EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO1I ntr oduo Apresentecol ecodeexercci osdesti na-sedi sci pl i nadeTeori ade probabi l i dademi ni stradanoCursodematemti caenoCursode Estatsti caegestode i nf ormao, da Facul dade de Ci nci as Naturai s e Matemti ca. Estou ci ente de que tendo emcontaotempodi sponvel decontactoesobretudoograudedi f i cul dadequeal guns exercci osapresentam,noserpossvel abordartodosnasal adeaul a.Masmesmo assi mdeci di apresenta-l osnamesma,comoumapri mei ratentati vadeapresentaruma amostrarepresentati vadeexercci osdadi sci pl i nadi scuti dosaonvel deoutras uni versi dades.Osexercci ossof rutosdeconsul tasnai nternet,experi nci aspessoas durantecercadequatroanosdal ecci onaodadi sci pl i naedevri osoutrosl i vrosque constamnabi bl i ograf i a.Possotambmconf essar-vos(sequei stoservede consol ao)queteri aprovavel mentedi f i cul dadesdeapresentarsol uesdeal guns exercci os que eu mesmo apresento nesta col ectni a, mas me consol o por saber que, por um l ado, tereia vs todos como meus consul tores e moti vadores, para que possa pensar acerca destes probl emas e por outro, porque acho que o i mportante na verdade no no f i naldas contas asi mpl es sol uo do exercci o, mas o processo de pensamento e busca dasol uoqueestenvol vi doemcadaumdel es. Oobj ecti vo,portanto,nodevesero deresol vertodosexercci osapresentados,emui tomenosoestudodestadi sci pl i na deve-se l i mi tar a apenas esta col eco de exercci os; mas o de com el es mel horar vossos processosdepensamento,esti mul arem-se,conheceremvossasl i mi taese aperceberem-se de quo bel o o mundo das probabi l i dades. Bom pr oveito Celso M ateus Albino EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO2Anlise Combinatr ia 1.Umal unoprepara-separai ngressarnoensi nosuperi or.El epodeescol heruma entre10uni versi dades.Secadaumadel asti ver15cursos,quantas possi bi l i dades de f requnci a h para este al uno? 2.Umrestauranteof erece4ti posdeentrada,10pratospri nci pai se5ti posde sobremesa. Se um f regus deste restaurante deci de tentar uma ref ei o di f erente a cada noi te, quanto tempo l evar para esgotar todas as possi bi l i dades? 3.Osnmerosdetel ef onescel ul aresnonossopassoconsti tudospor9dgi tos sendoqueospri mei rosdoi ssopref i xos(nestecaso,82ou84).Determi naro nmero mxi mo de nmeros de tel ef ones cel ul ares possvei s. 4.Al gunscadeadosusamani srotati vosnumri cos,emvezdechave.Exi steum nmeroquedevesersel ecci onadonosani snumri cosparaabri rocadeado. Chamemos este nmero de chave numri ca. Suponhaqueumtal cadeadof unci onacomnmerosde5dgi tos(porexempl o, 23478umachavenumri capossvel ).Quantaspossi bi l i dadesdechave numri ca exi stem? 5.Quantos i ntei ros ml ti pl os de 5 exi stem entre 1000 (i ncl usi ve) e 4999? 6.As pal avras de um certo cdi go so f ormadas por duas l etras e dois al gari smos, detal f ormaquenohl etrasoual gari smosi guai s.Assi m,apal avraLY45 pal avradestecdi go,enquantoAA23nopal avradestecdi go,poi srepetea l etra A. Quantas pal avras exi stem neste cdi go? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO37.Umapesqui sadeopi ni oconsi steem6perguntas,cadaumadasquai stem5 respostaspossvei s.Setodasasperguntasdevemserrespondi das,quantos resul tados possvei s h para esta pesqui sa? 8.Aspl acasdecarronoBrasi l usamumai denti f i caoqueconstade3l etrase4 dgi tos. Qualo nmero mxi mo de pl acas que podemos ter no Brasi l ? 9.Osi stemaactual dei denti f i caodecarrosnaci dadedeMatol aeMaputo consti tudoportrsl etrase3al gari smos.Quantoscarrospossvel l i cenci ar nestas duas ci dades? 10.Dados12pontosnumpl ano,Nohavendo3del escol i neares(sobreamesma recta): a)Quantas rectas so determi nadas pel os pontos? b)Quantas dessas rectas passam pel o ponto A? c)Quantos tri ngul os so determi nados pel os pontos? d)Quantos desses tri ngul os contm o ponto A como vrti ce? e)Quantos desses tri ngul os contm o l ado AB? 11.Ocadeadodeumcof reusaummostradornumri cocom20Nmeros.Este mostradordevesergi radoparaesquerdaatumcertonmero,depoi sparaa di rei taedepoi sparaaesquerdanovamente.Achavenumri cadestecadeado f ormada, portanto, por 3 nmeros. Quantas combi naes exi stem no total ? 12.Paraacessaremsuacontabancri aatravsdocai xaautomti co,oscl i entesde umcertobancotmquedi gi tarumcdi gode4dgi tos.Senosopermi ti dos cdi gosqueusemomesmodgi to4vezes(porexempl o,ocdi go2222no permi ti do), quantos cdi gos so possvei s? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO413.Umpessoaestescol hendoumcarroentreosmodel osdeduasmarcas.A pri mei ratem3model osqueai nteressa.Cadamodel opodevi rem5cores di f erentes.Asegundamarcatem5model osqueai nteressa,cadaumdel es podendo vi r em 8 cores. Quantas possi bi l i dades h para se escol her o carro? 14.No j ogo da Lotari a Desporti va, uma cartel a consti tuda de 13 j ogos de f utebol . Em cada cartel a, o apostador deve escol her o resul tado de cada um dos 13 j ogos (3resul tadospossvei sparacadaj ogo),podendomarcar2resul tadosemum ni coj ogo.Emumj ogodeste,dequantasmanei raspodemospreencheruma cartel a?(Sugesto: a pri mei ra taref a escol her, dentre os 13 j ogos, aquel e em que sero marcados 2 resul tados). 15.Um paiquer ti rar uma f otograf i a de seus 3 f i l hos, mas no consegue col ocar os 3 meni nos em ordem: todos querem f i car no mei o e ni ngum quer f i car nos l ados. Opai poderi aobri ga-l osf ora,mascomopaci enteeeducadormodernoel e deci de ti rar uma f oto de cada ordenao possveldos 3 meni nos. Quantas f otos o paci ente paidever ti rar? 16.Uma companhi a area tem voos l i gando 5 ci dades, i nterl i gando cada uma destas ci dadesatodasasoutras.Cal cul equantasrotasdi f erentesestacompanhi a possui .Consi dereai daumarotadi f erentedavol ta.Assi mporexempl o, Maputo-Bei ra uma rota e Bei ra-Maputo outra. 17.A f i nalde um campeonato de f uteboltermi na empatada e deve i r para di sputa de penal i dades. Um tcni co deve sel ecci onar 5 j ogadores, dentro do conj unto de 10 j ogadoresemcampo,paramarcaraspenal i dades.Otcni codevetambm deci di r a ordem em que as penal i dades sero cobradas. De quantas manei ras el e pode f azer a escol ha? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO518.Umabandaderockdeveescol her10msi cas,dentrodeumconj untode15 msi cas,paraf ormarseunovoCD.Aordemdaescol hai mportantepoi sa sequnci aemqueasmsi casapareceronoCD.Quantasescol hasso possvei s? 19.UmDJtem6msi casparatocar.Amsi camai spopul ardeveserrepeti da4 vezes.Outrasduasmsi casdevemserrepeti das2vezes.Asmsi casrestantes serotocadasapenas1vez.Determi nedequantasmanei rasdi f erentesesteDJ pode organi zar seu show. 20.Umaexperi nci adel aboratri oconsi steemcol ocarumratonoquadradoAdo pequenol abi ri ntodaf i guraasegui reveroscami nhosqueel eescol hepara chegaraoquadradoB,ondehcomi da.Osquadradostmpequenasportasque permi temaoratoandarparaci maouparaadi rei tasomente.Quantoscami nhos possvei s exi stem? 21.Uma pessoa deve cumpri r 6 taref as, sendo 2 del as agradvei s e as demai s mui to chatas. Um pouco contrari ada, esta pessoa se pergunta de quantas manei ras pode ordenar o cumpri mento das taref as. Responda i sto por el a, sabendo-se que: a)El a do ti po de pessoa que gosta de f azer as coi sas agradvei s pri mei ro. b)El a no l eva em conta se a taref a chata ou no quando pl anej a a ordem de execuo. c)Vaireal i zar uma taref a i nteressante, em segui da duas chatas, em segui da a outra taref a i nteressante e depoi s as outras chatas. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO622.Um tcni co convocou 12 j ogadores para uma equi pa de basquetebol . Para armar aequi paquevai comearoj ogo,devesel ecci onar5j ogadores.Dequantas manei ras pode f az-l o? 23.Umapessoasai paracomprarCDs.10CDsai nteressam,masel atemdi nhei ro somente para 4 del es. Qualo nmero de escol has possvei s? 24.Umaturmapossui 5al unose6al unas.Umacomi ssodeveserf ormadaentre todos os al unos, devendo ter 2 meni nos e 2 meni nas. Quantas comi sses podem ser f ormadas? 25.Prove que:a) 01n nnC C = = para qual quer n i ntei ro no negati vo. b) n nr n rC C = para quai squer i ntei ros no negati vos n, r, 0 r n s s. 26.Umestudanterecebeumaprovacontendo6questes.El edeveescol her4para resol ver. De quantas manei ras el e pode f azer sua escol ha? 26.De quantas f ormas di f erentes se podem sentar 12 pessoas numa mesa redonda? 27.Num hospi talexi stem 3 portas de entrada que do para uma ampl a sal a onde h 4el evadores.Umvi si tantedevesedi ri gi rao5andaruti l i zandoumdos el evadores.Dequantasmanei rasdi f erentespoderf az-l o,sendoqueno momento est f ora do hospi tal ? 28.De quantas f ormas di sti ntas ci nco pessoas podem ocupar os assentos de um carro com ci nco l ugares, se apenas duas sabem conduzi r? 29.Quantos nmeros de 3 al gari smos di sti ntos, comeando por al gari smo mpar, podem ser f ormados com os el ementos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO730.Dezpessoas,entreel asJos,estoreuni dasparaescol heradi rectori adeum cl ube,f ormadaporumpresi dente,umvi ce-presi dente,umsecretri oeum tesourei ro.Emquantasdasdi rectori asquepodemserf ormadasJosnoo presi dente? 31.Comos7deputadose6vereadoresquetrabal hamemumaCmaraMuni ci pal , pretende-se f ormar uma comi sso de 5 el ementos. Quantas comi sses podem ser f ormadas se devem sempre parti ci par 3 deputados e 2 vereadores? 32.Trabal ham, em uma empresa, 8 engenhei ros e 6 economi stas. Quantas comi sses de5dessesprof i ssi onai s,podemserf ormadasdemodoqueemcadacomi sso haj a, no mni mo, 3 engenhei ros? 33.Um deputado quer convocar 5 entre 8 pol ti cos de seu grupo para uma reuni o. No entanto, doi s desses pol ti cos no se entendem. De quantos modos pode ser f ei ta a convocao de manei ra que no compaream si mul taneamente os doi s ci tados? 34.Deentre5prof essorese12al unosvoserescol hi das8pessoasparauma excurso.Sabendoqueonmerodeprof essoresnodevesersuperi ora3,nem i nf eri or a doi s, de quantas f ormas di f erentes se pode f azer a escol ha. 35.Umaequi padef utebol (11j ogadores)deveserf ormadaaparti rde14 i ndi vduos; sabe-se que entre os 14 h 3 i ndi scutvei s, que devem f azer parte dos 11. Quantas equi pas di f erentes possvelf ormar nestas condi es? 36.Vi nteeci ncomembrosdeumasoci edadedevemel egerumpresi dente,um secretri oeumtesourei ro.Supondoquequal querdosvi nteeci ncomembros el egvel paraqual querdoscargos,quantassoashi ptesesdeumresul tado f i nal ? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO837.De quantos modos possveldi vi di r 20 pessoas: a)Em doi s grupos de 10; b)Em quatro grupos de 5; c)Em um grupo de 12 e um outro de 8; d)Em trs grupos de 6 e um de 2. 