Exerc. Cálc. Finac. Resol (4)

Instituto Superior de Engenharia do Porto

Curso de Engenharia Informática

AULAS PRÁTICAS

EXERCÍCIOS DE CÁLCULO FINANCEIRO RESOLVIDOS

I - CAPITALIZAÇÃO E ACTUALIZAÇÃO EM REGIMES DE JURO SIMPLES E COMPOSTO

EXERCÍCIO I.4Dois indivíduos investiram uma certa quantia em regime de capitalização simples durante um ano: o primeiro, à taxa semestral de 2,5% e o segundo à taxa anual de 6%.Sabendo que o investimento do segundo excedeu o do primeiro em 250,00

EUROS e que o juro recebido pelo segundo excedeu o do primeiro em 27,50

EUROS, determine as importâncias do investimento de cada um.

RESOLUÇÂO

Co – Capital inicialmente investido (momento zero)

Co A – Capital inicial investido pelo individuo A (1.º indivíduo)

Co B – Capital inicial investido pelo individuo B (2.º indivíduo)

i a = Taxa de juro aplicada ao investimento de A = 2,5 % ao semestre

i b = Taxa de juro aplicada ao investimento de B = 6 % ao ano

Jn a = Juro acumulado recebido do investimento A

Jn b = Juro acumulado recebido do investimento B

n = 1 ano

Co B = Co A + 250,00 €

J1 b = J1 a + 27,50 €

Jk =Juro do período k = Capital investido no período k * taxa de juro relativa ao

período k

K = 1,2,3, .., k

Cálculo Financeiro e ContabilidadeExercícios de Cálculo Financeiro 1/38



J1 a = Co A * i a = Co A * ( 2,5 % * 2 ) Nota = No ano há 2 semestres

J1 b = Co B * i b = Co B * 6 %

Fazendo as substituições, teremos o sistema :

Co B * 6 % = Co A * 5 % + 27,50

Co B = Co A + 250,00 €

RESOLUÇÃO: Co A = 1.250,00 €

Co B = 1.500,00 €

Noções aplicadas : Capital inicial; Regime de capitalização - simples ; período de capitalização.Juro ; Juro periódico; Juro acumulado; Taxa de Juro

Regimes de Capitalização

Puro simples Dito simples Composta

Juros de juros Nao há Não há Há

Pagamento de juros

No fim de cada período

No fim do último período


Pagamento do Capital




Capital inicialK = 1,2,3,4,5,...n

Co Co Co* (1 + i )^k

Capital acumulado Co * I * n Co * i * n Co * (1 + I ) ^n

K – períodos K1 : período 1 ; K2 : período 2 ; .... K n : período nn - duração do processo de capitalização (n.º de períodos do processo)

NOTA : O Capital acumulado até ao final do período n = Capital inicial do período n+1




EXERCÍCIO I.5Um indivíduo contraiu um empréstimo em regime de capitalização simples à taxa

anual de 5% com duração de 18 meses. Passado algum tempo pediu ao respectivo

credor que lhe concedesse um novo empréstimo de 1.100.000,00 EUROS, no

mesmo regime e à mesma taxa.

a) Sabendo que este novo empréstimo motiva um acréscimo de juros na

importância de 55.000,00 EUROS, determine o número de meses decorridos entre

o início do primeiro e o início do segundo empréstimo.

b) Determine o valor do empréstimo inicial, sabendo que o valor global dos juros é

de 242.500,00 EUROS.

RESOLUÇÃORegime de capitalização = simples

C a = 1.º empréstimo ou empréstimo inicial

i = taxa de juro anual = 5 %

Prazo de capitalização = 18 meses = 1,5 anos

C b = Novo empréstimo = 1.100.000,00 €

i = taxa de juro anual do novo empréstimo = 5 %

J a = juro acumulado do empréstimo inicial

J b = juro acumulado do novo empréstimo = 55.000,00

a) 55.000,00 = 1.100.000,00 € * 5 % * t b

R : t b = 1

t n – período de capitalização total = 18 meses

t a – período de capitalização do empréstimo Ca, até ao novo empréstimo

t b = período de capitalização do novo empréstimo = 1 ano ou seja 12 meses

Logo

t a = período de capitalização total – periodo do novo empréstimo

= 18 meses – 12 meses

R : ta = 6 meses = 0,5 ou ½ ano

b) Jn b = 55.000, 00 €

Jn a + Jn b = 242.500,00 €

Então Jn a = 187.500,00




J a = C a * 5 % * 1,5 anos

187.500,00 = C a * 5 % * 1,5

C a = 1.500.000.00 €

Noções aplicadas : Capital inicial; Regime de capitalização - simples ; período de capitalização.Juro ; Juro periódico; Juro acumulado; Taxa de Juro

EXERCÍCIO I.6Um empréstimo de 5.000,00 EUROS deve ser amortizado em 5 anos, através de

um reembolso no fim de cada ano de 1.000,00 EUROS. Junto com este

pagamento serão satisfeitos os juros à taxa anual de 5%.

Quais os pagamentos efectuados no fim de cada ano, reunindo juros e amortização

do capital?

RESOLUÇÃOJuro do período K = Capital no início do período k * taxa de juro desse mesmo

período k

Taxa de juro inalterada ao longo do período = 5 %

Período Capital em dívida Juro do período Pagamento Capital Pagamento Total

no início período ( reembolso )

====== ============= =========== ============== =============

K Ck C k * 5 % 1.000,00 € Pag.to capital + juro

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-

1 5.000,00 250,00 1.000,00 1.250,00

2 4.000,00 200,00 1.000,00 1.200,00

3 3.000,00 150,00 1.000,00 1.150,00

4 2.000,00 100,00 1.000,00 1.100,00

5 1.000,00 50,00 1.000,00 1.050,00

---------------------------------------------

Juro do período 1 = 5.000,00 * 5 % = 250,00 € Capital em dívida início

período = 5.000,00 €





período = 4.000,00 €


período = 3.000,00 €


período = 2.000,00 €


período = 1.000,00 €

RESOLUÇÃOem (1) = 1.250,00 € ;

em (2) =1.200,00 € ;

em (3) = 1.150,00 € ;

em (4) = 1.100,00 € ;

em (5) = 1.050,00 €

Noções aplicadas : Capital inicial; Regime de capitalização - simples ; período de capitalização; duração da capitalização (prazo).Juro ; Juro periódico; Juro acumulado; Taxa de Juro

EXERCÍCIO I.12Dois irmãos, um de 15 e outro de 13 anos, receberam uma herança de 3.500,00

EUROS. Estipulava o testamento que aquela quantia deveria ser partilhada pelos

dois herdeiros de forma que, investidas as partilhas num depósito, resultassem

iguais os respectivos valores capitalizados quando cada um dos irmãos atingisse

21 anos.

Se a taxa de remuneração do depósito for de 5% ano, qual deve ser o montante de

cada partilha?

RESOLUÇÂOCo A = Valor inicial da Herança do irmão mais novo (13 anos)

Co B = Valor inicial da Herança do irmão mais velho (15 anos)

Cn A = Valor acumulado pela herança Co A

Cn B = Valor acumulado pela herança Co B




Regime de capitalização composta, porque vai haver produção de juros sobre

juros.

Nota : A herança do mais novo (herança A) vai capitalizar durante 8 anos ( = 21 anos – 13 anos) A herança do mais velho (herança B) vai capitalizar durante 6 anos ( = 21 anos – 15 anos)


Cn A = C n BCo A + C o B = 3.500,00 €

C o A * ( 1 + 5 % ) ^ 8 = C o B * ( 1 + 5 % ) ^ 6

RESOLUÇÃO :

C o A = 1.664,69 €

C o B = 1.8535,31 €

Noções aplicadas : Capital inicial; Regime de capitalização - composto ; período de capitalização (anual); Juro ; Juro periódico; Juro acumulado; Taxa de Juro

EXERCÍCIO I.13Num empréstimo de 25.000,00 EUROS, com capitalização semestral e taxa de

juro anual de 5%, convencionou-se que o devedor faria o primeiro e único

pagamento só ao fim do 5º ano, liquidando então todo o capital acumulado.

Sabendo que o devedor veio a pagar 32.002,11 EUROS, pergunta-se :

5% foi a taxa de juro efectivamente praticada?

RESOLUÇÂO




Pagamento pelo devedor = Pagamento do empréstimo ( capital) + juros do

empréstimo.

Para se poder responder temos que , primeiro, saber qual o regime de capitalização

adoptado :

a) Não pode ser o regime de capitalização “puro simples “ uma

vez que sómente há pagamento juros no final do período

b) No caso de se tratar do regime de capitalização “dito simples”, em que não há produção de juros de juros e em que os juros são

pagos no fim do processo , teremos :

Co = Capital inicial investido = 25.000,00 €


n = número de período anuais = 5

Juros acumulados = Co*( 1 + i * n) = 25.000,00 (1+ 5 % * 5) = 31.250, 00 €

32.002,11

Também não pode ser já que o valor dos juros recebidos é diferente.

c) No caso de regime de capitalização composta (há produção de juros de juros) teremos

capitalização anual = 25.000,00 * ( 1 + 5 % ) ^ 5 = 31.907.04 32.002,11

, logo também não é

capitalização semestral .

temos que conhecer a taxa semestral correspondente à taxa de juro anual nominal de 5 % , ou seja i ´= 5 %/2 = 2,5 %, sendo n = 10 períodos semestrais (5 anos x 2) , pois o ano absorve 2 períodos semestrais.

