Exercices Corriges Espaces Vectoriels 2

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  • 7/22/2019 Exercices Corriges Espaces Vectoriels 2

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    Espaces Vectoriels Pascal lain

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    Espaces vectoriels

    Exercice 1.Soient dans les vecteurs , et .La famille est-elle libre ?

    Allez : Correction exercice 1

    Exercice 2.Les familles suivantes sont-elles libres ?1. , et dans .2. , et dans .3. , , et dans .4. , et dans .5. , et dans .

    Allez :Correction exercice 2

    Exercice 3.On considre dans une famille de vecteurs linairement indpendants Les familles suivantes sont-elles libres ?1. .2. .3. .4. .5. .

    Allez :Correction exercice 3

    Exercice 4.Soient dans

    les vecteurs

    et

    . Peut-on dterminer

    et

    pour que

    ? Et pour que ?Allez :Correction exercice 4Exercice 5.

    Dans on considre l'ensemble des vecteurs vrifiant .L'ensemble est-il un sous espace vectoriel de ? Si oui, en donner une base.

    Allez :Correction exercice 5

    Exercice 6.Dans l'espace

    , on se donne cinq vecteurs :

    ,

    ,

    ,

    et

    Chercher les relations de dpendance linaires entre ces vecteurs. Si ces vecteurs sont dpendants, enextraire au moins une famille libre engendrant le mme sous-espace.

    Allez :Correction exercice 6

    Exercice 7.Dans l'espace , on se donne cinq vecteurs : , , , et quelle(s) condition(s) un vecteur appartient-il au sous-espace engendr par lesvecteurs ? Dfinir ce sous-espace par une ou des quations.

    Allez :Correction exercice 7

    Exercice 8.Soit un espace vectoriel sur et , , et une famille libre d'lments de , les familles suivantessont-elles libres?1.

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    2. 3. 4. .5.

    Allez :Correction exercice 8

    Exercice 9.Dans

    , comparer les sous-espaces

    et

    suivants :

    ( )Allez :Correction exercice 9

    Exercice 10.On suppose que , ,,sont des vecteurs indpendants de .

    1. Les vecteurs , , ,, , sont-ils linairement indpendants ?2. Les vecteurs , , ,, , sont-ils linairement indpendants?3. Les vecteurs , , , ,, , sont-

    ils linairement indpendants?

    Allez :Correction exercice 10

    Exercice 11.Soient , , et .Soient et les sous-espaces vectoriels de . Montrer que

    Allez :Correction exercice 11

    Exercice 12.Peut-on dterminer des rels , pour que le vecteur appartienne au sous-espace-vectorielengendr par le systme

    , o

    et

    Allez :Correction exercice 12

    Exercice 13.Soient , , , et des vecteursde . Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier votre rponse.1. ( )2. .3. ( ) .4. .5. est un sous-espace vectoriel de supplmentaire dans .

    Allez :Correction exercice 13

    Exercice 14.On considre les vecteurs , , , et dans .1. et sont-ils supplmentaires dans ?2. Mme question pour et .3. Mme question pour et

    Allez :Correction exercice 14

    Exercice 15.Soient

    ,

    et

    Soient }et 1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de . Dterminer une base de .2. La famille est-elle libre ? Est-ce que ?3. Est-ce que ?

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    3

    4. Donner une base de .5. Soit , est-ce que ? est-ce que ?

    Allez :Correction exercice 15

    Exercice 16.Soit }Soient

    et

    deux vecteurs. On pose

    1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .2. Dterminer .3. A-t-on ?

    Allez :Correction exercice 16

    Exercice 17.Soient }et }deux sous-ensembles de .On admettra que

    est un sous-espace vectoriel de

    .

    Soient , et 1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .2. Dterminer une famille gnratrice de et montrer que cette famille est une base.3. Montrer que }est une base de .4. Montrer que }est une famille libre de .5. A-t-on .6. Soit , exprimer dans la base }.