38.Emumtornei onoqual cadaparti ci panteenf rentatodososdemai sumani ca vez, so real i zados 780 j ogos. Quantos so os parti ci pantes? 39.Umhomemtem5ami gase7ami gos.Suaesposatem7ami gase5ami gos. De quantosmodosel espodemconvi dar6ami gase6ami gos,secadaumdeve convi dar 6 pessoas? 40.O conj unto A possuip el ementos e o conj unto B possuin el ementos. Determi ne o nmero de f unes: f A B sobrej ecti vas para: a)p n = ; b)1 p n = +c)2 p n = + 41.So dados, no pl ano, n pontos tai s que entre as rectas por el es determi nadas no hrectasparal el as.Quantosso,nomxi mo,ospontosdei ntersecodessas rectas que so di sti ntos dos pontos dados? 42.Uma f i l a de cadei ras no ci nema tem 20 pol tronas. De quantos modos 6 casai s podem se sentar nessas pol tronas de modo que nenhum mari do se sente separado da sua esposa? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO943.Nove ci enti stas trabal ham num proj ecto si gi l oso. Por questes de segurana, os pl anos so guardados num cof re protegi do por mui tos cadeados de modo que s possvelabri -l os todos se houver pel o menos 5 ci enti stas presentes. a)Qual o nmero mni mo possvelde cadeados? b)na si tuao da al nea a), quantas chaves cada ci enti sta deve ter? 44.No quadro abai xo, de quantos modos possvelf ormar a pal avra Matemti ca , parti ndo de um M i ndo sempre para di rei ta ou para bai xo? M MA MAT MATE MATEM MATEM MATEMT MATEMTIMATEMTI C MATEMTI CA 45.Suponhaquencarrosestoemf i l aparaentrarnumparquedeestaci onamento quepossui nl ugares,l adoal ado.Seo1carropodeescol herqual querl ugare cadaumdosoutroscarrosaoestaci onardevej ustapor-seaumcarroj estaci onado.Dequantasmanei rasdi f erentesoscarrospodemocuparosn l ugares? 46.De quantos modos r rapazes e m moas podem se col ocar em f i l a de modo que as moas f i quem j untas? 47.Del egadosde10pasesdevemsentarem10cadei rasdi spostasnumaf i l a.De quantosmodosi ssopodeserf ei tosedel egadosdoBrasi l edePortugal devem sentarl adoal adoedel egadosdeEstadosUni doseI raquenosepodemsentar l ado a l ado? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO1048.Um al uno tem de responder a dez questes de um grupo de treze. a)De quantas manei ras pode escol her? b)Dequantasmanei raspodeescol her,seti verquerespondersduas pri mei ras questes? c)Dequantasmanei raspodeescol her,seti verqueresponderpri mei raou segunda questo (mas no a ambas)? d)De quantas manei ras pode escol her, se ti ver que responder exactamente a trs das ci nco pri mei ras questes? e)Dequantasmanei raspodeescol her,seti verqueresponderapel o menos trs das ci nco pri mei ras questes? 49.Numa f i l a de 9 cadei ras sentam-se ao acaso, 5 homens e 4 mul heres. Qual a probabi l i dade de as mul heres ocuparem os l ugares pares? 50.Ci nco ami gos, Arnal do, Bernal do, Cernal do, Dernal do e Ernal do, devem f ormar umaf i l acomoutras30pessoas.Dequantasmanei raspodemosf ormarestaf i l a de modo que Arnal do f i que na f rente de seus 4 ami gos?(Obs.: Os ami gos no preci sam f i car em posi es consecuti vas.) EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO11ConceitodePr obabilidade,Pr opr iedades,Pr obabilidadeCondicional, AcontecimentosI ndependentes,Fr muladePr obabilidadeTotaleFr mulade Bayes 51.Cl assi f i car cada experi nci a a segui r como determi nsti ca ou al eatri a: a)Lanar 3 moedas e anotar o nmero de caras obti das. b)Obter um nmero que, somado a 7, resul te 13. c)Reti rar uma bol a de uma urna contendo bol as pretas e brancas e observar a cor. d)Lanar 2 dados e anotar a soma dos nmeros obti dos. e)Anotaracordeumabol areti radadeumaurnacontendoapenasbol as vermel has. f )Di ri gi rumautomvel aumavel oci dadeconstantede60km/heobservar o tempo gasto para percorrer 200km. g)Contaronmerodecri anasquei romorreremseupri mei roanode vi da durante o prxi mo ano, na zona suldo nosso pas. h)Observarumal i nhadeproduo,numdadoperodo,econtaronmero de peas def ei tuosas. 52.Apresente o espao amostralde cada uma das experi nci as a segui r: a)Lanar duas moedas e anotar o par de f aces de ci ma. b)Jogar um dado duas vezes e anotar o produto dos nmeros obti dos. c)Jogarumdadotrsvezeseanotaronmerodeocorrnci asdenmeros pri mos. d)Sel ecci onar,aoacaso,3l mpadasaparti rdeuml oteeobservarsecada uma def ei tuosa (d) ou perf ei ta (p). e)Perguntar a f regueses num supermercado se gostam (s) ou no (n) de um certo produto e regi star suas respostas.f )Numconj untodef aml i ascom3f i l hos,descreveraspossvei s sequnci as dos sexos dos f i l hos. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO1253.Umacai xacontm5l mpadas,dasquai sduassodef ei tuosas.Asl mpadas def ei tuosas esto numeradas de 1 a 2 e as no def ei tuosas esto numeradas de3 a 5. Extraem-se 2 l mpadas, ao acaso, uma a segui r outra e sem reposi o (com reposi o). a)Descrevaosaconteci mentosel ementaresdoespaoderesul tados associ ado experi nci a. b)Def i na no espao de resul tados os aconteci mentos adi ante i ndi cados: A1 - "sada de uma l mpada def ei tuosa na 1 ti ragem"; A2 - "sada de uma l mpada def ei tuosa na 2 ti ragem"; A3 - "sada de duas l mpadas def ei tuosas"; A4 - "sada de pel o menos uma l mpada def ei tuosa"; A5 - "sada de exactamente uma l mpada def ei tuosa"; A6-"sadadeumasomadenmerosi nscri tosnasl mpadasi nf eri ora sete". 54.Lmpadasqueseapresentamemperf ei tascondi essoensai adasquantoao tempodevi da.Umi nstrumentoacci onadonoi nstanteemqueal mpada acesa,edesl i ga-seautomati camentequandoamesmaf unde(quei ma),tendo-se assi m anotado seu tempo de vi da. a)Def i na o espao amostralpara esta experi nci a. b)Descreva os segui ntes aconteci mentos: Ao tempo de vi da osci l a entre 1 semana e 1 ms. Ba l mpada f unde antes de 50 di as. Co tempo de vi da superi or a 500 horas. 55.Consi dereaexperi nci aal eatri aqueconsi steeml anarumamoedaat sarem duas caras consecuti vas ou ti verem si do f ei tos 4 l anamentos. Descreva o espao de resul tados associ ado a esta experi nci a. 56.Sej amA,BeCtrsaconteci mentos.Emf unodeA,BeC,expri mao aconteci mento que se real i za quando: a)apenas A se real i za. b)A e C se real i zam, mas B no. c)pel o menos, um dos trs se real i za. d)pel o menos, doi s del es se real i zam. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO13e)se real i zam-se os trs. f )nenhum del es se real i za. g)quando mui to, real i za-se um del es. h)no mxi mo, real i zam-se doi s del es. i )real i zam-se exactamente doi s del es. j )no mxi mo, real i zam-se os trs. 57.Suponhaqueumgerentedeumgrandecompl exodeapartamentosf orneaas segui ntes esti mati vas de probabi l i dades subj ecti va sobre o nmero de vagas que haver no prxi mo ms: VagasProbabi l i dade 00,05 10,15 20,35 30,25 40,10 50,10 Li steospontosamostrai semcadaumdossegui nteseventosef orneaa probabi l i dade do evento a)Sem vagas. b)Pel o menos quatro vagas. c)Duas vagas ou menos. 58.Trsmoedassoj ogadassi mul taneamente.Qual aprobabi l i dadedeobter2 caras? Qual a probabi l i dade de obter pel o menos 2 caras? 59.Lanam-se 8 moedas. Qual a probabi l i dade de obter: a)exactamente trs caras, b)mai s caras que coroas, c)mesmo nmero de caras e de coroas? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO1460.Doi sdadossoj ogadossi mul taneamente.Cal cul araprobabi l i dadedequea soma dos nmeros mostrados nas f aces de ci ma sej a 7. 61.So reti radas, sem reposi o, 2 cartas de um baral ho de 52 cartas e observa-se o par reti rado. Quala probabi l i dade de o par de cartas ser Ke Q ? 62.Uma mqui na produzi u 60 paraf usos dos quai s 5 eram def ei tuosos. Escol hendo-seaoacasodoi sparaf usosdessaamostra,qual aprobabi l i dadedequeosdoi s sej am perf ei tos? 63.Umaurnacontm4bol asbrancase6pretas.Extraem-seduasbol as si mul taneamente. Qual a probabi l i dade dos segui ntes aconteci mentos: a)as duas bol as so brancas b)obtm-se uma bol a de cada cor, c)pel o menos uma bol a preta? 64.Deumaurnaquecontmnbol asbrancasembol aspretas,seextraem si mul taneamentekbol asal eatori amente.Cal cul araprobabi l i dadedeque exactamente rbol as sej am brancas. 65.Uma urna contm 5 bol as pretas e 4 brancas, outra urna contm 4 bol as pretas e 5 brancas.a)Transl ada-seumabol aescol hi daal eatori amentedapri mei raurnaparaa segundaeemsegui daextrai -seumabol adasegundaurna.Qual a probabi l i dade de que a bol a extrada sej a branca? b)Transl ada-seduasbol asdapri mei raparaasegundaurnaeasegui rse extrai umabol adasegundaurna.Qual aprobabi l i dadedeextrai ruma bol a branca? 66.Deumaurnacomnbol asnumeradasseextrai umaamostracomreposi ode tamanho p. Cal cul ar a probabi l i dade de que no haj a repeti es na amostra. 67.Di stri buem-se10bol asem4cai xas,def ormaquecadabol atenhaamesma probabi l i dadedecai remqual querumadel as.Qual aprobabi l i dadedeque carem exactamente trs bol as na pri mei ra cai xa? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO15 68.Consi deraumespaoequi provvel f ormadoportodososnmerosdetrs al gari smos que se podem f ormar com 0,1,2,3,4,5 sem permi ti r repeti es. Qual a probabi l i dade de f ormar um nmero par? 69.Suponhaquenumaturmah6meni nase10rapazes.Seumacomi ssode3 pessoas escol hi da al eatori amente, quala probabi l i dade de serem sel ecci onados:a)rapazes; b)exactamente doi s rapazes; c)pel o menos um rapaz; d)exactamente duas meni nas. 70.Trs rapazes e trs meni nas sentam-se numa f i l a. Quala probabi l i dade de:a)as 3 meni nas sentarem-se j untas (l ado a l ado)? b)os rapazes e as meni nas sentarem-se em l ugares al ternados? 71.Determi neaprobabi l i dadedequeaol anarumamoeda11vezesseobtenhaa sextacaranodci mopri mei rol anamento.Qual aprobabi l i dadedequeao l anar uma moeda n vezes a ksima cara sej a obti da no nsimo lanamento? 72.Quatrocasai sestonumaf esta.Escol hem-seduaspessoasaoacaso.Qual a probabi l i dade de termos: a)um homem e uma mul her; b)mari do e mul her. 73.Di stri buem-seal eatori amenter bol as,numeradasde1ar ,emncai xas. Determi ne a probabi l i dade de que uma cai xa especi f i cada contenha k bol as. 74.Deentre30perguntasdeexameumal unosabe18.Propem-sedoi sti posde exames: Aos membros do j riescol hem trs perguntas e o al uno deve acertar duas. Bo j riescol he ci nco perguntas e o al uno deve acertar trs. Que ti po de exame mai s f avorvelpara o ci tado al uno? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO1675.ParaaCopadoMundo24pasessodi vi di dosemsei sgrupos,com4pases cada um. Supondo que a escol ha do grupo de cada pas f ei ta ao acaso, cal cul ar a probabi l i dade de que doi s pases determi nadosA e B se encontrem no mesmo grupo. (Na real i dade a escol ha no f ei ta de f orma compl etamente al eatri a). 