Examen de Admisión de Matemática - unsam.edu.ar Matematica CPU 2013.pdf · Examen de Admisión de Matemática PROGRAMA ANALÍTICO ... Reducción al primer cuadrante. Ecuaciones

1

Examen de Admisión de Matemática PROGRAMA ANALÍTICO

• Unidad 1: Revisión de las operaciones con números racionales. Potenciación y

radicación de números racionales. Números Irracionales. Números reales. Operaciones

con números reales. Representación en la recta numérica. Intervalos reales. Notación.

Unión, intersección y diferencia de intervalos. Resolución de ecuaciones, inecuaciones

y situaciones problemáticas. Representación de puntos en el plano.

• Unidad 2: Funciones. Concepto de función, dominio, codominio e imagen.

Representaciones gráficas de funciones elementales. Conjunto de ceros, conjunto de

positividad y negatividad de una función. Intervalos de crecimiento y de

decrecimiento de una función, puntos máximos y puntos mínimos. Cálculo de

imágenes y preimágenes. Modelización de situaciones.

• Unidad 3: Función lineal. Representación gráfica. Rectas paralelas y perpendiculares.

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Representación gráfica.

Clasificación de sistemas. Intersección de rectas en el plano. Problemas de

modelización.

• Unidad 4: Función cuadrática. Representación gráfica. Dominio, Imagen, intervalos

de crecimiento y decrecimiento, positividad, negatividad. Parábola, vértice, eje de

simetría, concavidad. Ecuación cuadrática. Intersección de recta y parábola.

Intersección de parábolas. Funciones definidas por tramos. Problemas de

modelización.

• Unidad 5: Trigonometría. Circunferencia trigonométrica: definición de seno, coseno y

tangente. Reducción al primer cuadrante. Ecuaciones simples. Problemas de

modelización.

• Unidad 6: Vectores. Definición. Vectores en el plano. Coordenadas. Suma de

vectores, producto de un vector por un escalar. Proyecciones. Producto escalar.

Módulo de un vector. Ángulo entre dos vectores. Paralelismo y ortogonalidad.

Aplicaciones.

2

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

• Miguel Guzmán y otros. Matemática C.O.U.. Editorial Anaya.

• Seveso de Larotonda, Julia y otros. Matemática 9 EGB. ED. Kapelusz.

• Seveso de Larotonda, Julia y otros. Matemática 8. ED. Kapelusz.

• Laurito, Liliana y otros. Matemática 9. EGB. ED. Puerto de Palos.

• Silvia Altman y otros. Matemática/Polimodal. Vectores. Longseller. Buenos Aires,

2003.

• Miguel Guzman , J. Colera , A. Salvador. Matemática Bachillerato 1, 2, 3. Editorial

Anaya.

• Kaczor, Pablo y otros. Matemática I-Polimodal. Editorial Estrada.

ECyT – UNSAM Matemática – CPU

Módulo 1 Números reales – Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta y el plano.

1

MATEMÁTICA – CPU MÓDULO 1

Números reales. Ecuaciones e inecuaciones. Representaciones en la recta y en el plano.

1. Marcar con una cruz los conjuntos a los cuales pertenecen los siguientes números:

2 8− 0,25 0 32−

321,− ( )25−

25− 16 3 8− 5 5− π 3,14

N Z Q R

2. En cada caso, unir con una flecha cada expresión con su resultado correspondiente.

a) =+−+−+−− 614725412 9 ( ) ( ) =+−+−−+−− 614725412 25

( )[ ] =+−+−−+−− 614725412 7 ( ) ( ) =+−+−−+−− 614725412 5

b) 6 . 5 – 2 : 2 + 1 = 28 6 . (5 – 2) : (2 + 1) = 30 6 . 5 – (2 : 2 + 1) = 25

6 . ( 5 – 2 : 2) + 1 = 6 3. Completar el cuadro con los símbolos de las operaciones “+”, “–”, “.” ó “:” y con los números que

faltan en los casilleros que corresponda, para que se cumplan las igualdades. 4. Colocar, en cada caso, un paréntesis donde sea necesario para que dé el resultado indicado.

a) 6 . 2 + 6 : 2 + 1 = 25

b) 6 . 2 + 6 : 2 + 1 = 14

c) 6 . 2 + 6 : 2 + 1 = 31

5. Calcular:

a) ( ) ( ) =−++−+− 0022 7777 b) =+−+−−−− 2:105)51(324 2223

c) =−+−−+−−− 233632 ])1[()3(:)3()2)(2()2( d) ( )( ) =− 02941272 5555555 .:.:

e) =−−+−−− 3 25 64 3 )4()4()2(:)2(2.2

14 – : 4 = 8 – + : 1 = 6 : + . – 2 + 4 . = = = = = 12 – 16 2 = 4



2

6. a) Completar la tabla.

Fracción irreducible Otra fracción equivalente Expresión decimal 24/15 -3,2

2/3 -22/10

b) De los siguientes números, -3/2; 5/3; -2/-3; 8/9; -0,27; -2; -1/2, indicar cuáles son:

i. menores que 0. ii. mayores que 0 y menores que 1. iii. mayores que 1. iv. menores que -1. 7. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F).

Marcar con una X en el casillero correspondiente. V F

El opuesto de 32

−− es

32 .

El opuesto de 32− es

32 .

La fracción irreducible de 30

125 es 3

512,

3512

30125 ,=

3131 =,

101331 =,

71075 ,=

33031 ,≅ ( 330 a igual menteaproximada es

31 , )

El opuesto de 32−b es b−

32

El opuesto de 32−b es b+−

32

8. Calcular y expresar el resultado como una fracción irreducible.

a) =

+−

251

32

54 : b) =

−

+−+

−

−

54

312

43

21

54

23

32 .:.

c) =

453

d) =453

e) =−

−+

−

412

123

43

211

9. De un dinero se gastó la mitad, luego la mitad de lo que quedaba, y por último las dos terceras partes

del resto. ¿Qué parte sobró?



3

10. Indicar cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas (V) o falsas (F).

aaaaaa67

37

25

315

3355

3=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅ c)b)a)

133

313

3 7

979

7+=++=+⋅=⋅ aaaaaa f)e)d)

11. Resolver las siguientes ecuaciones en R. Hallar el conjunto solución.

a) xx 2754 +=− b) xx +=− 425 c) ( ) xxx 46323 −=−−− d) xx 215

63=+

−

e) ( ) ( ) x:xx +−−=−+ 242483 f) ( )10215

232 +=+− xxx g) xxx =−−

42

43

12. a) – Soy adivino− le dijo Juancito a su hermano Miguel.

− No te creo − le contesta Miguel. − Hagamos la prueba. Pensá un número,

sumale cinco, multiplicá el resultado por 2, al nuevo resultado sumale 10, y a lo que te dio restale el doble del número que pensaste. − El número que obtuviste es 20 − dice Juancito muy concentrado. Miguel después de pensar un rato, le dice: − ¡Ya sé como hiciste! Tratar de descubrir que pudo haber pensado Miguel.

b) Nicolás: Diego tiene pocas figuritas, las que tengo yo superan en 5 al triple de las que él tiene. Fabián: Sí, tiene pocas, yo tengo el triple de: todas las que tiene más 5.

Diego: Ustedes dos tienen la misma cantidad de figuritas. Nicolás: ¡No, no puede ser! Tratar de averiguar quién tiene razón.

13. Encontrar el valor de k si se sabe que 21−=x es la solución de la ecuación ( )x

kx −=− 2654 .

14. En cada caso, extraer el factor común indicado.

a) aa312 2 − .

i. el factor a. ii. el factor 2a. iii. el factor a− .

b) 23

34

916

94 bbb ++− .

i. el factor b34 . ii. el factor 1− .

15. a) Desarrollar y reducir a la mínima expresión posible.

i. ( )23+a ii. 2

42

−x iii. ( )25yx + iv. ( )( )55 +− xx

v.

−

+

33baba vi.

+

+

33baba vii. ( )25

32

32

94 −−

+

−+ ccc

b) Escribir como producto de dos factores.

i. 92 −x ii. 4252 −a iii. 44 −x iv. bb 44 − v. 22 2 baba ++



4

16. Si se sabe que ( ) 584 =++ qp , calcular: a) ( ) =+ qp2 b) ( ) =+− qp105 c) =++ 733 qp d) ( ) ( ) =++−− qpqp 4265

17. Para calcular el volumen de la pirámide trunca de base cuadrada, los babilonios utilizaban la fórmula

−+

+=

22

231

2babahV mientras que los egipcios utilizaban la fórmula )abba(hV ++= 22

31 .

En ambos casos, h simboliza la altura de la pirámide, a simboliza el lado del cuadrado mayor y b simboliza el lado del cuadrado menor. ¿Son ambas fórmulas equivalentes?

18. Encerrar con un círculo del mismo color las expresiones equivalentes:

a) ( ) ( ) .;;,;,;;;,;,;;22

22222

2222

21

21505022

215050

21

21 −−

−−−

−

−−−

−−

−

b) ( )222 −xy ; 4

24−yx ; 4

22yx ; ( ) 2212 y:xy− ; 4

24yx .

19. El perímetro de un cuadrado es a34 .

a) Marcar con una X la o las expresiones que les permiten calcular el área del cuadrado.

9

9

3

3

222 aaaa

b) Si el área del cuadrado es 4cm2, ¿cuántos centímetros mide su perímetro? 20. Calcular y escribir el resultado como una fracción irreducible.

a) =+

−+

+

−

−2

222

331

31

31 b) =

−

−+

−−

−

232

23

43

231

212

51 :.

c) =

−−+

−

3

2

871

51

2516 . d) =

−+

−

− 08

27

21

175

49822

21. Completar con "" o "" ≠= .

a) 94

41 + ….

94

41 + , 1

25169 − …. 1

25169 − , ba + …. ba + (a,b > 0)

b) 94

425 . ….

94

425 . ,

94

41 : ….

94

41 : ,

94

41 : ….

31 , b.a …. b.a (a,b ≥ 0)

c) 8 …. 22 , 3

3 …. 33 ,

31 ….

33

22. Operar, si es necesario racionalizar, y dejarlo expresado con la menor cantidad de términos posible.

No aproximar.

a) =+− 221223 b) =++−−− 7512331227

c) =−+− 333

333 216

21639 d) =

+ 321



5

e) =+−+−−

2212

213

321 f) ( ) ( )=−−+ 5323

2

g) ( ) ( ) ( )=+++−− 5152212353222

23. Resolver las siguientes ecuaciones. a) 11252 =−x b) ( )( )1153 2 +−=− xxx c) ( ) 17532 2 =−+− x

d) ( ) 2113 2 =+−x e) ( ) 55

2322

=+x f)

43129

21 3

−−=−

−x

g) 03

292 2

=−x

h) 0)32)(1( =+− xx i) ( )( ) 022 22 =−− xx j) 023 23 =− xx

k) 043 =+ xx l) xx 45 2 = m) 5252

2−=

−x n) 75

7572 +=

−+

x

ñ) )2(:101 −−=−x o) 36 =+x p) 23 5 =+ x

q) ( ) 03 =+ xx r) 052 =

+−

xx s) 0

392

=−−

xx

24. Proponer una ecuación que describa la situación planteada y resolverla.

a) Los dos quintos de un número más 5 unidades da por resultado la mitad del dicho número. ¿Cuál es el número? b) El perímetro de un rectángulo cuya base es el triple de la altura es de 72cm. Calcular el área del rectángulo. c) El área de un rectángulo cuya base es el doble de la altura, es de 24cm2 . Calcular su perímetro. d) El perímetro de un triángulo isósceles es 20cm y los lados distintos miden (x + 8)cm y (2x – 4)cm respectivamente. ¿Cuáles son los posibles valores de los lados? Recordar: En un triángulo isósceles dos de sus lados tienen la misma medida. e) Juan gastó 2/3 de sus ahorros en libros y con el resto compró ropa por $180. ¿A cuánto ascendían los ahorros de Juan?

