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Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition : factorisation et développement – Exercices corrigés

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1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : décrire une expression en utilisant les termes somme, différence, produit et quotient

Exercice 2 : reconnaitre une expression factorisée et une expression développée

Exercice 3 : utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition

Exercice 4 : utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition

Exercice 5 : développer et calculer une expression

Exercice 6 : développer et réduire une expression

Exercice 7 : repérer un facteur commun dans une expression développée

Exercice 8 : factoriser une expression où le facteur commun est mis en évidence

Exercice 9 : factoriser et réduire une expression où le facteur commun est mis en évidence

Exercice 10 : factoriser une expression en cherchant le facteur commun

Exercice 11 : factoriser une expression en cherchant le facteur commun

Exercice 12 : développer une expression puis la réduire à l’aide de la factorisation

Exercice 13 : calculer astucieusement à l’aide de la factorisation

Exercice 14 : calculer astucieusement à l’aide du développement

Exercice 15 : calculer mentalement en faisant appel à la distributivité

Exercice 16 : utiliser la distributivité pour résoudre un problème

Exercice 17 : utiliser la distributivité en géométrie pour calculer l’aire d’un rectangle

Exercice 18 : suivre un programme de calcul et le simplifier en faisant appel à la distributivité

Exercice 19 : utiliser la distributivité pour montrer que la somme de deux nombres pairs est paire

Exercice 20 : calculer le périmètre et l’aire d’un carré avant et après agrandissement de ses côtés

Exercice 21 : calculer la longueur d’un arc de cercle

Exercice 22 : effectuer un calcul difficile sans calculatrice grâce à la distributivité

Exercice 23 : tester une égalité où apparaît la distributivité

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Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition

Exercices corrigés

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2

1) Dans chacun des six cas suivants, décrire l’expression en utilisant à bon escient les mots « somme »,

« différence », « produit » et « quotient ».

2) Effectuer les calculs des différentes expressions ci-dessus en respectant les règles opératoires.

Rappel : Somme de termes

Lorsque l’on additionne des nombres, on obtient la

somme de ces nombres. Chaque nombre que l’on

additionne est appelé terme. Autrement dit, une

somme est le résultat de l’addition de termes.

Exemple : ⏟

⏟

⏟

Rappel : Différence de deux termes

Lorsque l’on soustrait deux nombres, on obtient la

différence de ces deux nombres. Chaque nombre

est appelé terme. Autrement dit, une différence est

le résultat de la soustraction d’un terme à un autre

terme.

Exemple : ⏟

⏟

⏟

Rappel : Produit de facteurs

Lorsque l’on multiplie des nombres, on obtient le

produit de ces nombres. Chaque nombre que l’on

multiplie est appelé facteur. Autrement dit, un

produit est le résultat de la multiplication de

facteurs.

Exemple : ⏟

⏟

⏟

Rappel : Quotient de deux nombres

Lorsque l’on divise un nombre (le dividende) par

un nombre non nul (le diviseur), on obtient le

quotient de ces deux nombres. Autrement dit, un

quotient est le résultat de la division d’un diviseur

par un dividende.

Exemple : ⏟

⏟

⏟

1) Décrivons chacune des expressions.

Dans l’expression , la soustraction entre parenthèses est prioritaire devant la multiplication. Il convient donc

de calculer tout d’abord la différence des termes 7 et 3, puis de calculer le produit de cette différence par le

facteur 4. Par conséquent, la dernière opération à effectuer est la multiplication.

Finalement, est le produit de la différence de 7 et de 3 par 4.

Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu



3

⏟

⏟ ⏟

⏟

⏟

⏟

Dans une expression avec des parenthèses, on

effectue d’abord les calculs situés entre parenthèses.

Dans l’expression , la multiplication est prioritaire devant l’addition. Il convient donc de calculer tout d’abord

le produit des facteurs 5 et 7, puis de calculer la somme de 3 et de ce produit. Par conséquent, la dernière

opération à effectuer est l’addition.