76.Umacai xacontem20peasemboascondi ese15emmscondi es.Uma amostrade10peasextrada.Cal cul araprobabi l i dadedequeaomenosuma pea na amostra sej a def ei tuosa. 77.Cal cul araprobabi l i dadedeobterpel omenosumsei snol anamentodeum dado n vezes. 78.Emumagavetah50pregosbonse30pregosenf erruj ados.Soreti rados,ao acaso, 10 pregos dessa gaveta. Quala probabi l i dade de que todos sej am bons? 79Uma pessoa comprou 40 bi l hetes de uma l otari a de com 1000 bi l hetes. Se a l otari a tem trs prmi os para trs nmeros di f erentes, determi ne a probabi l i dade de que ganhe: a) uni camente um premi o, b) nenhum prmi o, c) pel o menos um premi o. 80.Sobre uma mesa esto quatro cartas e seus respecti vos envel opes. Uma secretri a mui tomope,tendoesqueci dooscul os,col oca,aoacaso,umacartaemcada envel ope.Qual aprobabi l i dadedecadacartaestarnoenvel opequel he corresponde? 81.Aumareuni oassi stem18pessoas,sef ormarem-seconsecuti vamentetrs gruposdeci ncopessoas,qual aprobabi l i dadedequeal gumgrupoentreuma pessoadetermi nada?edequeentremtrspessoasdetermi nadasnummesmo grupo? 82.Tem-seummol hodenchavesepretende-seabri rumaporta.Suponhaque experi menta-seumaaumaatencontrarachavecerta,reti randocadachave experi mentada.Qual aprobabi l i dadedequeaportaseabranak-si maprova ouantes?Cal cul araprobabi l i dadedamesmaexperi nci asupondoquenose reti ra a chave. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO17 83.Fazem-se 3 l anamentos de um dado equi l i brado. O aconteci mento A1 real i za-se quando o resul tado do pri mei ro l anamento 1 ou 2; o aconteci mento A2 real i za-sequandooresul tadodosegundol anamento3ou4;oaconteci mentoA3 real i za-se quando o resul tado do tercei ro l anamento 5 ou 6.a)Cal cul e 1 2 3( ) PA A A b)Mostre que 31 2 31( ) 1 13PA A A| |= |\ .. 84.Demonstrar as segui ntes propri edades: a)( ) 1 ( ) PA PA = b)( ) 0 P C =c)( ) ( ) ( ) PB A PB PA B = d)( ) ( ) ( ) ( ) PA B PA PB PA B= + .Deduzi remf unodesteo resul tadode( ) PA B Ce( ) PA B C D .General i zarparan aconteci mentos. e)( ) ( ) A B PA PB c sf )( ) 1 PA s 85.Numa ci dade so publ i cados trs semanri os, S1, S2 e S3. Sabe-se que: 22% dos habi tantes l em S1; 15% dos habi tantes l em S2; 13% dos habi tantes l em S3; 8% dos habi tantes l em S1 e S2; 5% dos habi tantes l em S1 e S3; 4% dos habi tantes l em S2 e S3; 2% dos habi tantes l em os trs semanri os. Cal cul e a probabi l i dade de um habi tante da ci dade, escol hi do ao acaso: a)l er pel o menos um semanri o. b)l er um e um s semanri o. c)no l er nenhum dos semanri os. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO1886.Uma cai xa contm 9 f i chas numeradas de 1 a 9. Extraem-se trs sucessi vamente. Determi ne a probabi l i dade de serem al ternadamente, mpar - par - mpar ou par - mpar - par. 87.Numgrupode20congressi stas,8sf al ami ngl s,5sf al amf rancse7f al am os doi s i di omas. Quala probabi l i dade de doi s congressi stas, escol hi dos ao acaso, poderem conversar sem auxl i o de um i ntrprete? 88.Sendo( ) 0, 5 PA =e( ) 0, 7 PA B=determi ne: ( ) PBsendo A e B i ndependentes; ( ) PBsendo A e B mutuamente excl usi vos; ( ) PBsendo( \ ) 0, 5 PA B = . 89.SeAeBsodoi saconteci mentos,demonstrarque ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )c cPA B B A PA PB PA B = + 90.Umaurnacontm5bol asvermel hase3brancas.Umabol asel ecci onada al eatori amente da urna e abandonada, e duas bol as da outra cor so col ocadas na urna.Umasegundabol aentosel ecci onada.Encontreaprobabi l i dadede ambas as bol as serem da mesma cor? 91.NocampeonatodaFutebol deumadetermi nadaci dadeparti ci pamci nco equi pas. Suponha que se pretenda adi vi nhar que equi pas estaro nos pri mei ros 3 l ugares, no f i m do campeonato. a)Qual o nmero das di f erentes predi es possvei s? b)Qual aprobabi l i dadedenoacertarnacl assi f i caof i nal paraos3 pri mei ros l ugares? 92.Doi s dgi tos di f erentes so sel ecci onados al eatori amente dos dgi tos de 1 a 9. Se asomampar,qual aprobabi l i dadedonmero2serumdosnmeros sel ecci onados? 93.Suponhaquetemosdoi seventos,AeBquesomutuamenteexcl usi vos. Suponha, al m di sso, que conhecemos( ) 0, 30 PA =e( ) 0, 40 PB =EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO19a)Determi ne( ) PA B ? b)Determi ne( \ ) PA B ? c)Umestudanteemestatsti caargumentaqueosconcei tosdeeventos mutuamenteexcl usi vosedeeventosi ndependentessoreal menteos mesmoseque,seoseventossomutuamenteexcl usi vos,el espreci sam ser i ndependentes. Voc concorda com essa decl arao? Neste probl ema, use a i nf ormao de probabi l i dade para j usti f i car sua resposta. d)Dados os resul tados desse probl ema, que concl uso geralvoc ti ra sobre eventos mutuamente excl usi vos e eventos i ndependentes? 94.AurnaI contm3bol asvermel hase5brancas,eaurnaI I contm2bol as brancas e 6 vermel has. Se uma bol a reti rada de cada urna, quala probabi l i dade de ambas serem da mesma cor? 95.Sej aOumespaoamostral esej amA,BeCaconteci mentosconsi derados nesteespaocom( ) 0, 2 PA = ; ( ) 0, 4 PB = ; ( ) 0, 3 P C = ;( ) 0,1 PA B = ; ( ) A B C = C. Determi nar a probabi l i dade dos segui ntes aconteci mentos: a) S ocorre A; b)Ocorrem os trs; c)Ocorrem doi s; d)Ocorre pel o menos um; e)No ocorre nenhum dos trs; f )No ocorrem mai s de doi s; g)Ocorre A e mai s um dos doi s restantes. 96.Emumaj oal hari a,cadaumdostrsarmri osi dnti costemduasgavetas.Em cadagavetadopri mei roarmri ohumrel gi odeouro.Emcadagavetado segundoarmri ohumrel gi odeprata.Emumagavetadotercei roarmri oh um rel gi o de ouro, enquanto na outra gaveta h um rel gi o de prata. Escol hi do ao acaso um armri o, e aberta uma das gavetas, veri f i ca-se conter um rel gi o de prata.Qual aprobabi l i dadedeaoutragavetadoarmri oescol hi doconterum rel gi o de ouro? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO2097.Sej amA,BeCtrsaconteci mentoscomA B C c ,Demonstreque ( ) ( ) ( )c c cP C PA PB s + 98.Qual aprobabi l i dadede,entre24pessoasescol hi dasaoacaso,nenhumadel as f azer anos no mesmo di a do ano (consi dere o ano com 365 di as)? 99.Porenganomi sturaram-sequatropi l hasnovascomtrsusadas.Escol hendo,ao acaso e sem reposi o, duas dessas pi l has, determi ne a probabi l i dade de: a)Ambas serem novas b)Nenhuma ser nova c)Pel o menos uma ser nova 110.Vi ntepessoasestoemumasal ausandocrachsnumeradosde1a20.Trs pessoassoescol hi dasaoacasoe reti radasdasal a.Osnmerosdeseuscrachs so anotados. Quala probabi l i dade de que o menor nmero sej a 7? 101.Uma urna contm 14 bol as e em cada uma del as est regi stado um nmero. Sei s dessasbol asapresentamumnmeroposi ti voeoi toumnmeronegati vo. Reti raram-se quatro bol as dessa urna e mul ti pl i caram-se os respecti vos nmeros. Quala probabi l i dade de o produto assi m obti do ser posi ti vo? 102.So dadas as urnas: A urna A contm 5 bol as vermel has, 3 brancas e 8 azui s. A urna B contm 3 bol as vermel has e 5 brancas. Lana-seumdadohonesto;seocorre4ou6,umabol aescol hi dadeA,caso contrri o uma bol a escol hi da de B. Encontre a probabi l i dade de: a)uma bol a vermel ha ser escol hi da; b)uma bol a branca ser escol hi da; c)uma bol a azulser escol hi da; d)Seumabol avermel haescol hi da,qual aprobabi l i dadedetervi ndoda urna A? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO21103.Umacai xacontm3bol asazui se5vermel has,eoutracai xacontm8bol as azui s e 7 vermel has. Extrai -se ao acaso uma bol a azulde uma das cai xas, quala probabi l i dade de ter si do extrada da pri mei ra? 104.Demonstrar que, A B ,( ) 1 ( ) ( )c cPA B PA PB > 105.Das10al unasdeumaturma,3tmol hosazui s.Seduasdel assoescol hi das al eatori amente, qual a probabi l i dade de: a)ambas terem ol hos azui s. b)nenhuma ter ol hos azui s. c)pel o menos uma ter ol hos azui s. 106.Consi dereumaurnaquecontmumabol apreta, quatrobol asbrancasexbol as azui s. Uma bol a extrada ao acaso dessa urna, a sua cor observada e a bol a devol vi daurna.Emsegui da,reti ra-senovamente,aoacaso,umabol adessa urna. Para que val ores de x a probabi l i dade de que as bol as sej am da mesma cor val e 1/2? 107.Sej amAeBdoi saconteci mentosdeummesmoespaodeprobabi l i dades. Sabendo-seque( ) 0, 7 PA =e( ) 0, 6 PB = ,determi neoval ormxi moemni mo de( ) PA B. 108.O j ogador A l ana 6 dados e ganha se consegui r pel o menos um 6. O j ogador B l ana 12 dados e ganha se consegui r pel o menos doi s 6. Qualdos doi s j ogadores tem mai or probabi l i dade de ganhar? 109.H dez pares de sapatos em um armri o e quatro sapatos so escol hi dos ao acaso. Quala probabi l i dade de que f ormem pel o menos um par? 110.AurnaAcontm2bol asvermel hase3azui s.AurnaBcontm8bol as vermel hase2azui s.Lana-seumamoedahonesta.Seamoedamostraaf ace caraescol he-seumabol adaurnaA.Seamoedamostraf acecoroaescol he-se umabol adaurnaB.Determi neaprobabi l i dadedequeseescol haumabol a vermel ha. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO22 111.Umgrupodeapostadoresdototobol adeci di uj ogartodasasapostaspossvei s contendo7vi tri as,4empatese2vi tri asf ora.Cal cul eaprobabi l i dadedesse grupo ganhar o totobol a. 112.O autocarro do aeroporto f az quatro paragens para 15 passagei ros. Supondo que cadapassagei rotemi gual probabi l i dadedesai remcadaumadasparagens, cal cul e a probabi l i dade de todos os passagei ros sarem na mesma paragem. 113.Joga-se repeti das vezes um par de dados. a)Determi nar a probabi l i dade de aparecer a soma 11 pel a pri mei ra vez na sexta j ogada. b)Determi nar a probabi l i dade de obter a soma 7 em ao menos uma vez dentre trs j ogadas de um par de dados. 114.Sej amAeBdoi saconteci mentos.Demonstrarouref utarassegui ntes af i rmaes: a)( ) ( ) 1 PA PB A B + > = C b) 2( ) ( ) ( ) PA PB p PA B p = = =c)( ) ( )c cPA PB A B = =d)( ) 0 ( ) 1 ( ) 0 PA PB PA B = . = = 115.Emcertocol gi o,25%dosmeni nose10%dasmeni nasestoestudando i nf ormti ca.Asmeni nasconsti tuem40%docorpodeestudantes.Seum estudantesel ecci onadoal eatori amenteeestestudandoi nf ormti ca,qual a probabi l i dade de el e ser um meni no? 116.Parasedestruremosprodutosdeteri orados,anal i sa-seperi odi camentecerta produo.Noprocesso,quenoi nf al vel ,10%dosarti gosnodeteri orados so destrudos e 5% dos produtos deteri orados no so destrudos, destrui ndo-se na total i dade 27% da produo. a)Quala percentagem de arti gos deteri orados e destrudos? b)Quala percentagem da produo em boas condi es? c)Quala percentagem de arti gos deteri orados e no destrudos? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO23 117.Numaf bri catrabal ham30mul herese50homens.Adi stri bui odos trabal hadores por cl asses de i dades a segui nte: HM at 21 anos53 de 21 a 50 anos3018 mai s de 50 anos159 118.Escol he-se uma pessoa ao acaso. a)Qual aprobabi l i dadedeapessoaescol hi daserhomem,sabendo-seque tem mai s de 50 anos? b)Osaconteci mentosA: apessoaescol hi dahomem eB: apessoa escol hi da tem mai s de 50 anosso i ndependentes? Justi f i que. 119.Noturnodatardeexi stemapenastrsturmasemdetermi nadadi sci pl i na:a Turma A, com 25 al unos (10 rapazes); a turma B, com 20 al unos (15 rapazes); a turma C, com 26 al unos (13 rapazes). a)Umdosal unosemquestosel ecci onadoaoacaso.Sendo rapaz,qual a probabi l i dade de pertencer turma C? b)Formou-se uma comi sso com doi s al unos. Sabendo que f oram sorteados umrapazeumarapari gadamesmaturma,cal cul easprobabi l i dadesde serem de cada uma das trs turmas. 120.Numaturmacom30al unos(20rapari gase10rapazes),5%dosrapazese6% das rapari gas tm cl assi f i caes superi ores a 14 val ores. a)Sel ecci ona-seumal unoaoacasoeveri f i ca-sequetemcl assi f i cao superi or a 14. Quala probabi l i dade de ser rapaz? b)Consi dere os aconteci mentos"ser al uno com cl assi f i cao superi or a 14" e"serrapaz".Qual aprobabi l i dadedareal i zaosi mul tneadaquel es doi s aconteci mentos, se f orem agora consi derados i ndependentes. 121.Numa certa ci dade 40% da popul ao gosta de f utebol , 25% gosta de tel enovel a e 15% de ambos. Uma pessoa da ci dade sel ecci onada al eatori amente: EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO24a)Seel agostadef utebol ,qual aprobabi l i dadedetambmgostarde tel enovel a. b)Se el a gosta de f utebol , quala probabi l i dade de no gostar de tel enovel a. c)Quala probabi l i dade de no gostar nem de f utebole nem de tel enovel a. 122.Ostrabal hadoresdeumadadaempresaf oramcl assi f i cadosemtrsnvei s:com f ormaomni ma,comf ormaomdi aecomf ormaosuperi or.Sabe-seque 55%dessestrabal hadorestmsal ri osuperi ora1000Euros.Sabe-setambm que: -40% dos trabal hadores com f ormao mdi a tm sal ri o superi or a 1000 Euros; -70%dostrabal hadorescomf ormaosuperi ortmsal ri osuperi ora1000 Euros; -Nenhumdostrabal hadorescomf ormaomni matemsal ri osuperi ora1000 Euros; -10% dos trabal hadores tm f ormao mni ma. a)Cal cul eaprobabi l i dadedeumtrabal hador,escol hi doaoacasonessa empresa, ter f ormao mdi a. b)Cal cul eaprobabi l i dadedeterf ormaosuperi or,sabendoqueganha mai s de 1000 Euros. 123.Umcamponscomprounaf ei rauml otedecebol asnovas,aumpreo exorbi tante,porquel hegaranti ramqueaprobabi l i dadedecadaumadel as germi narera(i ndependentementedasoutras)0.9.Quandochegouacasaa mul her f i cou f uri osa e ati rou-l he com uma cebol a vel ha que ti nha mo. Devi do suampontari a,estami sturou-secomol otedecebol asnovas,enof oipossveldi sti ngui -l a das outras. Assi m o campons pl antou as 51 cebol as; destas, 50germi naram.Sendo0.4aprobabi l i dadedacebol avel hagermi nar,qual a probabi l i dade da cebol a que no germi nou ter si do uma das cebol as novas. 124.Umacadei acomtrsl oj asA,BeCtmrespecti vamente50,75e100 empregados. A percentagem de mul heres a trabal har em cada uma dessas l oj as 50,60e70, respecti vamente.Nof i nal decadamsnomeadooempregadodo ms.Qual aprobabi l i dadedesseempregadotrabal harnal oj aC,sabendoque mul her. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO25 125.O nmero de cami es que passa por uma estradaonde h um posto de gasol i na, rel ati vamenteaonmerodeautomvei sestnaproporode3:2.A probabi l i dade de abastecer um cami o de 0,1 e um automvel de 0,2. Chega uma vi atura para abastecer, qual a probabi l i dade de ser um cami o? 126.Consi dere a segui nte experi nci a l aboratori al : pri mei ra vez o rato tem i gualprobabi l i dade de vi rar esquerda ou di rei ta. segundavez,oratoserecebeucomi dapri mei ravez,vi raesquerdacom probabi l i dade0.6eserecebeuumchoquepri mei ravezvi radi rei tacom probabi l i dade 0.2. a)Cal cul e a probabi l i dade do rato vi rar di rei ta segunda vez. b)Qual aprobabi l i dadedeoratotervi radoesquerdapri mei ravez,se vi rou di rei ta segunda vez? 127.Umacompanhi adesegurosref ereque30%dosseuscl i entessodeal tori sco, 45%dosseuscl i entessodemdi ori scoeosrestantescl i entessodebai xo ri sco.Emcadacaso,aprobabi l i dadedeteremaci dentesnoanocobertopel o seguro i guala 0.25, 0.16 e 0.08, respecti vamente. a)Determi neaprobabi l i dadedeescol heraoacasoumcl i entequenosej a de al to ri sco. b)Determi ne a probabi l i dade de um condutor ser de al to ri sco, sabendo que no teve aci dentes no ano coberto pel o seguro. 128.De trs pessoas escol hi das ao acaso, cal cul e a probabi l i dade de EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO26a)terem nasci do todas em meses di f erentes; b)terem nasci do todas no mesmo ms; c)terem nasci do no mesmo ms duas e s duas. 129.Emcertauni dadei ndustri al constatou-sequeonocumpri mentodospl anosde produo f i cava a dever-se ocorrnci a de avari as no equi pamento, entre outras causas. Assi m, veri f i cou-se que: -Em80%dosmesesnoseregi stouqual queravari ae,apesardi sso,nof oipossvelcumpri r o pl ano de produo em 10% das vezes; -Sem70%dosmesesemqueseveri f i couumaavari af oi possvel cumpri ro pl ano estabel eci do. -Em 5% dos meses ocorreram duas ou mai s avari as, e apenas em 40% das vezes se cumpri u o pl ano; a)Quala percentagem de meses em que h avari as e se cumpre o pl ano de produo? b)Nos meses em que se cumpre o pl ano de produo, quala probabi l i dade de ocorrer uma avari a? c)Cal cul eaprobabi l i dadedenumtri mestrehaverummsemqueopl ano de produo no sej a cumpri do. 130.A uma pessoa A se passa um papelque marca com o si nal+, com probabi l i dade 1/3, ou com si nal-, com probabi l i dade 2/3. A passa o papela B, que pode trocar ou no o si nalantes de passar a C que pode trocar ou no o si nalantes de passar aD,quetambmpodetrocarounoosi nal antesdepassaraumrbi tro.A probabi l i dadecomquecadaumadaspessoas B,CeDtrocamosi nal de2/3. Seorbi trovi uumsi nal +nopapel ,qual aprobabi l i dadedequeAtenha escri to o si nal+? 131.Numa uni versi dade um vel ho e i rascvelprof essor f az exames orai s que constam de5perguntas.Seoprof essorseencontradebomhumor,oqueacontececom probabi l i dade2/3,oal unospreci saderespondercertoaumaperguntapara passar.Masseoprof essorestdemauhumor,entooal unospassase responder certo a pel o menos 3 perguntas. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO27Umal uno,querespondecertoacadapergunta(i ndependentementedasoutras) comprobabi l i dade1/3,aoacabardereprovarnoexameoral af i rmater reprovado devi do ao mau humor do prof essor nesse di a. Quala probabi l i dade do al uno estar a di zer a verdade? 132.Um estudo sobre os aci dentes de automvelef ectuado num dado pas, num certo ano, permi te ti rar as segui ntes concl uses: -10% desses aci dentes provocaram a morte do condutor; -70%doscondutoresqueti veramaci dentesmortai snouti l i zavamci ntode segurana; -3 em cada 10 dos condutores que uti l i zavam ci nto de segurana ti veram aci dente mortal . Com base nestes dados, determi ne a probabi l i dade de: a)Um condutor aci dentado usar ci nto de segurana. b)Oaci dentesermortal paraocondutorsabendoqueestenoestavaa uti l i zar ci nto de segurana. 133.Aproduodeumadadaempresaresul tadoda l aboraodetrsmqui nasA, B e C. As mqui nasA e B produzem 90% e 4%, respecti vamente, dos produtos que sati sf azem os cri tri os de qual i dade. Dos restantes produtos, que tero de ser reci cl ados,88%vmdamqui naBe9%damqui naC.Osprodutosdeboa qual i dade consti tuem 70% da produo gl obal . Cal cul e a percentagem: a)De produtos produzi dos por A. b)De produtos a reci cl ar que sej am produzi dos por A. c)De produo de C que de boa qual i dade. 134.Asecretari adesadedeumestadobrasi l ei roobteveumataxade10%de i nci dnci adovrusHI Vnapopul ao deri sco ,eumataxade0,3%na popul ao normal .Aproxi madamente4%dapopul aodoestadopodeser consi derada deri sco .Ostestesparai denti f i caodovrusHI Vsocorrectos em95%doscasos(detectamovrusquandoel eexi ste,enodetectamquando no exi ste). a)Escol hi daal eatori amenteumapessoadapopul ao normal ,qual a probabi l i dade de seu teste de HI V dar posi ti vo? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO28b)Escol hi daal eatori amenteumapessoadapopul ao deri sco ,qual a probabi l i dade de seu teste de HI V dar posi ti vo? c)Escol hi da al eatori amente uma pessoa, qual a probabi l i dade de seu teste de HI V dar um resul tado i ncorrecto? d)Escol hi daal eatori amenteumapessoadapopul ao deri sco ,qual a probabi l i dade de a pessoa ter o vrus HI V se seu teste de HI V f or posi ti vo? e)Escol hi daal eatori amenteumapessoadapopul ao normal ,qual a probabi l i dadedeapessoanoterovrusHI VseseutestedeHI Vf or negati vo? 135.Em una urna se i ntroduzem n bol as, cada uma das quai s pode ser branca ou preta com i gualprobabi l i dade. De segui da se extraem k bol as com reposi o. Qual a probabi l i dadedequeaurnacontenhaapenasbol asbrancas,seaskextradas f orem todas brancas? 136.A probabi l i dade de que um al uno sai ba a resposta de uma questo de um exame deml ti pl aescol hap.Hmrespostaspossvei sparacadaquesto,dasquai s apenasumacorrecta.Seoal unonosabearespostaparaumadadaquesto, el e escol he ao acaso uma das m respostas possvei s. a)qual a probabi l i dade de o al uno responder correctamente uma questo? b)se o al uno respondeu correctamente uma questo, quala probabi l i dade de el e ter chutadoa resposta? 137.Sej amAeBaconteci mentosassoci adosaumaexperi nci aal eatri atai sque ( ) 0, 4 PA = ,( ) PB p =e( ) 0, 7 PA B= .Paraqueval ordepAeBso aconteci mentos i ncompatvei s? 138.Sej amAeBaconteci mentosdeumcertoespaoderesul tados,0 ( ) 1 PA < < . Mostre que: a)SeA B cento( ) ( ) ( ) 0 PB A PB PA = >b)Se( \ ) ( \ ) PB A PB A =ento os aconteci mentos A e B so i ndependentes. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO29139.Consi dere 3 semf oros ao l ongo de uma aveni da. Suponha que um automobi l i sta (respei tador)quepercorreessaaveni da,tendodepassarporesses3si nai s,tem as segui ntes probabi l i dades: P(parar no si nal1) = 0.5 P(parar no si nalise parou no si nali 1) = 0.25 para i= 2, 3 P(parar no si nalise no parou no si nali 1) = 0.75 para i= 2, 3. Aprobabi l i dadedepararnumsi nal dependeapenasdoqueaconteceunosi nali medi atamente anteri or. a)Cal cul e as segui ntes probabi l i dades: i )parar no segundo semf oro; i i )parar em pel o menos um dos semf oros. b)Seroosdoi saconteci mentosref eri dosnaal neaanteri ormutuamente excl usi vos? Justi f i que. c)Determi neaprobabi l i dadedeumautomobi l i staterparadonopri mei ro si nalsabendo que no parou no segundo. d)Haver i ndependnci a nas paragens em doi s semf oros consecuti vos? 140.Numestudosobrenovoshbi tosdosal unosobserva-seque:10%costumam tomaropequeno-al mooduranteaaul a;outros30%achamseramel horal tura parapraconversaemdi a,dosquai s90%nuncatmdvi das;30%tantodos quetomampequeno-al moocomodosrestantes,tmporhbi toapresentar dvi das sobre a matri a l ecci onada. a)Sabendoqueumal unoapresentouumadvi dasobreamatri a,qual a probabi l i dade de estar a tomar pequeno-al moo. b)Pode af i rmar-se que mai s de 80% dos al unos no apresentam dvi das na aul a? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO30Var iveis Aleatr ias Uni e Bidimensionais e suas Car acter sticas Numr icas 141.Umasri edeexperi mentosevari vei sal eatri asassoci adassol i stadosa segui r.Emcadacaso,i denti f i queosval oresqueavari vel al eatri apode assumi r e estabel ea se a vari velal eatri a di screta ou contnua. Exper imentoVar ivel aleatr ia a. Fazer um exame com 20 questes 1. Nmero de questes respondi das correctamente b. Observar carros que chegam a um posto de abasteci mento no espao de 1 hora 2. Nmero de carros que chegam ao posto de abasteci mento. c. Audi tar 50 decl araes de i mposto 3. Nmero de decl araes que contm erros d. Observar o trabal ho de um operri o 4. Nmero de horas no produti vas em um di a de trabal ho de oi to horas e. Pesar um carregamento de produtos 5. Nmero de qui l os 142.Sej aWav.a.quedonmerodadi f erenaabsol utaentreostotai sdecarase coroas sadas em trs l anamentos de uma moeda. Li ste os el ementos do espao amostrale para cada um dos pontos associ e o val or w, da vari velW. 143.Consi dere o l anamento de uma moeda trs vezes. Sej a X, nmero de caras . a)Que val ores X pode tomar? b)Estabel ea a di stri bui o de probabi l i dade para X. 144.Uma empresa de f i scal i zao de obras de uma ponte f errovi ri a tem 7 f i scai s dos quai s2sodosexof emi ni no.Paravi si tarasobrasdeumapontef errovi ri a, f oramsel ecci onados2f i scai saoacaso.Sej aYonmerodemul heres sel ecci onadas. Estabel ece a di stri bui o de probabi l i dade para Y. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO31145.Consi dere a experi nci a do l anamento de doi s dados. Sej a Z a vari velal eatri a que i ndi ca a soma dos pontos obti dos no l anamento dos doi s dados.a)Construa uma tabel a mostrando a di stri bui o de Z. b)Construa um grf i co para esta di stri bui o de probabi l i dade. c)Cal cul e o val or esperado, a vari nci a e o desvi o padro. 146.Umaurnacontm5bol asbrancase3pretas.Extraem-seduasbol as al eatori amente.Sej aTonmerodebol asbrancas.Determi neadi stri bui ode probabi l i dade de T nos segui ntes casos: a)As bol as so extradas sem reposi o. b)As bol as so extradas com reposi o. 147.Sej aXumavari vel al eatri aquerepresenteonmerodeasesemuma extracoal eatri ade4cartasdeumbaral housual de52cartas.Construauma tabel a exi bi ndo a di stri bui o de probabi l i dade de X. 148.Consi dere o l anamento de uma moeda equi l i brada. Sej a X a vari velal eatri a nmero de l anamentos at aparecer cara . a)Construa uma tabel a mostrando a di stri bui o de probabi l i dade de X. b)Cal cul e a probabi l i dade de no serem necessri os mai s de 4 l anamentos para aparecer a f ace cara. 149.Numexame,asquestessef ormul amsucessi vamente,termi nandoestedesde queoexami nandonoconsi garesponderaumadasquestes.Admi ti ndoquea probabi l i dadedequeoexami nandosai baqual querquestoi gual a0,9, descrevaal ei dedi stri bui odeprobabi l i dadedavari vel al eatri aX nmero de questes f ormul adas durante o exame . 150.O nmero de cami es que chegam, por hora, a um depsi to segue a di stri bui o de probabi l i dade dada a segui r. N de cami es0123456 Probabi l i dade0,050,100,150,250,300,100,05 a)Qual o nmero esperado de chegadas por hora? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO32b)Cal cul e a vari nci a e o desvi o padro desta di stri bui o. 151.Aprobabi l i dadedeumati radoracertarnoal vode0,6.Consi dereavari velal eatri a X nmero de ti ros que se tem de ef ectuar at acertar pel a 3 vez.i )Estabel ea a di stri bui o da vari velal eatri a Xi i )Cal cul e a probabi l i dade de: a)Serem necessri os apenas 3 ti ros para acertar 3 vezes. b)Serem necessri os 10 ti ros. 152.Um saco tem ci nco bol as numeradas de um a ci nco. Extraem-se duas bol as sem reposi o. Sej a X a vari velal eatri a que representa o mai or val or observado.a)Determi ne a f uno de probabi l i dade de X. b)Quala probabi l i dade de o mai or val or observado ser superi or a 3? 153.Um j ovem casaldesej a ter exactamente duas rapari gas na f aml i a. Consi dere que aprobabi l i dadedeserrapazourapari gai gual equeocasal terf i l hosat real i zar o desej o. a)Quala f uno de probabi l i dade do nmero de f i l hos na f aml i a? b)Quala probabi l i dade de ter quatro cri anas? c)Quala probabi l i dade de ter no mxi mo quatro cri anas? 154.Umacai xacontm10i ogurtes,estando4estragados.Reti ram-se5com reposi o: a)SendoXonmerodei ogurtesestragadosdetermi neaf unode probabi l i dade de X. b)Determi ne a f uno di stri bui o de X. Represente-a graf i camente. c)Cal cul es s (1 3) P X 155.Trsbol assoreti radas,semreposi o,deumaurnaquecontm4bol as vermel has e 6 bol as brancas. Sej a X a vari velal eatri a que representa o totalde bol as vermel has reti radas. a)Determi neaadi stri bui odeprobabi l i dadedeXerepresente-a graf i camente. b)Determi ne a f uno di stri bui o de X. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO33156.Num l aboratri o exi stem 40 ratos dos quai s 30% so machos. a)Caracteri zeavari vel al eatri aXquecontaonmerodef measque aparecem numa amostra de 8 ratos quando a sel eco da amostra f ei ta: i )Com reposi o. i i )Sem reposi o. b)Determi neoval ormdi oeavari nci adeXemcadaumadassi tuaes anteri ores. 157.Numprocessodei nventri oconcl uu-sequearari dadededetermi nadaespci e ani mal eradi rectamenteproporci onal reaobservadaatqueseavi stasseum exempl ardaespci e,associ adaaopercursodeamostragem.Consi dereentoa v.a.Xdesi gnandoadi stnci apercorri daatseavi staral gumexempl arda espci e, com f uno densi dade dada por = s s2( ) 1bf x x bkx a)I ndi que quai s as condi es que k e b devem veri f i car de modo que f (x) sej a uma f uno densi dade de probabi l i dade. b)Determi ne a f uno de di stri bui o de X. c)Cal cul e a medi ana de X. d)Consi dere a v.a.= +0 1Y C C X , que caracteri za o custo de amostragem, onde 0Cdesi gna os custos f i xos e 1Co custo por uni dade de percurso. Determi ne o custo esperado para o i nventri o. 158.Determi ne o val or c para o qualas f unes abai xo menci onadas sero f unes de probabi l i dade de uma v.a. X: a)) 4 ( ) (2+ = x c x f ;3 , 2 , 1 , 0 = xb) 332) (x xC cC x f= ;2 , 1 , 0 = xc)( ) ( 1, 2,...,10) f x cx x = =d) 1( ) ( 1, 2, 3,...)5xf x c x| |= = |\ . EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO34e)< 171.Onmerodeuni dadesdeumprodutoprocuradas di ari amenteporumaempresa uma vari velal eatri a com a segui nte f uno de probabi l i dade: ) 4 , 3 , 2 , 1 , 0 (51) ( = = x x f Seoprodutovendi doduranteodi aproporci onauml ucrode5eurospor uni dade;seono,deveseri nuti l i zado,oqueacarretaumprej uzode4euros por uni dade. a)Cal cul e o val or esperado e a vari nci a de X. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO39b)Qualdever ser o aprovi si onamento di ri o de modo que o l ucro esperado sej a mxi mo. c)Determi ne a f uno de di stri bui o de X. 172.Umvendedordecarrostemassegui ntesesti mati vasdeprobabi l i dadesparao nmero de carros a vender numa determi nada semana: Nmer o de car r os012345 pr obabi l i dade0,100,200,350,160,140,05 a)Qual o nmero esperado de carros a vender nessa semana? b)Porsemanaovendedorrecebeumsal ri odeUSS250.00mai s USS300.00 adi ci onai s por cada carro vendi do. Para a semana em questo quanto que el e deve esperar como sal ri o? c)Qual aprobabi l i dadedeque,paraessasemana,osal ri odovendedor sej a mai or que USS1,000.00? 173.Osregi stosdearremessodasactuai squatr oequi pascampesdaNBA mostraramqueaprobabi l i dadedef azerumacestade2pontoserade0,50ea probabi l i dade de f azer uma cesta de 3 pontos era de 0,39. a)Qual o val or esperado de um arremesso de 2 pontos para essas equi pas? b)Qual o val or esperado de um arremesso de 3 pontos para esses equi pas? c)Seaprobabi l i dadedef azerumacestade2pontosmai ordoquea probabi l i dadedef azerumacestade3pontos,porqueostrei nadores permi tem que al guns j ogadores f aam arremessode 3 pontos se el es tm a oportuni dade? 174.Umacai xacontm10l mpadasdasquai s2sodef ei tuosas.Sel ecci onam-see testam-sel mpadasatqueumanodef ei tuosasej aencontrada.Achee i nterprete o nmero esperado de l mpadas sel ecci onadas. 175.Aprobabi l i dadedeumaequi paAvencerqual querj ogo1/2.Aj ogacomB numtornei o.Apri mei raequi paqueganhardoi sj ogossegui dosouumtotal de trs j ogos vence o tornei o. Encontre o nmero esperado de j ogos do tornei o. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO40176.A procura semanal(em tonel adas) de certo produto, num dado entreposto comerci al , uma vari velal eatri a com f .d.p. = s s ( ) 0,25 0,01 ; 10 20 f x x x x No i nci o de cada semana expedi da a parti r da f bri ca a quanti dade necessri a paraabasteceroentreposto,nosendopossvei squai squerabasteci mentos i ntercal ares.Sabendoquecadatonel adavendi danoentrepostoproporci onaum l ucrode500Eurosecadatonel adanovendi dai mpl i caumcustode armazenamento semanalde 100 Euros, determi ne: a)A quanti dade pti ma a expedi r no i nci o de cada semana. b)A probabi l i dade de ruptura do stock pti mo. 177.Consi dere a v.a. di screta, X, com a segui nte di stri bui o de probabi l i dade ix-101 ip0,20,30,5 Como sabe, chama-se momento de ordem k de uma v.a. X a( )kEXcaso exi sta. Cal cul e os momentos de ordem 1, 2 e 3 da v.a. X. Determi ne V ar[ X] . 178.Consi dere a vari velal eatri a X com a segui nte f uno de probabi l i dade: x 01234 ( ) f x 0,20,20,10,30,2 a)Cal cul e ( ) EXe( ) Var X . b)Faa1 3 Y X = e cal cul e( ) ( ) E Y e Var Yc)Sendo2 Z X = , determi ne( ) ( ) EZ eVarZ 179.Sej a X uma vari velal eatri a e a e b constantes. Prove as segui ntes propri edades da vari nci a: 1. 2 2( ) ( ) [ ( )] Var X EX EX = . EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO412.( ) 0 Var X > . 3SeX a = , ento( ) 0 Var X = . 4.( ) ( ) Var X a Var X + = . 