Então = 25.000,00 * ( 1 + 2,5 % ) ^ 10 = 32.002,11 , coincide.




RESOLUÇÃO

A taxa efectivamente praticada é a taxa efectiva semestral em regime de capitalização composta ( capitalização semestral à taxa de juro anual nominal de 5 % ) .

Noções consideradas : Juro períodico e Juro acumulado;Período de capitalização e prazo da operaçãoCapital incial e capital acumuladoRegimes de capitalização : simples; “dito simples” e composto.

EXERCÍCIO I.14Um capital de 200.000,00 EUROS foi investido à taxa anual de 5%, durante 4

anos. Construa, para cada uma das alternativas seguintes, um quadro que mostre

os valores anuais assumidos pelo capital periódico inicial, juro e capital periódico

final.

a) Em regime de capitalização simples.

b) Em regime de capitalização composto.

c) Em regime de capitalização “dito” simples (sem entrega dos juros simples de

cada ano).

RESOLUÇÂO

Regime “ puro simples “-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Periodos Capital início Juro períodico Pagamentos Dídida no fim

do periodo no período do período

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 200.000,00 10.000,00 10.000,00 200.000,00

2 200.000,00 10.000,00 10.000,00 200.000,00

3 200.000,00 10.000,00 10.000,00 200.000,00

4 200.000,00 10.000,00 10.000,00 200.000,00

5 200.000,00 10.000,00 210.000,00 0




Regime “ dito simples”---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Periodos Capital início Juro períodico Pagamentos Dívida mo fim

do periodo no período do período

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 200.000,00 10.000,00 0 210.000,00

2 200.000,00 10.000,00 0 220.000,00

3 200.000,00 10.000,00 0 230.000,00

4 200.000,00 10.000,00 0 240.000,00

5 200.000,00 10.000,00 250.000,00 0

Regime “composto”----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Periodos Capital início Juro períodico Pagamentos Capital em dívida

do periodo no período no fim do período

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 200.000,00 10.000,00 0 210.000,00

2 210.000,00 10.500,00 0 220.500,00

3 220.500,00 11.025,00 0 231.525,00

4 231.525,00 11.576,25 0 241.101,25

5 241.101,25 12.055,06 253.156,31 0

Noções consideradas : Juro períodico e Juro acumulado;Período de capitalização e prazo da operaçãoCapital incial e capital acumuladoRegimes de capitalização : simples; “dito simples” e composto.

EXERCÍCIO I.15Se aos 50 anos de idade quiser dispor de um capital de 100.000,00 EUROS, que

quantia deve investir em capitalização composta uma pessoa que presentemente

tem 25 anos? A taxa de juro semestral é de 2,25%.

RESOLUÇÃO




Cn = capital acumulado em n períodos

C o = Capital inicialmente investido

C n = 100.000,00 €

i = taxa de juro semestral = 2,25 %

n = número de períodos semestrais = 25 * 2 = 50

C n = C o * ( 1 + i ) ^ n (capitalização composta)

100.000,00 € = C o * (1 + 2,25 % ) ^ 50

Co = 100.000,00 * (1 + 2,25 % ) ^ - 50

NOTA IMPORTANTE : O período de referência da taxa de juro (semestral) e o

período de capitalização (semestral) têm que ser o mesmo ( semestral/semestral). É

por isso que se converte o n.º de perídos anuais (25 anos) em períodos semestrais (

50 semestres), utilizando a relação 1 ano = 2 semestres.

RESOLUÇÃOC o = 32.872,61 €

Noções consideradas : Juro períodico e Juro acumulado;Período de referência da taxa de juro e período de capitalização Capital incial e capital acumulado

EXERCÍCIO I.16

Determinado investidor subscreveu uma aplicação financeira com as seguintes

características:

- depósito a prazo remunerado à taxa de juro anual nominal de 5,5%, com

vencimento semestral de juros;

- transferência dos juros semestrais vencidos no depósito a prazo para um depósito

à ordem que vence juros à taxa anual nominal de 1,5% (regime de capitalização

composta).

O montante aplicado pelo investidor foi de 50.000,00 EUROS.

a) Qual o regime de capitalização implícito no depósito a prazo? Porquê?

b) Qual o capital acumulado do depósito a prazo ao fim de dois anos (após a

transferência do juro para a conta à ordem)?Cálculo Financeiro e ContabilidadeExercícios de Cálculo Financeiro 10/50



c) Qual o capital acumulado do depósito à ordem ao fim de dois anos (após a

transferência do juro vencido no depósito a prazo)?

RESOLUÇÃOa) Regime de capitalização simples já que os juros ao serem pagos “saem” do processo de

capitalização

b) Capital inicial é sempre igual ao longo do período ( regime de capitalização simples) .

Logo ao fim de 2 anos o capital mantem-se igual ao capital inicial = 50.000,00 Euros

c) taxa de juro anual nominal = 5,5 %

taxa de juro equivalente semestral á taxa de juro anual nominal = 5,5 % / 2 = 2,75 %

Juro produzido semestralmente = 50.000 * 2,75 % = 1.375,00 €

Semestralmente é transferido , para depósito á ordem, um juro de 1.375,00 € que é

capitalizado à taxa de 0,75 % ao semestra (taxa equivalente semestral de taxa de juro

anual nominal de 1,5 % )

fim do 1ª semestre = 1.375,00

fim do 2ª semestre = 1.375,00 * (1+0,0075) + 1.375,00 = 1.375,00 *(1,0075+1)

= 1.375,00 * 2,0075

fim do 3ª semestre = 1.375,00 * 2,0075 * (1+0,0075) + 1.375,00

= 1.375,00 * 3,022556

fim do 4º semestre = 1.375,00 * 3,022556 * (1,0075) + 1.375,00

= 1.375,00 * 4,045225 = 5.562,185

RESOLUÇÃOJuro acumulado = 5.562,19 €

Noções consideradas : Juro períodico e Juro acumulado;Período de capitalização e prazo da operaçãoCapital incial e capital acumulado.Equivalência das taxas de juro : em função dos regimes de capitalização (simples ou composto) e em função do tipo de taxa ( nominal ou efectiva)




EXERCÍCIO I.17O senhor A pediu emprestados 25.000,00 ao senhor B por um período de “n” anos

e três meses. Convencionaram que a dívida venceria juros compostos à taxa

semestral de 3%, excepto nos últimos três meses em que se aplicaria o regime de

capitalização simples.

O senhor A aceitou uma letra de valor nominal igual ao montante calculado naquelas condições.

O senhor B descontou a letra 18 meses antes do seu vencimento, em regime de capitalização composta, à taxa trimestral de 1,75%, tendo recebido o montante de 30.730,65 .

Calcule “n”.

C n = Capital acumulado ao fim de n anos + 3 meses

Taxa de juro semestral = 3 %

taxa de juro trimestral (regime simples) = 3 % / 2 = 1,5 %

NOTA : Um trimestre é metade do semestre

18 meses = 6 períodos de 3 meses , pois a capitalização é trimestral , em que a

taxa é de 1,75 %

(1) C n = 25.000,00 * ( 1 + 3 % ) ^ 2n * ( 1 + 1,5 % )

e

(2) C n = 30.730,65 * (1 + 1,75 %) ^ 6 = 34.101,88

então resolvendo a equação anterior, teremos :

34.101,88 / (25.000,00 * (1+1,5 %) = ( 1 + 3 % ) ^ 2n

( 2n ) * log (1,03 ) = log ( 34.101,875 /25.000,00 * 1,015)

n = 5

RESOLUÇÃOn = 5 anos

Noções consideradas : Juro períodico e Juro acumulado; Período de capitalização e prazo da operação. Capital incial e capital acumuladoRegimes de capitalização : simples; “dito simples” e composto.Cálculo logaritmico




EXERCÍCIO I.20Considere um processo de capitalização a juros compostos que, tendo-se iniciado

com 40.000,00, EUROS em 2 anos produziu um juro acumulado de 4.100,00

EUROS. A taxa de juro foi de 7% ao ano nos 3º, 4º e 5º anos, tendo sido alterada

para 8% no início do 6º ano.

Sabendo que a duração do processo foi de 7 anos, calcule:

a) A taxa de juro anual que vigorou nos 2 primeiros anos.

b) O juro do 4º período.

c) O capital no início do 5º período.

d) O juro do 6º ano.

e) O capital acumulado ao fim de 6 anos.

f) O juro total vencido em 7 anos.