25. Representar en la recta numérica: a) Los números racionales 3, -2, 1/2, 3/4, -3/2, -9/4, -1/8 y 25/8.

b) Todos los números reales menores que 2.

c) Todos los números reales mayores o iguales que 1/2.

d) Todos los números reales mayores que -7/2 y menores o iguales que 3.

0 1

0 1

0 1

0 1



6

e) Todos los números reales mayores que 1 ó menores que 0.

f) Todos los Rx ∈ tales que 32 ≤≤− x .

g) Todos los Rx ∈ tales que 03 <<− x .

26. Representar en la recta numérica los conjuntos ( )43,A −= y ( ]61,B = y escribir como un intervalo o

como unión de intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos:

i. BA ∩ ii. BA ∪ iii. BA − iv. AB − 27. Ídem 26. para:

a) ( )2,A ∞−= y

−= 1

21 ,B b) [ ]30,A = y [ )+∞= ,B 3

c) [ )30,A = y [ )+∞= ,B 3 d) ( )

∪∞−= 5251 ,,A y ( ]70,B =

28. Dados { }053 ≥−∈= xx/RxA y { }64 <≤−∈= x/RxB , completar con “∈” o “∉” en cada caso:

a) 0 …. A b) 2 …. A c) –1…. A d) 0 …. B e) –5 …. B f) 2 …. B g) –4 …. B h) 6…. B

i) 0 …. BA ∩ j) 2 …. BA ∩ k) 2 …. BA ∪ l) 2 …. AB −

29. Resolver las siguientes inecuaciones y expresar las soluciones como un intervalo o unión de intervalos.

a) 1383 >−x b) 1422 ≤+− x c) )3(252)4(3 xxx −−≥−−

d) 322

12

5 +−≤+− xxx e) xxx >−−2

42

3 f) 123

+≥− xxx

30. a) Dados { }142 >−∈= x/RxA y { }xx/RxB +−≥+−∈= 2103 , representar en la recta y escribir

como un intervalo o como unión de intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos: i. A ii. B iii. BA ∩ iv. BA ∪ v. BA −

b) Ídem a) para ( ){ }4254 +≥+−∈= xx/RxA y ( ){ }1042 −<−−∈= x/RxB .

31. a) Hallar todos los Rb∈ de manera que x = 1 satisfaga 23 >+− bx . b) Hallar todos los Ra ∈ de manera que x =2 no satisfaga 132 ≥+ ax . c) Hallar el valor de p para que 2/3 sea la menor solución de la inecuación 12 ≥− px .

32. Representar en el plano ( )2R ,

a) los puntos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−==−=

=−=−==

2100322

27

27122132 ,V;,U;,T;,S;,R;,Q;,P .

0 1

0 1

0 1



7

b) todos los puntos que tienen: i. abscisa 3. ii. ordenada 1. iii. abscisa –1 y ordenada 2.

iv. abscisa mayor o igual a 1/2. v. abscisa menor que 2 y ordenada mayor o igual a 0. vi. abscisa y ordenada iguales.

c) los siguientes conjuntos: i. ( ){ }22 =∈= x/Ry,xA ii. ( ){ }12 −=∈= y/Ry,xB

iii. ( ){ }132 −=≤∈= y;x/Ry,xC iv. ( ){ }322 ≤<−∈= x/Ry,xD

v. ( ){ }122 >=∈= y;x/Ry,xE vi. ( ){ }33412 ≤<−≤≤−∈= y;x/Ry,xF

Más ejercicios... 33. Colocar los signos “+”, “–”, “.” ó “:” que correspondan para que se cumplan las igualdades.

Puede haber más de una posibilidad. a) 3 .... 3 .... 3 .... 3 = 0 b) 3 .... 3 .... 3 .... 3 = 1 c) 3 .... 3 .... 3 .... 3 = 2 d) 3 .... 3 .... 3 .... 3 = 3

34. Si se sabe que 5=ab y 27=bc , calcular:

a) ( )acb − b) cab26 c) c/a d) 12 −ca

35. Marcar con una X la o las expresiones que representan:

a) los 3/8 del perímetro del rectángulo.

a83 a.8

83 a3 a.3

83

83

b) los 5/6 del área del rectángulo.

25 23

65 a. 24

65 a. a.6

65 2

25 a

c) Si el perímetro del rectángulo es 24cm, cuál es su área?

36. ¿Para qué valores de Rx ∈ la expresión ( )2411

21

21 −

+−

− xxx

a) da 0? b) da lo mismo que la expresión 24 x− ? c) da lo mismo que la expresión 22 xx − ? d) da lo mismo que 72 2 +− xx ?

37. a) Hallar un número real sabiendo que la raíz cúbica del cuadrado de dicho número es

igual a 0,25 aumentado en 2. ¿Cuántos hay? b) El cubo de la diferencia entre las dos terceras partes de un número real y 3 es igual al opuesto de 1/27. ¿De qué número se trata?

38. Los números 347347 −++=a y 324324 +−−=b son números enteros, sin usar calculadora averiguar cuáles son. Ayuda: elevarlos al cuadrado y observar que pasa.

a

3a



8

b) 6 . 5 – 2 : 2 + 1 = 28 6 . (5 – 2) : (2 + 1) = 30 6 . 5 – (2 : 2 + 1) = 25 6 . ( 5 – 2 : 2) + 1 = 6

39. Resolver las siguientes ecuaciones.

a) ( ) ( )3132103 −+−=− :x b) 5212

=++x c) ( ) 2752

2−−=+x

d) ( )4231318 2 −=−−x e) 2

35

21)12(12

43

−+=+−+ x f) 0

314

=−x

x

g) 033

2

=−−

xxx h) 012 =+xx i) 062 =−xx

j) xxx 21 =− k) 0213)12( 2 =++ xx l)

5253522

++=+

x

40. Sean los conjuntos [ )32,A −= y ( ){ }1052 <−−∈= x/RxB .

a) Escribir como un intervalo o como unión de intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos: i. BA ∩ ii. BA ∪ iii. BA −

b) Hallar un número real w tal que BAw ∪∈ y BAw ∩∉ . c) Hallar un número real z tal que Az ∈ y Az ∉2 .

41. En cada caso, encontrar todos los 2RA∈ si se sabe que: a) tiene abscisa 3 y está sobre el eje x b) la distancia al origen de coordenadas es 7 y está sobre el eje y.

Respuestas 1.

2 8− 0,25 0 32−

321,− ( )25−

25− 16 3 8− 5 5− π 3,14

N X X X Z X X X X X X X Q X X X X X X X X X X X R X X X X X X X X X X X X X X

2. a) =+−+−+−− 614725412 9

( ) ( ) =+−+−−+−− 614725412 25 ( )[ ] =+−+−−+−− 614725412 7 ( ) ( ) =+−+−−+−− 614725412 5 3.

4. a) 6 . ( 2 + 6 ) : 2 + 1 = 25 b) 6 . 2 + 6 : ( 2 + 1 ) = 14 c) 6 . ( 2 + 6 : 2 ) + 1 = 31 5. a) 2 b) –53 c) 38 d) 0 e) 0

14 – 24 : 4 = 8 – : – + 4 + 2 : 1 = 6 : + . – 2 + 4 . 2 = 10 = = = = 12 – 16 : 2 = 4



9

6. a)

b) i. -3/2; -0,27; -2; -1/2. ii. -2/-3; 8/9. iii. 5/3 iv. -3/2; -2. 7. F, V, F, V, F, V, F, V, V, F. 8. a) 2/15 b) 1 c) 12/5 d) 3/20 e) 20/21 9. 1/12 10. a) V b) V c) V d) F e) F f) V

11. a) { }6=S b)

=

31S c) { }21=S d)

−=

71S e) φ=S f) RS = g) { }1=S

12. a) Para cualquier número pensado n, nos quedaría: ( )[ ] nn 21025 −++ , reduciendo esta expresión nos da 20, o sea ( )[ ] 2021025 =−++ nn para cualquier valor de n. b) Nicolás tiene razón. Pues, si a la cantidad de figuritas que tiene Diego la llamamos d, entonces la cantidad de figuritas que tiene Nicolás está dada por la expresión 53 +d y la que tiene Fabián por ( )53 +d. . Si los dos tuvieran la misma cantidad de figuritas, tendría que existir un valor de d para el cual ( )5353 +=+ d.d , si queremos resolver esta ecuación nos queda: 15515353 =⇔+=+ dd , lo que es un absurdo. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución. 13. 101 /k −=

14. a) i.

−

312aa ii.

−

612 aa iii.

+−−

312aa

b) i.

++− bbb 2

34

31

34 ii.

−−− 23

34

916

941 bbb .

15. a) i. 962 ++ aa ii. 1644

2

+− xx iii. 22 2510 yxyx ++ iv. 252 −x

v. 9

22 ba − vi.

932 2

2 baba ++ vii. 2510 −c

b) Por ej.: i. ( )( )33 −+ xx ii.

−

+

25

25 aa iii. ( )( )22 22 −+ xx iv. ( )43 −bb v. ( )2ba +

16. a) 2/3− b) 25/2 c) 19/4 d) 445 /− 17. Sí, son equivalentes.

18. a) Con un color: ( )222

22

5022150

21 ,;;;,; −

−

− , con otro color: ( )

222

21

2150

−−−

−

− ;;,

y con otro color: .;,; 222

25021 −−−

−

b) Con un color: ( )222 −xy ; 4

24yx , con otro color: 4

22yx ; ( ) 2212 y:xy− .

19. a) 9

; 3

22 aa

b) 8cm.

20. a) 28/3 b) –1/8 c) 5/3 d) 3 21. a) "." ,"" ,"" ≠≠≠ b) ".","" ,"","" =≠== c) ".","","" =≠=

22. a) 225 b) 126 + c) 3 21+ d) 32 +− e) 2 f) 1233 + g) 0

Fracción irreducible Otra fracción equivalente Expresión decimal 8/5 24/15 1,6

-16/5 -32/10 -3,2 2/3 4/6 60

),

-11/5 -22/10 -2,2



10

23. a) { }66;S −= b) { }22 ;S −= c)

=

371;S d) φ=S e) { }11;S −=

f)

=

25S g)

−=

23

23 ;S h)

−= 1

23 ;S i) { }222 ;;S −= j)

=

320;S

k) { }0=S l)

=

540;S m) { }525 −=S n) { }71032 −=S ñ) { }36=S

o) φ=S p) { }1−=S q) { }0=S r) { }2=S s) { }3−=S

24. a) xx215

52

=+ . El número es 50.

b) Una posible ecuación es ( ) 7232 =+ xx . El área es 243cm2. ( 9=x ) c) Una posible ecuación es 242 =x.x . El perímetro es 312 cm. ( 3212 ==x ) d) Una posibilidad sería que ( ) 204282 =−++ xx , en este caso 2=x y por lo tanto un lado mediría 0cm, entonces no se formaría un triángulo.

La otra posibilidad sería que ( ) 204228 =−++ xx , en este caso 4=x , por lo tanto un lado mediría 12cm y los otros dos 4cm, entonces tampoco se formaría un triángulo (en cualquier triángulo siempre la suma de las medidas de dos de sus lados es mayor que la medida del otro lado. ¿Estás de

acuerdo?). Conclusión: No existe un triángulo isósceles que cumpla lo pedido.

e) Una posible ecuación es xx =+18032 . Juan tenía $540 ahorrados.

