Exercice 1 : Activité - JFF-DUT-TCjff-dut-tc.weebly.com/uploads/1/4/7/9/14799044/s1_-_calcul... · TC –Mathématiques –S1 1. Pourcentages et indices Exercice 1 : Activité 6

TC Mathmatiques S1

1. Pourcentages et indices

Exercice 1 : Activit

6 944,77 2401,15

2401,15+150%

3200-43,5%

7 14 21 35 52,5 70

2 4 6 10 15 20

TC Mathmatiques S1

1.1 Proportionnalit

exemple 1 :

A = (2, 4, 6, 10, 15, 20)

B = (7, 14, 21, 35, 52,5, 70)

= 3,5

A et B sont proportionnelles

Liste 1 5 12 X 28

Liste 2 15 Y 37 70

exemple 2 :

X =3728

70= 14,8 Y =

701228

= 30

6

12,5

x

y

O 4

10

D1

D2

++

50

20

++

+

+

+

+

++

+

==== =


TC Mathmatiques S1

1.2 Indices


2012 2013 2014

Prix 1,84 2,12 1,53

indice 1000 1152,17 831,52

TC Mathmatiques S1

Taux et pourcentage : comparer v et V

taux :v

tV

= pourcentage : vpV

= 100

Exemple : v = 20 et V = 25

Taux : t = 0,8 Pourcentage : p = 80

symbole % : /100

Taux : t = 0,8 = 80/100 = 80%


1.3 Taux et pourcentages

TC Mathmatiques S1

Pourcentage de variation et proportion

valeur pourcentage

valeur initiale (rfrence) 35 100

variation -40

valeur finale

var = -40 x 35

100 = -14

-14

21 60



TC Mathmatiques S1

Pourcentage de variation et coefficient multiplicateur

Exemple 1

Exemple 2

248,5

19,6%

297,21

10%

267,49

x1,196 x0,9

79,45

5,5%

83,82

15%

71,25

x1,055 x0,85

0,85 1,055



TC Mathmatiques S1

Variations successives et taux moyen

32

200%

96

45,83%

140

x 3 x1,4583

71,43%

40

x0,2857

x1,25

x c x c x c

c3 = 1,25

c = 1,25 1/3

1,07722

25%



TC Mathmatiques S1

2. Mathmatiques financires

Principe

capital

prt

ou plac

valeur

rembourse

ou acquise

temps|

0

|

n

intrts

C0Cn

in

in augmente avec C0 et avec n

TC Mathmatiques S1


2.2 Intrts simples

C0

Cn

temps|

0

|

n

in

i1 = tC0 = C0.t

C1

i1

C2

i2

C3

i3

|

1

|

2

|

3

taux dintrts annuel : t

i2 = 2i1 = 2C0.ti3 = 3i1 = 3C0.t

in = C0.n.t

Cn = C0 + in = C0.(1 + n.t)

TC Mathmatiques S1


2.3 Intrts composs

C0Cn

temps|

0

|

n

in

C1 = C0 + tC0 = C0.(1+t)

C1

i1

C2

i2

C3

i3

|

1

|

2

|

3

Cn = C0.(1 + t)n

in = Cn - C0 = C0.[(1+t)n 1]

taux dintrts annuel : t

C2 = C1 + tC1 = C0.(1+t)C3 = C2 + tC2 = C0.(1+t)3

TC Mathmatiques S1


2.3 Intrts composs

Cn = C0.(1 + t)n

taux dintrts annuel : t = 20% = 0,2

au bout de 5 ans : C5 = C0.(1,2)5 = 2,4883.C0

au bout dun an : C1 = C0.(1,2)1 = 1,2.C0

au bout de 6 mois : C = C0.(1,2)0,5 = 1,09545.C0

au bout dun mois : C = C0.(1,2)1/12 = 1,01531.C0

au bout de 55 jours : C = C0.(1,2)55/360 = 1,02825.C0

n sexprimera

en annes

TC Mathmatiques S1


2.3 Intrts composs Cn = C0.(1 + t)n

Ex 26 - taux quivalents

Au bout de 8 ans,

au taux annuel de 5% : C8 = 1000(1,05)8 = 1477,46

Au bout de 6 ans,

au taux annuel de 5% : C6 = 1000(1 + t)6 = 1477,46

donc (1 + t)6 = 1477,46

1 + t = 1477,461/6 1,06722 t = 6,722 %

2203,99

TC Mathmatiques S1


2.3 Intrts composs Cn = C0.(1 + t)n

Ex 27 - capitaux quivalents

en combien de temps 3200 placs deviennent-ils 4050,64 ?