    Allez :Correction exercice 17

    Exercice 18.Soient }On admettra que est un espace vectoriel.Et }

    Soient , , et quatre vecteurs de .Premire partie

    1. Dterminer une base de et en dduire la dimension de .2. Complter cette base en une base de .

    Deuxime partie3. Montrer que

    est un sous-espace vectoriel de

    .

    4. Dterminer une base de .5. A-t-on ?Troisime partie

    6. Montrer que .7. Soit , exprimer comme une combinaison linaire de , et .

    Allez :Correction exercice 18

    Exercice 19.Soit

    }

    Soit , et 1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de , et dterminer une base de cet espace-vectoriel.2. A-t-on ?

    On justifiera la rponse.

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    Allez :Correction exercice 19

    Exercice 20.Soit }Soient , et Soit On admettra que

    est un espace vectoriel.

    1. Donner une base de et en dduire sa dimension.2. Dterminer une base de .3. Donner une (ou plusieurs) quation(s) qui caractrise(nt) .4. Donner une famille gnratrice de .5. Montrer que : .

    Allez :Correction exercice 20

    Exercice 21.Soient

    et

    deux vecteurs de

    . Soit

    .

    Soient } }On admettra que et sont trois sous-espaces vectoriels de .1. Dterminer une base de .2. Dterminer une base de 3. A-t-on ?4. Montrer que est une base de .5. A-t-on

    ?

    Allez :Correction exercice 21

    Exercice 22.Soient , , et quatre vecteurs de .Dterminer une sous famille de libre qui engendre , en dduirela dimension de .

    Allez :Correction exercice 22

    Exercice 23.Soit

    }

    On admettra que est un sous-espace vectoriel de .1. Dterminer une base de .2. Complter cette base de en une base de .

    Allez :Correction exercice 23

    Exercice 24.Soient , et trois polynmes de .

    1. Montrer que

    est une base de

    .

    2. Soit

    , exprimer

    dans la base

    .

    3. Soit , exprimer dans la base .4. Pour tout, et rels montrer quil existe un unique polynme de , tel que : , et .Allez :Correction exercice 24

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    5

    Exercice 25.Soit }

    1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .2. Donner une base de et en dduire sa dimension.

    Allez :Correction exercice 25

    Exercice 26.Soit }1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .2. Dterminer une base et la dimension de .

    Allez :Correction exercice 26

    Exercice 27.Dans , les trois fonctions , et , sont-elles linairementindpendantes?

    Allez :Correction exercice 27

    Exercice 28.Soient , et . Dterminer .

    Allez :Correction exercice 28

    Exercice 29.Soit lensemble des fonctions vrifiant lquation diffrentielle Montrer que

    est un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel des fonctions.

    Allez :Correction exercice 29

    Exercice 30. (Hors programme)1. Montrer que les systmes : et sont libre dans considr comme -

    espace vectoriel.2. Soient, dans , les vecteurs et . Montrer que le systme est -libre et -li.3. Soient les vecteurs et dans .

    a. Montrer que le systme est -libre et -li.b. Vrifier que le systme }est une base de lespace vectoriel sur et

    donner les composantes des vecteurs

    et

    par rapport cette base.

    Allez :Correction exercice 30

    CORRECTIONS

    Correction exercice 1.On peut ventuellement sapercevoir que donc la famille est lie.Sinon

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    Il ny a pas que comme solution donc la famille est lie, en prenant , on trouve que et que , par consquent , ce qui est la mme relation que lon avait devin ci-dessus.

    Allez :Exercice 1

    Correction exercice 2.1.

    Donc la famille est libre2. L, il est clair que donc la famille est lie3. On peut raisonnablement sapercevoir que:

    Donc la famille est lie.Sinon on se lance dans un gros calcul

    {

    {

    Il ny a pas que comme solution donc la famille est lie. En prenant , on trouve larelation :

    4.

    {

    On peut samuser faire mthodiquement la mthode de Gauss, mais avec la premi re et la secondeligne, on saperoit que

    , puis on remplace dans nimporte quelle ligne pour trouver que

    .

    La famille est libre.5. Cest trop fatigant, , la famille est lie.

    Allez :Exercice 2

    Correction exercice 3.

