Mathématiques

Exemple de tâche complexe avec trois degrés de complexité

Une version purement mathématiqueDegré 1 : Le cercle c de centre O a pour diamètre 8 cm et

ABCD est un carré dont les sommets sont sur le cercle. En utilisant le théorème de Pythagore calculer le côté du carré.

un théorème utilisable est cité et la figure est codée de telle façon qu’elle indique

dans quel triangle utiliser le théorème. Il ne reste plus qu’à traiter l’information

(diamètre rayon) , calculer AB² et passer à la racine carrée.

Degré 2 : Le cercle c de centre O a pour diamètre 8 cm et ABCDest un carré dont les sommets sont sur le cercle. Calculer le côté du carré.

Diagonales tracées. Reconnaître une configuration connue (diagonales perpendiculaires)

faire référence à un théorème connu ce qui ramène au degré 1 ou autre.

Degré 3 : Le cercle c de centre O a pour diamètre 8 cm et ABCD est un carré dont les sommets sont sur le cercle. Calculer le côté du carré.

Mettre en place une stratégie (tracé des diagonales par exemple)

Degré 3Dans un jardin public il y a un bassin circulaire de diamètre 8 mètres. Aucentre du bassin il y a une statue. On veut protéger la statue enl’entourant d’une barrière métallique de 1,50 mètre de hauteur. Il a étédécidé que cet enclos aura la forme d’un carré dont les sommets serontsur le pourtour du bassin. La barrière utilisée coûte 80 € le mètre linéaire.Déterminer, à l’euro près, ce que l’on devra dépenser pour cette barrière.

Degré 2Voici un schéma de la

situation.

Degré 1Voici un schéma de la situation. (on pourra utiliser le théorème

de Pythagore).

Version contextualisée

Degré 1 et 2: la situation est

schématisée et fortement

incitative sur le plan stratégique

dans le degré 1. Ce schéma est

une aide au traitement et à

l’organisation de l’information

utile et à la compréhension de la

situation (élimination de

l’information sur la hauteur de la

barrière et montre qu’il faut

s’intéresser à une longueur). Le

degré 1 induit une seule stratégie

(aide à la réalisation).

Dans le degré 3 : tout le

traitement de l’information est à

réaliser, se représenter la

situation , comprendre la notion

de mètre linéaire ) percevoir qu’il

suffit de calculer le périmètre

Réalisation en classe de quatrième dans le cadre d’un travail en groupe.

Dans chaque groupe, les élèves cherchent individuellement puis font une mise en commun de leur recherche.

Tous les élèves ont eu un problème sur l’expression « 80 € le mètre linéaire ». Le professeur a répondu sans donner d’indice sur le fait qu’il fallait calculer une

longueur ou une aire.

La réalisation du dessin à l’échelle a posé des difficultés (inscription d’un carré dans un disque).

C’est déjà en soi une tâche complexe.

Groupe A et D: les 4 élèves commettent une erreur dans le calcul du périmètre d’un carré.Exemple A1.Incités par le professeur à faire la mise en commun, ils s’accordent sur le calcul du périmètre et, en réalisant leur synthèse, ils utilisent le théorème de Pythagore alors que leurs schémas faits à l’échelle leur donnaient une réponse correcte. Synthèse A

Groupe F: utilisation de Pythagore par un élève F1Un autre élève veut utiliser le cosinus (ce qui est possible) mais se « rallie » à Pythagore F2.Synthèse F

Degré 2

Un élève confond la hauteur de la barrière et le côté du carré. Malgré les aides fournies (degré2 et 1) il reste sur sa position.

Des élèves ont eu aussi des difficultés pour se représenter la situation. Pour certains la barrière devait entourer le jardin

public

Degré 3

Des stratégies différentes :

Dessin à l’échelle

Trigonométrie

Pythagore

Degré1Productions « académiques » exemple. Ce type de tâche suscite peu d’intérêt chez certains élèves mais reste indispensable pour d’autres

De façon générale, proposer des tâches de degré 3 et devant certaines difficultés « descendre » vers les degrés 2 ou 1 en fournissant des aides adaptées. *

* On constate tout de même que les élèves les plus en difficultés ont beaucoup de mal à réaliser la tache de degré 1.

Cela pose la question de la nature des aides (implicite/explicite, capacités de verbalisation/lecture) mais aussi de la

méthodologie mise en place au niveau de la formulation des problèmes.

Expertise

Intervention du

professeur:« c’est trop

cher ! »

Compétence et expertise

Mesure du côté du carréÀ l’échelle : 5,7 mPythagore:Trigonométrie :

Les deux résultats sont arrondis par les élèves à 5,7 m5,7×4×80 € = 1824 €

656532 ,

656545Cos8 ,)(193181080432 ,

Somme arrondie à 1810 €

Travailler avec des valeurs « exactes »

- +A signaler un autre degré d’expertise : la rédaction formalisée de l’argumentation: justification des diagonales

perpendiculaires etc.

FIN

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Changement de stratégie

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