Cn = C0.(1+t)n devient ici : 4050,64 = 3200 1,08n

0 1 2 3 4 5

1500500 680,24

1000 1166,4taux annuel : 8 %

4050,64

soit 1,08n 1,2658n = ln(1,2658) / ln(1,08)

3,0629 ans

3200

AnnesCapital restant d

(dbut de priode)Amortissement Intrts

Annuits de

remboursement

Capital restant d

(fin de priode)

N

N + 1

N + 2

N + 3

N + 4

TC Mathmatiques S1


2.4 Les emprunts indivis


Ex 28 - amortissement constant

n = 5 ans

100000

amortissement annuel

= 100000 / 5 = 20000

2000020000200002000020000

5000 25000 80000

100000

80000 4000 24000 60000

300020001000

230002200021000

4000020000

0

600004000020000

15000 115000

AnnesCapital restant d

(dbut de priode)Amortissement Intrts

Annuits de

remboursement

Capital restant d

(fin de priode)

N

N + 1

N + 2

N + 3

N + 4

TC Mathmatiques S1


2.4 Les emprunts indivis


Ex 29 - annuits constantes

n = 5 ans

100000

annuit :

18097,48 5000

100000

81902,52 4095,13 62900,173145,012147,381099,88

23097,4823097,4823097,4823097,4823097,48

42947,6921997,60

0

62900,1742947,6921997,60

15487,40 115487,40

( ),

n

ta C

t= = +

0 23097 481 1

19002,3519952,4720950,1021997,60

81902,52

MoisCapital restant d

(dbut de mois)Amortissement Intrts

Mensualits de

remboursement

Capital restant d

(fin de mois)

M

M + 1

M + 2

M + 3

TC Mathmatiques S1

2. Mathmatiques financires2.4 Les emprunts indivis

taux dintrts annuel : t = 6,55%

coef. annuel : 1,0655

Ex 30 : mensualits constantes

n = 3 ans = 36 mois

8000

a. mensualit :

202,28 42,41

8000

7797,72 41,34 7594,3740,2639,17

244,69244,69244,69244,69

7389,947184,43

7594,377389,94

808,73 8808,73

( ),

n

tm C

t= = +

0 244 691 1

203,35204,43205,51

7797,72

coef. mensuel : 1,06551/12 = 1,005301 (0,5301%)

C0 = 8000

cot prt : 36m - C0 = 808,73

b. tableau damortissement :

TC Mathmatiques S1

2. Mathmatiques financires2.4 Les emprunts indivis

taux dintrts annuel : t = 6,55%

coef. annuel : 1,0655

n = 3 ans = 36 mois

coef. mensuel : 1,06551/12 = 1,005301 (0,5301%)

C0 = 8000

c. Sur 3 ans : C3 = C0.1,06553 = 9677,21

Sur 4 ans, il faudrait : C4 = 9677,21, cest dire C0.(1 + t)4 = 9677,21

do 1 + t = 1,04873, donc un taux annuel de 4,873%

d. Au taux annuel de 8,55% :

( ),

n

tm C

t= = +

0 196 181 1

coef. mensuel : 1,08551/12 = 1,006860 (0,6860%)

Sur 4 ans, 48 mois, la mensualit devient :

Ex 30 : mensualits constantes

TC Mathmatiques S1

D : y = ax+b

D1 : y = x - 4

D2 : y = -2x + 5

D3 : y = 0,5x - 1

x

y1y2y3

0

-4

5

-1

4

0

-3

1

pente ordonne lorigine

x

y

D1

D2

D3

+

++

+

+

+O 1

1

3. Premier degr

x

y

O 1

1

TC Mathmatiques S1

Identification

D1

D2

+

++

+( )