Finalement, est la somme de 3 et du produit de 5 par 7.

⏟

⏟

⏟ ⏟

⏟ ⏟

Dans un calcul sans parenthèses, on effectue

d’abord les multiplications et les divisions, qui sont

prioritaires devant les additions et les soustractions.

Dans l’expression , la multiplication et la division sont deux opérations prioritaires. Il convient donc de

calculer tout d’abord le produit des facteurs 9 et 3 d’une part et le quotient du dividende 4 par le diviseur 2

d’autre part, puis de calculer la différence de ce produit et de ce quotient. Par conséquent, la dernière opération

à effectuer est la soustraction.

Finalement, est la différence du produit de 9 par 3 et du quotient de 4 par 2.

⏟

⏟ ⏟

⏟

⏟

⏟ ⏟

⏟ ⏟

Dans l’expression , la soustraction entre parenthèses et l’addition entre parenthèses sont deux opérations

prioritaires. Il convient donc de calculer tout d’abord la différence des termes 5 et 2 d’une part et la somme des

termes 4 et 9 d’autre part, puis de calculer le produit de cette différence par cette somme. Par conséquent, la

dernière opération à effectuer est la multiplication.

Finalement, est le produit de la différence de 5 et 2 par la somme de 4 et 9.

⏟

⏟ ⏟

⏟

⏟

⏟ ⏟

⏟ ⏟

Dans l’expression , l’addition entre parenthèses est prioritaire devant la division. Il convient donc de calculer

tout d’abord la somme des termes 5 et 2, puis de calculer le quotient de cette somme par le diviseur 7. Par

conséquent, la dernière opération à effectuer est la division.



4 4

Finalement, est le quotient de la somme de 5 et 2 par 7.

⏟

⏟ ⏟

⏟

⏟

⏟

Dans l’expression , la division est prioritaire devant l’addition. Il convient donc de calculer tout d’abord le

quotient du dividende 6 par le diviseur 2, puis de calculer la somme de 3 et de ce quotient. Par conséquent, la

dernière opération à effectuer est l’addition.

Finalement, est la somme de 3 et du quotient de 6 par 2.

⏟

⏟

⏟ ⏟

⏟ ⏟

2) Calculons chacune des expressions.

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟



5 5

Parmi les expressions suivantes, préciser celles qui sont factorisées et celles qui sont développées.

Rappel : Expression développée

Une expression développée est une expression écrite

sous forme d’une somme (ou d’une différence) de

deux ou plusieurs termes.

Exemples : et sont deux

expressions développées.

Rappel : Expression factorisée

Une expression factorisée est une expression écrite

sous forme d’un produit de deux ou plusieurs

facteurs.

Exemples : et sont

deux expressions factorisées.

Soit l’expression . Cette expression est le produit du facteur 2 par le facteur . Il s’agit

donc d’une expression factorisée.

Rappel : Simplification d’écriture – Signe de la multiplication inutile

Le signe de la multiplication est inutile :

entre un nombre et une lettre (exemple : ) (Attention ! Par convention, on place le nombre

devant la lettre : )

entre deux lettres (exemple : )

entre un nombre et une parenthèse (exemple : )

entre une lettre et une parenthèse (exemple : )

entre deux groupes mis entre parenthèses (exemple : )

Soit l’expression . Or, . L’expression est donc le produit

du facteur 5,2 par le facteur . Il s’agit d’une expression factorisée.

Soit l’expression . Or, . Cette expression est

le produit du facteur par le facteur . Il s’agit donc d’une expression factorisée.

Soit l’expression . Cette expression est la somme du terme et du terme . Il

s’agit donc d’une expression développée.

Exercice 2 (1 question) Niveau : facile




6 6

Soit l’expression . Cette expression est la différence du terme et du terme .

Il s’agit donc d’une expression développée.

Soit l’expression . Cette expression est la somme du terme et du terme . Il s’agit donc

d’une expression développée.

