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SEANCE 1 : LA CINEMATIQUE
Exercice 1
Le chauffeur dun train roulant a` 100 km/h voit sur la meme voie
a` 90 m, le fourgon dun trainroulant, dans le meme sens, a` 28 km/h
. Il bloque les freins aussitot, provoquant une deceleration de2
m/s2 . Y aura-t-il collision ? Si oui, en quel endroit ?Rep. : oui,
143,2 m apre`s le debut du freinage.
Exercice 2
En admettant que lacceleration ~g de tout objet est dirigee
verticalement vers le bas et vaut, pourfaciliter les calculs, 10
m/s2,
(a) calculer la portee horizontale dun tir de vitesse initiale
du projectile v0 = 200m/s en fonction delangle que fait v0 avec
lhorizontale ;
(b) determiner la portee maximale et langle qui permet de
latteindre.
Rep. : (a) x = 4.103 sin(2), (b) 4000 m, pour un angle = 45
.
Exercice 3
Un bombardier survole a` 500 m daltitude le sillage dun navire
quil veut detruire. Il vole a` unevitesse de 774 km/h. A linstant t
= 0 son radar mesure la distance au navire soit 3000 m. Uneseconde
plus tard il refait la mesure et obtient 2800 m. A quel instant la
bombe doit-elle etre lachee ?On neglige les frottements, g = 9,
81m/s2.Rep. : 4,47 s apre`s la premie`re mesure.
Exercice 4
Une roue de 100mm de rayon part du repos et est animee autour de
son axe horizontal dun mou-vement uniformement accelere.
Lacceleration angulaire vaut = 0, 6 rad/s2. Calculer
laccelerationet la vitesse lineaires dun point du bord de la roue
situe initialement sur le diame`tre horizontal lorsquela roue a
tourne dun demi-tour. Quel angle fait a` ce moment lacceleration du
point avec le diame`trehorizontal ?Rep. : ~v = (0;R2pi) = (0;0,
194)m/s ; ~a = (2piR;R) = (0, 377;0.06)m/s2 ; = arctan(ay/ax) =9,
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Exercice 5
Un corps ponctuel est lance dun point O avec une vitesse formant
un angle pi/2 par rapporta` lhorizontale. On constate que pour des
angles appartenant a` lintervalle I la distance au point Odiminue
apre`s un temps t dependant de . Determiner I, en supposant
lacceleration de la pesanteur~g constante.Rep. : I =] arcsin(
8/3);pi/2].
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Exercice 6
Un plateau circulaire horizontal est anime dun mouvement
uniformeautour dun axe vertical ZZ passant par son centre O et fait
50tours/min. Dans un plan vertical passant par ZZ et du meme cotede
cet axe, sont maintenues deux petites sphe`res A et B. La
partieinferieure de A est a` une distance de 201,6 cm du plateau,
celle de Ba` 270 cm du plateau. A un certain moment on lache les
deux sphe`res.Elles tombent et impriment sur le plateau deux traces
de centre a etb telles que langle aOb soit egal a` 30 . Calculer
lacceleration de lapesanteur.Rep. : g = 9, 98m/s2.
Exercice 7
On se propose de mesurer la vitesse dune balle. Pour cela, on
tire au-travers des bases circulairesdun cylindre situe a` 100 m du
pistolet, ayant une longueur de 1 m et tournant a` la vitesse de
600tours/min. Laxe du tir et celui du cylindre sont paralle`les.
Langle que font les rayons joignant lesdeux trous avec laxe du
cylindre est de 60 . Calculer la vitesse de la balle a` cette
distance de 100men supposant quelle reste constante tout au long de
la traversee du cylindre.Rep. : v = 60m/s.
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SEANCE 2 : LES FORCES, LES LOIS DES NEWTON
Exercice 1
Un corps de poids P repose sur un plan incline dun angle par
rapport a` lhorizontale. Le coefficientde frottement est .
(a) Sous quelle condition est-il en equilibre statique ? Faire
un schema des forces agissant sur ce corps,en indiquant la valeur
de leur norme.
(b) Determiner la force a` appliquer pour lui faire gravir le
plan avec une vitesse constante.
Rep. : (a) tan s ; (b) FM = mg[k cos + sin ].
