UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁDEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃODISCIPLINA: MÉTODOS E MEDIDAS IPROFESSOR: OZORIO K. MATSUDA

DESCONTO COMPOSTO - Gabarito

DESCONTO COMERCIAL ou “POR FORA” - O valor do desconto é calculado com base no Valor Nominaldc = Vlr.desconto ; N = Vlr. Nominal ; Ac = Vlr. Atual ; i = Taxa por período ; n = n.º de período

Ac

dc = N [ 1 – ( 1 – i )n ] ; Ac = N ( 1 – i )n ; Ac = N - dc ; N = ----------------- ( 1 – i )n

Obs. Importante: => Para o calculo pela HP, os valores de entrada são invertidos, ou seja, o valor de A deve ser dado entrada como , o valor de N deve ser dado entrada como e a

taxa de juro deve ser dado entrada como

Exemplo a)- N = R$ 1.108,03 ; i = 0,05 ao mês(cap. mensal) ; n = 60 dias = 2 m ; A c = ? ; d c =? dc= N [1 – (1 – i)n ] => dc= 1108,03 [1 – (1 – 0,05)2 ] => dc= 1108,03 . 0,0975 => dc= 108,03

Ac= N (1 – i)n => Ac= 1108,03 ( 1 – 0,05)2 => Ac= 1108,03 . 0,9025 => Ac= 1.000,00

1108.03 pv 5 chs 2 fv = 1.000,00

Exemplo b) - A c = R$1.000,00 ; i = 0,60 ao ano(cap. mensal) ; n = 2 meses ; N = ? N = Ac / (1 – i)n => Ac= 1000,00 / ( 1 – 0,05)2 => N = 1000,00 / 0,9025 => N = 1.108,03 1000 5 2 = 1.108,03

Exemplo c) - N = R$ 1.108,03 ; A c = R$ 1.000,00 ; n = 2 meses ; i = ? (cap. mensal) Ac= N (1 – i)n => 1000,00 = 1108,03 ( 1 – i )2

=> 1000,00 / 1108,03 ( 1 – i )2 =>

0,9025 = ( 1 – i )2 => = 1 - i => 0,95 = 1 - i = 1 – 0,95 = i => i = 0,05 1000 1108,03 2 = 5

Exemplo d) - A c = R$ 1.000,00 ; N = 1.108,03 ; i = 0,05 ao mês(cap. mensal) ; n = ? Ac= N (1 – i)n => 1000,00 = 1108,03 ( 1 – 0,05 )n

=> 1000,00 / 1108,03 ( 1 – 0,05 )n =>

0,9025 = 0,95 n => log 0,9025 = n . log 0,95 => log 0,9025 / log 0,95 = n => n = 2 1000 chs 1108,03 5 = 2

DISCIPLINA: MÉTODOS E MEDIDAS I

DESCONTO COMPOSTO - Gabarito

DESCONTO RACIONAL ou “POR DENTRO” - O valor do desconto é calculado com base no Valor Atual. No regime de juro composto representa a capitalização composta

dr = Vlr.desconto ; N = Vlr. Nominal ; Ar = Vlr. Atual ; i = Taxa por período ; n = n.º de período

dr = N [ 1 – ( 1 + i ) -n ] ; Ar = N ( 1 + i )–n ; Ar = N - dr ; N = Ar ( 1 + i ) n

Obs. Importante: => => Para o calculo pela HP, os valores de entrada, ou seja, o valor de A deve ser dado entrada como , o valor de N deve ser dado entrada como e a taxa de juro

deve ser dado entrada como

Exemplo a)- N = R$ 1.102,50 ; i = 0,05 ao mês(cap. mensal) ; n = 60 dias ; A r = ? ; d r =? dr= N [1 – (1 + i)-n ] => dr= 1102,50 [1 – (1 + 0,05)-2 ] => dr= 1102,50 . 0,0929705 => dr= 102,50

Ar= N (1 + i)-n => Ar= 1102,50 ( 1 + 0,05)-2 => Ar= 1102,50 . 0,907029 => Ar= 1.000,00 1102,5 5 2 = 1.000,00