25. a) b)

c)

d)

e)

f)

g)

26. i. ( )41,BA =∩ ii. ( ]63,BA −=∪ iii. ( ]13,BA −=− iv. [ ]64,AB =−

27. a) i.

−=∩ 1

21 ,BA ii. ( )2,BA ∞−=∪ iii. [ )21

21 ,,BA ∪

∞−=− iv. φ=− AB

b) i. { }3=∩ BA ii. [ )+∞=∪ ,BA 0 iii. [ )30,BA =− iv. ( )+∞=− ,AB 3 c) i. φ=∩ BA ii. [ )+∞=∪ ,BA 0 iii. [ )30,BA =− iv. [ )+∞=− ,AB 3

d) i. ( )

∪=∩ 52510 ,,BA ii. ( ]7,BA ∞−=∪ iii. ( ]0,BA ∞−=− iv. [ ]75

251 ,,AB ∪

=−

0 1

0 1 2

0 1 1/2

0 1 3 -7/2

0 1 -2 3

0 1 -3

3 1 0 1/2 -2 -3/2

3/4 25/8 -1/8 -9/4



11

2

28. a) “∈” b) “∉” c) “∈” d) “∈” e) “∉” f) “∈” g) “∈” h) “∉” i) “∈” j) “∉” k) “∈” l) “∈”

29. a) ( )+∞= ,S 7 b) [ )+∞−= ,S 6 c) ( ]2−∞−= ,S d)

∞−=

87,S e) φ=S f)

−∞−=

56,S

30. a) i.

+∞= ,A

25 ii. ( ]3,B ∞−= iii.

=∩ 3

25 ,BA iv. RBA =∪ v. ( )+∞=− ,BA 3

b) i.

−∞−=

21,A ii. ( )+∞= ,B 9 iii. φ=∩ BA iv. ( )+∞∪

−∞−=∪ ,,BA 9

21

v.

−∞−=−

21,BA

31. a) ( )+∞∈ ,b 5 b) ( )1−∞−∈ ,a c) 31 /p = 32. a) b) i. ii. iii.

iv. v. vi. c) i. ii. iii.

1

P Q

R

S

T

U V

3

1

3

1

2 -1 -1

3

1



12

-1

-3

4

3

iv. v. vi. 33. Por ejemplo: a) 3 – 3 + 3 – 3 = 0 b) 3 – 3 + 3 : 3 = 1

c) 3 : 3 + 3 : 3 = 2 d) 3 . 3 – 3 – 3 = 3 34. a) 23 /− b) 105 c) 710 / d) 57 /

35. a) a.883 ; a3 . b) 23

65 a. ; 2

25 a . c) 18cm2.

36. a) Para 0=x ó 2=x . b) Para 2=x . c) Para cualquier valor de x. d) Para ningún valor de x. 37. a) Hay dos posibilidades, 827 /− ó 827 / b) Del número 4. 38. 4=a y 2−=b . ¿Por qué a no puede ser -4 ni b puede ser 2?

39. a) { }0=S b) { }16=S c) φ=S d)

−=

25

25 ;S e)

−=

21S f)

=

41S

g) { }0=S h)

−= 0

21 ;S i) { }3=S j) { }03;S −= k)

−−=

216;S l) { }1−=S

40. a) i. ( )30,BA =∩ ii. [ )+∞−=∪ ,BA 2 iii. [ ]02,BA −=− b) Por ejemplo, 4=w . c) Por ejemplo, 25 /z = . 41. a) ( )03,A = b) ( )70 −= ,A ó ( )70,A =

2

1

-2 3


Módulo 2 Funciones – Funciones lineales y cuadráticas 1


Funciones. Funciones lineales y cuadráticas. FUNCIONES

1. Damiana, al irse del parque olvidó de subir a su perro Vicente en la parte trasera de su camioneta. Los gráficos hacen referencia al movimiento de la camioneta y de Vicente, que corre para alcanzarla. a) ¿Cuál es el gráfico que representa el recorrido de Vicente? b) ¿A qué distancia estaba Damiana de Vicente cuando éste

comenzó a correr? c) Vicente, ¿alcanza a subir a la camioneta?

En caso afirmativo, ¿cuánto tiempo y cuántos metros aproximadamente corrió? d) Inventar un gráfico en el que Vicente se vaya cansando y no logre llegar a la camioneta.

2. En la serie Viaje al fondo del mar aparece como una estrella el Sea-View, un súper submarino nuclear

que en su interior lleva otro submarino muy pequeño llamado Aerosub. Éste utiliza como base al submarino estrella y además de transitar bajo el agua, es capaz de volar. Durante una misión de investigación, la tripulación del Sea-View siguió los desplazamientos del pequeño submarino. El gráfico que aparece a continuación muestra la altura h (en metros sobre el nivel del mar) a la que se encuentra el Aerosub en función del tiempo t (en horas). Donde 0t = representa la cero hora del 3 de mayo de 1963.

a) ¿Qué día y a qué hora partió el Aerosub del Sea-View? b) ¿A qué profundidad se encontraba? c) ¿A qué altura se encontraba entre las 19 y 20 horas del 2 de mayo? d) ¿Desde qué hora y día hasta qué hora y día duró la misión? e) ¿Entre qué valores varió la altura del Aerosub? f) ¿Cuándo estuvo sobre el nivel del mar? g) ¿En qué momentos estuvo al nivel del mar? h) ¿En qué intervalos de tiempo estuvo ascendiendo?

distancia al parque (m)

tiempo(seg)

25

15

2 4 6 8 10 12 t (horas) -8 -6 -4 -2 0

100

50

-50

-100

-150

h(t) (metros)



i) ¿Cuánto tiempo pasaron los tripulantes estudiando un banco de coral que se encuentra a 50 metros de profundidad? ¿Entre que horas sucedió?

j) Las respuestas a las preguntas d), e), f), g) y h),¿qué representan de la función h? (Por ejemplo: imagen, dominio, conjunto de positividad, etc.) Explicitar cada uno de ellos.

3. ¿Cuáles de los siguientes gráficos corresponden a una función?

a) b) c)

d) e) f) 4. En cada caso, está representado el gráfico de una función RRf →: , determinar:

• ceros, { }0)(/0 =∈= xfDomfxC ,

• conjunto de positividad, { }0)(/ >∈=+ xfDomfxC ,

• conjunto de negatividad, { }0)(/ <∈=− xfDomfxC , • intervalos de crecimiento, • intervalos de decrecimiento, • imagen de f.

a) b)

c)

Observando el gráfico c) calcular ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1y 0234 ff,f,f,f −−− .

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

2 -12 4 8

10

6 -6

3

-3

-3 -5

4

2 1

-2

-1 -7

3

5 3 -4 -2 -6

5

-3 -5

3

2 1

-2

-1 -4 -2



5. Sea 162)(

−−

=xxxf .

a) Calcular, si es posible ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1y 1032 ff,f,f,f − . b) En cada caso, encontrar, si existe, x tal que:

i. 1)( =xf ii. 0)( =xf iii. 2)( =xf iv. 3)( =xf c) Marcar cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos (V) y cuáles falsos (F):

fImfImfImfIm

DomfDomfDomfDomf∉∉∈∈∉−∉∈∈

3 )(1 )(2 )(01 1 1 2

d) ¿Cuáles son los puntos de corte del gráfico de f con los ejes coordenados? e) Hallar h y k para que los puntos ( )h,2 y ( )1,k pertenezcan al gráfico de f.

6. Para cada una de las siguientes funciones calcular su dominio y, si existen, los puntos de intersección

con los ejes.

a) ( ) 13 −= xxf b) ( )82

32 +−

=x

xf c) 12)( 2 +

−=

xxxf

d) ( ) 42 += xxf e) ( )93

5+−

+=

xxxf

FUNCIÓN LINEAL 7. En cada caso, hallar la función lineal f que cumpla lo pedido, hacer el gráfico correspondiente y

encontrar la pendiente de la recta determinada por el gráfico de f. a) 3)0( =f y 4)1( =−f b) ( ) 42 =−f y ( ) 21 −=f c) 7)2( =−f y 7)3( =f d) 0)1( =f y el punto ( )3,2 − pertenece al gráfico de f.

8. Sea la recta r de ecuación 32 −= xy . a) Hallar tres puntos de r. b) ¿ ( ) r∈7,5 ? ¿ ( ) r∈− 1,2 ? c) Encontrar k para que:

i. ( ) rk ∈− ,4 ii. ( ) rk ∈2, iii. ( ) rkk ∈− 3,1 d) Hallar los puntos de corte de la recta r con los ejes coordenados.

9. Calcular la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas.

a) 32 −= xy b) 24 += yx c) yx 23 = d) 132

=+yx e) 5=y

10. En cada caso, dar la ecuación de la recta que verifica lo pedido.

a) Pasa por los puntos (1,2) y (-1,3). b) Pasa por el (2,1/2) y es paralela a y = 2x + 5.

c) Es perpendicular a 232

−= xy y pasa por el (-2,-1).

d) Es horizontal y pasa por (2,-5). e) Es vertical y pasa por el punto (2,-3). f) Es perpendicular a la recta 5=y y pasa por el punto (3,8).



11. Probar analíticamente que el triángulos cuyos vértices son A = (1,4), B = (0,2) y C = (2,1) es rectángulo en B.

12. Dados los puntos ( ) ( ) ( )51y 2313 ,C,B,,A −==−= , hallar gráfica y analíticamente la ecuación de la recta que contiene a la altura del triángulo ABC que pasa por A. (Recordar: Una altura de un triángulo es el segmento perpendicular a la recta que contiene a un lado, que pasa por el vértice opuesto)

13. Hallar la ecuación de la recta representada en cada gráfico.

a) b) c)

d) e) f)

14. Hallar k para que los puntos ( ) ( ) ( )32y 1032 −−− k,,,, estén alineados.

15. Graficar y hallar ceros, conjuntos de positividad y de negatividad, intervalos de crecimiento y

decrecimiento e imagen de las siguiente funciones. a) RRf →: dada por ( ) 42 −= xxf b) ( ) R,:f →− 32 dada por ( ) 42 −= xxf c) [ ) R,:f →− 23 dada por 42 −= x)x(f d) RRf →: dada por ( ) 3=xf

e) RRf →: dada por

≥+−<

=2 si 4

2 si )(

xxxx

xf

f) RRf →: dada por

−≥+−−<

=1 si 12

1 si 1 )(

xxx

xf

g) RRf →: dada por ( )( )

−∉−∈−

=3,1 si 3,1 si 2

)(xxx

xf

16. ¿Cuál debe ser el dominio de ( ) 12 += xxf para que su imagen sea el intervalo [ ) 4 ; 0 ? 17. Hallar analítica y gráficamente la intersección entre los siguientes pares de rectas.

a) 2:

1:+−=′

−=xyr

xyr b)

932:12:−=−′

−=+yxr

yxr c)

2:43:

−=′+−=

yrxyr

d) 2

45=′

−=x:r

xy:r e) 724

32−=+−′

=−yx:r

yx:r f)

42623=−′

−=yx:r

xy:r

2

1

7

4

2

5

-3 1 -7/2

3

2

2



18. Proponer un sistema que describa la situación planteada y resolverlo. a) Las entradas para un espectáculo se vendieron a $40 la platea y $27,5 los palcos. Calcular cuántas entradas de cada tipo se vendieron si asistieron 800 personas y los ingresos fueron de $27625. b) El perímetro de un triángulo isósceles es 18,6cm. Si el lado desigual se aumenta en 3 cm, el triángulo obtenido es equilátero ¿Cuál es la longitud de cada lado del triángulo isósceles?

c) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 9. Si se permuta el orden de los dígitos se obtiene el número aumentado en 45 unidades. ¿Cuál es el número?