( )x y E

x y E

= + =

1

2

4

4 2 10

(-1)

2x y

x y

+ = + =

4

2 5

y x

y x

= = +

4

2 5

id id

formes rduites

x - 4 = -2x + 5

2x + x = 4 + 5

3x = 9

x = 3 y = -1

+

3

-1

3. Premier degr

TC Mathmatiques S1

Substitution

( )( )

x y E

x y E

= + =

1

2

4

4 2 10

choix :

xx y

x y

= + + =

4

4 2 10

substitution dans (E2)

4(y + 4) + 2y = 10

6y = -6

x = 3y = -1

x

y

O 1

1 D1

D2

+

++

+

+

3

-1

4y + 16 + 2y = 10

3. Premier degr

choix : remplacer par E2 + 2 E1(simplification : limination de y)

TC Mathmatiques S1

Combinaison linaire

( )( )

x y E

x y E

= + =

1

2

4

4 2 10

choix : conserver x y

x

= + =

4

6 18

x y= +

4

x = 3

df : CL de A et B : pA+qB, p et q rels

autoris dans un systme : remplacer une quation A par une CL de A et dautres.

utile dans un systme : crer une CL qui simplifie une quation.

y + =

4 3

x = 3

y = -1 x = 3

3. Premier degr

E2 - 2 E1

TC Mathmatiques S1

3. Premier degr

Pivot de Gauss (version simplifie)

objectif : rendre le systme triangulaire

x y z

x y z

x y z

+ = + = + =

4 5

2 5 3 18

3 10E3 - 3 E1

x y z

y z

y z

+ = + = + =

4 5

13 5 28

13 4 25E3 E2

x y z

y z

z

+ = + = =

4 5

13 5 28

3

solution : remonter les quations pour obtenir z, puis y, puis x

x y

y

+ = + =

4 5

13 5 28

z = 3

3

3 ( )x + =

4 5

z = 3

y = -1

3-1 z = 3

y = -1

x = 2

TC Mathmatiques S1

Exercice 45

a. 1re partie de lanne : dpense totale = d1 =

3. Premier degr

1. Rsolution par une quation unique

180x

b. 2me partie de lanne : dpense totale = d2 = 400(52 x)

c. 180x + 400(52 x) = 14000

d. 180x + 20800 400x = 14000

-220x = -6800

220x = 6800

x = 6800/220 = 30,91 semaines

TC Mathmatiques S1

Exercice 45

a. y1 = 180x

3. Premier degr

2. Rsolution par un systme

reprsentation graphique

et 14000 = 40052 + b,donc b = -6800

c.

x = 6800/220 = 30,91 semaines

b. y2 = 400x + b

( )( )

y x E

y x E

= =

1

2

180

400 6800

180x = 400x - 6800

x

y

10

2000

D1

D2

+

++

+

+

30,91

5564

10000

50

x y

x y

x y

+ + +

3 68

3 2 88

2 76

TC Mathmatiques S1

4. Programmation linaireTD4.1 (exercice 54) : Systme de contraintes

a. Variables : x : nombre de lots de bouteilles d1,5 litrey : nombre de lots de bouteilles de 0,5 litre

b. Contraintes : Temps maximal pass dans chaque atelier

c. Temps atelier 1 :atelier 1 atelier 2 atelier 3

1,5 L 3 h 3 h 1 h

0,5 L 1 h 2 h 2 h

3x + y

d. Temps atelier 2 :

Temps atelier 3 :

3x + 2y

x + 2y

e. Systme de contraintes :

y x

y x

y x

+ + +

3 68

2 3 88

2 76

2

REDUCTION

2,

,

y x

y x

y x

+ + +

3 68

1 5 44

0 5 38

TC Mathmatiques S1

4. Programmation linaireRgionnement du plan

Choisissons lquation dune droite :

x

y

D+

+O 1

1

D : y = 0,5x - 1

D : ensemble des points du plan dont les

coordonnes x et y vrifient la condition

ci-dessus.

