I Concurso de Matemáticas XY – MAT 2012

PRIMER AÑO DE SECUNDARIA

1. Si se cumple que

. Calcular el valor de .

2. Dada la expresión algebraica . Encontrar el valor de

.

3. Sean los conjuntos { } y { }, donde se cumple que { }.

Calcular la suma de los valores que puede tomar , si .

4. El número ( , tiene divisores compuestos.

Encontrar el valor de .

5. En una división entera, el residuo por defecto supera al residuo por exceso en unidades,

además el dividendo está entre y , y el divisor es . Hallar la suma de las cifras del

dividendo.

6. Calcular la suma de todos los números primos que cumplen la propiedad de que es

divisible por , pero no por .

7. Se forma un conjunto con todas las letras de la palabra . ¿Cuántos subconjunto

de a lo más tres elementos se pueden formar con los elementos de ?

8. ¿Cuántos enteros positivos de tres cifras son múltiplos de , pero no de ?

9. La edad en años de una tortuga es mayor en que el cuadrado de un entero positivo y

menor en que el cuadrado del número siguiente a . ¿Cuántos años tiene la tortuga?

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10. ¿Cuál es el entero que está comprendido entre y que leído al revés, es el doble del

número que sigue al original?

11. Sean enteros positivos primos relativos tales que:

Calcule el valor de .

12. Si los numerales , , están correctamente expresados y además

. Halle la suma de las cifras del número .

13. Sea un polinomio que satisface la siguiente condición:

, , , , …

Calcular el valor de .

14. ¿Cuántos enteros positivos de cuatro dígitos tienen como producto de sus dígitos a un número

par?

Considere que el número cero es par.

15. En un triángulo , se sabe que las longitudes de los segmentos , y son ,

, , respectivamente, donde es un número entero. Calcular la suma de todos los

valores que puede tomar el perímetro del triángulo .

16. Se hace una lista en orden creciente de todos los números enteros positivos que en su escritura

decimal, empiezan con y terminan en :

, , , , , , , …

¿Qué lugar ocupa el número ?

17. ¿Cuántos números menores que 200 cumplen que, al suprimir su último dígito, resulta un

número , de modo que es un divisor de .

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18. En el siguiente gráfico, calcular la medida del ángulo , si: .

A

B

F

D

EC

19. Si y son los radios. Además, la longitud de la circunferencia más grande es .

Hallar el área de la región sombreada:

O

B

A

20. ¿Cuántas parejas de enteros positivos cumplen que su mínimo común múltiplo es

?

Nota: Considere que la pareja es la misma pareja que , pues no son pares ordenados.

21. Encontrar el menor entero positivo , para el cual el número formado por

nueves, es múltiplo por y por .

22. Un número de cuatro dígitos es llamado si al sumar con el número que resulte de

invertir sus dígitos, se obtiene un número capicúa. Por ejemplo, es feliz, pues

, que es un número capicúa. ¿Cuántos números felices , cumplen que el

número también es un número feliz?

23. Un polinomio es llamado si es de grado y además todos sus coeficientes

son iguales a . ¿Cuántos polinomios bonitos tienen términos?

24. Sea un entero positivo y sea su complemento aritmético. Encontrar el menor entero

positivo , de modo que ( ) .

25. Sea un entero positivo y la suma de sus dígitos. Un entero positivo es llamado

si satisface la siguiente relación: . De todos los números

basadrinos, ¿Cuál es el menor?