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PCSI Corrigé devoir maison n°5 Jeudi 29 /11/2012
Exercice 2 : Concoïde de Nicomède (deuxième siècle avant J.C.)
On considère un angle aigu BAC , et on suppose que AC=1 .On considère un repère orthonormé d'origine A avec la droite (AB) comme axe des abscisses.
1- Équation polaire de la droite D :
La droite D a pour équation cartésienne : x=a . Soit : ρcos(θ)=a .
La droite D a pour équation polaire : ρ(θ)=a
cos(θ)avec θ∈]π2 , π
2 [ .
2- AM '= AM+ MM '=( acos(θ))uθ+2uθ=( a
cos(θ)+2)uθ
On déduit que l'équation polaire de N est : ρ(θ)=a
cos(θ)avec θ∈]π2 , π
2 [ .
3- On étudie la courbe d'équation polaire : ρ(θ)=a
cos(θ)+2 .
La courbe de Nicomède est donc une branche de cette courbe.
3-a- L'ensemble de définition de la fonction ρ est ℝ∖{(2k+1) π2
, k∈ℤ}La fonction ρ est 2π périodique et paire. On peut se limiter à l'intervalle [0,π ] privé de π2 . On obtiendra toute la courbe en effectuant une symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
Remarque : lorsque la fonction ρ est 2π périodique, alors la fonction f définie par : f (θ)= OM (θ) est 2π périodique aussi. Par contre si ρ est par exemple π périodique,
alors la fonction f n'est pas π périodique. Elle est symétrique par rapport à l'origine.
Si la fonction ρ est 2πn
périodique, alors on peut se restreindre à un intervalle de longueur
2πn
. On obtient toute la courbe, par des rotation d'angle 2 πn .
3-b- Étude de la courbe sur [0, π2 [ .
Étude du signe sur [0, π2 [
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On a : ρ ' (θ)=asin(θ)
cos2(θ)et f ' (θ)=ρ ' u(θ)+ρ v (θ) est un vecteur directeur de la tangente à
N au point M (θ) .
θ 0π6
π4
π3
π2
ρ(θ)a+2
2( a
√3+1) a√2+2 2(a+1) +∞
ρ ' (θ) 02a3
2a2a
√3
Au point M (0) de coordonnées polaires (a+2,0) , la courbe admet une tangente verticale.
Étude de la branche infinie en π2 .
On a : limθ→ π
2θ<π
2
ρ(θ)=+∞. On a donc une branche infinie en
π2 et une direction asymptotique qui
est l'axe des ordonnées (uπ2) .
Recherche d'une asymptote éventuelle. On a : X (θ)=ρ(θ)cos(θπ2) et
Y(θ)=ρ(θ)sin(θπ2 ) les coordonnées d'un point de la courbe dans le repère (O ,uπ2
, vπ2) soit
(O , j , i ) .
limθ→ π
2θ<π
2
X (θ)=+∞et Y(θ)=ρ(θ)sin(θπ2 )=ρ(θ)cos(θ)=a
cos(θ)cos(θ)
2cos(θ)
limθ→ π
2θ<π
2
Y(θ)=aLa droite d'équation Y=a est une asymptote à la courbe dans le repère
(O , j , i ) .
Donc la droite d'équation x=a dans le repère (O , i , j ) est une asymptote à la courbe
N en θ=π2 .
3-c- Étude de la courbe sur ]π2 ,π] .
Sur ]π2 ,π] , cos(θ)<0 .
On résout l'inéquation : ρ(θ)≥0⇔a
cos(θ)+2≥0⇔
acos(θ)
≥2⇔a≤2cos(θ)⇔a2≥cos(θ)
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⇔arccos(a2)≤θ car la fonction arccos est décroissante.
On pose : θ0=arccos(a2)
θπ2 θ0 π
ρ(θ) 0 + a+2
Remarque : lorsque θ est compris entre π2 et θ0 , si ρ était positif, la courbe se
situerait dans la partie. Mais comme ρ est négatif la courbe se trouve dans la partie 4. Lorsque θ∈[θ0 ,π ] la courbe se situe dans la partie 2. Elle passe par l'origine en θ0 . En ce point la
tangente est dirigée par la droite d'équation : θ=θ0 .