Soit l’expression . Cette expression est le produit du facteur par le facteur .

Il s’agit d’une expression factorisée.

Soit l’expression . Cette expression est la somme du terme et du terme 3. Il s’agit donc

d’une expression développée.



7 7

En utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, compléter les tirets par le nombre ou la

lettre qui convient.

Rappel : Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition

Multiplier un nombre par une somme de termes revient à multiplier ce nombre par chaque terme de la somme

puis à additionner tous les produits obtenus. Autrement dit, , égalité que l’on

peut également noter .

Remarques :

On note l’expression plus simplement

D’après la commutativité de la multiplication, on peut aussi bien noter

que

Plus généralement, on a .

ou

ou

ou

ou

ou

ou





8 8

En faisant appel à la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, compléter les tirets comme il

convient.

( )

( )

ou

( ) ou ( )

ou

ou

ou

( ) ou ( )

Ou bien encore…

( ) ou ( )

Exercice 4 (1 question) Niveau : moyen




9 9

Développer puis calculer les expressions suivantes.

Rappel : Développement d’une expression

Développer une expression, c’est écrire sous forme d’une somme algébrique une expression initialement écrite

sous forme d’un produit. Autrement dit, le développement d’une expression est la transformation d’un produit

de facteurs en somme (ou différence) de termes : ⏟

⏟ ⏟

.

On dit que l’expression est une forme développée de l’expression .

1ère

remarque : On peut vérifier ces résultats en utilisant les règles opératoires prioritaires.

2ème

remarque : On verra plus loin dans cette fiche qu’il est parfois plus intéressant d’utiliser la distributivité

que les règles prioritaires de calculs car la distributivité permet dans certains cas de simplifier les calculs et

d’effectuer des calculs de manière astucieuse.





10 10

Développer puis réduire les expressions suivantes.

(on observe que est le produit du facteur 5 par le facteur )

(le facteur 5 peut donc être distribué à tous les termes de la somme )

(on utilise la distributivité pour développer l’expression)

(on simplifie l’écriture en effectuant les calculs prioritaires : les multiplications)

(on continue de simplifier l’écriture)

(on observe que est le produit de par 3)

(on récrit l’expression en commutant les facteurs ; mais cette étape n’est pas obligatoire)

(on utilise la distributivité pour développer l’expression)

(on simplifie l’écriture en effectuant la première multiplication)

(on continue de simplifier l’écriture)





11 11

Dans chacune des expressions suivantes, encadrer le facteur commun.

Rappel : Facteur commun

Dans une expression développée, on appelle facteur commun un facteur présent dans tous les termes d’une

somme (ou d’une différence).

Exemple : ⏟

⏟

⏟

est une expression développée dans laquelle le nombre 2 est un facteur

commun à tous les termes de la somme.

⏟

⏟

L’expression est la somme de 2 termes : le

premier terme est le produit de 9 par 6, le second

terme est le produit de 9 par 7. Chacun de ces

produits contient donc le facteur 9. Le nombre 9

est le facteur commun recherché.

⏟

⏟





est donc le facteur commun recherché.

⏟

⏟

Attention ! Le nombre 7 est en commun seulement

une fois dans chaque terme !




produits contient donc le nombre 7. Le nombre 7


⏟

⏟

⏟

⏟






Remarque importante : Pour mettre en évidence un facteur commun, il faut parfois écrire un nombre sous la

forme d’un produit de ce nombre par 1. Exemples : ; ; ; …





12 12

Factoriser les expressions suivantes.

Rappel : Factorisation d’une expression

Factoriser une expression, c’est écrire sous forme d’un produit une expression initialement écrite sous forme

d’une somme algébrique. Autrement dit, la factorisation d’une expression est la transformation d’une somme

(ou différence) de termes en produit de facteurs : ⏟

⏟ ⏟

.

On dit que l’expression est une forme factorisée de l’expression .

