Upload
tyzzzu
View
99
Download
26
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Calcul Beton armat I
Citation preview
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI
DEPARTAMENTUL CONSTRUCŢII DE BETON ARMAT
EXEMPLE PENTRU CALCULUL
ELEMENTELOR DE BETON ARMAT
- Pentru uzul studenţilor din anii II şi III ai Facultăţii de Hidrotehnică
specializarea ISPM şi ACH -
ing. Eugen Enache
BUCUREŞTI
2013
NOTA : Acest material este destinat studenţilor de la specializările ISPM şi ACH din
cadrul Facultăţii de Hidrotehnică a UTCB şi va fi utilizat numai în scop didactic în cadrul
procesului de invăţământ. Folosirea lui în alte scopuri decât cele necesare procesului de
învăţământ implică numai răspunderea utilizatorului.
Schema 1.1 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată –
Încovoiere - Verificare
Exemplu 1 - Să se determine momentul MRd al grinzii cu secţiunea din figură.
Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1.Se stabilesc rezistenţele pentru beton şi oţel:
2
2
/83,34715,1
400
/33,135,1
20
mmNf
f
mmNf
f
s
yk
yd
c
ck
cd
2. Se calculează a=55 mm în funcţie de condiţiile de
durabilitate.
3. d = h – a=600-55=545 mm
4. mmfb
fAx
cd
yds97,204
33,1318,0250
83,3471571
5. xlim = mmd
ydcu
cu03,364545
1074,1105,3
105,3
33
3
unde 3
1074,1200000
83,347
s
yd
ydE
f
6. Se verifică x xlim 204,97 mm ≤ 364,03 mm DA 7
7. Se calculează : mmx
dz 01,4632
97,2048,0545
2
8. MRd = As fyd z=1571∙347,83∙463,01=253,01 kNm Stop
250
2 10
montaj
5 20
600
Schema 1.2 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată –
Încovoiere - Dimensionare
Exemplu 1 - Să se armeze secţiunea unei grinzi cu dimensiunile 300x700 mm, solicitată
de un moment încovoietor MEd=240 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel
S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a în funcţie de condiţiile de durabilitate; valoarea a se estimează la
a 60 mm
3. d = h – a=700-60=640 mm
4. Se calculează MRd,lim =Fc zlim =1367,59∙0,47=642,77 kNm
considerând x = xlim , xlim = mmd
ydcu
cu48,427640
1074,1105,3
105,3
33
3
Fc = bxlim fcd = 300∙0,8∙427,48∙1∙13,33=1367,59 kN şi
zlim= mmmx
d 47,001,4692
48,4278,0640
2
lim
(vezi Schema 1.1)
5. Se verifică MEd MRd,lim 240 kNm 642,77 kNm DA 6
6. Se calculează momentul încovoietor al rezultantei Fc (a eforturilor de compresiune
din beton) faţă de armătura As :
b x fcd [d-(x/2)]=MEd (ecuaţie de gradul II în x)
300∙0,8∙x∙1∙13,33∙(640-2
8,0 x)=240∙10
6
7. Se calculează x din ecuaţia de la punctul 6. Rezultă x=127,35 mm
8. Cu valoarea x de la punctul 7 se calculează cantitatea de armătură necesară
231,1171
83.347
33,13135,1278,0300mm
f
fxbA
yd
cd
s
9. Se calculează As,min
As,min=2
56,274640300400
2,226,026,0 mmdb
f
f
yk
ctm
sau
As,min=2
6,2496403000013,00013,0 mmdb
Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.
Rezultă As,min=274,56 mm2
10. Se verifică As As,min 1171,31 mm2 274,56 mm
2 NU: 11
11. As calculată la (8) este bună Stop
Obs. Se alege armătura reală respectând prevederile constructive pentru grinzi.
De exemplu se poate alege varianta 220+316, ceea ce înseamnă 628+603=1231 mm2
care acoperă necesarul de 1171,31 mm2.