Branche infinie en π2
limθ→ π
2θ>π
2
ρ(θ)=+∞donc on a une branche infinie en
π2 . Et l'axe des ordonnées est une direction
asymptotique. (droite dirigée par uπ2
).
limθ→ π
2θ>π
2
X (θ)=limθ→ π
2θ>π
2
( acos(θ)
+2)cos(θπ2)=∞
Et : limθ→ π
2θ>π
2
Y(θ)=a
La droite d'équation x=a dans le repère (O , i , j ) est une asymptote à la courbe N.
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4- Trisection de l'angle.
Soit E ' l'intersection de la droite passant par C et de la courbe N E est l'intersection de la droite D avec la droite (AE' ) . F est le milieu de [EE' ] .
Montrons que : BAE=13
BAC
On a : BAE=CE' F et BAC=BAE+EAC pour prouver le résultat, il suffit de prouver que :
EAC=2CE' F .
On a : EAC=FAC . Et : AC=1 . Le triangle ECE' est rectangle en C et F est le
milieu du segment [EE' ] qui a comme longueur 2. Donc : EF=FC=FE'=1 .
Le triangle ACF est isocèle en C donc : FAC=CFA=πCFE' .Le triangle CFE' est isocèle enF donc : FCE'= FE' C .
En considérant la somme des angles du triangles CFE' , on obtient :
πCFE'=2CE' F d'où le résultat.
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Exercice 3 : Cissoïde de Dioclès (deuxième siècle avant J-C)
1-a- L'équation cartésienne de ∆ est x=1 . Donc :
Une équation polaire de ∆ est : ρ=1
cos(θ)
1-b- Le cercle C passe par l'origine du repère. Il admet une équation polaire :
ρ=2Rcos(θθ0) avec (R,θ0) un couple de coordonnées polaire du centre.
On pose : R=12
et θ0=0 .
Une équation polaire du cercle C est : ρ=cos(θ)
1-c-
OM ' '= MM '=MO+OM '=OM 'OM=1
cos(θ)u(θ)cos(θ) u(θ)=( 1
cos(θ)cos(θ)) u(θ)
L'équation polaire de D est : ρ(θ)=1
cos(θ)cos(θ)
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2-a- Montrons qu'on peut restreindre l'étude de D à l'intervalle [0,π2 [ et expliquer comment on
obtient toute la courbe.
ρ(θ+2π)=ρ La fonction ρ est 2π périodique, on peut se restreindre à un intervalle de longueur 2π pour avoir toute la courbe.
De plus : ρ(θ+π)=ρ(θ) . On en déduit que la fonction f est π périodique, et comme
ρ est paire, on peut se restreindre à l'intervalle [0,π2 [ .
Et on obtient toute la courbe, par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
2-b- Étudier et tracer la cissoïde de Dioclès .
Étude du signe du ρ .
On résout ρ(θ)≥0 avec θ∈[0, π2 ] .
1cos(θ)
cos(θ)≥0⇔1
cos(θ)≥cos(θ)⇔1≥cos2(θ) car : θ∈[0 , π
2 ]⇒cos(θ)≥0 .
Et : θ∈[0 ,π2 ]⇒1≥cos2(θ)
Donc ρ(θ)≥0 pour θ∈[0, π2 ]
On a : ρ ' (θ)=sin(θ)
cos2(θ)+sin(θ)=sin(θ)(2+tan2(θ))
On a aussi : ρ(θ)=1cos2(θ)
cos(θ)=
sin2(θ)cos(θ)
θ 0π6
π4
π3
π2
ρ(θ)0 1
2√31
√232
+∞
ρ ' (θ) 076 3√2
5√32
ρ ' ( π6 )=12(2+1
3)=12×
73=
76
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Étude de la branche infinie en π2
limθ→ π
2θ<π
2
ρ(θ)=+∞donc on a une branche infinie en
π2 de direction asymptotique l'axe des
ordonnées.