19. En cada caso, hallar las coordenadas del punto P.

a) b)

20. En cada caso, dibujar los gráficos de las funciones lineales f y g. Representar sobre el eje x el conjunto ( ) ( ){ }xgxf/Rx ≥∈ y escribirlo como un intervalo. a) ( ) 23 += xxf y ( ) 5−=xg b) ( ) 12 +−= xxf y ( ) 25+= xxg

21. Martina se fue de vacaciones con unos amigos y desean alquilar un auto por 10 días. Disponen de dos opciones:

• A: 120 pesos por día. • B: 60 pesos por día más un recargo de 1,5 pesos por km recorrido.

a) Si llamamos ( ) ( )xBxA y , respectivamente, a las funciones de gasto respecto a los km recorridos al cabo de los 10 días, hallar sus expresiones y realizar un gráfico que represente cada opción.

b) ¿Cuántos km deberían recorrer para que el gasto fuera el mismo con cualquiera de las opciones? c) ¿Cuál opción les convendrá elegir si piensan recorre alrededor de 500km?

22. Una escultura de un cierto artista plástico, comprada hoy cuesta $3500 y se sabe que aumenta su valor linealmente con el tiempo, de modo tal que, después de 10 años valdrá $5600. Otra escultura del mismo artista, hoy se vende a $4000 y se estima que dentro de 15 años valdrá $6400. a) Escribir la fórmula del valor V para cada una de las esculturas en función del tiempo ( ( )tV1 y ( )tV2 ). b) Determinar cuál de las dos esculturas aumenta su valor más rápidamente. c) ¿En qué momento el valor de las piezas será el mismo y cuál será dicho valor?

23. a) Dar una ecuación de una recta que pase por el punto (-3,1) y que no se interseque con la recta de ecuación x+3y = 4.

b) Hallar las ecuaciones de dos rectas perpendiculares que se intersequen en el punto (1,2). c) Encontrar la ecuación de la recta paralela a la recta r: y = 3, que pasa por el punto de intersección de las rectas y = –2/3 x + 3 e y = 1/3 x – 9.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

24. En cada caso graficar la función cuadrática f, especificando coordenadas del vértice, eje de simetría y concavidad de la parábola que representa y hallar imagen, ceros, conjuntos de positividad y negatividad e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. a) ( ) 42 xxf −= b) ( ) 32 +−= xxf c) ( ) ( ) 812 2 −+= xxf d) ( ) ( )( )312 −+−= xxxf e) ( ) 562 −+−= xxxf f) ( ) 322 ++= xxxf

3

2 P

rr ′⊥ r ′ r

2

4

P

rr ′⊥ r ′ r



25. Dar la ecuación de una función cuadrática f que verifique lo pedido: a) Sus raíces sean –1 y 5 y el punto (0,10) esté en el gráfico de f. b) Su vértice sea el punto (-1,2) y ( ) 10 =f . c) No tenga raíces reales y el gráfico de f pase por el punto (1,4). d) Sus raíces sean –3 y 1 y su imagen sea el conjunto [ )+∞− ,2 . e) El eje de simetría sea la recta 4=x y los puntos (2,0) y (3,9) están en el gráfico de f. f) ( )0,4−=+C e ( ]5,Im ∞−=f . g) El intervalo de decrecimiento de f es ( )2,∞− , su gráfico pasa por el origen e [ )+∞−= ,fIm 8 .

26. Dada la función cuadrática 22 −−= xx)x(f ,

a) determinar { }4=∈= )x(f/RxD . b) Observando el gráfico de f y al conjunto D, escribir como un intervalo o unión de intervalos a los conjuntos { }4≤∈= )x(f/RxE y { }40 <≤∈= )x(f/RxF .

27. a) Calcular los puntos de intersección de los gráficos de las siguientes funciones y graficar. i. ( ) ( )2 2 2 2 f x x x g x x= − − = − −

ii. ( ) ( ) xxg xx x f23

25

21

21 2 −=+−=

iii. ( ) ( ) ( ) xxgx xxf 2 21 2 =−+=

iv. ( ) ( ) 3 4 22 −+−=−= xxxgxxf

v. ( ) ( ) 4 82 22 +−=+−= xxgxxf

vi. ( ) ( )2 23 2f x x g x x x= − = + −

b) Observando el gráfico en cada caso, hallar el conjunto ( ) ( ){ }xgxf/Rx ≤∈ . c) Para el caso i. encontrar la ecuación de una recta, paralela al gráfico de g y que no corte a la

parábola. 28. a) Hallar las coordenadas del punto A, sabiendo que

la parábola es el gráfico de ( ) 482 ++−= xxxf y el punto V es el vértice de la parábola. b) Hallar los valores de x para los cuales el gráfico de la parábola está por encima del de la recta.

29. Al producir un cantidad x (en miles de toneladas) de cierto producto agropecuario se llegó a la conclusión que, de acuerdo al lugar donde viven y los diferentes gastos que tienen, dos productores reciben ganancias mensuales (en miles de pesos) determinadas por las siguientes funciones: ( ) ( ) 87 2

1 +−−= xxG y ( ) 622 −= xxG . a) Graficar ambas funciones y decidir cuántas toneladas deben producir ambos productores para

obtener la misma ganancia. b) Si los dos producen aproximadamente la misma cantidad de toneladas mensuales, ¿para qué

cantidades tiene más ganancia el primer productor? 30. Graficar las siguientes funciones y encontrar los conjuntos ( )fImC,C,C e0 −+ .

a) 0 si 2

0 si 1

2

>+−≤−

=xx

xx)x( f b)

≥+−

<=

2 si 4 2 si 5

2 xxx

)x(f

V

A



Más ejercicios… 31. Dada la parábola 322 ++= xaxy

a) Hallar el valor de a si se sabe que el eje de simetría es la recta 1x = . b) Para el valor hallado en a) graficar la parábola indicando concavidad, vértice y puntos de

intersección con los ejes. c) Hallar { }3>∈= y/RxA .

32. Sea ( ) 525

+−= xxf .

a) Hallar una función cuadrática g que cumpla: • el conjunto de positividad de f es igual al intervalo de crecimiento de g, • los gráficos de f y g cortan al eje y en el mismo punto, • ( ]9,gIm ∞−= .

b) Hallar el conjunto de negatividad de g. 33. Teniendo en cuenta el dibujo y sabiendo que el gráfico de f es

una recta paralela a la recta de ecuación 2 8x y− = , a) hallar la función lineal f y el conjunto de

los x tal que ( ) ( )f x g x> . b) Determinar la función cuadrática g.

34. Sea la parábola bxxy +−= 42 .

a) Hallar Rb ∈ para que la parábola pase por el punto ( )032 ,− . b) Para el valor de b hallado en a), determinar la ecuación de la recta que pasa por el vértice de la

parábola y es perpendicular a la recta 32 =+ yx .

35. Hallar a, b∈ R para que la imagen de ( ) ( )

≥+<++−

=1 si 4

1 si 1 2

xbxxaxxf sea ( ] [ )2 5; ;−∞ ∪ +∞ .

36. Los sistemas

=−=

bxybxaxyS

2

1 : y

=+−=

bxybxaxyS

2

2 : , con a y b positivos, están representados en

alguno de los gráficos siguientes. ¿Cuál corresponde a cada uno?

1 2 3

4 5 6

5

2

f

g



37. En cada caso, hallar dominio de f y los puntos de corte del gráfico de f con los ejes.

a) 262 xx)x(f −−−= b) 12

1 2

−−

=x

x)x(f c) x

xxf−

+−=124)( 2

38. Sea ( )121

1022 −++

−=

xxxxf .

a) Hallar su dominio. b) Determinar el conjunto de todos los valores de Domfx ∈ para los cuales resulta ( ) 0≤xf .

39. Dada ( )

≥−−<−+

=0 si 20 si 22

xxxxxxf , se pide:

a) Realizar un gráfico aproximado de f y hallar los puntos de intersección con los ejes coordenados. b) Determinar el conjunto de todos los valores de x para los cuales resulta ( ) 1≥xf .

Respuestas 1. a) El segmento de recta. b) 50m c) Sí, recorrió aprox. 75m en 55 seg. d) 2. a) 17h del 2 de mayo. b) 150m bajo el nivel del mar. c) 100m bajo el nivel del mar. d) Desde las 17h del 2 de mayo hasta las

12 del 3 de mayo. e) Entre 150m por debajo del nivel del mar hasta 100m por encima del nivel del mar. f) Entre las 21h del 2 de mayo hasta las la 1 del 3 de mayo y entre las 5 y las 9 del 3 de mayo.

g) A las 21h del 2 de mayo y a la 1, 5 y 9 del 3 de mayo. h) Entre las 17 y las 19, entre las y las 22 del 2 de mayo y entre las 4 y las 6 del 3 de mayo. i) 2 horas, entre las 2 y las 4 de las 3 de mayo. j) d) Dominio de f [ ]127,−= e) Imagen de f [ ]100150,−= f) Ceros de f { }9513 ,,,−= g) Positividad de f ( ) ( )9513 ,, ∪−= h) Intervalos de crecimiento estricto de f: ( )57 −− , , ( )24 −− , y ( )64, . 3. a) No. b) Sí. c) No. d) Sí. e) Sí. f) No. 4. a) { }840120 ,,,C −= , ( ) ( )84012 ,,C ∪−=+ , ( ) ( ) ( )∞+∪∪−∞−=− ,,,C 84012 ,

crece en ( )6−∞− , y en ( )62, , decrece en ( )26,− y en ( )∞+,6 , ( ) ( ]10,fIm ∞−= . b) { }2350 ,,C −−= , ( ) ( ) ( )∞+∪−∪−∞−=+ ,,,C 2135 , ( ) [ )2135 ,,C ∪−−=− ,

crece en ( )04,− y en ( )∞+,1 , decrece en ( )4−∞− , y en ( )12,− , ( ) [ )∞+−= ,fIm 2 . c) { }523570 ,,,,C −−−= , ( ) ( ) ( )521357 ,,,C ∪−∪−−=+ , ( ) ( ) ( ) ( )∞+∪∪−−∪−∞−=− ,,,,C 521357 , crece en ( )6−∞− , , en ( )24 −− , y en ( )31, , decrece en ( )46 −− , , en ( )12,− y en ( )∞+,3 , ( ) ( ] [ )543 ,,fIm ∪∞−= . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 41y 4,50320314 ===−=−−=− ff,f,f,f . 5. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 definido está noy 41600322 ff,f,f,f =−==−= . b) i. 5x = ii. 3=x iii. No existe x. iv. 3−=x

c) fImfImfImfIm

DomfDomfDomfDomf∉∉∈∈∉−∉∈∈

3 )(1 )(2 )(01 1 1 2

d) Punto de corte con el eje x: ( )03, , punto de corte con el eje y: ( )60, . e) 2−=h , 5k = . 6. a) ( ) RfDom = , punto de corte con el eje x: ( )031 , , punto de corte con el eje y: ( )0 1, − . b) ( ) { }22,RfDom −−= , no corta al eje x, punto de corte con el eje y: ( )830, . c) ( ) RfDom = , punto de corte con el eje x: ( )02, , punto de corte con el eje y: ( )20 −, . d) ( ) [ )∞+−= ,fDom 2 , punto de corte con el eje x: ( )02,− , punto de corte con el eje y: ( )20, . e) ( ) ( )3,fDom ∞−= , punto de corte con el eje x: ( )5 0,− , punto de corte con el eje y: ( )0 5 3, .

distancia al parque (m)

tiempo(seg)

25

15

F

V V

V

F

F F

F



7. a) ( ) 3f x x= − + , pendiente: 1m = − b) ( ) xxf 2−= , pendiente: 2−=m c) ( ) 7=xf , pendiente: 0=m d) ( ) 33 +−= xxf , pendiente: 3−=m 8. a) Por ejemplo, ( ) ( ) ( )51y 1130 −−−− ,,,, . b) ( ) r∈7,5 y ( ) r, ∉− 12 . c) i. 11−=k ii. 25=k iii. 5−=k

d) Punto de corte con el eje x: ( )023 , , punto de corte con el eje y: ( )30 −, . 9. a) pendiente: 2=m , ord. al origen: 3−=b . b) pendiente: 41=m , ord. al origen: 21−=b . c) pendiente: 23=m , ord. al origen: 0=b . d) pendiente: 23−=m , ord. al origen: 3=b . e) pendiente: 0=m , ord. al origen: 5=b .