RESOLUÇÃOi. Juros acumulados = Capital inicial * (1 + taxa de juro) ^ n

4.100,00 = 40.000,00 *{ (1+ i) ^ 2 – 1}

Taxa de juro i = 5 % b) Juro períodico = Capital no início do período * taxa de juro de período

C 4 = Capital no início do período 4 * taxa de juro do período = C 3 * 7 %

taxa de juro do período = 7 %

Capital inicio 4º período = Capital acumulado no fim do 3º período

C 3 = C2 * ( 1 + 7 %) = 44.100,00 *1,07.

Então J 4 = ( 44.100,00 * 1,07) * 7 % = 3.303,09

NOTA : Capital acumulado no final período n igual ao capital inicial no inícial no período n+1

c) Capital início do 5 º = Capital acumulado no fim do 4º período.

C 4 = C o * ( 1 + 5 %) 2 * (1, 07 ) 2 = 44.100,00 * (1,07) 2 = 50.490,09 €

d) juro 6º ano = capital acumulado fim do 5º ano (=início do 6º ano) * taxa de

juro do 6.ª ano

taxa de juro do 6º ano = 8 %

e) Juro do 6º ano = C o * (1,05) 2 * (1+7 %) 3 * 8 %




= 44.100,00 * 1,07 3 * 8 % = 4.321,95 €

f) J total = Cn – Co = 40.000,00*(1,05) 2 * (1,07) 3 * (1,08) 2 - 40.000,00

= 63.014,06 – 40.000,00

= 23.014,06 Euros

II - TAXAS DE JUROEXERCÍCIO II.1Considere a taxa anual de 8%.

a) Em regime de capitalização simples:

a1) Qual é a taxa anual nominal?

a2) Qual é a taxa anual efectiva?

a3) Qual é a taxa efectiva referida ao período de capitalização?

b) Em regime de capitalização composta, com capitalização trimestral:

b1) Considerando que a taxa de 8% é nominal?

b1.1) Qual a taxa anual efectiva

b1.2) Qual é a taxa efectiva referida ao período de capitalização?

b2) Considerando que a taxa de 8% é efectiva?

b2.1) Qual a taxa anual nominal

b2.2) Qual é a taxa efectiva referida ao período de capitalização?

RESOLUÇÃONOTA :

Em regime de capitalização simples passa-se , sempre, de uma taxa referida a

um determinado período de capitalização , para uma outra taxa referida a um

período de capitalização diferente, utilizando a regra da proporcionalidade,

qualquer que seja o tipo de taxa –ou seja, não há distinção entre taxa nominal ou

taxa efectiva.

Em regime de capitalização composta :(i) Passa-se de uma taxa nominal referida a uma determinado período de

capitalização para uma taxa referida a um período de capitalização

diferente, utilizando a regra da proporcionalidade;

i = i ´/ n

n – n.º de periodos




1 ano tem 2 semestres

3 quadrimestres

4 trimestres

6 bimestres

12 meses

etc(ii) Passa-se de uma taxa efectiva referida a um determinado período para

uma taxa referida a um período diferente, utilizando a regra da equivalência , ou seja

(1 + i ) = ( 1+ i´) n

a 1) = 8 %

a 2) = 8 %

a 3) = 8 %

b.1.1.) i (4) = taxa anual nominal com capitalização trimestral = 8 %

Passa-se de taxa anual nominal para taxa trimestral nal utilizando-se a regra da proporcionalidade

n = 4 ( o ano tem 4 períodos trimestrais)

A taxa trimestral = 8 % / 4 = 2 %

Como o regime é de capitalização composta , temos que taxa efectiva

trimestral i = ( 1 + 2 %) ^ 4 – 1 = 8,2432 %

NOTA : o trimestre repete-se 4 vezes no ano.

b.1.2) Taxa efectiva trimestral = regra da proporcionalidade = 8 % / 4 = 2 %

b.2.1) i = taxa efectiva

i = 8 %

Passa-se de uma taxa anual efectiva para uma taxa equivalente trimestral

utilizando a regra da equivalência . Conhecida a taxa trimestral efectiva passa-se

para taxa anual nominal utilizando a regra da proporcionalidade i (4) = 4 * ( (1+8 %) ^1/4 –1

= 7,7706 %

b.2.2) i (1/4) = taxa trimestral equivalente à taxa de juro anual efectiva.Cálculo Financeiro e ContabilidadeExercícios de Cálculo Financeiro 15/50



Utiliza-se a regra da equivalência = ( 1 + 8 %) ^1/4 – 1

= 1,9427 % (última casa decimal arredondada )

Noções consideradas : Regimes de capitalização ( simples e composto)Tipos de taxas ( nominais e efectivas)Regra de proporcionalidade e de equivalência de taxas

EXERCÍCIO II.4Um capital de 1.500.000,00 EUROS foi investido em regime de capitalização

composta, com vencimento de juros mensal. Qual o juro o juro total/acumulado, ao

fim de 10 anos, à taxa anual de 5 % ?

a) Admita que 5% é a taxa efectivamente paga.

b) Interprete a taxa de 5% como taxa anual nominal.

RESOLUÇÃO

C o = capital inicial = 1.500.000,00

Capitalização mensal (composta)

J n (acumulado) = juro total

a) i = 5 % ------- > taxa efectiva anual

taxa equivalente mensal à taxa efectiva anual = (1+ 5 %) ^1/12 - 1

i ´= 0,4074 %

n = períodos = 120 , pois 10 anos tem 120 meses

J t = C n – C o = C o * (1+ i´ ) ^ n - C o

= C o * ((1 + i´) ^n - 1)

= 1.500.000,00 *( (1,004074) ^120 - 1 )

= 943.31,94 €

b) i = 5 % ------- > taxa nominal anual

taxa mensal de taxa anual nominal = (1+ 5 %/ 12) - 1

i ´= 0,00416(6)

n = períodos = 120 , pois 10 anos tem 120 meses

J t = C n – C o = C o * (1+ i´ ) ^ n - C oCálculo Financeiro e ContabilidadeExercícios de Cálculo Financeiro 16/50



= C o * ((1 + i´ ) n - 1)

= 1.500.000,00 *( (1,004166) ^120 - 1 )

= 970.514,25 €

Noções consideradas : Regimes de capitalização ( composta )Tipos de taxas ( nominais e efectivas)

Regra de proporcionalidade e de equivalência de taxasEXERCÍCIO II.5Uma instituição de aforro remunera os depósitos a prazo superiores a um ano à

taxa anual de 5,25%, sendo pago bimestralmente o juro ao depositante. Quanto

produzirá de juro bimestral um depósito de 500,00 EUROS?

a) Admita que a taxa declarada é efectivamente paga.

b) Interprete a taxa declarada como sendo nominal.

RESOLUÇÃOC o = capital incial investido = 500,00

Capitalização bimestral

n = periodos bimestrais = 12/2 = 6

a) i = taxa de juro anual efectiva = 5,25 %

i ´= taxa equivalente bimestral = ( 1 + 5,25 %) ^1/ 6 - 1

= 0,8565 %

j = juro do periodo = Capital no início do período * taxa de juro referida ao

mesmo período.

j = 500,00 * 0,8565 = 4,2

b) i = taxa de juro anual nominal = 5,25 %

i ´= taxa equivalente bimestral = ( 1 + 5,25 % / 6) - 1

= 0,875 %

j = juro do periodo = Capital no início do período * taxa de juro referida ao

mesmo período.

j = 500,00 * 0,875 = 4,38

Noções consideradas : Tipos de taxa (nominal e efectiva) Juro do período

Regra de proporcionalidade e de equivalência de taxas




EXERCÍCIO II.6Determinado investidor depositou 10.000,00 EUROS em regime de capitalização

composta à taxa anual nominal de 6 %, com capitalização quadrimestral. Dois anos

depois a taxa de juro quadrimestral foi alterada, tendo o investidor decidido

depositar nessa data mais 2.000,00 EUROS.

Sabendo que passado um ano após a alteração da taxa de juro o montante total

obtido foi de 13.935,82 EUROS, calcule a nova taxa de juro.

RESOLUÇÃOi = taxa de juro anual nominal = 6 %

capitalização quadrimestral = 3 vezes no ano

C o = 10.000,00 €

taxa de juro equivalente quadrimestral = 6 % / 3 = 2 %

NOTA : Ano tem 3 quadrimestres

Cn = C3 = Co * ((1+i) 3.2 + 2.000) * (1 + i´) 3.1

13.935,82 = ( ( 10.000,00 * (1,02) ^ 6) + 2.000,00 ) * ( 1 + i /3) ^ 3

i = 5 %

Noções de equivalência de taxa; Regime de capitalização (composta); capital acumulado.

EXERCÍCIO II.7A que taxa de juro é necessário capitalizar para triplicar, ao fim de 30 anos, um

capital investido em regime de capitalização composta (com capitalização anual)?

RESOLUÇÃO3 * C o = C o * (1+ i ) ^30

3 = (1 + i ) ^30

i = 3, 7299 %

Noções de Regime de capitalização (composta); capital acumulado




EXERCÍCIO II.8

Um capital de 2.500,00 EUROS foi investido em regime de capitalização composta

a determinada taxa quadrimestral durante 3 anos. O capital acumulado obtido foi

depois depositado a prazo num banco que oferece a taxa anual nominal de 5 %,

com capitalização semestral.

