Exercices Corriges Polynomes Fractions Rationnelles

Polynômes et fractions rationnelles Pascal Lainé

1

Polynômes et fractions rationnelles

Exercice 1.

Factoriser dans ℝ[𝑋] et dans ℂ[𝑋] le polynôme 𝑃 = −𝑋8 + 2𝑋4 − 1

Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2.

Soit 𝑃 = 1 − 𝑋8

Factoriser 𝑃 dans ℂ[𝑋], puis dans ℝ[𝑋] et enfin dans ℚ[𝑋]


Exercice 3.

Soit 𝑃 = (𝑋 + 1)7 − 𝑋7 − 1. On note 𝑗 = 𝑒2𝑖𝜋

3

1. Montrer que 1 + 𝑗 = −𝑗2

2. Montrer que 𝑗 est une racine multiple de 𝑃.

3. Trouver deux racines réelles évidentes de 𝑃.

4. Factoriser 𝑃 en facteurs irréductibles dans ℂ[𝑋] et puis dans ℝ[𝑋].


Exercice 4.

Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme :

𝑃(𝑋) = 𝑋5 + 𝑋4 + 𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1

En déduire sa factorisation dans ℂ[𝑋] et dans ℝ[𝑋].


Exercice 5.

Soit 𝑃 = 𝑋7 + 𝑋6 + 𝑋5 + 𝑋4 + 𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1

1. Factoriser 𝑃 dans ℂ[𝑋].

2. Factoriser 𝑃 dans ℝ[𝑋].

3. Factoriser 𝑃 dans ℚ[𝑋].


Exercice 6.

Factoriser sur ℝ et sur ℂ le polynôme

𝑃(𝑋) = 𝑋6 + 𝑋4 + 𝑋2 + 1

Indication : 𝑃(𝑋) = 1 + 𝑋2 + 𝑋4 + 𝑋6


Exercice 7.

Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme :

𝑃(𝑋) =1

32𝑋5 +

1

16𝑋4 +

1

8𝑋3 +

1

4𝑋2 +

1

2𝑋 + 1

En déduire sa factorisation dans ℂ[𝑋] et dans ℝ[𝑋].


Exercice 8.

Soit 𝑃 ∈ ℝ[𝑋] défini par

𝑃 = 𝑋4 − 𝑋3 + 𝑋2 − 𝑋 + 1


2

1. Déterminer les racines de 𝑃.

2. Factoriser 𝑃 dans ℂ[𝑋], puis dans ℝ[𝑋].


Exercice 9.

1. Soit 𝑃 = −𝑋3 + 𝑋2 − 𝑋 + 1 un polynôme.

Factoriser ce polynôme dans ℝ[𝑋] et dans ℂ[𝑋].

2. Soit

𝑃 = 1 − 𝑋 + 𝑋2 −⋯+ (−1)𝑛𝑋𝑛 =∑(−1)𝑘𝑋𝑘𝑛

𝑘=0

Déterminer les racines réelles et complexes de 𝑃.


Exercice 10.

Soit 𝑃 = 𝑋6 + 2𝑋5 + 4𝑋4 + 4𝑋3 + 4𝑋2 + 2𝑋 + 1

On pose 𝑗 = 𝑒2𝑖𝜋

3

1. Montrer que 𝑗 est une racine multiple de 𝑃.

2. Factoriser 𝑃 dans ℂ[𝑋].



Exercice 11.

Soit 𝑃 ∈ ℝ[𝑋] défini par

𝑃 = 𝑋8 + 2𝑋6 + 3𝑋4 + 2𝑋2 + 1

1. Montrer que 𝑗 = 𝑒2𝑖𝜋

3 est une racine multiple de 𝑃.

2. En remarquant que 𝑃 est un polynôme pair, donner toutes les racines de 𝑃 ainsi que leur multiplicité.

3. Factoriser 𝑃 dans ℂ[𝑋], puis dans ℝ[𝑋].


Exercice 12.

Soit 𝑃 = 2𝑋3 + 3𝑋2 + 6𝑋 + 1 − 3𝑗

1. Montrer que 𝑗 est une racine double de 𝑃

2. Factoriser 𝑃 dans ℂ[𝑋]


Exercice 13.

1. Déterminer les racines réelles et complexes de (𝑋 + 1)6 − 𝑋6

2. Soit 𝑎 ∈ ℝ et soit 𝑃 ∈ ℝ[𝑋] défini par

𝑃 = (𝑋 + 1)7 − 𝑋7 − 𝑎

Déterminer 𝑎 pour que 𝑃 admette une racine réelle multiple.


Exercice 14.

1. Le polynôme 𝐴 = 𝑋4 + 3𝑋 + 1, est-il irréductible dans ℝ[𝑋] ?

2. Le polynôme 𝐵 = 𝑋3 + 3𝑋 + 1, est-il irréductible dans ℝ[𝑋] ?



3

Exercice 15.

Déterminer les réels 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que 𝑃 = 𝑋5 − 2𝑋4 − 6𝑋3 + 𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 soit factorisable par

𝑄 = (𝑋2 − 1)(𝑋 − 3)


Exercice 16.

Pour 𝑛 ∈ ℕ, montrer que le polynôme 𝐴𝑛 = (𝑋 − 1)𝑛+2 + 𝑋2𝑛+1 est divisible par 𝐵 = 𝑋2 − 𝑋 + 1


Exercice 17.

Soit

𝑃𝑛 = (𝑋 + 1)𝑛 − 𝑋𝑛 − 1

On pose 𝑛 ≡ 𝑎 [6] avec 𝑎 ∈ {0,1,2,3,4,5}

Pour quelles valeurs de 𝑛, 𝑗 = 𝑒2𝑖𝜋

3 est-il racine de 𝑃𝑛 ?

On pourra discuter selon les valeurs de 𝑎.


Exercice 18.

Déterminer le reste de la division euclidienne de (𝑋 + 1)𝑛 par 𝑋2 + 1.


Exercice 19.

Quel est le reste de la division euclidienne de 𝑃 = 𝑋𝑛 + 𝑋 + 1 par 𝑄 = (𝑋 − 1)2 ?


Exercice 20.

Soit 𝑅 ∈ ℝ[𝑋] le reste de la division euclidienne de (𝑋 + 1)𝑛 par (𝑋 − 1)2.

Déterminer 𝑅.


Exercice 21.

Quel est le reste de la division euclidienne de 𝐴𝑛 = 𝑋𝑛 + 𝑋 + 𝑏 par 𝐵 = (𝑋 − 𝑎)2, pour 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2.


Exercice 22.

Déterminer le reste dans la division euclidienne de 𝐴 = 𝑋2𝑛 + 2𝑋𝑛 + 1 par 𝐵 = 𝑋2 + 1


Exercice 23.

1. Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑋4𝑛 − 1 est divisible par 𝑋4 − 1.

2. En déduire que le polynôme 𝑃 = 𝑋4𝑎+3 + 𝑋4𝑏+2 + 𝑋4𝑐+1 + 𝑋4𝑑 avec 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 entiers naturels est

divisible par 𝑄 = 𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1.


Exercice 24.

Soit 𝑃 = 𝑋3 + 𝑝𝑋 + 𝑞 un polynôme de ℂ[𝑋], on note 𝛼, 𝛽 et 𝛾 ses racines.

1. Calculer 𝐴 = 𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2.

2. Calculer 𝐵 = 𝛼3 + 𝛽3 + 𝛾3.


4

3. Calculer 𝐶 = 𝛼2𝛽 + 𝛼𝛽2 + 𝛼2𝛾 + 𝛼𝛾2 + 𝛽2𝛾 + 𝛽𝛾2.

4. On pose 𝐷 = 𝛼3𝛽 + 𝛼𝛽3 + 𝛼3𝛾 + 𝛼𝛾3 + 𝛽3𝛾 + 𝛽𝛾3

Calculer 𝐷 en fonction de 𝑝.


Exercice 25.

On pose 𝑃(𝑋) = 𝑋3 − 63𝑋 + 162

Sachant que l’une des racines de ce polynôme est le double d’une autre racine, trouver les trois racines de 𝑃.

Indication : On pourra utiliser les relations entre les racines et les coefficients du polynôme.


Exercice 26.

