Distributii de probabilitate

Intrucit lumea fenomenelor financiare este una dominata de risc si incertitudine, este necesara cunoasterea anumitor informatii pentru luarea deciziilor corecte.

De exemplu, sa presupunem ca intr-o piata ipotetica, valoarea unei actiuni are doar doua stari(0 si 1), iar tranzactiile constau in pariuri asupra valorii viitoare a acestei actiuni. Cistigul intr-o astfel de piata este definit prin dublarea sumei investite corect.

Putem presupune in continuare ca mecanismul de generare a celor doua valori posibile este similar aruncarii unei monezi imperfecte(in care bunaoara probabilitatea de a aparea valoarea 1 este de 70%) . In aceste circumstante sunt doua scenarii posibile: fie cunoastem mecanismul de generare si de fiecare data construim un portofoliu astfel incat sa maximizam profitul si sa miminizam pierderea tinind cont de probabilitatile asociate celor doua evenimente; fie nu cunoastem acest mecanism de generare, dar il putem estima urmarind succesiunea rezultatelor din trecut.

Oricum, in ambele situatii, este esentiala cunoasterea distributiei de probabilitate asociata mecanismului de tranzactionare.

In cele ce urmeaza presupunem cunoscute notiunile de baza alte statisticii si teoriei probabilitatilor. Scopul acestui capitol este acela de a relua pe scurt si intr-o forma sintetica aceste concepte, prin prisma subiectului acestei carti, statistica pietelor financiare.

Variabila aleatoareConceptul de variabila aleatoare isi are definitia exacta in statistica matematica1; intr-un mod intuitiv, vom spune ca o variabila aleatoare asociaza unui eveniment(sau unui rezultat al unui experiment aleator) o valoare reala. De exemplu randamentul zilnic asociat unui portofoliu poate lua, teoretic, orice valoare intr-un interval real marginit, de tipul . Cistigul sau pierderea sint masurate, cuantificate printr-un numar real. Cu alte cuvinte, o variabila aleatoare asociaza unui eveniment o ”masura” reala.

Multimea tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare impreuna cu probabilitatile asociate acestor valori formeaza distributia de probabilitate.Asa cum este cunoscut, distributia de probabilitate caracterizeaza corect si complet o variabila aleatoare.

Variabile discrete vs. Variabile continueSpune ca o variabila aleatoare X este de tip discret daca multimea sa de valori este o multime numarabila(in particular finita sau intr-o relatia biunivoca cu multimea numerelor naturale).

De exemplu daca este pretul unei actiuni la momentul t, atunci urmatoarea variabila

ce defineste starile ”bull-bear” este o variabila discreta.

1 Fie un spatiu de probabilitate si fie un spatiu masurabil. Atunci o functie

este variabila aleatoare daca si numai daca este -masurabila. Acest lucru este echivalent cu faptul ca

.

Spune ca o variabila aleatoare X este de tip continuu daca multimea sa de valori este o multime de puterea continuului(in particular intr-o relatie biunivoca cu multimea numerelor reale). De exemplu, variabila ce defineste randamentul unui activ(logreturn) este o variabila continua intrucit poate lua, teoretic, orice valoare reala(in realitate, randamentele, ca si preturile, se misca intr-un interval compact al dreptei reale).

In general, o distributie de proababilitate discreta are forma

, unde , si .

Pentru o astfel de distributie se pot defini urmatoarele notiuni:- functia densitate de probabilitate(mass probability function sau probability density

function-pdf) : ;- functia de repartitie(cumulative distribution function-cdf)

,

.De asemenea, se pot defini o serie de indicatori ai distributiei:- media:

- varianta: - abaterea standard: .

O distributie continua este descrisa printr-o functie densitate de probabilitate(pdf) astfel

incat .

Functia densitate de probabilitate este o functie continua, cu si

.

Functia de repartitie a unei variabile continue se poate determina pe baza functiei

densitate de probabilitate: .

De asemenea, avem .

In cazul distributiilor continue media si varianta se determina cu ajutorul functiei densitate de probabilitate:

-

- .

In cele mai multe situatii, in realitate, functia de repartitie a unei distributii continue nu este cunoscuta; atunci fie se estimeaza folosind o metoda parametrica, fie se poate estima folosind functia de repartitie empirica.

Functia de repartitie empirica se poate defini astfel: , unde

.

O alta notiune importanta in analiza unei distributii de probabilitate este notiunea de cuantila.Astfel, daca , se numeste cuantila de rangul acea valoare astfel incit

.Comparatia dintre cuantilele distributiei empirice si cuantilele distributiei teoretice este una dintre metodele cele mai simple pentru a analiza daca un anumit esantion de valori provine dintr-o distributie teoretica.

O alta metoda pentru a verifica provenienta unui esantion dintr-o distributie teoretica este utilizare asa-numitelor teste de concordanta, dintre care cel mai cunoscut este testul Kolmogorov-Smirnov.Ideea testului Kolmogorov-Smirnov este urmatoarea:- plecind de la un esantion de n observatii , se determina functia de repartitie

emprica: , unde .

- pentru a verifica ipoteza conform careia datele provin dintr-o distributie teoretica cu

functia de repartitie se determina statistica . Daca datele

provin din distributia teroretica ce are functia de repartitie , atunci statistica

converge aproape sigur la 0.

Distributia binomialaDistributia binomiala este printre cele mai cunoscute distributii discrete, fiind, se pare, precursorul in ordine istorica al mult mai celebrei distributii normale, care este o distributie continua.

Daca , sint n variabile aleatoare independente ce urmeaza o distributie

Bernoulli, , atunci variabila suma

defineste o distributie binomiala de parametri n si p.De regula,acest lucru este simbolizat astfel: ~ .O distributie binomiala ~ are citeva proprietati specifice:- , pentru ;

- ;- .

