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Sciences industrielles TD Cineacutematique - Statique
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Exercice de rappel sur la cineacutematique et la statique des solides
Echelle Pivotante Automatique agrave commande Seacutequentielle
Une EPAS est une Echelle Pivotante Automatique agrave commande Seacutequentielle
Ce systegraveme conccedilu et commercialiseacute par la socieacuteteacute CAMIVA est monteacute sur le chacircssis drsquoun camion de pompiers et permet de deacuteplacer une plate-forme pouvant recevoir deux
personnes et un brancard le plus rapidement possible et en toute seacutecuriteacute
Le deacuteplacement de la plate-forme est reacutealiseacute suivant trois axes voir figure 2
bull Le deacuteploiement du parc eacutechelle (axe 1) Chaque plan de lrsquoeacutechelle peut se
translater par rapport aux autres seul le quatriegraveme plan drsquoeacutechelle est
solidaire du berceau
bull Le pivotement autour de lrsquoaxe Y (axe 2) La tourelle 1 peut pivoter par rapport
au chacircssis autour drsquoun axe vertical
bull La rotation autour de lrsquoaxe Z (axe 3) Le berceau peut tourner par rapport agrave la
tourelle 2 autour drsquoun axe horizontal
Un systegraveme de seacutecuriteacute peut agrave tout moment stopper le deacuteplacement de la plate-forme
srsquoil y a un risque de basculement du camion porteur
Des capteurs drsquoefforts placeacutes sur le parc eacutechelle permettent de tenir compte de la charge
dans la plate-forme
Des capteurs de position sur les trois axes permettent de deacutefinir la position de la plate-
forme
Des capteurs inductifs deacutetectent la position de sortie des stabilisateurs
Figure 1 Diagramme de contexte
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ETUDE DE LrsquoAXE 3
Le systegraveme de dressageabaissement reacutealise la rotation de la plate-forme autour drsquoun axe horizontal Z
On propose le parameacutetrage sur le systegraveme de la figure 3 puis sur le scheacutema cineacutematique de la figure 4
Figure 2
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Parameacutetrage
Le repegravere ( )00000 zyxOR
= est lieacute au chacircssis fixe (0) avec 00 yaAO= et 00 xbBO
=
Le repegravere ( )0555 zyxAR
= est lieacute agrave lrsquoensemble parc eacutechelle (5) avec ( )0 5 0 5 ( )x x y y = =
5OA dx= 5xcAC= 5xHAD
=
Le repegravere ( )0333 zyxBR
= est lieacute agrave la tige du veacuterin (3) avec 3( )BC y t y= ( )0 3 0 3 ( )x x y y = =
Les liaisons aux points A B et C sont des liaisons pivots drsquoaxe 0z
Le cylindre creux du veacuterin (4) est en liaison pivot glissant drsquoaxe ( )3C y avec la tige (3)
La plate forme (6) de centre drsquoinertie Gp est en liaison pivot drsquoaxe ( )0D z avec le parc-
eacutechelle (5) 0 0p G GDG x x y y= +
On tiendra compte dans cette partie du fait que la plate-forme reste toujours horizontale
Partie I Etude Cineacutematique
Notation preacuteconiseacutee On utilisera lrsquoeacutecriture suivante pour les torseurs cineacutematiques du
mouvement du solide par rapport au solide ( )
( )( )
M
j ij i
V M j i
=
Questions
Q1 Tracer les figures planes de calcul
Q2 Ecrire au point A le torseur cineacutematique (5 0)A
puis deacuteduire au point O le
torseur cineacutematique (5 0)O
O0 0x
0y
A
C
D
5x
5y
3x
3y
PARC ECHELLE (5)
CHASSIS (0)
TIGE VERIN (3)
CYLINDRE VERIN (4)
PLATE-FORME (6)
B
O
Figure 4 Scheacutema cineacutematique
Gp
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Q3 Calculer le vecteur vitesse 0( 5 )V D R
Q4 Quelle est la nature de mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0)
Q5 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 6 )PV G R
Q6 Calculer le vecteur vitesse 0( 3 )V C R
Q7 Calculer le vecteur vitesse ( 4 3)V C
Q8 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 4 )V C R
Q9 En faisant une fermeture geacuteomeacutetrique deacuteterminez la position ( )y t en fonction de
lrsquoangle ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Q10 En faisant une fermeture de chaicircne cineacutematique deacuteterminez la vitesse de sortie
du veacuterin ( )y t en fonction de la vitesse angulaire ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Partie II Etude statique
Lrsquoobjet de cette eacutetude est de
- Deacuteterminer lrsquoeffort du veacuterin qui permet de maintenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoeacutechelle et la charge
- Deacuteterminer le couple du moteur permettant de maintenir la plate forme horizontale
Le problegraveme sera consideacutereacute plan
Toutes les liaisons seront consideacutereacutees parfaites et sont listeacutees comme suit
L(03) liaison pivot drsquoaxe 0(Bz ) L(56) liaison pivot drsquoaxe 0(Dz )
L(05) liaison pivot drsquoaxe 0(A z ) L(34) liaison pivot glissant de direction 3y
L(54) liaison pivot drsquoaxe 0(Cz )
Le problegraveme eacutetant plan donc lrsquoaction meacutecanique dans une liaison entre deux solides (i) et (j) sera modeacuteliseacutee par le glisseur
avec R(i j)rarr situeacutee dans le plan
On propose le parameacutetrage suivant
Le repegravere ( )00000 zyxOR
= est lieacute au chacircssis fixe (0) avec 00 yaAO= et 00 xbBO
=
Le repegravere ( )0555 zyxAR
= est lieacute agrave lrsquoensemble parc eacutechelle(5) avec ( )0 5 0 5 ( )x x y y = =
5OA dx= 5xcAC= 5xHAD
=
Le parc-eacutechelle (5) est de masse m et de centre de graviteacute G tel que 5532
yh
xL
OG+=
Le repegravere ( )0333 zyxBR
= est lieacute agrave la tige du veacuterin hydraulique (3+4) avec 3( )BC y t y=
( )0 3 0 3 ( )x x y y = = La masse du veacuterin est neacutegligeacutee devant les autres masses
Lrsquohuile sous pression du veacuterin hydraulique (3+4) devra exercer un effort modeacuteliseacute par
un glisseur de reacutesultante v v 3F F y= permettant de garder lrsquoensemble (5) en eacutequilibre
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La plate forme chargeacutee (6) Pendant le dressage ou lrsquoabaissement la plate-forme reste toujours horizontale
Sa masse une fois chargeacutee sera noteacutee M et son centre de graviteacute est le point GP tel
que 0 0p G GDG x x y y= +
La plate forme (6) est maintenue horizontale gracircce agrave un moteur exerccedilant un couple
moteur m 0 D
0(Moteur 6)
C z
rarr =
Lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur 0g = -gy
Questions
Q11 Etablir le graphe drsquoanalyse des actions meacutecaniques
Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc
eacutechelle (5) au point G
Q13 Ecrire la forme des torseurs drsquoactions meacutecaniques transmissibles dans les
liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan i i(x y )
Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur
lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y
Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection
sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv
Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Partie I Corrigeacute
Q1 Tracer les figures planes de calcul
Q2 Ecrire au point A le torseur cineacutematique (5 0)A
puis deacuteduire au point O le
torseur cineacutematique (5 0)O
0 3 5z z z= =
0x
0y
5x
5y 3x
3y
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0(5 0)(5 0)
( 5 0) 0A
A A
z
V A
== =
(5 0)
(5 0)( 5 0)
O
OV O
==
On a
0 0 0 5
5
( ) ( )( 5 0)
RR R
dO O d O A AO d a y dxV O d y
dt dt dt
+ minus = = = = minus
0
5
(5 0)
O
O
z
d y
==
minus
Q3 Calculer le vecteur vitesse 0( 5 )V D R
0 0 5
0 5
( ) ( )( 5 )
RR
d O A AD d a y HxV D R H y
dt dt
+ + == = =
Q4 Quelle est la nature de mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0)
Mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0) Translation circulaire
Q5 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 6 )PV G R
0 0 0
uml 0
( 6 ) ( 6 ) ( 6 5) ( 5 )P
pivot
V G R V D R V D V D R
=
= = +
0 0 5 ( 6 ) ( 5 ) PV G R V D R H y = =
Q6 Calculer le vecteur vitesse 0( 3 )V C R
0 0 0 3 0 3
0
( 3 ) ( 3 ) (3 ) ( ) ( )
pivot
V C R V B R CB R y t y z y t x
=
= + = minus = minus
Q7 Calculer le vecteur vitesse ( 4 3)V C
33
3
3
( ( ) )( )( 4 3) ( )
RR
d y t yd BCV C y t y
dt dt
= = =
Q8 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 4 )V C R
0 0 3 3( 4 ) ( 4 3) ( 3 ) ( ) ( ) V C R V C V C R y t y y t x = + = + minus
Q9 En faisant une fermeture geacuteomeacutetrique deacuteterminez la position ( )y t en fonction de
lrsquoangle ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Fermeture geacuteomeacutetrique
0 0O B BC CA AO 0+ + + = ce qui srsquoexprime en fonction du parameacutetrage
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0 3 5 0b x y(t) y c x a y 0+ minus minus =
En projection respectivement sur 0x
et sur 0y
0
0
Pr oj x b y(t)sin ccos 0
Pr oj y y(t) cos csin a 0
minus minus =
minus minus =
y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
( ) ( )2 2
y(t) b ccos csin a = minus + +
Q10 En faisant une fermeture de chaicircne cineacutematique deacuteterminez la vitesse de sortie
du veacuterin ( )y t en fonction de la vitesse angulaire ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
0 0
uml 0
( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0
pivot
V C V C V C R V C R
=
= + minus =
On a 0 0 5
0 5
( ) ( )( 5 )
RR
d O A AC d a y c xV C R c y
dt dt
+ + == = =
Donc 3 3 5( ) ( ) 0y t y y t x c y minus minus =
Proj 3 y 5 3( ) cos( ) (3)y t c y y c = = minus
( ) ( ) cos cos sin siny t c = +
Drsquoapregraves la question 9 y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
b ccossin
y(t)
csin acos
y(t)
minus=
+ =
Ce qui donne ( )( ) sin cos cos sin( )
cy t c a b c
y t == + + minus
( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == +
Partie II corrigeacute
Q11 Etablir le graphe drsquoanalyse des actions meacutecaniques
0
3 5
4
Pivot ( )0 zB
Pivot ( )0 zA
Pivot glissant ( )BC Pivot ( )0 zC
6
Pesanteur
Huile
Moteur
( )0Pivot Dz
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Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc
eacutechelle (5) au point G
Q13 Ecrire la forme des torseurs des actions meacutecaniques transmissibles dans les
liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan
Liaisons
Torseurs des actions
meacutecaniques transmissibles
dans lrsquoespace
Torseurs des actions meacutecaniques
transmissibles dans le plan i i(x y )
L4-5
L4-5
Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur
lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y
On applique le theacuteoregraveme du moment statique au point B sur le veacuterin (3+4)
( ) ( ) ( ) ( )B C C
0 pivot dans le plan 0 pivot dans le plan
M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0
= =
rarr + rarr = rarr + rarr =
la reacutesultante ( )R 5 4rarr est porteacutee par la droite (BC) = ( )3Cy
Donc 5 4 rarr 54 3R( )=R y 4 5 rarr 45 3R( )=R y
Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection
sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv
Theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection sur 3y
( ) ( ) ( )3
3 3 3
0 y
54 v 54 v
R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0
R F 0 R F
= pivot glissant daxe
=-
rarr + rarr + rarr =
+ =
45 vR F =
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Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point A sur lrsquoensemble (E) = 56
( ) ( ) ( ) ( )A A A A
0
M 4 5 M 0 5 M pesanteur 5 M pesanteur 6 0
pivot=
rarr + rarr + rarr + rarr =
( ) ( ) ( ) ( )A C 5 45 3 45 0M 4 5 M 4 5 AC R 4 5 cx R y cR cos z rarr = rarr + rarr = = minus
( ) ( )A G 0 5 5 0
0
L hM pesanteur 5 M g 5 AG mg y d x y mg y
2 3
rarr = rarr + minus = minus + minus
( )A 0
L hM Pesanteur 5 mg d cos sin z
2 3
rarr = minus minus minus
( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0
0
M pesanteur 6 M g 6 AG Mg y Hx x x y yrarr = rarr + minus = + + 0Mg y minus
( ) A G 0M pesanteur 6 Mg Hcos x z rarr = minus +
On peut eacutecrire
( ) 45 0 0 G 0
L hcR cos z mg d cos sin z Mg Hcos x z 0
2 3
minus minus minus minus minus + =
On a 45 vR F = la relation (3) cos( ) = ( )c y t minus ( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == + et
119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )
( )
2 2cos sin1
cos( ) ( ) cos sin
b c c a
c y t c a b
minus + + = =
minus +
Donc
( ) ( )
( )
2 2
v G
b ccos csin a L hF mg d cos sin Mg Hcos x
c a cos bsin 2 3
minus + + = minus minus + +
+
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point D sur (6)
( ) ( ) ( )m 0 0
D D D
C z 0 Mgy
M Moteur 6 M 5 6 M pesanteur 6 0
p pivot = DG= = minus
rarr + rarr + rarr =
m 0 0 0 C G Gz x x y y + +( ) 0 0Mgy minus = m 0 0 C 0Gz Mgx z minus =
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(S)
O
G
˟P
Cineacutetique des systegravemes mateacuteriels
1 Masse et inertie
La cineacutetique est lrsquoeacutetude des caracteacuteristiques drsquoinertie
11 Notions drsquoinertie
La masse ne suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation Pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en compte la reacutepartition de cette
masse sur le solide
Lrsquoinertie caracteacuterise la reacutesistance qursquooppose un corps par sa nature propre agrave une variation de mouvement
La masse suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation mais pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en consideacuteration la reacutepartition de
cette masse sur le solide
12 Principe de conservation de la masse
Un ensemble mateacuteriel (E) veacuterifie le principe de conservation de la masse si tout sous
ensemble mateacuteriel (e) de lrsquoensemble (E) a une masse m(e) constante au cours du temps soit
Conseacutequence
Pour un systegraveme mateacuteriel consideacutereacute comme un ensemble de points P chacun de
masse eacuteleacutementaire dm et sur lequel on a deacutefini une fonction vectorielle on peut alors deacutemontrer que
pour tout repegravere R
13 Centre drsquoinertie drsquoun solide
131 Deacutefinition
Pour un solide S de masse m on appelle centre drsquoinertie
le point G deacutefini par
Ce qui donne
Forme du solide Expression de dm Centre drsquoinertie
Volume
Surface
Ligne
1 OG OP d
L=
NB Le centre drsquoinertie appartient agrave la symeacutetrie caracteacuterisant les solides
Applications 1 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
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2 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-disque homogegravene de rayon R
132 Centre drsquoinertie drsquoun ensemble mateacuteriel
Soit un ensemble mateacuteriel E constitueacute de n solides Si et
Exemple
Deacuteterminer le centre drsquoinertie du solide (S) composeacute drsquoun cylindre creux (S1) et drsquoun paralleacuteleacutepipegravede (S2)
On note
mi masse et Gi centre drsquoinertie du solide (Si)
a
b
h
Ri
Re
O=G1
O
R
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
r
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
R
(S2)
(S1)
G2
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avec et
On aura donc
133 Theacuteoregravemes de Guldin
Lrsquoutilisation de theacuteoregraveme de Guldin permet de simplifier le calcul de la position du centre drsquoinertie pour les
solides ayant un axe de reacutevolution
a) Premier theacuteoregraveme de Guldin
Lrsquoaire de la surface engendreacutee par une courbe plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant
pas est eacutegale au produit de la longueur de la courbe par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de
graviteacute
Deacutemonstration
0n considegravere une courbe (C) de longueur L de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la courbe tel que
En projection sur un axe contenu dans la plan contenant
La courbe et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de surface ds=rdθdℓ
La surface engendreacutee par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
b) Deuxiegraveme theacuteoregraveme de Guldin
Le volume engendreacute par une surface plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant pas est eacutegal
au produit de lrsquoaire de la surface par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de graviteacute
r
dℓ
dθ
O
rG
G
r
O
La rotation du demi fil de longueur (L) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere creuse de surface (S)