5 2( ) ( ) Var bX b Var X = . 180.A quanti dade de cervej a vendi da di ari amente numa f ei ra (em mi l hares de l i tros) uma vari velal eatri a com a segui nte f uno densi dade de probabi l i dade: , 0 4( ) (12 2) , 4 60 , Caso contrriokx xf x k x xs s = < s a)Determi ne o val or de k e de(3 2) E X +b)Consi dere os segui ntes aconteci mentos: A: Venda di ri a superi or a 4000 l i tros; B: Venda di ri a entre 3000 e 5000 l i tros.I ndi que j usti f i cando se A e B so i ndependentes. 181.Rel ati vamente a di stri bui o da vari velal eatri a X sabe-se que( ) 6 EX =e 2( ) 36 EX = . Sendo 132Y X = + , determi ne( ) EX , ( ) Var Xe Y . 182.A quanti dade de pei xe pescado di ari amente, em tonel adas, por certo barco uma v.a. X com a segui nte f uno densi dade de probabi l i dade , 0 10200( ) (20 ), 10 200, Caso contrrioxxf x a x xs = b)Usando a f uno densi dade de probabi l i dade def i ni da na al nea anteri or, prove que para quai squer s, t > 0 se veri f i ca ( \ ) ( ) PX s t X s PX t > + > = > 186.Sej a X uma vari velal eatri a com f .d.p dada por (0 2)4( )1 (2 4)4xxf xxx< d)Obtenha a di stri bui o de8 2 Y X =e)Supondo que X representa a procura mensal(em tonel adas) de certo arti go, determi ne o stock mni mo a consti tui r no i nci o de cada ms, de modo que a probabi l i dade de ruptura sej a i guala 5%. 187.Sej a X uma vari velal eatri a com a segui nte f uno de densi dade de probabi l i dade: (0 1)( )1(1 2)2x xf xx< < = < < EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO44a)Cal cul e a f uno de di stri bui o. b)Cal cul e a f uno de densi dade das vari vei s al eatri as: ( )21 2 4 ) + = = X W ii) X Y i . 188.Apesar de todas as medi das de segurana, conti nua a haver aci dentes na f bri ca da Txtei s Cor S.A. . Sej a X o nmero de aci dentes que ocorrem num ms nesta f bri ca. A f uno de probabi l i dade de X dada por: x01234 f(x)0,25kl 0,150,1 a)Determi ne o val or de k e de lde modo a que o nmero esperado de aci dentes num ms sej a de 1.55. b)Determi ne a f uno de di stri bui o de X. c)Cal cul e a vari nci a de X. d)Usando a f uno de probabi l i dade e tambm a f uno de di stri bui o, determi ne a probabi l i dade de que, num ms: i )ocorram pel o menos 2 aci dentes; i i )ocorram exactamente 5 aci dentes; i i i )ocorram menos de 3 aci dentes; i v)ocorram mai s de 2 e menos de 4 aci dentes. 189.Aquanti dadedevi nho(emdezenasdel i tros)queumprodutorengarraf ador vende por di a e uma vari velal eatri a X com f uno di stri bui o def i ni da por: 220 ( 0)(0 5)50( )201 (5 10)501 ( 10)xxxFXx xxx< s . b)Quantos ti ros esperam o ati rador dar at acertar pel a pri mei ra vez no al vo? c)Qual aprobabi l i dadedeterdeati rar5vezesatacertarduasvezesno al vo? 230.De 20 decl araes de I .V.A., sabe-se que 8 apresentam erros. a)Se um f i scalsel ecci onar 5 decl araes, ao acaso, quala probabi l i dade de vi r a encontrar 2 ou mai s, que contenham erros? b)Sesel ecci onaraoacaso5decl araes,qual aprobabi l i dadedequepel o menos uma contenha erro? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO57231.Num teste de escol ha ml ti pl a h 5 respostas possvei s para cada questo, mas s umaestcorrecta.Seaescol hadasrespostasf ei tacompl etamenteaoacaso, quala probabi l i dade de a pri mei ra resposta certa ser na questo 4? 232.Um casalcom probl emas para engravi dar recorreu a uma tcni ca de i nsemi nao arti f i ci alno i ntui to de consegui r o pri mei ro f i l ho. A ef i ci nci a da ref eri da tcni ca de 0,20 e o custo de cada i nsemi nao US$2000,00. a)Quala probabi l i dade de que o casalobtenha xi to na tercei ra tentati va? b)Qualo custo esperado deste casalpara obter o pri mei ro f i l ho? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO58233.Umaremessadedezi tenscontmduasuni dadescomdef ei toeoi touni dades semdef ei to.Nai nspecodeembarque,umaamostradeuni dadesser sel ecci onada e testada. Se uma uni dade com def ei to f or encontrada, a remessa de dez uni dades ser rej ei tada. a)Se uma amostra de trs i tens f or sel ecci onada, qual a probabi l i dade de o embarque ser rej ei tado? b)Seumaamostradequatroi tensf orsel ecci onada,qual aprobabi l i dade de o embarque ser rej ei tado? c)Se uma amostra de ci nco i tens f or sel ecci onada, qual a probabi l i dade de o embarque ser rej ei tado? d)Se a admi ni strao qui ser obter uma probabi l i dade de 0,90 de rej ei o de um embarque com duas uni dades def ei tuosas e oi to uni dades sem def ei to, qualseri a o tamanho da amostra recomendado? 234.Consi dere uma vari velal eatri a com di stri bui o geomtri ca. Prove que: a) 11(1 ) 1= =xxp pb) 1( ) EXp=c)( )pqVar Xn= 235.Consi dereumasucessodeprovasdeBernoul l i deparmetro0.6.Sej aXuma v.a.querepresentaonmerodeprovasquenecessri oreal i zaratse observarem 4 sucessos. Prove que( ) ( ) 6 5 = = = X P X P . 236.Suponhaque,decadavezqueconduzocarroemexcessodevel oci dade,tem uma probabi l i dade 0,001 de vi r a ser mul tado e que ao f i m de trs mul tas perde a carta. I denti f i que e caracteri ze a di stri bui o da vari velal eatri a que i ndi ca o nmero devezesqueconduzemexcessodevel oci dadeatperderacarta(admi ta ocorrnci as de mul ta i ndependentes). 237.Admi ta-se que 3% dos espel hos retrovi sores produzi dos por determi nada f bri ca sodef ei tuososequeasqual i dadesdosespel hosproduzi dossomutuamente EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO59i ndependentes.Numcontrol osoreti radosespel hosaoacasodal i nhade montagem.Qual aprobabi l i dadedeopri mei roespel hoencontradocomdef ei to ser o oi tavo observado? 238.O nmero de petrol ei ros que chega a uma certa ref i nari a, em cada di a, uma v.a. Xcomdi stri bui odePoi ssondeparmetro=2.Asactuai si nstal aes porturi asdaref i nari apodematenderat3petrol ei rospordi a.Semai sde3 petrol ei roschegamnumdi a,ospetrol ei rosemexcessosoenvi adosparaoutro porto. a)Qual aprobabi l i dadede,numdadodi a,aref i nari aterderecusar petrol ei ros? b)Qualdever ser a capaci dade de atendi mento da ref i nari a para permi ti r o acol hi mentodetodosospetrol ei rosquechegamemcercade95%dos di as? c)Qualo nmero esperado de petrol ei ros chegados por di a? d)Qualo nmero mai s provvelde petrol ei ros chegados num di a? e)Quala probabi l i dade de em doi s di as chegarem 5 petrol ei ros? f )Qualo nmero esperado de petrol ei ros atendi dos num di a? g)Qualo nmero esperado de petrol ei ros recusados num di a? 239.Emumapesqui sadeopi ni o real i zada porumaorgani zaodePesqui sa Sur vey f oi f ei taasegui nteperguntaaosentrevi stados: AqueDesportovocpref ere assi sti r? Of utebol eobasquetebol cl assi f i caram-seempri mei roesegundo l ugares,respecti vamente,emtermosdepref ernci a.Suponhaqueemumgrupo de dez pessoas, sete pref erem f utebole trs, basquetebol . Uma amostra al eatri a de trs dessas pessoas sel ecci onada. a)Qual a probabi l i dade de exactamente duas pref eri rem f utebol ? b)Qual a probabi l i dade de a mai ori a (duas ou trs) pref eri r f utebol ? 240.Umprodutordesementesvendepacotescom20 sementescadaum.Ospacotes queapresentaremmai sdeumasementesemgermi narseroi ndemni zados.A probabi l i dade de uma semente germi nar de 0,98.a)Quala probabi l i dade de um pacote no ser i ndemni zado? b)Seoprodutorvende1000pacotesdesementes,qual onmeroesperado de pacotes i ndemni zados? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO60c)Quandoumpacotei ndemni zado,oprodutortemprej uzodeR$1,20e seopacotenof ori ndemni zado,el etemuml ucrodeR$2,50.Qual o l ucro l qui do esperado por pacote? 241.Umaexperi enci aal eatri apodedardoi sresul tados:xi toouf racasso,sendoa probabi l i dadederesul taremxi tode0.9.Ocustodeumaexperi enci aque resul te em xi to de 5 euros e em f racasso de 10 euros. A experi enci a repeti da 20 vezes, de f orma i ndependente. Sej a X a vari velal eatri a que conta o nmero de xi tos. a)I denti f i que a di stri bui o de X. b)Cal cul e( 15) PX > . c)Cal cul e a probabi l i dade de haver mai s xi tos do que f racassos. d)Mostrequeocustototal Cdas20experi nci ai spodeserexpressocomo C = 200 5X. e)Cal cul e E(C). f )Cal cul e P[ C < 125] . 242.Dez por cento da popul ao tem sangue do ti po B. Numa amostra al eatri a de 20 pessoas encontre a probabi l i dade de encontrar com sangue do ti po B: a)Exactamente trs pessoas? b)Mai s de ci nco pessoas? c)Menos de duas pessoas? 243.Numa estrada h 2 aci dentes para cada 100Km. Quala probabi l i dade de que em:a)250Km ocorram pel o menos 3 aci dentes? b)300Km ocorram 5 aci dentes? 244.Suponhaque220errosdei mpressosodi stri budosaoacasoemuml i vrode estatsti cade200pgi nas,segundoummodel odeDi stri bui odePoi sson. Encontre a probabi l i dade de que em uma dada pgi na contenha:a)nenhum erro de i mpresso b)1 erro de i mpressoc)2 erros de i mpressod)2 ou mai s erros de i mpressoEXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO61 245.Daproduodi ri adeumamqui nareti ram-se,paraef ei todecontrol o,10dos arti gosproduzi dos.Aexperi nci amostraque80%dosarti gospodem consi derar-se sem def ei to. Cal cul e a probabi l i dade de nos 10 arti gos control ados haver mai s do que 8 arti gos sem def ei to. 246.Consi dere uma vari velal eatri a com di stri bui o de poi sson. Prove que: a) 01! ==xxex b)( ) ( ) EX Var X = = 247.Admi ta que 5% da popul ao possuium dado ti po de sangue. Como a popul ao suf i ci entementegrandeasel ecoal eatri adei ndi vduospodeconsi derar-se sati sf azendoascondi esdeprovasi ndependentesei denti camentedi stri budas (i .i .d.). a)Qual onmeroesperadode testesnecessri osparal ocal i zartrspessoas com aquel e ti po de sangue. b)Qual aprobabi l i dadedequesej anecessri oreal i zarpel omenos8testes para l ocal i zar duas pessoas com aquel e ti po de sangue? 248.Certof abri cantedeautomvei sapl i ca3000di f erentesf echadurasnosseus vecul os. Admi ta ter encontrado uma dessas chaves. a)Emmdi a,quantoscarrossernecessri oexperi mentar,atseencontrar um em que a chave si rva? b)Qual aprobabi l i dadedeseterqueexperi mentar,nomni mo,3000 vecul os, at que a chave si rva? c)Qual aprobabi l i dadedeseterqueexperi mentar,nomxi mo,2000 vecul os? 249.Umprodutorderef ri gerantesresol veul anarumacampanhapubl i ci tri a, of erecendoprmi osi mpressosnascpsul asdasgarraf as.Duranteacampanha, 5% das garraf as di stri budas para venda ti nham prmi o. Ao adqui ri r 15 garraf as, quala probabi l i dade de se receber, pel o menos, 1 prmi o? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO62250.Numl otede50obj ectosh3def ei tuosos.Recol he-seumsubconj untode10, escol hi dos ao acaso e sem reposi o, dos 50.a)Quala probabi l i dade de haver 1 obj ecto def ei tuoso na amostra? b)Qual aprobabi l i dadedehaver,nomxi mo,1obj ectodef ei tuosona amostra? c)Qual aprobabi l i dadedehaver,pel omenos,1obj ectodef ei tuosona amostra? d)Cal cul e a mdi a e o desvi o padro do nmero de obj ectos def ei tuosos na amostra. 251.A probabi l i dade de uma mqui na produzi r um arti go com def ei to de 0.01. Todos os arti gos so i nspecci onados, l ogo aps a produo. Sabendo que h i ndependnci a, cal cul e a probabi l i dade de terem que ser i nspecci onadas pel o menos 100 uni dades, at se encontrar uma def ei tuosa. 252.Sej a X uma v.a. com di stri bui o bi nomi alnegati va de parmetros k e p.a)Consi dereaf uno( ) ( )kw w h =1 .Useodesenvol vi mentoemsri ede McLauri n para provar que( ) ( ) = += =|.|