10. a) 25

21

+−= xy b) 272 −= xy c) 4

23

−−= xy d) 5−=y e) 2=x f) 3=x

11. La recta que pasa por A y B tiene pendiente 2=ABm y la recta que pasa por B y C tiene pendiente 21−=BCm . Entonces ( ) 1212 −=−= .m.m BCAB . Por lo tanto las rectas que contienen a los lados

AB y BC son perpendiculares. Luego, el triángulo es rectángulo en B.

12. 332

−= xy

13. a) xy = b) xy21

= c) 723

+−= xy d) 5=y e) 3−=x f) 37

32

+= xy

14. 2−=k . 15. a) b) c) d)

e) f) g)

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y { }20 =C , ( )∞+=+ ,C 2 , ( )2,C ∞−=− ,

crece en todo R , no tiene intervalos de decrecimiento,

( ) RfIm = .

{ }20 =C , ( )32,C =+ , ( )22,C −=− ,

crece en ( )32,− , no tiene intervalos de decrecimiento,

( ) ( )28,fIm −= .

φ=0C , φ=+C , [ )23,C −=− ,

crece en ( )23− , no tiene intervalos de decrecimiento,

( ) [ )010,fIm −= .

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

4

5

x

y

φ=0C , RC =+ , φ=−C ,

crece en todo R, decrece en todo R,

( ) { }3=fIm .

{ }400 ,C = , ( )40,C =+ , ( ) ( )+∞∪∞−=− ,,C 40 ,

crece en ( )2,∞− , decrece ( )+∞,2 ,

( ) ( ]2,fIm ∞−= .

{ }210 =C , ( )21,C ∞−=+ , ( )+∞=− ,C 21 ,

crece en ( )1−∞− , , decrece en ( )1−∞− , y en ( )+∞− ,1 ,

( ) ( ]3,fIm ∞−= .

φ=0C , [ )+∞=+ ,C 3 , ( )3,C ∞−=− , crece en ( )1−∞− , , en ( )31,− y en ( )+∞,3 , decrece en ( )31,− ,

( ) ( ] [ )+∞∪−∞−= ,,fIm 31 .



16. ( )

−=

23

21 ,fDom

17. a) Las rectas se intersecan en el punto ( )2123 , . b) Las rectas se intersecan en el punto ( )13,− . c) Las rectas se intersecan en el punto ( )22 −, . d) Las rectas se intersecan en el punto ( )62, . e) El sistema que resolviste es incompatible. La solución es el conjunto vacío. Las rectas no se cortan, son paralelas. f) El sistema que resolviste es compatible indeterminado pues tiene infinitas soluciones. En este caso las dos ecuaciones corresponden a la misma recta.

18. a)

=+=+

2762552740800

y,xyx

Se vendieron 450 plateas y 350 palcos.

b)

+==+3

6182xy

,yx Los lados iguales miden 7,2cm y el otro 4,2cm.

c)

++=+=+

4510109

yxxyyx

El número es 27.

19. a)

=

1318

1312 ,P ,

=′+−= xy:r,xy:r

232

32 b) ( )010,P = ,

+−=′= 5

212 xy:r,xy:r

20. a)

∞+− ,

37 b)

−∞−

21,

21. a) ( ) 1200=xA y ( ) x,xB 51600 += b) 400km c) La opción A. 22. a) ( ) 35002101 += ttV , ( ) 40001602 += ttV b) La primera escultura.

c) Dentro de 10 años y su valor será $5600.

23. a) xy31

−= b) Por ejemplo, las rectas 25

21 e 2 +−== xyxy c) 5−=y

24. a) vértice: ( )40 −= ,V , eje de simetría: 0=x , concavidad positiva (cóncava), ( ) [ )+∞−= ,fIm 4 ,

{ }220 ,C −= , ( ) ( )+∞∪−∞−=+ ,,C 22 , ( )22,C −=− , crece en ( )+∞,0 , decrece en ( )0,∞− . b) vértice: ( )30,V = , eje de simetría: 0=x , concavidad negativa (convexa), ( ) ( ]3,fIm ∞−= ,

{ }330 ,C −= , ( )33,C −=+ , ( ) ( )+∞∪−∞−=− ,,C 33 , crece en ( )0,∞− , decrece en ( )+∞,0 . c) vértice: ( )81 −−= ,V , eje de simetría: 1−=x , concavidad positiva (cóncava), ( ) [ )+∞−= ,fIm 8 ,

{ }130 ,C −= , ( ) ( )+∞∪−∞−=+ ,,C 13 , ( )13,C −=− , crece en ( )+∞− ,1 , decrece en ( )1−∞− , . d) vértice: ( )81,V = , eje de simetría: 1=x , concavidad negativa (convexa), ( ) ( ]8,fIm ∞−= ,

{ }310 ,C −= , ( )31,C −=+ , ( ) ( )+∞∪−∞−=− ,,C 31 , crece en ( )1,∞− , decrece en ( )+∞,1 . e) vértice: ( )43,V = , eje de simetría: 3=x , concavidad negativa (convexa), ( ) ( ]4,fIm ∞−= ,

{ }510 ,C = , ( )51,C =+ , ( ) ( )+∞∪∞−=− ,,C 51 , crece en ( )3,∞− , decrece en ( )+∞,3 . f) vértice: ( )21,V −= , eje de simetría: 1−=x , concavidad positiva (cóncava), ( ) [ )+∞= ,fIm 2 ,

φ=0C , RC =+ , φ=−C , crece en ( )+∞− ,1 , decrece en ( )1−∞− , .

25. a) ( ) ( )( )512 −+−= xxxf b) ( ) ( ) 21 2 ++−= xxf

c) Hay infinitas posibilidades, por ejemplo: ( ) ( ) 41 2 +−= xxf ó ( ) 32 += xxf

d) ( ) ( ) 2121 2 −+= xxf e) ( ) ( )( )623 −−−= xxxf

f) ( ) ( ) 5245 2 ++−= xxf g) ( ) ( )42 −= xxxf 26. a) { }32,D −= b) [ ]32,E −= y ( ] [ )3212 ,,F ∪−−= .



27. i. ii. iii. iv. v. vi. 28. a) ( )51 −−= ,A b) El intervalo ( )41,− . 29. a) 5 ó 7 toneladas. b) Si producen entre 5 y 7 toneladas. 30. a) b) 31. a) 1a = − b) Tiene concavidad negativa (es convexa), el vértice es ( )1 4V ,= ,

puntos de corte con eje x: ( ) ( )03y 01 ,,− , punto de corte con eje y: ( )0 3, . c) El intervalo ( )0 2, .

32. a) ( ) ( ) 92 2 +−−= xxg b) ( ) ( )+∞∪−∞−=− ,,C 51 33. a) ( ) xxf 21= , ( ) ( ){ } ( ) ( )+∞∪∞−=> ,,xgxf/x 40 b) ( ) ( )521 −−= xxxg 34. a) 1=b b) 72 −= xy 35. 2=a y 1=b . 36. A 1S le corresponde el 2 y a 2S le corresponde el 6.

37. a) ( ) [ ]23,fDom −= , puntos de corte eje x: ( )02,− y ( )01, , punto de corte eje y: ( )610 −, . b) ( ) [ ] { }2111 −−= ,fDom , puntos de corte eje x: ( ) ( )1,0y 01,− , punto de corte eje y: ( )10 −, . c) ( ) ( ]2−∞−= ,fDom , no corta al eje x ni al eje y. 38. a) ( ) ( ] [ )+∞∪−∞−= ,,fDom 34 b) ( ] [ ]534 ,, ∪−∞− 39. a) Punto de intersección con eje x: ( )02,− , punto de intersección con eje y: ( )20 −, .

b)

−−∞−

2131,

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y

{ }210 ,C −= , ( ) ( )201 ,,C ∪−∞−=+ , ( ] ( )+∞∪−=− ,,C 201 ,

( ) RfIm = .

{ }20 =C , ( )2,C ∞−=+ , ( )+∞=− ,C 2 ,

( ) ( ] { }50 ∪∞−= ,fIm .

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1

12345

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

a) Los puntos ( )0 2,− y ( )01,− .

b) El intervalo [ ]1 0,− . c) Por ejemplo, la recta 2 5y x= − − .

-3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

a) No se cortan. b) R

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

x

y

a) El punto ( )1 2, . b) { }1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

a) Los puntos ( )1 3,− y

( )1 2 15 4,− − . b) El intervalo [ ]1 2 1,− .

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

a) Los puntos ( )2 0,− y ( )2 0, . b) ( ] [ )+∞∪−∞− ,, 22 .

-3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

a) El punto ( )1 2,− − . b) [ )+∞− ,1 .


Práctica 3 Trigonometría – Resolución de triángulos rectángulos. 1


Trigonometría. Resolución de triángulos rectángulos.

1. a) ¿Qué arco representan los siguientes ángulos? ooooooooo 2407545120906018030360 ,,,,,,,, . Graficar sobre una circunferencia de radio 1.

b) ¿Qué ángulo representan los siguientes arcos? 652

42

32 πππππππ ,,,,,, .

Graficar sobre una circunferencia de radio 1. 2. Dibujar sobre la circunferencia trigonométrica, un ángulo α en el primer cuadrante, luego trazar en el

mismo gráfico los siguientes ángulos: απαπαπ −+− 2,, . Marcar sobre los ejes los valores del seno y coseno para los ángulos dibujados y observando lo realizado escribir: a) en función de αsen i. ( ) =−απsen ii. ( ) =+απsen iii. ( ) =−απ2sen b) en función de αcos i. ( ) =−απcos ii. ( ) =+ απcos iii. ( ) =−απ2cos

3. Observando la circunferencia trigonométrica, completar la tabla.

α 0 6π

4π

3π

2π π π

32 π

32

− π67 π

213 π

47

sen α 21

23

cos α 22

tg α

4. Los cálculos que se piden son exactos (no aproximar).

a) Sabiendo que 52

=tcos , decidir en qué cuadrante puede estar t y en cada caso calcular ttgtsen y .

b) Sabiendo que 31

−=tsen y t está en el tercer cuadrante, calcular ttgtcos y .

c) Si ( )ππα ,2∈ y 41

−=αcos , calcular αα sentg + .

d) Si α pertenece al primer cuadrante y 103

=αcos , calcular ( )πα −cos y ( )απ −sen .

e) Si .cuadº3∈α y 34

=αtg , calcular ( ).sencos παα − y

f) Sabiendo que 51

−=βcos y β es un ángulo del segundo cuadrante, calcular ( ) ( )βπβ 2sencos −+ .

5. Calcular el valor exacto de la expresión

−

+

34

65

3611 ππππ sentg.sencos .



6. Encontrar todos los [ )π20,x ∈ que verifican:

1 /23 3 1

3 1 0 21

−==−==

====

xcosxcosxtgxtg

xcosxsenxcos/xsen

h) g) f) e)

d) c) b) a)

7. a) Hallar todos los Rx ∈ que cumplen:

( ) ( ) ( ) 122 234 04 0 −=−=−== xcos//xsenxcosxsen ππ iv. iii. ii. i. b) Encontrar tres soluciones distintas de: i. ( ) 12 =xsen ii. ( ) 0=xcos π c) Hallar todos los [ ]π30,x ∈

( ) 2224 13

xsenxcos =−−=

+ ππ ii. i.

d) Hallar todos los [ ]ππ ,x −∈ ( ) ( ) /xcosxtg 233 12 −=+−= π ii. i.

