EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª ENSAYO (ÁLGEBRA)

Apellidos: __________________________Nombre: _______________

Curso: 2º Grupo: A Día: CURSO 2014-15

Opción A

1.- Considera la matriz

B =

111

2a2a

1aa

2

1 que depende de un parámetro.

a) [1,25 puntos] ¿Para qué valores de a tiene B inversa? Justifica la respuesta. b) [1,25 puntos] Para a = 0 halla la inversa de B.

2.- Se sabe que dc

ba = 5

a) [2 puntos] Calcula el valor de 2d6cd-3c

2b6ab-3a

b) [0,5 puntos] Enuncia las propiedades de los determinantes que hayas usado en el apartado anterior. 3.- [2,5 puntos] Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro real m,

1mzmy4x

0z3y2x

02z4y5x

2

4.- Considera el sistema de ecuaciones que depende de un parámetro real a

6zay5x

2z3y2x

2z2yx

(a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de a. (b) [1 punto] Resuélvelo para a = 8.

Opción B

1.- [2,5 puntos] Se dice que una matriz cuadrada de orden 3 es ortogonal si su inversa A-1

y su traspuesta At

coinciden. Dado un número real x, ¿Es ortogonal la matriz B siguiente?

B =

1-0

0cos(x)sen(x)-

sen(x)cos(x)

0

0

2.- [2,5 puntos] Se dice que dos matrices A y B son semejantes cuando existe una matriz invertible P tal que AP = PB.

Prueba que las matrices A =

01

21 y B =

10

02 son semejantes.

3.- [2,5 puntos] Sea el sistema de ecuaciones

m1mzm)y(1x

0zmy

1yx

Estudia su comportamiento según los valores del parámetro m.

4.- [2,5 puntos] Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero

que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.

2

SOLUCIÓN DEL EXAMEN

Opción A

1.- Considera la matriz B =

111

2a2a

1aa

2

1 que depende de un parámetro.

a) [1,25 puntos] ¿Para qué valores de a tiene B inversa? Justifica la respuesta. b) [1,25 puntos] Para a = 0 halla la inversa de B.

Solución: (a) La matriz B tiene inversa cuando su determinante sea no nulo:

B =

111

21a2a

1aa

2

= a2(a+1)+2a+2a -(a+1+2a

2+2a

2) = a

3-3a

2+3a-1 = 0

Que se anula para a = 1. Es decir que tiene inversa para a -{1}. (b) Si a = 0 la matriz se convierte en:

B =

111

210

100

Con determinante B = -1.

Obtenemos la matriz de adjuntos:

Adj(B) =

001-

01-1

1-21-

La matriz traspuesta de los adjuntos será:

Adj(B)t =

001-

01-2

1-11-

Como B-1

= B)(AdjB

1 t se obtiene que la inversa de B es:

B-1

=

001

012-

11-1

2.- Se sabe que dc

ba = 5

(a) [2 puntos] Calcula el valor de 2d6cd-3c

2b6ab-3a

(b) [0,5 puntos] Enuncia las propiedades de los determinantes que hayas usado en el apartado anterior.

Solución:

(a) Para calcular el valor del determinante D lo descomponemos en sumandos:

D = 2d6cd-3c

2b6ab-3a

=

2d6c3c

2b6a3a

+

2d6cd-

2b6ab-

=

= 6c3c

6a3a +

2d3c

2b3a +

6cd-

6ab- +

2dd-

2bb-

Como el producto de la fila o columna de un determinante por un número es igual al determinante por ese número, se puede sacar factor común a los elementos de las columnas de los determinantes obteniendo:

3

D = 18 cc

aa +6

dc

ba -6

cd

ab -2

dd

bb

Si dos filas o columnas son iguales se anula el determinante:

D = 6 dc

ba -6

cd

ab

Si intercambiamos dos filas o columnas el determinante cambia de signo, luego:

D = 6 dc

ba + 6

dc

ba = 12

dc

ba = 12.5 = 60

(b) Una de las propiedades de los determinantes usadas en el apartado anterior es: “Si los elementos de una fila o columna se descomponen en sumandos, su determinante es igual a la suma de 2 determinantes que tiene todas las demás filas o columnas iguales y uno de los dos sumandos en la fila o columna en cuestión”.