Exercice 2
Pirlouit veut monter dans un arbre sans grimper. Il est assis
sur unebalancoire attachee par une poulie a` larbre. Il tire sur
lextremite librede la corde de telle manie`re que le dynamome`tre y
indique 250 N .Sachant que le poids de Pirlouit est de 320 N et
celui de la balancoireest de 160 N , calculez lacceleration de
Pirlouit. Quelle est lintensitede la force que ce dernier exerce
sur la balancoire ?Rep. : a = 0, 4088m/s2;FN = 250/3N .
Exercice 3
Determiner la force quun homme de 100 kg exerce sur le sol dun
ascenseur quand
(a) il est au repos, monte a` la vitesse constante de 1 m/s,
descend a` la vitesse constante de 1 m/s ;
(b) la masse monte (ou descend) avec une acceleration de norme 1
m/s2.
Resoudre cet exercice dans un referentiel dinertie et dans le
referentiel de lascenseur. Donner troisautres exemples de forces
fictives dinertie.Rep. : (a) R = mg ; (b) R = m(g + 1) (phase
ascendante) ; R = m(g 1) (phase descendante).
Exercice 4
Lexpression F = a rv+ b r2v2 donne la norme de la force
resistive exercee sur une sphe`re de rayonr par un flux dair se
deplacant a` une vitesse v, ou` a et b sont des constantes (unites
SI appropriees).Leurs valeurs numeriques sont a = 3, 1.104 et b =
0, 87. En utilisant cette expression, trouvez lavitesse limite de
gouttes deau en chute libre dans lair sous leur propre poids, en
prenant les valeurssuivantes pour les rayons : (a) 10,0 m, (b) 100
m, (c) 1,00 mm.Rep. : (a) 0,0132 m/s ; (b) 1,03 m/s ; (c) 6,87
m/s.
Exercice 5
Une voiture doit negocier un virage en quart de cercle de rayon
R. Le profil de lasphalte estreleve vers lexterieur dun angle . Le
coefficient de frottement des pneus sur lasphalte vaut k etest
suppose independant de la vitesse. Montrer que la vitesse ne peut
depasser une certaine limite.Calculer cette limite.Rep. : v [gR(sin
+ k cos )/(cos k sin )]1/2.
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Exercice 6
Soit un pendule conique de longueur L et de masse m. On fixe la
vitesse angulaire. Trouver lexpression qui fournit la valeur de
langle entre le fil et la verticale.Rep. : = arccos[g/(2L)].
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SEANCE 3 : LES LOIS DE CONSERVATION
Exercice 1
En apesanteur, on provoque la destruction dun engin spatial de
masse M , au repos, a` laide dunecharge explosive. Trois fragments
: m1, m2 et m3 sont emis a` 120 lun de lautre, dans un meme
plan.Leurs vitesses sont dans le rapport v : 2v : 3v. Calculez les
masses des fragments et lenergie dissipeepar lexplosion.Rep. : m1 =
(6/11)M ; m2 = (3/11)M ; m3 = (2/11)M et E = (18/11)Mv
2.
Exercice 2
Dans le schema ci-dessous, le bloc parallelepipedique a une
massede 50 kg et le cylindre a un rayon de 10 cm, pour une masse de
30kg. Le cylindre roule sans glisser et on neglige la masse de la
pou-lie. Combien de temps faudra-t-il pour que le syste`me parcoure
1m de plan incline, (a) en negligeant les forces de frottement ?
(b)en tenant compte du frottement entre le bloc et le plan dont
lecoefficient de frottement est k = 0, 2 ?Rep. : (a) t = 1, 17 s ;
(b) t = 1, 65 s.
Exercice 3
Un wagon de 20 tonnes est au repos a` 10 m daltitude lorsque ses
freins lachent. Il descendla colline et percute un wagon de 10
tonnes situe au bas de celle-ci. Les deux wagons roulent
alorsensemble et escaladent la colline voisine.
(a) Si les frottements sont negliges, quelle altitude
atteindront-ils ?
(b) Lenergie mecanique est-elle conservee ?
Rep. : (a) h = (M2h)/(m+M)2 = 4, 44m ; (b) Non.