1er theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
(Δ)
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Deacutemonstration
0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la surface tel que
En projection sur un axe appartenant au plan contenant
La surface et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ
Le volume engendreacute par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
2 Moments et produits drsquoinertie
Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition
de la masse sur un solide
21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un
point A la quantiteacute positive
22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive
En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)
on deacuteduit donc
23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien
Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons
- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O
x
y
O
z (Δ)
i
P
H
(S) A
G
rG
r
r
O
P
dθ
(Δ)
O
La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)
2egraveme theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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ETUDE DE LrsquoAXE 3
Le systegraveme de dressageabaissement reacutealise la rotation de la plate-forme autour drsquoun axe horizontal Z
On propose le parameacutetrage sur le systegraveme de la figure 3 puis sur le scheacutema cineacutematique de la figure 4
Figure 2
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Parameacutetrage
Le repegravere ( )00000 zyxOR
= est lieacute au chacircssis fixe (0) avec 00 yaAO= et 00 xbBO
=
Le repegravere ( )0555 zyxAR
= est lieacute agrave lrsquoensemble parc eacutechelle (5) avec ( )0 5 0 5 ( )x x y y = =
5OA dx= 5xcAC= 5xHAD
=
Le repegravere ( )0333 zyxBR
= est lieacute agrave la tige du veacuterin (3) avec 3( )BC y t y= ( )0 3 0 3 ( )x x y y = =
Les liaisons aux points A B et C sont des liaisons pivots drsquoaxe 0z
Le cylindre creux du veacuterin (4) est en liaison pivot glissant drsquoaxe ( )3C y avec la tige (3)
La plate forme (6) de centre drsquoinertie Gp est en liaison pivot drsquoaxe ( )0D z avec le parc-
eacutechelle (5) 0 0p G GDG x x y y= +
On tiendra compte dans cette partie du fait que la plate-forme reste toujours horizontale
Partie I Etude Cineacutematique
Notation preacuteconiseacutee On utilisera lrsquoeacutecriture suivante pour les torseurs cineacutematiques du
mouvement du solide par rapport au solide ( )
( )( )
M
j ij i
V M j i
=
Questions
Q1 Tracer les figures planes de calcul
Q2 Ecrire au point A le torseur cineacutematique (5 0)A
puis deacuteduire au point O le
torseur cineacutematique (5 0)O
O0 0x
0y
A
C
D
5x
5y
3x
3y
PARC ECHELLE (5)
CHASSIS (0)
TIGE VERIN (3)
CYLINDRE VERIN (4)
PLATE-FORME (6)
B
O
Figure 4 Scheacutema cineacutematique
Gp
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Q3 Calculer le vecteur vitesse 0( 5 )V D R
Q4 Quelle est la nature de mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0)
Q5 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 6 )PV G R
Q6 Calculer le vecteur vitesse 0( 3 )V C R
Q7 Calculer le vecteur vitesse ( 4 3)V C
Q8 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 4 )V C R
Q9 En faisant une fermeture geacuteomeacutetrique deacuteterminez la position ( )y t en fonction de
lrsquoangle ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Q10 En faisant une fermeture de chaicircne cineacutematique deacuteterminez la vitesse de sortie
du veacuterin ( )y t en fonction de la vitesse angulaire ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Partie II Etude statique
Lrsquoobjet de cette eacutetude est de
- Deacuteterminer lrsquoeffort du veacuterin qui permet de maintenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoeacutechelle et la charge
- Deacuteterminer le couple du moteur permettant de maintenir la plate forme horizontale
Le problegraveme sera consideacutereacute plan
Toutes les liaisons seront consideacutereacutees parfaites et sont listeacutees comme suit
L(03) liaison pivot drsquoaxe 0(Bz ) L(56) liaison pivot drsquoaxe 0(Dz )
L(05) liaison pivot drsquoaxe 0(A z ) L(34) liaison pivot glissant de direction 3y
L(54) liaison pivot drsquoaxe 0(Cz )
Le problegraveme eacutetant plan donc lrsquoaction meacutecanique dans une liaison entre deux solides (i) et (j) sera modeacuteliseacutee par le glisseur
avec R(i j)rarr situeacutee dans le plan
On propose le parameacutetrage suivant
Le repegravere ( )00000 zyxOR
= est lieacute au chacircssis fixe (0) avec 00 yaAO= et 00 xbBO
=
Le repegravere ( )0555 zyxAR
= est lieacute agrave lrsquoensemble parc eacutechelle(5) avec ( )0 5 0 5 ( )x x y y = =
5OA dx= 5xcAC= 5xHAD
=
Le parc-eacutechelle (5) est de masse m et de centre de graviteacute G tel que 5532
yh
xL
OG+=
Le repegravere ( )0333 zyxBR
= est lieacute agrave la tige du veacuterin hydraulique (3+4) avec 3( )BC y t y=
( )0 3 0 3 ( )x x y y = = La masse du veacuterin est neacutegligeacutee devant les autres masses
Lrsquohuile sous pression du veacuterin hydraulique (3+4) devra exercer un effort modeacuteliseacute par
un glisseur de reacutesultante v v 3F F y= permettant de garder lrsquoensemble (5) en eacutequilibre
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La plate forme chargeacutee (6) Pendant le dressage ou lrsquoabaissement la plate-forme reste toujours horizontale
Sa masse une fois chargeacutee sera noteacutee M et son centre de graviteacute est le point GP tel
que 0 0p G GDG x x y y= +
La plate forme (6) est maintenue horizontale gracircce agrave un moteur exerccedilant un couple
moteur m 0 D
0(Moteur 6)
C z
rarr =
Lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur 0g = -gy
Questions
Q11 Etablir le graphe drsquoanalyse des actions meacutecaniques
Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc
eacutechelle (5) au point G
Q13 Ecrire la forme des torseurs drsquoactions meacutecaniques transmissibles dans les
liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan i i(x y )
Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur
lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y
Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection
sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv
Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Partie I Corrigeacute
Q1 Tracer les figures planes de calcul
Q2 Ecrire au point A le torseur cineacutematique (5 0)A
puis deacuteduire au point O le
torseur cineacutematique (5 0)O
0 3 5z z z= =
0x
0y
5x
5y 3x
3y
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0(5 0)(5 0)
( 5 0) 0A
A A
z
V A
== =
(5 0)
(5 0)( 5 0)
O
OV O
==
On a
0 0 0 5
5
( ) ( )( 5 0)
RR R
dO O d O A AO d a y dxV O d y
dt dt dt
+ minus = = = = minus
0
5
(5 0)
O
O
z
d y
==
minus
Q3 Calculer le vecteur vitesse 0( 5 )V D R
0 0 5
0 5
( ) ( )( 5 )
RR
d O A AD d a y HxV D R H y
dt dt
+ + == = =
Q4 Quelle est la nature de mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0)
Mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0) Translation circulaire
Q5 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 6 )PV G R
0 0 0
uml 0
( 6 ) ( 6 ) ( 6 5) ( 5 )P
pivot
V G R V D R V D V D R
=
= = +
0 0 5 ( 6 ) ( 5 ) PV G R V D R H y = =
Q6 Calculer le vecteur vitesse 0( 3 )V C R
0 0 0 3 0 3
0
( 3 ) ( 3 ) (3 ) ( ) ( )
pivot
V C R V B R CB R y t y z y t x
=
= + = minus = minus
Q7 Calculer le vecteur vitesse ( 4 3)V C
33
3
3
( ( ) )( )( 4 3) ( )
RR
d y t yd BCV C y t y
dt dt
= = =
Q8 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 4 )V C R
0 0 3 3( 4 ) ( 4 3) ( 3 ) ( ) ( ) V C R V C V C R y t y y t x = + = + minus
Q9 En faisant une fermeture geacuteomeacutetrique deacuteterminez la position ( )y t en fonction de
lrsquoangle ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Fermeture geacuteomeacutetrique
0 0O B BC CA AO 0+ + + = ce qui srsquoexprime en fonction du parameacutetrage
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0 3 5 0b x y(t) y c x a y 0+ minus minus =
En projection respectivement sur 0x
et sur 0y
0
0
Pr oj x b y(t)sin ccos 0
Pr oj y y(t) cos csin a 0
minus minus =
minus minus =
y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
( ) ( )2 2
y(t) b ccos csin a = minus + +
Q10 En faisant une fermeture de chaicircne cineacutematique deacuteterminez la vitesse de sortie
du veacuterin ( )y t en fonction de la vitesse angulaire ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
0 0
uml 0
( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0
pivot
V C V C V C R V C R
=
= + minus =
On a 0 0 5
0 5
( ) ( )( 5 )
RR
d O A AC d a y c xV C R c y
dt dt
+ + == = =
Donc 3 3 5( ) ( ) 0y t y y t x c y minus minus =
Proj 3 y 5 3( ) cos( ) (3)y t c y y c = = minus
( ) ( ) cos cos sin siny t c = +
Drsquoapregraves la question 9 y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
b ccossin
y(t)
csin acos
y(t)
minus=
+ =
Ce qui donne ( )( ) sin cos cos sin( )
cy t c a b c
y t == + + minus
( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == +
Partie II corrigeacute
Q11 Etablir le graphe drsquoanalyse des actions meacutecaniques
0
3 5
4
Pivot ( )0 zB
Pivot ( )0 zA
Pivot glissant ( )BC Pivot ( )0 zC
6
Pesanteur
Huile
Moteur
( )0Pivot Dz
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Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc
eacutechelle (5) au point G
Q13 Ecrire la forme des torseurs des actions meacutecaniques transmissibles dans les
liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan
Liaisons
Torseurs des actions
meacutecaniques transmissibles
dans lrsquoespace
Torseurs des actions meacutecaniques
transmissibles dans le plan i i(x y )
L4-5
L4-5
Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur
lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y
On applique le theacuteoregraveme du moment statique au point B sur le veacuterin (3+4)
( ) ( ) ( ) ( )B C C
0 pivot dans le plan 0 pivot dans le plan
M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0
= =
rarr + rarr = rarr + rarr =
la reacutesultante ( )R 5 4rarr est porteacutee par la droite (BC) = ( )3Cy
Donc 5 4 rarr 54 3R( )=R y 4 5 rarr 45 3R( )=R y
Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection
sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv
Theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection sur 3y
( ) ( ) ( )3
3 3 3
0 y
54 v 54 v
R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0
R F 0 R F
= pivot glissant daxe
=-
rarr + rarr + rarr =
+ =
45 vR F =
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Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point A sur lrsquoensemble (E) = 56
( ) ( ) ( ) ( )A A A A
0
M 4 5 M 0 5 M pesanteur 5 M pesanteur 6 0
pivot=
rarr + rarr + rarr + rarr =
( ) ( ) ( ) ( )A C 5 45 3 45 0M 4 5 M 4 5 AC R 4 5 cx R y cR cos z rarr = rarr + rarr = = minus
( ) ( )A G 0 5 5 0
0
L hM pesanteur 5 M g 5 AG mg y d x y mg y
2 3
rarr = rarr + minus = minus + minus
( )A 0
L hM Pesanteur 5 mg d cos sin z
2 3
rarr = minus minus minus
( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0
0
M pesanteur 6 M g 6 AG Mg y Hx x x y yrarr = rarr + minus = + + 0Mg y minus
( ) A G 0M pesanteur 6 Mg Hcos x z rarr = minus +
On peut eacutecrire
( ) 45 0 0 G 0
L hcR cos z mg d cos sin z Mg Hcos x z 0
2 3
minus minus minus minus minus + =
On a 45 vR F = la relation (3) cos( ) = ( )c y t minus ( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == + et
119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )
( )
2 2cos sin1
cos( ) ( ) cos sin
b c c a
c y t c a b
minus + + = =
minus +
Donc
( ) ( )
( )
2 2
v G
b ccos csin a L hF mg d cos sin Mg Hcos x
c a cos bsin 2 3
minus + + = minus minus + +
+
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point D sur (6)
( ) ( ) ( )m 0 0
D D D
C z 0 Mgy
M Moteur 6 M 5 6 M pesanteur 6 0
p pivot = DG= = minus
rarr + rarr + rarr =
m 0 0 0 C G Gz x x y y + +( ) 0 0Mgy minus = m 0 0 C 0Gz Mgx z minus =
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(S)
O
G
˟P
Cineacutetique des systegravemes mateacuteriels
1 Masse et inertie
La cineacutetique est lrsquoeacutetude des caracteacuteristiques drsquoinertie
11 Notions drsquoinertie
La masse ne suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation Pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en compte la reacutepartition de cette
masse sur le solide
Lrsquoinertie caracteacuterise la reacutesistance qursquooppose un corps par sa nature propre agrave une variation de mouvement
La masse suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation mais pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en consideacuteration la reacutepartition de
cette masse sur le solide
12 Principe de conservation de la masse
Un ensemble mateacuteriel (E) veacuterifie le principe de conservation de la masse si tout sous
ensemble mateacuteriel (e) de lrsquoensemble (E) a une masse m(e) constante au cours du temps soit
Conseacutequence
Pour un systegraveme mateacuteriel consideacutereacute comme un ensemble de points P chacun de
masse eacuteleacutementaire dm et sur lequel on a deacutefini une fonction vectorielle on peut alors deacutemontrer que
pour tout repegravere R
13 Centre drsquoinertie drsquoun solide
131 Deacutefinition
Pour un solide S de masse m on appelle centre drsquoinertie
le point G deacutefini par
Ce qui donne
Forme du solide Expression de dm Centre drsquoinertie
Volume
Surface
Ligne
1 OG OP d
L=
NB Le centre drsquoinertie appartient agrave la symeacutetrie caracteacuterisant les solides
Applications 1 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
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2 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-disque homogegravene de rayon R
132 Centre drsquoinertie drsquoun ensemble mateacuteriel
Soit un ensemble mateacuteriel E constitueacute de n solides Si et
Exemple
Deacuteterminer le centre drsquoinertie du solide (S) composeacute drsquoun cylindre creux (S1) et drsquoun paralleacuteleacutepipegravede (S2)
On note
mi masse et Gi centre drsquoinertie du solide (Si)
a
b
h
Ri
Re
O=G1
O
R
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
r
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
R
(S2)
(S1)
G2
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avec et
On aura donc
133 Theacuteoregravemes de Guldin
Lrsquoutilisation de theacuteoregraveme de Guldin permet de simplifier le calcul de la position du centre drsquoinertie pour les
solides ayant un axe de reacutevolution
a) Premier theacuteoregraveme de Guldin
Lrsquoaire de la surface engendreacutee par une courbe plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant
pas est eacutegale au produit de la longueur de la courbe par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de
graviteacute
Deacutemonstration
0n considegravere une courbe (C) de longueur L de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la courbe tel que
En projection sur un axe contenu dans la plan contenant
La courbe et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de surface ds=rdθdℓ
La surface engendreacutee par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
b) Deuxiegraveme theacuteoregraveme de Guldin
Le volume engendreacute par une surface plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant pas est eacutegal
au produit de lrsquoaire de la surface par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de graviteacute
r
dℓ
dθ
O
rG
G
r
O
La rotation du demi fil de longueur (L) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere creuse de surface (S)
1er theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
(Δ)
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Deacutemonstration
0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la surface tel que
En projection sur un axe appartenant au plan contenant
La surface et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ
Le volume engendreacute par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
2 Moments et produits drsquoinertie
Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition
de la masse sur un solide
21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un