3.- [2,5 puntos] Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro real m,

1mzmy4x

0z3y2x

02z4y5x

2

Solución:

La matriz del sistema y la matriz ampliada del sistema son:

A =

2m1-4

132

245

A* =

1mm1-4

0132

0245

2

El rg(A) es al menos 2 ya que el menor

32

45 0

Como el valor del determinante es A = 7m2-7 que será nulo para m = 1 ó m = -1

Tenemos los siguientes casos:

m 1 y m -1 rg(A) = rg(A*) = 3. Sistema compatible determinado.

m = -1

A =

11-4

132

245

A* =

211-4

0132

0245

rg(A) = 2 y rg(A*) = 3 ya que existe un menor de orden 3 no nulo:

2-1-4

032

045

= -14

El sistema es por lo tanto incompatible

m = 1

A =

11-4

132

245

A* =

011-4

0132

0245

rg(A) = rg(A*) = 2. El sistema es compatible indeterminado.

4

4.- Considera el sistema de ecuaciones que depende de un parámetro real a

6zay5x

2z3y2x

2z2yx

(a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de a. (b) [1 punto] Resuélvelo para a = 8. Solución:

(a) La matriz del sistema y la matriz ampliada son:

A =

1a5

132

1-21

A* =

61a5

2132

21-21

Como A = (3+10+2a)-(-15+a+4) = 24-3a se anulará cuando a = 8.

Si a 8 rg(A) = rg(A*) = 3. El sistema es compatible determinado, la intersección es un punto.

Si a = 8

A =

185

132

1-21

A* =

6185

2132

21-21

rg(A) = rg(A*) = 2. El sistema es compatible indeterminado. (2) Para a = 8, tal como dijimos, el sistema es compatible indeterminado, una de las ecuaciones es combinación

lineal de las otras dos y la despreciamos, tomando z = , queda el sistema:

2z3y2x

2z2yx

λ-23y2x

λ22yx

λ-23y2x

λ24-4y2x- - y = -2-3 y = 2+3

x = 2+-2y = 2+-4-6 = -2-5

Opción B

1.- [2,5 puntos] Se dice que una matriz cuadrada de orden 3 es ortogonal si su inversa A-1

y su traspuesta At

coinciden. Dado un número real x, ¿Es ortogonal la matriz B siguiente?

B =

1-0

0cos(x)sen(x)-

sen(x)cos(x)

0

0

Solución: Para demostrar que B es ortogonal calculamos su inversa. Como el determinante es:

B =

1-0

0cos(x)sen(x)-

sen(x)cos(x)

0

0

= -1. cos(x)sen(x)-

sen(x)cos(x) = -(cos

2x+sen

2x) = -1 0

luego B tiene inversa. Hallamos su adjunta:

Adj(B) =

10

0cos(x)-sen(x)

sen(x)-cos(x)-

0

0

Calculamos su traspuesta:

Adj(B) t =

10

0cos(x)-sen(x)-

sen(x)cos(x)-

0

0

5

Calculamos su inversa:

B-1

= A

Adj(B)t

=

1-0

0cos(x)sen(x)

sen(x)-cos(x)

0

0

Calculamos su traspuesta

Bt =

1-0

0cos(x)sen(x)

sen(x)-cos(x)

0

0

Evidentemente Bt = B

-1, luego la matriz B si es ortogonal

2.- [2,5 puntos] Se dice que dos matrices A y B son semejantes cuando existe una matriz invertible P tal que AP =

PB. Prueba que las matrices A =

01

21 y B =

10

02 son semejantes.

Solución: Si las matrices A y B son invertibles existirá una matriz invertible P:

P =

dc

ba

verificando:

01

21.

dc

ba=

dc

ba.

10

02

Realizando los productos:

ba

2db2ca=

d-2c

b-2a

Imponiendo la igualdad de matrices: a +2c = 2a b+2d = -b a = 2c b = -d Obtenemos: b = -d a = 2c Es decir:

P =

dc

d-2c

Cuyo determinante es:

dc

d-2c = 3cd

que es siempre distinto de cero salvo que sean c = 0 o d = 0.

