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Teorema Central do Limite: exemplificações utilizando o
Método de Monte Carlo
Fernando Lang da Silveira
IF-UFRGS
Disciplina de Métodos Quantitativos -PPGEnsFis-IF-UFRGS
O Teorema Central do Limite (TCL) afirma que a soma (S)de N variáveis aleatórias independentes (X), comqualquer distribuição e variâncias semelhantes, é umavariável com distribuição que se aproxima da distribuiçãode Gauss (distribuição normal) quando N aumenta.
A média de S é o somatório das médias de X.
A variância de S das variâncias de X.
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1 - Exemplificação do Teorema Central
do Limite para a soma de cinco
variáveis aleatórias distribuídas
arbitrariamente através do Método de
Monte Carlo
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Simulação pelo Método de Monte Carlo de cinco variáveis aleatórias
com distribuições NÃO gaussianas
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Simulação pelo Método de Monte Carlo da SOMA de cinco variáveis
aleatórias com distribuições NÃO gaussianas
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A variável SOMA das 5 variáveis, em acordo com o TCL, apresenta
distribuição aproximadamente gaussiana ou normal
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A variável SOMA das 5 variáveis apresenta MÉDIA igual a soma das
médias das cinco variáveis:
M = 176 + 265 + 2474 + 501 + 90
M = 3506Disciplina de Métodos Quantitativos -PPGEnsFis-IF-UFRGS
A variável SOMA das 5 variáveis apresenta VARIÂNCIA igual a soma das
VARIÂNCIAS das cinco variáveis:
VAR = 1022 + 952 + 1032 + 1002 + 1002
VAR = 50038 , DP = 500381/2 = 224Disciplina de Métodos Quantitativos -PPGEnsFis-IF-UFRGS
O Teorema Central do Limite (TCL) , aplicado às médiasamostrais de uma variável aleatória (X) com qualquerdistribuição e variância finita, implica que as médiasamostrais apresentam distribuições tendendo àdistribuição normal conforme o número de observaçõesnas amostras (n) cresce.
A média das médias amostrais é igual à média de X.
O desvio padrão das médias amostrais é igual ao desvio padrão de X dividido pela raiz quadrada de n.
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2 - Exemplificação do Teorema Central
do Limite para as amostras aleatórias
dos resultados de um dado sem vício
utilizando o Método de Monte Carlo
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Um dado sem vício apresenta uma distribuição uniforme para os
resultados de seus lançamentos com média de 3,5 e desvio padrão de
1,71.
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A distribuição das médias em 10 lançamentos do dado é
aproximadamente gaussiana com média de 3,5
e desvio padrão de 1,71/101/2 = 0,54
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A distribuição das médias em 20 lançamentos do dado é
aproximadamente gaussiana com média de 3,5
e desvio padrão de 1,71/201/2 = 0,38
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A distribuição das médias em 50 lançamentos do dado é
aproximadamente gaussiana com média de 3,5
e desvio padrão de 1,71/501/2 = 0,24
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A distribuição das médias em 100 lançamentos do dado é
aproximadamente gaussiana com média de 3,5
e desvio padrão de 1,71/1001/2 = 0,17
Disciplina de Métodos Quantitativos -PPGEnsFis-IF-UFRGS
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Conforme cresce o tamanho das amostras, mais estreita é a
distribuição das médias amostrais e melhor é a aderência da
distribuição das médias à curva de Gauss.
3 - Exemplificação do Teorema Central
do Limite para as amostras aleatórias
de uma variável distribuída
assimetricamente com média 500 e
desvio padrão 100
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População com distribuição assimétrica, semelhante às distribuições
dos escores em provas de concursos vestibular
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A distribuição das médias em amostras de 10 observações
Média das médias = 500
Desvio padrão das médias = 100/101/2 = 31
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A distribuição das médias em amostras de 20 observações
Média das médias = 500
Desvio padrão das médias = 100/201/2 = 22
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A distribuição das médias em amostras de 50 observações
Média das médias = 500
Desvio padrão das médias = 100/501/2 = 14
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A distribuição das médias em amostras de 100 observações
Média das médias = 500
Desvio padrão das médias = 100/1001/2 = 10
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Conforme cresce o tamanho das amostras, mais estreita é a
distribuição das médias amostrais e melhor é a aderência da
distribuição das médias à curva de Gauss.