Aplicatia acestei distributii la domeniul pietei de capital este cit se poate de imediata: fie randamentul unui activ la momentul t.Plecind de la valorile randamentului, putem defini o variabila indicator pentru situatiile de crestere, respectiv scadere a valorii activului, de pilda

.Sa presupunem in plus ca probabilitatea de a avea o crestere zilica de valorii activului este egala cu si in plus, avem de-a face cu randamente independente de la o zi la alta.In aceste conditii, variabila , ce se refera la numarul total de zile de crestere a valorii activului, intr-o perioada de n zile, urmeaza o distributie binomiala.

Tabelul...Distributia binomiala cu n=10 si p=0.5k    

0 0.000977 0.0009771 0.009766 0.0107422 0.043945 0.0546883 0.117188 0.1718754 0.205078 0.3769535 0.246094 0.6230476 0.205078 0.8281257 0.117188 0.9453138 0.043945 0.9892589 0.009766 0.999023

10 0.000977 1

Fig...Functia densitate de proabilitate a distributiei

Fig...Functia de repartitie a distributiei

Distributia normala(gaussiana)

O variabila aleatoare X are o repartiţie normala de parametrii si (X~

daca funcţia densitate de probabilitate este de forma , unde ,

.

Graficul funcţiei de probabilitate depinde de parametrii şi , forma curbei

fiind cunoscuta sub numele de clopotul lui Gauss.

Fig...Functia densitate de probabilitate pentru N(0,1).

Parametrii şi ai distributiei normale reprezinta media şi respectiv abaterea standard.

Un caz particular al distributiei normale il reprezinta distributia normala standard, pentru

care si .

Orice distributie normala poate fi transformata intr-o distributie normala

standard:

Daca X~ , atunci ~ N(0,1).

Mai mult, orice combinatie liniara de variabile aleatoare indepedente normal distribuite

este la rindul sau o variabila aleatoare distribuita normal.

De un deosebit interes practic sint cuantilele distributiei normale, folosite la determinarea

intervalelor de incredere in diferite probleme de inferenta statistica.

Astfel, daca Z~ , atunci .

De exemplu, pentru avem , ceea ce inseamna ca pentru o distributie

normala standard 95% dintre valori se vor regasi in intervalul .

Avind in proprietarea de standardizare descrisa mai sus, obtinem intervalele de variatie

pentru o variabila aleatoare normala X~ din graficul de mai jos.

Din graficul de mai sus, se observa ca deci, in afara intervalului specificat, avem:

Cu alte cuvinte, distributia normala este o distributie in care probabilitatea de aparitie a evenimentelor extreme este foarte mica; intr-o astfel de distributie majoritatea valorilor sint concentrate in jurul mediei, intr-un interval de lungime .

Pe linga medie si varianta, in analiza unei distributii sint de interes si indicatorii ce ofera informatii cu privire la forma distributiei.Acestia sint:

- coeficientul de asimetrie(skewness) : .

- Coeficientul de aplatizare(kurtosis): .

Coeficientul de asimetrie ofera informatii privind simetria/asimetria distributiei(pentru distributia normala, care este o distributie simetrica, valoarea acestui coeficient este 0).Coeficientul de aplatizare ofera informatii despre gradul de aplatizare a unei distributii in raport cu distributia normala. Astfel, pentru distributia normala valoarea acestui coeficient este 3, pentru o distributie leptokurtica este >3, iar pentru o distributie platicurtica este<3.

Distributia

O variabila aleatoare X urmeaza o distributie cu k grade de libertate(X~ )

daca funcţia densitate de probabilitate are forma:

, unde reprezinta numarul gradelor de

libertate, iar este functia gamma( , pentru ).

Mai jos prezentam graficele funcţiei pentru .

Se vede ca graficele sunt asimetrice, dar, pentru valori mari ale gradelor de libertate

, graficul repartiţiei se apropie de graficul repartiţiei normale.

Media şi dispersia

Distributia se poate obtine din distributia normala standard. Astfel, daca

sint variabile aleatoare independente distribuite normal N(0,1), atunci ~

.

Repartiţia Student(t)

O variabila aleatoare X are repartiţie Student daca funcţia densitate de probabilitate

este de forma:

Se poate arata ca variabila aleatoare t este data de raportul , unde Z~N(0,1), iar

variabila aleatoare V este distribuita cu k grade de libertate, independenta de Z.

Media şi dispersia

, iar , pentru k>2.

La limita, distributia Student tinde catre distributia normala.

Distributia Fisher(F)

Fie X şi Y doua variabile aleatoare independente, unde .χYşiχX 2ν

2ν 21

Se defineşte

prin:

νY

ν

2

1

/

X/=F

o variabila aleatoare ce urmeaza o distributie Fisher cu v1 şi v2 grade de libertate.• Densitatea de probabilitate:

Figura 4.30. Densitatea de probabilitate F (1, 2)

• Caracteristicile distributiei F (v1, v2)- media:

.

- varianţa:

Daca reprezinta un eşantion dintr-o populaţie normala de medie m1 şi

abatere standard , iar este un eşantion dintr-o populaţie normala de medie m2

şi abatere standard , şi daca se noteaza , atunci:

Distributii heavy-tailed

Distributiile heavy-tailed sint acele distributii pentru care probabilitatea asociata cozilor

este mai mare decit in cazul distributiei normale. Numeroase studii empirice arata ca

variabilele asociate fenomenelor financiare nu respecta ipoteza de normalitate, valorile

extreme in cazul acestor financiare fiind mult mai frecvente decit ar trebui conform

distributiei normale.

Distributia Pareto

Distributia Pareto a fost utilizata initial pentru a caracteriza distributia bunastarii la

nivelul unei populatii. De-a lungul timpului, a cunoscut numeroase aplicatii in finante,

fizica, biologie, asigurari, seismologie etc.

In esenta, conform acestei legi, cea mai mare parte a avutiei este detinuta de un numar

foarte mic de indivizi.

In exprimare matematica, ponderea indivizilor care au un venit cel putin egal cu x este

egala cu , unde C si α sint constante pozitive independente de x, dar determinate la

nivelul populatiei.