Remarque : est appelé facteur commun à et à . Ainsi, factoriser une expression revient tout d’abord à

trouver un facteur commun aux termes d’une somme algébrique.

(on repère que est une expression développée et que 17 est un facteur commun à

chaque terme de la somme)

(on utilise la distributivité pour factoriser l’expression)

(on simplifie l’écriture)

Remarque : On pourrait simplifier encore cette écriture en effectuant les calculs, mais ce n’est pas l’objet de la

consigne… En l’occurrence, on aurait .

(on repère que est une expression développée et que est un facteur commun à chaque

terme de la somme)

(on utilise la distributivité pour factoriser l’expression)


On a aussi bien :

Remarque : On pourrait réduire en calculant la somme entre parenthèses mais, encore une fois, la consigne

impose seulement une factorisation. En l’occurrence, on aurait





13 13

Ou bien

Remarque : On pourrait réduire en notant que

Pour factoriser une expression, il faut :

1) tout d’abord repérer un facteur commun à chaque terme de la somme algébrique

2) puis utiliser la distributivité



14 14

Factoriser puis réduire les expressions suivantes.

Remarque importante : Une factorisation n’est pas unique… On aurait pu en effet factoriser autrement…

( )

( )

… Mais, parmi ces 4 autres factorisations, les deux premières ne sont pas les plus réduites et les deux dernières

sont plus fastidieuses.

(

) (

)

Remarque : Comme il a déjà été vu, on peut écrire sous la forme du produit pour faire apparaître le

facteur commun dans l’expression .

Puissance entière d’un nombre (hors-programme)

désigne le produit du nombre par lui-même. Autrement dit, . On dit que est le carré de .

désigne le produit du nombre par lui-même et encore par lui-même. Autrement dit, . On dit

que est le cube de .





15 15

Factoriser les expressions suivantes après avoir mis en évidence le facteur commun.

(on repère que est une expression développée mais on ne repère aucun facteur commun à chaque

terme de la somme)

(on décompose le terme 8 en produit de facteurs, à savoir en produit de 4 par 2, pour mettre

le facteur commun 4 en évidence)

(on utilise la distributivité pour factoriser par 4)


(on repère que est une expression développée mais on ne repère aucun facteur commun à

chaque terme de la somme)

(comme , on décompose le terme 2 en produit de facteurs, à savoir en

produit de 2 par et encore par , pour mettre le facteur commun en évidence)

(on utilise la distributivité pour factoriser par )


(on repère que est la somme de 3 termes ne contenant aucun facteur commun évident)

(on décompose chaque terme de la somme en produits, de sorte à faire

apparaître le facteur commun 6)



(on observe que est la somme de 2 termes semblant contenir comme commun évident)

(on utilise l’astuce qui permet d’écrire le terme sous la forme du produit de par 1 pour

mettre en évidence le facteur commun )

(on factorise par en utilisant la distributivité)





16 16


Quand l’expression développée ne comporte pas de facteur commun évident, pour la factoriser, il faut :

1) décomposer chaque terme de la somme algébrique en un produit comportant chacun le même facteur

2) puis s’assurer que ce facteur est un facteur commun à chaque terme de la somme algébrique

3) enfin utiliser la distributivité



17 17

Factoriser les expressions suivantes.

Exercice 11 (1 question) Niveau : difficile




18 18

Développer chaque expression ci-après puis, à l’aide de la factorisation, réduire l’expression obtenue.

Rappel : Nombres opposés et somme de nombres opposés

Deux nombres opposés sont deux nombres ayant la même partie numérique et des signes différents. Autrement

dit, deux nombres relatifs qui ne diffèrent que par leur signe sont opposés.

Exemples : et sont opposés ; et sont opposés ; et sont opposés.

La somme de deux nombres opposés est nulle.

Exemples : ; ;





19 19



20 20

Calculer chaque expression suivante en n'effectuant qu'une seule multiplication.