Exemplo b) - A r = R$1.000,00 ; i = 0,60 ao ano(cap. mensal) ; n = 2 meses ; N = ? Ar= N (1 + i)-n => 1000,00 = N ( 1 + 0,05)-2

=> 1000,00 / 0,907029 = N => N = 1.102,50 1000 5 2 = 1.102,50

Exemplo c) - N = R$ 1.102,50 ; A r = R$ 1.000,00 ; n = 2 meses ; i = ? (cap. mensal)

Ar= N (1 + i)-n => 1000,00 = 1102,50 ( 1 + i )-2 => 1000,00 / 1102,50 ( 1 + i )-2 =>

0,9070295 = ( 1 + i )-2 => = 1 + i => 1,05 = 1 + i => 1,05 –1 = i => i = 0,05

1000 1102,50 2 = 5

Exemplo d) - A r = R$ 1.000,00 ; N = 1.102,50 ; i = 0,05 ao mês(cap. mensal) ; n = ?

Ar= N (1 + i)-n => 1000,00 = 1102,50 ( 1 + 0,05 )-n => 1000,00 / 1102,50 ( 1 + 0,05 )-n

=>

0,9070295 = 1,05 -n => log 0,9070295 = -n . log 1,05 => log 0,9070295 / log 1,05 = n => n = 2 1000 1102,50 5 = 2

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃODISCIPLINA: MÉTODOS E MEDIDAS IPROFESSOR: OZORIO K. MATSUDA

EXERCÍCIOS SOBRE “DESCONTO COMPOSTO “ - Gabarito

1 – Certo empresário pretende descontar uma duplicata no valor de R$ 7.654,00, faltando ainda 6 meses para o seu vencimento. Se o banco cobrar taxa de desconto “por fora” de 36% ao ano, capitalizado mensalmente qual será o valor atual comercial e o valor do desconto comercial?

(Ac = R$ 6.375,56 ; dc = R$ 1.278,43 ) N = R$ 7654,00 ; i = 0,03 ao mês(cap. mensal) ; n = 6 m ; A c = ? ; d c =? dc= N [1 – (1 – i)n ] => dc= 7654,00 [1 – (1 – 0,03)6 ] => dc= 7654,00 . 0,167028 => dc= 1.278,43

Ac= N (1 – i)n => Ac= 7654,00 ( 1 – 0,03)6 => Ac= 7654,00 . 0,832972 => Ac= 6.375,56

7654 3 6 = 6.373,56

2 – Certo empresário pretende descontar uma duplicata no valor de R$ 7.654,00, faltando ainda 6 meses para o seu vencimento. Se o banco cobrar taxa de desconto “por dentro” de 36% ao ano, capitalizado mensalmente qual será o valor atual racional e o valor do desconto racional ?

(Ar = R$ 6.410,10 ; dr = R$ 1.243,90 )

N = R$ 7654,00 ; i = 0,03 ao mês(cap. mensal) ; n = 6 m ; A r = ? ; d r =? dr= N [1 – (1 + i)-n ] => dr= 7654,00 [1 – (1 + 0,03)-6 ] => dr= 7654,00 . 0,162576 => dr= 1.243,90

Ar= N (1 + i)-n => Ar= 7654,00 ( 1 + 0,03)-6 => Ar= 7654,00 . 0,837484 => Ar= 6.410,10

7654 3 6 = 6.410,10

3 – O professor Ozório assumiu dois compromissos representadas por Notas Promissórias, uma no valor de R$ 5.000,00 a vencer em 120 dias e outra de R$ 8.000,00, vencível em 180 dias. Supondo que o professor deseja substituir os dois compromissos por um só título com prazo de 90 dias, determinar o valor nominal do novo título, calculando à taxa de desconto “por fora” de 3% ao mês, capitalizados mensalmente. ( N =R$ 12.151,38 )