Soit 𝑃 ∈ ℂ[𝑋] un polynôme tel que 𝑋𝑃(𝑋 − 1) = (𝑋 − 2)𝑃(𝑋)

1. Montrer que 0 et 1 sont racines de 𝑃.

2. Soit 𝑎 une racine de 𝑃. Si 𝑎 ≠ 0, montrer que 𝑎 − 1 est racine. Si 𝑎 ≠ 1, montrer que 𝑎 + 1 est racine.

3. On suppose que 𝑃 n’est pas le polynôme nul. Montrer que 0 et 1 sont les seules racines de 𝑃.

Indication :

S’il existe une racine 𝑎 telle que ℛ𝑒(𝑎) < 1 différente de 0 (𝑎 ≠ 0), montrer qu’il y a une infinité de

racines.

S’il existe une racine 𝑎 telle que ℛ𝑒(𝑎) > 0 différente de 1 (𝑎 ≠ 1), montrer qu’il y a une infinité de

racines.

4. En déduire que 𝑃 est de la forme 𝛼𝑋𝑘(𝑋 − 1)𝑙 avec 𝛼 ∈ ℂ[𝑋], 𝑘 ∈ ℕ∗ et 𝑙 ∈ ℕ∗.

5. Quel est l’ensemble des polynômes de 𝑃 ∈ ℂ[𝑋] tels que 𝑋𝑃(𝑋 − 1) = (𝑋 − 2)𝑃(𝑋).


Exercice 27.

Effectuer la division suivante les puissances croissantes de 𝑋4 + 𝑋3 − 2𝑋 + 1 par 𝑋2 + 𝑋 + 1 à l’ordre 2.


Exercice 28.

On considère le couple de polynôme à coefficients réels

𝑃 = 𝑋3 − 𝑋2 − 𝑋 − 2 et 𝑄 = 𝑋3 − 1

1. Utiliser l’algorithme d’Euclide pour calculer le 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑃, 𝑄).

2. Décomposer 𝑃 et 𝑄 en facteurs irréductibles dans ℝ[𝑋].

3. Retrouvez le résultat de la question 1.

4. Décomposer 𝑃 en facteur irréductible dans ℂ[𝑋].


Exercice 29.

Soient 𝑃 = 𝑋5 + 𝑋4 − 6𝑋3 − 𝑋2 − 𝑋 + 6 et 𝑄 = 𝑋4 + 2𝑋3 − 𝑋 − 2

Déterminer le 𝑃𝐺𝐶𝐷 de 𝑃 et 𝑄 et en déduire les racines communes de 𝑃 et 𝑄.


Exercice 30.

Déterminer les P.G.C.D. des polynômes

𝐴 = 𝑋5 + 2𝑋4 + 𝑋3 − 𝑋2 − 2𝑋 − 2 et 𝐵 = 𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 − 2

En utilisant l’algorithme d’Euclide. En déduire les factorisations de 𝐴 et 𝐵 dans ℝ[𝑋].



5

Exercice 31.

Déterminer une identité de Bézout entre les polynômes 𝑃 = (𝑋 − 1)2 et 𝑄 = 𝑋2 + 1.


Exercice 32.

1. Déterminer une identité de Bézout entre les polynômes

𝑃 = 2𝑋4 + 𝑋3 − 2𝑋 − 1 et 𝑄 = 2𝑋4 − 𝑋3 − 3𝑋2 + 𝑋 + 1

2. En déduire les racines communes de 𝑃 et 𝑄.


Exercice 33.

Soit 𝑃 = 𝑋5 + 𝑋4 + 2𝑋3 + 2𝑋2 + 𝑋 + 1

1. Calculer le PGCD de 𝑃 et 𝑃′.

2. Quelles sont les racines communes à 𝑃 et 𝑃′ ?

Quelles sont les racines multiples de 𝑃 dans ℂ ?

3. Montrer que (𝑋2 + 1)2 divise 𝑃.



Exercice 34.

Pour tout polynôme 𝑃 ∈ ℝ[𝑋] on désigne par 𝑃(𝑋 + 1) le polynôme obtenu en remplaçant 𝑋 par 𝑋 + 1

dans 𝑃.

1. Existe-t-il des polynômes 𝑃 ∈ ℝ[𝑋] de degré 3 tels que 𝑃(0) = 1 ?

2. Si 𝑃 ∈ ℝ[𝑋] est un polynôme de degré 3, quel est le degré du polynôme 𝑃(𝑋 + 1) − 𝑃(𝑋) ?

3. Existe-t-il des polynômes 𝑃 ∈ ℝ[𝑋] de degré trois qui vérifient :

𝑃(𝑋 + 1) − 𝑃(𝑋) = 𝑋2 − 1 et 𝑃(0) = 1

(Indication : On pourra dériver le polynôme 𝑃 dans l’équation ci-dessus.)


Exercice 35.

Soit 𝑛 un entier strictement positif.

1. Déterminer le pgcd des polynômes 𝑋𝑛 − 1 et (𝑋 − 1)𝑛.

2. Pour 𝑛 = 3 démontrer qu'il existe un couple de polynômes (𝑈, 𝑉) tel que : (𝑋3 − 1)𝑈 + (𝑋 − 1)3𝑉 = 𝑋 − 1

Donnez-en un.


Exercice 36.

1. Déterminer le 𝑃𝐺𝐶𝐷 et une identité de Bézout des polynômes 𝑃 et 𝑄.

𝑃 = (𝑋2 − 3𝑋 + 2)(𝑋2 + 1) = 𝑋4 − 3𝑋3 + 3𝑋2 − 3𝑋 + 2

𝑄 = (𝑋2 + 3𝑋 + 2)(𝑋2 + 1) = 𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 + 3𝑋 + 2

2. Factoriser 𝑃 et 𝑄.


Exercice 37.

Soit

(𝑋 + 1)2𝐴 + (𝑋 − 1)2𝐵 = 1 (𝐸)

1. Trouver une solution particulière 𝐴0, 𝐵0 ∈ ℝ[𝑋] de (𝐸).

2. En déduire toutes les solutions de (𝐸).


6

3. Déterminer tous les polynômes 𝑃 tels que 𝑃 − 1 soit un multiple de (𝑋 + 1)2 et que 𝑃 + 1 soit un

multiple de (𝑋 − 1)2.


Exercice 38.

Soient 𝑃 et 𝑄 deux polynômes définis par :

𝑃(𝑋) = 𝑋6 − 𝑋4 − 𝑋2 + 1 et 𝑄(𝑋) = 𝑋4 + 2𝑋3 − 2𝑋 − 1

Déterminer le PGCD de 𝑃 et 𝑄 et en déduire les racines communes de 𝑃 et 𝑄 ainsi que leur multiplicité.


Exercice 39.

Quels sont les polynômes de ℂ[𝑋] tels que 𝑃′ divise 𝑃.


Exercice 40.

Soit 𝑃(𝑋) = 2𝑋4 + 3𝑋3 − 3𝑋2 + 3𝑋 + 2

On pose 𝑌 = 𝑋 +1

𝑋

1. Montrer qu’il existe un polynôme 𝑄, de degré 2 tel que 𝑄(𝑌) =𝑃(𝑋)

𝑋2.

2. Calculer les racines de 𝑄.

3. En déduire les racines de 𝑃, puis la factorisatistion de 𝑃 dans ℝ[𝑋] et dans ℂ[𝑋].


Exercice 41.

Soit 휃 ∈ ℝ, on suppose que sin(𝑛휃) ≠ 0.

1. Déterminer toutes les racines du polynôme

𝑃 =∑(𝑛𝑘) sin(𝑘휃)𝑋𝑘

𝑛

𝑘=1

2. Montrer que toutes les racines sont réelles.


Exercice 42.

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :

𝐹(𝑋) =𝑋4 − 𝑋 + 2

(𝑋 − 1)(𝑋2 − 1)


Exercice 43.

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :

𝐹(𝑋) =6𝑋3 + 3𝑋2 − 5

𝑋4 − 1

1. Dans ℝ(𝑋)

2. Dans ℂ(𝑋)


Exercice 44.

Décomposer en éléments simples sur ℝ les fractions rationnelles suivantes :

1.


7

𝐹(𝑋) =−𝑋2 + 2𝑋 + 1

(𝑋 − 1)2(𝑋2 + 1)

2.

𝐺(𝑋) =𝑋3

(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)


Exercice 45.

Soit

𝐹 =3

(𝑋2 + 𝑋 + 1)(𝑋 − 1)2

Décomposer 𝐹 en éléments simples dans ℝ(𝑋), dans ℂ(𝑋).


