Examen de algebra lineal 15

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL


EXAMEN SUPLETORIO ALGEBRA LINEAL

1.- Sea: 3 0

2 3A

a ) HallarnA

3

31 0 0

2 0

0

0 1

B

A I B

A

/

2

/

0 0 0 0

2 0 2 0

0 0

0 0B

B Es Nilpotente

0001

2 2 2

1

1

1

1

1

( 3) ( 3)

(

( 3 ) ( 1)( 3 ) ( 3 ) ....

( 3 )

( 3 ) ( 3 )1!

( 3) ( ) ( 3) ( )

( 3) ( 3)

1 0 0 0

3)

(

....1

3)

0 1

0

! 2!

2 0

0

n

n n

n

n n n

n n n n n

n

n n

n

n

n

n

n n

n

n

A I B

A

nA

n I B n nI I B

I I B

A I n I B

A I

B

A

B

n

n

A

/

1

1

/

2 ( 3)

0 0

0

( 3) 0

2 ( 3) ( 3)

n

n

n

n

nA

n

n

15


2.- Determinar para que valores de el sistema:

𝝀

a) Tiene solución única.

b) Tiene infinitas soluciones.

c) No tiene solución.

2

2 2-2 13 3- 2

3 3- 1

/ /

2 2-2 13 3- 1

1 1 -1

2 -1 1 0

1 -2 - -

) ! -{-2

1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1

2 -1 1 0 -3 3 0 -3 3

1 -2 - 0 -3 - 1 0 0 - - 2

1 1 -1 -1 1 1 -1 -2

2 -1 1 0 0 -3 3 4

1 -1 2 6 0 -3 3

}

8

-2

F F FF F F

F F F

F F FF F F

a solución

si

R

3 3- 2

/ /) -2

)

1 1 -1 -2

0 -3 3 4 0 4

0

0 0

4F F F

c solucion si

b no existe valor de para que haya soluciones


3.- Demostrar que

1 0

( , , ) 0 1 0

1 1

a

W a b c b

c

es un s.e.v. de 3R .

/ /

/ /

/ /

1 0

0 1 0

1 1

( , , ) /

(0,0,0)

0 0

{ }

W ,

( , )

. .

( , , )

( , , )

)

)

( , , )

}( )

V

V

a

b c a b a c b

c

a b c a c b

a c b

O

W

P D

W

u b c

i

i

b c

v y z y z

u v b c y z b y

O W

u v W u v Wi

c z

3

/ /

/ /

/ /

)

W es un subesp

( )( )

acio vectorial de

( , , )

. ( ( )

( )

, . , . )

W

u b c b c

u b

u W K u

c

W

b c

iii

W

R


4.- Hallar una base de la cápsula de S.

2 21 ,2 2 ,3 2S t t t t

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

(1 ) (2 2 ) (3 2 )

(1 ) (2 2 ) (3 2 )

2 2 3 2

( 2 3 ) (

/

2

{ }

t t t t

t t t t

S a bt ct a bt ct

a bt ct

a bt ct

a bt

t

ct

t t t

2

2

2

2

2

2 1 3 3 2

2 3

2

2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 0 2 0 2 1 0 2 1

0 2 1 0 2 1 0 0 0

{ / 0}

{ / }

{( ) /

) ( 2 )

}

F F F F F F

a a a

b a b a b

c c a b c

S a bt ct a b c

S a bt ct a b c

S b c bt ct b c

a

b

c

t t

R

/

2

/

/ /

2

2

2

2

' '

{( ) ( ) / }

{ ( 1 ) ( 1

) / }

1 , 1

( ) 3 #

( ) 3 1

{

#

}

2

'

S S gener

S b bt c ct b c

S b t c t b c

t t

Dim P t restriccione

a a S

de vector

s

Dim P es de St

R

R


5.- Dado:

( ) (1,1,1)B Base del Núcleo de f .

( )

a) Hallar la aplicación lineal f .

b)

2 2 1 1 1 1 1 3

2

2

, , (1,1,0) (1,0,0) (1,1,1)

1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

( , ,

(1,1,

)

0

(

1) 0 0

F F F F F F F F F

x y z

x x y y z

y y x y x y x

z z z z

y z

y x

z

f x y z

f

f

t t

3

2

2

/ /

2 2 2

2 2

2

1,1,0) (1,0,0) (1,1,1)

( , , ) (1 ) (2 2 ) (0 0 0 )

( , , ) ( )

: ( )

, , ( , , ) ( 2 3 ) (

(2 2 ) ( )

( , , ) ( 2 3 ) )

)

(

f f

f x y z y z t y x t z t t

f x y z y z y z t y x y x t

f x y z x y z x z

f P t

x y z f x y z x y z x z t

t

R


6.- Sea la aplicación lineal

( ) ( ) ( )

a) Calcular 1f

b)