point A la quantiteacute positive
22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive
En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)
on deacuteduit donc
23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien
Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons
- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O
x
y
O
z (Δ)
i
P
H
(S) A
G
rG
r
r
O
P
dθ
(Δ)
O
La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)
2egraveme theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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Parameacutetrage
Le repegravere ( )00000 zyxOR
= est lieacute au chacircssis fixe (0) avec 00 yaAO= et 00 xbBO
=
Le repegravere ( )0555 zyxAR
= est lieacute agrave lrsquoensemble parc eacutechelle (5) avec ( )0 5 0 5 ( )x x y y = =
5OA dx= 5xcAC= 5xHAD
=
Le repegravere ( )0333 zyxBR
= est lieacute agrave la tige du veacuterin (3) avec 3( )BC y t y= ( )0 3 0 3 ( )x x y y = =
Les liaisons aux points A B et C sont des liaisons pivots drsquoaxe 0z
Le cylindre creux du veacuterin (4) est en liaison pivot glissant drsquoaxe ( )3C y avec la tige (3)
La plate forme (6) de centre drsquoinertie Gp est en liaison pivot drsquoaxe ( )0D z avec le parc-
eacutechelle (5) 0 0p G GDG x x y y= +
On tiendra compte dans cette partie du fait que la plate-forme reste toujours horizontale
Partie I Etude Cineacutematique
Notation preacuteconiseacutee On utilisera lrsquoeacutecriture suivante pour les torseurs cineacutematiques du
mouvement du solide par rapport au solide ( )
( )( )
M
j ij i
V M j i
=
Questions
Q1 Tracer les figures planes de calcul
Q2 Ecrire au point A le torseur cineacutematique (5 0)A
puis deacuteduire au point O le
torseur cineacutematique (5 0)O
O0 0x
0y
A
C
D
5x
5y
3x
3y
PARC ECHELLE (5)
CHASSIS (0)
TIGE VERIN (3)
CYLINDRE VERIN (4)
PLATE-FORME (6)
B
O
Figure 4 Scheacutema cineacutematique
Gp
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Q3 Calculer le vecteur vitesse 0( 5 )V D R
Q4 Quelle est la nature de mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0)
Q5 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 6 )PV G R
Q6 Calculer le vecteur vitesse 0( 3 )V C R
Q7 Calculer le vecteur vitesse ( 4 3)V C
Q8 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 4 )V C R
Q9 En faisant une fermeture geacuteomeacutetrique deacuteterminez la position ( )y t en fonction de
lrsquoangle ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Q10 En faisant une fermeture de chaicircne cineacutematique deacuteterminez la vitesse de sortie
du veacuterin ( )y t en fonction de la vitesse angulaire ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Partie II Etude statique
Lrsquoobjet de cette eacutetude est de
- Deacuteterminer lrsquoeffort du veacuterin qui permet de maintenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoeacutechelle et la charge
- Deacuteterminer le couple du moteur permettant de maintenir la plate forme horizontale
Le problegraveme sera consideacutereacute plan
Toutes les liaisons seront consideacutereacutees parfaites et sont listeacutees comme suit
L(03) liaison pivot drsquoaxe 0(Bz ) L(56) liaison pivot drsquoaxe 0(Dz )
L(05) liaison pivot drsquoaxe 0(A z ) L(34) liaison pivot glissant de direction 3y
L(54) liaison pivot drsquoaxe 0(Cz )
Le problegraveme eacutetant plan donc lrsquoaction meacutecanique dans une liaison entre deux solides (i) et (j) sera modeacuteliseacutee par le glisseur
avec R(i j)rarr situeacutee dans le plan
On propose le parameacutetrage suivant
Le repegravere ( )00000 zyxOR
= est lieacute au chacircssis fixe (0) avec 00 yaAO= et 00 xbBO
=
Le repegravere ( )0555 zyxAR
= est lieacute agrave lrsquoensemble parc eacutechelle(5) avec ( )0 5 0 5 ( )x x y y = =
5OA dx= 5xcAC= 5xHAD
=
Le parc-eacutechelle (5) est de masse m et de centre de graviteacute G tel que 5532
yh
xL
OG+=
Le repegravere ( )0333 zyxBR
= est lieacute agrave la tige du veacuterin hydraulique (3+4) avec 3( )BC y t y=
( )0 3 0 3 ( )x x y y = = La masse du veacuterin est neacutegligeacutee devant les autres masses
Lrsquohuile sous pression du veacuterin hydraulique (3+4) devra exercer un effort modeacuteliseacute par
un glisseur de reacutesultante v v 3F F y= permettant de garder lrsquoensemble (5) en eacutequilibre
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La plate forme chargeacutee (6) Pendant le dressage ou lrsquoabaissement la plate-forme reste toujours horizontale
Sa masse une fois chargeacutee sera noteacutee M et son centre de graviteacute est le point GP tel
que 0 0p G GDG x x y y= +
La plate forme (6) est maintenue horizontale gracircce agrave un moteur exerccedilant un couple
moteur m 0 D
0(Moteur 6)
C z
rarr =
Lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur 0g = -gy
Questions
Q11 Etablir le graphe drsquoanalyse des actions meacutecaniques
Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc
eacutechelle (5) au point G
Q13 Ecrire la forme des torseurs drsquoactions meacutecaniques transmissibles dans les
liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan i i(x y )
Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur
lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y
Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection
sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv
Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Partie I Corrigeacute
Q1 Tracer les figures planes de calcul
Q2 Ecrire au point A le torseur cineacutematique (5 0)A
puis deacuteduire au point O le
torseur cineacutematique (5 0)O
0 3 5z z z= =
0x
0y
5x
5y 3x
3y
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0(5 0)(5 0)
( 5 0) 0A
A A
z
V A
== =
(5 0)
(5 0)( 5 0)
O
OV O
==
On a
0 0 0 5
5
( ) ( )( 5 0)
RR R
dO O d O A AO d a y dxV O d y
dt dt dt
+ minus = = = = minus
0
5
(5 0)
O
O
z
d y
==
minus
Q3 Calculer le vecteur vitesse 0( 5 )V D R
0 0 5
0 5
( ) ( )( 5 )
RR
d O A AD d a y HxV D R H y
dt dt
+ + == = =
Q4 Quelle est la nature de mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0)
Mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0) Translation circulaire
Q5 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 6 )PV G R
0 0 0
uml 0
( 6 ) ( 6 ) ( 6 5) ( 5 )P
pivot
V G R V D R V D V D R
=
= = +
0 0 5 ( 6 ) ( 5 ) PV G R V D R H y = =
Q6 Calculer le vecteur vitesse 0( 3 )V C R
0 0 0 3 0 3
0
( 3 ) ( 3 ) (3 ) ( ) ( )
pivot
V C R V B R CB R y t y z y t x
=
= + = minus = minus
Q7 Calculer le vecteur vitesse ( 4 3)V C
33
3
3
( ( ) )( )( 4 3) ( )
RR
d y t yd BCV C y t y
dt dt
= = =
Q8 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 4 )V C R
0 0 3 3( 4 ) ( 4 3) ( 3 ) ( ) ( ) V C R V C V C R y t y y t x = + = + minus
Q9 En faisant une fermeture geacuteomeacutetrique deacuteterminez la position ( )y t en fonction de
lrsquoangle ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Fermeture geacuteomeacutetrique
0 0O B BC CA AO 0+ + + = ce qui srsquoexprime en fonction du parameacutetrage
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0 3 5 0b x y(t) y c x a y 0+ minus minus =
En projection respectivement sur 0x
et sur 0y
0
0
Pr oj x b y(t)sin ccos 0
Pr oj y y(t) cos csin a 0
minus minus =
minus minus =
y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
( ) ( )2 2
y(t) b ccos csin a = minus + +
Q10 En faisant une fermeture de chaicircne cineacutematique deacuteterminez la vitesse de sortie
du veacuterin ( )y t en fonction de la vitesse angulaire ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
0 0
uml 0
( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0
pivot
V C V C V C R V C R
=
= + minus =
On a 0 0 5
0 5
( ) ( )( 5 )
RR
d O A AC d a y c xV C R c y
dt dt
+ + == = =
Donc 3 3 5( ) ( ) 0y t y y t x c y minus minus =
Proj 3 y 5 3( ) cos( ) (3)y t c y y c = = minus
( ) ( ) cos cos sin siny t c = +
Drsquoapregraves la question 9 y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
b ccossin
y(t)
csin acos
y(t)
minus=
+ =
Ce qui donne ( )( ) sin cos cos sin( )
cy t c a b c
y t == + + minus
( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == +
Partie II corrigeacute
Q11 Etablir le graphe drsquoanalyse des actions meacutecaniques
0
3 5
4
Pivot ( )0 zB
Pivot ( )0 zA
Pivot glissant ( )BC Pivot ( )0 zC
6
Pesanteur
Huile
Moteur
( )0Pivot Dz
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Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc
eacutechelle (5) au point G
Q13 Ecrire la forme des torseurs des actions meacutecaniques transmissibles dans les
liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan
Liaisons
Torseurs des actions
meacutecaniques transmissibles
dans lrsquoespace
Torseurs des actions meacutecaniques
transmissibles dans le plan i i(x y )
L4-5
L4-5
Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur
lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y
On applique le theacuteoregraveme du moment statique au point B sur le veacuterin (3+4)
( ) ( ) ( ) ( )B C C
0 pivot dans le plan 0 pivot dans le plan
M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0
= =
rarr + rarr = rarr + rarr =
la reacutesultante ( )R 5 4rarr est porteacutee par la droite (BC) = ( )3Cy
Donc 5 4 rarr 54 3R( )=R y 4 5 rarr 45 3R( )=R y
Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection
sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv
Theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection sur 3y
( ) ( ) ( )3
3 3 3
0 y
54 v 54 v
R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0
R F 0 R F
= pivot glissant daxe
=-
rarr + rarr + rarr =
+ =
45 vR F =
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Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point A sur lrsquoensemble (E) = 56
( ) ( ) ( ) ( )A A A A
0
M 4 5 M 0 5 M pesanteur 5 M pesanteur 6 0
pivot=
rarr + rarr + rarr + rarr =
( ) ( ) ( ) ( )A C 5 45 3 45 0M 4 5 M 4 5 AC R 4 5 cx R y cR cos z rarr = rarr + rarr = = minus
( ) ( )A G 0 5 5 0
0
L hM pesanteur 5 M g 5 AG mg y d x y mg y
2 3
rarr = rarr + minus = minus + minus
( )A 0
L hM Pesanteur 5 mg d cos sin z
2 3
rarr = minus minus minus
( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0
0
M pesanteur 6 M g 6 AG Mg y Hx x x y yrarr = rarr + minus = + + 0Mg y minus
( ) A G 0M pesanteur 6 Mg Hcos x z rarr = minus +
On peut eacutecrire
( ) 45 0 0 G 0
L hcR cos z mg d cos sin z Mg Hcos x z 0
2 3
minus minus minus minus minus + =
On a 45 vR F = la relation (3) cos( ) = ( )c y t minus ( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == + et
119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )
( )
2 2cos sin1
cos( ) ( ) cos sin
b c c a
c y t c a b
minus + + = =
minus +
Donc
( ) ( )
( )
2 2
v G
b ccos csin a L hF mg d cos sin Mg Hcos x
c a cos bsin 2 3
minus + + = minus minus + +
+
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point D sur (6)
( ) ( ) ( )m 0 0
D D D
C z 0 Mgy
M Moteur 6 M 5 6 M pesanteur 6 0
p pivot = DG= = minus
rarr + rarr + rarr =
m 0 0 0 C G Gz x x y y + +( ) 0 0Mgy minus = m 0 0 C 0Gz Mgx z minus =
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(S)
O
G
˟P
Cineacutetique des systegravemes mateacuteriels
1 Masse et inertie
La cineacutetique est lrsquoeacutetude des caracteacuteristiques drsquoinertie
11 Notions drsquoinertie
La masse ne suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation Pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en compte la reacutepartition de cette
masse sur le solide
Lrsquoinertie caracteacuterise la reacutesistance qursquooppose un corps par sa nature propre agrave une variation de mouvement
La masse suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation mais pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en consideacuteration la reacutepartition de
cette masse sur le solide
12 Principe de conservation de la masse
Un ensemble mateacuteriel (E) veacuterifie le principe de conservation de la masse si tout sous
ensemble mateacuteriel (e) de lrsquoensemble (E) a une masse m(e) constante au cours du temps soit
Conseacutequence
Pour un systegraveme mateacuteriel consideacutereacute comme un ensemble de points P chacun de
masse eacuteleacutementaire dm et sur lequel on a deacutefini une fonction vectorielle on peut alors deacutemontrer que
pour tout repegravere R
13 Centre drsquoinertie drsquoun solide
131 Deacutefinition
Pour un solide S de masse m on appelle centre drsquoinertie
le point G deacutefini par
Ce qui donne
Forme du solide Expression de dm Centre drsquoinertie
Volume
Surface
Ligne
1 OG OP d
L=
NB Le centre drsquoinertie appartient agrave la symeacutetrie caracteacuterisant les solides
Applications 1 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
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2 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-disque homogegravene de rayon R
132 Centre drsquoinertie drsquoun ensemble mateacuteriel
Soit un ensemble mateacuteriel E constitueacute de n solides Si et
Exemple
Deacuteterminer le centre drsquoinertie du solide (S) composeacute drsquoun cylindre creux (S1) et drsquoun paralleacuteleacutepipegravede (S2)
On note
mi masse et Gi centre drsquoinertie du solide (Si)
a
b
h
Ri
Re
O=G1
O
R
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
r
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
R
(S2)
(S1)
G2
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avec et
On aura donc
133 Theacuteoregravemes de Guldin
Lrsquoutilisation de theacuteoregraveme de Guldin permet de simplifier le calcul de la position du centre drsquoinertie pour les
solides ayant un axe de reacutevolution
a) Premier theacuteoregraveme de Guldin
Lrsquoaire de la surface engendreacutee par une courbe plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant
pas est eacutegale au produit de la longueur de la courbe par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de
graviteacute
Deacutemonstration
0n considegravere une courbe (C) de longueur L de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la courbe tel que
En projection sur un axe contenu dans la plan contenant
La courbe et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de surface ds=rdθdℓ
La surface engendreacutee par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
b) Deuxiegraveme theacuteoregraveme de Guldin
Le volume engendreacute par une surface plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant pas est eacutegal
au produit de lrsquoaire de la surface par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de graviteacute
r
dℓ
dθ
O
rG
G
r
O
La rotation du demi fil de longueur (L) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere creuse de surface (S)
1er theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
(Δ)
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Deacutemonstration
0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la surface tel que
En projection sur un axe appartenant au plan contenant
La surface et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ
Le volume engendreacute par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
2 Moments et produits drsquoinertie
Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition
de la masse sur un solide
21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un
point A la quantiteacute positive
22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive
En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)
on deacuteduit donc
23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien
Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons
- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O
x
y
O
z (Δ)
i
P
H
(S) A
G
rG
r
r
O
P
dθ
(Δ)
O
La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)
2egraveme theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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Q3 Calculer le vecteur vitesse 0( 5 )V D R
Q4 Quelle est la nature de mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0)
Q5 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 6 )PV G R
Q6 Calculer le vecteur vitesse 0( 3 )V C R
Q7 Calculer le vecteur vitesse ( 4 3)V C
Q8 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 4 )V C R