Exercice 46.

Décomposer la fraction rationnelle suivante dans ℝ(𝑋).

𝐹 =𝑋2

(𝑋2 + 1)2010


Exercice 47.

Décomposer la fraction rationnelle suivante en éléments simples.

𝐹 =𝑋8 + 𝑋 + 1

𝑋4(𝑋 − 1)3


Exercice 48.

Décomposer la fraction suivante en éléments simples dans ℝ(𝑋).

𝐹 =𝑋4 + 1

𝑋2(𝑋2 + 𝑋 + 1)2


Exercice 49.

Décomposer la fraction rationnelle suivante dans ℝ(𝑋) et dans ℂ(𝑋)

𝐺 =𝑋5

(𝑋4 − 1)2


Exercice 50.

1. Soit 𝐹 =𝑃

𝑄. Si 𝛼 ∈ ℂ est une racine simple de 𝑄, montrer que le coefficient de l’élément simple

1

𝑋−𝛼 est

𝑃(𝛼)

𝑄′(𝛼).

2. Décomposer dans ℂ(𝑋) la fraction

𝐹 =𝑋

𝑋𝑛 − 1


Exercice 51.


8

On considère le polynôme 𝑃 = 𝑋5 − 𝑋3 + 𝑋2 − 1

1. Factoriser 𝑃 dans ℝ[𝑋] et dans ℂ[𝑋]

2. Décomposer la fraction 𝑋+1

𝑃 en éléments simples dans ℝ(𝑋)


CORRECTIONS

Correction exercice 1.

Dans ℝ[𝑋]

𝑃 = −(𝑋8 − 2𝑋4 + 1) = −(𝑋4 − 1)2 = −(𝑋2 − 1)2(𝑋2 + 1)2 = −(𝑋 − 1)2(𝑋 + 1)2(𝑋2 + 1)2

Dans ℂ[𝑋]

𝑃 = −(𝑋 − 1)2(𝑋 + 1)2(𝑋 − 𝑖)2(𝑋 + 𝑖)2

Allez à : Exercice 1


Première méthode

𝑃(𝑋) = 1 − 𝑋8 = (1 − 𝑋4)(1 + 𝑋4), (1 − 𝑋4) se décompose facilement en

(1 − 𝑋)(1 + 𝑋)(𝑖 − 𝑋)(𝑖 + 𝑋) = −(𝑋 − 1)(1 + 𝑋)(𝑋 − 𝑖)(𝑋 + 𝑖), mais pour décomposer 1 + 𝑋4,

c’est beaucoup plus délicat, il faut utiliser une bonne ruse, allons-y

1 + 𝑋4 = 1 + 2𝑋2 + 𝑋4 − 2𝑋2 = (1 + 𝑋2)2 − (√2𝑋)2= (1 + 𝑋2 − √2𝑋)(1 + 𝑋2 + √2𝑋)

1 + 𝑋2 − √2𝑋 = 𝑋2 − √2𝑋 + 1 et 1 + 𝑋2 + √2𝑋 = 𝑋2 + √2𝑋 + 1 sont deux polynômes irréductibles

dans ℝ[𝑋] car leur discriminant sont négatifs. Donc la décomposition de 𝑃(𝑋) dans ℝ[𝑋] est :

𝑃(𝑋) = −(𝑋 − 1)(1 + 𝑋)(𝑋2 + 1)(𝑋2 − √2𝑋 + 1)(𝑋2 + √2𝑋 + 1)

Pour la décomposition dans ℂ[𝑋] il suffit de trouver les racines complexes de 𝑋2 − √2𝑋 + 1 et 𝑋2 +

√2𝑋 + 1

Le discriminant de 𝑋2 − √2𝑋 + 1 est Δ1 = (−√2)2− 4 = −2 = (𝑖√2)

2, ses racines sont 𝑋1 =

√2−𝑖√2

2= 𝑒−𝑖

𝜋

4 et 𝑋2 =√2+𝑖√2

2= 𝑒𝑖

𝜋

4.

Le discriminant de 𝑋2 + √2𝑋 + 1 est Δ1 = (√2)2− 4 = −2 = (𝑖√2)

2, ses racines sont 𝑋3 =

−√2−𝑖√2

2= 𝑒−3𝑖

𝜋

4 et 𝑋4 =−√2+𝑖√2

2= 𝑒3𝑖

𝜋

4 .

𝑃(𝑋) = −(𝑋 − 1)(1 + 𝑋)(𝑋 − 𝑖)(𝑋 + 𝑖) (𝑋 −√2−𝑖√2

2) (𝑋 −

√2+𝑖√2

2) (𝑋 −

−√2−𝑖√2

2) (𝑋 −

−√2+𝑖√2

2)

Deuxième méthode

On cherche les racines réelles et complexes de 1 − 𝑋8 = 0

𝑋8 = 1 ⇔ 𝑋𝑘 = 𝑒2𝑖𝑘𝜋

8 = 𝑒𝑖𝑘𝜋

4 avec 𝑘 ∈ {0,1; 2,3,4,5,6,7}

Ce qui donne 𝑋0 = 1, 𝑋1 = 𝑒𝑖𝜋

4 , 𝑋2 = 𝑒𝑖𝜋

2 = 𝑖, 𝑋3 = 𝑒3𝑖𝜋

4 , 𝑋4 = 𝑒𝑖𝜋 = −1, 𝑋5 = 𝑒5𝑖𝜋

4 = 𝑒− 3𝑖𝜋

4 , 𝑋6 =

𝑒3𝑖𝜋

2 = −𝑖, 𝑋7 = 𝑒7𝑖𝜋

4 = 𝑒− 𝑖𝜋

4

La décomposition dans ℂ[𝑋] est :

𝑃(𝑋) = −(𝑋 − 1) (𝑋 − 𝑒𝑖𝜋4 ) (𝑋 − 𝑖) (𝑋 − 𝑒

3𝑖𝜋4 ) (𝑋 + 1) (𝑋 − 𝑒−

3𝑖𝜋4 ) (𝑋 + 𝑖) (𝑋 − 𝑒−

𝑖𝜋4 )

Pour la décomposition dans ℝ[𝑋], on regroupe les conjugués

𝑃(𝑋) = −(𝑋 − 1)(1 + 𝑋)(𝑋 − 𝑖)(𝑋 + 𝑖) (𝑋 − 𝑒−𝑖𝜋4) (𝑋 − 𝑒𝑖

𝜋4) (𝑋 − 𝑒−3𝑖

𝜋4) (𝑋 − 𝑒3𝑖

𝜋4)


9

𝑃(𝑋) = −(𝑋 − 1)(1 + 𝑋)(𝑋2 + 1) (𝑋2 − (𝑒−𝑖𝜋4 + 𝑒𝑖

𝜋4) 𝑋 + 𝑒−𝑖

𝜋4𝑒𝑖

𝜋4) (𝑋2 − (𝑒−3𝑖

𝜋4 + 𝑒3𝑖

𝜋4) 𝑋

+ 𝑒−3𝑖𝜋4𝑒3𝑖

𝜋4)

= −(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)(𝑋2 + 1) (𝑋2 − 2 cos (𝜋

4)𝑋 + 1) (𝑋2 − 2cos (

3𝜋

4)𝑋 + 1)

= −(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)(1 + 𝑋2) (𝑋2 − 2√2

2𝑋 + 1) (𝑋2 + 2

√2

2𝑋 + 1)

= −(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)(1 + 𝑋2)(𝑋2 − √2𝑋 + 1)(𝑋2 + √2𝑋 + 1)

Dans ℚ[𝑋] on regroupe les deux derniers polynômes

𝑃(𝑋) = −(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)(1 + 𝑋2)(𝑋2 + 1 − √2𝑋)(𝑋2 + 1 + √2𝑋)

= −(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)(1 + 𝑋2) ((𝑋2 + 1)2 − (√2𝑋)2)

= −(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)(1 + 𝑋2)(𝑋4 + 1)



1.

1 + 𝑗 = 1 + (−1

2+𝑖√3

2) =

1

2+𝑖√3

2= −(

1

2+𝑖√3

2) = −𝑒

4𝑖𝜋3 = −(𝑒

2𝑖𝜋3 )

2

= −𝑗2

Ou mieux

1 + 𝑗 + 𝑗2 =1 − 𝑗3

1 − 𝑗= 0

Car 𝑗3 = (𝑒2𝑖𝜋

3 )3

= 𝑒2𝑖𝜋 = 1.