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    1. Oui videmment, sinon

    2. Une sous famille dune famille libre est libre. 3.

    Il existe une combinaison linaire non identiquement nulle de ces trois vecteurs, la famille est lie.4.

    La famille est libre.

    5. Il y a trois vecteurs dans le plan donc ces trois vecteursforment une famille lie, en rajoutant

    cela ne change rien, la famille est lie.

    Allez :Exercice 3

    Correction exercice 4.Le problme est de dterminer et tels quil existe et vrifiant

    La dernire ligne entraine quil ny a pas de solution.Le problme est de dterminer et tels quil existe et vrifiant

    {

    {

    {

    {

    Allez :Exercice 4

    Correction exercice 5.Premire mthode donc Soit et , on a et

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    Et pour tout et rels Ce qui signifie que , est donc un sous-espace vectoriel de .

    Deuxime mthodeUn vecteur de

    scrit

    Donc ( ), est un sous-espace vectoriel de .Pour trouver une base, il reste montrer que ( )est libre (Puisquecette famille est dj gnratrice).

    Cette famille est bien libre, cest une base de .

    Allez :Exercice 5

    Correction exercice 6.Dj, une famille de vecteurs dans un espace de dimension est lie, mais cela ne donne pas la (oules) relation(s) reliant ces vecteurs.

    Si on prends et , alors , et , ce qui donne

    Si on prends

    et

    , alors

    ,

    et

    , ce qui donne

    Autre faon de voir les choses : Cette dernire relation tant vraie pour tout et pour tout , on retrouve les deux relations.Ce ne sont pas les seules relations entre ces vecteurs, si on fait la somme ou la diffrence, on trouvedautres relations

    et

    Il reste montrer que est libre, ce qui est quasi vident puisquil suffit de refaire le calc ul ci-dessus avec et alors

    , cela montre que est libre.

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    Espaces Vectoriels Pascal lain

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    Allez :Exercice 6

    Correction exercice 7. Daprs lexercice prcdent. il existe , et tels que

    {

    ( ) ( ) On peut constater que les composantes de

    ,

    et

    vrifient

    Allez :Exercice 7

    Correction exercice 8.1. Attention, ici , , et sont des vecteurs. Oui videmment, sinon

    2. Une sous famille dune famille libre est libre. 3.

    Il existe une combinaison linaire non identiquement nulle de ces trois vecteurs, la famille est lie.4.

    La famille est libre.5. Il y a trois vecteurs dans le plan donc ces trois vecteurs forment une

    famille lie, en rajoutant cela ne change rien, la famille est lie.Allez :Exercice 8

    Correction exercice 9.Comparer deux ensembles signifie que lon doit trouver si lun est inclus dans lautre (ourciproquement) ou si les ensemble sont gaux.On va dabord caractriser laide dune (ou plusieurs) quation cartsienne, ensuite il sera simple desavoir si les vecteurs qui engendrent sont dans . il existe , , rels tels que

    ,

    ,

    sont donns par les quations

    ,

    et

    donc

    } Cela montre que

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    Manifestement car les deux vecteurs qui engendrent ne sont pas colinaires (donc ilsforment une base de ).Si on en savait plus on saurait que , mais on nest pas cens le savoir.Il faut montrer que les trois vecteurs qui engendrent sont libres, ils formeront une base et la dimensionde sera .On reprend calcul de avec On trouve

    Cest bon, . Autrement dit est inclus dans mais nest pas gal

    Allez :Exercice 9

    Correction exercice 10.1. Cette famille est lie.2. Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    Donc et on en dduit que pour tout }, .La famille est libre.Si ( ) ( ) La famille est liePour sen convaincre, on pourra regarder plus prcisment les cas

    et

    .

    3.

    {

    {

    La famille est libre.Allez :Exercice 10

    Correction exercice 11. Donc , or et ne sont pas proportionnels donc est une base de et , demme et ne sont pas proportionnels donc est une base de et .

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    Jai pass sous silence que est une famille gnratrice de et que est une famillegnratrice de . Il y a dautre faon de faire, par exemple en trouvant pour et une quation cartsienne caractrisantces espaces.