Sabendo que decorridos dois anos, o valor acumulado no depósito a prazo é de

3.155,22 EUROS, determine a taxa a que foram investidos inicialmente os

2.500,00 EUROS.

RESOLUÇÃOC n = valor acumulado = 3.155,22 €

C o = 2.500,00 €

períodos = 9 = (3 anos são 9 quadrimestres)

i (3) = ? = taxa quadrimestral

3.155,22 = (2.500,00 * ( 1 + i (3) ) ^ 9 ) * ( 1 + 5 % / 2 ) ^ 4

i (3) =1,5 %

i = taxa anual nominal = 4,5 %

Noções de Regime de capitalização (composta); capital acumulado; equivalência de taxas

EXERCÍCIO II.91. É dada uma taxa de juro efectiva de i1/m referida a 1/m do ano.

a) Qual a taxa anual efectivamente correspondente? Qual a taxa anual

nominalmente correspondente?

b) Concretize para m = 2 e i1/2 = 3%.

2. É dada uma taxa de juro anual efectiva de i.

a) Se a capitalização se fizer m vezes no ano, qual é a taxa anual nominal?

b) Concretize para m = 4 e i = 5%.

3. É dada uma taxa de juro anual nominal i (m), quando a capitalização se faz m

vezes no ano.




a) Qual é a taxa anual efectiva?

b) Concretize para m = 12 e i (12) = 6%.

RESOLUÇÃO1.a) Taxa anual efectiva : i = (1 + i 1/m) m - 1

Taxa anual nominal = i m = m * i 1/m

b) Taxa anual efectiva = (1 + 3 %) ^ 2 - 1 = 6,09 %

2.

a) i m = m * i 1/m m * (( 1 + i )1/m - 1)

b) i 4 = 4 * (( 1 + 5 %) ¼ - 1 ) = 4,9089 %

3.

a) i = ( 1 + i 1/m ) m - 1 = ( 1 + i m /m )^ m - 1

b) i = (1+ 6 % / 12) 12 - 1 = 6,1678 %

EXERCÍCIO II.10Uma pessoa contrai hoje uma dívida de 18.235,20 EUROS e vai liquidá-la através

de dois pagamentos iguais de 12.500,00 EUROS, o primeiro efectuado daqui a 4

anos, o segundo daqui a 8 anos.

Supondo que os cálculos foram efectuados em regime de capitalização composta,

calcule a taxa de juro utilizada.

RESOLUÇÂOTemos que reportar todos os valores ao mesmo momento do tempo.

Assim se seleccionarmos como mesmo momento do tempo , hoje, temos que

determinar qual o valor, hoje, dos diversos valores futuros, ou seja :

- qual o valor, hoje, dos 12.500,000 € pagos daqui a 4 anos:




R : 12.500,00 * ( 1 + i ) - 4

- qual o valor, hoje, dos 12.500,000 € pagos daqui a 8 anos:

R : 12.500,00 * ( 1 + i ) - 8

Nota : Introduziu-se o conceito de Actualização ou Desconto que representa o

inverso da Capitalização

Actualização : processo de permite saber o valor actual (hoje) de um capital futuro

Co Cn

|---------------------------------------------------------------------------|

0 n

Co = Cn * (1+ i) - n ou Co = Cn / (1+i) n

Como Cn é valor acumulado de capital e juros, ao fazermos a actualização iremos conhecer apenas o CAPITAL. Capitalização : processo que permite conhecer o valor futuro de um capital actual

Co Cn

|---------------------------------------------------------------------------|

0

Cn = Co * (1+ i) n

Como Cn é valor acumulado de capital e juros produzidos, ao fazermos a capitalização transformamos o Capital Inicial em (Cpaital+Juros).

Logo J n = Cn – Co

( J n – juros acumulados)

Assim teremos :

18.744,27 = 12.500,00 * ( 1 + i ) - 4 + 12.500,00 * ( 1 + i ) - 8

Se fizermos X = ( 1 + i ) – 4 transformamos a equação anterior numa equação do

segundo grau ( exclui-se a raiz negativa já que , por definição, não há juros

negativos)

X = 0,822702385




i = 5 %

III - EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

EXERCÍCIO III.1Qual é, daqui a 1 ano e com uma taxa de avaliação anual de 4%, o valor do

conjunto de capitais 250,00 EUROS, 500,00 EUROS, 1.250,00 EUROS, 750,00

EUROS e 175,00 EUROS, vencíveis respectivamente dentro de 2 anos, 9 meses,

5 anos, 6 meses e 1 ano?

RESOLUÇÃO

750 500 175 250 1.250

!----------------!---------!---------!-------------!-----------------------!

0 6 9 12 24 60 meses

C6 = valor da aplicação ao mês 6 = 750,00 €




C60 = valor da aplicação ao mês 60 = 1.250,00 €

Dois conjuntos são equivalentes no momento 0 (ou eventualmente outro), quando as somas dos valores actuais referidos àquele momento, dos capitais que compõemcada conjunto, forem iguais.

Por Capital único (Ct) ou Vencimento Comum, no momento t, entende-se o valor do capital vencível no momento t, que substitui um conjunto de capitais C1, C2, .....Cn, vencíveis nos momentos t1, t2,.....tn, para uma dada taxa de juro i.




Vamos determinar qual o valor de cada um dos capitais reportado à mesma data, ou

seja daqui a um ano. Nestes termos, terermos operações de capitalização (C6, C9) e outras de actualização (C24 e C60), á taxa de avaliação de 4 %. No capital (C12) não mexemos porque ele já está reportado ao momento do tempo pretendido

Valor de C6 daqui a um ano = 750 * ( 1 + 4 %) 1/2 = 764,85

Entre 6 meses e um ano irá decorrer 6/12 = 1/2 ano (capitalização)

Valor de C9 daqui a um ano = 500 * ( 1 + 4 %) 3/12 = 504,93

Entre 9 meses e um ano irá decorrer 6 meses ou 3/12 ano (capitalização)

Valor de C12 daqui a um ano = 175 * ( 1 + 4 %) 0 = 175,00

12 meses = um ano. O capital jáestá no momento do tempo pretendido.

Valor de C24 daqui a um ano = 250 * ( 1 + 4 %) –1 = 240,38

Entre 24 meses e um ano irão decorrer 12 meses ou 1 anos (actualização)

Valor de C60 daqui a um ano = 1.250 * ( 1 + 4 %) – 4 = 1.068,51

Entre 60 meses e um ano irão decorrer 48 meses ou 4 anos (actualização)

t = 12 meses = 1 ano

C12 = C6 * (1+i) 1/2 + C9 * (1+i) 3/12 + C12 + C24 * (1+i) -12/12 + C60 * (1+i) -48/12

V 12m = 764,85 + 504,93 + 175,00 + 240,38 + 1.068,51 =V 12m = 2.753,67 €

EXERCÍCIO III.2Pretende-se substituir as seguintes três dívidas por uma única de montante igual a

500,00 EUROS: (i) 200,00 EUROS, com vencimento a 2 anos, (ii) 150,00

EUROS, com vencimento a 3 anos, (iii) 171,25 EUROS, com vencimento a 1 ano.

Adoptando uma taxa de juro anual de 4,5%, qual há-de ser o vencimento da dívida

única?




RESOLUÇÃO

Pretende-se conhecer qual o momento do tempo, em que o somatório daqueles 3

vencimentos somam 500,00 €

Capital comum = 500,00 x ( 1+ 4,5 %) t = (200,00 (1,045 ) – 2 + 150 * (1,045) - 3 +

171,25 ( 1,045 ) – 1

500,00 x (1,045) ^ t = ( 183,15 + 131,44 + 163,88 )

( 1,045) ^ t = 1,045

t = 1 ano

R : O Vencimento do capital que substitui o anterior conjunto ocorre ao fim de 1 ano

EXERCÍCIO III.3Determinada empresa tem as seguintes dívidas: 2.500,00 EUROS com vencimento

a 1 ano; 5.000,00 EUROS com vencimento a 4 anos; 3.500,00 EUROS com

vencimento a 6 meses.

Adoptando uma taxa de avaliação de 4%, pergunta-se:

Se a empresa pretender liquidar as três dívidas por meio de dois pagamentos x e y,

o primeiro duplo do segundo, e vencíveis respectivamente dentro de 3 anos e 5

anos, quais deverão ser os montantes de x e y?

RESOLUÇÃO 3.500 2.500 5.000 |-------------|---------------|------------------|--------------|-------------|-----------|-------- ½ 1 2 3 4 5 anos X = 2Y Y

Y * (1,04) – 5 + 2 Y * (1,04) – 3 = 3.500 * (1,04) – ½ + 2.500 * (1,04) – 1 + 5.000 * (1,04) – 4

Y = 3.888,54 X = 2Y = 7.777,08




EXERCÍCIO III.4Duas dívidas: 10.000,00 EUROS e 15.000,00 EUROS, vencem-se dentro de 1 e 3

anos respectivamente. O devedor propõe ao credor o endosso de uma letra (seu

saque sobre um cliente, a vencer dentro de 2 anos, de valor nominal igual a

24.000,00 EUROS, devendo ser feita qualquer correcção eventual por entrega, no

momento actual, da quantia necessária para tornar equivalentes as duas situações.