Q9 En faisant une fermeture geacuteomeacutetrique deacuteterminez la position ( )y t en fonction de
lrsquoangle ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Q10 En faisant une fermeture de chaicircne cineacutematique deacuteterminez la vitesse de sortie
du veacuterin ( )y t en fonction de la vitesse angulaire ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Partie II Etude statique
Lrsquoobjet de cette eacutetude est de
- Deacuteterminer lrsquoeffort du veacuterin qui permet de maintenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoeacutechelle et la charge
- Deacuteterminer le couple du moteur permettant de maintenir la plate forme horizontale
Le problegraveme sera consideacutereacute plan
Toutes les liaisons seront consideacutereacutees parfaites et sont listeacutees comme suit
L(03) liaison pivot drsquoaxe 0(Bz ) L(56) liaison pivot drsquoaxe 0(Dz )
L(05) liaison pivot drsquoaxe 0(A z ) L(34) liaison pivot glissant de direction 3y
L(54) liaison pivot drsquoaxe 0(Cz )
Le problegraveme eacutetant plan donc lrsquoaction meacutecanique dans une liaison entre deux solides (i) et (j) sera modeacuteliseacutee par le glisseur
avec R(i j)rarr situeacutee dans le plan
On propose le parameacutetrage suivant
Le repegravere ( )00000 zyxOR
= est lieacute au chacircssis fixe (0) avec 00 yaAO= et 00 xbBO
=
Le repegravere ( )0555 zyxAR
= est lieacute agrave lrsquoensemble parc eacutechelle(5) avec ( )0 5 0 5 ( )x x y y = =
5OA dx= 5xcAC= 5xHAD
=
Le parc-eacutechelle (5) est de masse m et de centre de graviteacute G tel que 5532
yh
xL
OG+=
Le repegravere ( )0333 zyxBR
= est lieacute agrave la tige du veacuterin hydraulique (3+4) avec 3( )BC y t y=
( )0 3 0 3 ( )x x y y = = La masse du veacuterin est neacutegligeacutee devant les autres masses
Lrsquohuile sous pression du veacuterin hydraulique (3+4) devra exercer un effort modeacuteliseacute par
un glisseur de reacutesultante v v 3F F y= permettant de garder lrsquoensemble (5) en eacutequilibre
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La plate forme chargeacutee (6) Pendant le dressage ou lrsquoabaissement la plate-forme reste toujours horizontale
Sa masse une fois chargeacutee sera noteacutee M et son centre de graviteacute est le point GP tel
que 0 0p G GDG x x y y= +
La plate forme (6) est maintenue horizontale gracircce agrave un moteur exerccedilant un couple
moteur m 0 D
0(Moteur 6)
C z
rarr =
Lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur 0g = -gy
Questions
Q11 Etablir le graphe drsquoanalyse des actions meacutecaniques
Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc
eacutechelle (5) au point G
Q13 Ecrire la forme des torseurs drsquoactions meacutecaniques transmissibles dans les
liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan i i(x y )
Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur
lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y
Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection
sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv
Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Partie I Corrigeacute
Q1 Tracer les figures planes de calcul
Q2 Ecrire au point A le torseur cineacutematique (5 0)A
puis deacuteduire au point O le
torseur cineacutematique (5 0)O
0 3 5z z z= =
0x
0y
5x
5y 3x
3y
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0(5 0)(5 0)
( 5 0) 0A
A A
z
V A
== =
(5 0)
(5 0)( 5 0)
O
OV O
==
On a
0 0 0 5
5
( ) ( )( 5 0)
RR R
dO O d O A AO d a y dxV O d y
dt dt dt
+ minus = = = = minus
0
5
(5 0)
O
O
z
d y
==
minus
Q3 Calculer le vecteur vitesse 0( 5 )V D R
0 0 5
0 5
( ) ( )( 5 )
RR
d O A AD d a y HxV D R H y
dt dt
+ + == = =
Q4 Quelle est la nature de mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0)
Mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0) Translation circulaire
Q5 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 6 )PV G R
0 0 0
uml 0
( 6 ) ( 6 ) ( 6 5) ( 5 )P
pivot
V G R V D R V D V D R
=
= = +
0 0 5 ( 6 ) ( 5 ) PV G R V D R H y = =
Q6 Calculer le vecteur vitesse 0( 3 )V C R
0 0 0 3 0 3
0
( 3 ) ( 3 ) (3 ) ( ) ( )
pivot
V C R V B R CB R y t y z y t x
=
= + = minus = minus
Q7 Calculer le vecteur vitesse ( 4 3)V C
33
3
3
( ( ) )( )( 4 3) ( )
RR
d y t yd BCV C y t y
dt dt
= = =
Q8 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 4 )V C R
0 0 3 3( 4 ) ( 4 3) ( 3 ) ( ) ( ) V C R V C V C R y t y y t x = + = + minus
Q9 En faisant une fermeture geacuteomeacutetrique deacuteterminez la position ( )y t en fonction de
lrsquoangle ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Fermeture geacuteomeacutetrique
0 0O B BC CA AO 0+ + + = ce qui srsquoexprime en fonction du parameacutetrage
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0 3 5 0b x y(t) y c x a y 0+ minus minus =
En projection respectivement sur 0x
et sur 0y
0
0
Pr oj x b y(t)sin ccos 0
Pr oj y y(t) cos csin a 0
minus minus =
minus minus =
y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
( ) ( )2 2
y(t) b ccos csin a = minus + +
Q10 En faisant une fermeture de chaicircne cineacutematique deacuteterminez la vitesse de sortie
du veacuterin ( )y t en fonction de la vitesse angulaire ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
0 0
uml 0
( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0
pivot
V C V C V C R V C R
=
= + minus =
On a 0 0 5
0 5
( ) ( )( 5 )
RR
d O A AC d a y c xV C R c y
dt dt
+ + == = =
Donc 3 3 5( ) ( ) 0y t y y t x c y minus minus =
Proj 3 y 5 3( ) cos( ) (3)y t c y y c = = minus
( ) ( ) cos cos sin siny t c = +
Drsquoapregraves la question 9 y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
b ccossin
y(t)
csin acos
y(t)
minus=
+ =
Ce qui donne ( )( ) sin cos cos sin( )
cy t c a b c
y t == + + minus
( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == +
Partie II corrigeacute
Q11 Etablir le graphe drsquoanalyse des actions meacutecaniques
0
3 5
4
Pivot ( )0 zB
Pivot ( )0 zA
Pivot glissant ( )BC Pivot ( )0 zC
6
Pesanteur
Huile
Moteur
( )0Pivot Dz
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Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc
eacutechelle (5) au point G
Q13 Ecrire la forme des torseurs des actions meacutecaniques transmissibles dans les
liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan
Liaisons
Torseurs des actions
meacutecaniques transmissibles
dans lrsquoespace
Torseurs des actions meacutecaniques
transmissibles dans le plan i i(x y )
L4-5
L4-5
Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur
lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y
On applique le theacuteoregraveme du moment statique au point B sur le veacuterin (3+4)
( ) ( ) ( ) ( )B C C
0 pivot dans le plan 0 pivot dans le plan
M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0
= =
rarr + rarr = rarr + rarr =
la reacutesultante ( )R 5 4rarr est porteacutee par la droite (BC) = ( )3Cy
Donc 5 4 rarr 54 3R( )=R y 4 5 rarr 45 3R( )=R y
Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection
sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv
Theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection sur 3y
( ) ( ) ( )3
3 3 3
0 y
54 v 54 v
R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0
R F 0 R F
= pivot glissant daxe
=-
rarr + rarr + rarr =
+ =
45 vR F =
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Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point A sur lrsquoensemble (E) = 56
( ) ( ) ( ) ( )A A A A
0
M 4 5 M 0 5 M pesanteur 5 M pesanteur 6 0
pivot=
rarr + rarr + rarr + rarr =
( ) ( ) ( ) ( )A C 5 45 3 45 0M 4 5 M 4 5 AC R 4 5 cx R y cR cos z rarr = rarr + rarr = = minus
( ) ( )A G 0 5 5 0
0
L hM pesanteur 5 M g 5 AG mg y d x y mg y
2 3
rarr = rarr + minus = minus + minus
( )A 0
L hM Pesanteur 5 mg d cos sin z
2 3
rarr = minus minus minus
( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0
0
M pesanteur 6 M g 6 AG Mg y Hx x x y yrarr = rarr + minus = + + 0Mg y minus
( ) A G 0M pesanteur 6 Mg Hcos x z rarr = minus +
On peut eacutecrire
( ) 45 0 0 G 0
L hcR cos z mg d cos sin z Mg Hcos x z 0
2 3
minus minus minus minus minus + =
On a 45 vR F = la relation (3) cos( ) = ( )c y t minus ( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == + et
119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )
( )
2 2cos sin1
cos( ) ( ) cos sin
b c c a
c y t c a b
minus + + = =
minus +
Donc
( ) ( )
( )
2 2
v G
b ccos csin a L hF mg d cos sin Mg Hcos x
c a cos bsin 2 3
minus + + = minus minus + +
+
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point D sur (6)
( ) ( ) ( )m 0 0
D D D
C z 0 Mgy
M Moteur 6 M 5 6 M pesanteur 6 0
p pivot = DG= = minus
rarr + rarr + rarr =
m 0 0 0 C G Gz x x y y + +( ) 0 0Mgy minus = m 0 0 C 0Gz Mgx z minus =
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(S)
O
G
˟P
Cineacutetique des systegravemes mateacuteriels
1 Masse et inertie
La cineacutetique est lrsquoeacutetude des caracteacuteristiques drsquoinertie
11 Notions drsquoinertie
La masse ne suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation Pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en compte la reacutepartition de cette
masse sur le solide
Lrsquoinertie caracteacuterise la reacutesistance qursquooppose un corps par sa nature propre agrave une variation de mouvement
La masse suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation mais pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en consideacuteration la reacutepartition de
cette masse sur le solide
12 Principe de conservation de la masse
Un ensemble mateacuteriel (E) veacuterifie le principe de conservation de la masse si tout sous
ensemble mateacuteriel (e) de lrsquoensemble (E) a une masse m(e) constante au cours du temps soit
Conseacutequence
Pour un systegraveme mateacuteriel consideacutereacute comme un ensemble de points P chacun de
masse eacuteleacutementaire dm et sur lequel on a deacutefini une fonction vectorielle on peut alors deacutemontrer que
pour tout repegravere R
13 Centre drsquoinertie drsquoun solide
131 Deacutefinition
Pour un solide S de masse m on appelle centre drsquoinertie
le point G deacutefini par
Ce qui donne
Forme du solide Expression de dm Centre drsquoinertie
Volume
Surface
Ligne
1 OG OP d
L=
NB Le centre drsquoinertie appartient agrave la symeacutetrie caracteacuterisant les solides
Applications 1 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
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2 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-disque homogegravene de rayon R
132 Centre drsquoinertie drsquoun ensemble mateacuteriel
Soit un ensemble mateacuteriel E constitueacute de n solides Si et
Exemple
Deacuteterminer le centre drsquoinertie du solide (S) composeacute drsquoun cylindre creux (S1) et drsquoun paralleacuteleacutepipegravede (S2)
On note
mi masse et Gi centre drsquoinertie du solide (Si)
a
b
h
Ri
Re
O=G1
O
R
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
r
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
R
(S2)
(S1)
G2
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avec et
On aura donc
133 Theacuteoregravemes de Guldin
Lrsquoutilisation de theacuteoregraveme de Guldin permet de simplifier le calcul de la position du centre drsquoinertie pour les
solides ayant un axe de reacutevolution
a) Premier theacuteoregraveme de Guldin
Lrsquoaire de la surface engendreacutee par une courbe plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant
pas est eacutegale au produit de la longueur de la courbe par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de
graviteacute
Deacutemonstration
0n considegravere une courbe (C) de longueur L de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la courbe tel que
En projection sur un axe contenu dans la plan contenant
La courbe et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de surface ds=rdθdℓ
La surface engendreacutee par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
b) Deuxiegraveme theacuteoregraveme de Guldin
Le volume engendreacute par une surface plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant pas est eacutegal
au produit de lrsquoaire de la surface par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de graviteacute
r
dℓ
dθ
O
rG
G
r
O
La rotation du demi fil de longueur (L) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere creuse de surface (S)
1er theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
(Δ)
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Deacutemonstration
0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la surface tel que
En projection sur un axe appartenant au plan contenant
La surface et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ
Le volume engendreacute par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
2 Moments et produits drsquoinertie
Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition
de la masse sur un solide
21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un
point A la quantiteacute positive
22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive
En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)
on deacuteduit donc
23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien
Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons
- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O
x
y
O
z (Δ)
i
P
H
(S) A
G
rG
r
r
O
P
dθ
(Δ)
O
La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)
2egraveme theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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La plate forme chargeacutee (6) Pendant le dressage ou lrsquoabaissement la plate-forme reste toujours horizontale
Sa masse une fois chargeacutee sera noteacutee M et son centre de graviteacute est le point GP tel
que 0 0p G GDG x x y y= +
La plate forme (6) est maintenue horizontale gracircce agrave un moteur exerccedilant un couple
moteur m 0 D
0(Moteur 6)
C z
rarr =
Lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur 0g = -gy
Questions
Q11 Etablir le graphe drsquoanalyse des actions meacutecaniques
Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc
eacutechelle (5) au point G
Q13 Ecrire la forme des torseurs drsquoactions meacutecaniques transmissibles dans les
liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan i i(x y )
Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur
lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y
Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection
sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv
Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Partie I Corrigeacute
Q1 Tracer les figures planes de calcul
Q2 Ecrire au point A le torseur cineacutematique (5 0)A
puis deacuteduire au point O le
torseur cineacutematique (5 0)O
0 3 5z z z= =
0x
0y
5x
5y 3x
3y
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0(5 0)(5 0)
( 5 0) 0A
A A
z
V A
== =
(5 0)
(5 0)( 5 0)
O
OV O
==
On a
0 0 0 5
5
( ) ( )( 5 0)
RR R
dO O d O A AO d a y dxV O d y
dt dt dt
+ minus = = = = minus
0
5
(5 0)
O
O
z
d y
==
minus
Q3 Calculer le vecteur vitesse 0( 5 )V D R
0 0 5
0 5
( ) ( )( 5 )
RR
d O A AD d a y HxV D R H y
dt dt
+ + == = =
Q4 Quelle est la nature de mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0)
Mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0) Translation circulaire
Q5 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 6 )PV G R
0 0 0
uml 0
( 6 ) ( 6 ) ( 6 5) ( 5 )P
pivot
V G R V D R V D V D R
=
= = +
0 0 5 ( 6 ) ( 5 ) PV G R V D R H y = =
Q6 Calculer le vecteur vitesse 0( 3 )V C R
0 0 0 3 0 3
0
( 3 ) ( 3 ) (3 ) ( ) ( )
pivot
V C R V B R CB R y t y z y t x
=
= + = minus = minus
Q7 Calculer le vecteur vitesse ( 4 3)V C
33
3
3
( ( ) )( )( 4 3) ( )
RR
d y t yd BCV C y t y
dt dt
= = =
Q8 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 4 )V C R
0 0 3 3( 4 ) ( 4 3) ( 3 ) ( ) ( ) V C R V C V C R y t y y t x = + = + minus
Q9 En faisant une fermeture geacuteomeacutetrique deacuteterminez la position ( )y t en fonction de
lrsquoangle ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Fermeture geacuteomeacutetrique
0 0O B BC CA AO 0+ + + = ce qui srsquoexprime en fonction du parameacutetrage