Functia de repartitie a distributiei Pareto are forma:

, .

Functia densitate de probabilitate a distributiei Pareto este

.

Parametrul α se numeste tail index si caracterizeaza probabilitatea asociata cozilor

distributiei.

Astfel, . Cu cit α este mai mare, cu atit probabilitatea asociata

cozii din dreapta a distributiei este mai mica.

Densitatea de probabilitate pentru ~

Distributia Pareto poate fi folosita in managementul portofoliului de active drept

distributie a pierderilor.

Distributii cu cozi Pareto

O distributie avind functia de repartitie are cozi Pareto daca:

, .

Functia este astfel incit .

Un caz restrictiv este acela in care presupunem urmatoarea relatie pentru functia densitate

de probabilitate:

.

In cazul unei astfel de distributii nu intotdeauna exista momentele de orice ordin.

Astfel:

- daca , atunci media nu exista;

- daca , atunci media exista si este finita;

- daca , atunci varianta exista dar este infinita;

- daca , atunci varianta exista si este finita.

Distributii stabile

Numeroase studii(Mandelbrot, Rachev etc) au argumentat de-a lungul timpului folosirea in locul distributiei gaussiene a unor distributii cu cozi mai lungi(hevy-tailed), care fac parte din familia distributiilor stabile.

Familia distributiilor stabile este o clasa larga de distributii, care au o proprietate de a fi invariante la combinatii liniare.Distributia gaussiana este un caz particular al distributiilor stabile.

Dificultatea ce apare in cazul distributiilor stabile este aceea ca in cele mai multe cazuri nu se cunoaste o forma explicita a functiei densitate de probabilitate, ci doar expresia functiei caracteristice.

Astfel, o variabila aleatoare X urmeaza o distributie stabila de parametrii (Nolan,2009) daca exista astfel incit X si sa aiba aceeasi distributie, unde este o variabila aleatoare cu functia caracteristica

In notatia de mai sus este parametrul caracteristic(stability index), ce controleaza grosimea cozilor(pentru distributia ), este parametrul ce controleaza asimetria, este parametrul de scala si este parametrul de locatie.

Pentru se obtine o distributie normala de medie si dispersie .

Pentru si se obtine o distributie Cauchy cu parametrul de scala si parametrul de locatie .Pentru si se obtine o distributie Lèvy cu parametrul de scala si parametrul de locatie .

Pentru toate celelalte cazuri ale parametrului nu se cunoaste o forma explicita a functiei densitate de probabilitate.

Mai mult, spre deosebire de distributia normala, daca momentul de ordinul 2 al unei distributii stabile(si implicit varianta) nu exista, iar daca (cazul distributiei Cauchy), nici macar momentul de ordinul I(media) nu exista.

Spre deosebire de distributia normala, distributiile stabile au o probabilitate mai mare de aparitie a cazurilor extreme.

Relation to stable distribution: If then

Relation to Scale-inverse-chi-square distribution: If then

Relation to inverse gamma distribution: If then

Relation to Normal distribution: If then

  Normal(0,1) Cauchy(0,1)Lèvy(0,1)

0 0.5 0.5 11 0.1587 0.25 0.68272 0.0228 0.1476 0.52053 0.001347 0.1024 0.43634 0.00003167 0.078 0.38295 0.000000287 0.0628 0.3453

Sursa: Nolan,2009

Pe linga faptul ca nu exista o forma analitica explicita a functiei densitate de probabilitate, in literatura exista si diferite parametrizari, care creeaza confuzii printre specialisti(vezi Nolan, 2009).

Astfel, avem de-a face cu 3 parametrizari(), care difera intre ele prin expresia analitica a functiei caracteristice.

Spunem ca o variabila aleatoare X urmeaza o distributie stabila daca functia sa caracteristica are forma

Spunem ca o variabila aleatoare X urmeaza o distributie stabila daca functia sa caracteristica are forma

Parametrizarea are avantajul ca este mai facila la manipulari algebrice, desi functia caracteristica nu este continua pentru toti parametrii.

Parametrizarea este recomandata pentru simulari numerice si inferenta statistica, desi forma functiei caracteristice o face mai dificil de utilizat pentru calcule algebrice.

Nolan(2009) arata ca intre cele doua parametrizari exista totusi o corespondenta; astfel,

daca ~ si ~ , atunci .

-18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21

0

50

100

150

200

250

300

350

Percent

yav

Distributia stabila de parametrii

-3.2 -3.0 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2

0

2

4

6

8

10

12

Percent

x

Distributia normala

In tabelul de mai jos sint calculate valorile cuantilelor unei distributii stabile in paralel cu valorile cuantilelor unei distributii normale

.

Tabelul 1. Indicatorii distributiilor simulate pentru 1000 de observatii

Stable NormalMin -19.174 -2.304P_10 -0.460 -0.934P_20 -0.283 -0.609P_30 -0.171 -0.366P_40 -0.084 -0.176P_50 0.002 -0.024P_60 0.077 0.135P_70 0.168 0.315P_80 0.269 0.544P_90 0.465 0.867Max 21.201 2.176Mean 0.007 -0.024

Standard Deviation 1.187 0.698Skewness 3.214 -0.054Kurtosis 190.087 0.097

N 1000 1000

Pentru simularea unei distributii stabile se poate folosi algoritmul urmator(Weron(1996)):

1. Se genereaza o o variabila distribuita uniform ~ si o variabila

distribuita exponential ~ ;

2. Daca atunci se determina si

. Atunci se defineste variabila

;

3. Daca atunci se defineste variabila

;

4. Atunci variabila urmeaza o distributie stabila .

AplicatiiInca de la inceputurile modelarii fenomenelor financiare, ipoteza distributiei normale a randamentelor a stat la baza intregului construct epistemologic.Mai mult, daca piata este eficienta si preturile de tranzactionare sint independente, atunci se poate arata ca pretul urmeaza o distributie lognormala.