3.- [2,5 puntos] Sea el sistema de ecuaciones

m1mzm)y(1x

0zmy

1yx

Estudia su comportamiento según los valores del parámetro m.

Solución: Para estudiar su comportamiento según los valores del parámetro m, debemos escribir las matrices asociadas:

6

A =

mm11

1m0

011

A* =

m1mm11

01m0

1011

Calculamos el determinante de A para hallar su rango y poder aplicar el teorema de Rouché-Frobenius

det(A) =

mm11

1m0

011

=

mm0

1m0

011

= mm

1m = m(m-1)

donde hemos restado a la 3ª fila la 1ª fila, y desarrollado el determinante por los adjuntos de la 1ª columna. Igualando a cero la expresión obtenemos:

det(A) = m (m-1) = 0 m = 0 ó m = 1

Si m 0 y m 1

Como det(A) 0, rg(A) = rg(A*) = 3 = nº de incógnitas y el sistema es compatible determinado.

Si m = 0, las matrices del sistema son:

A =

010

100

011

A* =

1011

0100

1011

rg(A) = 2 ya que el menor formado por elemento de la 2ª y 3ª columnas

10

01 0

rg(A*) = rg(A) = 2 pues la columna añadida de coeficientes es igual a la 2ª columna. El sistema es compatible indeterminado.

Si m = 1, las matrices del sistema son:

A =

121

110

011

A* =

2121

0110

1011

rg(A) = 2 ya que el menor

10

11 0

Calculemos rg(A*). Como el determinante

221

010

111

= 1. 21

11 = 1 0

rg(A) =2 rg(A*) = 3. El sistema es incompatible.

4.- [2,5 puntos] Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros. Solución: Sea x el dinero de Álvaro Sea y el dinero de Marta Sea z el dinero de Guillermo

7

Que los tres juntan 84 euros, se traduce en: x + y + z = 84 [1] Que Álvaro diga a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad, Marta + 1/5 de Álvaro = Guillermo, se traduce en:

y + 5

1x = z [2]

Que Guillermo = Álvaro – 1/5 de Álvaro, se traduce en:

x - 5

1x = z z =

5

4x [3]

Resolviendo el sistema:

z

z

= x5

4

= x5

1y

84 = z + y + x

Si z = 5

4x, lo sustituimos en [2]:

y + 5

1x =

5

4x y =

5

4x -

5

1x =

5

3x

Sustituyendo en [1] obtenemos:

84 = x5

4x

5

3x 84 = x

5

12 x =

12

420 = 35

por lo tanto:

y = 35.5

3 = 21

z = 35.5

4 = 28

Es decir que El dinero de Álvaro es 35 euros El dinero de Marta es 21 euros El dinero de Guillermo es 28 euros

8

EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª ENSAYO (2)

Apellidos: _________________________ Nombre: _______________

Curso: 2º Grupo: A Día: CURSO 2014-15

Instrucciones: a) Duración: 1 HORA y 30 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B c) Contesta de forma razonada, escribe ordenadamente y con letra clara. d) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica).

Opción A

1.- Sean las matrices

A =

m-14

3m0

1-01

, B =

11-

23

01

, C =

22-2-

43-5

a) [0,5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible. b) [2 puntos] Resuelve la ecuación matricial XA − B

t = C para m = 0. (B

t es la matriz traspuesta de B).

2.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones

λ = z λ+ y- x

2 = z λy - 2x

2+ λ = z + y + λx

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de . ¿Tiene siempre solución?

b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para = −1.

3.- Sean las matrices A =

3α-

1αy B =

241-

131

a) [1,25 puntos] Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es A12

1.

b) [1,25 puntos] Para = -3, determina la matriz X que verifica la ecuación AtX = B, siendo A

t la traspuesta de A.

4.- Dadas las matrices A =

α1-1-

1-α1

1-1α

y B =

1

1

0

a) [1,75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de .

b) [0,75 puntos] Para = 2, resuelve la ecuación matricial AX = B.

Opción B

1.- Sea la matriz

A =

1-44-

11-2

24-5

a) [1,25 puntos] Comprueba que se verifica 2A - A2 = I.

b) [1,25 puntos] Calcula A−1

. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).