300
210
montaj
2 20
3 16
700
Schema 1.3 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată –
Încovoiere - Dimensionare secţiune de beton
Exemplu 1 - Să se dimensioneze secţiunea unei grinzi solicitată de un moment
încovoietor cu valoarea MEd=260 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel
S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se alege în funcţie de tipul elementului un coeficient de armare optim opt. De
exemplu pentru grinzi opt =0,01
3. Se alege b în funcţie de tipul elementului. Se alege b=250 mm
4. Se calculează
26,033,131
83,34701,0
cd
yd
optf
f
d
x
5. Se calculează
mm
d
x
d
xfb
Md
cd
Ed29,587
26,02
1126,033,131250
10260
2
11
6
6. Se alege o valoare pentru a în funcţie de condiţiile de durabilitate.
Se alege a 55 mm
7. Se calculează valoarea h prin rotunjire la 10 mm pentru plăci şi 50 mm pentru grinzi
h = d + a=587,29+55=642,29 mm Se rotunjeşte la h=650 mm
8. Pentru grinzi se recomandă ca:
2
1
3
1
h
b respectiv
2
1
650
250
3
1 inegalitate care se verifică.
În concluzie dimensiunile secţiunii grinzii vor fi b=250 mm şi h=650 mm (250x650 mm)
Schema 2.1 - Secţiunea dreptunghiulară dublu armată –
Încovoiere - Verificare
Exemplu 1 – Să se determine momentul încovoietor MRd al grinzii cu secţiunea din
figură. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi
clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=60 mm şi a’=45 mm în funcţie de
condiţiile de durabilitate
3. d = h – a=550-60=490 mm
4. Se calculează mmfb
fAfAx
cd
ydsyds35,193
33,1318,0250
83,34740283,3471884'
5. Se calculează xlim = mmd
ydcu
cu29,327490
1074,1105,3
105,3
33
3
6. Se verifică x xlim 193,35 mm 327,29 mm DA 7 –8
7. Se calculează xmin = mma
ydcu
cu49,8945
1074,1105,3
105,3
33
3
'
unde s
yd
yd
E
f
8. Se verifică x xmin 193,35 mm 89,49 mm DA 9
9. ''
2adfA
xdfxbM
ydscdRd=
kNm94,2744549083,3474022
35,1938,049033,13135,1938,0250
250
2 16
6 20
550
Schema 2.2 - Secţiunea dreptunghiulară dublu armată –
Încovoiere - Dimensionare
Exemplu 1 – Să se armeze secţiunea unei grinzi cu dimensiunile 300x700 mm pentru un
moment încovoietor MEd=450 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
Armătura comprimată este alcătuită din 314.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi
clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=60 mm şi a’=45 mm în funcţie de condiţiile
de durabilitate;valoarea a se estimează pentru că nu se
cunoaşte armătura dar a’ se poate calcula deoarece
armătura A’s este dată.
3. d = h – a=700-60=640 mm
Cazul în care armătura A’s este dată din alte considerente
4. MEd = A’s fyd (d-a’)=462∙347,83∙(640-45)=95,61 kNm
5. Se calculează M1=MEd - MEd=450-95,61=354,39 kNm
6. Se verifică M1 0 354,39 kNm 0 NU 8
8. Se calculează As1 numai cu momentul M1 =354,39 kNm cu Schema 1.2.(secţiune
dreptunghiulară simplu armată).
Rezultă As1=1816,07 mm2 (calculată cu acelaşi a=60 mm)
9. '
1 sssAAA =1816,07+462 =2278,07 mm
2
Se calculează As,min
As,min=2
56,274640300400
2,226,026,0 mmdb
f
f
yk
ctm
sau
As,min=2
6,2496403000013,00013,0 mmdb
Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.
Rezultă As,min=274,56 mm2
Se verifică As As,min 2278,07 mm2 274,56 mm
2 NU: rezultă că aria
calculată la punctul 9 este bună Stop
300
314
700
Obs. Se alege armătura reală respectând prevederile constructive pentru grinzi.
De exemplu se pot alege 622, ceea ce înseamnă 2281 mm2
care acoperă necesarul de
2278,07 mm2.