    Allez :Exercice 11

    Correction exercice 12.On cherche , , et tel que :

    {

    La rponse est oui.Allez :Exercice 12

    Correction exercice 13.1.

    Premire mthodeDabord on remarque que

    que

    et que

    Donc( ) Et On a bien ( )

    Deuxime mthodeOn cherche une (ou plusieurs) quation cartsien caractrisant ( )

    il existe

    et

    tels que

    Donc }

    Donc ,et ne sont pas colinaires, ils forment une famille libre et gnratrice de , cestune base et donc , et ne sont pas colinaires, ils forment une famille libre de

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    , donc ( ) , mais donc( ) On a par consquent ( ) et comme , on a alors

    2.

    3. donc ( )

    Le tout est de savoir si ?Or au 2. on a vu que Si alors ce qui est faux, donc Par consquent

    ( )

    4.

    Premire mthode En effet ( )

    Deuxime mthode si on na pas vu que ( ) Daprs la premire question.Donc

    ( ) ( ) Pour les mmes raisons que dans la premire mthode.5. ( )( ) ( )

    Comme et ne sont pas colinaires, ils forment une base de et ( ) Il reste vrifier que lintersection de ces sous-espaces vectoriels est rduite au vecteur nul, ce quirevient au mme que de montrer que

    ( )est libre (mais alors comme le

    nombre de vecteurs est on pourrait en dduire cette famille est une base de ce qui suffit prouverque la somme de ces deux sous-espaces vectoriels est directe et quelle vaut ).

    Cest quasiment vident.La famille est libre, elle a vecteurs dans un espace vectoriel de dimension , cest une base de ,donc

    Autre mthode

    ( )( ) ( ) Comme et ne sont pas colinaires, ils forment une base de et ( )

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    (, cest pareil)A la question 1) on a montr que }Il ny a qu montrer que les composantes de et de ne vrifient pas ces quations (cest vident)

    pour en dduire que et que et que par consquent }La somme des dimensions valant (voir ci-dessus) la somme est directe et vaut

    Allez :Exercice 13

    Correction exercice 14.1.( ) et () donc la somme des dimensions nest pas , ces espaces sont

    peut-tre en somme directe mais cette somme nest pas , ils ne sont donc pas supplmentaires dans .Remarque : en fait ( ) car et ne sont pas colinaires.

    2.Dabord on va regarder si la famille est libre, si cest le cas la rponse sera non car ladimension de cet espace sera

    et celle de

    est manifestement

    , donc la somme des

    dimensions sera

    .

    est une famille libre qui engendre , cest donc une base de cet espace donc( ) , comme et ne sont pas proportionnels, est une famille libre

    qui engendre

    , cest donc une base de cet espace et

    ( ) .

    ( ) ( ) Donc ces espace ne sont pas supplmentaires dans .3. et ne sont pas colinaires donc est une famille libre qui engendre , cest unebase de cet espace et ( ) .Manifestement , , et ne sont

    pas colinaires donc est une famille libre qui engendre cestdonc une base de cet ensemble et ( ) .( ) ( ) Il reste montrer que lintersection de ces espaces est rduite au vecteur nul. Ce coup-ci je vais dtailler un peu plus. Soit

    , il existe

    ,

    ,

    et

    rels

    tels que : Ce qui entraine que Cela montre que est libre. Rsultat que lon utilise sans avoir lemontrer.Mais ici, si on montre que la famille est libre, comme elle a vecteurs, cela montrera que cest une basede et que Mais dans cet exercice il fallait quand montrer que

    On y a va :

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    Donc et }Comme la somme des dimensions est

    on a :

    Allez :Exercice 14

    Correction exercice 15.1.

    Soit , et soit , , pour tout Comme

    est un sous-espace vectoriel de .Soit , , donc et ne sont pas proportionnels, ils forment une famille libre et gnratrice de , cest une basede .

    2.

    La famille est libre.Premire mthode

    Si alors ils existent et rels tels que , ce qui signifie que estlie, ce qui est faux, donc

    Deuxime mthode

    Les deux dernires lignes montrent que ce nest pas possible, par consquent

    3. , .4.