8. Resolver las siguientes ecuaciones.

1 032 222 −=−=−− xsenxcosxsenxsen b) a)

−−=

−

22

22 ππππ xcosxsen c) d) ( ) ( )xcosxcos 2322 =

e) ( ) ( ) 0332 2 =−−− ππ xsenxsen 9. Sabiendo que el triángulo dibujado es rectángulo,

calcular los valores exactos de x, βcos , αsen , βtg y αtg .

10. Calcular los valores exactos de los elementos indicados en los siguientes triángulos rectángulos y su

perímetro y su área.

a) b) c)

11. La distancia entre los edificios A y B es de 120m. Si el edificio A mide 98m de altura y el ángulo de

elevación desde el punto más alto del edificio A al punto más alto del edificio B es de 32º. Calcular, aproximadamente, la altura del edificio B.

α

45º

4

x

y α

β x

8

6

B

A

32º

120m

α

β

5

13

x

60º

3

x y

α



x

60º 30º

81

12. Hallar las medidas del lado x y del ángulo α.

a) Si además se sabe que la altura desde A es 5.

b)

Más ejercicios…

13. Hallar todos los ángulos [ )π20,x ∈ , que verifican 21

3−=

+

πxsen y 03

>

+

πxcos .

14. a) Encontrar Rk ∈ para que 12

25π=x sea solución de la ecuación ( ) 723 =− kxsen .

b) Con el valor de k hallado, resolver dicha ecuación.

15. a) Hallar todos los

∈ π

23,0x que satisfacen xsenxcosxsen 312 22 +=+ .

b) Hallar todos los [ ]ππ 32 ,x −∈ que cumple 232 2 =+ xcosxsen .

16. Encontrar el valor exacto de ( ) ( )( )πα

απα+

−+sen

costg , de acuerdo a los datos

del triángulo rectángulo dibujado. 17. Determinar x en la siguiente figura:

Respuestas

1. a) 342401257544532120

2903601806302360

ππππ

πππππ

↔↔↔↔

↔↔↔↔↔oooo

ooooo

,,,

,,,,,

b) ooo

oooo

306365902

7204270233602180

↔↔↔

↔↔↔↔

πππ

ππππ

,,

,,,,

2. a) i. ( ) ααπ sensen =− ii. ( ) ααπ sensen −=+ iii. ( ) ααπ sensen −=−2 b) i. ( ) ααπ coscos −=− ii. ( ) ααπ coscos −=+ iii. ( ) ααπ coscos =−2

30º

5

20

α

x

A

B C

25 α

45º x

6

C B

A

α

2

5



3. 4. a) t puede estar en el primer o cuarto cuadrante.

Si t está en el 1er cuadrante 221y

521

==⇒ ttgtsen

Si t está en el 1er cuadrante 221y

521

−=−=⇒ ttgtsen b) 42y

322

=−= ttgtcos

c) 4153

−=+ αα sentg d) ( ) ( )1091y

103

=−−=− αππα sencos

e) ( ) 54y 53 /sen/cos =−−= απα f) ( ) ( ) 25192 /sencos −=−+ απα

5. 21

23

33

23

23

34

65

3611

=

+−

+=

−

+

ππππ sentg.sencos

6. a) 6

5 ó 6

ππ== xx b)

23 ó

2ππ

== xx c) 2π

=x d) No existe x.

e) 4

5 ó 4

ππ== xx . f)

35 ó

32 ππ

== xx . g) 6

11 ó 6

ππ== xx . h) π=x

7. a) i. Zk,kx ∈= π . ii. Zk,kx ∈+=48ππ .

iii. Zk,kxZk,kx ∈+=∈+= ππππ 212

23 ó 212

19 . iv. Zk,kxZk,kx ∈+=∈+=32 ó

31 .

b) i. Por ejemplo: 4

9y 9

5 ,4

πππ=== xxx . ii. Por ejemplo:

23y

21 ,

21

==−= xxx .

c) i. 3

8 ó 3

2 ππ== xx . ii.

823 ó

821,

815

813

87 ,

85 ππππππ

====== xxx,x,xx .

d) i. 8

7 ó 8

3 ,8

,8

5 ππππ==−=−= xxxx .

ii. 18

13 ó 18

11 ,18

,18

,18

1118

13 ππππππ===−=−=−= xxxxx,x .

8. a)

∈+= Zk,kS ππ 2

23 b)

∈+= Zk,kS ππ

21 c)

∈+= Zk,kS

285

d)

∈+= Zk,kS

241 ππ e )

∈+∪

∈+∪

∈

+= Zk,kZk,kZk,kS

32

1811

32

187

3ππππππ

9. 12=x , 135 /cos =β , 135 /sen =α , 512 /tg =β y 125 /tg =α .

α 0 6π

4π

3π

2π π π

32 π

32

− π67 π

213 π

47

sen α 0 21

22

23 1 0

23

23

− 21

− 1 22

−

cos α 1 23

22 2

1 0 –1 21

− 21

− 23

− 0 22

tg α 0 33 1 3 no

existe 0 3− 3

33

no

existe –1



10. a) º30=α , 32=x , 3=y , 333+=perímetro , 2

33=área .

b) º45=α , 22=x , 22=y , 244 +=perímetro , 4=área .

c) 10=x , 84753 ′′′≅ ºα 212536 ′′′≅ ºβ , 24=perímetro , 24=área .

11. Aproximadamente 173m.

12. a) 391232510 ,x ≅−= , 8423 ′≅ ºα b) 27=x , 84798 ′′′≅ ºα

13. π23

=x

14. a) 2

11−=k b)

∈+∪

∈+= Zk,kZk,kS ππππ

125

12

15. a) { }π,S 0= b)

−−= πππππ

25

23

21

21

23 ,,,,S

16. ( ) ( )( ) 42

2111

52

521

212

=−

−=

+−+

πααπα

sencostg

17. 354=x


Módulo 4 Vectores 1

MATEMÁTICA – CPU Módulo 4 Vectores.

1. Sean )3,1(−=u , )5,2( −=v , )0,3(=w y ( )2,0 −=t .

a) Graficar twvu y , , . b) Calcular y graficar:

i. v− ii. vu +2 iii. 2 3u v t− + iv. ( )2 23

u v w+ − v. ( ) ( )32 2 34

v t u w− − +

c) En cada caso, hallar, si es posible, Rqp ∈, tales que: i. ),1(3 pqpvu +=− ii. )2,(3 pqwvpu −+=− iii. ( ) ( )1 1 2p w q t v q , q+ + = − − iv. tvqup =+

d) En cada caso, hallar 2Rs ∈ tal que: i. vus 32 =− ii. wvus 32 −=+ iii. ( )3 2 3 2u s s u w− = − −

2. Si ( )43 −= ,u , ( )03,v −= y ( )15,w = , calcular la longitud de los vectores: a) u, v y w b) vu + y wu − c) u2 y u3− 3. En cada caso, determinar todos los valores de k para que:

a) 3=u si ( )k,u 1−= b) 13=v si ( )53,kv −= c) 1=w si ( )34,kw −=

4. a) Graficar en el plano y decir qué figura geométrica representan. i. Todos los vectores de módulo 3. ii. Todos los vectores de longitud a lo sumo 3.

b) Hallar todos los vectores de norma 2 que están sobre el eje y.

5. Dado ( )4,3 −=v , hallar: a) Un vector w con la misma dirección que v cuyo longitud sea el doble de la longitud de v.

¿Cuántos hay? b) Un vector u paralelo a v cuyo módulo sea 2 y tenga sentido opuesto a v. ¿Cuántos hay?

6. Si ( ) ( ) ( ) ( )45y 62 20 13 ,t,w,,v,,u −===−= ,

a) calcular: i. v.u ii. w.u iii. t.w iv. ( )tv.u − v. t.uv.u −

b) Encontrar un vector ts ≠ que cumpla t.us.u = . 7. a) Probar que los vectores ( )01,i = , ( )10,j = , llamados versores, tienen módulo 1 y son

perpendiculares entre sí. Observar que cualquier vector ( )a,b se puede expresar como combinación de los versores. O sea, ( )a,b ai bj= + .

b) Expresar los siguientes vectores de la forma ai bj+ . ( )321 ,v = , ( )0,2−=w y ( )30,t = .

8. Encontrar, analítica y gráficamente: a) Tres vectores perpendiculares a )2,3( −=u . ¿Cuántos hay? b) Un vector perpendicular a )3,4(−=v de módulo 2. ¿Cuántos hay?



9. Determinar Ra ∈ para que ( )423 −+= a,au sea ortogonal a ( )14 −= ,v .

10. Graficar y averiguar el ángulo entre u y v en cada caso. a) )2,2(y )1,0( −== vu b) jiviu 33y +−== c) jivjiu 52y 25 +=−= d) )1,3(y )2,32( −== vu e) )2,1(y )4,2( −=−= vu f) ( ) ( )23y 13 ,v,u −==

11. Sean ( )32 −= ,v y ( )13,w = . a) Calcular las proyecciones ortogonales sobre los ejes coordenados de :

i. v ii. w3 iii. wv − b) Calcular las proyecciones ortogonales de:

i. v sobre w. ii. v sobre 2w. iii. 2v sobre w. iv. w sobre v. c) ¿Qué relación hay entre los vectores hallados en i. y ii.? ¿Podrías justificarlo geométricamente? d) Ídem c) para i. y iii.

12. En cada caso, encontrar las coordenadas de un vector que cumpla las siguientes condiciones:

a) Forma un ángulo de 60° con el semieje positivo de las x (sentido antihorario) de módulo 3. b) Forma un ángulo de 150° con el semieje positivo de las x (sentido antihorario) de módulo 1/2. c) Forma un ángulo de 240° con el semieje positivo de las x (sentido antihorario) de módulo 2. d) ¿Qué relación hay entre los vectores hallados en a) y b)? e) ¿Y entre los hallados en a) y c)?

13. En cada caso, hallar a de manera que:

a) ( )a,v 2= forme con el semieje positivo de las x un ángulo de 45°. b) ( )32,aw −= forme con el semieje positivo de las x un ángulo de 135°. c) jias 3−= forme con el semieje positivo de las x un ángulo de 210°. d) ajit += 3 esté en el cuarto cuadrante y verifique 5=t .

14. Determinar a y b para que ( )b,au = forme con el semieje positivo de las x un ángulo de 180° y se

cumpla que 7=u .

15. a) Hallar un vector w del segundo cuadrante que sea paralelo al vector 2 2v i j= − y su longitud sea la mitad que la de v.

b) Calcular el módulo de w y el ángulo que forma con el semieje positivo de las x. c) Encontrar todos los vectores ortogonales a w de norma 1.

16. a) Determinar a para que el vector ( )a,u 3= forme con el semieje positivo de las x un ángulo de

330°. b) Para el a encontrado, hallar b para que ( ) u,b +1 sea perpendicular a ( )62,− .

17. a) Hallar b sabiendo que vector ( )bv ,1= está en el cuarto cuadrante y tiene módulo 2. b) Calcular el ángulo que forma el vector v con el semieje positivo de las x. c) Encontrar dos vectores perpendiculares a v, con sentidos opuestos y distintas longitudes.