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0 3 5 0b x y(t) y c x a y 0+ minus minus =
En projection respectivement sur 0x
et sur 0y
0
0
Pr oj x b y(t)sin ccos 0
Pr oj y y(t) cos csin a 0
minus minus =
minus minus =
y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
( ) ( )2 2
y(t) b ccos csin a = minus + +
Q10 En faisant une fermeture de chaicircne cineacutematique deacuteterminez la vitesse de sortie
du veacuterin ( )y t en fonction de la vitesse angulaire ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
0 0
uml 0
( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0
pivot
V C V C V C R V C R
=
= + minus =
On a 0 0 5
0 5
( ) ( )( 5 )
RR
d O A AC d a y c xV C R c y
dt dt
+ + == = =
Donc 3 3 5( ) ( ) 0y t y y t x c y minus minus =
Proj 3 y 5 3( ) cos( ) (3)y t c y y c = = minus
( ) ( ) cos cos sin siny t c = +
Drsquoapregraves la question 9 y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
b ccossin
y(t)
csin acos
y(t)
minus=
+ =
Ce qui donne ( )( ) sin cos cos sin( )
cy t c a b c
y t == + + minus
( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == +
Partie II corrigeacute
Q11 Etablir le graphe drsquoanalyse des actions meacutecaniques
0
3 5
4
Pivot ( )0 zB
Pivot ( )0 zA
Pivot glissant ( )BC Pivot ( )0 zC
6
Pesanteur
Huile
Moteur
( )0Pivot Dz
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Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc
eacutechelle (5) au point G
Q13 Ecrire la forme des torseurs des actions meacutecaniques transmissibles dans les
liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan
Liaisons
Torseurs des actions
meacutecaniques transmissibles
dans lrsquoespace
Torseurs des actions meacutecaniques
transmissibles dans le plan i i(x y )
L4-5
L4-5
Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur
lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y
On applique le theacuteoregraveme du moment statique au point B sur le veacuterin (3+4)
( ) ( ) ( ) ( )B C C
0 pivot dans le plan 0 pivot dans le plan
M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0
= =
rarr + rarr = rarr + rarr =
la reacutesultante ( )R 5 4rarr est porteacutee par la droite (BC) = ( )3Cy
Donc 5 4 rarr 54 3R( )=R y 4 5 rarr 45 3R( )=R y
Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection
sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv
Theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection sur 3y
( ) ( ) ( )3
3 3 3
0 y
54 v 54 v
R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0
R F 0 R F
= pivot glissant daxe
=-
rarr + rarr + rarr =
+ =
45 vR F =
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Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point A sur lrsquoensemble (E) = 56
( ) ( ) ( ) ( )A A A A
0
M 4 5 M 0 5 M pesanteur 5 M pesanteur 6 0
pivot=
rarr + rarr + rarr + rarr =
( ) ( ) ( ) ( )A C 5 45 3 45 0M 4 5 M 4 5 AC R 4 5 cx R y cR cos z rarr = rarr + rarr = = minus
( ) ( )A G 0 5 5 0
0
L hM pesanteur 5 M g 5 AG mg y d x y mg y
2 3
rarr = rarr + minus = minus + minus
( )A 0
L hM Pesanteur 5 mg d cos sin z
2 3
rarr = minus minus minus
( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0
0
M pesanteur 6 M g 6 AG Mg y Hx x x y yrarr = rarr + minus = + + 0Mg y minus
( ) A G 0M pesanteur 6 Mg Hcos x z rarr = minus +
On peut eacutecrire
( ) 45 0 0 G 0
L hcR cos z mg d cos sin z Mg Hcos x z 0
2 3
minus minus minus minus minus + =
On a 45 vR F = la relation (3) cos( ) = ( )c y t minus ( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == + et
119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )
( )
2 2cos sin1
cos( ) ( ) cos sin
b c c a
c y t c a b
minus + + = =
minus +
Donc
( ) ( )
( )
2 2
v G
b ccos csin a L hF mg d cos sin Mg Hcos x
c a cos bsin 2 3
minus + + = minus minus + +
+
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point D sur (6)
( ) ( ) ( )m 0 0
D D D
C z 0 Mgy
M Moteur 6 M 5 6 M pesanteur 6 0
p pivot = DG= = minus
rarr + rarr + rarr =
m 0 0 0 C G Gz x x y y + +( ) 0 0Mgy minus = m 0 0 C 0Gz Mgx z minus =
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(S)
O
G
˟P
Cineacutetique des systegravemes mateacuteriels
1 Masse et inertie
La cineacutetique est lrsquoeacutetude des caracteacuteristiques drsquoinertie
11 Notions drsquoinertie
La masse ne suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation Pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en compte la reacutepartition de cette
masse sur le solide
Lrsquoinertie caracteacuterise la reacutesistance qursquooppose un corps par sa nature propre agrave une variation de mouvement
La masse suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation mais pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en consideacuteration la reacutepartition de
cette masse sur le solide
12 Principe de conservation de la masse
Un ensemble mateacuteriel (E) veacuterifie le principe de conservation de la masse si tout sous
ensemble mateacuteriel (e) de lrsquoensemble (E) a une masse m(e) constante au cours du temps soit
Conseacutequence
Pour un systegraveme mateacuteriel consideacutereacute comme un ensemble de points P chacun de
masse eacuteleacutementaire dm et sur lequel on a deacutefini une fonction vectorielle on peut alors deacutemontrer que
pour tout repegravere R
13 Centre drsquoinertie drsquoun solide
131 Deacutefinition
Pour un solide S de masse m on appelle centre drsquoinertie
le point G deacutefini par
Ce qui donne
Forme du solide Expression de dm Centre drsquoinertie
Volume
Surface
Ligne
1 OG OP d
L=
NB Le centre drsquoinertie appartient agrave la symeacutetrie caracteacuterisant les solides
Applications 1 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
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2 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-disque homogegravene de rayon R
132 Centre drsquoinertie drsquoun ensemble mateacuteriel
Soit un ensemble mateacuteriel E constitueacute de n solides Si et
Exemple
Deacuteterminer le centre drsquoinertie du solide (S) composeacute drsquoun cylindre creux (S1) et drsquoun paralleacuteleacutepipegravede (S2)
On note
mi masse et Gi centre drsquoinertie du solide (Si)
a
b
h
Ri
Re
O=G1
O
R
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
r
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
R
(S2)
(S1)
G2
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avec et
On aura donc
133 Theacuteoregravemes de Guldin
Lrsquoutilisation de theacuteoregraveme de Guldin permet de simplifier le calcul de la position du centre drsquoinertie pour les
solides ayant un axe de reacutevolution
a) Premier theacuteoregraveme de Guldin
Lrsquoaire de la surface engendreacutee par une courbe plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant
pas est eacutegale au produit de la longueur de la courbe par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de
graviteacute
Deacutemonstration
0n considegravere une courbe (C) de longueur L de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la courbe tel que
En projection sur un axe contenu dans la plan contenant
La courbe et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de surface ds=rdθdℓ
La surface engendreacutee par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
b) Deuxiegraveme theacuteoregraveme de Guldin
Le volume engendreacute par une surface plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant pas est eacutegal
au produit de lrsquoaire de la surface par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de graviteacute
r
dℓ
dθ
O
rG
G
r
O
La rotation du demi fil de longueur (L) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere creuse de surface (S)
1er theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
(Δ)
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Deacutemonstration
0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la surface tel que
En projection sur un axe appartenant au plan contenant
La surface et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ
Le volume engendreacute par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
2 Moments et produits drsquoinertie
Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition
de la masse sur un solide
21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un
point A la quantiteacute positive
22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive
En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)
on deacuteduit donc
23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien
Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons
- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O
x
y
O
z (Δ)
i
P
H
(S) A
G
rG
r
r
O
P
dθ
(Δ)
O
La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)
2egraveme theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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0(5 0)(5 0)
( 5 0) 0A
A A
z
V A
== =
(5 0)
(5 0)( 5 0)
O
OV O
==
On a
0 0 0 5
5
( ) ( )( 5 0)
RR R
dO O d O A AO d a y dxV O d y
dt dt dt
+ minus = = = = minus
0
5
(5 0)
O
O
z
d y
==
minus
Q3 Calculer le vecteur vitesse 0( 5 )V D R
0 0 5
0 5
( ) ( )( 5 )
RR
d O A AD d a y HxV D R H y
dt dt
+ + == = =
Q4 Quelle est la nature de mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0)
Mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0) Translation circulaire
Q5 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 6 )PV G R
0 0 0
uml 0
( 6 ) ( 6 ) ( 6 5) ( 5 )P
pivot
V G R V D R V D V D R
=
= = +
0 0 5 ( 6 ) ( 5 ) PV G R V D R H y = =
Q6 Calculer le vecteur vitesse 0( 3 )V C R
0 0 0 3 0 3
0
( 3 ) ( 3 ) (3 ) ( ) ( )
pivot
V C R V B R CB R y t y z y t x
=
= + = minus = minus
Q7 Calculer le vecteur vitesse ( 4 3)V C
33
3
3
( ( ) )( )( 4 3) ( )
RR
d y t yd BCV C y t y
dt dt
= = =
Q8 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 4 )V C R
0 0 3 3( 4 ) ( 4 3) ( 3 ) ( ) ( ) V C R V C V C R y t y y t x = + = + minus
Q9 En faisant une fermeture geacuteomeacutetrique deacuteterminez la position ( )y t en fonction de
lrsquoangle ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
Fermeture geacuteomeacutetrique
0 0O B BC CA AO 0+ + + = ce qui srsquoexprime en fonction du parameacutetrage
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0 3 5 0b x y(t) y c x a y 0+ minus minus =
En projection respectivement sur 0x
et sur 0y
0
0
Pr oj x b y(t)sin ccos 0
Pr oj y y(t) cos csin a 0
minus minus =
minus minus =
y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
( ) ( )2 2
y(t) b ccos csin a = minus + +
Q10 En faisant une fermeture de chaicircne cineacutematique deacuteterminez la vitesse de sortie
du veacuterin ( )y t en fonction de la vitesse angulaire ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
0 0
uml 0
( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0
pivot
V C V C V C R V C R
=
= + minus =
On a 0 0 5
0 5
( ) ( )( 5 )
RR
d O A AC d a y c xV C R c y
dt dt
+ + == = =
Donc 3 3 5( ) ( ) 0y t y y t x c y minus minus =
Proj 3 y 5 3( ) cos( ) (3)y t c y y c = = minus
( ) ( ) cos cos sin siny t c = +
Drsquoapregraves la question 9 y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
b ccossin
y(t)
csin acos
y(t)
minus=
+ =
Ce qui donne ( )( ) sin cos cos sin( )
cy t c a b c
y t == + + minus
( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == +
Partie II corrigeacute
Q11 Etablir le graphe drsquoanalyse des actions meacutecaniques
0
3 5
4
Pivot ( )0 zB
Pivot ( )0 zA
Pivot glissant ( )BC Pivot ( )0 zC
6
Pesanteur
Huile
Moteur
( )0Pivot Dz
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Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc
eacutechelle (5) au point G
Q13 Ecrire la forme des torseurs des actions meacutecaniques transmissibles dans les
liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan
Liaisons
Torseurs des actions
meacutecaniques transmissibles
dans lrsquoespace
Torseurs des actions meacutecaniques
transmissibles dans le plan i i(x y )
L4-5
L4-5
Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur
lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y
On applique le theacuteoregraveme du moment statique au point B sur le veacuterin (3+4)
( ) ( ) ( ) ( )B C C
0 pivot dans le plan 0 pivot dans le plan
M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0
= =
rarr + rarr = rarr + rarr =
la reacutesultante ( )R 5 4rarr est porteacutee par la droite (BC) = ( )3Cy
Donc 5 4 rarr 54 3R( )=R y 4 5 rarr 45 3R( )=R y
Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection
sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv
Theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection sur 3y
( ) ( ) ( )3
3 3 3
0 y
54 v 54 v
R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0
R F 0 R F
= pivot glissant daxe
=-
rarr + rarr + rarr =
+ =
45 vR F =
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Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point A sur lrsquoensemble (E) = 56
( ) ( ) ( ) ( )A A A A
0
M 4 5 M 0 5 M pesanteur 5 M pesanteur 6 0
pivot=
rarr + rarr + rarr + rarr =
( ) ( ) ( ) ( )A C 5 45 3 45 0M 4 5 M 4 5 AC R 4 5 cx R y cR cos z rarr = rarr + rarr = = minus
( ) ( )A G 0 5 5 0
0
L hM pesanteur 5 M g 5 AG mg y d x y mg y
2 3
rarr = rarr + minus = minus + minus
( )A 0
L hM Pesanteur 5 mg d cos sin z
2 3
rarr = minus minus minus
( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0
0
M pesanteur 6 M g 6 AG Mg y Hx x x y yrarr = rarr + minus = + + 0Mg y minus
( ) A G 0M pesanteur 6 Mg Hcos x z rarr = minus +
On peut eacutecrire
( ) 45 0 0 G 0
L hcR cos z mg d cos sin z Mg Hcos x z 0
2 3
minus minus minus minus minus + =
On a 45 vR F = la relation (3) cos( ) = ( )c y t minus ( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == + et
119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )
( )
2 2cos sin1
cos( ) ( ) cos sin
b c c a
c y t c a b
minus + + = =
minus +
Donc
( ) ( )
( )
2 2
v G
b ccos csin a L hF mg d cos sin Mg Hcos x
c a cos bsin 2 3
minus + + = minus minus + +
+
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point D sur (6)
( ) ( ) ( )m 0 0
D D D
C z 0 Mgy
M Moteur 6 M 5 6 M pesanteur 6 0
p pivot = DG= = minus
rarr + rarr + rarr =
m 0 0 0 C G Gz x x y y + +( ) 0 0Mgy minus = m 0 0 C 0Gz Mgx z minus =
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(S)
O
G
˟P
Cineacutetique des systegravemes mateacuteriels
1 Masse et inertie
La cineacutetique est lrsquoeacutetude des caracteacuteristiques drsquoinertie
11 Notions drsquoinertie
La masse ne suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation Pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en compte la reacutepartition de cette
masse sur le solide
Lrsquoinertie caracteacuterise la reacutesistance qursquooppose un corps par sa nature propre agrave une variation de mouvement
La masse suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation mais pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en consideacuteration la reacutepartition de
cette masse sur le solide
12 Principe de conservation de la masse
Un ensemble mateacuteriel (E) veacuterifie le principe de conservation de la masse si tout sous
ensemble mateacuteriel (e) de lrsquoensemble (E) a une masse m(e) constante au cours du temps soit
Conseacutequence
Pour un systegraveme mateacuteriel consideacutereacute comme un ensemble de points P chacun de
masse eacuteleacutementaire dm et sur lequel on a deacutefini une fonction vectorielle on peut alors deacutemontrer que
pour tout repegravere R
13 Centre drsquoinertie drsquoun solide
131 Deacutefinition
Pour un solide S de masse m on appelle centre drsquoinertie
le point G deacutefini par
Ce qui donne
Forme du solide Expression de dm Centre drsquoinertie
Volume
Surface
Ligne
1 OG OP d
L=
NB Le centre drsquoinertie appartient agrave la symeacutetrie caracteacuterisant les solides
Applications 1 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
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2 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-disque homogegravene de rayon R
132 Centre drsquoinertie drsquoun ensemble mateacuteriel
Soit un ensemble mateacuteriel E constitueacute de n solides Si et
Exemple
Deacuteterminer le centre drsquoinertie du solide (S) composeacute drsquoun cylindre creux (S1) et drsquoun paralleacuteleacutepipegravede (S2)