2.

𝑃(𝑗) = (𝑗 + 1)7 − 𝑗7 − 1 = (−𝑗2)7 − 𝑗6𝑗 − 1 = −𝑗14 − 𝑗 − 1 − 𝑗12𝑗2 − 𝑗 − 1 = −(𝑗2 + 𝑗 + 1) = 0

𝑃′ = 7(𝑋 + 1)6 − 7𝑋6

𝑃′(𝑗) = 7((𝑗 + 1)6 − 𝑗6) = 7((−𝑗2)6 − 1) = 7(𝑗12 − 1) = 7(1 − 1) = 0

Donc 𝑗 est au moins racine double.

3. 𝑃(0) = (0 + 1)7 − 07 − 1 = 17 − 1 = 0 et 𝑃(−1) = (−1 + 1)7 − (−1)7 − 1 = 0 − (−1) − 1 = 0

Donc 0 et −1 sont deux racines évidentes.

4. Le début de la formule du binôme de (𝑋 + 1)7 est 𝑋7 + 7𝑋6 (il y a plein d’autre terme mais il est

inutile de les calculer) donc 𝑃 est un polynôme de degré 6 et son coefficient dominant est 7.

D’autre part, 𝑗 est racine double (au moins) donc 𝑗 = 𝑗2 est aussi racine double (au moins) car 𝑃 est un

polynôme à coefficients réels. 0 et −1 sont aussi racine, cela donne 6 racine (au moins), comme 𝑑°𝑃 =6 on a toutes les racines. La factorisation dans ℂ[𝑋] est :

𝑃 = 7𝑋(𝑋 + 1)(𝑋 − 𝑗)2(𝑋 − 𝑗)2

Dans ℝ[𝑋] :

(𝑋 − 𝑗)(𝑋 − 𝑗) = (𝑋 − 𝑗)(𝑋 − 𝑗2) = 𝑋2 − (𝑗 + 𝑗2)𝑋 + 𝑗3 = 𝑋2 + 𝑋 + 1

Donc

𝑃 = 7𝑋(𝑋 + 1) ((𝑋 − 𝑗)(𝑋 − 𝑗))2

= 7𝑋(𝑋 + 1)(𝑋2 + 𝑋 + 1)2



𝑃(𝑋) = 1 + 𝑋 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋5 = 0 ⇔ {1 − 𝑋6

1 − 𝑋= 0

𝑋 ≠ 1

⇔ {1 − 𝑋6 = 0

𝑋 ≠ 1⇔ {𝑋

6 = 1𝑋 ≠ 1

Or 𝑋6 = 1 ⇔ 𝑋𝑘 = 𝑒2𝑖𝑘𝜋

6 = 𝑒𝑖𝑘𝜋

3 avec 𝑘 ∈ {0,1; 2,3,4,5}

Ce qui donne 𝑋0 = 1, 𝑋1 = 𝑒𝑖𝜋

3 = −𝑗 = −𝑗2, 𝑋2 = 𝑒2𝑖𝜋

3 = 𝑗, 𝑋3 = 𝑒𝑖𝜋 = −1, 𝑋4 = 𝑒4𝑖𝜋

3 = 𝑗2, 𝑋5 = 𝑒5𝑖𝜋

3 = −𝑗


10

Les 5 racines de 𝑃 sont 𝑋1 = −𝑗2, 𝑋2 = 𝑗, 𝑋3 = −1, 𝑋4 = 𝑗2 et 𝑋5 = −𝑗.


𝑃(𝑋) = 1 × (𝑋 + 𝑗2)(𝑋 − 𝑗)(𝑋 + 1)(𝑋 − 𝑗2)(𝑋 + 𝑗) = (𝑋 + 𝑗2)(𝑋 − 𝑗)(𝑋 + 1)(𝑋 − 𝑗2)(𝑋 + 𝑗)

La décomposition dans ℝ[𝑋] est :

𝑃(𝑋) = (𝑋 + 1)(𝑋 − 𝑗)(𝑋 − 𝑗2)(𝑋 + 𝑗2)(𝑋 + 𝑗) = (𝑋 + 1)(𝑋2 − (𝑗 + 𝑗2)𝑋 + 𝑗3)(𝑋2 + (𝑗 + 𝑗2)𝑋 + 𝑗3)

= (𝑋 + 1)(𝑋2 + 𝑋 + 1)(𝑋2 − 𝑋 + 1)



1.

𝑃 = 1 + 𝑋 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋5 + 𝑋6 + 𝑋7 =1 − 𝑋8

1 − 𝑋

Pour 𝑋 ≠ 1

Les racines de 𝑃 vérifient {𝑋8 = 1𝑋 ≠ 1

⇔ {𝑋𝑘 = 𝑒2𝑖𝑘𝜋

8 , 𝑘 ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7}

𝑋 ≠ 1⇔ 𝑋𝑘 = 𝑒

𝑖𝑘𝜋

4 , 𝑘 ∈

{1,2,3,4,5,6,7}

𝑋1 = 𝑒𝑖𝜋

4 , 𝑋2 = 𝑒𝑖𝜋

2 = 𝑖, 𝑋3 = 𝑒3𝑖𝜋

4 , 𝑋4 = 𝑒𝑖𝜋 = −1, 𝑋5 = 𝑒

5𝑖𝜋

4 = 𝑒−3𝑖𝜋

4 , 𝑋6 = 𝑒3𝑖𝜋

2 = −𝑖 et 𝑋7 = 𝑒7𝑖𝜋

4 =

𝑒−𝑖𝜋

4

Donc

𝑃 = (𝑋 − 𝑒𝑖𝜋4 ) (𝑋 − 𝑖) (𝑋 − 𝑒

3𝑖𝜋4 ) (𝑋 + 1) (𝑋 − 𝑒−

3𝑖𝜋4 ) (𝑋 + 𝑖) (𝑋 − 𝑒−

𝑖𝜋4 )

2. On rappelle que

(𝑋 − 𝑒𝑖𝜃)(𝑋 − 𝑒−𝑖𝜃) = 𝑋2 − 2 cos(휃) + 1

𝑃 = (𝑋 + 1)(𝑋 − 𝑖)(𝑋 + 𝑖) (𝑋 − 𝑒𝑖𝜋4 ) (𝑋 − 𝑒−

𝑖𝜋4 ) (𝑋 − 𝑒

3𝑖𝜋4 ) (𝑋 − 𝑒−

3𝑖𝜋4 )

= (𝑋 + 1)(𝑋2 + 1) (𝑋2 − 2cos (𝜋

4)𝑋 + 1) (𝑋2 − 2cos (

3𝜋

4)𝑋 + 1)

= (𝑋 + 1)(𝑋2 + 1)(𝑋2 − √2𝑋 + 1)(𝑋2 + √2𝑋 + 1)

3.

𝑃 = (𝑋 + 1)(𝑋2 + 1)(𝑋2 + 1 − √2𝑋)(𝑋2 + 1 + √2𝑋) = (𝑋 + 1)(𝑋2 + 1) ((𝑋2 + 1)2 − (√2𝑋)2)

= (𝑋 + 1)(𝑋2 + 1)(𝑋4 + 2𝑋2 + 1 − 2𝑋2) = (𝑋 + 1)(𝑋2 + 1)(𝑋4 + 1)



Pour 𝑋2 ≠ 1

𝑃(𝑋) = 1 + 𝑋2 + (𝑋2)2 + (𝑋2)3 =1 − (𝑋2)4

1 − 𝑋2=1 − 𝑋8

1 − 𝑋2

𝑃(𝑋) = 0 ⇔ {𝑋8 = 1𝑋2 ≠ 1

⇔ {𝑋 = 𝑒2𝑖𝑘𝜋8 , 𝑘 ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7}

𝑋 ≠ ±1⇔ {𝑋 = 𝑒

𝑖𝑘𝜋4 , 𝑘 ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7}

𝑋 ≠ ±1⇔ 𝑋

= 𝑒𝑖𝑘𝜋4 , 𝑘 ∈ {1,2,3,5,6,7}

Car pour 𝑘 = 0, 𝑒𝑖𝑘𝜋

4 = 1 et pour 𝑘 = 4, 𝑒𝑖𝑘𝜋

4 = 𝑒𝑖𝜋 = −1

Les racines de 𝑃 sont :