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    Espaces Vectoriels Pascal lain

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    Donc si on pose 5. , donc est lie

    La famille est lie par la relation Ce qui montre bien que

    Allez :Exercice 15

    Correction exercice 16.1. Premire mthode

    Soient

    et

    , on a

    et

    . Pour tout

    et

    rels, , ce qui entraine que Do, , ce qui achve de montrer que est un sous-espace vectoriel de .Deuxime mthodeComme , ce quimontre que ( )Et que par consquent est un espace vectoriel.

    2. Premire mthode.Soit

    , dune part

    car

    et il existe

    et

    , rels tels que

    car . Cette dernire galit scrit aussi Par consquent

    Cela montre quil existe tel que

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    Espaces Vectoriels Pascal lain

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    Autrement dit si on pose , Deuxime mthodeOn cherche une ou plusieurs quations caractrisant

    Donc

    }

    Ensuite on cherche lintersection

    Par consquent

    On trouve le mme rsultat.Troisime mthodeOn cherche une quation du plan (parce que lon se doute bien que cest un plan). Un vecteurorthogonal ce plan est dont les coordonnes sont

    Et lensemble des vecteurs orthogonaux ce vecteur vrifient Puis on finit comme dans la deuxime mthode.

    3. }, on na pas .Ou alors , si on a montr que et taient des plans.Allez :Exercice 16

    Correction exercice 17.1.

    Donc ce qui montre que est un sous-espace vectoriel de

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    Espaces Vectoriels Pascal lain

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    Autre mthode Soient et , on a et

    Ce qui montre que Et finalement est un sous-espace vectoriel de .

    2. }est une famille gnratrice de , ce vecteur est non nul, cest une base de , bref est la droiteengendre par le vecteur .

    3.

    et

    ne sont pas proportionnels, ils forment une famille libre de

    donc

    .

    donc par consquent .On dduit de cela que et que par suite la famille }est libre (dans ) deux lments,cest une base de .

    4. et }est libre donc }est libre (cest une base de ,puisque cette famille a trois lments)

    5. }est une base de , }est une base de et }est une base de par consquent

    6. On cherche

    tels que

    Allez :Exercice 17

    Correction exercice 18.Premire partie

    1.

    Donc 2. nest pas le vecteur nul et engendre , cest une base de et Soit ,

    car les composantes de ne vrifient pas les quations caractrisant . Donc est libre.

    si et seulement sils existent

    et

    rels tels que :

    Donc }

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    18

    Soit , car les composantes de ne vrifient pas les quationscaractrisant et est libre donc est libre. si et seulement sils existent , et rels tels que :

    Donc }Soit , car les composantes de ne vrifient pas l quationcaractrisant et est libre donc est libre, comme cette famille aquatre vecteurs, cest une base de .

    Allez :Exercice 18

    Deuxime partie3. donc .

    Soient et , on a alors et . Soient et deux rels. Donc est un sous-espace vectoriel de .

    4.

    Donc , et , est une famille gnratrice de .Il reste montrer que cette famille est libre :

    ,

    Cette famille est bien libre, cest une base de .5.

    et

    donc

    Comme

    ,

    ,

    }

    On a alors .Allez :Exercice 18Troisime partie

    6. Comme , .Comme , .Comme , .

    Donc est une famille libre dans un espace de dimension 3 ( ), cest une base de .7. Soit avec

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    Donc pour tout

    avec

    Allez :Exercice 18Correction exercice 19.

    1. donc .Soient et alors Pour tout et rels :

    Donc est un sous-espace vectoriel de . et sont deux vecteurs non colinaires, ils forment une famille libre quiengendre , cest une base de , donc .

    2.

    donc

    , par consquent

    }, comme

    On a Allez :Exercice 19

    Correction exercice 20.1.

    et sont deux vecteurs non proportionnels, ils forment une famillelibre qui engendre , cest une base de , par consquent .2. Il est clair que donc la famille est lie.

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    et sont deux vecteurs non colinaires, ils forment une famille libre qui engendre , cest une basede , donc .Attention certain dentre vous on crit ne sont pas proportionnels donc est unefamille libre, cest compltement faux, ce rsultat est vrai pour deux vecteurs.