300
314
6 22
700
Schema 2.2 - Secţiunea dreptunghiulară dublu armată –
Încovoiere - Dimensionare
Exemplu 2 – Să se armeze secţiunea unei grinzi cu dimensiunile 300x700 mm pentru un
moment încovoietor MEd=670 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=60 mm şi a’=45 mm în funcţie de condiţiile de durabilitate; ambele
valori sunt estimate pentru că nu se cunosc armăturile.
3. d = h – a=700-60=640 mm
Cazul în care armătura A’s nu este cunoscută
10. Se calculează xlim = mmd
ydcu
cu48,427640
1074,1105,3
105,3
33
3
11. Se calculează MRd,lim =Fc zlim =1367,59∙0,47=642,77 kNm
Fc = b xlim fcd = 300∙0,8∙427,48∙1∙13,33=1367,59 kN şi
zlim= mmmx
d 47,001,4692
48,4278,0640
2
lim (vezi Schema 1.1)
12. Se verifică MEd MRd,lim 670 kNm 642,77 kNm NU 13
13. MEd = MEd –MRd,lim=670-642,77=27,23 kNm
14. 2
6
'
'57,131
4564083,347
1023,27mm
adf
MA
yd
Ed
s
15. 2
6
'
lim
lim,66,407157,131
83,34701,469
1077,642mmA
fz
MA
s
yd
Rd
s
Se calculează As,min
As,min=2
56,274640300400
2,226,026,0 mmdb
f
f
yk
ctm
sau
As,min=2
6,2496403000013,00013,0 mmdb
Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.
Rezultă As,min=274,56 mm2
Se verifică As As,min 4071,66 mm2 274,56 mm
2 NU: rezultă că aria
calculată la punctul 15 este bună Stop
Obs. Se alege armătura reală respectând prevederile constructive pentru grinzi.
De exemplu se pot alege 5 28+3 22 3079+1140=4219 mm2 pentru As şi 2 12
226 mm2
pentru A’s.
300
2 12
3 28
3 22+ 2 28
700
Schema 3.1 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere - Verificare
Exemplu 1 - Să se determine momentul MRd al grinzii cu secţiunea din figură.
Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa
betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=50 mm în funcţie de
condiţiile de durabilitate
3. d = h – a=550-50=500 mm
4. Se calculează lăţimea activă de placă beff
=1000 mm
5. yd
cdfeff
s
f
fhbA
lim corespunzătoare la x=hf
2
lim80,4598
83,347
33,1311201000mm
f
fhbA
yd
cdfeff
s
6. Se verifică As As lim 763 mm2 4598,80 mm
2 NU:(x hf ) 7
7. Se calculează MRd ca pentru o secţiune dreptunghiulară simplu armată cu
b=beff=1000 mm cu Schema 1.1. La Schema 1.1 se trece direct la punctul 4, respectiv
calculul valorii x.
Rezultă în final o valoare a momentului încovoietor MRd=130,05 kNm.
120
250
1000
550
210
montaj
318
Schema 3.1 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere - Verificare
Exemplu 2 - Să se determine momentul MRd al grinzii cu secţiunea din figură.
Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa
betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=75 mm în funcţie de
condiţiile de durabilitate
3. d = h – a=700-75=625 mm
4. Se calculează lăţimea activă de placă beff
=1000 mm
5. yd
cdfeff
s
f
fhbA
lim corespunzătoare la x=hf
2
lim87,3065
83,347
33,131801000mm
f
fhbA
yd
cdfeff
s
6. Se verifică As As lim 3927 mm2 3065,87 mm
2 DA: ( x hf ) 8
8. 2
40,229983,347
33,131802501000mm
f
fhbbA
yd
cdfeff
IIs
9. sIIsIs
AAA =3927-2299,40=1627,6 mm2
10. Se calculează MI cu Schema 1.1 şi cu AsI ca pentru o secţiune dreptunghiulară cu
dimensiunile b şi h
1 .Idem
2. a 50 mm deoarece AsI este mai mică decât As
3. d = h – a=700-50=650 mm
4. mmfb
fAx
cd
ydIs35,212
33,1318,0250
83,3476,1627
5. xlim = mmd
ydcu
cu16,434650
1074,1105,3
105,3
33
3
6. Se verifică x xlim 212,35 mm ≤ 434,16 mm DA 7
7. Se calculează : mmx
dz 06,5652
35,2128,0650
2
80
250
1000
700
210
montaj
825
8. MRd =MI= AsI fyd z=1627,6∙347,83∙565,06=319,9 kNm
Se revine la Schema 3.1:
11. kNmh
dfAMf
ydIIsII88,467
2
8062583,34740,2299
2
12. MRd = M I + M II =319,9+467,88=787,78 kNm Stop
Schema 3.2 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere - Dimensionare
Exemplu 1 - Să se armeze secţiunea grinzii din figură solicitată de un moment
încovoietor MEd=200 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa
betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a în funcţie de condiţiile de
durabilitate; valoarea a se estimează la
a 45 mm
3. d = h – a=500-45=455 mm
4. Se calculează lăţimea activă de placă beff=700
mm
5.