𝑋1 = 𝑒𝑖𝜋4 ; 𝑋2 = 𝑒

2𝑖𝜋4 = 𝑖; 𝑋3 = 𝑒

3𝑖𝜋4 ; 𝑋5 = 𝑒

5𝑖𝜋4 = 𝑒−

3𝑖𝜋4 ; 𝑋6 = 𝑒

6𝑖𝜋4 = −𝑖 𝑒𝑡 𝑋7 = 𝑒

7𝑖𝜋4 = 𝑒−

𝑖𝜋4

La factorisation dans ℂ[𝑋] est :

𝑃(𝑋) = (𝑋 − 𝑒𝑖𝜋4 ) (𝑋 − 𝑒−

𝑖𝜋4 ) (𝑋 − 𝑖)(𝑋 + 𝑖) (𝑋 − 𝑒

3𝑖𝜋4 ) (𝑋 − 𝑒−

3𝑖𝜋4 )


11

Et dans ℝ[𝑋] :

𝑃(𝑋) = (𝑋2 − 2cos (𝜋

4)𝑋 + 1) (𝑋2 + 1) (𝑋2 − 2cos (

3𝜋

4)𝑋 + 1)

= (𝑋2 − √2𝑋 + 1)(𝑋2 + 1)(𝑋2 + √2𝑋 + 1)



𝑃(𝑋) = 1 + (𝑋

2) + (

𝑋

2)2

+ (𝑋

2)3

+ (𝑋

2)4

+ (𝑋

2)5

= 0 ⇔

{

1 − (

𝑋2)6

1 −𝑋2

= 0

𝑋

2≠ 1

⇔ {1 − (𝑋

2)6

= 0

𝑋 ≠ 2

⇔ {(𝑋

2)6

= 1

𝑋 ≠ 2

Or (𝑋

2)6

= 1 ⇔ 𝑋𝑘 = 2𝑒2𝑖𝑘𝜋

6 = 2𝑒𝑖𝑘𝜋

3 avec 𝑘 ∈ {0,1,2,3,4,5} donc 𝑋𝑘 = 2𝑒𝑖𝑘𝜋

3

Ce qui donne 𝑋0 = 2, 𝑋1 = 2𝑒𝑖𝜋

3 = −2𝑗 = −2𝑗2, 𝑋2 = 2𝑒2𝑖𝜋

3 = 2𝑗, 𝑋3 = 2𝑒𝑖𝜋 = −2, 𝑋4 = 2𝑒4𝑖𝜋

3 =

2𝑗2, 𝑋5 = 2𝑒5𝑖𝜋

3 = −2𝑗

Les 5 racines de 𝑃 sont 𝑋1 = −2𝑗2, 𝑋2 = 2𝑗, 𝑋3 = −2, 𝑋4 = 2𝑗2 et 𝑋5 = −2𝑗. On a enlevé 𝑋 = 2.


𝑃(𝑋) =1

32× (𝑋 + 2𝑗2)(𝑋 − 2𝑗)(𝑋 + 2)(𝑋 − 2𝑗2)(𝑋 + 2𝑗)

= (𝑋 + 2𝑗2)(𝑋 − 2𝑗)(𝑋 + 2)(𝑋 − 2𝑗2)(𝑋 + 2𝑗)

La décomposition dans ℝ[𝑋] est :

𝑃(𝑋) =1

32(𝑋 + 2)(𝑋 − 2𝑗)(𝑋 − 2𝑗2)(𝑋 + 2𝑗2)(𝑋 + 2𝑗)

=1

32(𝑋 + 2)(𝑋2 − 2(𝑗 + 𝑗2)𝑋 + 4𝑗3)(𝑋2 + 2(𝑗 + 𝑗2)𝑋 + 4𝑗3)

=1

32(𝑋 + 1)(𝑋2 + 2𝑋 + 4)(𝑋2 − 2𝑋 + 4)



1.

𝑃 = 1 + (−𝑋) + (−𝑋)2 + (−𝑋)3 + (−𝑋)4 =1 − (−𝑋)5

1 − (−𝑋)=1 + 𝑋5

1 + 𝑋

Pour 𝑋 ≠ −1

Les racines vérifient

{𝑋5 = −1𝑋 ≠ 1

= 0 ⇔ {|𝑋5| = |−1|

arg(𝑋5) = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ𝑋 ≠ −1

⇔ {|𝑋| = 1

5 arg(𝑋) = (2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ𝑋 ≠ 1

⇔ {

|𝑋| = 1

arg(𝑋) =2𝑘 + 1

5𝜋, 𝑘 ∈ {0,1,2,3,4}

𝑋 ≠ 1

⇔ {𝑋 = 𝑒2𝑘+15

𝑖𝜋, 𝑘 ∈ {0,1,2,3,4}𝑋 ≠ −1

𝑋0 = 𝑒𝑖𝜋5 ; 𝑋1 = 𝑒

3𝑖𝜋5 ; 𝑋2 = 𝑒

5𝑖𝜋5 = −1; 𝑋3 = 𝑒

7𝑖𝜋5 = 𝑒

−3𝑖𝜋5 ; 𝑋4 = 𝑒

−𝑖𝜋5

On élimine 𝑋3 = −1

2. Dans ℂ[𝑋]


12

𝑃 = (𝑋 − 𝑒𝑖𝜋5 ) (𝑋 − 𝑒−

𝑖𝜋5 ) (𝑋 − 𝑒

3𝑖𝜋5 ) (𝑋 − 𝑒−

3𝑖𝜋5 )

Dans ℝ[𝑋]

𝑃 = (𝑋2 − 2𝑋 cos (𝜋

5) + 1) (𝑋2 − 2𝑋 cos (

3𝜋

5) + 1)



1. 𝑃 = 𝑋2(−𝑋 + 1) + (−𝑋 + 1) = −(𝑋 − 1)(𝑋2 + 1) dans ℝ[𝑋]

𝑃 = −(𝑋 − 1)(𝑋 − 𝑖)(𝑋 + 𝑖) dans ℂ[𝑋]

2. Si 𝑋 ≠ −1.

𝑃 = ∑ (−𝑋)𝑘2𝑛−1

𝑘=0

=1 − (−𝑋)(𝑛+1)

1 − (−𝑋)=1 − (−𝑋)𝑛+1

1 + 𝑋

Les racines de 𝑃 vérifie 𝑋(𝑛+1) = 1 et 𝑋 ≠ −1.

𝑃(𝑋) = 0 ⇔ {(−𝑋)𝑛+1 = 1𝑋 ≠ −1

⇔ {−𝑋 = 𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛+1 , 𝑘 ∈ {0,1, … , 𝑛}𝑋 ≠ −1

⇔ {𝑋 = −𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛+1 , 𝑘 ∈ {0,1, … , 𝑛}𝑋 ≠ −1

⇔ 𝑋 = −𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛+1 , 𝑘 ∈ {1, … , 𝑛}



1.

𝑃(𝑗) = 𝑗6 + 2𝑗5 + 4𝑗4 + 4𝑗3 + 4𝑗2 + 2𝑗 + 1 = 1 + 2𝑗2 + 4𝑗 + 4 + 4𝑗2 + 2𝑗 + 1 = 6𝑗2 + 6𝑗 + 6

= 6(𝑗2 + 𝑗 + 1) = 0

𝑃′ = 6𝑋5 + 10𝑋4 + 16𝑋3 + 12𝑋2 + 8𝑋 + 2

𝑃′(𝑗) = 6𝑗5 + 10𝑗4 + 16𝑗3 + 12𝑗2 + 8𝑗 + 2 = 6𝑗2 + 10𝑗 + 16 + 12𝑗2 + 8𝑗 + 2 = 18𝑗2 + 18𝑗 + 18

= 18(𝑗2 + 𝑗 + 1) = 0

Donc 𝑗 est racine double, comme 𝑃 est un polynôme à coefficients réels, 𝑗 est aussi racine double.

On peut essayer de voir si 𝑗 ne serait pas racine triple (mais cela ne marche pas).

2. Soit on a l’intuition de voir que 𝑖 est racine (et que donc – 𝑖 est aussi racine), soit on ne le voit pas et il

faut diviser 𝑃 par

(𝑋 − 𝑗)2(𝑋 − 𝑗)2= ((𝑋 − 𝑗)(𝑋 − 𝑗))

2

= (𝑋2 + 𝑋 + 1)2 = 𝑋4 + 𝑋2 + 1 + 2𝑋3 + 2𝑋2 + 2𝑋

= 𝑋4 + 2𝑋3 + 3𝑋2 + 2𝑋 + 1

𝑃 = (𝑋 − 𝑗)2(𝑋 − 𝑗)2(𝑋 − 𝑖)(𝑋 + 𝑖)

3.