Quel est lensemble des points du plan

dont les coordonnes x et y vrifient la

condition y 0,5x 1 ?

Tous les points dont lordonne est

infrieure celle calcule pour la droite

D, donc tous les points en-dessous de la

droite D.

OK

x

y

O 10

10

D1D1

D2D2

+

+

+

TC Mathmatiques S1

4. Programmation linaireTD4.2 (exercice 55) : Polygone des contraintes

a. Graphique :

b. Coordonnes :

,

,

y x

y x

y x

+ + +

3 68

1 5 44

0 5 38

D1 : y = -3x + 68

D2 : y = -1,5x + 44

D3 : y = -0,5x + 38

x

y1y2y3

0

68

44

38

20

8

14

28

30

40

+

+

+D3D3

OO

AA BB

CC

DD

O = (0 ; 0)

A = D3 (Oy) = (0 ; 38)B = D2 D3 : -1,5x + 44 = -0,5x + 38 : (6 ; 35)C = D1 D2 : -1,5x + 44 = -3x + 68 : (16 ; 20)D = D1 (Ox) : -3x + 68 = 0 : (22,67 ; 0)

c. x = 5 et y = 15 : point E

d. x = 20 et y = 20 : point F

+EE

FF+

TC Mathmatiques S1

4. Programmation linaireTD4.3 (exercice 56) : Droites diso-profit

a. C(5, 15) = 580 + 1530 = 850

x

y

O 10

10

D1

D2

30

40

D3

O

A B

C

D

C(20, 20) = 2080 + 2030 = 2200

b. C = 80x + 30y y = -8/3.x + C/30

c. D1200 : y = -8/3.x + 40 ; D2400 : y = -8/3.x + 80

+

+

d. 1200 : oui ; 2400 : non

e. C maxi C/30 maxi DC la plus haute

f. Unique point commun entre DC et la zone des

contraintes : le point C (16 ; 20).

Il faut produire 16 lots de bouteilles d1,5 L

et 20 lots de bouteilles de 0,5 L.

Chiffre daffaires maximal correspondant :

C = 1680 + 2030 = 1880

TC Mathmatiques S1

4. Programmation linaireAutres prix de vente

x

y

O 10

10

D1

D2

30

40

D3

O

A B

C

D

g. C = 60x + 50yDC : y = -1,2.x + C/50

Exemple : D1500 : y = -1,2x + 30

C maxi C/50 maxi DC la plus haute

La droite la plus haute et toujours en contact avec

la zone des contraintes est celle qui contient le

point B (6 ; 35) (droite DC en trait double, rouge, sur le graphique).

Il faut produire 6 lots de bouteilles d1,5 L

et 35 lots de bouteilles de 0,5 L.

Chiffre daffaires maximal correspondant :

C = 660 + 3550 = 2110

x y

x y

x y

+ + +

30 10 1200

40 40 3200

30 50 3000

TC Mathmatiques S1

4. Programmation linaireExercice 58 : Systme de contraintes

a. Variables : x : nombre de lots Ay : nombre de lots B

b. Contraintes : Nombre minimal de chaque type de fleurs

c. Nombre jacinthes : jacinthes Tulipes Narcisses

A 30 40 30

B 10 40 50

30x + 10y

d. Nombre tulipes :

Nombre narcisses :

40x + 40y

30x + 50y

e. Systme de contraintes :

y x

y x

y x

+ + +

10 30 1200

40 40 3200

50 30 3000

REDUCTION

,

y x

y x

y x

+ + +

3 120

80

0 6 60

x

y

O 20

20

D1D1D2D2

+

+

+

TC Mathmatiques S1

4. Programmation linaireExercice 58 : Polygone des contraintes

a. Graphique :

b. Coordonnes :