4 - Exemplificação do Teorema Central
do Limite para as amostras aleatórias
de uma variável binomial com
probabilidade 30 % para o resultado
ZERO e 70% para o resultado UM
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Distribuição de probabilidades para uma variável binomial (resultado no
lançamento de uma moeda viciada) com média 0,70 e desvio padrão 0,46
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A distribuição das médias em 10 lançamentos da moeda viciada é
aproximadamente gaussiana com média de 0,70
e desvio padrão de 0,46/101/2 = 0,14
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A distribuição das médias em 20 lançamentos da moeda viciada é
aproximadamente gaussiana com média de 0,70
e desvio padrão de 0,46/201/2 = 0,10
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A distribuição das médias em 50 lançamentos da moeda viciada é
aproximadamente gaussiana com média de 0,70
e desvio padrão de 0,46/501/2 = 0,065
Disciplina de Métodos Quantitativos -PPGEnsFis-IF-UFRGS
A distribuição das médias em 100 lançamentos da moeda viciada é
aproximadamente gaussiana com média de 0,70
e desvio padrão de 0,46/1001/2 = 0,046
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Conforme cresce o tamanho das amostras, mais estreita é a
distribuição das médias amostrais e melhor é a aderência da
distribuição à curva de Gauss.
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A seguir encontra-se a sintaxe do SPSS
para duas das simulações que constam
desta apresentação.
A colagem das sintaxes em janelas
sintáticas do referido pacote estatístico
permite refazer as simulações, a
rodando sobre uma planilha de dados
com muitas linhas (por exemplo 10.000
linhas).
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Sintaxe para a simulação de cinco variáveis aleatórias com diferentes distribuições e da
variável soma das cinco variáveis.
Comment. Exemplificação do Teorema do Limite Central para soma de 5 variáveis aleatórias.
SET
RNG=MT
MTINDEX= 25082015.
COMPUTE xx1 = RV.UNIFORM(0,350) .
VARIABLE LABELS xx1 'M=176, DP=102' .
EXECUTE .
COMPUTE xx2 = 40 * RV.UNIFORM(0,100) ** .5 .
VARIABLE LABELS xx2 'M=265, DP=95' .
EXECUTE .
COMPUTE xx3 = 1800 * RV.NORMAL(5,1) ** .2 .
VARIABLE LABELS xx3 'M=2474, DP=103' .
EXECUTE .
COMPUTE xx4 = TRUNC(1.237 * RV.NORMAL(5,1) ** 3 + 328.5) .
VARIABLE LABELS xx4 'M=500, DP=100' .
EXECUTE .
COMPUTE xx5 = (RV.UNIFORM(0,10) ** 3) / 2.8 .
VARIABLE LABELS xx5 'M=90, DP=100'.
EXECUTE .
COMPUTE total = xx1 + xx2 + xx3 + xx4 + xx5.
VARIABLE LABELS total 'M=3506, DP=224' .
EXECUTE .
FORMATS xx1 (F8.0).
FORMATS xx2(F8.0).
FORMATS xx3(F8.0).
FORMATS xx4(F8.0).
FORMATS xx5 (F8.0).
FORMATS total (F8.0).
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Comment. Exemplificação do TEOREMA CENTRAL DO LIMITE para lançamentos de um dado não viciado (distribuição
uniforme).
SET
RNG=MT
MTINDEX= 25082015.
COMPUTE dado = TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) .
VARIABLE LABELS dado 'Dado sem vício - M=3,5, DP=1,71' .
EXECUTE .
COMPUTE dado_10 = MEAN(TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ) .
VARIABLE LABELS dado_10 'Dado - Amostra 10 - M=3,5, DP=0,54' .
EXECUTE .
COMPUTE dado_20 = MEAN(TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ) .
VARIABLE LABELS dado_20 'Dado - Amostra 20 - M=3,5, DP=0,38' .
EXECUTE .
Sintaxe continua na próxima página
Sintaxe para a simulação de amostras de 10, 20, 50 e 100 lançamentos de um dado
sem vício.
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Continuação da sintaxe
COMPUTE dado_50 = MEAN(TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ).
VARIABLE LABELS dado_50 'Dado - Amostra 50 - M=3,5, DP=0,24' .
EXECUTE .
Sintaxe continua na próxima página
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Continuação da sintaxe
COMPUTE dado_100 = MEAN(TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7))
Sintaxe continua na próxima página
Disciplina de Métodos Quantitativos -PPGEnsFis-IF-UFRGS
,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) , TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ,
TRUNC(RV.UNIFORM(1,7)) ).
VARIABLE LABELS dado_100 'Dado - Amostra 100 - M=3,5, DP=0,17' .
EXECUTE .
FORMATS dado (F8.0).
FORMATS dado_10 (F8.1).
FORMATS dado_20 (F8.1).
FORMATS dado_50 (F8.1).
FORMATS dado_100 (F8.1).
Continuação da sintaxe