Rappel : Multiplication d’un nombre par 10, par 100 ou par 1 000

Quand on multiplie un nombre entier (sans virgule) par 10, on ajoute un 0 à la fin de ce nombre. Quand

on multiplie un nombre décimal (avec virgule) par 10, on décale la virgule de ce nombre d’un rang vers

la droite.

Quand on multiplie un nombre entier (sans virgule) par 100, on ajoute deux 0 à la fin de ce nombre.

Quand on multiplie un nombre décimal (avec virgule) par 100, on décale la virgule de ce nombre de

deux rangs vers la droite.

Quand on multiplie un nombre entier (sans virgule) par 1 000, on ajoute trois 0 à la fin de ce nombre.

Quand on multiplie un nombre décimal (avec virgule) par 1 000, on décale la virgule de ce nombre de

trois rangs vers la droite.

⏟

⏟

⏟

⏟

Remarque : On voit que, à l’aide de la factorisation, on a pu effectuer facilement le calcul de chaque

expression. Les calculs auraient été bien plus fastidieux et difficiles s’il avait fallu utiliser les règles prioritaires

de calculs.





21 21

Sans poser la multiplication, calculer astucieusement chacun des produits suivants.

(on observe que l’expression est le produit de deux facteurs, à savoir 53 et 11)

(on décompose le deuxième facteur en somme de termes, en l’occurrence 10 et 1, sans

oublier de noter cette somme entre parenthèses)

(on développe le produit en utilisant la distributivité)

(on effectue les multiplications, prioritaires devant l’addition)

(on effectue le calcul final)

(on observe que l’expression est le produit du facteur 12 par le facteur 101)

(on décompose le facteur 101 en somme de termes, en l’occurrence 100 et 1, sans oublier

de noter cette somme entre parenthèses)








(on simplifie l’écriture en réécrivant le nombre 200 sous la forme du produit

et on calcule )

(on simplifie de nouveau l’écriture en calculant )





22 22

Remarque : On pouvait également calculer de la manière suivante :


(on décompose le facteur 202 en produit de facteurs, en l’occurrence 101 et 2)

(on simplifie l’écriture en calculant )





Rappel : Multiplication d’un nombre par 0,1, par 0,01 ou par 0,001

Quand on multiplie un nombre par 0,1, on décale la virgule de ce nombre d’un rang vers la gauche.

Quand on multiplie un nombre par 0,01, on décale la virgule de ce nombre de deux rangs vers la

gauche.

Quand on multiplie un nombre par 0,001, on décale la virgule de ce nombre de trois rangs vers la

gauche.

(on observe que l’expression est le produit du facteur 312 par le facteur 4,1)

(on décompose le facteur 4,1 en somme de termes, en l’occurrence 4 et 0,1, sans oublier






23 23

Calculer mentalement les expressions suivantes.

Pour expliquer chaque calcul mental, détaillons-en les étapes.

(on repère le facteur commun 6,7 dans chacun des termes de la somme)

(on factorise par 6,7)

(on additionne les termes de la somme)

(on décompose 20 sous la forme d’un produit de facteurs, en l’occurrence 2 et 10)

(on utilise l’associativité de la multiplication pour effectuer le produit des facteurs 6,7 et 2)

(on effectue le calcul final en décalant la virgule du nombre 13,4 d’un rang vers la droite)

(on repère que cette somme contient 3 termes, dont 2 sont sous forme de produit)

(on utilise la commutativité de l’addition pour regrouper les termes contenant un

produit)

(on repère le facteur commun 4 dans les deux premiers termes de la somme)

(on factorise par 4, sans oublier de recopier le dernier terme de la somme)

(on additionne les termes de la somme 5,3 0,7)

(on effectue la multiplication, qui est prioritaire devant l’addition)


Remarque : On pouvait également calculer de la façon suivante :

(on repère que cette somme contient 3 termes)

(on récrit le deuxième terme de la somme sous forme du produit de 4 par 1,

pour faire apparaître le facteur commun 4)





