Sociedade Brasileira de Matemtica

Mestrado Prossional em Matemtica em Rede Nacional

MA11 Nmeros e Funes Reais

Unidade 1 Conjuntos

Unidade 2 Conjuntos

Roteiro de Estudos

Exerccios Recomendados

1. Decida quais das armaes a seguir esto corretas. Justique suas res-

postas.

(a) ; (b) ; (c) {} ; (d) {}.

2. Demonstre as propriedades de distributividade:

(a) a operao de unio em relao interseo;

(b) a interseo em relao unio.

3. Demonstre que A B = B A B A B = A.4. Dados A,B U , demonstre as relaes de De Morgan:

(a) (A B)C = AC BC;(b) (A B)C = AC BC.

5. Considere P , Q e R condies, aplicveis aos elementos de um conjunto

U ; e A, B e C os subconjuntos de U dos elementos que satisfazem P ,

Q e R, respectivamente. Expresse, em termos de implicaes entre P , Q

e R, as seguintes relaes entre os conjuntos A, B e C.

(a) A BC C; (b) AC BC C; (c) AC B CC;

(d) AC BC C; (e) A BC CC.

1

6. Recorde que a denio da diferena entre conjuntos:

B \ A = {x ; x B e x / A}.Mostre que

a) B \ A = se, e somente se, B A;b) B \ A = B se, e somente se, A B = ;c) vale a igualdade B \ A = A \B se, e somente se, A = B.d) Determine uma condio necessria e suciente para que se tenha

A \ (B \ C) = (A \B) \ C.7. D exemplos de implicaes, envolvendo contedos do ensino mdio, que

sejam: verdadeiras, com recproca verdadeira; verdadeiras, com recproca

falsa; falsas, com recproca verdadeira; falsas, com recproca falsa.

8. Escreva as implicaes lgicas que correspondem resoluo da equaox+ x = 2. Verique quais so reversveis e explique o aparecimento de

razes estranhas. Faa o mesmo com a equao

x+ 3 = x.

9. Considere as seguintes (aparentes) equivalncias lgicas:

x = 1 x2 2x+ 1 = 0 x2 2 1 + 1 = 0 x2 1 = 0 x = 1Concluso(?): x = 1 x = 1. Onde est o erro?10. Escreva as recprocas, contrapositivas e negaes matemticas das se-

guintes armaes:

(a) Todos os gatos tm rabo;

(b) Sempre que chove, eu saio de guarda-chuva ou co em casa;

(c) Todas as bolas de ping pong so redondas e brancas;

(d) Sempre que tera feira e o dia do ms um nmero primo, eu vou

ao cinema;

(e) Todas as camisas amarelas ou vermelhas tm manga comprida;

(f) Todas as coisas quadradas ou redondas so amarelas e vermelhas.

2

Exerccios Suplementares

1. Sejam A, B e C conjuntos. Determine uma condio necessria e suci-

ente para que se tenha

A (B C) = (A B) C.

2. Expresses tais como para todo e existe so chamadas de quanticadores e

aparecem em sentenas dos tipos (sendo P (x) uma condio envolvendo

a varivel x):

(1) Para todo x, satisfeita a condio P (x);

(2) Existe algum x que satisfaz a condio P (x).

(a) Sendo A o conjunto de todos os objetos x (de um certo conjunto

universo U) que satisfazem a condio P (x), escreva as sentenas

(1) e (2) acima, usando a linguagem de conjuntos.

(b) Quais so as negaes de (1) e (2)? Escreva cada uma destas ne-

gaes usando conjuntos e compare com as sentenas obtidas em

(a).

(c) Para cada sentena abaixo, diga se ela verdadeira ou falsa e forme

sua negao.

i. Existe um nmero real x tal que x2 = 1.ii. Para todo nmero inteiro n, vale n2 > n.

iii. Para todo nmero real x, tem-se x > 1 ou x2 < 1.

iv. Para todo nmero real x existe um nmero natural n tal que

n > x.

v. Existe um nmero natural n tal que, para todo nmero real x,

tem-se n > x.

3. Considere os conjuntos abaixo:

F = conjunto de todos os lsofos;

M = conjunto de todos os matemticos;

C = conjunto de todos os cientistas;

P = conjunto de todos os professores.

3

(a) Exprima cada uma das armativas abaixo usando a linguagem de

conjuntos.

i. Todos os matemticos so cientistas.

ii. Alguns matemticos so professores.

iii. Alguns cientistas so lsofos.

iv. Todos os lsofos so cientistas ou professores.

v. Nem todo professor cientista.

(b) Faa o mesmo com as armativas abaixo.

vi. Alguns matemticos so lsofos;

vii. Nem todo lsofo cientista;

viii. Alguns lsofos so professores;

ix. Se um lsofo no matemtico, ele professor;

x. Alguns lsofos so matemticos.

(c) Tomando as cinco primeiras armativas como hipteses, verique

quais das armativas do segundo grupo so necessariamente verda-

deiras.

4. Considere um grupo de 4 cartes, que possuem uma letra escrita em um

dos lados e um nmero do outro. Suponha que seja feita, sobre esses

cartes, a seguinte armao: Todo carto com uma vogal de um lado

tem um nmero mpar do outro. Quais do cartes abaixo voc precisaria

virar para vericar se esse armativa verdadeira ou falsa?

A 1 B 4

5. O artigo 34 da Constituio Brasileira de 1988 diz o seguinte:

A Unio no intervir nos Estados nem no Distrito Federal, exceto para:

I. Manter a integridade nacional;

II. Repelir invaso estrangeira ou de unidade da Federao em outra;

III. (...)

4

(a) Suponhamos que o estado do Rio de Janeiro seja invadido por tropas

do estado de So Paulo. O texto acima obriga a Unio a intervir no

estado? Na sua opinio, qual era a inteno dos legisladores nesse

caso?

(b) Reescreva o texto do artigo 34 de modo a torn-lo mais preciso.

6. O conjunto das partes P (A) de um conjunto A o conjunto formadopor todos os subconjuntos do conjunto A. Prove o teorema de Cantor:

Se A um conjunto, no existe uma funo f : A P (A) que sejasobrejetiva.

Sugesto: Suponha que exista uma tal funo f e considere X = {x A ; x / f(x)}.

5