2.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

m = z - my + x

1- = z + y - x-

1 = z - y - 2)x + (m

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de m. b) [0,75 puntos] Resuélvelo para el caso m = 1. 3.- Sea la matriz

9

A = .

11

212

100

k

a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta. b) [1'5 puntos] Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X +I) ·A = A

t, donde I denota la matriz identidad y A

t la matriz

traspuesta de A. 4.- Considera el sistema de ecuaciones

= z +1)y ( +3x

3 + 2 = 2z +3y

1 + = z +y +x

a) [1 punto] Resuelve el sistema para = 1.

b) [1 punto] Halla los valores de para los que el sistema tiene una única solución.

c) [0'5 puntos] ¿Existe algún valor de para el que el sistema admite la solución

2

1 0, ,

2

1?

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA

Opción A

1.- Sean las matrices

A =

m-14

3m0

1-01

, B =

11-

23

01

, C =

22-2-

43-5

a) [0,5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible. b) [2 puntos] Resuelve la ecuación matricial XA − B

t = C para m = 0. (B

t es la matriz traspuesta de B).

Solución:

a) A es invertible si su determinante es no nulo

|A| =

m-14

3m0

1-01

= (-m2+0+0)-(-4m+3+0) = -m

2+4m-3

Que igualando a cero nos da la ecuación:

-m2+4m-3 = 0 m

2-4m+3 = 0 m =

2

12164 =

2

24.

Con soluciones m1 = 1 y m2 = 3.

Luego para mR-{1,3} la matriz A es invertible. b) Para resolver la ecuación matricial XA-B

t = C multiplicamos por la derecha por A

-1para despejar X:

XAA-1

= (Bt + C)A

-1 X = (B

t + C)A

-1.

Para m = 0 la matriz A se convierte en:

A =

014

300

1-01

El valor de la inversa es: A-1

= )Adj(AA

1 t

En el apartado anterior habíamos calculado |A| obteniendo, para m = 0: |A| = -m2+4m-3 = - 3

Obtenemos la matriz traspuesta:

At =

031-

100

401

La matriz de los adjuntos de la traspuesta será:

10

Adj(At) =

01-0

3-412

01-3-

Luego la inversa de A es:

A-1

=

01-0

3-412

01-3-

3

1-

Calculamos (Bt + C) =

120

1-31+

22-2-

43-5=

302-

306

X = (Bt + C)A

-1 =

302-

306

01-0

3-412

01-3-

3

1-=

0

3

12-

036

2.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones

λ = z λ+ y- x

2 = z λz - 2x

2+ λ = z + y + λx

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de . ¿Tiene siempre solución?

b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para = −1. Solución:

a) Para discutir las soluciones del sistema utilizamos el Teorema de Rouché-Frobenius. Siendo la matriz de coeficientes y ampliada:

A =

λ1-1

1λ-2

11λ

y A* =

λλ1-1

21λ-2

2λ11λ

Hallemos el valor del determinante de A:

|A| =

λ1-1

1λ-2

11λ

= (-3+1-2)-(-+2-) = -

3-1

Que será nulo si 3= -1 = -1

Si λ ≠ -1 rg(A) = rg(A*) = 3 = nº de incógnitas, por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es

compatible y determinado y tiene solución única.

Si λ = -1 la matriz de coeficientes y ampliada son:

A =

1-1-1

112

111-

y A* =

1-1-1-1

2112

111- 1

Como existe un menor de orden 2 12

11- = -1-2 = -3 0, rg(A) = 2. Como en la matriz ampliada la 1ª y 3ª

filas son proporcionales rg(A*) = 2. Como rg(A)= rg(A

*)= 2 < nº de incógnitas, por el teorema de Rouché-

Frobenius el sistema es compatible indeterminado, y tiene infinitas soluciones. Por lo tanto el sistema siempre tiene solución b) Si λ = -1 en el apartado anterior hemos discutido que es un sistema compatible indeterminado con rg(A) rg(A

*)=

2, luego una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras 2. Despreciamos la tercera y tomamos

parametrizamos la incógnita z = :

2 = z y 2x

1 = z + y + x-

λ- 2 = y 2x

λ-1 = y + x-

Si restamos a la 2ª ecuación la 1ª obtenemos:

3x = 1 x = 3

1

11

Sustituyendo el valor de x en la 1ª ecuación:

λ-1 = y + 3

1- y = λ-

3

11 y = λ-

3

4

La solución del sistema es:

(x, y, z)=

λ λ,-

3

4 ,

3

1con λR.

