del circunradio.

10 5

6

6

42°

18°

36°

60°R O C

N

M

P

k k

R=k

18°k

• OMN es equilátero.

→ MN= 6=k

• RMO es triángulo elemental del pentágono

regular RM= 10.

• En el RMP

RM= 10; MP= 6

→ RP= 5

∴ RPk

= −2

10 20

Respuesta: k

210 20−

PREGUNTA N.º 30

En la figura, O es el centro de la semicircunferencia. Además, P y N son puntos de tangencia. Calcule PR.

42°

18°R O

N

PK

A) k

210 20− B)

k

310 20−

C) k

215 20−

D) k

415 20− E)

k

210 20+


19


PREGUNTA N.º 31

Se tiene una pirámide cuadrangular O-ABCD,

cuya base ABCD es un rombo, OA=OC=8 m,

OD=OB=5 m. Sabiendo que el perímetro de su base

ABCD toma su máximo valor entero par, calcule el

área (en m2) de su superficie lateral.

A) 18 11 B) 20 11 C) 22 11

D) 24 11 E) 26 11

RESOLUCIÓN

Tema: PirámideNos piden ASL.

=9

=9

558

8

O

C

D

B

bMa

A

Se observa que

a < 8 → a2 < 64

b < 5 → b2 < 25

a2+b2 < 89

2 < 89

4 < 37,73

Por condición del problema, nos dicen que 4 debe tomar su mayor valor entero par. 4=36→ =9

Calculamos el área de una cara lateral por la fórmula de Herón.

P AOD =+ +

=8 5 9

211

A AOD = ( )( )( ) =11 2 3 6 6 11

∴ ASL = ( )=4 6 11 24 11

Respuesta: 24 11

PREGUNTA N.º 32

Un cilindro de revolución está inscrito en un cono de revolución, de modo que una de las bases del cilindro está sobre la base del cono. Si el volumen del cono es 18 m3, calcule el volumen del cono parcial determinado (en cm3), sabiendo que el volumen del

cilindro es 3

7 del volumen del tronco de cono.

A) 3

4 B)

5

4 C)

7

4

D) 9

4 E)

11

4

RESOLUCIÓN

Tema: Tronco de conoNos piden Vx.

Vx: volumen del cono parcial

Vcono total=18 m3

Vx

h

R

r

Por dato:

V Vcilindro tronco de cono

=( )

3

7

20


PREGUNTA N.º 33

En la figura mostrada, se tiene una circunferencia trigonométrica donde PQ es tangente a la circunfe-rencia en P. Calcule el área del trapecio OMPQ en función de θ.

P M

OQ

θ

A) sen

cos secθ

θ θ( )

( )+ ( )( )2

B) cos

cos secθ

θ θ( )

( )+ ( )( )2

RESOLUCIÓN

Tema: Circunferencia trigonométricaS: área del trapecio OMPQ

P M

X

Y

OQ

θ

–secθ

senθ

–cosθ

S=− + −( )( )

×cos sec

senθ θ

θ2

S= − ( )+ ( )( )sencos sec

θθ θ

2

Respuesta: −( )

( )+ ( )( )sencos sec

θθ θ

2

ππ

r hh

R r Rr2 2 23

7 3= + +( )

7r2=R2+ r2+Rr

R2+Rr – 6r2=0R 3r

R –2r

→ R=2r

Luego, por relación de semejanza de conos

V

V

Vx x r

rconototal

= = =18 2

1

8

3

3( )

∴ Vx =9

4

Respuesta: 9

4

PREGUNTA N.º 34

En un triángulo ABC, bc = +8 4 2 2 2 u y

sen cos6 6 5

8 4A A A( )+ ( )= <

π

Calcule el área de la región triangular (en u2).

A) 2 B) 4 C) 6

D) 8 E) 10

C) −( )

( )+ ( )( )cossen csc

θθ θ

2

D) −( )

( )− ( )( )sencos sec

θθ θ

2

E) −( )

( )+ ( )( )sencos sec

θθ θ

2


21


RESOLUCIÓN

Tema: Resolución de triángulos oblicuángulosCondición

bc = +8 4 2 2 (I)

Además

sen cos6 6 5

8A A+ =

→ 5

8

3

84

5

8+ = →cos A cos4A=90°

A=

45

2

°

2

45

21 452sen cos

°°= −

2

45

21

2

2

2sen°= −

→ sen45

2

2 2

2

°=

−

S: Área de la región triangular ABC.

S=

bcA

2sen

S=

+( )×

−8 4 2 2

2

2 2

2

∴ S=4

Respuesta: 4

PREGUNTA N.º 35

Sean las funciones

g(x)=2arctan(x); x ∈ [–1; 1]

h(x)=arcsen(x); x ∈ [–1; 1]

Determine el número de elementos (la cardinalidad) de

S x g x h x= ∈ −[ ] ( )= ( ){ }1 1;

A) 6 B) 4 C) 3D) 1 E) 0

RESOLUCIÓN

Tema: Funciones trigonométricas inversasPiden el número de elementos cuando g(x)=h(x) para x ∈ [–1; 1]. Para ello graficamos las funciones.