Determine o quantitativo x dessa correcção, utilizando a taxa de juro de 5% ao ano.

RESOLUÇÃO: 10.000,00

15.000,00

|----------------------------|--------------------------!------------------------|

1 2 3 0

24.000,00Momento actual = momemto 0 (zero)

X - correcção a efectuar no momento zero


O capital de 10.000 Eur actualiza um ano ;

O capital de 15.000 Eur actualiza 3 anos ;

E a nova dívida actualiza 2 anos

Então para o emomento zero

10.000,00 * (1,05) – 1 + 15.000,00 (1,05) – 3 = 24.000,00 (1.05) - 2 + X

X = 9.523,81 + 12.957,56 – 21.768,71

X = 712,66 (6)

R : Vai ter entregar mais 712,66 Euros

IV - RENDASCálculo Financeiro e ContabilidadeExercícios de Cálculo Financeiro 25/50



EXERCÍCIO IV.11No início do ano lectivo, a Secção de Gestão do ISEP - Instituto Superior de

Engenharia do Porto negociou uma linha de crédito bonificado para os alunos do

curso de informática, destinada à aquisição de equipamento informático.

Aproveitando esta oportunidade, um(a) aluno(a) do curso de informática decidiu

contrair um empréstimo de 6.000,00 EUROS, para aquisição de equipamento

informático, nas seguintes condições:

- 18 semestralidades iguais e postecipadas;

- taxa de juro anual efectiva de 6% (regime de juro composto).

Após a liquidação da 10ª semestralidade, que ocorreu por alturas da “Queima das

Fitas”, o aluno(a) vê-se confrontado com dificuldades financeiras que o

impossibilitam de cumprir com o seu compromisso. Recorre, então, a um amigo(a),

este mais comedido nas despesas efectuadas aquando da “Queima das Fitas”, que

lhe empresta a quantia estritamente necessária à liquidação total da dívida

registada nesse momento, nas seguintes condições:

- 20 trimestralidades iguais e antecipadas;

- taxa de juro anual efectiva (para amigos) de 10% (regime de juro composto).

a) Determine o valor de cada semestralidade (devida à instituição de crédito).

b) Determine o valor de cada trimestralidade (devida ao amigo(a)).

c) Determine o montante de juros pagos à instituição de crédito e ao amigo(a).

RESOLUÇÃO:

S S S ....................................................... S

|-------|--------|--------|-----------------------------------------------------|

1 2 3 ...................................................... 18

taxa anual efectiva = 6 %

taxa equivalente semestral em regime de juros compostos

= ( 1,06 ) 1/2 - 1 = 2,9563 %




a) Valor da dívida = 6.000,00 = Valor actual

de uma renda de 18 termos semestrais, iguais e postecipados S

6.000,00 Eur = S * A 18 2,9563 %

A = ( 1-(1+ 2,9563 %) – 18 ) / 2,9563 % = 13,80446

18 2,9563 %

Sememstralidade = 434,642 €

b) 6.000,00 S S S S = 434,64 | --------------|-----------|------/////-- -----|-------|------|------//////--------| 1 2 10 11 12 18 CD 10 CD10 = ??? - valor da dívida no final do 10.º semestre = Valor

Actual de uma renda de 8 termos iguais e postecipados de valor = 434,64 Eur/cada, à taxa de juro semestral de 2,9563 %

CD 10 = 434,64 * A 8 2,9563 %

A = (1-(1+i)n/i = 7,03265

CD 10 = 3.056,69 Eur

3.056,69 T T T T




| --------------|-----------|----------//////////-----------------|--------- |

1 2 19 20taxa anual efectiva = 10 %

taxa equivalente trimestral (ano tem 4 trimestres ) = (1,1) ¼ - 1 = 2,4114 %

3.056,69 = T * A

20 2,4114 %

A = 15,72048

T = 199,44 €

c) J a = Juros pagos ao amigo

J a = 20 * T – CD 10 = 20 * 194,44 - 3.056,69 = 3.888,79 – 3.056,69 = 832,11 J t = Juros totais J t = ( 10 * S + 20 * T ) - 6.000,00 €

= 10 * 434,64 + 20 * 199,44 - 6.000,00

= 2.235,22 J b = Juros pagos ao Banco J t = J a + J b

J b = J t - J a

= 2.235,22 - 832,11

= 1.403.11 ou S * 10 + CD10 – 6.000,00 = 1.403,11

Conceitos : Equivalência de taxas; Juro acumulado (total); Renda imediata de termos semestrais/trimestrias, iguais e normais ou postecipados

EXERCÍCIO IV.12




O accionista de determinada empresa, sabendo que a sociedade enfrentava graves

dificuldades financeiras, decidiu conceder-lhe um financiamento no valor de

75.000,00 EUROS. O financiamento foi efectuado em 25 de Junho de 2001, tendo

sido acordado com os restantes accionistas uma taxa de 7,5% anual nominal, capitalizável trimestralmente. Ficou ainda estabelecido que o pagamento da

dívida seria efectuado em 12 trimestralidades, vencendo-se a primeira em 25 de

Dezembro do mesmo ano.

Sabendo que as dificuldades financeiras se irão concentrar especialmente na fase

inicial do empréstimo, e procurando facilitar o pagamento da dívida, ficou também

estabelecido que as primeiras 6 trimestralidades seriam iguais entre si, sendo as

restantes seis iguais ao dobro das primeiras.

a) Qual o montante de cada trimestralidade?

b) Qual a importância que a empresa deverá entregar ao accionista caso pretenda

liquidar toda a dívida após o pagamento da 6ª trimestralidade?

RESOLUÇÃO: T T T T T T 2T 2T 2T 2T 2T 2T

|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-- 1º 2º 6º 7º 12º termo

25/6/01 25/12/01

Trata-se de um renda de termos trimestrais, iguais e sucesivos, normais ou

postecipados, com 1 trimestre de diferimento : de 25/6/2001 a 25/09/2001

Taxa anual nominal = 7,5 % ---->Taxa trimestral = 7,5 % / 4 = 1,875 %

Renda = valor actual do empréstimo.

75.000,00 = T * a * ( 1,01875 ) - 1 + 2 T * * a * (1,01875 ) - 7

6 1,875 % 6 1,875 %

T = 4.870,10508 2T = 9.740,21015

Conceitos : Renda ; termos trimestraisconstantes/iguais ; termos normais ; diferimento




EXERCÍCIO IV.13Um(a) aluno(a) do curso de Engenharia Informática do ISEP, com o objectivo de

efectuar um Mestrado depois de terminar o curso, decidiu depositar mensalmente

(no fim do mês) determinada quantia por forma a que passados 3 anos o valor do

capital acumulado fosse de 25.000,00 EUROS.

O valor depositado mensalmente durante o segundo ano foi o dobro do valor

depositado mensalmente durante o primeiro ano e o valor depositado mensalmente

durante o terceiro ano foi o triplo do depositado mensalmente durante primeiro ano.

O depósito foi remunerado à taxa de juro anual efectiva de 5%.a) Qual o montante depositado mensalmente durante o primeiro, segundo e terceiro

ano?

b) Contrariamente ao que tinha previsto, o(a) aluno(a) terminou a licenciatura

passados 2 anos. Assim, tendo decidido realizar o Mestrado de imediato, levantou o

montante que tinha depositado até esse momento. Qual o valor desse montante?

RESOLUÇÃOa)

D D D 2D 2D 2D 3D 3D 3D

|-------|------|---------------|------|------|----------|------|------|---------------|---- 0 1 2 12 13 14 24 25 26 36

Taxa de juro mensal equivalente

i 12 = ( 1 + 5 % ) 1/12 -1 = 0,4074 %

Capital acumulado no momento 36 = 25.000 Eur.

Temos 3 rendas : uma de 12 termos D que termina no fim do 1.º ano . Será

capitalizada durante 24 perídos ( 36 meses – 12 meses = 24 meses)

uma de 12 termos 2D que termina no fim do 2.º ano. Será

capitalizada durante 12 perídos ( 36 meses – 24 meses = 12 meses)

uma de 12 termos 3D que termina no fim do 3.º ano.

25.000 = D * S * (1,004074) 24 + 2 D * S * (1,04074) 12 + 3 D* S

12 0,4074 % 12 0,4074 % 12 0,4074%




D = 328,4259 Eur 2 D = 656,8519 Eur 3 D = 985,2778 Eur

b) C24 = depósitos acumulados nos primeiros 24 meses ( 2 anos) D = 328,43 = 12 primeiros depósitos 2D = 656,86 = 12 depósitos feitos no 2.º ano

C 24 = 328,426 * S * (1,04074) 12 + 656,852 S 12 0.4074 % 12 0.4074 %

= 12.293,43ou ( 25.000 – 985,29 * S ) * (1,05) - 1

12 0, 4074 %

= 12.293,43

Conceitos : Capitalização e Actualização; Taxa equivalente; Renda de termos mensais, imediatos, iguais e normais ou postecipados.