Recherche d'une asymptote éventuelle.
limθ→ π
2θ<π
2
X (θ)=limθ→ π
2θ<π
2
ρ(θ)cos(θπ2)=+∞ limθ→ π
2θ<π
2
Y(θ)=limθ→ π
2θ<π
2
ρ(θ)sin(θπ2 )=limθ→ π
2θ<π
2
sin2(θ)cos(θ)
(cos(θ))
limθ→ π
2θ<π
2
Y(θ)=limθ→ π
2θ<π
2
(sin2(θ))=1
La droite d'équation Y=1 dans le repère(O , j , i ) est une asymptote à la courbe.
La droite d'équation x=1 dans le repère (O , i , j ) est une asymptote à la courbe.
3- Duplication du cube.
On considère le point U (0 ,2) . La droite ( IU ) rencontre D en un point V ( x0 , y0) . La droite (OV) rencontre ∆ en un point W .
3-a- Montrons qu'une équation cartésienne de D est : x( x2+ y2) y2=0 .
x( x2+y2)y2=0⇔ρcos(θ)ρ2ρ2sin2(θ)=0⇔ρcos(θ)=sin2(θ)⇔ρcos(θ)=1cos2(θ)
⇔ρ(θ)=1
cos(θ)cos(θ) si cos(θ)≠0 .
Le cas cos(θ)=0 est équivalent à x=0 , et d'après l'équation cartésienne on a : y=0 .
Et le point (0,0) appartient à la courbe d'équation polaire : ⇔ρ(θ)=1
cos(θ)cos(θ) on prend
θ=0 .
Une équation cartésienne de D est : x( x2+ y2)y2=0 .
3-a- Quelle est l'équation cartésienne de la droite ( IU ) ?
On a I (1,0) et U (0,2) . L'équation cartésienne de la droite ( IU ) est : x1+
y2=1
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L'équation cartésienne de la droite ( IU ) est : x+y2=1
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3-b- Montrons que : y03=2x0
3
On a : x( x2+y2)y2=0 et x+y2=1⇔ x=1
y2
x3+xy2y2=0⇔ x3+(1 y2)y2y2=0⇔x3
y3
2=0⇔ y3=2x3
On a : y03=2x0
3
3-c- Démontrons que l'ordonnée de W est : 3√2
La droite (OV) a pour équation : y=y0
x0
x . L'ordonnée de W est : y=y0
x0
×1=y0
x0.
Or : y03=2x0
3⇔y0
3
x03=2⇔
y0
x0
=3√2
L'ordonnée de W est : 3√2
Exercice 4
Étude de la courbe paramétrée .
x(t)=cos( t )+cos(3t) y(t )=sin(t )+sin(3t)
L'ensemble de définition est ℝ .
Intervalle d'étude.
Les fonctions x et y sont 2π périodique. On obtient toute la courbe en l'étudiant sur un intervalle de longueur 2π .De plus x est une fonction paire et y est impaire, on peut étudier la courbe sur[0,π ] . On obtiendra la courbe sur [π ,0] en effectuant une symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
x(πt)=cos(πt)+cos(3(πt))=cos(t )+cos(3π3t)=cos(t)+(π3t+2π)
x(πt)=cos(t)+cos(π3t)=cos(t )cos(3t)=x( t)
y(πt)=sin(πt )+sin(3(πt))=sin(t)+sin(3π3t)=sin( t)+sin(π3t+2π)
y(πt)=y(t )
On peut étudier la courbe sur [0, π2 ] et obtenir la courbe sur [ π2 ,π] en faisant une symétrie
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par rapport à l'axe des ordonnées.