3.- Sean las matrices

A =

3α-

1αy B =

241-

131

a) [1,25 puntos] Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es A12

1.

b) [1,25 puntos] Para = -3, determina la matriz X que verifica la ecuación AtX = B, siendo A

t la traspuesta de A.

Solución: a) Por el enunciado del problema sabemos que existe la matriz inversa de A:

A-1

= )Adj(AA

1 t

Con determinante A = 3+ = 4

Obtenemos la matriz traspuesta:

At =

31

α-α

La matriz de los adjuntos de la traspuesta será:

Adj(At) =

αα

1-3

Luego la inversa de A es:

A-1

=

αα

1-3

4α

1=

4

1

4

14α

1-

4α

3

Como del enunciado del problema tenemos que:

A-1

= A12

1=

3α-

1α

12

1

=

12

3

12

α-12

1

12

α

Igualando valores de términos equivalentes obtenemos el sistema:

12

α

4α

3 36 = 4α

2 α

2 = 9 α = ± 3.

12

1

4α

-1 -12 = 4α

α = -3.

12

-α

4

1 12 = -4α

α = -3.

12

3

4

1 12 = 12

Luego α = - 3. b) Para resolver la ecuación matricial A

tX = B, multiplicamos por la izquierda por (A

t)

-1 y aplicando la propiedad de

que (At)

-1 = (A

-1)

t:

(At)

-1.A

tX = (A

t)

-1.B X = (A

t)

-1.B = (A

-1)

t.B

En el apartado anterior hemos averiguado que para α = -3:

A-1

= A12

1=

33

13-

12

1 (A

-1)

t=

31

33-

12

1

Luego:

12

X = (A-1

)t.B =

31

33-

12

1.

241-

131=

7152-

336-

12

1

4.- Dadas las matrices

A =

α1-1-

1-α1

1-1α

y B =

1

1

0

a) [1,75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de .

b) [0,75 puntos] Para = 2, resuelve la ecuación matricial AX = B. Solución: Para estudiar el rango de A estudiamos su determinante:

|A| =

α1-1-

1-α1

1-1α

= (3+1+1)-(+ +) =

3-3+2

Que será nulo cuando 3-3+2 = 0, ecuación que resolvemos mediante la regla de Ruffini:

1 0 -3 2

1 1 1 -2

1 1 -2 0

1 1 2 2

1 2 0

-2 -2

1 0

Es decir que |A| = (-1)2(+2)

Si α ≠ 1 y α ≠ -2, tenemos |A| ≠ 0, por tanto rango(A) = 3.

Si α = 1 queda la matriz:

11-1-

1-11

1-11

Como la segunda y la tercera filas son proporcionales a la primera rg(A) = 1.

Si α = -2 queda la matriz:

2-1-1-

1-2-1

1-12-

Como el menor 2-1

12-= (4-1) = 3 0 rg(A) = 2.

b) Para α = 2, las matrices son A =

21-1-

1-21

1-12

y B =

1

1

0

En el apartado anterior hemos averiguado que A es invertible ya que su determinante es: |A| = 2

3-3.2+2 = 4

El valor de la inversa es:

A-1

= )Adj(AA

1 t

Obtenemos la matriz traspuesta:

13

At =

21-1-

1-21

1-12

Que coincide con la matriz, es por lo tanto una matriz simétrica. La matriz de los adjuntos de la traspuesta será:

Adj(At) =

311

131-

11-3

Luego la inversa de A es:

A-1

=

311

131-

11-3

4

1

Por lo tanto multiplicando a la izquierda por la inversa de la ecuación matricial:

A-1

.AX = A-1

.B X = A-1

.B

X = A-1

.B X =

1

1

0

311

131-

11-3

4

1. =

4

4

0

4

1. =

1

1

0

Opción B

1.- Sea la matriz

A =

1-44-

11-2

24-5

a) [1,25 puntos] Comprueba que se verifica 2A − A2 = I.

b) [1,25 puntos] Calcula A−1

. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). Solución:

a) Calculemos:

A2 =

1-44-

11-2

24-5

.