𝑃 = (𝑋2 + 𝑋 + 1)2(𝑋2 + 1)



1.

𝑃(𝑗) = 𝑗8 + 2𝑋6 + 3𝑗4 + 2𝑗2 + 1 = 𝑗2 + 2 + 3𝑗 + 2𝑗2 + 1 = 3𝑗2 + 3𝑗 + 3 = 3(𝑗2 + 𝑗 + 1) = 0

𝑋6 + 2𝑋5 + 4𝑋4 + 4𝑋3 + 4𝑋2 + 2𝑋 + 1 𝑋4 + 2𝑋3 + 3𝑋2 + 2𝑋 + 1

𝑋6 + 2𝑋5 + 3𝑋4 + 2𝑋3 + 𝑋2 𝑋2 + 1

𝑋4 + 2𝑋3 + 3𝑋2 + 2𝑋 + 1

𝑋4 + 2𝑋3 + 3𝑋2 + 2𝑋 + 1

0


13

𝑗 est une racine de 𝑃

𝑃′ = 8𝑋7 + 12𝑋5 + 12𝑋3 + 4𝑋

𝑃′(𝑗) = 8𝑗7 + 12𝑗5 + 12𝑗3 + 4𝑗 = 8𝑗 + 12𝑗2 + 12 + 4𝑗 = 12𝑗2 + 12𝑗 + 12 = 12(𝑗2 + 𝑗 + 1) = 0

𝑗 est racine au moins double, 𝑗 est donc une racine multiple.

2. Comme 𝑃 est pair, −𝑗 est aussi une racine double, ce polynôme est à coefficients réels donc 𝑗 = 𝑗2 est

racine double et −𝑗 = −𝑗2 est aussi racine double, cela fait 8 racines en tout (en comptant la multiplicité

de racines), comme ce polynôme est degré 8, on les a toutes. Le coefficient dominant est 1, on en déduit

la factorisation dans ℂ[𝑋]

𝑃 = (𝑋 − 𝑗)2(𝑋 − 𝑗2)2(𝑋 + 𝑗)2(𝑋 + 𝑗2)2

Dans ℝ[𝑋]

𝑃 = [(𝑋 − 𝑗)(𝑋 − 𝑗2)]2[(𝑋 + 𝑗)(𝑋 + 𝑗2)]2 = [𝑋2 + 𝑋 + 1]2[𝑋2 − 𝑋 + 1]2



1.

𝑃(𝑗) = 2𝑗3 + 3𝑗2 + 6𝑗 + 1 + 3𝑗 = 2 + 3𝑗2 + 6𝑗 + 1 − 3𝑗 = 3𝑗2 + 3𝑗 + 3 = 3(𝑗2 + 𝑗 + 1) = 0

𝑃′ = 6𝑋2 + 6𝑋 + 6

𝑃′(𝑗) = 6𝑗2 + 6𝑗 + 6 = 6(𝑗2 + 𝑗 + 1) = 0

Donc 𝑗 est une racine double de 𝑃.

2. La somme des racines de 𝑃 est −3

2, si on appelle 𝛼 la troisième racine on a

𝛼 + 2𝑗 = −3

2⇔ 𝛼 = −

3

2− 2𝑗 = −

3

2− 2(−

1

2−𝑖√3

2) = −

1

2+ 𝑖√3

Donc

𝑃 = 2(𝑋 − 𝑗)2 (𝑋 +1

2− 𝑖√3)



1.

(𝑋 + 1)6 = 𝑋6 ⇔ (𝑋 + 1

𝑋)6

= 1

Il est clair que 0 n’est pas racine. Mais attention (𝑋 + 1)6 − 𝑋6 est un polynôme de degré 5

(𝑋 + 1)6 = 𝑋6 ⇔ (𝑋 + 1

𝑋)6

= 1

𝑋 + 1

𝑋= 𝑒

2𝑖𝑘𝜋6 , 𝑘 ∈ {0,1,2,3,4,5}

La racine « en trop » est celle qui aurait vérifié 𝑋+1

𝑋= 1 qui n’a pas de solution, on enlève donc 𝑘 = 0.

1 +1

𝑋= 𝑒

2𝑖𝑘𝜋6 , 𝑘 ∈ {1,2,3,4,5} ⇔

1

𝑋= 𝑒

𝑖𝑘𝜋3 − 1, 𝑘 ∈ {1,2,3,4,5} ⇔ 𝑋 =

1

𝑒𝑖𝑘𝜋3 − 1

, 𝑘 ∈ {1,2,3,4,5}

⇔ 𝑋 =𝑒−

𝑖𝑘𝜋3 − 1

(𝑒𝑖𝑘𝜋3 − 1) (𝑒−

𝑖𝑘𝜋3 − 1)

, 𝑘 ∈ {1,2,3,4,5}

Les cinq racines sont

𝑋𝑘 =𝑒−

𝑖𝑘𝜋3 − 1

(𝑒𝑖𝑘𝜋3 − 1) (𝑒−

𝑖𝑘𝜋3 − 1)

=cos (

𝑘𝜋3 ) − 1 + 𝑖 sin (

𝑘𝜋3 )

2 − 2 cos (𝑘𝜋3 )


14

2. Pour que 𝑃 admette une racine multiple réelle (donc au moins double), 𝑃 et 𝑃′ ont une racine réelle

commune.

𝑃′ = 7(𝑋 + 1)6 − 7𝑋6

Les racines réelles et complexes de 𝑃′ vérifient (𝑋 + 1)6 − 𝑋6 = 0

On cherche les racines réelles donc sin (𝑘𝜋

3) = 0 ce qui équivaut à 𝑘 = 0 (mais on a éliminé ce cas) et

𝑘 = 3

𝑋3 =cos(𝜋) − 1

2 − 2 cos(𝜋)= −

2

4= −

1

2

𝑃 ademt une racine double si et seulement si 𝑃 (−1

2) = 0.

𝑃 (−1

2) = 0 ⇔ (−

1

2+ 1)

7

− (−1

2)7

+ 𝑎 = 0 ⇔1

27+1

27+ 𝑎 = 0 ⇔ 𝑎 = −2 ×

1

27= −

1

26

Et alors

𝑃 = (𝑋 + 1)7 − 𝑋7 −1

26



1. La réponse est non car les seuls polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes

de degré 2 qui n’ont pas de racines réelles. La question ne demande pas de factoriser ce polynôme.

2. Les limites de la fonction polynômiale définie par 𝐵(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥 + 1 en −∞ vaut −∞ et en +∞ vaut

+∞, cette fonction est continue, donc le théorème des valeurs intermédiaires entraine qu’il existe 𝑥0 tel

que 𝐵(𝑥0) = 0. 𝐵 admet une racine réelle. Ceci dit le même raisonnement qu’au 1°) est valable aussi.



𝑃 = 𝑋5 − 2𝑋4 − 6𝑋3 + 𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 est factorisable par 𝑄 = (𝑋2 − 1)(𝑋 − 3) si et seulement si −1,

1 et 3 sont racines de 𝑃.

{

𝑃(−1) = (−1)5 − 2 × (−1)4 − 6 × (−1)3 + 𝑎 × (−1)2 + 𝑏 × (−1) + 𝑐 = 0

𝑃(1) = 15 − 2 × 14 − 6 × 13 + 𝑎 × 12 + 𝑏 + 𝑐 = 0

𝑃(3) = 35 − 2 × 34 − 6 × 33 + 𝑎 × 32 + 𝑏 × 3 + 𝑐 = 0

⇔ {−1 − 2 + 6 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0 1 − 2 − 6 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 34(3 − 2 − 2) + 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0

⇔𝐿1𝐿2𝐿3

{𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −3 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 7 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 81

𝐿2 − 𝐿1 entraine que 2𝑏 = 10 donc 𝑏 = 5

Et 𝐿2 + 𝐿1 entraine que 2𝑎 + 2𝑐 = 4 donc 𝑎 + 𝑐 = 2 : 𝐿1′

On remplace 𝑏 = 5 dans 𝐿3 : 9𝑎 + 15 + 𝑐 = 81 donc 9𝑎 + 𝑐 = 66 : 𝐿2′

𝐿2′ − 𝐿1

′ entraine que 8𝑎 = 64 donc 𝑎 = 8 et donc 𝑐 = 2 − 8 = −6

Finalement 𝑃 = 𝑋5 − 2𝑋4 − 6𝑋3 + 8𝑋2 + 5𝑋 − 6



𝐴𝑛 est divisible par 𝐵 si et seulement si les racines de 𝐵 sont aussi des racines de 𝐴𝑛.