Étude des variations de x et y sur [0, π2 ]
x ' (t)=sin( t )3sin(3t)
sin(3t)=sin(2t+t)=sin(2t)cos(t )+cos(2t)sin(t )=2sin(t )cos2(t)+(12sin2( t))sin( t )
sin(3t)=2sin( t)(1sin2(t))+sin( t )2sin3(t )=3sin(t )4sin3( t)
x ' (t )=sin( t )3(3sin(t )4sin3(t))=10sin(t )+12sin3(t )=2sin(t)(5+6sin2(t))
On a : t∈[0 ,π2 ]⇒2sin( t )≥0 . On résout :5+6sin2(t )≥0⇔sin2(t )≥
56⇔sin(t )≥√5
6car
sin( t) est positif sur [0, π2 ] . Et x ' (t )≥0⇔ t≥arcsin(√5
6) car la fonction arcsin est
croissante.
On calcule :
y' ( t )=cos(t)+3cos(3t) et cos(3t)=4cos3(t )3cos( t)
y ' ( t )=cos(t )+3(4cos3(t)3cos(t ))=8cos( t)+12cos3(t )=4cos( t)(2+3cos2(t ))
y ' ( t )=4cos(t )(2+3(1sin2(t )))=4cos(t )(13sin2( t ))
y ' ( t )≥0⇔t≤arcsin(√13) et t 2=arcsin(√5
6)On pose : t 1=arcsin(√1
3) et t 2=arcsin(√56) .
On a : sin( t1)=√13
cos2(t 1)=1(13)=2
3 et cos(t1)=√ 2
3
x(t1)=cos( t1)+cos(3t1)=cos( t1)+4cos3(t1)3cos(t 1)=4cos3(t1)2cos2(t1)=2cos( t1)(2cos2(t 1)1)
x(t 1)=2√ 23(2×2
31)=2
3√ 23=
43√6
et y(t 1)=sin(t 1)+3sin(t 1)4sin3(t1)=4sin( t1)cos2(t1)
y(t1)=4√13
23=
83√3
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t 2=arcsin(√56) sin( t2)=√ 5
6 et cos(t2)=√1
6
x(t 2)=2√ 16(2×1
61)=4
3 √16=
43√6
y(t 2)=4sin( t 2)cos2( t 2)=4√56×
16=
23 √5
6
t 0 t 1 t 2
π2
x'(t) – – 0 +
y'(t) + 0 – –
x(t) 24
3√6 4
3√6
0
y(t)
0
83√3 2
3 √56 0
Remarque : on peut aussi cherche la valeur de t comprise en t 1 et t 2 telle que x(t)=0 et déterminer la tangente en ce point, pour faciliter le tracé.
Intervalle [0 ,π2 ]
Intervalle[0,π ]
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Intervalle [π ,π]
Étude de la courbe paramétrée :
x(t )=3t
1+t3 y(t )=3t2
1+t3
Ensemble de définition
Dx=ℝ∖{1} et Dy=ℝ∖{1} D=Dx∩Dy=ℝ∖{1}
On peut remarquer que : x(1t )=
3×1t
1+(1t )3=
3
t(1+ 1
t3)=
3
t+1
t 2
=3t2
t3+1=y(t )
On montrer de même que : y(1t )=x(t )
Or l'image de l'intervalle ]0,1] par la fonction inverse est [1,+∞[ . Et l'image de ]1,0[ est ]∞ ,1[ . Il suffit donc d'étudier la courbe sur l'intervalle ]1,1] . Et on obtiendra toute la
courbe en faisant une symétrie par rapport à la droite d'équation y=x .
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Étude des variations de x et y .
x(t)=3t
1+t3 y(t)=3t2
1+ t3
x ' (t )=3(1+t3)3t(3t2)
(1+t3)2 =3+3t39t3
(1+t3)2=6t3+3(1+t 3)2
=3(12t3)(1+t3)2
x ' (t )≥0⇔12t3≥0⇔1≥2t3⇔12≥t3⇔
1
213
≥t On pose : α=1
213
y ' ( t)=6t(1+t3)3t2(3t2)
(1+t 3)2=
6t+6t49t4
(1+t 3)2=
6t3t4
(1+t 3)2=
3t (2t 3)(1+t3)2
t 1 0 α 1
x'(t) + 0 + 0 –
y'(t) – + +
x(t)∞
0 223
32
y(t)+∞
0 213
32
y(α)=2×(12)
23=2
13
Étude de la branche infinie en 1
On a : limt →1t>1
x(t )= limt→1t>1
3t
1+t 3=∞ en effet : t∈ ]1,1]⇒3t<0et1+t3>0 .
limt →1t>1
y( t )= limt →1t>1
3t2
1+t 3=+∞
Les deux coordonnées tendent respectivement vers – et + ∞ , on a une branche infinie ent=1 .