Exercice 4
Un bloc de 8 kg est lache du point A de la figure ci-dessous. La
piste est parfaitement lisse (frictionnulle) sauf dans la portion
comprise entre B et C qui a une longueur de 6 m. Le bloc, une fois
lache,parcourt la piste jusquau ressort, dont la constante de
rigidite vaut 2000 N/m, et compresse celui-cide 30 cm par rapport
a` sa longueur naturelle avant de rebondir.
(a) Determinez le coefficient de friction cinetique entre le
bloc et la portion rugueuse de la piste.
(b) Determinez la position darret du bloc.
Rep. : (a) c = 0, 308 ; (b) d = 3, 713m.
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Exercice 5
Un point materiel de masse m glisse avec frottement sur deux
plans inclines dun angle parrapport a` lhorizontale et de
coefficient de frottement . Le point materiel part du point A situe
a` unehauteur h et atteint, dans un premier temps, le point B situe
a` une hauteur h.
(a) Determiner la valeur de h en fonction de h, et .
(b) Application numerique : h = 1m, = k = s = 0, 1 et = 30 .
(c) Le point materiel repartira-t-il du point B ?
(d) Quelle distance totale d le point materiel parcourra-t-il
sur les deux plans inclines avant de sarreteren C ? Si necessaire,
on peut se souvenir que
n=0
n+1 = /(1 ).
Rep. : (a) h = h(1 coth)/(1 + coth) ; (b) h = 0, 705m ; (c) Oui.
; (d) d = h/( cos) =11, 55m.
Exercice 6
Adepte des experiences extremes, vous decidez deffectuer un saut
a` lelastique pendant les va-cances. Bien quayant une confiance
totale dans les professionnels, vous desirez controler
prealablementle dispositif. Lelastique prevu a une longueur
naturelle de 25 m, votre masse est de 70 kg et le pontdou` vous
sauterez est eleve de 36 m au-dessus du fond dun ravin. Quelle doit
etre la constante derigidite de lelastique, si vous souhaitez
garder une securite de 4 m par rapport au sol ?Rep. : 896,9
N/m.
Exercice 7
Un cube plein de cote 2a et de masse m glisse sur une tablesans
friction avec une vitesse constante v. Il heurte un petitobstacle
a` lextremite de la table, ce qui le fait pivoter au-tour de lune
de ses aretes. Trouver la valeur minimale de vpermettant au cube de
basculer jusqua` tomber de la table.Remarque : le choc en bout de
course est inelastique.Rep. : v = 4[(ga/3)(
2 1)]1/2.
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SEANCE 4 : LES ROTATIONS
Exercice 1
Etablir la position du centre de masse dun disque plat. Calculer
son moment dinertie pour unaxe de rotation qui lui est
perpendiculaire et qui passe par son centre.Rep. : Centre de masse
au centre geometrique du disque ; I = MR2/2.
Exercice 2
Calculer lacceleration des masses et du centre de masse, les
energiescinetiques ainsi que la tension de la corde dans une
machine dAtwood,
(a) si on neglige la masse de la poulie.
(b) si la poulie est de masse m.
Rep. :
(a) a1 = a2 = (m2 m1)(m1 +m2)
g ; aCM =(m1 m2)2(m1 +m2)2
g ;
T = T1 = T2 =(2m1m2)
(m1 +m2)g
(b) a1 = a2 = (m2 m1)(m1 +m2 +m/2)
g ;
aCM =(m1 m2)2
(m1 +m2 +m)(m1 +m2 +m/2)g ;
T1 = m1(g + a1) ; T2 = m2(g a1)
Exercice 3
Que fait une bobine de fil qui roule sans glisser lorsque lon
tire sur le fil avec une force ~F ?
Rep. : La bobine accele`re dans le sens de ~F (vers la
gauche).
Exercice 4
Trouver lexpression de lacceleration du centre de masse dun
disque plein roulant sans glisser surun plan incline.Rep. : aCM =
mg sin /(m+ I/R
2).
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Exercice 5
Un cylindre de moment dinertie I1 est en rotation autour dun
axevertical sans friction de vitesse angulaire i. Un second
cylindre ,cette fois de moment dinertie I2 et initialement a`
larret, est lachesur le premier. A cause des frictions entre les
surfaces les deuxatteignent finalement la meme vitesse angulaire f
.
(a) Calculez f .
(b) Montrez que lenergie cinetique du syste`me decrot dans
cetteinteraction, et calculez le rapport entre les energies de
rotationfinale et initiale.