Le discriminant de 𝑋2 − 𝑋 + 1 est Δ = 1 − 4 = −3 donc les deux racines de 𝐵 sont :

𝑋1 =1 + 𝑖√3

2= −𝑗2

𝑋2 =1 − 𝑖√3

2= −𝑗

Remarque : 𝑋2 − 𝑋 + 1 = 0 ⇔ (−𝑋)2 + (−𝑋) + 1 = 0


15

Donc les racines du polynôme 𝐵 vérifient

−𝑋 = 𝑗 ou − 𝑋 = 𝑗2

𝐴𝑛(−𝑗) = (−𝑗 − 1)𝑛+2 + (−𝑗)2𝑛+1 = (𝑗2)𝑛(𝑗2)2 + (−𝑗)2𝑛(−𝑗) = 𝑗2𝑛𝑗4 − 𝑗2𝑛𝑗 = 0

Comme 𝐴𝑛 est un polynôme à coefficients réels, −𝑗 = −𝑗2 est aussi racine.

On conclut que 𝑋2 − 𝑋 + 1 divisise (𝑋 − 1)𝑛+2 + 𝑋2𝑛+1.



𝑃𝑛(𝑗) = (𝑗 + 1)𝑛 − 𝑗𝑛 − 1 = (−𝑗2)𝑛 − 𝑗𝑛 − 1 = (−1)𝑛𝑗2𝑛 − 𝑗𝑛 − 1

Si 𝑛 = 6𝑝

𝑃6𝑝(𝑗) = 𝑗12𝑝 − 𝑗6𝑝 − 1 = 1 − 1 − 2 = −2 ≠ 0

Si 𝑛 = 6𝑝 + 1

𝑃6𝑝+1(𝑗) = −𝑗12𝑝+2 − 𝑗6𝑝+1 − 1 = −𝑗2 − 𝑗 − 1 = 0

Si 𝑛 = 6𝑝 + 2

𝑃6𝑝+2(𝑗) = 𝑗12𝑝+4 − 𝑗6𝑝+2 − 1 = 𝑗 − 𝑗2 − 1 = 2𝑗 ≠ 0

Si 𝑛 = 6𝑝 + 3

𝑃6𝑝+3(𝑗) = −𝑗12𝑝+6 − 𝑗6𝑝+3 − 1 = −1 − 1 − 1 = −3 ≠ 0

Si 𝑛 = 6𝑝 + 4

𝑃6𝑝+4(𝑗) = 𝑗12𝑝+8 − 𝑗6𝑝+4 − 1 = 𝑗2 − 𝑗 − 1 = 2𝑗2 ≠ 0

Si 𝑛 = 6𝑝 + 5

𝑃6𝑝+5(𝑗) = −𝑗12𝑝+10 − 𝑗6𝑝+5 − 1 = −𝑗 − 𝑗2 − 1 = 0



Il existe 𝐴, 𝑅 ∈ ℝ[𝑋] tels que

𝑋𝑛 + 𝑋 + 1 = 𝐴(𝑋 − 1)2 + 𝑅 (∗)

Avec 𝑑°𝑅 < 2 donc il existe 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ tels que 𝑅 = 𝑎𝑋 + 𝑏, ce qui entraine que 𝑅′ = 𝑎

Prenons 𝑋 = 1

3 = 𝑅(1) = 𝑎 + 𝑏

On dérive (∗)

𝑛𝑋𝑛−1 + 1 = 𝐴′(𝑋 − 1)2 + 𝐴(𝑋 − 1) + 𝑅′

On prend 𝑋 = 1

𝑛 + 1 = 𝑎

On en déduit que

𝑏 = 3 − 𝑎 = 3 − (𝑛 + 1) = 2 − 𝑛

Et finalement

𝑅 = (𝑛 + 1)𝑋 + 2 − 𝑛



(𝑋 + 1)𝑛 = (𝑋2 + 1)𝑄 + 𝑅

Or 𝑑°𝑅 < 2 et donc 𝑅 = 𝑎𝑋 + 𝑏.

On pose 𝑋 = 𝑖.


16

(𝑖 + 1)𝑛 = 𝑎𝑖 + 𝑏 ⇔ (√2(√2

2+√2

2𝑖))

𝑛

= 𝑏 + 𝑎𝑖 ⇔ (√2)𝑛(𝑒

𝑖𝜋4 )

𝑛

= 𝑏 + 𝑎𝑖 ⇔ (√2)𝑛𝑒𝑛𝑖𝜋4

= 𝑏 + 𝑎𝑖 ⇔ (√2)𝑛(cos (

𝑛𝜋

4) + 𝑖 sin (

𝑛𝜋

4)) = 𝑏 + 𝑎𝑖 ⇔ {

𝑎 = (√2)𝑛sin (

𝑛𝜋

4)

𝑏 = (√2)𝑛cos (

𝑛𝜋

4)

Donc

𝑅 = (√2)𝑛sin (

𝑛𝜋

4)𝑋 + (√2)

𝑛cos (

𝑛𝜋

4)



Il existe un unique couple (𝑄, 𝑅) de polynômes, avec 𝑑°𝑅 < 2 tels que :

(𝑋 + 1)𝑛 = (𝑋 − 1)2𝑄 + 𝑅

Il existe 𝑎 et 𝑏 réels tels que 𝑅 = 𝑎𝑋 + 𝑏

(𝑋 + 1)𝑛 = (𝑋 − 1)2𝑄 + 𝑎𝑋 + 𝑏 (∗)

On pose 𝑋 = 1

2𝑛 = 𝑎 + 𝑏

On dérive (∗)

𝑛(𝑋 + 1)𝑛−1 = 2(𝑋 − 1)𝑄 + (𝑋 − 1)2𝑄′ + 𝑎

On pose 𝑋 = 1

𝑛2𝑛−1 = 𝑎

Donc 𝑏 = 2𝑛 − 𝑛2𝑛−1

Finalement

𝑅 = 𝑛2𝑛−1𝑋 + 2𝑛 − 𝑛2𝑛−1



Il existe 𝑄𝑛 et 𝑅𝑛 tels que :

𝐴𝑛 = 𝐵𝑄𝑛 + 𝑅𝑛 ⇔ 𝑋𝑛 + 𝑋 + 𝑏 = (𝑋 − 𝑎)2𝑄𝑛 + 𝑅𝑛

Avec 𝑑°𝑅𝑛 < 2. Donc il existe 𝛼𝑛 et 𝛽𝑛 tels que :

𝑋𝑛 + 𝑋 + 𝑏 = (𝑋 − 𝑎)2𝑄𝑛 + 𝛼𝑛𝑋 + 𝛽𝑛 (1)

En dérivant on trouve

𝑛𝑋𝑛−1 + 1 = (𝑋 − 𝑎)[2𝑄𝑛 + (𝑋 − 𝑎)2𝑄𝑛

′ ] + 𝛼𝑛 (2)

On fait 𝑋 = 𝑎 dans (1) et dans (2).

{𝑎𝑛 + 𝑎 + 𝑏 = 𝛼𝑛𝑎 + 𝛽𝑛

𝑛𝑎𝑛−1 + 1 = 𝛼𝑛⇔ {

𝛼𝑛 = 𝑛𝑎𝑛 + 1

𝛽𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎 + 𝑏 − (𝑛𝑎𝑛−1 + 1)𝑎 = −(𝑛 − 1)𝑎𝑛 + 𝑏

Donc

𝑅𝑛 = (𝑛𝑎𝑛 + 1)𝑋 − (𝑛 − 1)𝑎𝑛 + 𝑏



Il existe 𝑄 et 𝑅 tels que 𝐴 = 𝐵𝑄 + 𝑅 et 𝑑°𝑅 < 𝑑°𝐵 = 2 donc degré de 𝑅 est inférieur ou égal à 1 on a

alors 𝑅 = 𝑎𝑋 + 𝑏 où 𝑎 et 𝑏 sont des réels.