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limt →1t>1
y(t )x(t )
= limt→1t>1
3t2
3t= lim
t →1t>1
t=1 .
La droite d'équation y=x est une direction asymptotique de la courbe.
limt →1t>1
y( t )+x( t)= limt →1t>1
3t2
1+t3+3t
1+t3= limt →1t>1
3t(t+1)
1+t3
a3b3=(ab)(a2+ab+b2) En changeant b en b , on obtient :
a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) et 1+t 3=(1+t)(1t+t2)
limt →1t>1
y( t )+x( t)= limt →1t>1
3t
1t+t 2=33=1
La droite d'équation : y=x1 est une asymptote à la courbe en t=1 .
Pour étudier la position de la courbe par rapport à l'asymptote, on étudie la signe de :
y(t )+x(t )+1=3t
1t+t 2+1=3t+1 t+t2
1t+t2 =1+2t+t 2
1t+t 2 =(1+ t)2
1t+t 2
Étude du signe de : 1t+t2 ∆=14=3 L'expression est toujours strictement positive.
La courbe est toujours au dessus de l'asymptote.
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Exercice 5 : la division vectorielle.
On considère A et B deux vecteurs donnés de de l'espace.Le but du problème est de déterminer tous les vecteurs X tels que :
A∧ X= B .
1- A et B peuvent-ils être quelconques ?
S'il existe X tel que : A∧ X= B alors A et B sont orthogonaux.
A et B doivent être orthogonaux.
2- Étude d'un exemple.
Soient A(1 ,2 ,3) et B(3 ,0,1) dans un repère orthonormé direct.
2-a- Vérifier que A et B sont orthogonaux.
A⋅B=xx '+yy '+zz '=1×(3)+2×0+3×1=3+3=0
On a : A⋅B=0 donc les vecteurs A et B sont orthogonaux.
2-b- Écrire le système d'équations vérifié par les coordonnées (x , y , z) de X .
On a : A(123) et X (xyz) . Donc : A∧ X(2z3y
3xzy2x )
Les coordonnées (x , y , z) de X vérifient le système d'équation :
15/22
2 3 3
3 0
2 1
z y
x z
y x
− = − − = − =
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2-c- Solutions du problème.
Les deux dernières égalités du système donnent :y=1+2x et z=3x .
On peut vérifier que ces deux égalités entraînent la troisième.2(3x)3(1+2x)=3
Les solutions du système sont les vecteurs de la forme : X( x1+2x
3x )Les solutions forment donc une droite affine.
2-d- Combien existe-t-il de vecteurs solutions orthogonaux à A et B ? Les expliciter.
On veut X⋅A=0 et X⋅B=0 soit : x+2(1+2x)+3(3x)=0 et 3x+3x=0
La seconde égalité est toujours vérifiée. La première donne : 14x=2⇒ x=17
X ( x1+2x
3x )= X (
17
1+2×(17)
3(17) )= X (
17
57
37)
Il existe un unique vecteur solution orthogonal à A et B . X(
17
57
37)
2-e- Démontrez que tout vecteur solution du problème peut s'écrire :X0+λ A où λ est un réel et où X0 est un vecteur particulier solution du problème.
X( x1+2x
3x )=(010)+x(123) On pose X0(010) et λ=x .
A∧ X= A∧( X 0+λ A)= A∧ X0+λ A∧A= A∧ X 0= 0
16/22
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Tout vecteur solution du problème peut s'écrire :X0+λ A où λ est un réel et où X0(0,1,0) est un vecteur particulier solution du problème.