Rep. : (a) f = I1/(I1 + I2)i ; (b) Kf/Ki = I1/(I1 + I2).
Exercice 6
Calculer le moment dinertie dun cube de masse m et de cote 2c
pour une rotation autour dunede ses aretes (cf.ex.7, seance 3), en
utilisant une table des moments dinertie dobjets
geometriquescommuns.
Rep. : Iarete = (8/3)ma2.
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SEANCE 5 : LA STATIQUE DES SOLIDES ET LA
FORCEGRAVITATIONNELLE
Exercice 1
Un perchiste tient en equilibre une perche pesant 29,4 N en
exercant une force ~U vers le haut avecsa main avant et une force
vers le bas ~D avec sa main arrie`re (voir schema). Le point C est
le centrede gravite de la perche. Quelles sont les normes de ~U et
~D ?
Rep. : U = 88, 28N ; D = 58, 8N .
Exercice 2
Une force verticale ~P est appliquee a` un cylindre uniforme de
poids ~FG.Le coefficient de friction statique entre le cylindre et
les parois vaut0, 5. Calculer la force maximale que lon peut
appliquer au cylindresans que celui ne se mette en rotation. Indice
: quand le cylindre estsur le point de glisser, les deux forces de
friction sont a` leur valeurmaximum. Pourquoi ?Rep. : Pmax =
(3/8)FG.
Exercice 3
Un bloc de masse m = 2 kg est place sur un autre bloc de masse M
= 4 kg. Le coefficient defrottement statique pour toutes les
surfaces est s = 0, 2. On ne tient pas compte de la masse de
lapoulie ni de celle de la corde. Pour quelle valeur minimale de ~F
les blocs entreront-ils en mouvement ?
Rep. : Fmin = s(3P1 + P2) = 19, 62N .
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Exercice 4
Une poutre lege`re de 10 m de long est soutenue par un cable
attache a` un ressort de constantek = 8.25 kN/m comme represente
sur la figure. Quand aucune charge nest appliquee a` la poutre(~FG
= ~0), la longueur L vaut 5 m. (a) Trouver langle correspondant a`
cette situation. (b) Maintenantune charge FG = 250N est pendue a`
lextremite. Ignorer temporairement lextension du ressort et
lamodification de . Calculer la tension dans le cable avec cette
approximation. (c) Utiliser le resultatobtenu en (b) pour calculer
lelongation du ressort et la nouvelle valeur de langle . (d)
Utilisantlangle obtenu en (c), trouver une nouvelle approximation
de la tension dans le cable. (e) Utiliser leresultat obtenu en (d)
pour calculer de meilleures estimations pour lelongation du ressort
et langle. (f) Quelle est la valeur a` trois decimales de langle
lorsque la poutre est mise en charge ?
Rep. : (a) = 53, 1 ; (b) T = 1, 04.103N ; (c) x = 0, 126m ; (d)
= 51, 2 ; T = 1, 07.103N ; (e)x = 0, 129m ; = 51, 1 ; (f) = 51, 2
.
Exercice 5
Un satellite artificiel tourne a` une altitude de 1600 km ; le
rayon de la Terre est de 6.400 km.Quelle est la periode de
revolution du satellite autour de la Terre ?Rep. : T = 2pir3/2/(GMT
)
1/2.
Exercice 6
Calculer laltitude dun satellite geostationnaire. On donne G =
6, 67.1011 S.I., MT = 6.1024 kg,RT = 6400 km.Rep. : h = 36000
km.
Exercice 7
Lorsquun satellite subit une force de frottement au contact des
hautes couches de latmosphe`re, ilaccele`re. Pouvez-vous expliquer
ce paradoxe apparent dans le cas particulier dune trajectoire
circu-laire ?Rep. : Oui nous le pouvons !
Exercice 8
Sur Terre, Frank apprend quil est retenu comme astronaute par la
NASA et fait des bonds dejoie de hauteur h. Envoye en mission sur
un asterode de masse volumique egale a` celle de la Terre,
ilsapercoit quil peut sarracher a` lattraction de lasterode en
effectuant un saut de meme energie, a`
10
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condition que le rayon de lasterode nexce`de pas une certaine
valeur. Quelle est cette valeur ?Rep. : RA