24 24


(on additionne les deux premiers de la somme entre parenthèses

(on continue de calculer la somme entre parenthèses, ce calcul étant prioritaire devant la

multiplication)


(on repère que le nombre 13 apparait dans chacun des termes de la somme mais que 13 n’est

pas un facteur commun car, dans le deuxième terme, 13 n’est en facteur d’aucun nombre)

(on écrit le terme 13 sous la forme du produit pour faire apparaître 13 comme

facteur commun)

(on factorise par 13 en utilisant la distributivité)

(on additionne les termes de la somme, le calcul entre parenthèses étant prioritaire devant la

multiplication)


(on observe que l’expression est le produit d’un premier facteur décimal 5,12 par un second

facteur entier 305)

(on décompose le deuxième facteur en somme de termes, en l’occurrence 300 et 5, sans

oublier de noter cette somme entre parenthèses)

(on distribue 5,12 sur chaque terme de la somme)

(on simplifie l’écriture de l’expression en réécrivant 300 comme le produit de 3

par 100 et en calculant le produit de 5,12 par 5)

(on simplifie l’écriture de l’expression en calculant le produit de 5,12 par 3)

(on effectue la multiplication , prioritaire devant l’addition, en décalant la

virgule du nombre 15,36 de deux rangs vers la droite)




25 25

Avant de se rendre au collège, un élève achète quatre stylos à 1,15 euros l’unité et

quatre surligneurs coûtant chacun 1,85 euros.

Calculer de deux façons le montant des achats de cet élève.

1ère

méthode (expression développée) :

Calculons la dépense occasionnée par l’achat de quatre stylos puis de quatre surligneurs.

L’élève achète quatre stylos à 1,15 euros l’unité. Il dépense donc euros pour ces stylos. Il

achète en outre quatre surligneurs coûtant chacun 1,85 euros. Il dépense donc euros pour ces

surligneurs.

Au total, ses dépenses s’élèvent donc à euros, c’est-à-dire à 12 euros.

2ème

méthode (expression factorisée) :

Calculons la dépense générée par l’achat d’un stylo et d’un surligneur. Celle-ci s’élève à euros,

c’est-à-dire à 3 euros.

Comme l’élève achète quatre stylos et quatre surligneurs, il achète en fait quatre lots comprenant chacun un

stylo et un surligneur. Sa dépense totale est donc égale à euros, c’est-à-dire à 12 euros.

Conclusion :

On pouvait donc calculer le montant des achats en effectuant l’opération (1ère

méthode)

ou bien en effectuant l’opération (2ème

méthode). Chaque calcul conduisait au résultat

suivant : l’élève a dépensé 12 euros.

Exercice 16 (2 questions) Niveau : moyen




26 26

On a représenté ci-contre un rectangle bleu et un

rectangle vert .

Calculer de deux façons différentes l’aire du rectangle

.

Rappel : Aire d’un rectangle

Pour calculer l'aire d'un rectangle (ici hachurée en orange),

on multiplie sa longueur par sa largeur . Autrement dit,

l’aire d’un rectangle est le produit de sa longueur par sa

largeur . On note .

Notons l’aire du rectangle , l’aire du rectangle et l’aire du rectangle .

Calculons de deux façons différentes l’aire du rectangle .

1) 1ère

méthode : calcul direct de l’aire du rectangle

On a alors ⏟

⏟

⏟ [ ]

D’où, en remplaçant par les valeurs numériques, ⏟

2) 2e méthode : calcul de l’aire du rectangle par décomposition

On a aussi ⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

D’où, en remplaçant par les valeurs numériques,

Remarque : la 1ère

méthode conduit à une forme factorisée, tandis que la 2e méthode conduit à une forme

développée. On a précisément ⏟

⏟

.

Longueur

largeur





27 27

Voici un programme de calcul : choisis un nombre, multiplie-le par 5, ajoute ensuite 7 au résultat et prends le

double du dernier résultat obtenu avant d’enlever 14. Comment faire pour trouver rapidement le résultat final ?