2-f- Déterminer l'ensemble des points M tels que : A∧ HM=B où H est le point de coordonnées (1,1,1) .
On a : HM= X 0+λ A Soit M 0 le point qui vérifie HM= X 0 .
HM= HM 0+λ A⇔M 0M =λ X .
C'est la droite passant par le point M 0(1,2,1) de vecteur directeur A .
3- Cas général.
3-a- Prouvez que si X0 est une solution particulière, alors X est solution du problème si et seulement si : A∧( X X0)=0
Soit X0 tel que : A∧ X 0= B .
A∧ X= B⇔ A∧ X= A∧X 0⇔ A∧( X X 0)=0
X est solution du problème si et seulement si : A∧( X X0)=0
3-b- Quelles sont les solutions du problème ?
A∧( X X0)=0 Si et seulement si A et X sont colinéaires c'est-à-dire si :
X X0=λ A⇔ X= A+λ X 0
Les solutions du problème sont les vecteurs de la forme :X=A+λ X 0 avec λ∈ℝ .
3-c- Démontrer qu'il existe une unique solution orthogonale à A et B .
On veut donc que la solution X0 soit orthogonale à A et B .Donc colinéaire à A∧ B . Soit X0=λ A∧B .
17/22
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∥A∧( A∧B)∥=∥A∥×∣λ∣×∥A∧B∥=∣λ∣∥A∥2×∥B∥ Et ∣λ∣∥A∥2×∥B∥=∥B∥⇒∣λ∣=1
∥A∥2
A , B etA∧B sont en sens direct. Donc A , A∧ B , B sont en sens indirect. Et donc :
λ=1
∥A∥2
L'unique solution orthogonale à A et B est : A∧B
∥A∥2
3-d- Exprimer les solutions du problème en fonction de A et B .
Les solutions du problème sont : X=A∧B
∥A∥2 +λ A avec λ∈ℝ .
3-e- Si H , K et L sont 3 points donnés, quel est l'ensemble des points M tels que :
HK∧ HM=HL ?
On pose : A= HK et B=HL . On doit donc avoir : HM=A∧B
∥A∥2 +λ A .
L'ensemble des solutions est une droite de direction HK .
4- La méthode de résolution de la division vectorielle va rappelle-elle un autre type de problème ?
Les équations différentielles linéaires.
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Exercice 6 : « Nous sommes à 8 000 kilomètres ….. »
On entend souvent cette phrase. Mais a-on déjà effectué le calcul ?
L'espace est muni d'un repère orthonormé direct (O , i , j , k) .On considère les points M 1 et M 2 de coordonnées sphériques (R,θ1 ,φ1) et
M 2(R,θ2 ,φ2) où θ1 et θ2 sont les colatitudes et φ1 et φ2 les longitudes.
1- Exprimons : OM 1⋅ OM 2 en fonction de R,θ1 ,φ1 ,θ2 ,φ2 .
On a : OM 1(Rsin(θ1)cos(φ1)Rsin(θ1)sin(φ1)
Rcos(θ1)) et OM 2(
Rsin(θ2)cos(φ2)Rsin(θ2)sin(φ2)
Rcos(θ2)) . On en déduit que :
OM 1⋅ OM 2=R2(sin(θ1)cos(φ1)sin(θ2)cos(φ2)+sin(θ1)sin(φ1)sin(θ2)sin(φ2)cos(θ1)cos(θ2))
OM 1⋅ OM 2=R2(sin(θ1)sin(θ2)(cos(φ1)cos(φ2)+sin(φ1)sin(φ2))+cos(θ1)cos(θ2))
OM 1⋅ OM 2=R2(sin(θ1)sin(θ2)(cos(φ1φ2))+cos(θ1)cos(θ2))
2- Si on note α∈[0,π] la mesure de l'angle des vecteurs OM 1 et OM 2 , déduire de 1- que :OM 1⋅ OM 2=∥ OM 1∥∥ OM 2∥cos(α)=R2 cos(α) . D'après la question précédente, on en déduit
que :
cos(α)=sin(θ1)sin(θ2)(cos(φ1φ2))+cos(θ1)cos(θ2) et donc :
α=arccos(sin(θ1)sin(θ2)cos(φ1φ2)+cos(θ1)cos(θ2))
3- Exprimer la valeur de α en fonction de λ1 , λ2 , φ1 et φ2 où λ1 et λ2 sont les latitudes des points M 1 et M 2 .