1-44-

11-2

24-5

=

2-88-

22-4

48-10

; 2.A =

2-88-

22-4

48-10

Veamos que 2A - A2 = I, siendo I la matriz identidad de orden 3.

2A- A2 =

2-88-

22-4

48-10

-

3-88-

23-4

48-9

=

100

010

001

como queríamos ver. b) Sabemos que una matriz cuadrada A tiene matriz inversa B si A.B = B.A = I. Utilizando la igualdad 2A - A

2 = I del apartado anterior, y sacando factor común la matriz A por la derecha

tenemos (2I – A).A = I, y por la definición de inversa tenemos que A-1

= 2I-A , es decir:

A-1

= 2I-A =

200

020

002

-

1-44-

11-2

24-5

=

34-4

1-32-

2-43-

Se puede comprobar que:

A.A-1

=

1-44-

11-2

24-5

.

34-4

1-32-

2-43-

=

100

010

001

= I.

14

2.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

m = z - my + x

1- = z + y - x-

1 = z - y - 2)x + (m

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de m. b) [0,75 puntos] Resuélvelo para el caso m = 1. Solución:

a) Sea A =

1-m1

11-1-

1-1-2m

y A *

=

m1-m1

111-1-

11-1-2m

la matriz de coeficientes y la matriz ampliada

respectivamente. Para que el sistema tenga solución única, por el Teorema de Rouché-Frobenius, rg(A) = rg(A

* ) = 3 = nº de

incógnitas, por tanto el determinante de A tiene que ser distinto de cero.

|A| =

1-m1

11-1-

1-1-2m

= [(m+2)-1+m]-[1-1+m.(m+2)] = 2m+1-m2-2m = 1-m

2 = -(m-1)(m+1).

Si |A| = 0, tenemos -(m-1)(m+1) = 0, de donde m = 1 y m = -1.

Para m ≠ 1 y m ≠ - 1 el sistema es compatible y determinado, y tiene solución única.

Si m = 1

Sea A =

1-11

11-1-

1-1-3

la matriz de los coeficientes y A *

=

11-11

111-1-

11-1-3

la ampliada.

Vemos que rango(A) = 1, pues las tres filas son iguales.

En A como1-1-

1-3 = - 4 ≠ 0, tenemos rg(A) = 2.

En A* como

111

1-1-1-

11-3

= 0, por tener la fila 2ª y 3ª proporcionales tenemos rg(A*) = 2.

Como rango(A) = rango(A*) = 2 < nº de incógnitas, por el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es

compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones.

Si m = - 1

Sea A =

1-1-1

11-1-

1-1-1

la matriz de coeficientes y A *

=

1-1-1-1

1-11-1-

11-1-1

la matriz ampliada.

En A como1-1-

1-1 = - 2 ≠ 0, tenemos rg(A) = 2.

En A *

como

1-1-1

1-1-1-

11-1

= (-2)(-2) = 4 ≠ 0, rg(A*) = 3.

Como rango(A) = 2 rango(A*) = 3, por el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es incompatible y no

tiene solución. b) Si m = 1 hemos visto en el apartado anterior que rg(A) = rg(A

*) = 2 < nº de incógnitas, y el sistema era

compatible e indeterminado, es decir con infinitas soluciones. Para resolverlo tomamos dos ecuaciones y dos incógnitas principales. Tomamos las dos primeras ecuaciones, que sabemos que son independientes, por lo calculado en el apartado

anterior. Tomamos z = como parámetro y obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

15

1- = z + y - x-

1 = z - y - 3x

λ-1- = y - x-

λ1 =y - 3x

Restamos la 2ª ecuación de la 1ª obteniendo:

4x = 2 + 2 x = 2

λ

2

1

Sustituyendo el valor de x en la 2ª ecuación:

y = -x+1+ = λ12

λ-

2

1- =

2

λ

2

1

Por lo tanto la solución del sistema es:

(x, y, z) =

λ ,

2

λ1 ,

2

λ1

3.- Sea la matriz

A = .