EXERCÍCIO IV.14Um pai, no dia de nascimento do seu filho, decidiu constituir um fundo que lhe

permitisse pagar os futuros estudos universitários em 10 semestralidades de

2.800,00 EUROS cada. Para tal depositou uma quantia de 6.500,00 EUROS e irá

fazer depósitos semestrais adicionais até à data do 18º aniversário do filho.

Sabendo que esse fundo será remunerado à taxa anual efectiva de 5%, e que o

primeiro pagamento será efectuado no dia do 19º aniversário da criança, determine

o valor de cada depósito semestral necessário.

RESOLUÇÃO




6.500 D D D D D

2.800 2.800 2.800

2.800

|-------|----|----|----|---------//////------|-----|---|---------|------|------------|----------|---------/////-

-|

1 2 3 18

---------------------------------------

1ª 2ª 3ª -

10ª

A * (1+0.024695) 1

10 2,4695%

taxa de juro equivalente semestral = (1,05) ½ -1 = 2,4695 %

Vamos considerar como momento comum os 19 anos (quando começa a receber a 1.ª semestralidade)

6.500,00 € * (1,024695) 38 + D S *1,024695) 2 = A * (1,024695) 1

36 2,4695 % 10 2,4695 %

D = 145,8912 Conceitos : Capitalização; Taxa equivalente; Renda de termos antecipados Valor actual e Valor acumulado EXERCÍCIO IV.15Um professor do ISEP decidiu constituir um Plano Poupança Reforma por forma a

complementar a pensão de reforma que lhe será atribuída pela Caixa Geral de

Aposentações. Sabendo que:

- o professor efectuou um depósito inicial foi de 5.500.,00 EUROS

- efectuou depósitos trimestrais e postcipados no valor de 600,00 EUROS, durante

5 anos;




- a aplicação financeira é remunerada à taxa de juro anual nominal de 5,5%;

a) Qual o saldo do depósito ao fim de 5 anos?

b) Sabendo que ao fim de 5 anos, em conjunto com o depósito trimestral:

- o professor fez um reforço do no valor de 3.000,00 EUROS;

- passou a efectuar depósitos mensais e antecipados no valor de 750,00 EUROS,

durante 5 anos;

- a aplicação financeira passou a ser remunerada à taxa de juro anual efectiva de

4,5%;

Calcule o montante do depósito ao fim de 10 anos.

RESOLUÇÃO

1 2 3 19 20

|--------------|-------------|--------------|-----/////////-------|-------------|5.500,00 600,00 600,00 600,00 600,00 600,00

taxa de juro trimestral = 5,5 % / 4 = 1,375 %

n.º de prestações = 4 * 5 = 20 trimestres

a)

C 20 = 5.500,00 * (1,01375) 20 + 600 * S

20 1,375 %

= 20.932,09 €

b)

600 600 C20 = 20.932,09 €

|-------|------|-------|-------|------|5500 + 3.000 59 M 60 M

|----|-----|-----////---------|------|-------|--> 750 750 750 … 750 750 750

Taxa equivalente mensal = (1,045 ) 1/12 - 1 = 0,3675 %




Capital acumulado = ( 20.932,09 + 3.000,00) * (1,003675) 60 +

750 * S * (1,003675)

60 0,3675 %

= 80.252,19 €

Conceitos : Capitalização; Taxa equivalente; Renda de termos antecipados Valor acumulado EXERCÍCIO IV.16Um capital de 60.000,00 EUROS foi depositado à taxa de juro anual de 6 %. Qual

o montante a receber ao fim de 25 anos no caso de se efectuar um levantamento

anual de 5.000,00 EUROS e o primeiro deles ser feito no fim do segundo ano.

5000 5000 5000 5000

|-----------|---------|---------|----------------------------|----------|60.000,00 1 2 23 24

X = ( 60.000* (1,06) 25 ) – 5.000 * S 24 6 %

= 3.434,36 €Conceitos : Capitalização; Renda de termos normais Valor acumulado

EXERCÍCIO IV.17Um empréstimo de 75.000,00 EUROS é reembolsado através de uma única

prestação de capital e juro ao fim de 4 anos, sendo a taxa anual nominal acordada

de 6% ao ano, com capitalização semestral.




Passado um trimestre, para fazer face ao pagamento no final dos 4 anos, o

mutuário decidiu constituir um fundo em que fazia depósitos trimestrais antecipados.

A taxa anual nominal negociada para este depósito seria de 5,5% para os primeiros

três depósitos e de 6,5% para os restantes.

Determine a quantia a colocar trimestralmente no fundo para que, na data de

pagamento do empréstimo, o valor acumulado no fundo permita a sua liquidação

integral.

RESOLUÇÃO

|-------|------|--------|--------|--------|-------|------|--------|0 1 2 3 4 5 6 7 8 semestres

|---|---|----|----|-----------------------------------------------------|-----

1 2 3 4 5 16 trimestres

taxa semestral = 6 % / 2 = 3 %

Valor da dívida = Cn =75.000 * (1,03) 8 = 95.007 ,76 €

taxa trimestral = 5,5 % / 4 = 1,375 %

taxa trimestral = 6,5 % / 4 = 1,625 %

T * S (1,01375) * (1,01625) 13 + T * S *(1,01625)

3 1,375 % 12 1,625 %

= 5.560,096 €

Conceitos : Capitalização; Renda de termos antecipados

EXERCÍCIO IV.18Determinado indivíduo contraiu uma dívida pela qual se compromete a pagar

imediatamente 2.500, 00 EUROS e prestações mensais postecipadas de 750,00

EUROS durante 5 anos, com remuneração à taxa anual nominal de 7,5%.




Sabendo que pelo facto de ter deixado de pagar as 6 primeiras prestações o credor

lhe irá exigir o pagamento integral na 7ª prestação, diga qual o montante que o

indivíduo deve, nessa data, entregar.

RESOLUÇÃO

750 750 750 750 750

|----------|----------|---------|----/////----|-------------------------------------|2.500,00 M1 M2 M3 M 7 M 60

PRESTAÇÕES = 60 mensalidades

taxa mensal = 7,5 % / 12 = 0,625 % CD = capital em dívida

CD 7 = 750 * S + 750 * A

7 0,625 % 53 0,625 %

= 39.097,52 €




V - REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS

EXERCÍCIO V.15Um(a) aluno(a) finalista do curso de Engenharia Informática, terminado o curso,

decide efectuar um Mestrado. Para tal contrai um empréstimo, como complemento

de uma bolsa, nas seguintes condições:

- valor do empréstimo: 17.500,00 EUROS;

- amortização do capital em 4 prestações anuais iguais;

- vencimento da primeira prestação um ano após a contratação do empréstimo;

- amortização dos juros totais numa única prestação, a liquidar em conjunto com

a última prestação de capital;

- taxa de juro anual (regime de juro composto): 6,5%.

Qual o montante de juros a pagar pelo empréstimo.

RESOLUÇÃO17.500 4375 4375 4375 4375

|-----------------|-------------------|-----------------|-------------------| 0 1 2 3 4

Jn

taxa de juro anual = 6,5 %

Valor actual do empréstimo = valor actuaç dos pagaemntos de capital + valor actual

do pagamento dos juros

17.500 = 4.375 * A + Jn * (1,065) - 4

4 6,5 %

Jn = 3.231,77 Períodos Capital

inicioTaxa de Juro do Reembolso Prestação Capital fim

Do período Juro Período De Capital Do perído

1 17.500 6,5 % 1.137,50 4.375 4.375,00 14.263,50




2 13.125 6,5 % 927,06 4.375 4375,00 10.814,56

3 8.750 6,5 % 702,95 4.375 4.375,00 7.142,51

4 4.375 6,5 % 464,25 4.375 7.607,77 0

TOTAL 3.231,77 17.500 20.731,77

Conceitos : Taxa de juro periódica; Reembolso de capital e pagamento de juros. Dívida no fim de um determinado perído = dívida no início do período seguinte.

EXERCÍCIO V.16Determinada empresa, por forma a financiar investimentos de expansão do negócio,

decide contrair um empréstimo junto de uma instituição financeira nas seguintes

condições:- montante de 125.000,00 EUROS;

- reembolso do capital em 4 semestralidades iguais, vencendo-se a primeira um

ano após a contratação do empréstimo;

- pagamento do juro total no momento de contratação do empréstimo;

- taxa de juro anual efectiva de 7,5% (regime de juro composto).

O director da empresa, consultando o Mapa de Amortização do Empréstimo,

constatou que a instituição financeira teria cometido um erro no cálculo dos juros. O

referido erro residia no facto dos juros serem pagos no inicio do prazo do

empréstimo mas calculados como se fossem pagos no fim. Pelo que, o director da

empresa reformulou o Mapa de Amortização do Empréstimo, corrigindo o erro

referido.

a) Qual o montante de juros a pagar que constava do Mapa de Amortização

elaborado pela instituição financeira?

b) Qual a diferença entre o montante de juros calculados pelo director da empresa e

o montante apresentado pela instituição financeira?