Daca notam cu pretul de tranzactionare la momentul t, atunci urmeaza o distributie normala. Cel mai simplu model matematic pentru a exprima acest lucru este modelul de random walk(mers la intimplare):

, unde ~ este un zgomot alb gaussian, , iar este ceea ce se cheama drift.Rezulta de aici ca randamentul are expresia:

.

Urmatorul program SAS genereaza un random walk si verifica proprietatile distributiei acestuia.

Pentru a generea un random walk ne folosim de urmatoarea scriere a pretului conform modelului de mai sus:

.

%let n=1000;data date;p0=10;do i=1 to &n;e=rannor(0)*0.01;output;end;run;

data date;set date;sume+e;t=i/&n;run;data date;set date;pt=p0*exp(sume+t*0.01);logpt=log(pt);rt=logpt-lag(logpt);run;

proc gplot data=date;symbol interpol=join w=2;

plot pt*t;plot rt*t;run;

proc univariate data=date;var rt;histogram/normal;run;quit;

proc means data=date;output out=means mean(rt)=miu std(rt)=sigma;run;

data means;set means;z=(0.1-miu)/sigma;prob=1-cdf('normal',z);run;

data date;if _n_=1 then set means;set date;

x=(rt-miu)/sigma;cdf=cdf('normal',x);run;

proc sort data=date;by x;proc gplot data=date;

plot cdf*x;run;quit;

pt

9

10

11

12

13

14

t

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

rt

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

t

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

-0.034 -0.030 -0.026 -0.022 -0.018 -0.014 -0.010 -0.006 -0.002 0.002 0.006 0.010 0.014 0.018 0.022 0.026 0.030

0

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

15.0

17.5

Percent

rt

The UNIVARIATE Procedure Fitted Normal Distribution for rt

Parameters for Normal Distribution

Parameter Symbol Estimate

Mean Mu 0.000184 Std Dev Sigma 0.009969

Goodness-of-Fit Tests for Normal Distribution

Test ----Statistic----- ------p Value------

Kolmogorov-Smirnov D 0.01958390 Pr > D >0.150 Cramer-von Mises W-Sq 0.05001261 Pr > W-Sq >0.250 Anderson-Darling A-Sq 0.33526725 Pr > A-Sq >0.250

In continuare vom studia ipoteza distributiei normale in cazul indicelui BET.

Pentru a verifica ipotezele de mai sus, am folosit datele zilnice ale valorilor indicelui BET, al Bursei de Valori Bucuresti, pentru perioada de timp 19 septembrie 1997-15 iunie 2010(3164 observatii zilnice).

Am folosit in analiza randamentul logaritmic, definit ca , unde reprezinta valoarea indicelui la momentul t.

7. RezultatePentru a verifica ipoteza distributiei normale pentru randamentul zilnic al

indiceului BET, am aplicat bateria de teste pentru distributia normala disponibile in SAS 9.2: testul Kolmogorov-Smirnov, testul Anderson-Darling si testul Cramer-von Mises.In toate cele trei cazuri, ipoteza distributiei normale a fost respinsa cu o probabilitate de cel putin 99%.

-0.126 -0.102 -0.078 -0.054 -0.030 -0.006 0.018 0.042 0.066 0.090

0

5

10

15

20

25

30

Figura 3. Histograma randamentelor indicelui BET

Tabelul 1. Parametrii distributiei normale

Parameter Estimate

Mean 0.000506

Std Dev 0.019321

Tabelul 2. Testele de concordanta pentru distributia normala

Tabelul 3. Distributia valorilor extreme a randamentelor

cSeria reala a

randamentelor

Distributia normala estimata

-0.05 0.013906 0.0044738-0.1 0.001264 9.863E-08

Test Statistic p Value

Kolmogorov-Smirnov

D 0.085

Pr > D <0.010

Cramer-von Mises

W-Sq

8.062

Pr > W-Sq

<0.005

Anderson-Darling

A-Sq

45.963

Pr > A-Sq

<0.005

-0.11 0.000948 5.343E-09-0.13 0.000316 7.161E-12

Dupa cum s-a observat, distributia randamentului prezinta cozi mult mai mari decit ar fi de asteptat conform distributiei normale, iar distributiile stabile rezolva problema unor astfel de evenimente extreme. Pentru seria randamentelor zilnice ale indicelui BET am estimat parametrii unei distributii stabile folosind programul STABLE.EXE(programul STABLE este disponibil pe site-ul lui J. P. Nolan: academic2.american.edu/~jpnolan).

Tabelul 4. Parametrii distributiei stabileParameter Estimate Lower 95% Upper 95%

α 1.476234 1.421034 1.531434β -0.01872 -0.138416 0.100984γ 0.009246 0.0088915 0.0096011δ 0.000551 -0.00005 0.0011552

Estimatorii de verosimilitate maxima arata ca putem respinge ipoteza distributiei normale, intrucit parametrul carcasteristic α este semnificativ mai mic decit 2, valoare tipica a distributiei normale.