N1= R$ 5.000,00 ; i = 0,03 ao mes(cap. mensal) ; n = 120 dias = 4 meses N2= R$ 8.000,00 ; i = 0,03 ao mes(cap. mensal) ; n = 180 dias = 6 meses N3= R$ ? ; i = 0,03 ao mes(cap. mensal) ; n = 90 dias = 3 meses

Ac= N (1 – i)n => [ 5000,00 (1 – 0,03)4 + 8000,00 (1 – 0,03)6

] = N (1 – 0,03)3 => 4.426,46 + 6.663,78 = N. 0,912673 => 11.090,24 / 0,912673 = N => N = 12.151,38

5000 chs pv 3 4 fv 8000

3 6 fv 3 3 = 12.151,38

4 – O professor Ozório assumiu dois compromissos representadas por Notas Promissórias, uma no valor de R$ 5.000,00 a vencer em 120 dias e outra de R$ 8.000,00, vencível em 180 dias. Supondo que o professor deseja substituir os dois compromissos por um só título com prazo de 90 dias. Determinar o valor nominal do novo título, calculando à taxa de desconto “por dentro” de 3% ao mês, capitalizados mensalmente. ( N =R$ 12.175,50 )

N1= R$ 5.000,00 ; i = 0,03 ao mes(cap. mensal) ; n = 120 dias = 4 meses N2= R$ 8.000,00 ; i = 0,03 ao mes(cap. mensal) ; n = 180 dias = 6 meses N3= R$ ? ; i = 0,03 ao mes(cap. mensal) ; n = 90 dias = 3 meses

Ar= N (1 + i)-n => [ 5000,00 (1 + 0,03)-4 + 8000,00 (1 + 0,03)-6 ] = N (1 + 0,03)-3 =>

4.442,44 + 6.699,87 = N. 0,9151416 => 11.142,31 / 0,9151416 = N => N = 12.175,50DISCIPLINA: MÉTODOS E MEDIDAS I

EXERCÍCIOS SOBRE “DESCONTO COMPOSTO “ – Gabarito (continuação exerc. 4 )

5000 3 4 8000 3 6

3 3 = 12.175,50

5 - Um título de R$ 15.000,00, foi resgatado por R$ 13.071,63, com uma taxa de desconto “ por dentro” de 3,5 % ao mês, compostos mensalmente. Apurar o tempo de antecipação do resgate.( n = 4 meses )

Ar = R$ 13.071,63 ; N = 15.000,00 ; i = 0,035 ao mês(cap. mensal) ; n = ?

Ar= N (1 + i)-n => 13071,63 = 15000,00 ( 1 + 0,035 )-n => 13071,63 / 15000,00 ( 1 + 0,035 )-n =>

0,871442 = 1,035 -n => log 0,871442 = -n . log 1,035 => log 0,871442 / log 1,035 = -n => n = 4 m

13071,63 15000,00 3,5 = 4

6 - Um título de R$ 15.000,00, foi resgatado por R$ 13.071,63, com uma taxa de desconto “por fora” de 3,5 % ao mês, compostos mensalmente. Apurar o tempo de antecipação do resgate. ( n = 3 mes e 26 dias)

Ac = R$ 13.071,63 ; N = 15.000,00 ; i = 0,035 ao mês(cap. mensal) ; n = ? Ac= N (1 – i)n => 13071,63 = 15000,00 ( 1 – 0,035 )n

=> 13071,63 / 15000,00 ( 1 – 0,035 )n =>

0,871442= 0,965 n => log 0,871442= n . log 0,965 => log 0,871442 / log 0,965 = n => n = 3m + 26d 13071,63 15000,00 3,5 = 3

7 - Um título de R$ 10.000,00, foi resgatado 1 ano e 6 meses antes do seu vencimento por R$ 7.903,15. Determinar a taxa de desconto “por dentro”, capitalizada trimestralmente. ( i = 4,0 % )

N = R$ 10.000,00 ; A r = R$ 7.903,15 ; n = 6 trim ; i = ? (cap. trim)

Ar= N (1 + i)-n => 7903,15 = 10000,00 ( 1 + i )-6 => 7903,15 / 10000,00 ( 1 + i )-6