RESOLUÇÃO 31.250 31.250 31.250 31.250

Jn |----------|---------|-------------|-------------| Jn 125.000




Valor de cada semestralidades de capital = 125.000 / 4 = 31.250

taxa de juro anual efectiva = 7,5 %

taxa de juro equivalente semestral = (1,075) ½ - 1 = 3,6822 %

a) Cálculo efectuado pelo Banco

125.000 = 31.250 * a + Jn * (1,036822) - 4

4 3,6822 %

J n = 12.377,94 €

b) Cálculo reformulado pela empresa

125.000 = Jn + 31.250 a

4 3,6822 %

J n = 10.711,04

Diferença = 12.377,94 – 10.711,04 = 1.666,91 €

EXERCÍCIO V.17

A empresa ALFA_BETA – Sistemas Informáticos, S.A., tendo em vista a troca dos

seus computadores Pentium II por computadores da nova geração, decidiu contrair

um empréstimo de 150.000,00 EUROS nas seguintes condições:

- período de carência de capital durante dois anos, período durante o qual serão

pagos juros anuais postecipados à taxa de 6,25%;

- reembolso de capital e juros em três prestações iguais à taxa de juro de 5,75%

ano, vencendo-se a primeira prestação um ano após terminado o período de

carência (três anos após a data do empréstimo).

Elabore o Mapa de Amortização do Empréstimo.

RESOLUÇÃOCálculo Financeiro e ContabilidadeExercícios de Cálculo Financeiro 39/50



T T T

|-----------|------------|----------------|-------------|---------------|

J 1 J 2

|...................................| |...............................................................|

6,25 % 5,75 %

J 1 = J 2 = C o * i = 150.000 x 6,25 % = 9.375 €

150.000 = T a

4 5,75 % T = 55.857,10 €

Períodos

Capital inicial Juros

Períodicos

Reembolso

de Capital

Anuidade Capital fim

periodo

1 150.000 9.375 150.000

2 150.000 9.375 150.000

3 150.000 9.375 47.232,10 55857,10 102.767,90

4 102.767,10 5.909,15 49.949,95 55.857,10 52.819,95

5 52.819,95 3.037,15 52.819,95 55.857,10 0

Total 36.321,30 150.000,00 186.321,30

Conceitos : Juro periódico; Renda imediata de termos normais Carência ( paga juros mas não paga capital). Como paga os juros o valor da dívida mantêm-se.

EXERCÍCIO V.18A empresa “Sistemas de Informação - ConsulSoft, SA”, contraiu um empréstimo de

médio/longo prazo, para a aquisição de novos equipamentos de desenvolvimneto,

nas seguintes condições:

- montante: 650.000,00 Euros

- prazo: 5 anos

- taxa de juro: 5,25% anual nominal- pagamento de juros: anual

- reembolso de capital: em cinco anuidades iguais e postcipadas




No momento de pagamento da segunda anuidade, dificuldades de tesouraria

impossibilitavam a empresa de cumprir com as suas responsabilidades. Por isso,

decidiu contrair um empréstimo de curto prazo por forma a ultrapassar as

dificuldades financeiras que supostamente eram momentâneas.

As condições do empréstimo foram as seguintes:

- prazo: 1 ano

- taxa de juro anual nominal: 6,75%

- pagamento do juro total no momento de contratação do empréstimo- reembolso do capital em prestações mensais iguais

a) Construa o mapa de amortização do empréstimo de médio longo prazo.

b) Sabendo que o objectivo da empresa ao contrair o empréstimo de curto prazo era

obter (naquele momento) a quantia necessária para a liquidação da segunda

anuidade (componente capital) do empréstimo de médio/longo prazo, qual o

montante pedido emprestado?

c) Qual o montante de cada mensalidade do empréstimo de curto prazo?

RESOLUÇÃO:Reembolso de capital = 650.000/5 = 130.000,00 €

a)

Períodos Capital no

início do

período

Juros

Periódicos

Reembolso de Capital

Prestação

anual

(Anuidade)

Capital no

fim do

período

1 650.000 34.125 130.000 164.125 520.000

2 520.000 27.300 130.000 157.300 390.000

3 390.000 20.475 130.000 150.475 260.000

4 260.000 13.650 130.000 143.650 130.000

5 130.00 6.825 130.000 136.825 0

Total 102.375 650.000 752.375

b)

Montante necessário = 130.000,00 € (empréstimo curto prazo até 1 ano)

Os juros são pagos à cabeça, pelo que :




Valor a receber pela empresa = Empréstimo – J 0 = 130.000,00 €taxa de juro equivalente mensal = 6,75 % / 12 = 0,5625 %

C = J 0 + C/12 * a

12 0,5625 %

C - J 0 = 130.000

C = 134.802,00

NOTA : O Banco vai ter que emprestar não só o valor do Reembolso de Capital como o valor dos juros pagos à cabeça.

VALOR DE CADA MENSALIDADE = 134.802,00/12

= 11.233,50 €

K =Períodos Dívida Taxa Juro Juro Reemb Capital Dívida fim do

Inicio K Período K

1 134.802,00 0,5625% 754,02 11.233,50 123.568,502 123.568,50 0,5625% 687,32 11.233,50 112.335,003 112.335,00 0,5625% 621,34 11.233,50 101.101,504 101.101,50 0,5625% 556,08 11.233,50 89.868,005 89.868,00 0,5625% 491,53 11.233,50 78.634,506 78.634,50 0,5625% 427,68 11.233,50 67.401,007 67.401,00 0,5625% 364,53 11.233,50 56.167,508 56.167,50 0,5625% 302,08 11.233,50 44.934,009 44.934,00 0,5625% 240,31 11.233,50 33.700,5010 33.700,50 0,5625% 179,22 11.233,50 22.467,0011 22.467,00 0,5625% 118,81 11.233,50 11.233,5012 11.233,50 0,5625% 59,08 11.233,50 0,00

Total 4.802,00 134.802,00

Juros actualizados para o início do período

EXERCÍCIO V.19




Um investidor decidiu subscrever acções de determinada empresa no âmbito de

uma operação de privatização. Para tal, recorreu a uma linha de crédito criada por

um banco especialmente para a operação em causa. As condições de

financiamento oferecidas pelo banco eram as seguintes:

- financiamento integral do capital necessário à aquisição das acções;

- reembolso de capital e pagamento de juros em prestações semestrais, constantes

e postcipadas;

- prazo do empréstimo: 3 anos;

- taxa de juro: Taxa de Juro 6 Meses; a taxa de juro de referência será a que vigorar

na data da privatização;

- penhora das acções durante o prazo do empréstimo (decorrendo daqui que o

empréstimo terá de ser reembolsado na totalidade caso se pretenda vender as

acções antes de atingidos os três anos).

As condições de mercado na data da privatização eram as seguintes:

- Preço das acções: 25,00 EUROS

- Taxa de Juro 6 Meses: 5% (anual nominal)

a) Supondo que o investidor comprou 1.000 acções, qual o valor da prestação

semestral a pagar ao banco?

b) Elabore o mapa de amortização do empréstimo.

c) Determine o montante que o investidor deverá pagar ao banco no caso de

pretender vender as acções passado um ano.

d) No caso de o investidor vender as acções passado um ano, qual o montante de

juros pago ao banco?

RESOLUÇÃO:

3 anos = 6 semestralidades

|-------------|--------------|-----------------------------------------------------|1 2 6

C 0 = 25,00 € * 1.000 acções = 25.000,00 € (valor do empréstimo)




Taxa de juro equivalente semestral a= 5 % / 2 = 2,5 % . Como a taxa é

nominal aplica-se a regra da proporcionalidade.

Vamos calcular o valor da prestação (reembolso de capital + pagamento dos

juros) relativos ao empréstimo obtido.

Trata-se de uma Renda, temporária, imediata, de termos normais

25.000, 00 = X * A 6 2,5 %

X = 4.538,75

b)

Período

Capital em dívida

no início do

período

Juros

períodicos

Reembolso

de capital

Prestação

(Semestralidade)

Capital em

dívida no fim

do período

1 25.000,00 625,00 3.913,75 4.538,75 21.086,25

2 21.086,25 527,16 4.011,59 4.538,75 17.074,66

3 17.074,66 426,87 4.111,88 4.538,75 12.962,77

4 12.962,77 327,07 4.214,67 4.538,75 8.748,09

5 8.748,09 218,70 4.320,05 4.538,75 4.428,04

6 4.428,04 110,70 4.428,05 4.538,75 0

c) passado um ano , como são semestralidades estamos situados

no fim do 2º periodo ou início 3º período.

Então a dívida é o valor actual de uma renda de termos normais, com 4

termos postecipados.

