-
7/25/2019 Examen MAN 2015.Ian
1/4
Varianta 1
Subiectul I (4 p)
1. S se calculeze suma seriei:
= +0 13
2
nn
n
2.S se determine intervalul de convergen pentru seria de puteri:
n
n
n
xn
= +1 3
2.
3. Fie (X, Y) o variabil aleatoare bidimensional, cu repartiia
dat de:
a) S se completeze tabloul repartiiei i s se determine
repartiiile marginale.
b) S se cerceteze independena variabilelor aleatoare X i Y.
c) S se determine covariana variabilelor aleatoare X i Y.
4. S se calculeze media de selecie i dispersia de selecie pe
baza observaiilor:
Subiectul II (5 p)
1.Fief: 2 ,f(x,y) =x3 +y4 - 27x- 4y- 6. S se calculeze
derivatele pariale de ordinul I i II ale lui
f, precum i punctele de extrem local ale acestei funcii.
2.a) Definii funcia Gamma a lui Euler.
b) S se calculeze
0
9 2dxex x .
3. Fie ( )P ,K, cmpul de probabilitate clasic al lui Laplace,
asociat mulimii { }109,8,7,6,5,4,3,2,1,= .
a) Scriei formula probabilitii totale relativ la cmpul de
probabilitate considerat, pentru un sistem
complet de evenimente de forma { }AA, .b) Se d { }87,6,5,4,3,, =
AKA . Fie KB astfel nct 3
1)P( =A|B i 21)|P( =AB . Calculai
probabilitatea )P(B , aplicnd formula specificat la punctul
(a).
4.FieXo variabil aleatoare continu, cu densitatea de repartiie
dat de :
+=
[0,1]0
[0,1]),2(4
3
)(2
x,
xxxxf . S se calculeze media M(X) i dispersia D(X).
X \ Y -1 0
1 0.3 0.5
2
0.6
xi 7 8 12
ni 2 5 3
-
7/25/2019 Examen MAN 2015.Ian
2/4
Varianta 2
Subiectul I (4 p)
1. S se studieze convergenta seriei:
=
0 3
)2(
nn
n
2.S se determine intervalul de convergen pentru seria de puteri:
n
nnx
n
=1 2.
Fie (X, Y) o variabil aleatoare bidimensional, cu repartiia dat
de
X \ Y -1 1
0 0.4
2 0.5
0.7
a) S se completeze tabloul repartiiei si sa se determine
repartitiile marginale.b) S se cerceteze independena variabilelor
aleatoare X i Y.
c) S se determine covariana variabilelor aleatoare X i Y.
4.S se calculeze media de selecie i dispersia de selecie
modificat (corectat) pe baza observaiilor:
Subiectul II (5 p)
1. Fief: 2 ,f(x,y) =x3- 3x2 - 9x+y3 - 12y+ 1. S se calculeze
derivatele pariale de
ordinul I i II ale lui f, precum i punctele de extrem local ale
acestei funcii.
2.a) Definii funcia Gamma a lui Euler.
b) Sa se calculeze
0
17 3dxex x .
3. Fie ( )P ,K, cmpul de probabilitate clasic al lui Laplace,
asociat mulimii { }109,8,7,6,5,4,3,2,1,= .
a) Scriei formula probabilitii totale relativ la cmpul de
probabilitate considerat, pentru un sistem
complet de evenimente de forma { }AA, .
b) Se d { }87,6,5,4,3,, = AKA . Fie KB astfel nct 21)|P( =AB i
4
1)|P( =AB . Calculai
probabilitatea )P(B , aplicnd formula specificat la punctul
(a).
4.FieXo variabil aleatoare continu, cu densitatea de repartiie
dat de:
=
[0,1]0
[0,1]),23(2
1
)(
x,
xxxf . S se calculeze media M(X) i dispersia D(X).
xi 7 8 10
n 2 7 1
-
7/25/2019 Examen MAN 2015.Ian
3/4
Varianta 3
Subiectul I (4 p)
1. S se calculeze suma seriei:
=
0
1
42
nn
n
2. S se determine intervalul de convergenta pentru seria de
puteri: n
n
n
xn
= +1 1
3.