\|1111 11 'rrrwkr k kw k w h . b)Usandoodesenvol vi mentoemsri edeMcLauri ndaf uno( ) w h' , mostre que| | ( )11 = k kq qk p k X Ee deduza que| | p k X E = . c)Mostre que( ) ( )( ) ( ) = += + =|.|

\|22111 21 1 ' 'rrw r rkr k kw k k w h . d)Mostre que( )( ) | | ( ) ( ) 1 12 2+ = k k p q k X k X E . e)Mostre que( )2p kq k X Var = e deduza( ) X Var . 253.Onmerodeovospostospormi nutoemcertoavi ri otemdi stri bui ode Poi sson com mdi a i guala 1.a)Determi neaprobabi l i dadedonmerodeovospostospormi nutoser superi or ao dobro da vari nci a. b)Quala probabi l i dade de em 5 mi nutos serem postos menos de 3 ovos? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO63254.Depoi sdecadaperododetrabal hode30mi nutosumadadamqui na i nspecci onada, necessi tando de ser af i nada (em mdi a) uma em cada vi nte vezes. Cal cul e: a)Amdi adonmerodeaf i naes,numasemanaemqueamqui na trabal ha 20 horas. b)Aprobabi l i dadede,em8horasdetrabal ho: (i )sef azerpel omenosuma af i nao; (i i ) se f azerem no mni mo 2 af i naes, mas no mai s de 5. 255.O j ogo do Totol oto consi ste na extraco de 6 bol as, sem reposi o, de uma urna combol asnumeradasde1a49.Tambmextradaumasti mabol a(nmero supl ementar),paraef ei tosdosegundoprmi o.Cadaapostacorrespondeauma escol ha de 6 nmeros. a)Quala probabi l i dade de sai r o qui nto prmi o, ou sej a, de se acertar em 3 nmeros dos 6 sorteados? b)Osegundoprmi oganhoquandoseacertaem5dos6nmeros sorteadosenonmerosupl ementar.Qual aprobabi l i dadedesse aconteci mento se real i zar? 256.Sej aXav.a.querepresentaonmerodepessoas,escol hi dasaoacasoecom reposi o, que necessri o i nterrogar, at se encontrar uma cuj o ani versri o sej a a1deJanei ro(i gnore29deFeverei roeadmi taquetodososoutrosdi asdoano so i gual mente provvei s). a)Quala di stri bui o de X? b)Cal cul e o val or esperado, a vari nci a e o desvi o padro de X. c)Cal cul e( ) ( ) 300 e 400 < > X P X P . 257.Um j ovem casaldesej a ter exactamente duas rapari gas na f aml i a. Consi dere que aprobabi l i dadedeserrapazourapari gai gual equeocasal terf i l hosat real i zar o desej o. a)Quala f uno de probabi l i dade do nmero de f i l hos na f aml i a? b)Quala probabi l i dade de ter quatro cri anas? c)Quala probabi l i dade de ter no mxi mo quatro cri anas? 258.Estatsti casmdi casrevel amquedetermi nadadoena,cuj otratamento extremamentedi spendi oso,af ecta1emcada5000pessoas.Umaseguradora, EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO64depoi s de estudar o assunto, deci di u cri ar um seguro para cobertura das despesas de tratamento. Num determi nado ano, a companhi a de seguros tem em cartei ra 3 000 apl i ces desse ti po. a)Determi neaprobabi l i dadedenenhumadaspessoasseguradascontrai ra doena, nesse ano. b)Desde1deJanei roj f oi ef ectuadaumaparti ci paoseguradora.Quala probabi l i dade de no se veri f i carem mai s de 3 parti ci paes at ao f i naldo ano? 259.Onmerodecarrosvendi dossemanal mentenumstandtemdi stri bui o bi nomi alde parmetros N e p. a)Seamdi adonmerodecarrosvendi dossemanal mente1.25ea vari nci a 0.9375, quala percentagem de semanas em que as vendas so i nf eri ores a 2 uni dades? b)Admi taqueoquoci enteentreapercentagemdesemanasemqueas vendassode1uni dadeeapercentagemdesemanasemqueasvendas sonul asi gual a2.Seavari nci af or1.125,qual onmeromdi ode carros vendi dos semanal mente? 300.Num saco h 24 pedaos de doce, dos quai s 12 so de noz e 12 so de avel . Um i ndi vduo come sucessi vamente 5 doces do saco, escol hi dos ao acaso.a)Qual aprobabi l i dadedeoi ndi vduoemquestotercomi do2docesde noz? b)Quala probabi l i dade de ter comi do, no mxi mo, 2 doces de avel ? c)Cal cul e a f .p., o val or esperado e a vari nci a do nmero de doces de noz comi dos pel o i ndi vduo. 301.Num armazm so empacotadas mas em embal agens de 2 kg. No entanto, 4% dospacotestmmenosde2kg.Umaorgani zaodedef esadoconsumi dorvaiaoarmazmepesaembal agens,escol hi dasaoacaso,enummxi mode20,at encontrar uma com peso a menos - para f azer a correspondente dennci a.Quala probabi l i dade de: (i ) no chegar a haver dennci a? (i i ) no ser necessri o chegarapesaras20embal agens?(i i i )sernecessri opesarexactamenteas20 embal agens? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO65302.Aprobabi l i dadedeumati radoracertarnoal vode0,6.Consi dereavari velal eatri aXnmerodeti rosquesetemdeef ectuaratacertarpel a3vez. Cal cul e a probabi l i dade de: a)Serem necessri os apenas 3 ti ros para acertar 3 vezes. b)Serem necessri os 10 ti ros. 303.Umtrei nadordeandebol temsuadi sposi o20j ogadoresdosquai sdeve sel ecci onar10paraf ormarumaequi paparaumj ogo.12dosj ogadoresso atacantes e os restantes so def esas. a)Se o sel ecci onador escol her ao acaso uma equi pa, di ga quala di stri bui o (eosrespecti vosparmetros)dav.a.X=nmero deatacantesescol hi dos para a equi pa de 10 j ogadores? b)Cal cul eaprobabi l i dadede,umaequi paescol hi daaoacasoserf ormada por 6 atacantes. 304.Sej aXumav.a.comdi stri bui ogeomtri ca.Provea f al tadememri a da di stri bui o,i sto,proveque( ) ( ) , P X k j X k P X j > + > = > , k ji ntei rosno negati vos. 305.Exi steumatcni cadeamostragembastanteti l emal gumassi tuaesque consi steemrecol herobservaesi ndependentesdedetermi nadapopul aoat seobservaremruni dadescomdetermi nadacaractersti ca.Comestatcni cao nmero de el ementos a i nqui ri r tem di stri bui o bi nomi alnegati va. Suponha que sepretendai nqui ri r10apoi antesdoparti dopol ti cosobreaapreci aoque f azemdal i deranadorespecti voparti do.Qual aprobabi l i dadedeseterde observar 15 pessoas, sendo 0,2 a proporo de apoi antes deste parti do? 306.Consi dere uma vari velal eatri a com di stri bui o bi nomi alnegati va. Prove que: 1( ) 1niiPX x== = 307.Sej a X uma v.a. com di stri bui o Normalde mdi a 6 e vari nci a 25. i )Determi ne: a)( ) 12 6 s s X P ; EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO66b)( ) 8 0 s s X P ; c)( ) 0 2 s < X P ; d)( ) 21 PX > ; e)( ) 88 . 12 6 < X P ; i i )Determi ne a talque( ) 9 . 0 5 6 = > a X P . 308.Omontantededepsi tosordemef ectuadosdi ari amenteemcertaagnci a bancri a uma v.a. com di stri bui o normalde val or mdi o 120 u.m. e vari nci a 64. a)Determi neapercentagemdedi asemqueomontantededepsi tos ordem se si tua entre 105 e 135 u.m. b)Determi neaprobabi l i dadedeomontantededepsi tossersuperi or mdi a, nos di as em que i nf eri or a 125 u.m. c)Determi neamdi aeavari nci adomontantededepsi tosordem ef ectuados semanal mente (5 di as). d)Determi neuml i mi tei nf eri or(uml i mi tesuperi or)paraomontante deposi tado ordem, em 90% dos di as. 309.Otempomdi ogastonaestaf eta4100metrosporcadaumdos4atl etasda equi pa A , respecti vamente, 10.6, 10.8, 10.5 e 10.7 segundos. Admi te-se que os tempos despendi dos tm di stri bui es normai s, cuj os respecti vos desvi os padro so 0.2, 0.5, 0.4 e 0.6 segundos. a)Estabel eauml i mi temxi moparaotempogastopel aequi pa,empel o menos 90% dos casos. b)Seotempogastopel aequi paBti verdi stri bui onormal demdi a42.8 segundosevari nci a0.8,qual aprobabi l i dadedestaequi pavencera equi pa A? 310.Numestabel eci mentoquevendemateri ai sdeconstruo,sabe-sequeasvendas di ri asdearei a(emcentenasdekg)tmumcomportamentoal eatri otraduzi do por uma di stri bui o normal , com mdi a 20 e desvi o padro 2. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO67a)Sabendoquenumamanhoestabel eci mentoj vendeuumatonel adade arei a,qual aprobabi l i dadede,nessedi a,vi ravendermai sde2,5 tonel adas? b)Qual aprobabi l i dadede,emdetermi nadoms(20di as),asvendasde arei a ul trapassarem 37 tonel adas? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO68311.Paraef ei tosdecomerci al i zao,determi nadosf rutossocl assi f i cadospel o tamanho. Como medi da, toma-se o respecti vo di metro mxi mo, que uma v.a. comdi stri bui onormal dedesvi opadroi gual a5eval ormdi o.As categori as so as segui ntes: C1- f rutos com di metro mxi mo i nf eri or ou i guala 6; C2- f rutos com di metro mxi mo entre 6 e 12; C3- f rutos com di metro mxi mo superi or ou i guala 12. a)Sabendoque30%dosf rutossodacategori aC3,cal cul eodi metro mxi momdi odosf rutoseapercentagemdef rutosemcadaumadas outras categori as. b)Seosf rutosf oremvendi dosemembal agensde6uni dades,i ncl ui ndo al eatori amentetodosostamanhos,qual aprobabi l i dadedehaverpel o menos doi s f rutos da categori a C3, numa embal agem escol hi da ao acaso? 312.Um ei xo produzi do por uma mqui na consi dera-se no def ei tuoso se o desvi o do seudi metro,rel ati vamentedi mensoproj ectada,noexcede2mm.Odesvi o uma grandeza al eatri a com di stri bui o normalde mdi a nul a e desvi o padro 1,6 mm. Quala percentagem de ei xos no def ei tuosos produzi dos pel a mqui na? 313.Numauni dadei ndustri al ,otempodeexecuodeumapeaumav.a.com di stri bui o exponenci alde val or mdi o i guala 5 mi nutos. a)Em dado momento, veri f i ca-se que determi nada pea j est em execuo h2mi nutos.Cal cul eaprobabi l i dadedeseremai ndanecessri ospel o menos 4 mi nutos at sua concl uso. b)Tomadas5peasaoacaso,cal cul eaprobabi l i dadededuasdel asterem ti do um tempo de execuo mxi mo de 4 mi nutos. c)Admi ti ndoquenohpeasemstock,acharazovel que,emdado momento,aempresasetenhacomprometi doaf ornecer50peasdentro de 4 horas? 314.Oscl i enteschegamaumal oj asegundoumprocessoaproxi madodePoi sson, taxamdi ade10porhora.Qual aprobabi l i dadedaempregadaterqueesperar mai s de 10 mi nutos, e menos de 20, at que chegue o pri mei ro cl i ente do di a? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO69315.Sej aXumavari vel al eatri acontnua,comdi stri bui ouni f ormenoi nterval o [ 0,5, 1,0] , i .e., com f uno densi dade de probabi l i dade assi m def i ni da: 2( ) ; 0,5 1,03f x x = < < a)Determi ne a f uno di stri bui o cumul ati va de X. b)Cal cul e,i )( 0,5) PX >i i ) 2( 0,25) PX Determi ne o custo mdi o de cada chamada. 