On a : θ1=π2λ1 et θ2=
π2λ2 .
α=arccos(sin( π2λ1)sin( π2λ2)cos(φ1φ2)+cos(π2λ1)cos( π2λ2))α=arccos(cos(λ1)cos(λ2)cos(φ1φ2)+sin(λ1)sin(λ2))
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4- Si on considère le cercle C de centre O passant par les points M 1 et M 2 .On note L=M 1M 2 la longueur de l'arc de C compris entre M 1 et M 2 .Exprimer L en fonction de α et R .
L=α×R α exprimé en radian.
5- Application : calculer la distance Guadeloupe-Paris.
Vous pouvez aussi calculer la distance entre 2 villes de votre choix en cherchant leurs coordonnées sur internet.
On considère que le rayon de la Terre est : R=6380km
Guadeloupe : 16°15' de latitude Nord et 61°35' de longitude Ouest Paris : 48°52 de latitude Nord , 2°20' de longitude Est.
λ1=(16+15/60)×( π180)≃0,2836 Radians.
φ1=(61+35/60)×( π180)≃1,0748
λ2=(48+52/60)×( π180)≃0,8529
φ2=(2+20/60)×( π180)≃0,0407
On a : α=arccos(cos(λ1)cos(λ2)cos(φ1φ2)+sin(λ1)sin(λ2)) .
cos(λ1)cos(λ2)cos(φ1φ2)+sin(λ1)sin(λ2)≃0,1926
α≃arcccos(0,282)≃1,0605
L=α×R≃1,0605×6380≃6766
La distance Guadeloupe-Paris est 6766 km
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Barème : N note sur 20 et T total sur 126 : N=T86×20
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Total 126
Exercice 2 20
1- équa .polaire D 12- équa. polaire N 1,53-a- réduction intervalle 23-b- signe 13-b- dérivé 1,53-b- tableau 23-b- branche infinie 23-c- signe 13-c- tableau 23-c- branche infinie 14-a- trisection de l'angle. 3Tracé 2
Exercice 3 25
1-a- équa. Polaire delta 11-b- équa. Polaire de C 21-c- équa. Polaire de D 22-a- réduction intervalle 22-b- étude du signe 1,52-b- dérivée 1,52-b- tableau 22-b- branche infinie 22-b- tracé 23-a- équation D 33-a- équation droite (IU) 23-b- y_0 3=2x_0 3 33-c- ordonnée de W 1
Exercice 4 42,51- 201- ensemble de définition 11- réduction d'intervalle 31- dérivée de x 21- signe de x' 21- tableau de x 21- dérivée de y 21- signe de y' 21- tableau de y 2
211
2- 22,52- ensemble de définition 12- réduction d'intervalle 1,52- dérivée de x 22- signe de x' 22- tableau de x 22- dérivée de y 22- signe de y' 22- tableau de y 2
211
2- branche infinies 12- direction asymptotique 12-asymptote. 2
1-tracé : points1-tracé ; symétrie1-tracé : tangentes.
2-tracé : points2-tracé ; symétrie2-tracé : tangentes.
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*** Fin du corrigé ***
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Exercice 5 21,5
1- A et B orthogonaux 1,52-a- produit scalaire=0 12-b- système 32-c- solutions 22-d- solution unique 22-e- X0+lambda A 12-f- ensemble des points M 13-a- relation A,X,X0 23-b- solutions 23-c- unique solution ortho. 23-d-solutions A et B 13-e- ensemble de points 24-équa diff. 1
Exercice 6 17
1- OM1.OM2 62-alpha=arccoos() 33-alpha en fonction de lati 24-L=alpha R 25-calcul de distance. 4