Modele statistice pentru piaţa de capital

Modelarea proceselor şi evoluţiilor de pe pieţele financiare în general şi de pe pieţele decapital în particular se constituie într-o preocupare constantă, deopotrivă a cercetătorilor din mediul academic, cît şi a practicienilor implicaţi în activitatea economică curentă. Problema care transpare în această dezbatere, cu o vechime destul de consistentă, este una care nu ţine neapărat de domeniul ştiinţelor economice, ci face parte mai degrabă

din aria mai largă a preocupărilor din sfera umanului: în ce măsură informaţiile conferite de analiza stărilor trecute (şi/sau prezente) ale unui sistem se pot constitui în instrumente eficiente pentru anticiparea stărilor viitoare ale acelui sistem.Nu o dată se discută despre caracterul repetabil al direcţiilor de evoluţie istorică; ştiinţeleumanului, în particular psihologia, induc ideea că mediul de viaţă şi contextul educaţional al unui individ în copilărie îşi pun amprenta asupra dezvoltării ulterioare a individului; studiul modificărilor meteorologice dintr-o anumită zonă geografică poate oferi informaţii asupra caracterului probabil al vremii în acea zonă; analiza indicatorilor macroeconomici din trecutul apropiat poate oferi informaţii cu privire la starea viitoare a economiei naţionale ş.a.m.d.Din punctul de vedere al pieţelor financiare problema este următoarea(aşa cum a fostformulată de Eugene Fama1): În ce manieră pot fi folosite informaţiile din trecut privind preţul unui activ financiar pentru a realiza predicţii fiabile în legătură cu valorile viitoare ale preţului acelui activ?Răspunsul la această problemă a fost dat în general de pe două poziţii: teoria graficăchartistă sau analiza tehnică (chartist theory) şi teoria mersului la întîmplare(random walk theory).În esenţă, adepţii teoriei chartiste susţin că informaţiile ce privesc comportamentul viitoral preţului activelor financiare se regăsesc în informaţiile privind comportamentul din trecut al acestor active. Cu alte cuvinte, istoria se repetă în anumite tipare(patterns), care vor fi regăsite în comportamentul viitor al activelor financiare. Dacă printr-o analiză profundă a stărilor din trecut se pot recunoaşte aceste tipare de evoluţie, atunci descrierea stărilor viitoare ale activului finaciar se poate realiza pe baza acestor tipare; evident, secretul unor viitoare cîştiguri astfel obţinute nueste la îndemîna tuturor.Adepţii teoriei random walk susţin că valorile viitoare ale preţului unui activ sînt la fel depredictibile ca şi valorile viitoare ale unui şir de numere generate aleator. In termeni statistici, acest lucru înseamnă că schimbările succesive ale valorii unui activ finaciar reprezintă realizări ale unui şir de variabile aleatoare independente, indentic distribuite. Cu alte cuvinte, procesele de pe piaţa financiară sînt procese lipsite de memorie, trecutul neputînd fi utilizat pentru a prezice viitorul.În mod necesar modelarea pieţelor financiare trebuie să ia în considerare faptul că luareaunei decizii de către actorii acestor pieţe este afectată de incertitudine şi/sau risc. Deşi aparent se referă la acelaşi lucru, luarea unei decizii în condiţii de risc nu ese totuna cu a lua o decizie în condiţii de incertitudine2. A lua o decizie în condiţii de risc asupra unui activ fianciar presupune cunoaşterea distribuţiei de probabilitate din trecut a

valorii activului(sau a profitului); în plus, esenţială este ideea că distribuţia din trecut este o bună estimaţie a distribuţiei viitoare.Dimpotrivă, a lua o decizie în condiţii de incertitudine presupune a accepta ideea cădistribuţia din trecut nu este o bună estimaţie a distribuţiei viitoare, cu alte cuvinte trecutul nu poate fi folosit pentru predicţii cu privire la viitor.Recunoaştem în această separaţie esenţa disputei dintre adepţii analizei tehnice şi adepţiiteoriei mersului la întîmplare: utilizarea analizei tehnice în predicţia valorilor viitoare ale preţului unui activ implică luarea unei decizii în condiţii de risc, cîtă vreme adoptarea teoriei mersului la întîmplare implică luarea unei decizii în condiţii de incertitudine.Introducerea incertitudinii în modelarea pieţelor financiare are drept consecinţă limitareautilizării modelelor construite în procesul de luare a unei decizii. “Modelarea unor contexte în care apare şi acţiunea – cum sînt toate cele caracteristice vieţii sociale şi în particular economice – face astfel apel la explorarea viitorului. Ştim însă astăzi că descrierile trecutului, prezentului şi viitorului sînt de naturi diferite: pe cînd propoziţiile referitoare la trecut sînt, în ultimă analiză, ori adevărate ori false, propoziţiile referitoare la viitor nu sînt, astăzi, nici adevărate nici false, ci mai mult ori mai puţin probabile.Urmează că, deşi trecutul şi prezentul sînt generatori de fapte şi date ce compuntraiectorii(sugerînd tratări deterministe), viitorul nu mai este de acelaşi tip: traiectoriile sînt deci insuficiente pentru modelarea viitorului, deci a acţiunii.”3

2.1. Indicatori statistici ai distribuţiei rentabilităţii activelor financiare2.1.1. Preţuri şi profitAproape în orice abordare economică, profitul joacă un rol central: economia însăşi, lalimită, poate fi considerată ştiinţa gestionării unor resurse limitate, în scopul maximizăriiprofitului pe seama acestor resurse. Cu atît mai mult, în practica financiară, profitul reprezintă un element-cheie în evaluarea dinamicii activelor.În principiu, există două motivaţii pentru care profitul este de preferat preţului activelorîn modelarea matematică a fenomenelor financiare. În primul rînd, pentru investitorul mediu, piaţa financiară poate fi considerată a fi într-o competiţie aproape perfectă, astfel încît mărimea investiţiei nu influenţează modificarea preţului.În al doilea rînd, atît din motive teoretice cît şi practice, profiturile(rentabilităţile) sînt mai

dezirabile din punct de vedere statistic decît preţurile, manifestînd mult mai des proprietăţi de staţionaritate sau ergodicitate.2.1.2. Definiţii şi convenţiiÎn cele ce urmează vom face următoarele notaţii:- N- numărul de active ce intră în componenţa unui portofoliu;- [1…T]- orizontul de timp corepsunzător analizei efectuate;- Pt - preţul unui activ, înregistrat la sfîrşitul perioadei t; pentru început, presupunem căacest activ nu este plătitor de dividende;- Rt=(Pt – Pt-1) / Pt-1 - rentabilitatea simplă netă(profitul simplu net; simple net return), care descrie modificarea valorii activului financiar între momentul t-1 şi momentul t. În mod curent acest indicator mai este numit rată a profitului.- 1+Rt=Pt / Pt-1 - rentabilitatea simplă brută(profitul simplu brut; simple gross return);- 1+Rt(k) = (1+Rt) (1+Rt-1) ……. (1+Rt-k+1) = Pt / Pt-k - rentabilitatea compusă pentruperioada [t-k, t).De regulă, indicatorii de performanţă prezentaţi mai sus nu-şi găsesc sensul fărăprecizarea orizontului de timp pe care îl caracterizeză; un instrument foarte utilizat în aprecierea performanţei unei investiţii îl reprezintă rata anualizată a profitului sau profitul anualizat, calculat ca o medie geometrică a ratelor anuale ale profitului:

Ann Rt(k) = [ ∏ (1+Rt-j)1/k ] -1

Cum în general, pentru perioade mici de timp, variaţiile preţului au amplitudine destul demică, pentru calculul profitului anualizat se foloseşte următoarea aproximare, bazată pe odezvoltare în serie Taylor:

Ann Rt(k) ≈ 1 / k ∑ Rt-j

Într-adevăr, log(x +1) ≈ x , pentru x suficient de mic4, în vecinătatea lui 0.Avem atunci: log [Ann Rt (k) +1] = 1 / k ∑ log (1+Rt-j) ≈ 1 / k ∑ Rt-j

Pe de altă parte, log[Ann Rt (k) +1] ≈ Ann Rt(k) , de unde rezultă formula anterioară.Deşi mai uşor de calculat, această din urmă exprimare a ratei anualizate a profitului aredezavantajul că nu poate fi folosită în calcule de fineţe.Dificultatea care intervine în modelare atunci se pune problema calculării ratei anualizatea profitului în varianta cu media geometrică a impus introducerea unui indicator mai comod, care se pretează mai uşor la calcule algebrice şi este mai sensibil din punct de vedere statistic.

Profitul compus continuu(continuosly compounded return or log return) reprezintălogaritmul indicelui de preţ al activului financiar studiat :rt = log(1+Rt) = log Pt / Pt-1 = pt – pt-1, unde pt= log pt

Avantajul acestei exprimări este evident atunci cînd avem de-a face cu profiturimultianuale, deoarece este adevărată identitatea:rt(k) = log (1+Rt(k) ) = ………. = r t+ rt-1 +….. + rt-k+1

2.1.3. Plăţi de dividendePentru active care realizează periodic plăţi de dividende, trebuie modificată definiţiaprofitului. Notînd cu t D dividendul plătit la momentul t, profitul simplu net poate fi privit ca fiind Rt = (Pt+Dt / Pt-1) -1, unde t P este preţul ex-dividend la momentul t(dividendul este plătit chiar înainte ca preţul t P să fie înregistrat).În cazul activelor financiare plătitoare de dividende este mai dificil de definit profitulcompus; bunăoară, profitul compus continuu în acest caz are forma rt = log(Pt+Dt) – log (Pt-1), care este o funcţie mai greu manipulabilă algebric.Cea mai importantă trăsătură a activelor financiare o reprezintă caracterul aleatoriu alacestora. Incertitudinea asociată proceselor de pe pieţele financiare face ca acestea să seconstituie într-un bun mediu de modelare stochastică. Deşi modelarea stochastică este întîlnită în multe ramuri economice, în finanţe incertitudinea joacă un rol central. În cele ce urmează vom identifica principalele surse de incertitudine.2.1.4. Distribuţia comunăConsiderăm un portofoliu de N active la momentul t, fiecare avînd profitulRit ,i = 1, N( de la 1 la N) ; t =1,T (de la 1 la T) . Distribuţia comună (joint distribution) este funcţia G(R11,……RN1;R12, …. RN2;…;RNT;x|Ɵ , unde:- x - reprezintă vectorul variabilelor de stare(state variable), acele variabile care descriumediul economic subiacent activelor financiare;- θ – reprezintă vectorul parametrilor care determină în mod unic funcţia de distribuţie G;Funcţia de repartiţie G determină caracterul stochastic al activelor şi reprezintă sumatuturor informaţiilor cognoscibile despre aceste active.2.1.5. Distribuţia condiţionatăConsiderînd distribuţia comună F a lui {Ri1....R iT} pentru un activ dat i, aceasta se poatescrie în felul următor:F(Ri1…..RiT) = F i1(Ri1) Fi2(Ri2|Ri1) ......FiT(RiT | Ri1....RiT-1)Se observă că predictibilitatea valorii activelor financiare implică aspecte legate de

cunoaşterea distribuţiei condiţionate a rentabilităţii, precum şi de felul cum această distrib. evoluează de-a lungul timpului. Impunînd diverse condiţii asupra distribuţiilor condiţionate, putem trage conluzii asupra posibilităţii de a putea realiza predicţii asupra valorilor viitoare ale activelor. Spre exemplu, condiţia Fit (Rit| *) = Fit (Rit ) implică independenţa temporală a valorii activelor, deci imposibilitatea de a realiza predicţii.2.1.6. Distribuţia necondiţionată(marginală)Dacă distribuţia condiţionată a profitului unui activ diferă de distribuţia sa marginală,atunci distribuţia condiţionată poate oferi informaţii privind predictibilitatea valorii activului.Unul dintre cele mai folosite modele pentru profitul activelor este acela în care se consideră că profiturile sînt independente, identic distribuite după legea normală.Deşi modelarea folosind repartiţia normală este cea mai la îndemînă, are totuşi o serie deneajunsuri. În primul rînd, un investitor nu poate pierde mai mult decît investiţia iniţială, deci profitul net nu poate fi mai mai mic de -1 sau -100%, ori repartiţia normală are ca suport întreaga dreaptă reală.În al doilea rînd, dacă profiturile sînt considerate a fi normale, atunci profiturilemultiperioade nu mai pot fi normale, de vreme ce sînt produsul acestora.2.1.7. Repartiţia lognormalăPentru evitarea acestor neajunsuri ale repartiţiei normale, în modelarea proceselor de pepieţele financiare se foloseşte repartiţia lognormală. Astfel, se pleacă de la ipoteza că profiturile compuse continuu sînt independente, identic normal repartizate, ceea ce implică faptul că profiturile nete urmează o repartiţie lognormală, întrucît avem relaţia rt = log(1+R )

Dacă atunci avem următorii parametrii pentru repartiţia profiturilorsimple:

Reciproc, dacă media şi dispersia lui it R sînt respectiv , atunci în ipotezaexistenţei unei repartiţii lognormale a profiturilor compuse continuu, avem:

Modelul lognormal are avantajul că nu prezintă limitările repartiţiei normale, caredatorită faptului că este definită pe întreaga axă reală nu poate fi folosită în bune condiţii pentru modelarea financiară.