C2 = 4.538,75 * A 4 2,5 %

Valor da dívida ao fim de um ano = 17.074,66

d) Juros 1.º ano = juro 1º semestre + juro 2º semestre




= 625,00 + 527,16

= 1.152,16 EUROS

EXERCÍCIO V.20

A empresa SoftNet, SA contraiu um empréstimo de médio/ longo prazo nas

seguintes condições:

Montante: 1.750.000,00 EUROS.

Reembolso de Capital: em 4 prestações semestrais constantes e postecipadas

Pagamento de Juros: semestral

Taxa de Juro: 5,5% anual nominal

Para além das condições acima indicadas foi ainda negociado um período de

carência (deferimento) de capital pelo prazo de um ano; desta forma o primeiro

reembolso de capital será efectuado um ano e meio após a contratação do

empréstimo.

As condições do empréstimo incluíam ainda uma cláusula de opção que conferia à

empresa a possibilidade de liquidar o empréstimo na totalidade após o reembolso

da segunda prestação de capital. Desta forma, a empresa poderia aproveitar

eventuais descidas da taxa de juro.

a) Elabore o mapa de empréstimo

b) Imediatamente após a liquidação da segunda prestação de capital, uma outra

instituição bancária ofereceu à empresa o seguinte negócio: empréstimo do capital

necessário para a empresa exercer a cláusula de opção que detinha, nas seguintes

condições:

Reembolso de Capital: em 2 prestações semestrais constantes e postecipadas

Pagamento de Juros: antecipado, na totalidade

Taxa de Juro: 4,4% anual efectiva

Sabendo que a empresa no momento não dispõe de liquidez, e utilizando como

critério de decisão apenas os juros pagos em cada um dos empréstimos,

aconselharia a empresa a exercer a cláusula de opção?

RESOLUÇÃO:




a) Reembolso anual de capital : 1.750.000,00 € / 4 = 437.500,00 €

taxa de juro equivalente semestral = 5,5 % / 2 = 2,75 %

Períodos

Capital em no

início do período

Juros

períodicos

Reembolso

de capital Semestralidade

Capital fim

do período

1 1.750.000,00 48.125,00 0 48.125,00 1.750.000,00

2 1.750.000,00 48.125,00 0 48.125,00 1.750.000,00

3 1.750.000,00 48.125,00 437.500,00 485.625,00 1.312.500,00

4 1.312.500,00 36.093,75 437.500,00 473.593,75 875.000,00

5 875.000,00 24.062,50 437.500,00 461.562,50 437.500,00

6 437.500,00 12.031,25 437.500,00 449.531,25 0

216.562,50 1.750.000,00 1.966,562,50

b) Capital em dívida após a liquidação do 2.º reembolso de capital =

1.750.000,00/4 * 2 = 875.000 Eur

Reembolso de capital = 1.750.000,00 / 2 = 875.000,00 Eur

|-----------------------------------|-----------------------------------|875.000 Co / 2 C o / 2

- Jo

Jo – juros pagos à cabeça.

Valor do financiamento = 875.000,00 €

Taxa de juro equivalente semestral = 1,044 ½ - 1 = 2,1763 %

C o = J o + C o / 2 * ( 1,021763) – 1 + C o / 2 * (1,021763) - 2

C o = 875.000,00 + J o

C o = 903.666,67

J o = 28.666,67




Para podermos comparar temos que conhecer os juros que teria

que pagar se continuasse com o 1.º empréstimo e conhecer também os

juros que teria de pagar se mudar para a proposta alternativa.

Juros do 1º empréstimo = 24.062,50 + 12.034,25 = 36.093,75 €

Juros do 2º empréstimo = 28.666,67 €

A empresa deve exercer a cláusula de opção já que paga menos juros (único critério de decisão). Ou seja vai pedir dinheiro emprestado a outro Banco para liquidar a dívida uma vez que lhe fica mais barato.

EXERCÍCIO V.21

O Senhor João Antunes contraiu um empréstimo, junto duma instituição financeira,

destinado à construção da sua habitação, nas seguintes condições:

Montante global do empréstimo = 125.000,00 EUROS, a utilizar nas

seguintes datas e nos seguintes montantes:

12.500,00 EUROS em 30/09/2004

12.500,00 EUROS em 31/03/2005

25.000,00 EUROS em 30/09/2005

o restante em 30/09/2006

Durante os dois primeiros anos do empréstimo, foram apenas pagos juros

trimestrais.

O prazo global do empréstimo é de 20 anos

Após a data de 30/09/96 o empréstimo passou a ser reembolsado através de

prestações mensais constantes de capital e juros, posticipadas;

A taxa de juro anual nominal do contrato é de 8 %;

O contrato previu a possibilidade de efectuar amortizações antecipadas

através da cláusula seguinte “No caso do cliente pretender liquidar

antecipadamente o empréstimo, ficará sujeito a uma penalização,




correspondente a 2 % do valor da dívida à data, no valor mínimo de 2.500,00

EUROS”.

Decorridos 5 anos da data de 30/09/2006 e face às melhores condições

financeiras oferecidas por um seu familiar, o Senhor João accionou a cláusula de

amortização antecipada e contraiu novo empréstimo, no montante necessário para

liquidar o valor em dívida ao banco, incluindo a respectiva penalização. As

condições acordadas com o seu familiar foram as seguintes :

Taxa de juro anual efectiva 6,5 %; Período do empréstimo: tempo que faltava para o final do empréstimo ao

banco. Prestações mensais, constantes de capital e juro, sendo a primeira liquidada

no mês imediatamente seguinte.

Pretende-se:

a) O montante de juros pagos nos dois primeiros anos ao banco;

b) O valor da prestação mensal que vinha sendo paga ao banco;

c) O montante em dívida ao banco na data em que accionou a cláusula de

amortização antecipada;

d) O valor das prestações mensais do segundo empréstimo;

e) Construir o mapa do serviço da dívida para os nove primeiros trimestres

do empréstimo ;

f) Saber se terá sido vantajoso para o Snr João ter accionado a cláusula de

amortização antecipada. (justifique convenientemente usando critérios

estritamente financeiros).

RESOLUÇÃO :

12.500 12.500 25.000 75.000 C C

|-------|---------|------|------|-----|-----|------|-----|------ ------|-----//////////-------| 1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T

30/9/04 31/3/05 30/9/05 30/09/06 30/10/96 30/9/2014

taxa de juro anual nominal = 8 %Cálculo Financeiro e ContabilidadeExercícios de Cálculo Financeiro 48/50



taxa de juro trimestral = 8 % / 4 = 2 %

a) J 1,2 = 12.500 * 2 % * 2 = 500,00 juros dos 1.º e 2.º trimestres

J 3,4 = 25.000 * 2 % * 2 = 1.000,00 juros dos 3.º e 4.º trimestres

J 5,8 = 50.000 * 2 % * 4 = 4.000,00 juros dos 5.º a 8.º trimestres

----------- 5.500,00 Juros acumulados dos 1.º a 8.º trim.

b) C o = 125.000,00 €

n = 18 anos

nº de mensalidades = 18 * 12 = 216

taxa mensal = 8 % / 12 = 0,666 %

Emprétimo = Valor actual de uma renda imediata, de 216 termos mensais,

postecipados, à taxa de juro mensal de 0,666 %

125.000,00 = T * A

216 0,666 %

T = 1.093,70 €

c) 18 anos – 5 anos = 13 * 12 meses = 156 mensalidades

CD = 1.093,70 * A

156 0,666 %

= 105.868,83

Total a pagar = CD + Penalização

Calculo da penalização = 2 % * 105.868,83 = 2.117.38 €

ou seja 2.5000,00 que é valor mínimo




logo total a pagar = 105.868,83 + 2500,00 = 108.368,83 €

d) taxa equivalente mensal = (1+ 6,5 %) 1/12 -1 = 0,52617 %

nova prestação = 108.368,83 = M A

156 0,52617 %

M = 1.020,073

e)

Períodos

Capital em no

início do período

Juros

períodicos

Reembolso

de capital Prestação

Capital fim

do período

1 12.500,00 250,00 0 250,00 12.500,00

2 12.500,00 250,00 0 250,00 12.500,00

3 25.000,00 500,00 0 500,00 25.000,00

4 25.000,00 500,00 0 500,00 25.000,00

5 50.000,00 1.000,00 0 1.000,00 437.500,00

6 50.000,00 1.000,00 0 1.000,00 50.000,00

7 50.000,00 1.000,00 0 1.000,00 50.000,00

8 50.000,00 1.000,00 0 1.000,00 50.000,00

8 1/12 125.000,00 833,33 260,37 1.093,70 124.739,63

8 2/12 124.739,63 831,60 262,11 1.093,70 124.477,52

9 124.477,52 829,85 263,85 1.093,70 124.213,67

7.994,78 786,33 8.781,11

f)

juros a pagar ao banco

= 156 * 1.093,70 - 125.000 = 111.239,91 €

juros a pagar ao familiar

= 156 * 1.020,073 - 108.368,83

= 50.762,55Conclusão. Opta por pedir ao familiar pois paga menos juros (incluindo a

penalização) do que os que teria que pagar ao banco caso continuasse com o

empréstimo.


Documents

Exerc. Cálc. Finac. Resol (4)