18. Graficar los siguientes vectores de 3R . ( )0,0,2=u , ( )0,3,0=v , ( )4,0,0=w , ( )4,3,0=p , ( )4,0,2=q , ( )0,3,2=r y ( )4,3,2=s . 19. Sean ( )0,2,1 −=u , ( )1,3,2 −=v , ( )4,2,0 −=w y ( )7,1,2=s .

a) Calcular: i. vu − ii. swu −+ 32 iii. ( ) ( )uswv +−− 322 b) Calcular los módulos de swuv +2y 3 , . c) Probar que: i. su ⊥ ii. vs ⊥ iii. u y v no son paralelos.



Más ejercicios… 20. a) Hallar el vector v si se sabe que está en el segundo cuadrante, tiene norma 5 y su ordenada es 4.

b) Hallar el vector w de norma 1 que forma un ángulo de 45º con el semieje positivo de las x . c) Teniendo en cuenta los vectores hallados.

i. Determinar dos vectores s y t, de norma 1 y 3 respectivamente, ambos perpendiculares a v y con distintos sentidos.

ii. Elegir c de manera que ( )c,w 0+ sea paralelo a v. 21. Dado jiv 22 += , se pide:

a) Calcular v , y el ángulo que forma v con el semieje positivo de las x. b) Dados jiaw 4−= y ( ) jbit 13 −+−= , hallar a y b tal que w sea ortogonal a v, y t sea paralelo a v.

22. Dado jiv −−= .

a) Calcular el módulo de v y el ángulo que forma con el semieje positivo de las x. b) Hallar un vector w de módulo 5, con igual dirección y distinto sentido que v. c) Hallar un vector s del cuarto cuadrante, perpendicular a v, de módulo menor que 1.

23. Dados los vectores jiv 34 −= y ( )1,1 −−=w .

a) Calcular el ángulo que forman v y w. b) Determinar el vector proyección ortogonal de v sobre w. c) Encontrar 2, Rtu ∈ tal que u y t sean ambos perpendiculares a w, además que u y t tengan distinto

módulo e igual sentido.

Respuestas

1. b) i. ( )52,v −=− ii. ( )2 0 1u v ,+ = iii. ( )7532 ,tvu −=+−

iv. ( )

−−=−+ 83

8232 ,wvu v. ( ) ( )

−−=+−− 4

17234322 ,wutv

c) i. 2 1p , q= − = ii. 13 3 2p / , q= − = − iii. No existen p y q. iv. 4 2p , q= − = −

d) i. ( )4 9s ,= − ii. ( )43 −−= ,s iii.

−= 5

2756 ,s

2. a) 5 3 26u , v , w= = = . b) 4u v+ = , 29=− wu c) 2 10 3 15u , u= − = .

3. a) 8 ó 8k k= − = . b) 9 ó 15k k= − = . c) 1 1 ó 5 5

k k= − = .

4. a) i. ii. b) ( )20, y ( )20 −, . 5. a) Por ejemplo: ( )86 −= ,w . Hay dos (el otro posible es ( )86,− ). b) ( )5856 ,u −= . Es el único. 6. a) i. 2−=v.u ii. 0=w.u iii. 14=t.w iv. ( ) 17=− tv.u v. 17=− t.uv.u b) Por ejemplo, ( )221,s = .

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Un círculo de radio 3 y centro el origen de coordenadas.

Una circunferencia de de radio 3 y centro el origen de coordenadas.



7. b) jiv 321

+= , iw 2−= y jt 3= .

8. a) Por ejemplo: b) Por ejemplo: ( )32, , ( )32 −− , , ( )293, . ( )5856 , . Hay infinitos. Hay dos, el otro es ( )5856 −− , . 9. a) 8−=a 10. a) 45° b) 135° c) 90° d) 60° e) 180° f) 127º 52´29´´ 11. a) i. ( ) ( )02,vproyejex = , ( ) ( )30 −= ,vproyejey ii. ( ) ( )093 ,wproyejex = , ( ) ( )303 ,wproyejey =

iii. ( ) ( )01,wvproyejex −=− , ( ) ( )40 −=− ,wvproyejey

b) i. ( )

= 10

3109 ,vproyw ii. ( )

= 10

3109

2 ,vproy w iii. ( )

= 5

3592 ,vproyw iv. ( )

−= 13

9136 ,wproyv

c) Son el iguales, porque estamos proyectando el mismo vector sobre la misma recta (la recta que contiene a w y 2w es la misma). d) ( ) ( )vproyvproy ww 22 = , lo podemos justificar utilizando el Teorema de Thales, o por triángulos semejantes.

12. a)

2

3323 , b)

− 4

143 , c) ( )31 −− , d) Son perpendiculares. e) Son paralelos.

13. a) 2=a b) 1−=a c) 33−=a d) 4−=a 14. 7−=a y 0=b 15. a) w i j= − + b) 2=w y el ángulo es 135º. c) ( )2121 , y ( )2121 −− , .

16. a) 3−=a b) 33−=b 17. a) 3−=b b) 300º c) Por ejemplo: ( )13 , y ( )232 −− , . 19. a) i. ( )151 ,,vu −−=− ii. ( )191032 −=−+ ,,swu iii. ( ) ( ) ( )715322 −−=+−− ,,uswv

b) 302y 533 14 =+== sw u,v . c) i. ( )( ) su,,.,,s.u ⊥→=+−=−= 0022712021 ii. ( ) ( ) vs,,.,,v.s ⊥→=−+=−= 0734132712

iii. Si u y v fueran paralelos existiría un número k tal que v.ku = . O sea, tendría que pasar que

( ) ( )

−==−

=→−=−

kk

k,,k,,

032

21132021 de donde , por ejemplo, usando las dos últimas ecuaciones nos

quedaría que 02 = , lo que es absurdo. Por lo tanto, u y v no son paralelos.

20. a) ( )43,v −= b)

= 2

222 ,w

c) i.

= 5

354 ,s y

−−= 5

95

12 ,t ó

−−= 5

354 ,s y

= 5

95

12 ,t ii. 6

27−=c

21. a) 8=v y el ángulo es 45º. b) 4=a y 2−=b

22. a) 2=v b) jiw2

52

5+= c) Por ejemplo, jis

221

221

−= .

23. a) 98º 7´48´´ b) ( )

= 2

121 ,vproyw c) Por ejemplo: ( )11 −= ,u y ( )22 −= ,t .

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y


Módulo 5 Problemas de Aplicación

MATEMÁTICA – CPU Módulo 5

Problemas de Aplicación. 1. ¿Cuántos centímetros mide el perímetro de un triángulo equilátero cuyo lado mide el doble que el lado de un

cuadrado de perímetro 16cm? R: 24 cm 2. En un balneario, sobre la rambla se colocan postes cada 300m indicando

las paradas de los colectivos. a) Si la rambla tiene 12km (12000m) de longitud y la primera parada

está al inicio, ¿cuántos postes se necesitan? R: 41 b) Se quiere poner tachos de basura a lo largo de la rambla; si se coloca uno en cada poste y 2 entre dos

postes consecutivos, ¿cuántos tachos se necesitan? R: 41 + 80 = 121 c) ¿A qué distancia estarán dos tachos consecutivos si la distancia entre ellos es siempre la misma?

R: 100 m 3. Santiago está preparando su puesto para la feria de ciencias que se realizará en su escuela. Ha decidido poner

como fachada una plancha de acrílico rectangular con un cuadrado cortado en el centro para atender a la gente. El lado menor del rectángulo mide 4m y el mayor el cuádruple de la mitad del menor. El perímetro del rectángulo es el doble del perímetro del cuadrado.

a) Si quiere pegar una cinta alrededor del contorno de la fachada, ¿cuántos metros de cinta necesitará? R: 36 m

b) ¿Cuántos m2 de acrílico tiene la fachada? R: 23 m2 4. Gerardo, el dueño de una mueblería compra 6 docenas y media de sillas a $30 cada una. En el traslado 8

sillas se rayan, y las vende a $52 cada una. Como le gustaron mucho, Gerardo se llevó 4 para su casa. ¿A cuánto habrá vendido cada una de las sillas restantes si obtuvo una ganancia total de $2300? R: $64

5. Brenda y Juanita fueron a la librería. Brenda compró cuatro marcadores y dos carpetas y Juanita compró un

cartucho de tinta. a) Brenda pagó por su compra $34. Cada carpeta cuesta $5 más que cada marcador. ¿Cuál es el precio de

cada carpeta? R: $9 b) El cartucho que compró Juanita no le sirvió y volvió a cambiarlo. Agregó $5 y en su lugar llevó tres

resmas de papel. El precio del cartucho supera al de cada resma en $25. ¿Cuánto pagó por cada resma? R: $15

6. En el dibujo están indicados los únicos caminos que comunican las casas de ocho amigos, Hugo, Pedro,

Tamara, Roberta, Justino, Guido, Lautaro y María. La distancia entre las casas de Pedro y Roberta es la mitad que la distancia entre las de Guido y Lautaro. Tamara vive a la misma distancia de Pedro y de Roberta.

H P T

G R J

L M

2 b

a

m



a) En cada caso, marcá con una X la o las expresiones que te permiten calcular los recorridos pedidos.

i. Entre la casa de Hugo y la de Justino. 2 (a + b) 2 a + b: 2 2 a + b a + b: 2

ii. Entre la casa de Hugo y la de Tamara. (a + b): 2 a + b: 2 a: 2 + b a + b: 4

b) i. María sale de su casa y recorre a + 2m + 3b, ¿a quién va a visitar? Pedro ii. ¿Y si recorre 2(a + m) +3 b? Hugo

c) Si a < m, ¿quién vive más cerca de lo de Tamara; Guido o Hugo? Hugo d) Hugo recorre 360m para ir a lo de Guido y 320m para ir a lo de Justino. María vive a 300m de lo de

Lautaro. ¿Cuántos metros recorre Roberta para ir a lo de Lautaro? 290 m 7. ¿Cuál es el área de la figura coloreada si su contorno mide 86cm? R: (192 – 28) cm2 = 164 cm2

8 cm

24 cm

7 cm

Contorno: Conjunto de líneas que limitan una figura 8. Federico vendió 6 de sus cuadros más famosos. Cuando los puso a la venta deseaba obtener por cada uno la

misma cantidad de dinero, pero la realidad superó sus expectativas, sólo 2 de los 6 cuadros los vendió al precio deseado, 3 los vendió al doble de lo deseado y al otro por $500 más de lo deseado. Si obtuvo en total $14000, ¿a cuánto vendió cada cuadro? R: $1500; $3000; $2000

9. En una ciudad hay 12 dentistas. Cada dentista atiende por lo menos a dos alumnos de una clase de 31 estudiantes y cada alumno es atendido por un único dentista. ¿Cuál es el mayor número de alumnos de esa clase que puede atender un único dentista? R: 9

10. Los pasajeros de un vuelo procedente del exterior se trasladan al centro de la ciudad en

distintos medios de locomoción. Los 3/5 del total lo hacen en microbuses, 1/4 del resto lo hace en taxi. a) ¿Qué parte del total tomó taxi? R: 1/10 b) 30 de los pasajeros, que representan 1/8 del total, fueron en remís.

¿Cuántos pasajeros tomaron otros medios de locomoción distintos de los mencionados? 42 11. Susana gastó en llamadas telefónicas de larga distancia $62,8. Hizo una llamada de 15 minutos a $1,2 el

minuto, luego otra de 4 minutos, lo que le costó $3,2. También habló 8 minutos con su hermana, costándole el minuto la mitad que el anterior. El resto lo pagó por una llamada que le costó $1,6 cada minuto, ¿cuántos minutos duró esta llamada? R: 24 min

12. En el locutorio A, la hora de internet cuesta $1,62 y cobran por fracción de 10 minutos.

En el locutorio B cobran $1,50 la hora y se fracciona cada media hora. En un tercer locutorio (C) cobran $2,1 la hora y se factura por minutos utilizados. ¿Qué locutorio le conviene a Pedro si necesita comunicarse durante: a) 12 minutos? C b) 30 minutos? B c) 1 hora 45 minutos? A



13. El tanque de nafta de un auto tiene una capacidad de 60 litros, pero sólo tiene lleno los 3/5 del mismo. El coche consume 2/3 de litro cada 15km. Si recorre 750km, ¿qué parte del tanque queda llena? R: 2/45 del tanque

14. Novecientos (900) aspirantes se inscribieron para ingresar en el 2013 en las carreras de Ingeniería o

Licenciaturas de la Escuela de Ciencia y Tecnología de la Universidad de San Martín. De éstos, 720 rindieron la prueba de admisión de Matemática, 600 la prueba de IEU y 120 no rindieron ninguna prueba.