=> 0,790315 = ( 1 + i )-6 => = 1 + i => 1,04 = 1 + i => 1,04 –1 = i => i = 0,04 7903,15 10000 6 = 4

8 - Um título de R$ 10.000,00, foi resgatado 1 ano e 6 meses antes do seu vencimento por R$ 8.329,72. Determinar a taxa de desconto “por fora”, capitalizada trimestralmente. ( i = 3,0 % )

N = R$ 10.000,00 ; A c = R$ 8.329,72 ; n = 6 trim ; i = ? (cap. trim) Ac= N (1 – i)n => 8329,72 = 10000,00 ( 1 – i )6

=> 8329,72 / 10000,00 ( 1 – i )6 =>

0,832972 = ( 1 – i )6 => = 1 - i => 0,97 = 1 - i = 1 – 0,97 = i => i = 0,03 10000 8329,72 6 = 3

9 - Um título no valor de R$ 29.512,42 a vencer daqui a 5 meses, deve ser substituída por dois títulos do mesmo valor, com vencimentos para 120 dias e 210 dias. Sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 3,5 % ao mês, capitalizados mensalmente, determine o valor de cada título. ( N= 15.000,00 )

N1= R$ 29.512,42 ; i = 0,035 ao mes(cap. mensal) ; n = 5 meses N2= R$ ? ; i = 0,035 ao mes(cap. mensal) ; n = 120 dias = 4 meses N3= R$ ? ; i = 0,035 ao mes(cap. mensal) ; n = 210 dias = 7 meses Ac= N (1 – i)n => 29512,42 (1 – 0,035)5

= N (1 – 0,035)4 + N (1 – 0,035)7 => 24.696,84 = N. 0,86718 + N. 0,7792758 => 24.696,84 / 1,6464558 = N => N = 15.000,00

29512,42 chs pv 3,5 5 fv 1 3,5

4 fv 1 3,5 7 fv

= 15.000,00DISCIPLINA: MÉTODOS E MEDIDAS I

EXERCÍCIOS SOBRE “DESCONTO COMPOSTO “ – Gabarito

10 - Um título no valor de R$ 29.527,66 a vencer daqui a 5 meses, deve ser substituída por dois títulos do mesmo valor, com vencimentos para 120 dias e 210 dias. Sabendo-se que a taxa de desconto “por dentro” é de 3,5 % ao mês, capitalizados mensalmente, determine o valor de cada título.

(N = 15.000,00 )

N1= R$ 29.527,66 ; i = 0,035 ao mes(cap. mensal) ; n = 5 meses N2= R$ ? ; i = 0,035 ao mes(cap. mensal) ; n = 120 dias = 4 meses N3= R$ ? ; i = 0,035 ao mes(cap. mensal) ; n = 210 dias = 7 meses Ar= N (1 + i)-n => 29.527,66 (1 + 0,035)-5 = N (1 + 0,035)-4 + N (1 + 0,035)-7 => 24.861,50 = N. 0,871442 + N. 0,785991 => 24.861,50 / 1,657433 = N => N = 15.000,00

29527,66 3,5 5 1 3,5 4

1 3,5 7 =

15.000,00

11 – Determinar o valor nominal do título que foi descontado com vencimento para 195 dias, sabendo-se que a diferença entre os seus descontos comercial (por fora) e racional (por dentro), à taxa de 3,0% ao mês, capitalizados mensalmente, é de R$ 96,31. (N = 20.000,00)

N = ? ; i = 0,03 ao mês(cap. mensal) ; n = 6,5 m ; d c - dr = 96,31 dc= N [1 – (1 – i)n ] => dr= N [1 – (1 + i)-n ] => N [1 – (1 – i)n ] - = N [1 – (1 + i)-n ] = 96,31

N [1 – (1 – 0,03)6,5 ] - N [1 – (1 + 0,03)-6,5

] = 96,31 => N . 0,179618 - N . 0,174802 = 96,31

N. 0,0048155 = 96,31 => N = 96,31 / 0,0048155 => N = 20.000,00 96,31 1 chs pv 3 6,5 fv 1 3

6,5 = 20.000,00