Si x ∈ [–1; 1]→ –1 ≤ x ≤ 1 arctan(–1) ≤ arctan(x) ≤ arctan(1)

∴ 2arctan(–1) ≤ 2arctan(x) ≤ 2arctan(1)

h(x)

=arcsenx

Y

X

g(x)

=2arctanx

1

1

–1

Se observa que h(x) ≠ g(x) para x ∈ [–1; 1].

Por lo tanto, la cantidad de elementos es 0.

Respuesta: 0

PREGUNTA N.º 36

Sean A, B, C constantes y f: R → R dada porf(x)=Asen(x)+Bcos(x)+Csen(x)cos(x)cuya gráfica parcial se muestra a continuación:

4

p2

p

222

1+

–1

2

X

Y

Calcule A+B+C.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

22


RESOLUCIÓN

Tema: Funciones trigonométricas directas f(x)=Asenx+Bcosx+Csenx cosx

Del gráfico tenemos que

• (0; 2) ∈ f : 2=Asen0+Bcos(0)+C(sen0)(cos0)→ B=2

• π2

1; −

∈ f :

− = + +

1

2 2 2 2A B Csen cos sen cos

π π π π

→ A= –1

• π4

1

2

2

2; +

∈ f :

1

2

2

2 4 4 4 4+ = + +

A B Csen cos sen cos

π π π π

1

2

2

2

2

2

2 2

2

1

2+ = − + +

C

→ C=1

∴ A+B+C=2

Respuesta: 2

PREGUNTA N.º 37

En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado. Si BD corta a la circunferencia inscrita en P y Q es punto de tangencia, calcule tan(θ).

A D

B C

P

Q

θ

RESOLUCIÓN

Tema: Identidades de ángulos compuestos

245°

A D

B C

P

Q

θ

53°/2

45°

Del gráfico

θ+°= °+

°45

245

53

2

θ=°+

°45

2

53

2

tanθ=°+

°

=

−( )+

− −( )tan

45

2

53

2

2 11

2

1 2 11

2

tanθ=−( )

−( )+( )

+( )

2 2 1

3 2

3 2

3 2

∴ tanθ=+5 2 1

7

Respuesta: 5 2 1

7

+

PREGUNTA N.º 38

Un terreno tiene la forma de un sector circular y su perímetro mide 1500 m. ¿Cuál es la medida del radio (en m) del sector circular, sabiendo que el área de este es la mayor posible?

A) 175 B) 225 C) 275D) 375 E) 475

A) 2 2 1

5

− B)

3 2 1

3

− C) 5 2 1

7

+

D) 2 2 1

4

+ E) 3 2 1

5

+


23


RESOLUCIÓN

Tema: Área de un sector circular

r

r

Condición: 2r+ =1500S: área del sector circularS: máximo

S S= → = −( )r r

r2 2

1500 2

S=( ) −( )2 1500 2

2

r r

Observación

S es máximo si 2r =1500 – 2r

∴ r=375

Respuesta: 375

PREGUNTA N.º 39

La ecuación cuadrática

2x2+4xy+5y2 – 6y+3=0 representa

A) una elipse.B) una circunferencia.C) una hipérbola.D) una recta.E) un punto.

RESOLUCIÓN

Tema: Secciones cónicas

2x2+4xy+5y2 – 6y+3=0

2 2 3 6 3 02 2 2x xy y y y+ +( )+ − + =

2 3 2 1 02 2x y y y+( ) + − +( )=

2(x+y)2+3(y–1)2=0

Luego x+y=0 ∧ y –1=0→ (x; y)= (–1; 1)

Por lo tanto, la ecuación cuadrática representa un punto.

Respuesta: un punto.

PREGUNTA N.º 40

Para x∈ −

π π

2 2; determine el conjunto solución

de la ecuación

sec(x)(2sen(x)+1) – 4sen(x) – 2=0

Dé como respuesta la suma de los elementos de ese conjunto.

A) −π

6 B)

p6

C) p3

D) 2

3

p E) p

RESOLUCIÓN

Tema: Ecuaciones trigonométricas secx(2senx+1)–4senx–2=0

secx(2senx+1)–2(2senx+1)=0

(2senx+1)(secx–2)=0

Donde

− ≤ ≤π π

2 2x

• 2senx+1=0 → sen x = −1

2

x16

= −π

• secx–2=0

cos x x= → = −1

2 32

π

x3 3=π

Por lo tanto, la suma de soluciones es −π

6.

Respuesta: −π

6

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