Universidad de AntioquiaDepartamento de MatemticasGeometra VectorialParcial No 1 (20%)

Profesora:Luz Marina Vsquez Pelez

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Documento: Diciembre 17 de 2009

1. (25%) Para los siguientes literales slo uno de los numerales es correcto.Seale con lapicero, cul es.

(a) (5%) El conjunto solucin de la ecuacin 0x+ 0y = 0; es:

i. El conjunto vaco fg :ii.

xy

: x 2 R; y 2 R

:

iii. El par ordenado00

:

iv. La recta L con ecuacin 2x+ y = 3:(b) (5%) En las siguientes armaciones hay una que es falsa. Seale

cul es?.

i. Para toda matriz A de orden n se cumple que AIn = InA = A:ii. Para toda matriz no nula A de orden 2 existe una matriz A1:iii. Si el sistema AX = 0 tiene solucin nica es X = 0; entonces A

es invertible.iv.

ATT= A:

(c) (5%) Uno de los siguientes sistemas tiene innitas soluciones. Cules?.

i.x y = 0x+ y = 0

: ii. :x+ y = 32x y = 6

iii.3x+ 3y = 12x+ y = 4

: iv.2x 3y = 2

4x+ 6y = 4 :

1

(d) (5%) Dada la matriz F = 2 2

4 1; la matriz F2 es:

i. 4 4

8 2: ii.

2 24 1

:

iii.

4 416 1

: iv.

12 6

12 9:

(e) (5%) Si la matriz R es una matriz de orden 3 3 que es producto dematrices elementales,como sigue:R = E32 (1)P23E3

23

E13 (2) : Su inversa es:

i.E13 (2)E332

P23E32 (1) : ii. E13

12

E3 23P23E32 (1)

iii. E32 (1)P23E332

E13 (2) : iv. E32 (1)P23E3

23E13 12 :2. (15%) Considere el sistema

4x 5y = 38x+ 10y = 4:

(a) (3%) Escriba el sistema dado en la forma matricial AX = b:

(b) (5%) Muestre que el sistema AX = b tiene nica solucin.

(c) (7%) Resuelva el sistema dado empleando la inversa de A:

3. (15%) Dado el sistema

x+ 2y z = 3x+ (2 + k)y + z = 1

x 2y + kz = k 2

Halle los valores reales de k para que el sistema tenga:

(a) (9%) Solucin nica.

(b) (3%) Sea inconsistente.

(c) (3%) Innito nmero de soluciones.

4. (15%) Dada una matriz cuadrada A en Rnn, demuestre que la matriz:A+AT

es simtrica.

5. (30%) En un lago de pesca gubernamental en el que habitan peces detres especies, se les hecha tres tipos de alimento Cada pez de la especie Iconsume por semana, un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidaddel alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie IIconsume por semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 unidades

2

del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie IIIconsume por semana un promedio de 2 unidades del alimento 1, 1 unidaddel alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se vierten en ellago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del alimento 2 y 55000unidades del alimento 3. Si se supone que toda esta comida se consume,cuntos ejemplares de cada especie pueden coexistir en el lago?.

Unidades Peces Especie I Especie II Especie IIIAlimento 1 1 3 2 25000Alimento 2 1 4 1 20000Alimento 3 2 5 5 55000

(a) (8%) Dena claramente las variables y plantee las ecuaciones delsistema y su forma matricial.

(b) (17%) Utilice eliminacin Gaussiana para encontrar las restriccionesque el problema impone sobre cada una de las variables.

(c) (5%) Encuentre el nmero de peces de cada uno de las tres especiesque pueden coexistir en el lago.

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