On note
mi masse et Gi centre drsquoinertie du solide (Si)
a
b
h
Ri
Re
O=G1
O
R
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
r
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
R
(S2)
(S1)
G2
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avec et
On aura donc
133 Theacuteoregravemes de Guldin
Lrsquoutilisation de theacuteoregraveme de Guldin permet de simplifier le calcul de la position du centre drsquoinertie pour les
solides ayant un axe de reacutevolution
a) Premier theacuteoregraveme de Guldin
Lrsquoaire de la surface engendreacutee par une courbe plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant
pas est eacutegale au produit de la longueur de la courbe par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de
graviteacute
Deacutemonstration
0n considegravere une courbe (C) de longueur L de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la courbe tel que
En projection sur un axe contenu dans la plan contenant
La courbe et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de surface ds=rdθdℓ
La surface engendreacutee par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
b) Deuxiegraveme theacuteoregraveme de Guldin
Le volume engendreacute par une surface plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant pas est eacutegal
au produit de lrsquoaire de la surface par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de graviteacute
r
dℓ
dθ
O
rG
G
r
O
La rotation du demi fil de longueur (L) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere creuse de surface (S)
1er theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
(Δ)
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Deacutemonstration
0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la surface tel que
En projection sur un axe appartenant au plan contenant
La surface et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ
Le volume engendreacute par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
2 Moments et produits drsquoinertie
Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition
de la masse sur un solide
21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un
point A la quantiteacute positive
22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive
En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)
on deacuteduit donc
23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien
Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons
- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O
x
y
O
z (Δ)
i
P
H
(S) A
G
rG
r
r
O
P
dθ
(Δ)
O
La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)
2egraveme theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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0 3 5 0b x y(t) y c x a y 0+ minus minus =
En projection respectivement sur 0x
et sur 0y
0
0
Pr oj x b y(t)sin ccos 0
Pr oj y y(t) cos csin a 0
minus minus =
minus minus =
y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
( ) ( )2 2
y(t) b ccos csin a = minus + +
Q10 En faisant une fermeture de chaicircne cineacutematique deacuteterminez la vitesse de sortie
du veacuterin ( )y t en fonction de la vitesse angulaire ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques
0 0
uml 0
( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0
pivot
V C V C V C R V C R
=
= + minus =
On a 0 0 5
0 5
( ) ( )( 5 )
RR
d O A AC d a y c xV C R c y
dt dt
+ + == = =
Donc 3 3 5( ) ( ) 0y t y y t x c y minus minus =
Proj 3 y 5 3( ) cos( ) (3)y t c y y c = = minus
( ) ( ) cos cos sin siny t c = +
Drsquoapregraves la question 9 y(t)sin b ccos (1)
y(t) cos csin a (2)
= minus
= +
b ccossin
y(t)
csin acos
y(t)
minus=
+ =
Ce qui donne ( )( ) sin cos cos sin( )
cy t c a b c
y t == + + minus
( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == +
Partie II corrigeacute
Q11 Etablir le graphe drsquoanalyse des actions meacutecaniques
0
3 5
4
Pivot ( )0 zB
Pivot ( )0 zA
Pivot glissant ( )BC Pivot ( )0 zC
6
Pesanteur
Huile
Moteur
( )0Pivot Dz
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Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc
eacutechelle (5) au point G
Q13 Ecrire la forme des torseurs des actions meacutecaniques transmissibles dans les
liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan
Liaisons
Torseurs des actions
meacutecaniques transmissibles
dans lrsquoespace
Torseurs des actions meacutecaniques
transmissibles dans le plan i i(x y )
L4-5
L4-5
Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur
lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y
On applique le theacuteoregraveme du moment statique au point B sur le veacuterin (3+4)
( ) ( ) ( ) ( )B C C
0 pivot dans le plan 0 pivot dans le plan
M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0
= =
rarr + rarr = rarr + rarr =
la reacutesultante ( )R 5 4rarr est porteacutee par la droite (BC) = ( )3Cy
Donc 5 4 rarr 54 3R( )=R y 4 5 rarr 45 3R( )=R y
Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection
sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv
Theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection sur 3y
( ) ( ) ( )3
3 3 3
0 y
54 v 54 v
R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0
R F 0 R F
= pivot glissant daxe
=-
rarr + rarr + rarr =
+ =
45 vR F =
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Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point A sur lrsquoensemble (E) = 56
( ) ( ) ( ) ( )A A A A
0
M 4 5 M 0 5 M pesanteur 5 M pesanteur 6 0
pivot=
rarr + rarr + rarr + rarr =
( ) ( ) ( ) ( )A C 5 45 3 45 0M 4 5 M 4 5 AC R 4 5 cx R y cR cos z rarr = rarr + rarr = = minus
( ) ( )A G 0 5 5 0
0
L hM pesanteur 5 M g 5 AG mg y d x y mg y
2 3
rarr = rarr + minus = minus + minus
( )A 0
L hM Pesanteur 5 mg d cos sin z
2 3
rarr = minus minus minus
( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0
0
M pesanteur 6 M g 6 AG Mg y Hx x x y yrarr = rarr + minus = + + 0Mg y minus
( ) A G 0M pesanteur 6 Mg Hcos x z rarr = minus +
On peut eacutecrire
( ) 45 0 0 G 0
L hcR cos z mg d cos sin z Mg Hcos x z 0
2 3
minus minus minus minus minus + =
On a 45 vR F = la relation (3) cos( ) = ( )c y t minus ( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == + et
119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )
( )
2 2cos sin1
cos( ) ( ) cos sin
b c c a
c y t c a b
minus + + = =
minus +
Donc
( ) ( )
( )
2 2
v G
b ccos csin a L hF mg d cos sin Mg Hcos x
c a cos bsin 2 3
minus + + = minus minus + +
+
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point D sur (6)
( ) ( ) ( )m 0 0
D D D
C z 0 Mgy
M Moteur 6 M 5 6 M pesanteur 6 0
p pivot = DG= = minus
rarr + rarr + rarr =
m 0 0 0 C G Gz x x y y + +( ) 0 0Mgy minus = m 0 0 C 0Gz Mgx z minus =
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(S)
O
G
˟P
Cineacutetique des systegravemes mateacuteriels
1 Masse et inertie
La cineacutetique est lrsquoeacutetude des caracteacuteristiques drsquoinertie
11 Notions drsquoinertie
La masse ne suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation Pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en compte la reacutepartition de cette
masse sur le solide
Lrsquoinertie caracteacuterise la reacutesistance qursquooppose un corps par sa nature propre agrave une variation de mouvement
La masse suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation mais pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en consideacuteration la reacutepartition de
cette masse sur le solide
12 Principe de conservation de la masse
Un ensemble mateacuteriel (E) veacuterifie le principe de conservation de la masse si tout sous
ensemble mateacuteriel (e) de lrsquoensemble (E) a une masse m(e) constante au cours du temps soit
Conseacutequence
Pour un systegraveme mateacuteriel consideacutereacute comme un ensemble de points P chacun de
masse eacuteleacutementaire dm et sur lequel on a deacutefini une fonction vectorielle on peut alors deacutemontrer que
pour tout repegravere R
13 Centre drsquoinertie drsquoun solide
131 Deacutefinition
Pour un solide S de masse m on appelle centre drsquoinertie
le point G deacutefini par
Ce qui donne
Forme du solide Expression de dm Centre drsquoinertie
Volume
Surface
Ligne
1 OG OP d
L=
NB Le centre drsquoinertie appartient agrave la symeacutetrie caracteacuterisant les solides
Applications 1 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
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2 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-disque homogegravene de rayon R
132 Centre drsquoinertie drsquoun ensemble mateacuteriel
Soit un ensemble mateacuteriel E constitueacute de n solides Si et
Exemple
Deacuteterminer le centre drsquoinertie du solide (S) composeacute drsquoun cylindre creux (S1) et drsquoun paralleacuteleacutepipegravede (S2)
On note
mi masse et Gi centre drsquoinertie du solide (Si)
a
b
h
Ri
Re
O=G1
O
R
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
r
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
R
(S2)
(S1)
G2
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avec et
On aura donc
133 Theacuteoregravemes de Guldin
Lrsquoutilisation de theacuteoregraveme de Guldin permet de simplifier le calcul de la position du centre drsquoinertie pour les
solides ayant un axe de reacutevolution
a) Premier theacuteoregraveme de Guldin
Lrsquoaire de la surface engendreacutee par une courbe plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant
pas est eacutegale au produit de la longueur de la courbe par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de
graviteacute
Deacutemonstration
0n considegravere une courbe (C) de longueur L de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la courbe tel que
En projection sur un axe contenu dans la plan contenant
La courbe et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de surface ds=rdθdℓ
La surface engendreacutee par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
b) Deuxiegraveme theacuteoregraveme de Guldin
Le volume engendreacute par une surface plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant pas est eacutegal
au produit de lrsquoaire de la surface par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de graviteacute
r
dℓ
dθ
O
rG
G
r
O
La rotation du demi fil de longueur (L) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere creuse de surface (S)
1er theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
(Δ)
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Deacutemonstration
0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la surface tel que
En projection sur un axe appartenant au plan contenant
La surface et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ
Le volume engendreacute par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
2 Moments et produits drsquoinertie
Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition
de la masse sur un solide
21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un
point A la quantiteacute positive
22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive
En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)
on deacuteduit donc
23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien
Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons
- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O
x
y
O
z (Δ)
i
P
H
(S) A
G
rG
r
r
O
P
dθ
(Δ)
O
La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)
2egraveme theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc
eacutechelle (5) au point G
Q13 Ecrire la forme des torseurs des actions meacutecaniques transmissibles dans les
liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan
Liaisons
Torseurs des actions
meacutecaniques transmissibles
dans lrsquoespace
Torseurs des actions meacutecaniques
transmissibles dans le plan i i(x y )
L4-5
L4-5
Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur
lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y
On applique le theacuteoregraveme du moment statique au point B sur le veacuterin (3+4)
( ) ( ) ( ) ( )B C C
0 pivot dans le plan 0 pivot dans le plan
M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0
= =
rarr + rarr = rarr + rarr =
la reacutesultante ( )R 5 4rarr est porteacutee par la droite (BC) = ( )3Cy
Donc 5 4 rarr 54 3R( )=R y 4 5 rarr 45 3R( )=R y
Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection
sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv
Theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection sur 3y
( ) ( ) ( )3
3 3 3
0 y
54 v 54 v
R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0
R F 0 R F
= pivot glissant daxe
=-
rarr + rarr + rarr =
+ =
45 vR F =
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Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point A sur lrsquoensemble (E) = 56
( ) ( ) ( ) ( )A A A A
0
M 4 5 M 0 5 M pesanteur 5 M pesanteur 6 0
pivot=
rarr + rarr + rarr + rarr =
( ) ( ) ( ) ( )A C 5 45 3 45 0M 4 5 M 4 5 AC R 4 5 cx R y cR cos z rarr = rarr + rarr = = minus
( ) ( )A G 0 5 5 0
0
L hM pesanteur 5 M g 5 AG mg y d x y mg y
2 3
rarr = rarr + minus = minus + minus
( )A 0
L hM Pesanteur 5 mg d cos sin z
2 3
rarr = minus minus minus
( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0
0
M pesanteur 6 M g 6 AG Mg y Hx x x y yrarr = rarr + minus = + + 0Mg y minus
( ) A G 0M pesanteur 6 Mg Hcos x z rarr = minus +
On peut eacutecrire
( ) 45 0 0 G 0
L hcR cos z mg d cos sin z Mg Hcos x z 0
2 3
minus minus minus minus minus + =
On a 45 vR F = la relation (3) cos( ) = ( )c y t minus ( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == + et
119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )
( )
2 2cos sin1
cos( ) ( ) cos sin
b c c a
c y t c a b
minus + + = =
minus +
Donc
( ) ( )
( )
2 2
v G
b ccos csin a L hF mg d cos sin Mg Hcos x
c a cos bsin 2 3
minus + + = minus minus + +
+
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point D sur (6)
( ) ( ) ( )m 0 0
D D D
C z 0 Mgy
M Moteur 6 M 5 6 M pesanteur 6 0
p pivot = DG= = minus
rarr + rarr + rarr =
m 0 0 0 C G Gz x x y y + +( ) 0 0Mgy minus = m 0 0 C 0Gz Mgx z minus =
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(S)
O
G
˟P
Cineacutetique des systegravemes mateacuteriels
1 Masse et inertie
La cineacutetique est lrsquoeacutetude des caracteacuteristiques drsquoinertie
11 Notions drsquoinertie
La masse ne suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation Pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en compte la reacutepartition de cette
masse sur le solide
Lrsquoinertie caracteacuterise la reacutesistance qursquooppose un corps par sa nature propre agrave une variation de mouvement
La masse suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation mais pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en consideacuteration la reacutepartition de
cette masse sur le solide
12 Principe de conservation de la masse
Un ensemble mateacuteriel (E) veacuterifie le principe de conservation de la masse si tout sous
ensemble mateacuteriel (e) de lrsquoensemble (E) a une masse m(e) constante au cours du temps soit
Conseacutequence
Pour un systegraveme mateacuteriel consideacutereacute comme un ensemble de points P chacun de
masse eacuteleacutementaire dm et sur lequel on a deacutefini une fonction vectorielle on peut alors deacutemontrer que
pour tout repegravere R
13 Centre drsquoinertie drsquoun solide
131 Deacutefinition
Pour un solide S de masse m on appelle centre drsquoinertie
le point G deacutefini par
Ce qui donne
Forme du solide Expression de dm Centre drsquoinertie
Volume
Surface
Ligne
1 OG OP d
L=
NB Le centre drsquoinertie appartient agrave la symeacutetrie caracteacuterisant les solides
Applications 1 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
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2 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-disque homogegravene de rayon R
132 Centre drsquoinertie drsquoun ensemble mateacuteriel
Soit un ensemble mateacuteriel E constitueacute de n solides Si et
Exemple
Deacuteterminer le centre drsquoinertie du solide (S) composeacute drsquoun cylindre creux (S1) et drsquoun paralleacuteleacutepipegravede (S2)