,

y x

y x

y x

+ + +

3 120

80

0 6 60

D1 : y = -3x + 120

D2 : y = -x + 80

D3 : y = -0,6x + 60

x

y1y2y3

0

120

80

60

40

0

40

36

100

100

+

+

+

D3D3

On attendra de connatre le point le plus

intressant

4

11

1

TC Mathmatiques S1

5. Polynmes du 2d degr

P(x) = 2x2 - 4x - 5cc

x

P(x)

Q(x)

ordonne lorigine

x

y

CPCP

+

+

O 1

2

- 5- 5- 4- 422bbaa

Q(x) = -x2 + 4x + 1+ 1+ 1+ 4+ 4a = -1a = -1

+

++

+

+

+

-2

11

-11

-1

1

-4

0

-5

1

1

-7

4

2

-5

5

3

1

4

bb cc

+

++

+

+

CQCQ

menu Table

Y1=2X-4X-5

RANG : choix x

TABLE : tableau

touche Y= ou f(x)

Y1=2X-4X-5

TblSet : choix x

Table : tableau

TC Mathmatiques S1


P(x) = 2x2 - 4x - 5

Q(x) = -x2 + 4x + 1

x

y

CP

+

+

O 1

2+

++

+

+

+

+

++

+

+

CQ

a = 2 ; b = -4 ; c = -5

a = -1 ; b = 4 ; c = 1

a > 0 :

a < 0 :

abscisse du sommet :

S

bx

a=

2

S

S

S

S

TC Mathmatiques S1


Equation du second degr : ax2 + bx + c = 0

a < 0 :

bx

a

=2

On recherche, sils existent, les points dintersection de la parabole avec laxe (Ox).

Mthode : Calcul du discriminant = b2 4ac Si < 0 : lquation nadmet pas de solution

Si 0 : lquation admet deux solutions :

Rcapitulatif : a > 0 :

x

x

> 0

= 0

< 0

< 0

= 0

> 0

P(x) = ax2 + bx + c est du signe de a pour tout rel x,

sauf si x est pris entre les racines (si elles existent)

TC Mathmatiques S1


P(x) = 2x2 - 4x - 5

Q(x) = -x2 + 4x + 1

a = 2 ; b = -4 ; c = -5

a = -1 ; b = 4 ; c = 1

Equation du second degr : ax2 + bx + c = 0

exemples prcdents :

x

y

CP

+

+

O 1

2+

++

+

+

+

+

+ + +

+

CQ

S

S

= (-4)2 42(-5) = 16 + 40 = 56 > 0 donc P(x) admet deux racines :

bx

a

= = 4 562 4

+

-

+

-

x 2,871x -0,871x 2,871

x -0,871

= 42 4(-1)1 = 16 + 4 = 20 > 0 donc Q(x) admet deux racines :

bx

a

= =

4 20

2 2

+

-

+

-

x -0,236x 4,236x -0,236x 4,236

( )x x x + =

20 6 2400100

2-0, 01 + 14 - 2400x x

TC Mathmatiques S1

5. Polynmes du 2d degrExercice 60

x

Cp(x)

CA(x)

B(x)

x

y

0

+

Variable : x = quantit produiteCot de production : Cp(x) = 6x + 2400

Prix unitaire de vente : Pu(x) =x20

100Fonction objectif : le bnfice B(x) = ?

B(x) = CA(x) Cp(x) =

0 300 600 800 1000 1200 1500

2400 4200 6000 7200 8400 9600 11400

0 5100 8400 9600 10000 9600 7500

-2400 900 2400 2400 1600 0 -39000

4000

8000

12000

++

++

++

+

+

++ + +

+

B(x) > 0 ? racines ?

= 100 racines : 200 et 1200

Question 1

B(x) maximal ?

Question 2

-b/2a = 700 et B(700) = 2500

200 600 1000 1500

TC Mathmatiques S1

6. Etudes de fonctions6.1 Nombre

driv ( ):f x f xfonction

dpendance, relation

nombrenombre

+ ++ +

+ +

+

+

+

( )f x

x

expression de f :

formule pour calculer f(x) partir de x

exemple : ( )f xx

=4

1

courbe de f : ensemble des points (x, f(x))

x 0 0,2 0,5 0,9

f(x) 4 5 8 40

taux de variation de f :y

x

Exemple : parcours dun bus

A

O

VOA =7

10

B

C

C

y (km)

16

10

7

t (min)

10 18 28 35

= 0,7 km/min

VAB =08

= 0 km/min

VBC =9

17= 0,5294 km/min

VBC =3

10= 0,3 km/min

VCC =67

= 0,8571 km/min

VC = ?