322.Otempodeesperaparaumapessoaseratendi danumadadapastel ari auma vari vel al eatri acomdi stri bui oexponenci al demdi a4mi nutos.Qual a probabi l i dadedeumapessoaseratendi daemmenosdetrsmi nutos,empel o menos 4 di as de uma semana? (consi dere uma semana com 7 di as) 323.Suponhaqueotempo,emmi nutos,necessri oparaqueumtcni coaf i necada componentedeumamqui nanumal i nhadeproduobemdescri toporuma vari velal eatri aX com di stri bui o(5;10) U . a)Quala probabi l i dade de que uma componente escol hi da ao acaso: i )Tenha necessi tado de mai s de 7 mi nutos para ser af i nada. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO71i i )Tenhaexi gi doaotcni coumtempodeaf i naoi nf eri ora9 mi nutos sabendo que aquel e tempo f oisuperi or a 7 mi nutos. b)Sej a10 5 Y X = + ocustoemeurosdeaf i naodecadacomponente. Qual ocustoesperadodeaf i naodeumacomponenteescol hi daao acaso? 324.Suponhaqueopesodeumpacotedef ari nhaumavari vel al eatri aquese admi teterval ormdi o1kgedesvi opadro0.05kg.Pretende-searrumar99 pacotes numa pratel ei ra que suporta 100 kg. Qualo ri sco de a pratel ei ra desabar? Justi f i que. 325.Suponhaqueaduraodevi dadeumdi sposi ti voel ectrni cosej a exponenci al mentedi stri buda.Sabe-sequeaconf i abi l i dadedessedi sposi ti vo para um perodo de 100 horas de operao de 0,90. Quantas horas de operao devem ser l evadas em conta para consegui r-se uma conf i abi l i dade de 0,95? 326.Sej a X uma vari velal eatri a com di stri bui o uni f orme. Mostre que ( ) 1 f x dx+=} e deduza( ) EXe( ) Var X . 327.Sej a X uma vari velal eatri a com di stri bui o exponenci al . Mostre que ( ) 1 f x dx+=} e deduza( ) EXe( ) Var X . 328.Sej a X uma vari velal eatri a com di stri bui o normal . Mostre que ( ) 1 f x dx+=} e deduza( ) EXe( ) Var X . 329.Suponha-sequeotempodevi dati l deumdadocomponenteumavari velal eatri a , X, com di stri bui o exponenci alcom mdi a i guala 600 horas. a)Quala probabi l i dade de o componente durar mai s de 700 horas? b)Suponhaqueocomponentej tenhadurado400horas.Qual a probabi l i dade de durar ai nda mai s 700 horas? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO72330.Achegadadecl i entesaumal oj asegueumadi stri bui odePoi sson (aproxi mado) em que o ri tmo mdi o de af l unci a de 20 cl i entes por hora. Aps abri ral oj aqual aprobabi l i dadedeocomerci anteterdeesperarmai sque5 mi nutos pel a chegada do pri mei ro cl i ente? 331.Umbancoatendeemmdi adoi scl i entesemcadaperodode3mi nutos. Consi dere que o nmero de cl i entes atendi dos tem di stri bui o de Poi sson. a)Qual aprobabi l i dadededecorrerem3mi nutossemqual quercl i ente atendi do? b)Qual aprobabi l i dadedeoatendi mentodeumcl i entedemorarmai sdo que 3 mi nutos? c)Quala probabi l i dade de o atendi mento de um cl i ente demorar entre 3 e 6 mi nutos? 332.Sendo Z uma vari velal eatri a com di stri bui o normalestandardi zada, cal cul e, recorrendo representao grf i ca sempre que apropri ado: a)P(0 < Z 05 , 2 s ) b)P(-1,22s Z < 1,05) c)P(Z 05 , 2 > ) d)O val or de k talque P( ) k Z > = 0,05 e)O val or de k talque P( ) k Z < = 0,90 333.Aresi stnci acompressodeamostrasdeci mentodeumcertoti pouma vari vel al eatri aquepodesermodel adaporumadi stri bui onormal com mdi a 6000 kg/cm2 e desvi o padro 100 kg/cm2. a)Determi neaprobabi l i dadedequeumaamostradeci mentotenha resi stnci a superi or a 6150Kg/cm2. b)A probabi l i dade de uma amostra de ci mento tenha resi stnci a entre 5900 e 5951 kg/cm2. c)Determi ne a resi stnci a que excedi da por 90% das amostras de ci mento. 334.Numauni dadei ndustri al otempodeexecuodeumapeaumavari velal eatri a com di stri bui o exponenci alde mdi a 5 mi nutos. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO73a)Uma pea j se encontra em execuo h 2 mi nutos. Quala probabi l i dade deseremai ndanecessri os,pel omenos,4mi nutosatsuaconcl uso? Comente o resul tado obti do. b)Consi derando 5 peas ao acaso, cal cul e a probabi l i dade de 2 del as terem ti do um tempo de execuo mxi mo de 4 mi nutos. 335.Otempodef unci onamento,semavari as,deumadetermi nadamqui nade produoemsri etemumcomportamentoexponenci al commdi ai gual a quatro di as e mei o. Supondo que a mqui na comea a f unci onar no di a t = 0. a)Quala probabi l i dade de no ocorrerem avari as antes de 6 di as? b)Admi ti ndoqueamqui naseencontranoquarto di adeproduo,qual a probabi l i dadedenoocorrerqual queravari aantesdosextodi ade l aborao? c)Qual aprobabi l i dadedeseveri f i caremduasavari asduranteossei s pri mei ros di as de f unci onamento da mqui na? 336.Admi ti ndo que determi nada cai xa mul ti banco uti l i zada em mdi a 10 vezes por di a(das9hs19h)equeonmerodeuti l i zaesumav.a.comdi stri bui o Poi sson. a)Determi neaprobabi l i dadedequeacai xasej auti l i zadapel omenos4 vezes entre as 14h e as 19h. b)Cal cul e o val or esperado e a vari nci a do nmero de uti l i zaes semanai s (5 di as) da cai xa. c)Determi neaprobabi l i dadedequeotempodecorri doentreduas uti l i zaes consecuti vas da cai xa sej a superi or a 2 horas. 337.Depoi s de se terem pesado vri as embal agens de 1 kg de caf marca "Apeti toso", chegou-seconcl usoque,emboraaembal agemi ndi que1kg,overdadei ro pesoumavari vel al eatri auni f ormementedi stri budanoi nterval o[ .85kg, 1.05 kg ] , i sto , a f uno de densi dade tem a segui nte f orma : ( ) ; 0,85 1,05 f x k x = s s a)Cal cul e k e represente graf i camente f (x). b)Determi ne a f uno de di stri bui o de X. EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO74c)Quala probabi l i dade de uma embal agem de caf marca "Apeti toso" pesar menos de 1 kg ? d)Da produo total , quala percentagem de embal agens com peso superi or ao i ndi cado no rtul o ? 338.De20em20mi nutos,parteumcomboi o(sematrasos)deumacertaestao. Qual aprobabi l i dadedeumuti l i zador,quedesconheceohorri oeacabade chegar estao, esperar no mxi mo 5 mi nutos at sada do comboi o? 339.Durante o perodo de tempo em que as reservas por tel ef one esto sendo f ei tas na uni versi dade l ocal , as chamadas chegam razo de uma a cada doi s mi nutos. a)Qual o nmero esperado de chamadas em uma hora? b)Qualser a probabi l i dade de trs chamadas em ci nco mi nutos? c)Qual a probabi l i dade de nenhuma chamada em um perodo de ci nco mi nutos? 340.Emmdi a,6pessoasporhorauti l i zamosservi osdecai xaautomti codeum Banco durante as horas de mai or movi mento. Qual a probabi l i dade de que: a)Exactamente6pessoasusaroosservi osduranteumahora al eatori amente escol hi da? b)Menosdeci ncopessoasusaroosservi osduranteumahora al eatori amente escol hi da? c)Nenhumapessoausarocai xaautomti coduranteumi nterval ode10 mi nutos? d)Uma pessoa usar o cai xa automti co durante um i nterval o de 5 mi nutos? 341.Onmerodepartcul asemi ti dasporuma f onteradi oacti va,duranteumperodo especi f i cado, uma v.a. com di stri bui o de Poi sson. Se a probabi l i dade de no haveremi ssesf ori gual a1/4,qual seraprobabi l i dadedequeduasoumai s emi sses ocorram? 342.O nmero de al unos que entram ou saem da aul a aps os pri mei ros 10 mi nutos umavari vel al eatri acomdi stri bui odePoi ssondemdi a1(de10em10 mi nutos).Aperturbaocausadaevi dente,econsi dera-sei ntol ervel se exceder os 10 movi mentos por aul a (80 mi nutos tei s). EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO75a)Qual aprobabi l i dadedenohaverqual quermovi mento(entradaou sada) na l ti ma mei a hora da aul a? b)Seasi tuaonormal f osseummxi modetrsmovi mentosporaul a, quala percentagem de aul as nessas condi es? c)Numa cadei ra semestraldi f i ci l mente se cumpre o programa se o nmero deaul asconsi deradasi ntol ervei sf orsuperi oraumquartodas programadas.Seesti vessemprevi stas20aul as,cal cul eaprobabi l i dade de se cumpri r a programa. 343.Onmerodeovospostosporsegundoemumcertoavi ri otemdi stri bui ode Poi sson com mdi a i guala 1. a)Determi neaprobabi l i dadedeonmerodeovospostosporsegundoser superi or ao dobro da vari nci a. b)Qual aprobabi l i dadedeem5segundosserempostosmenosdetrs ovos? c)Senumperodode10segundosf orempostos12ovos,qual a probabi l i dade de nos pri mei ros 8 segundos terem si do postos 10 ovos? 344.Nal i nhadeatendi mentoacl i entesdeumcentro comerci al recebe-seemmdi a quatro chamadas de recl amaes por di a. a)Quala percentagem de di as em que no h recl amaes. b)Quala probabi l i dade de num di a se receber de trs a sei s quei xas? c)Qual aprobabi l i dadedenumasemana(2a6f ei ra)sereceberem exactamente 15 recl amaes? d)Quala probabi l i dade de se receber pel o menos uma recl amao em todos os di as de uma semana? 345.Aof ormarnmerosbi nri oscomndgi tos,aprobabi l i dadedequeumdgi to i ncorrectopossaaparecer0,002.Seoserrosf oremi ndependentes,qual a probabi l i dade de encontrar zero, um, ou mai s dgi tos i ncorrectos em um nmero bi nri o de 20 dgi tos? Se o computador f orma 106 desses nmeros de 25 dgi tos porsegundo,qual aprobabi l i dadedequeumnmeroi ncorrectosej af ormado durante qual quer perodo de um segundo? EXERCCIOS SELECCIONADOS DE TEORIA DE PROBABILIDADE CELSO MATEUS ALBINO76346.Estatsti casmdi casrevel amquedetermi nadadoena,cuj otratamento extremamentedi spendi oso,af ectaumaemcadaci ncomi l pessoas.Uma seguradora,depoi sdeestudaroassunto,deci di ucri arumseguroparacobertura das despesas de tratamento. Num determi nado ano, a companhi a de seguros tem em cartei ra 3000 apl i ces desse ti po. a)Determi neaprobabi l i dadedenenhumadaspessoasseguradascontrai ra doena nesse ano. b)Sabendoquenoanoemcausaj f oi ef ectuadaumaparti ci pao seguradora,cal cul eaprobabi l i dadedenoseveri f i caremmai squetrs parti ci paes at ao f i naldo mano. 347.Onmerodevezesemqueumaaul a(duashoras)subi tamenteassal tadapel o toquei rri tanteetenebrosodeumtel emvel podeconsi derar-seumavari velal eatri a com di stri bui o de Poi sson de mdi a 1. a)Qual aproporodeaul assemostai ssonsmel odi osos?Eseadurao da aul a f or de uma hora? b)Acaboudetocarpel asegundavez,namesmaaul a,umtel emvel .O prof essoraf i rmaqueabandonarasal asesevol taraouvi rtal coi sa. Quala probabi l i dade de a aul a ser i nterrompi da por essa razo? c)Nas aul as do semestre (em nmero de 20), quala probabi l i dade de haver duas aul as com mai s que duas chamadas? 348..Suponhaqueaprobabi l i dadedesof reref ei toscol aterai sdepoi sdeseapanhar umadetermi nadavaci nasej a0.005.Se1000pessoasapanharemestavaci na, cal cul e a probabi l i dade de que: a)No mxi mo 1 pessoa sof ra ef ei tos col aterai s; b)4, 5, ou 6 pessoas sof ram ef ei tos col aterai s.