Daca , si

, lucru evident inuitiv, întrucît un investitor nu poate pierde mai mult decît a investit.Deşi foarte atractiv, modelul lognormal are şi unele dezavantaje, datorităcomportamentului temporal al activelor financiare. Pe termen scurt, seria profiturilor istorice prezintă o uşoară tendinţă de asimetrie şi o boltire în exces.Pentru o variabilă aleatoare (epsilon) cu media (miu) şi dispersia (abaterea la patrat) , avem următorii coeficienţi de asimetrie, respectiv aplatizare/boltire(skewness şi kurtosis):

Pentru distribuţia normală valorile coeficienţilor de asimetrie şi de aplatizare sînt 0;pentru distribuţii mai aplatizate decît distribuţia normală, valoarea coeficientului de aplatizare poate fi infinită.Ca un caz concret, estimaţiile pentru coeficientul de asimetrie al ratei profitului în cazulIndicelui BET, sînt apropiate de zero, în vreme ce boltirea este în exces, ceea ce indică odistanţare de modelul normal.Tabelul 1. Parametrii distribuţiei rentabilităţilor pentru Indicele BET, valori zilnice pentru perioada 19.09.1997-9.01.2007

Studiile mai timpurii au încercat să modeleze boltirea în exces prin intermediul aşanumitelorrepartiţii stabile5. Motivaţia pentru acest lucru este evidentă: deşi histogramadistribuţiei ratei de rentabilitate este unimodală, nu se identifică deloc cu curba repartiţieinormale; am ilustrat acest fapt folosind datele privind Indicele BET al Bursei de ValoriBucureşti.

Figura 3. Histograma rentabilităţii pentru Indicele BET2.2. Ipoteza de piaţă eficientăIdeeea de piaţă eficientă, aşa cum e înţeleasă în literatura modernă, îşi are originile îmlucrările lui Bachelier, Cowles şi Samuelson. În 1970, în celebrul său studiu6, Fama dăurmătoarea definiţie: “O piaţă în care preţurile reflectă întotdeauna complet informaţiadisponibilă se numeşte piaţă eficientă”.

O definiţie mai recentă este cea formulată de Malkiel(1992): “O piaţă de capital senumeşte eficientă dacă reflectă corect şi complet toate informaţiile relevante pentru determinarea preţurilor activelor. Formal, piaţa se presupune a fi eficientă în raport cu o anume mulţime de informaţii, dacă preţurile activelor nu ar fi afectate prin relevarea acelor informaţii tuturor agenţilor de pe piaţa de capital. Mai mult, eficienţa în raport cu o mulţime de informaţii implică faptul că este imposibil să obţii profit acţionînd pe baza acelei mulţimi de informaţii”.Prima parte a acestei din urmă definiţii este identică cu definiţia clasică a lui Fama; parteaa doua implică o modalitate de a testa eficienţa unei pieţe de capital: dacă preţurile nu semodifică atunci cînd o anume mulţime de informaţii este dezvăluită, atunci piaţa este eficientă în raport cu acea mulţime de informaţii(acest test este însă imposibil de realizat în condiţii reale).A treia parte de definiţiei sugerează o altă modalitate de a măsura eficienţa: măsurîndprofiturile obţinute în urma tranzacţiilor pe baza unei mulţimi de informaţii, putem decide dacă ipoteza de piaţă eficientă se verifică ori nu. Şi această modalitate este greu de pus în aplicare, informaţiile la care au acces agenţii de pe piaţa de capital fiind incomplet cunoscute. O cale de a evita aceste dificultăţi în testarea eficienţei pieţei de capital este realizarea unei clasificări în funcţie de mulţimea de informaţii disponibilă; astfel, putem distinge între trei tipuri de eficienţă:- eficienţă în forma slabă – mulţimea de informaţii cuprinde doar istoricultranzacţiilor(informaţii referitoare la preţurile sau rentabilităţile activelor financiare);- eficienţă în forma semi-tare – mulţimea de informaţii cuprinde, pe lîngă istoricultranzacţiilor, toate informaţiile cu caracter public, cunoscute de către toţi participanţii latranzacţii;- eficienţă în forma tare – mulţimea de informaţii cuprinde toate informaţiile cunoscutede oricare dintre actorii pieţei de capital(inclusiv informaţii cu caracter privat).O modalitate de a testa eficienţa pieţei de capital este de a studia comportamentulrentabilităţilor activelor financiare; dacă acestea sînt nepredictibile, este un indiciu că piaţa esteeficientă.Un argument în sens invers este oferit de aşa-numita lege a mediilor iterate. Fie în acest

sens două mulţimi de informaţii It şi Jt astfel încît It inclus in Jt , adică a doua mulţime estesuperioară în informaţii primei mulţimi.Legea mediilor iterate spune următorul lucru: dacă X este o variabilă aleatoare, atunci