1k1

212

100

a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta. b) [1,5 puntos] Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X +I) ·A = A

t, donde I denota la matriz identidad y A

t la matriz

traspuesta de A. Solución:

a) Para hallar qué valores del parámetro k hacen no exista matriz inversa calculamos el determinante, |A| y obligamos a que sea nulo. Calculamos el determinante:

|A|=

1k1

212

100

= (0+0+2k) - (1+0+0) = 2k-1 [1]

Si |A| = 0 2k -1 = 0 k = 2

1. Luego la matriz A no tiene inversa si k =

2

1.

b) En el apartado anterior hemos averiguado que para k = 0 la matriz A tiene inversa, luego podemos multiplicar la ecuación por la derecha por la inversa de la matriz A y a continuación restar la matriz identidad en ambos miembros:

(X +I)·A.A -1

= At.A

-1 (X +I) = A

t.A

-1 X = A

t.A

-1-I

Sustituyendo k = 0 en la expresión [1] del apartado anterior hallamos la matriz:

101

212

100

Cuyo determinante es |A|= 2.0-1 = -1 Como es no nulo exista la matriz inversa, A

−1, que calculamos su inversa aplicando la fórmula:

A-1

= )Adj(AA

1 t

Obtenemos la matriz traspuesta:

At =

121

010

120

La matriz de los adjuntos de la traspuesta será:

Adj(At) =

001

210

101

-

-

-

Luego la inversa de A es:

16

A-1

=

001

210

101

-

-

-

- =

001

210

101

-

-

Sustituimos en la ecuación anterior:

X = At.A

-1-I =

121

010

120

.

001

210

101

-

-

-

100

010

001

=

3-20

2-10

4-21

-

100

010

001

=

420

200

420

-

-

-

4.- Considera el sistema de ecuaciones

λ = z + 1)y(λ + 3x

3 + 2λ = 2z + 3y

1 + λ = z + y + x

a) [1 punto] Resuelve el sistema para = 1.

b) [1 punto] Halla los valores de para los que el sistema tiene una única solución.

c) [0,5 puntos] ¿Existe algún valor de para el que el sistema admite la solución

2

1 0, ,

2

1- ?

Solución:

b) Para halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución consideramos la matriz de los coeficientes del sistema y la matriz ampliada:

A =

11-λ3

230

111

A* =

λ11-λ3

32λ230

1λ111

Para que haya solución única según el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema ha de ser compatible y determinado, luego rango(A) = rango(A*) = 3 = nº de incógnitas. Para ello basta con que el determinante de la matriz del sistema sea no nulo, |A| ≠ 0.

|A| =

11-λ3

230

111

= (3+6-0)-(9+2λ-2+0) = -2λ+2

Luego el sistema tiene solución única si λ ≠ 1.

c) Para ver si existe algún valor de λ para que el sistema admita la solución

2

1 0, ,

2

1- debemos sustituir dichos

valores en las ecuaciones del sistema y ver si es cierto. Sustituimos:

2

1 0

2

1- = λ+1 0 = λ+1 λ = -1

2

1 0

2

1- .20. = 2λ+3 1 = 2λ+3 2λ = -2 λ = -1

2

1 0

2

1-

.3 = λ -1 = λ

Luego el valor buscado es λ = -1 a) Hemos visto en el apartado (b) que si λ = 1, |A| = 0 luego rango(A) < 3. Sustituimos y obtenemos

A =

103

230

111

A* =

1103

230

111

5

2

30

11= 3 0, rango(A) = 2.

103

530

211

= (3+15+0) -(18+0+0) = 18-18 = 0, rango(A*) = 2

17

Como rango(A) = rango(A*) = 2 < nº incógnitas, por el teorema de Rouché el sistema es compatible e indeterminado, y tiene infinitas soluciones. Como el rango es 2, una de ellas es combinación lineal de las otras dos,

sólo necesitamos 2 ecuaciones. Tomamos la 1ª y la 2ª siendo z = :

2λ -5 = 3y

λ -2 y + x

En la 2ª ecuación queda: y = 3

2λ-

3

5

Sustituyendo en la 1ª ecuación: x = 2--y = 2--3

2λ-

3

5=

3

λ-

3

1

La solución es: (x, y, z) =

λ

3

2λ-

3

5

3

λ-

3

1,, con R.