    3.

    il existe

    et

    rels tels que

    Donc

    }

    4. Donc la famille est une famille gnratrice de .Remarques :

    a. La rponse est bonne aussi.b. On pouvait penser montrer que tait libre (cest le cas) mais cest totalement inutile

    (si on avait demand de trouver une base alors l, oui, il fallait montrer que cette famille tait libre).Toutefois de montrer que cette est libre permettait de montrer que ,

    parce que si une base de , colle une base de donne une famille libre, on a ,et comme

    est une famille libre de

    vecteurs, cest aussi une base de

    ,

    autrement dit . Ce nest pas l peine den crire autant, il suffit de dire que puisque est une base de (libre plus vecteurs) alors .Mais il y avait beaucoup plus simple pour montrer que (voir question 5)).

    c. Attention si on crit ne sont pas proportionnels donc est une famillelibre, cest compltement faux, ce rsultat nest vrai que pour deux vecteurs.

    d. Regardons ce que lon peut faire et ne pas faire cest bon. Mais ensuite il faut simplifier correctement

    Et l on retombe sur une situation habituelle, comme est tout seul, on peut le simplifier partout :

    On peut ventuellement se servir de cela pour montrer que (il reste dire que lasomme des dimension de et de est ) mais ce nest pas ce qui est demand.5.

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    Espaces Vectoriels Pascal lain

    21

    Donc }Par consquent

    Autre mthode :

    On aurait pu montrer que tait une famille libre.Allez :Exercice 20Correction exercice 21.

    1. Donc

    On pose et Ces deux vecteurs engendrent , ils ne sont pas proportionnels, donc ils forment une famille libre, parconsquent est une base de .

    2. Donc

    On pose et Ces deux vecteurs engendrent , ils ne sont pas proportionnels, donc ils forment une famille libre, parconsquent est une base de .3. Premire mthode

    Donc Cela montre que ()On na pas Deuxime mthodeOn rappelle que est une base de .

    Cela nentraine pas que . est une famille lie ce nest pas une base de .4.

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    Espaces Vectoriels Pascal lain

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    En faisant la diffrence des lignes et , on a , le reste sen dduit . est une famille libre dans un espace vectoriel de dimension , cest une base de .5. Une base de colle une base de est une base de donc on a .

    Allez :Exercice 21

    Correction exercice 22.

    Donc

    Est-ce que la famille est libre, il ny a pas moyen den tre sur sauf en faisant le calculsuivant :

    Cette famille est libre, cest une sous-famille libre de qui engendre .Allez :Exercice 22Correction exercice 23.

    1.

    On pose et ce qui entraine que }est une famille gnratrice de , et dautre part }est unefamille libre car ces vecteurs ne sont pas proportionnels, donc }est une base de .2. Soit car les composantes de ne vrifient pas les quations caractrisant . }est libre dans et donc }est libre.

    Donc }

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    Soit , car les composantes de ne vrifient pas . }est libre et donc }est une famille libre, elle a lments, cest unebase de .

    Allez :Exercice 23

    Correction exercice 24.1.

    {

    {

    La famille

    est une famille libre de trois lments dans un espace de dimension 3, c est une

    base de .2. On cherche , et (en fonction de , et ) tels que : En reprenant le calcul ci-dessus, il faut rsoudre le systme :

    {

    {

    {

    3. On cherche, et (en fonction de, et ) tels que :

    Ctait dj fait.4. Il est prfrable dexprimer un tel polynme dans la base , autrement dit on cherche , et

    tels que

    vrifie

    ,

    et

    .

    , et donc , et donc , et donc Il ny a quun polynme Ensuite, si on veut on peut exprimer dans la base canonique (mais ce nest pas demand danslnonc)

    Allez :Exercice 24

    Correction exercice 25.1. Le vecteur nul de est le polynme nul, en ce polynme vaut , le vecteur nul de est dans.

    Soit et , donc et .

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    Espaces Vectoriels Pascal lain

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    Pour tout et deux rels, Donc est un sous-espace vectoriel de .