2lim
f
cdfeff
hdfhbM corespunzător la x = hf
kNmh
dfhbMf
cdfeff79,309
2
8045533,13180700
2lim
6. Se verifică MEd ≥ Mlim 200 kNm ≥ 309,79 kNm NU:(x hf ) 7
7. Se calculează As ca pentru o secţiune dreptunghiulară cu lăţimea beff =700 mm cu
Schema 1.2 şi MEd=200 kNm
Rezultă As = 1337,02 mm2
Se calculează As,min
As,min=2
13,130455200400
2,226,026,0 mmdb
f
f
yk
ctm
sau
As,min=2
30,1184552000013,00013,0 mmdb
Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.
Rezultă As,min=130,13 mm2
Se verifică As As,min 1337,02 mm2 130,13 mm
2 NU: rezultă că aria
calculată la punctul 7 este bună Stop
Obs. Se alege armătura reală respectând prevederile constructive pentru grinzi.
80
200
700
500
De exemplu se poate alege varianta 316+318, ceea ce înseamnă 603+763=1366 mm2
care acoperă necesarul de 1337,02 mm2.
80
200
700
500
210
montaj
316
318
Schema 3.2 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere - Dimensionare
Exemplu 2 - Să se armeze secţiunea grinzii din figură solicitată de un moment
încovoietor MEd=325 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa
betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a în funcţie de condiţiile de
durabilitate; valoarea a se estimează la
a 70 mm
3. d = h – a=500-70=430 mm
4. Se calculează lăţimea activă de placă
beff=700 mm
5.
2lim
f
cdfeff
hdfhbM corespunzător la x = hf
kNmh
dfhbMf
cdfeff13,291
2
8043033,13180700
2lim
6. Se verifică MEd ≥ Mlim 325 kNm ≥ 291,13 kNm DA: (x hf ) 8
8.
kNmh
dfhbbMf
cdfeffII61,218
2
805050033,13180200700
2
Aici s-a considerat a=50 mm pentru a calcula d=h-a=500-50 la o secţiune cu mai
puţină armătură decât la secţiunea reală a grinzii.
9. MI =MEd - MII=325-218,61=106,39 kNm
10. Se calculează AsI cu Schema 1.2 şi cu momentul MEd=MI=106,39 kNm pentru o
secţiune dreptunghiulară cu dimensiunile b=200 mm şi h=500 mm
1. Idem
2. a 50 mm
3. d=h-a=500-50=450 mm
4. MRd,lim =Fc zlim =641,06∙0,33=211,55 kNm
considerând x = xlim , xlim = mmd
ydcu
cu57,300450
1074,1105,3
105,3
33
3
Fc = bxlim fcd = 200∙0,8∙300,57∙1∙13,33=641,06 kN şi
zlim= mmmx
d 33,077,3292
57,3008,0450
2
lim
(vezi Schema 1.1)
80
200
700
500
5. Se verifică MEd MRd,lim 106,39 kNm 211,55 kNm DA 6
6. b x fcd [d-(x/2)]=MEd (MEd=MI=106,39 kNm)
200∙0,8∙x∙1∙13,33∙(450-2
8,0 x)=106,39∙10
6
7. Soluţia este x=124,67 mm
8. 244,764
83.347
33,13167,1248,0200mm
f
fxbA
yd
cd
sI
Se revine la Schema 3.2 la punctul 11:
11. 2
6
92,1532
2
805050083,347
1061,218
2
mmh
df
MA
f
yd
II
IIs
Şi aici s-a considerat a=50 mm pentru a calcula d=h-a=500-50 deoarece şi la
această secţiune este mai puţină armătură decât la secţiunea reală a grinzii.