¿Cuántos aspirantes rindieron ambas pruebas de admisión? R: 540 15. En la figura hay cuatro cuadrados cuyas dimensiones son las que muestra la figura.

a 17

a 37

a 57

a

a) ¿Qué parte del cuadrado grande es la zona sombreada? R: 24/49 b) Si el valor de a es 7cm,

i. ¿cuántos centímetros cuadrados es el área de la zona sombreada? R: 32 cm2 ii. ¿cuántos centímetros es el perímetro de la zona sombreada? R: 64 cm

16. Macarena está participando de un torneo de natación. Debe ganar por lo menos 4/7 de todas las

competencias de las que ella participe para clasificar para las finales. De las 9 competencias que ya ha participado, sólo ganó la tercera parte. Si aún le falta competir en 5 eventos, ¿tiene alguna posibilidad de clasificar? ¿Por qué?

R: debe ganar las 5 restantes (ganó 3; con las 5 carreras restantes ganadas pasaría a tener 8 de 14 o 4 de 7) 17. A Martina, Conrado y Damiana su papá los mandó a cortar el césped del jardín de su casa. Martina tarda 6

horas en cortarlo, Conrado demora 4 horas y Damiana lo hace en 3 horas. Si comienzan a cortarlo los tres a la vez, a) ¿qué parte del césped cortarán en una hora? R: 3/4 b) ¿cuánto tiempo demorarán en cortarlo totalmente? R: 80 minutos o 4/3 de hora

18. ¿Qué fracción del rectángulo PQRS representa los 3/5 de la parte sombreada? R: 1/4

S R

P Q



19. La figura está formada por cuadrados superpuestos. El área de la parte celeste es 18cm2. ¿Cuál es la

longitud del contorno de la zona clara? R: 6√2 (1+√2) cm

Contorno: Conjunto de líneas que limitan una figura 20. Se tiene el siguiente registro del consumo eléctrico de determinados aparatos electrodomésticos:

Artefactos encendidos

Tiempo de uso

kwh consumidos

TV Microondas Equipo de música Heladera con freezer Computadora Video 2 lámparas 60 watts Lavarropas

2 horas 1/2 hora 4 horas 6 horas 2 horas 3 horas 5 horas 1 hora

0,14 0,32 0,24 0,59 0,60 0,30 0,60 0,18

a) Marina calcula cuál es el consumo de algunos artefactos eléctricos en un día. El equipo de música lo tiene

encendido durante 3 horas. La computadora la tiene encendida durante 5 horas, la heladera las 24 horas, 4 lámparas de 60watts durante 8 horas. Si consumió 6,24kwh, ¿cuántas horas tuvo prendida la TV? R: 4 horas

b) Si por cada 3,71kwh gasta $0,43 incluyendo los cargos fijos e impuestos, ¿cuánto gastó por el encendido de los aparatos ese día? R: $ 0,72

c) Si una familia consume 400kwh en un mes, ¿cuánto paga por mes? R: $ 46,36 21. La figura está formada por dos cuadrados y dos triángulos. El triángulo oscuro es equilátero. El área de cada

cuadrado es 64cm2 y el perímetro del triángulo claro es 29,86 cm. ¿Cuál es perímetro de la figura? R: 53,86 cm

22. El área de un cuadrado de lado a es 16cm2. ¿Cuál es el área de un cuadrado de lado 2a? R: 64 cm2 23. En un triángulo uno de sus lados mide 7,2cm y la altura correspondiente 3,5cm. La medida de otro de sus

lados es 8cm, ¿cuál es la medida de la altura correspondiente a este lado? R: 3,15 cm



24. La guarda está formada por cuadrados y triángulos isósceles. El perímetro de cada cuadrado es 24cm y el perímetro de cada triángulo es 20,48cm.

a) ¿Cuál es el perímetro de la guarda? R: 108,8 cm B

A

M

b) ¿Cuál es el área de la guarda? R: 360 cm2 25. La figura está formada por dos cuadrados congruentes.

El perímetro de la figura es 42cm. M es el punto medio de AB . ¿Cuál es área de la figura? R: 72 cm2

26. La figura está formada por un rectángulo y cuatro triángulos

equiláteros congruentes. El perímetro del rectángulo es 21cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura? R: 38,5 cm

27. Lucas, Lautaro y Conrado asisten a un curso de cerámica.

Al finalizar el mismo se hace una exposición de las piezas producidas por los alumnos. Conrado hizo dos piezas más que el doble de las que hizo Lautaro y Lucas cuatro más que Lautaro. Al transportar las piezas se le rompieron tres a Conrado y una a Lucas. Entre los tres expusieron 34 piezas. ¿Qué cantidad de piezas expuso cada uno? Lucas 11, Lautaro 8 y Conrado 15

28. En una sección de un banco, un cuarto de los empleados trabaja en cuentas corrientes, dos tercios del resto trabaja en cajas de ahorro y seis empleados lo hacen en atención al público. ¿Cuántos empleados trabajan en cajas de ahorro? R: 12

29. Talo, Jose y Manu realizaron unas láminas para un trabajo de ciencias naturales. Talo se sacó 1 punto más

que Jose y 4 menos que Manu. La nota final del trabajo fue 6 y representa el promedio de las notas de cada uno. ¿Qué nota se sacó Jose? R: 4

30. Damiana tiene 11 años, su hermana 19 y su papá 47. ¿Cuántos años tendrá Damiana cuando su papá triplique la edad de Damiana? R: 18 ¿Cuántos años tenía Damiana cuando su hermana triplicó su edad? R: 4

31. De los alumnos inscriptos para el primer año de la universidad de Ciudad Alta, la cuarta parte se inscribió en Ciencias Económicas, 50 menos de la mitad de los inscriptos lo hace para Ciencias Exactas y 250 para otras carreras. ¿Cuántos alumnos se inscribieron para primer año? R: 800

Matemática CPU

Nombre y apellido: ………………………………………...………..………… Carrera: ……………………….. Observación: Los valores encontrados en cualquiera de los ejercicios deben ser utilizados en forma exacta, no aproximada. 1. De acuerdo al dibujo:

a) Hallar la ecuación de la función cuadrática f si se sabe que V es su vértice. b) Si g es la función lineal graficada, escribir como un intervalo o unión de intervalos al conjunto ( ) ( ){ }xgxfRx ≤∈ / . c) Hallar analíticamente las coordenadas del punto P.

2. Sea

a) Dar el dominio de f. b) Hallar el conjunto de positividad de f. c) Encontrar los valores de x tales que ( ) 2=xf

3. Sea A un rectángulo cuya área es 100 cm2. Si uno de los lados del rectángulo mide b, calcular el perímetro de A.

4. Encontrar el valor exacto de ( )

( )βtgβ+πcos

, de acuerdo a los datos del triángulo rectángulo dibujado.

5. Sea ( )86,=v .

a) Determinar k para que el vector kji=u −4 sea paralelo a v.

b) Hallar un vector w en el 2º cuadrante tal que vw ⊥ y 2=w .

Matemática CPU Nombre y apellido: ………………………………………...………..………… Carrera: ………………………..

Observación: Los valores encontrados en cualquiera de los ejercicios deben ser utilizados en forma exacta, no aproximada. 1. De acuerdo al dibujo, hallar:

a) La ecuación de la función lineal f . b) La ecuación de la función cuadrática g si se sabe que V es su vértice. c) Escribir como un intervalo o unión de intervalos al conjunto ( ) ( ){ }xgxfRx ≥∈ / .

2. Sea ( ) ≤−

2> si 32 xsi 53x

x+x=xf

a) Graficar, indicando puntos de intersección con los ejes. b) Encontrar imagen de f y conjunto de positividad.

3. Hallar todos los valores de a para los cuales 32=x sea solución de la ecuación 2

2x139x15 2

+a=+ 1−−−.

4. Juan cobra un salario que es un 25 % mayor que el de Pedro. Si la suma de los dos salarios es de $ 10800, ¿cuál es el salario de

Pedro?

5. Determinar x en la siguiente figura:

6. Sea ( )3,4−=v .

a) Hallar un vector w, perpendicular a v de norma 6. Determinar Rc ∈ para que ( )cv=t 4,2 −− sea paralelo a v.

V

-3

2

P

7 β

3

( )5

2x610+x

+=xf −

V

-6

4 f

g

x60º 30º

85

Matemática CPU

Nombre y apellido: ………………………………………...………..………… Carrera: ………………………..

Observación: Los valores encontrados en cualquiera de los ejercicios deben ser utilizados en forma exacta, no aproximada. 1. Hallar la ecuación de la función lineal que tenga por negatividad al intervalo ( )∞− +2, y cuyo gráfico sea perpendicular a la

recta 232 =yx − .

2. Sea ( )

−−≤−

12114

x> si x x si x

=xf

a) Graficar, indicando puntos de intersección con los ejes. b) Encontrar conjuntos de positividad, negatividad e imagen de f.

3. Encontrar la función cuadrática f cuyo gráfico pasa por el punto ( )6,0 , el intervalo de crecimiento es ( )∞+1, e

Im f = [− 2, +∞) .

4. Hallar dominio y ceros de la función ( ) ( )72

28252

x+xx=xg −−

.

5. El perímetro de un rectángulo es 100 cm. Hallar el área del mismo si uno de los lados mide 20 cm. 6. Calcular los valores exactos del área y del perímetro del triángulo dibujado.

7. Sea el vector ( )2,3−=v .

a) Determinar Rb∈ para que el vector ( ) j+b+i=w 13 sea paralelo a v.

b) Hallar un vector u del segundo cuadrante, que tenga igual módulo que v y cuya proyección sobre el eje y sea 5 .

Matemática CPU Nombre y apellido: ………………………………………...………..………… Carrera: ……………………….. Observación: Los valores encontrados en cualquiera de los ejercicios deben ser utilizados en forma exacta, no aproximada. 1. De acuerdo al dibujo:

a) Hallar la ecuación de la recta r sabiendo que el área del triángulo sombreado es 16. b) Hallar la ecuación de la parábola si se sabe además que su eje de simetría es la recta 5=x .

2. Sea ( )

−≤−16112

x> si x x si x-

=xf

c) Graficar, indicando puntos de intersección con los ejes. d) Encontrar conjunto de positividad e imagen de f. e) Escribir como un intervalo o unión de intervalos al conjunto ( ){ }4/ −≤∈ xfRx=A .

3. Encontrar el valor exacto de ( )( )β

βπtg−

−2πcos

, de acuerdo a los datos del triángulo rectángulo dibujado.

4. Hallar dominio de ( )724123

x+x+x+=xf −

− .

5. Una caja con base cuadrada tiene un volumen de 1000 cm3. Si la altura de la caja mide b cm, ¿cuánto mide un lado de la base? 6. Dados los vectores bj+i=v 3− y j+ia=w 4 , determinar todos los a y b para que w esté en el 2º cuadrante, su módulo

sea 25 y el vector ( ) 2v14, +=u − sea perpendicular a w.

60º 34

r 8

7 β

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