Interpretarea acestei legi este următoarea: predicţia bazată pe informaţiile conţinute înmulţimea t I este identică cu predicţia pe care am obţine-o dacă am dispune de informaţiile conţinute în plus de mulţimea t J .Aplicarea acestei legi probabiliste la situaţia pieţelor de capital duce la o concluzieinteresantă: în cazul unei pieţe eficiente, fluctuaţiile preţurilor activelor financiare nu sîntpredictibile.Într-adevăr, presupunem că la un moment dat dispunem de mulţimea de informaţii t I ,informaţii care se regăsesc complet şi corect în preţul t P ( formalizînd, aceasta înseamnă că există o variabilă aleatoare V astfel încît

Analog, preţul de la momentul următor, t+1, este determinat pe baza mulţimii de

informaţii Atunci valoarea aşteptată a fluctuaţiei preţului între cele două momente de timp este:

În concluzie, fluctuaţia preţului nu poate fi prezisă, bazîndu-ne pe informaţiile conţinuteîn mulţimea t I .Deşi din punct de vedere teoretic problematica eficienţei pieţei de capital este bine pusăla punct, se pune problema în ce măsură se poate realiza practic testarea ipotezei de piaţăeficientă. O abordare utilă este în acest sens conceptul de eficienţă relativă, i.e., testareaeficienţei unei pieţe prin raportare la altă piaţă.2.3. Predictibilitatea rentabilităţii activelor financiarePosibilitatea de a modela comportamentul activelor financiare în scopul realizării depredicţii cît mai apropiate asupra rentabilităţilor viitoare ale acestora constituie o preocupare continuă a cercetătorilor în domeniu. În cele ce urmează vom considera problema predictibilităţii fluctuaţiilor preţurilor activelor financiare, considerînd că acestea sînt influenţate de valorile

din trecut; desigur, nu este o abordare completă, întrucît în fiecare moment mulţimea de informaţii de care dispune un investitor este mult mai bogată decît mulţimea valorilor trecute ale rentabilităţilor, dar este un prim pas în modelarea activelor financiare.2.3.1 Ipoteza de random walk(mers la întîmplare)Pentru ilustrarea diverselor versiuni ale ipotezei de random walk vom studia tipul şigradul de corelare care există între valorile rentabilităţilor la momentele de timp t şi t+k: r1 si rt+k

Definiţie: Fie f (), g() :R⃗R două funcţii reale astfel încît sînt îndeplinite condiţiile

de ortogonalitate: . Atunci spunem că tripletul

este un sistem aleator ortogonal.Observaţie: Toate versiunile ipotezei de random walk sau modelele de martingal sîntparticularizări ale noţiunii de sistem aleator ortogonal, în funcţie de alegerea formei funcţionalepentru f şi g.O clasificare a acestor ipoteze, care sînt legate intrinsec de noţiunea de piaţă eficientă,este prezentată sub formă matriceală în tabelul următor.Tabelul 2. Ipotezele de random walk

Sursa: CAMPBELL, J.Y., LO, W., MACKINLAY, C., The Econometrics of Financial Markets, PrincetonUniversity, 19972.3.2. Modelul de martingalCel mai vechi model pentru comportamentul activelor financiare a fost modelul demartingal, ai cărui germeni apar încă în Evul Mediu, în lucrarea lui Girolamo Cardano, Liber de Ludo Aleae( Cartea jocurilor de noroc). Ideea de bază în acest tip de modele este cea a existenţei unui echilibru între partenerii implicaţi într-un astfel de joc, în sensul că jocul nu este nici în favoarea, nici în defavoarea oponenţilor.Formal, această condiţie este sintetizată în definiţia martingalului: dacă ( P t) t este unproces stochastic, atunci acesta satisface condiţia de martingal dacă

E[P t+1 |P t, P t-1]=P , sau, echivalent, .

Privind t P drept probabilitatea de cîştig la momentul t, ipoteza de martingal implicăfaptul că cea mai bună estimare a cîştigului aşteptat, condiţionată de istoria jocului, este exact cîştigul existent la momentul actual.Tradusă în termeni de comportament al activelor financiare, această aserţiune se reduce laideea că cea mai bună predicţie a preţului activului la momentul t+1, condiţionată de evoluţia anterioară, este chiar valoarea prezentă, înregistrată la momentul t.Ipoteza de martingal aplicată activelor financiare este în concordanţă cu ipoteza de piaţăeficientă; dacă piaţa este eficientă, atunci nu se pot obţine profituri în dauna celorlalţicompetitori, pe baza informaţiilor conţinute în istoricul tranzacţiilor.Cu cît piaţa este mai eficientă, cu atît modificarea valorii activelor financiare are uncaracter aleator, iar cea mai eficientă piaţă posibilă este cea în care modificarea valorii activelor financiare este complet impredictibilă.Punctul slab al martingalelor în modelarea pieţelor financaiare este că nu se acordăatenţie riscului de investiţie. În general, decizia de investire este precedată de o evaluare arentabilităţii aşteptate şi a riscului implicat de respectiva investiţie; modelul de martingal impune condiţii doar asupra valorii aşteptate a rentabilităţii activelor financiare.2.3.3. Ipoteza RW1: creşteri indepedente identic repartizate(i.i.d.)Cea mai naturală exprimare a ipotezei de random walk este aceea în care preţul activelorfinanciare este un proces stochastic cu o dependenţă internă de forma următoare:

(2.1)

unde reprezintă un zgomot alb, i.e. un şir de variabile aleatoare independente, identic repartizate:

Mai mult, dacă ultima condiţie este îndeplinită, atunci avem

În ecuaţia (2.1), 1 , t t P P reprezintă valoarea preţului la două modele succedive de timp, iar miu este modificarea aşteptată a preţului, aşa-numitul drift.

Independenţa inovaţiilor ( epsilon) tt implică faptul că mersul la întîmplare este de asemenea un joc corect, dar într-un sens mai tare decît ipoteza de martingal: creşterile sînt nu doar necorelare,ci chiar independente, de unde rezultă că orice combinaţii neliniare ale acestora sînt necorelate.Forma funcţională a modelului RW1 induce condiţii de nestaţionaritate ale procesului