    2. Soit ,

    Donc

    et sont deux polynmes non proportionnels, ils forment une famille libre qui engendre ,cest une base de . .

    Allez :Exercice 25

    Correction exercice 26.1. Le polynme nul vrifie , donc .

    Soient et deux polynmes de et soient et deux rels

    Car et , Car et ,Donc , ce qui montre que est un sous-espace-vectoriel de

    2. et sont racines de donc il existe tel que Le degr de est , donc il existe deux rels et tels que est une famille gnratrice de , ces polynmes ne sont pas proportionnels, ilsforment dond une famille libre et donc une base de

    .

    Allez :Exercice 26Correction exercice 27.

    Pour , Pour ,

    Pour Donc Cette famille est libre.

    Allez :Exercice 26

    Correction exercice 28.Premire mthode il existe , et tels que ,

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    Espaces Vectoriels Pascal lain

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    Donc Ce qui signifie que , linclusion dans lautre sens linclusion estvidente donc

    Qui est videmment un espace vectoriel de dimension .Deuxime mthode

    On cherche savoir si la famille est libre, si cest le cas, il ny a pas grand -chose dire sursinon que cest un espace de dimension .

    Pour Pour

    Donc et Ensuite, on a beau chercher, pour toutes les valeurs de particulire, on trouve .

    Car La famille est donc lie,et ne sont pas proportionnelles donc la famille est libre et Et ( ) .Remarque la famille ne ressemble pas trop la famille mais dans un plan, jerappelle quil y a une infinit de base.

    Allez :Exercice 28

    Correction exercice 29.Soit

    la fonction nulle

    Donc Soientet deux fonctions de . On a pour tout Pour tout rels et ( ) ( ) ( ) ( ) Ce qui montre que

    .

    Par consquent est un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel des fonctions.Allez :Exercice 29Correction exercice 30. (Hors programme)

    1. Pour

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    Dmontrons dabord que si , et et tels que alors On pose , et Daprs le thorme de Gauss, (si et sont non nuls) divise et est premier avec donc divise

    .

    }

    Si alors et ce qui nest pas possible.Si alors et , ce qui nest pas possible.Donc et , par consquent .La seule solution de est Soient et deux rationnels non nuls. Donc , (et bien sur et )et rien nempche de prendre et (avec et )Montrons que On pose et ,Donc

    et daprs la premire partie

    , ce qui est impossible si

    et

    .

    Donc et la famille est libre.Pour Avec , et On pose , et Soit , , et

    O

    ,

    et

    sont trois entiers premiers entre eux.

    ( ) On pose et , daprs la question prcdente: et Donc et Si , , daprs le thorme de Gauss, divise et est premieravec (car , et sont trois entiers premiers entre eux entraine et sont premiers entre eux) donc divise , par consquent }, soit alors ce qui est impossible (le premierterme est paire et le second est impair). Le seul cas possible est , soit alors

    ce qui est impossible aussi puisque

    nest pas un carr, dans ce cas aussi la seule solution

    est .Si , , on raccourcit la dmonstration, toujours avec Gauss, divise donc si , est impossible et si alors ce qui est aussi impossible, bref, laseule solution est l encore Tout cela pour dire que entraine . Par consquent ,comme , et et que les sont non nuls, alors et , ce qui montre bien que est une famille -libre.

    2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si on pose et

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    Comme dans lexercice prcdent on montre que ) est une famille -libre (cest trop long, je suistrs fatigu).

    Donc ( ) ( ) est vrifi pour Donc et , comme et , on a et donc .La famille

    est

    -libre.

    ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )Il existe une relation entre ces deux vecteurs donc la famille est -lie.

    3.a. Pour tout et rels

    est -libre ( ) Il existe une relation entre ces deux vecteurs donc la famille est -lie.

    b. Pour tout , , et rels

    La famille est libre. Si on sait que la dimension de sur est , cest fini, parce quune famillelibre vecteurs dans un espace vectoriel de dimension est une base. Sinon il est clair que pourtout vecteur de , La famille est gnratrice, donc cest une base.

    Allez :Exercice 30