2 2 11 13 3 1

PD: Biyectividad

Nf: ( , , ) f (x,y,z) = 0v

Nf: ( , , ) , , 2 (0,0,0)

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 0 1 1 0

1

i) Inyect

1 1 0 0 0 1 0

ividad

F F FF FF F F

x y z

x y z x y x z x y z

1 1 3

3

2 2 2 3

ii) Sobreyectividad

1 0 1 0 1 0 0 0

0 1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

Nf = 0,0,0 f es inyectiva

Dim R = Dim Nf + Dim Img f

F F FF F F F

3

3 = 0 + Dim Img f

3 = Dim Img f = Dim R f es Sobreyectiva

1

f es Biyectiva

Img f

Img f

f

= , , f , , = a,b,c

= , , , , 2 a,b,c

1 1 0

1 0 1

1 1 1

a b c x y z

a b c x y x z x y z

a

//

1 1 32 2 1 1 1 22 2 33 3 1

(a,b,c

1 1 0 1 0

) f (a,b,c) = a+b c,

1 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

b c,

c a

F F FF F F F F FF F FF F F

a b b a c

b b a b a b a

c c a c a c a


7.- Sea

3

2

2

1

2 2

2

: ( )

( , , ) ( , , ) ( ) ( 2 ) ( )

(1,0,1)(1,1,0)(0,1,1)

1 , ,

f P t

a b c f a b c a b c a b c t a b t

B

B t t t t

R

Bases de 3R y 2P t respectivamente.

a ) Hallar 1

2

C

Cf

b) Hallar 1

2

B

Bf Utilizando matrices de cambio de Base.

2

2

2

1 1 1

2 2 2

1

2

2

1

2

/ /

2

2

2

1

12

2

2

1

(1,0,0) (1,0,0) 1

(0,1,0) (0,1,0) 1 2

(0,0,1)

) (1) ( ) ( )

(1) ( ) ( )

(1) ( ) ( )

1 1 1

1 2 1

1 1 0

)

(0,0,1) 1

C B

B

C

C

B

B

C

B

C

C C

a t t

t t

t t

Id Id

f t t

f t t

f t

f

Id Id

b f f

2 2 1 3

2

2

3 2

2

2

1

1

1

/

/

/

/

1

2

1 0 0

1 1 0

0 1 1

1 1 0

0 1 1

1 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1

11 0 0

1 1 0

1 1 1

F

B

C

B

C

B

C

B

B

F F F F F

Id

Id

f

/ /

1

2

0 0

1 1

1 2

2

0 1 1

1 1 0

1 1 0

0 11

1 1 0

1

1 0 1

B

Bf


.8.- Sea3 3( )f L R R

9 3 0

3 12 3

0 3 9

A

a)Hallar valores y vectores propios

b) Hallar las imágenes de los vectores propios.

2

9 3 0 9 3 0 9 3 012 3

3 12 3 0 12 3 0 12 3 96 9

0 3 9 9 3 9 0 6 9

C1 C1-C3 f3 f3+f1

9 21 90

9 15 6

1 6

2 9 valores prop

A I

ios

3 15

1 6

3 3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

3 6 3 0 3 6 3 0 0 3 3 0 0 3 3 0 0 1 1 0

0 3 3 0 0 3 3 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0

0 1 1 0 x-z = 0 ; y-z = 0

0 0 0 0

1 =

Para

V

, , y=z

1 = , ,

1 = 1,0,1 a 1

dim 1 3 #

vector

prop

=3-2= 1 = #vectoer

io

es en

x y z x z

V z z z z R

V S genera V

V restriciones

' '

S

Para 2= 9

0 3 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0

3 3 3 0 1 1 1 0 1 1 1 0

S es bas

0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V 2 , , 0 x = y-z

V 2 ,0,

1,0,1

1,0,1 genera a V 2

vector prop

e

d

o

1

i

e

x y z

V

y

z z z R

c z z R

S S

' ' S es b

ase de V

Dim V 2 3 #

= 3-2= 1= #vect en S

Para 3=15

6 3 0 0 3 3 3 0 1 1 1

3 3 3 0 6 3 0 0 6 3 0

0 3 6 0 0 3 6 0

2

0 3 6

rest

0 1 1 1 0 1 1 1 0

0 0 3 6 0 0 3 6 0

0 0 3 6 0 0 0 0 0

1 f1 f2 f1 f1 f2 f2 + 6 f1 f3 f3

vector

+ f2 3

V 3 , , 2

V 3 , 2 ,

V 3 1, 2,

pr i

1

op ox y z x z y z

z z z z R

z z

'' ''

'' ''

1, 2,1 S genera a V 3

Dim V 3 3 #

=3 - 2 = 1 = # vect en S base de V

B= 1,1,1 ; 1,0,1 ;

1, 2,1

3S

R

S

re

es

st

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