12. As = As I As II =764,44+1532,92=2297,36 mm2
Stop
NOTĂ – În cazul x hf situaţia As As,min este rar întâlnită în practică , deci nu mai
este necesar verificarea condiţiei respective.
Se alege varianta de armare, de exemplu 320+325, ceea ce înseamnă 942+1473=
2415 mm2
care acoperă necesarul de 2297,92 mm2.
80
200
700
500
210
montaj
320
325
Schema 4.3 - Secţiunea dreptunghiulară armată simetric –
Compresiune excentrică - Verificare
Exemplu 1 - Să se determine momentul MRd pentru secţiunea din figură; efortul axial
NEd=500 kN. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa
betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=50 mm şi a’=50 mm în funcţie
de condiţiile de durabilitate
3. d = h – a=500-50=450 mm
4. mmfb
Nx
cd
Ed77,93
33,1318,0500
105003
5. xlim = mmd
ydcu
cu57,300450
1074,1105,3
105,3
33
3
6. Se verifică x xlim 93,77 mm 300,57 mm DA : 8
8. Suntem în cazul x = 93,77 mm ≤ 2a’=2∙50=100 mm
Deci
kNm
adfAad
NMydsEdc
75,2745045083,34712562
5045010500
'2
'
3
9. Se calculează excentricitatea adiţională ei =max {h/30 , 20 mm}=
=max{30
500;20}=20 mm
10. MRd = Mc – NEd ei =274,75-500∙0,020=264,75 kNm Stop
500
500
4 20
4 20
Schema 4.4 - Secţiunea dreptunghiulară armată simetric –
Compresiune excentrică - Dimensionare
Exemplu 1 - Să se armeze secţiunea din figură pentru care MEd=250 kNm şi efortul axial
NEd=400 kN. Se va utiliza armarea simetrică 'ss
AA . Materialele utilizate sunt beton
C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi
tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=50 mm şi a’=50 mm în funcţie de
condiţiile de durabilitate
3. d = h – a=500-50=450 mm
4. mmfb
Nx
cd
Ed02,75
33,1318,0500
104003
5. xlim = mmd
ydcu
cu57,300450
1074,1105,3
105,3
33
3
6. Se verifică x xlim 75,02 mm 300,57 mm DA : 8
8. Se calculează excentricitatea adiţională ei =max {h/30 , 20 mm}=
=max{30
500;20}=20 mm
9. Mc = MEd Nei =250+400∙0,02=258 kNm
10. Suntem în cazul x=75,02 mm ≤ 2a’ =2∙50=100 mm
Deci 2
36
36,12795045083,347
2
504501040010258
'
2
'
' mmadf
adNM
AA
yd
Edc
ss
11. Se verifică condiţia privind armarea minimă totală a secţiunii
As,min=2
3
11583,347
1040010,010,0mm
f
N
yd
Ed
sau
As,min=0,002 Ac=0,002∙500∙500=500 mm2
Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.
Rezultă As,min=500 mm2
Se verifică As As,min 1279,36 mm2 500 mm
2 NU: rezultă că aria
calculată la punctul 10 este bună. Trebuie observat că aria de armătură calculată se
500
500
referă doar la o latură a secţiunii transversale iar aria minimă se referă la toată aria de
armătură a secţiunii. Stop
De exemplu se poate alege varianta armării 2 22+2 20, ceea ce înseamnă
760+628=1388 mm2
care acoperă necesarul de 1279,36 mm2.
500
500
2 22
2 20
2 22
2 20
Bibliografie
1. *** - Notiţe de curs şi aplicaţii-anul II ACH şi anul II ISPM
2. E.Enache – Ghid pentru calculul elementelor de beton armat, UTCB 2013