Notons le nombre choisi au départ.

Multiplions ce nombre par 5 ; on obtient alors , c’est-à-dire .

Ajoutons ensuite 7 au résultat ; on obtient alors .

Prenons le double de ce résultat ; on obtient alors . En développant cette expression, on trouve

que .

Enlevons finalement 14 à ce résultat ; on obtient alors , c’est-à-dire .

Par conséquent, pour trouver rapidement le résultat final, il suffit de multiplier par 10 le nombre choisi au

départ.

Remarque : On peut vérifier la plausibilité de cette affirmation, c’est-à-dire vérifier à l’aide d’un exemple que

l’affirmation proposée ci-dessus est vraie au moins dans un cas précis.

Choisissons par exemple le cas du nombre 5. Multiplions ce nombre par 5 ; on trouve 25. Ajoutons ensuite 7 au

résultat ; on trouve 32. Prenons le double de ce résultat ; on obtient alors 64. Enlevons enfin 14 à ce dernier

résultat ; on trouve finalement 50. Or, 50 est bien égal à 5 10.





28 28

En utilisant la distributivité, montrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.

Rappel : Nombre pair – Multiple et diviseur

Un nombre pair se termine par le chiffre 0, 2, 4, 6 ou 8.

Par ailleurs, un nombre pair est un multiple de 2. Autrement dit, un nombre pair est divisible par 2.

Tout nombre pair est un multiple de 2 donc tout nombre pair peut s’écrire sous la forme (où désigne un

nombre (pair ou impair)). Ainsi, on peut noter que est un nombre pair et que (où désigne également un

nombre (pair ou impair)) est un autre nombre pair. La somme de ces deux nombres s’écrit alors . En

factorisant par 2 cette expression, on trouve que . Or, le nombre est un multiple

de 2 donc il est pair.

En conclusion, la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.





29 29

Soit un carré de côté 5 cm.

1) Calculer le périmètre de ce carré.

2) Calculer l’aire de ce carré.

On augmente chaque côté du carré de cm.

3) Calculer en fonction de le nouveau périmètre du carré obtenu.

4) Montrer que la nouvelle aire du carré obtenu est cm².

Rappel : Périmètre d’un carré et aire d’un carré

Le périmètre d’un carré de côté est : .

L’aire d’un carré de côté est : .

1) Calculons le périmètre du carré de côté 5 cm.

D’après la formule du périmètre d’un carré, cm.

2) Calculons l’aire de ce carré.

D’après la formule de l’aire d’un carré, cm².

On augmente désormais chaque côté du

carré de cm.

Ainsi, chaque côté mesure cm.

Exercice 20 (4 questions) Niveau : difficile




30 30

3) Calculons le nouveau périmètre du carré obtenu.

cm.

4) Calculons la nouvelle aire du carré obtenu.

(on repère que est le carré du nombre )

(comme est le carré de , on a ⏟

⏟

)

⏞

⏞

(on utilise la distributivité pour distribuer le premier facteur à

chacun des deux termes qui composent la somme du deuxième facteur, à savoir 5 et ; on obtient alors la

somme de deux termes)

⏞

⏞

(on utilise de nouveau la distributivité pour développer d’une part dans

le premier terme et d’autre part dans le deuxième terme ; on obtient alors la somme de quatre termes)

(on effectue les calculs, notamment les multiplications qui sont prioritaires)

(on factorise par )

(on réduit l’expression)

cm² (on ordonne les termes de la somme, c’est-à-dire on écrit d’abord le terme contenant

, celui contenant et celui ne contenant pas )



31 31

Sur le schéma ci-contre, le demi-cercle rouge a pour rayon et les deux

demi-cercles bleus ont pour rayons et tels que .

Montrer que la longueur de l’arc de cercle rouge est égale à la longueur

des deux arcs de cercles bleus.