3. Fie (X, Y) o variabil aleatoare bidimensional, cu repartiia
dat de
X \ Y - 1 0
1 5.0
2 0.3
4.0
a) S se completeze tabloul repartiiei i s se determine
repartiiile marginale.
b) S se cerceteze independena variabilelor aleatoare X i Y.
c) S se determine covariana variabilelor aleatoare X i Y.
4.S se calculeze media de selecie i dispersia de selecie pe baza
observaiilor:
Subiectul II (5 p)
1. Fief: 2
,f(x,y) =y3
+ 2x4
- 27y + x - 6. S se calculeze derivatele pariale de
ordinul I i II ale lui f, precum i punctele de extrem local ale
acestei funcii.
2.a) Definii funcia Beta a lui Euler.
b) Sa se calculeze ( ) 2
1
102 11 dxxx .
3. Fie ( )P ,K, cmpul de probabilitate clasic al lui Laplace,
asociat mulimii { }109,8,7,6,5,4,3,2,1,= .
a) Scriei formula probabilitii totale relativ la cmpul de
probabilitate considerat, pentru un sistem
complet de evenimente de forma { }AA, .
b) Se d { }41,2,3,, = AKA . Fie KB astfel nct 21)|P( =AB i 2
1)|P( =AB . Calculai
probabilitatea )P(B , aplicnd formula specificat la punctul
(a).
4.FieXo variabil aleatoare continu, cu densitatea de repartiie
dat de:
=
[0,1]0
[0,1]),-(22
3
)(2
x,
xxxxf . S se calculeze media M(X) i dispersia D(X).
xi 6 7 10
ni 3 6 1
-
7/25/2019 Examen MAN 2015.Ian
4/4
Varianta 4
Subiectul I (4 p)
1. S se studieze convergena seriei:
=
+
1
1
34
nn
n
.
2.S se determine intervalul de convergen pentru seria de puteri:
n
nn x
n
=
+
1 5
12.
3. Fie (X, Y) o variabil aleatoare bidimensional, cu repartiia
dat de
X \ Y -1 1
0 0.5
2 0.4
0.7
a) S se completeze tabloul repartiiei i s se determine
repartiiile marginale.b) S se cerceteze independena variabilelor
aleatoare X i Y.
c) S se determine covariana variabilelor aleatoare X i Y.
4.S se calculeze media de selecie i dispersia de selecie
modificat (corectat) pe baza observaiilor:
Subiectul II (5 p)
1. Fie f: 2 ,f(x,y) =y3 - 3y2 - 9y + 8x3 - 24x+ 1. S se
calculeze derivatele pariale de
ordinul I i II ale lui f, precum i punctele de extrem local ale
acestei funcii.
2.a) Definii funcia Beta a lui Euler.
b) Sa se calculeze ( )
+0
1
103 11 dxxx .
3. Fie ( )P ,K, cmpul de probabilitate clasic al lui Laplace,
asociat mulimii { }109,8,7,6,5,4,3,2,1,= .
a) Scriei formula probabilitii totale relativ la cmpul de
probabilitate considerat, pentru un sistem
complet de evenimente de forma { }AA, .
b) Se d { }87,6,5,4,3,, = AKA . Fie KB astfel nct 43)|P( =AB i
3
1)|P( =AB . Calculai
probabilitatea )P(B , aplicnd formula specificat la punctul
(a).
4.FieXo variabil aleatoare continu, cu densitatea de repartiie
dat de :
=
[0,1]0
[0,1]),-3(8
3
)(2
x,
xxxf . S se calculeze media M(X) i dispersia D(X).
xi 5 6 7
ni 2 6 2