On note
mi masse et Gi centre drsquoinertie du solide (Si)
a
b
h
Ri
Re
O=G1
O
R
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
r
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
R
(S2)
(S1)
G2
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avec et
On aura donc
133 Theacuteoregravemes de Guldin
Lrsquoutilisation de theacuteoregraveme de Guldin permet de simplifier le calcul de la position du centre drsquoinertie pour les
solides ayant un axe de reacutevolution
a) Premier theacuteoregraveme de Guldin
Lrsquoaire de la surface engendreacutee par une courbe plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant
pas est eacutegale au produit de la longueur de la courbe par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de
graviteacute
Deacutemonstration
0n considegravere une courbe (C) de longueur L de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la courbe tel que
En projection sur un axe contenu dans la plan contenant
La courbe et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de surface ds=rdθdℓ
La surface engendreacutee par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
b) Deuxiegraveme theacuteoregraveme de Guldin
Le volume engendreacute par une surface plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant pas est eacutegal
au produit de lrsquoaire de la surface par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de graviteacute
r
dℓ
dθ
O
rG
G
r
O
La rotation du demi fil de longueur (L) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere creuse de surface (S)
1er theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
(Δ)
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Deacutemonstration
0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la surface tel que
En projection sur un axe appartenant au plan contenant
La surface et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ
Le volume engendreacute par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
2 Moments et produits drsquoinertie
Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition
de la masse sur un solide
21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un
point A la quantiteacute positive
22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive
En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)
on deacuteduit donc
23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien
Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons
- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O
x
y
O
z (Δ)
i
P
H
(S) A
G
rG
r
r
O
P
dθ
(Δ)
O
La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)
2egraveme theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix
deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point A sur lrsquoensemble (E) = 56
( ) ( ) ( ) ( )A A A A
0
M 4 5 M 0 5 M pesanteur 5 M pesanteur 6 0
pivot=
rarr + rarr + rarr + rarr =
( ) ( ) ( ) ( )A C 5 45 3 45 0M 4 5 M 4 5 AC R 4 5 cx R y cR cos z rarr = rarr + rarr = = minus
( ) ( )A G 0 5 5 0
0
L hM pesanteur 5 M g 5 AG mg y d x y mg y
2 3
rarr = rarr + minus = minus + minus
( )A 0
L hM Pesanteur 5 mg d cos sin z
2 3
rarr = minus minus minus
( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0
0
M pesanteur 6 M g 6 AG Mg y Hx x x y yrarr = rarr + minus = + + 0Mg y minus
( ) A G 0M pesanteur 6 Mg Hcos x z rarr = minus +
On peut eacutecrire
( ) 45 0 0 G 0
L hcR cos z mg d cos sin z Mg Hcos x z 0
2 3
minus minus minus minus minus + =
On a 45 vR F = la relation (3) cos( ) = ( )c y t minus ( )( ) cos sin( )
cy t a b
y t == + et
119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )
( )
2 2cos sin1
cos( ) ( ) cos sin
b c c a
c y t c a b
minus + + = =
minus +
Donc
( ) ( )
( )
2 2
v G
b ccos csin a L hF mg d cos sin Mg Hcos x
c a cos bsin 2 3
minus + + = minus minus + +
+
Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme
appliqueacute)
Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point D sur (6)
( ) ( ) ( )m 0 0
D D D
C z 0 Mgy
M Moteur 6 M 5 6 M pesanteur 6 0
p pivot = DG= = minus
rarr + rarr + rarr =
m 0 0 0 C G Gz x x y y + +( ) 0 0Mgy minus = m 0 0 C 0Gz Mgx z minus =
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(S)
O
G
˟P
Cineacutetique des systegravemes mateacuteriels
1 Masse et inertie
La cineacutetique est lrsquoeacutetude des caracteacuteristiques drsquoinertie
11 Notions drsquoinertie
La masse ne suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation Pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en compte la reacutepartition de cette
masse sur le solide
Lrsquoinertie caracteacuterise la reacutesistance qursquooppose un corps par sa nature propre agrave une variation de mouvement
La masse suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation mais pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en consideacuteration la reacutepartition de
cette masse sur le solide
12 Principe de conservation de la masse
Un ensemble mateacuteriel (E) veacuterifie le principe de conservation de la masse si tout sous
ensemble mateacuteriel (e) de lrsquoensemble (E) a une masse m(e) constante au cours du temps soit
Conseacutequence
Pour un systegraveme mateacuteriel consideacutereacute comme un ensemble de points P chacun de
masse eacuteleacutementaire dm et sur lequel on a deacutefini une fonction vectorielle on peut alors deacutemontrer que
pour tout repegravere R
13 Centre drsquoinertie drsquoun solide
131 Deacutefinition
Pour un solide S de masse m on appelle centre drsquoinertie
le point G deacutefini par
Ce qui donne
Forme du solide Expression de dm Centre drsquoinertie
Volume
Surface
Ligne
1 OG OP d
L=
NB Le centre drsquoinertie appartient agrave la symeacutetrie caracteacuterisant les solides
Applications 1 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
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2 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-disque homogegravene de rayon R
132 Centre drsquoinertie drsquoun ensemble mateacuteriel
Soit un ensemble mateacuteriel E constitueacute de n solides Si et
Exemple
Deacuteterminer le centre drsquoinertie du solide (S) composeacute drsquoun cylindre creux (S1) et drsquoun paralleacuteleacutepipegravede (S2)
On note
mi masse et Gi centre drsquoinertie du solide (Si)
a
b
h
Ri
Re
O=G1
O
R
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
r
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
R
(S2)
(S1)
G2
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avec et
On aura donc
133 Theacuteoregravemes de Guldin
Lrsquoutilisation de theacuteoregraveme de Guldin permet de simplifier le calcul de la position du centre drsquoinertie pour les
solides ayant un axe de reacutevolution
a) Premier theacuteoregraveme de Guldin
Lrsquoaire de la surface engendreacutee par une courbe plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant
pas est eacutegale au produit de la longueur de la courbe par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de
graviteacute
Deacutemonstration
0n considegravere une courbe (C) de longueur L de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la courbe tel que
En projection sur un axe contenu dans la plan contenant
La courbe et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de surface ds=rdθdℓ
La surface engendreacutee par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
b) Deuxiegraveme theacuteoregraveme de Guldin
Le volume engendreacute par une surface plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant pas est eacutegal
au produit de lrsquoaire de la surface par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de graviteacute
r
dℓ
dθ
O
rG
G
r
O
La rotation du demi fil de longueur (L) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere creuse de surface (S)
1er theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
(Δ)
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Deacutemonstration
0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la surface tel que
En projection sur un axe appartenant au plan contenant
La surface et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ
Le volume engendreacute par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
2 Moments et produits drsquoinertie
Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition
de la masse sur un solide
21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un
point A la quantiteacute positive
22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive
En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)
on deacuteduit donc
23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien
Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons
- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O
x
y
O
z (Δ)
i
P
H
(S) A
G
rG
r
r
O
P
dθ
(Δ)
O
La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)
2egraveme theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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(S)
O
G
˟P
Cineacutetique des systegravemes mateacuteriels
1 Masse et inertie
La cineacutetique est lrsquoeacutetude des caracteacuteristiques drsquoinertie
11 Notions drsquoinertie
La masse ne suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation Pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en compte la reacutepartition de cette
masse sur le solide
Lrsquoinertie caracteacuterise la reacutesistance qursquooppose un corps par sa nature propre agrave une variation de mouvement
La masse suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation mais pour un
mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en consideacuteration la reacutepartition de
cette masse sur le solide
12 Principe de conservation de la masse
Un ensemble mateacuteriel (E) veacuterifie le principe de conservation de la masse si tout sous
ensemble mateacuteriel (e) de lrsquoensemble (E) a une masse m(e) constante au cours du temps soit
Conseacutequence
Pour un systegraveme mateacuteriel consideacutereacute comme un ensemble de points P chacun de
masse eacuteleacutementaire dm et sur lequel on a deacutefini une fonction vectorielle on peut alors deacutemontrer que
pour tout repegravere R
13 Centre drsquoinertie drsquoun solide
131 Deacutefinition
Pour un solide S de masse m on appelle centre drsquoinertie
le point G deacutefini par
Ce qui donne
Forme du solide Expression de dm Centre drsquoinertie
Volume
Surface
Ligne
1 OG OP d
L=
NB Le centre drsquoinertie appartient agrave la symeacutetrie caracteacuterisant les solides
Applications 1 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
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2 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-disque homogegravene de rayon R
132 Centre drsquoinertie drsquoun ensemble mateacuteriel
Soit un ensemble mateacuteriel E constitueacute de n solides Si et
Exemple
Deacuteterminer le centre drsquoinertie du solide (S) composeacute drsquoun cylindre creux (S1) et drsquoun paralleacuteleacutepipegravede (S2)
On note
mi masse et Gi centre drsquoinertie du solide (Si)
a
b
h
Ri
Re
O=G1
O
R
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
r
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
R
(S2)
(S1)
G2
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avec et
On aura donc
133 Theacuteoregravemes de Guldin
Lrsquoutilisation de theacuteoregraveme de Guldin permet de simplifier le calcul de la position du centre drsquoinertie pour les
solides ayant un axe de reacutevolution
a) Premier theacuteoregraveme de Guldin
Lrsquoaire de la surface engendreacutee par une courbe plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant
pas est eacutegale au produit de la longueur de la courbe par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de
graviteacute
Deacutemonstration
0n considegravere une courbe (C) de longueur L de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la courbe tel que
En projection sur un axe contenu dans la plan contenant
La courbe et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de surface ds=rdθdℓ
La surface engendreacutee par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
b) Deuxiegraveme theacuteoregraveme de Guldin
Le volume engendreacute par une surface plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant pas est eacutegal
au produit de lrsquoaire de la surface par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de graviteacute
r
dℓ
dθ
O
rG
G
r
O
La rotation du demi fil de longueur (L) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere creuse de surface (S)
1er theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
(Δ)
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Deacutemonstration
0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la surface tel que
En projection sur un axe appartenant au plan contenant
La surface et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ
Le volume engendreacute par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
2 Moments et produits drsquoinertie
Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition
de la masse sur un solide
21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un
point A la quantiteacute positive
22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive
En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)
on deacuteduit donc
23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien
Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons
- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O
x
y
O
z (Δ)
i
P
H
(S) A
G
rG
r
r
O
P
dθ
(Δ)
O
La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)
2egraveme theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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2 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-disque homogegravene de rayon R
132 Centre drsquoinertie drsquoun ensemble mateacuteriel
Soit un ensemble mateacuteriel E constitueacute de n solides Si et
Exemple
Deacuteterminer le centre drsquoinertie du solide (S) composeacute drsquoun cylindre creux (S1) et drsquoun paralleacuteleacutepipegravede (S2)
On note
mi masse et Gi centre drsquoinertie du solide (Si)
a
b
h
Ri
Re
O=G1
O
R
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
r
O
P
dθ
θ
G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG
R
(S2)
(S1)
G2
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avec et
On aura donc
133 Theacuteoregravemes de Guldin
Lrsquoutilisation de theacuteoregraveme de Guldin permet de simplifier le calcul de la position du centre drsquoinertie pour les
solides ayant un axe de reacutevolution
a) Premier theacuteoregraveme de Guldin
Lrsquoaire de la surface engendreacutee par une courbe plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant
pas est eacutegale au produit de la longueur de la courbe par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de
graviteacute
Deacutemonstration
0n considegravere une courbe (C) de longueur L de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la courbe tel que
En projection sur un axe contenu dans la plan contenant
La courbe et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de surface ds=rdθdℓ
La surface engendreacutee par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
b) Deuxiegraveme theacuteoregraveme de Guldin
Le volume engendreacute par une surface plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant pas est eacutegal
au produit de lrsquoaire de la surface par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de graviteacute
r
dℓ
dθ
O
rG
G
r
O
La rotation du demi fil de longueur (L) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere creuse de surface (S)
1er theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
(Δ)
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Deacutemonstration
0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la surface tel que
En projection sur un axe appartenant au plan contenant
La surface et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ
Le volume engendreacute par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
2 Moments et produits drsquoinertie
Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition
de la masse sur un solide