Considérons tout d’abord l’arc de cercle rouge. Son rayon est . Or, le

périmètre d’un cercle de rayon est . Par conséquent, le périmètre

du demi-cercle rouge est égal à

. Autrement dit, la

longueur de l’arc de cercle rouge est égale à .

Considérons désormais le petit arc de cercle bleu, de rayon . Comme

précédemment, le périmètre du petit demi-cercle bleu est égal à la

moitié du périmètre d’un cercle de rayon , à savoir

.

Considérons enfin le grand arc de cercle bleu, de rayon . Le périmètre

du grand demi-cercle bleu est alors égal à

.

Finalement, la longueur des deux arcs de cercles bleus est égale à .

Or, à l’aide d’une factorisation, on montre que . De surcroit, d’après l’énoncé,

donc , en remplaçant par , on obtient .

En définitive, on vient de montrer que la longueur de l’arc de cercle rouge est égale à la longueur des deux

arcs de cercles bleus.





32 32

On sait que . Comment utiliser ce résultat pour calculer sans utiliser la calculatrice ?

1ère

méthode :

(on décompose le nombre 936 en 9 centaines, 3 dizaines et 6 unités simples)

(on utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour

développer)

(on fait apparaître le résultat de l’énoncé en décomposant en produits les facteurs 900, 30 et 6)

⏟

⏟

⏟

(on utilise le résultat de l’énoncé, à savoir , ainsi que

l’associativité de la multiplication)

(on effectue chaque multiplication puisque les multiplications sont prioritaires devant les additions)

(on calcule en ligne l’addition finale)

2ème

méthode :

(on fait apparaître le résultat de l’énoncé en décomposant 936 comme le produit du facteur 3 par le facteur 312)

⏟

(on utilise le résultat de l’énoncé, à savoir )

(on décompose le nombre 102 en 1 centaine et 2 unités simples)

(on utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer)

(on effectue chaque multiplication puisque les multiplications sont prioritaires devant les additions)

(on calcule en ligne l’addition finale)

Remarque : On peut bien entendu vérifier ce résultat à l’aide de la calculatrice. Dès lors qu’elle est autorisée,

la calculatrice constitue un excellent moyen de vérification de nombreux calculs numériques (calculs avec des

nombres).





33 33

Tester chacune des deux égalités suivantes, c’est-à-dire vérifier si chaque égalité est vraie ou non.

Rappel : Test d’une égalité

Tester une égalité, c’est préciser si l’égalité est vraie ou ne l’est pas. Pour vérifier une égalité, on vérifie que le

premier membre (membre à gauche du signe ) est égal au second membre (membre à droite du signe ). On

dit qu’une égalité est vraie lorsque son premier membre est toujours égal à son second membre.

Exemples d’égalités : ⏟

⏟

; ⏟

⏟

; ⏟

⏟

1) Testons tout d’abord l’égalité .

D’une part, dans le premier membre (membre de gauche), on a : .

Or, cette expression peut être développée. En effet,

D’autre part, dans le second membre (membre de droite), on a : .

Or, donc l’égalité n’est pas vraie.

2) Vérifions désormais l’égalité .

D’une part, dans le premier membre, on a : .

Or, en développant, ⏟

.

D’autre part, dans le second membre, on a : .

Le premier membre est bien égal au second membre donc l’égalité est vraie.

Remarque importante : Pour tester une égalité, il faut vérifier qu’elle est toujours vraie.

Exemple : L’égalité n’est pas toujours vraie. En effet, lorsque , le premier membre

est égal à et le second membre est égal à .

L’égalité est donc vraie lorsque . En revanche, lorsque (entre autres exemples), l’égalité n’est pas

vraie puisque le premier membre est égal à et le second membre est

égal à .



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Exercices corrigés - Corrections de devoirs et exercices ... · Dans un calcul sans parenthèses, on effectue d’abord les multiplications et les divisions, qui sont ... Le signe