6. Etudes de fonctions

TC Mathmatiques S1

6.1 Nombre

driv

Exemple : parcours dun bus

A

O

B

C

C

y (km)

16

10

7

t (min)

10 18 28 35

VC = f (28)

y = f(x)

vitesse

instantane

en C

nombre

driv de f

en C


TC Mathmatiques S1

6.1 Nombre

driv

f (a) :

pente de la courbe

pente de la tangente

la courbe en A

x

y

A

x

y

M

a

x

M

y

x

M

yM

xy

M

xyM

xyA

yx

f (a) = limx a


TC Mathmatiques S1

6.1 Nombre

driv

f (a) = limf(x) f(a)

x - ax a


TC Mathmatiques S1

6.1 Nombre

driv


TC Mathmatiques S1

[Drive = pente de la courbe]

x

I

Sur un intervalle I,

f (x) > 0

x

I

f (x) < 0

x

I

f (x) = 0

6.2 Fonction

drive


TC Mathmatiques S1

[Drive = pente de la courbe]

x

I

Sur un intervalle I, f (x) 0 sauf en a lintrieur de I :

x < a : f (x) < 0

x > a : f (x) > 0

x

I

x

Ia a

x < a : f (x) > 0

x > a : f (x) > 0

x < a : f (x) > 0

x > a : f (x) < 0

a

6.2 Fonction

drive


TC Mathmatiques S1

6.2 Fonction

drive

k

x

f f

0

.x - 1

Drives de fonctions usuelles

f f

lnx

ex


TC Mathmatiques S1

6.2 Fonction

drive

u + k

u.v

u v

1vuv

f f

u

u .v + u.v

-v v2

u .v - u.v v2

v (u v)

Oprations sur les drives

k.u

u + v

k.u

u + v


TC Mathmatiques S1

Exercice 67 : Fonctions doffre et de demande

offre : f(x) = 0,25x + x + 40

demande : g(x) = 100 8x + 500

2 5x +

a. f (x) = 0,5x + 1

g(x) = -8 -( )x + 2

1000

2 5


TC Mathmatiques S1

Exercice 68 : Cot marginal et cot moyen

( ) ,C q q q q= + +3 20 02 3 200 50001 Cot marginalq 0 20 40 50 60 80 100 120 150 160

C(q) 5000 7960 9480 10000 10520 12040 15000 20360 35000 42120

( ) ,C q q q = +20 06 6 200

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )

, ,

,

, ,

,

m

m

C C C

C

C C C

C

= = =

= + =

= = =

= + =

2

2

50 51 50 10050 02 10000 50 02

50 0 06 50 6 50 200 50

150 151 150 35656 02 35000 656 02

150 0 06 150 6 150 200 650

q 0 20 40 50 60 80 100 120 140 160

C(q) 200 104 56 50 56 104 200 344 536 776


TC Mathmatiques S1


( ) ,MC q q qq

= + +2 50000 02 3 2002 Cot moyen

q 0 20 40 50 60 80 100 120 150 160

CM(q) *** 398 237 175,3 150,5 147,6 150 169,7 207,7 263,3

A


TC Mathmatiques S1


( ) ,MC q q qq

= + +2 50000 02 3 200

2 Cot moyen

q 0 20 40 50 60 80 100 120 150 160

CM(q) *** 398 237 175,3 150,5 147,6 150 169,7 207,7 263,3

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Exercice 1 : Activité - JFF-DUT-TCjff-dut-tc.weebly.com/uploads/1/4/7/9/14799044/s1_-_calcul... · TC –Mathématiques –S1 1. Pourcentages et indices Exercice 1 : Activité 6