21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un
point A la quantiteacute positive
22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive
En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)
on deacuteduit donc
23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien
Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons
- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O
x
y
O
z (Δ)
i
P
H
(S) A
G
rG
r
r
O
P
dθ
(Δ)
O
La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)
2egraveme theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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avec et
On aura donc
133 Theacuteoregravemes de Guldin
Lrsquoutilisation de theacuteoregraveme de Guldin permet de simplifier le calcul de la position du centre drsquoinertie pour les
solides ayant un axe de reacutevolution
a) Premier theacuteoregraveme de Guldin
Lrsquoaire de la surface engendreacutee par une courbe plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant
pas est eacutegale au produit de la longueur de la courbe par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de
graviteacute
Deacutemonstration
0n considegravere une courbe (C) de longueur L de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la courbe tel que
En projection sur un axe contenu dans la plan contenant
La courbe et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de surface ds=rdθdℓ
La surface engendreacutee par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
b) Deuxiegraveme theacuteoregraveme de Guldin
Le volume engendreacute par une surface plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant pas est eacutegal
au produit de lrsquoaire de la surface par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de graviteacute
r
dℓ
dθ
O
rG
G
r
O
La rotation du demi fil de longueur (L) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere creuse de surface (S)
1er theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
(Δ)
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Deacutemonstration
0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la surface tel que
En projection sur un axe appartenant au plan contenant
La surface et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ
Le volume engendreacute par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
2 Moments et produits drsquoinertie
Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition
de la masse sur un solide
21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un
point A la quantiteacute positive
22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive
En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)
on deacuteduit donc
23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien
Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons
- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O
x
y
O
z (Δ)
i
P
H
(S) A
G
rG
r
r
O
P
dθ
(Δ)
O
La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)
2egraveme theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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Deacutemonstration
0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G
Soit un point courant P de la surface tel que
En projection sur un axe appartenant au plan contenant
La surface et la droite (Δ)
On a et donc (1)
Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ
Le volume engendreacute par la rotation de la courbe
drsquoougrave la relation (2)
(1)=(2) rarr
Exemple
Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R
2 Moments et produits drsquoinertie
Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition
de la masse sur un solide
21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un
point A la quantiteacute positive
22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite
On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive
En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)
on deacuteduit donc
23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien
Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons
- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O
x
y
O
z (Δ)
i
P
H
(S) A
G
rG
r
r
O
P
dθ
(Δ)
O
La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe
engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)
2egraveme theacuteoregraveme de Guldin
On aura donc
R
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Donc on peut eacutecrire
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Relation entre les moments drsquoinertie
24 Produits drsquoinertie
Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse
La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide
31 Deacutefinition
Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le
vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice
32 Matrice drsquoinertie
La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne
les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie
Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie
Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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On note
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe
Par convention on pose
Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees
33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque
On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par
O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie
On sait que
Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe
4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie
La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme
quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres
de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes
- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O
- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O
42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie
a) Un plan de symeacutetrie
Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan
Exemple
Le plan est plan de symeacutetrie
On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques
(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement
un point Prsquo(xyz-)є S2
On effectue un changement
de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave
On deacutemontre de mecircme E=0
Donc
b) Deux plans de symeacutetrie
Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la
droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits
drsquoinertie sont nuls
La matrice est donc diagonale
Exemple
et sont les deux plans de symeacutetrie
- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)
- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)
Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de
symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie
G
P
Prsquo
G
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G
On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois
produits drsquoinertie
On a avec = = =m
dm dv dv dv dx dy dzv
De mecircme on deacutemontre
Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G
c) Axe de reacutevolution
Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie
La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de
reacutevolution et en tout point de cet axe
Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution
Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la
disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport
aux axes et sont eacutegaux
Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme
La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee
admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur
y
G
dy
x
dx
z
dz
G
a
b
c
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et
de hauteur H
Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees cylindriques On a
Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G
d) Centre de symeacutetrie
Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution
que possegravede le solide
Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc
la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit
sous la forme suivante
G
G
dθ
z
dz
θ
r
dr
G
R
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G
On sait que avec O origine du repegravere
Soit O=G
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G
Application
Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G
La forme de la matrice drsquoinertie
On utilise les coordonneacutees spheacuteriques
On a
Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G
5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute
Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la
matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)
G
dθ
θ
rsinφ
dr
dφ
φ
r
rco
sφ
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec
On note
Donc
Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)
On a
De mecircme
et
Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par
51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier
6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie
Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires
dont les matrices sont simples agrave calculer
Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a
Application
Le solide (S) de masse m est composeacute de
- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri
- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c
(Δrsquo)
G
(Δ)
(S) d bull
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
Sciences industrielles Cours Cineacutetique
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
Sciences industrielles Cours Cineacutetique
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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Questions
1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux
(S1) au point O et dans la base
3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au
point O et dans la base
4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base
Reacuteponses
Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc
Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O
O
O
O
O
Solide S1
Masse m1= m11- m12
Volume V1= V11- V12
Masse volumique
Solide S11(cylindre plein de
rayon Re et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V11
Masse
Solide S12 (cylindre plein de
rayon Ri et de hauteur h)
Masse volumique ρ
Volume V12
Masse
c
a
h
Ri
Re
O=G1
O
(S1)
(S2)
G2
b
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
Sciences industrielles Cours Cineacutetique
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
Sciences industrielles Cours Cineacutetique
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
Sciences industrielles Cours Cineacutetique
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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On aura donc avec
Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens
On a avec
On a Ce qui donne
On note tel que
Q4
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7
Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution
de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h
Paralleacuteleacutepipegravede rectangle
De longueur a de largeur b et de hauteur c
Matrices drsquoinertie des solides usuels
G
Ri=0 h=0 Ri= Re
Cylindre plein Enveloppe cylindrique
Tige rectiligne
Disque creux
h=0 R=0 h=0
Disque plein Cercle
a=b=c c=0
a=0
b=0
c=h
Cube Plaque
G
a
b
c
a
b
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
Sciences industrielles Cours Cineacutetique
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
Sciences industrielles Cours Cineacutetique
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8 Torseur cineacutetique
81- Deacutefinition
Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)
82- Relation de changement de point du moment cineacutetique
Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et
83- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere
Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire
On a
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du
vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base
Remarques importantes
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point
- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par
changement de point
Cas particuliers
- Si le point A est confondu avec G
- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))
- Si le mouvement du solide (S) est une translation
Relation de changement de point (Passant par G)
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
Sciences industrielles Cours Cineacutetique
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq
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9 Torseur dynamique
Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout
point A quelconque le torseur suivant
Relation de changement de point
10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique
Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )P RP R
E R P R P RAp E p E p E p E
R RR
d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm
dt dt dt
= = = minus
( )( ) ( ) ( )( )
E R P R P RAp E p E
R R
d d AO OPAP V dm V dm
dt dt
+ = minus
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
+
= minus minus
= +
E RAE R A R P R P RA R
p ER
E RAA R P R
p ER
dV V V dm
dt
dV V dm
dt
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
E R E RA AE R A R P R A R G RA
p ER R
d dV V dm V mV
dt dt
= + = +
( )( ) ( ) ( )
( )E RAA
R
E R A R G Rd
dtmV V
= +
Remarque importante
- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R
doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )
A R
R
d OAV
dt
=
- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation
ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R
Cas particuliers
Le point A est fixe dans R ( )
( )( )E RA
A
R
E Rd
dt
=
Le point A est confondu avec G ( )
( )( )E RG
G
R
E Rd
dt
=
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
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1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
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11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport
agrave R est le scalaire suivant
111- Cas du solide indeacuteformable
Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z
Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a
Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette
relation dans des points particuliers
- En G centre drsquoinertie
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O
- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment
drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)
- Pour un mouvement de translation
12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R
13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe
131 Deacutefinition
Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes
(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ
que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit
eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun
actionneur
Meacutethode
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique
1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles
1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur
Sciences industrielles Cours Cineacutetique
CPGE MP - PSI - Page 2727 - Prof AELFARH
Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
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Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe
132 Exemple 1
On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de
Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge
Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti
Scheacutema eacutequivalent 2
0 1
1( )
2 = eqT R J w
Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est
133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere
Scheacutema eacutequivalent
La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est
Moment drsquoinertie I2
I1
Loi entreacutee sortie cineacutematique
Reacuteducteur
Pas p
Mc
Creacutemaillegravere (1)
de masse M1
Pignon (2) de rayon
R et de moment
drsquoinertie I2
M
Charge
Mot Jeq
- rapport de reacuteduction
du reacuteducteur 21
1
=w
rw
- vitesse de
deacuteplacement de la
charge de masse Mc
2v2
=p
w
Veacuterin Meq