𝐴(𝑖) = 𝐵(𝑖)𝑄(𝑖) + 𝑅(𝑖) ⇔ 𝑖2𝑛 + 2𝑖𝑛 + 1 = 𝑎𝑖 + 𝑏 car 𝐵(𝑖) = 𝑖2 + 1 = 0

Si 𝑛 = 2𝑝 𝑖2𝑛 + 2𝑖𝑛 + 1 = 𝑎𝑖 + 𝑏 ⇔ 𝑖4𝑝 + 2𝑖2𝑝 + 1 = 𝑎𝑖 + 𝑏 ⇔ 1 + 2(−1)𝑝 + 1 = 𝑎𝑖 + 𝑏 ⇔

{𝑎 = 0

𝑏 = 2 + 2(−1)𝑝

Donc 𝑅 = 2 + 2(−1)𝑝


17

Si 𝑛 = 2𝑝 + 1

𝑖2𝑛 + 2𝑖𝑛 + 1 = 𝑎𝑖 + 𝑏 ⇔ 𝑖4𝑝+2 + 2𝑖2𝑝+1 + 1 = 𝑎𝑖 + 𝑏 ⇔ −1 + 2(−1)𝑝𝑖 + 1 = 𝑎𝑖 + 𝑏

⇔ {𝑎 = 2(−1)𝑝

𝑏 = 0

Donc 𝑅 = 2(−1)𝑝𝑋



1. Les quatre racines de 𝑋4 − 1 = 0, c’est-à-dire {1, 𝑖, −1,−𝑖} vérifie 𝑋4 = 1 donc

(𝑋4)𝑛 − 1 = 1𝑛 − 1 = 0 donc ces racines sont des racines de 𝑋4𝑛 − 1, on peut mettre 𝑋4 − 1 en

facteur dans ce polynôme.

2.

Première méthode :

D’après la première question il existe 𝑄𝑎, 𝑄𝑏, 𝑄𝑐 et 𝑄𝑑 tels que :

𝑋4𝑎 − 1 = 𝑄𝑎(𝑋4 − 1) ⇔ 𝑋4𝑎 = 𝑄𝑎(𝑋

4 − 1) + 1

𝑋4𝑏 − 1 = 𝑄𝑏(𝑋4 − 1) ⇔ 𝑋4𝑏 = 𝑄𝑏(𝑋

4 − 1) + 1

𝑋4𝑐 − 1 = 𝑄𝑐(𝑋4 − 1) ⇔ 𝑋4𝑐 = 𝑄𝑐(𝑋

4 − 1) + 1

𝑋4𝑑 − 1 = 𝑄𝑑(𝑋4 − 1) ⇔ 𝑋4𝑑 = 𝑄𝑑(𝑋

4 − 1) + 1

Donc

𝑃 = 𝑋4𝑎+3 + 𝑋4𝑏+2 + 𝑋4𝑐+1 + 𝑋4𝑑 = 𝑋4𝑎𝑋3 + 𝑋4𝑏𝑋2 + 𝑋4𝑐𝑋 + 𝑋4𝑑

= (𝑄𝑎(𝑋4 − 1) + 1)𝑋3 + (𝑄𝑏(𝑋

4 − 1) + 1)𝑋2 + (𝑄𝑐(𝑋4 − 1) + 1)𝑋 + 𝑄𝑑(𝑋

4 − 1)

+ 1 = (𝑋4 − 1)[𝑄𝑎𝑋3 + 𝑄𝑏𝑋

2 + 𝑄𝑐𝑋 + 𝑄𝑑] + 𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1

= (𝑋 − 1)(𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1)[𝑄𝑎𝑋3 + 𝑄𝑏𝑋

2 + 𝑄𝑐𝑋 + 𝑄𝑑] + 𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1

= (𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1)((𝑋 − 1)(𝑄𝑎𝑋3 + 𝑄𝑏𝑋

2 + 𝑄𝑐𝑋 + 𝑄𝑑) + 1)

Deuxième méthode : 𝑋4𝑛 − 1 ≡ 0 [𝑋4 − 1] ⇔ 𝑋4𝑛 ≡ 1 [𝑋4 − 1]

Donc

𝑋4𝑎+3 + 𝑋4𝑏+2 + 𝑋4𝑐+1 + 𝑋4𝑑 = 𝑋4𝑎𝑋3 + 𝑋4𝑏𝑋2 + 𝑋4𝑐𝑋 + 𝑋4𝑑

≡ 1 × 𝑋3 + 1 × 𝑋2 + 1 × 𝑋 + 1 [𝑋4 − 1] ≡ 𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1 [𝑋4 − 1]

Donc il existe 𝑄 tel que

𝑋4𝑎+3 + 𝑋4𝑏+2 + 𝑋4𝑐+1 + 𝑋4𝑑 = (𝑋4 − 1)𝑄 + 𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1

= (𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1)((𝑋 − 1)𝑄 + 1)



1. On rappelle que 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 0, 𝛼𝛽 + 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾 = 𝑝 et 𝛼𝛽𝛾 = −𝑞

(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)2 = 𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 + 2(𝛼𝛽 + 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾)

Donc

𝐴 = 02 − 2𝑝 = −2𝑝

2. 𝛼3 + 𝑝𝛼 + 𝑞 = 0 entraine que 𝛼3 = −𝑝𝛼 − 𝑞, idem pour 𝛽 et 𝛾.

𝐵 = −𝑝𝛼 − 𝑞 − 𝑝𝛽 − 𝑞 − 𝑝𝛾 − 𝑞 = −𝑝(𝛼 + 𝛽 + 𝛾) − 3𝑞 = −3𝑞

3.

𝐶 = 𝛼𝛽(𝛼 + 𝛽) + 𝛼𝛾(𝛼 + 𝛾) + 𝛽𝛾(𝛽 + 𝛾) = 𝛼𝛽(−𝛾) + 𝛼𝛾(−𝛽) + 𝛽𝛾(−𝛼) = −3𝛼𝛽𝛾 = 3𝑞

4.

𝐷 = 𝛼3𝛽 + 𝛼𝛽3 + 𝛼3𝛾 + 𝛼𝛾3 + 𝛽3𝛾 + 𝛽𝛾3 = 𝛼𝛽(𝛼2 + 𝛽2) + 𝛼𝛾(𝛼2 + 𝛾2) + 𝛽𝛾(𝛽2 + 𝛾2)

= 𝛼𝛽(−2𝑝 − 𝛾2) + 𝛼𝛾(−2𝑝 − 𝛽2) + 𝛽𝛾(−2𝑝 − 𝛼2)

= −2𝑝(𝛼𝛽 + 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾) − 𝛼𝛽𝛾2 − 𝛼𝛽2𝛾 − 𝛼2𝛽𝛾 = −2𝑝2 − 𝛼𝛽𝛾(𝛾 + 𝛽 + 𝛼)

= −2𝑝2 − (𝑞) × 0 = −2𝑝2



18


Les trois racines de 𝑃 sont 𝛼, 2𝛼 et 𝛽, les relations entre les racines et les coefficients de 𝑃 donnent

{𝛼 + 2𝛼 + 𝛽 = 0

𝛼 × 2𝛼 + 𝛼𝛽 + 2𝛼𝛽 = −63𝛼 × 2𝛼 × 𝛽 = −162

⇔ {

3𝛼 + 𝛽 = 0

2𝛼2 + 3𝛼𝛽 = −63

2𝛼2𝛽 = −162

⇔ {

𝛽 = −3𝛼

2𝛼2 + 3𝛼(−3𝛼) = −63

2𝛼2(−3𝛼) = −162

⇔ {𝛽 = −3𝛼

−7𝛼2 = −63−6𝛼3 = −162

⇔ {𝛽 = −3𝛼

𝛼2 = 9𝛼3 = 27

⇔ {𝛽 = −3𝛼𝛼 = 3

⇔ {𝛽 = −9𝛼 = 3

Les trois racines de 𝑃 sont 3, 6 et −9



1. 0 × 𝑃(−1) = (0 − 2)𝑃(0) ⇔ 0 = −2𝑃(0) ⇔ 𝑃(0) = 0

1 × 𝑃(0) = (1 − 2)𝑃(1) ⇔ 𝑃(0) = −𝑃(1) ⇔ 0 = 𝑃(1)

Donc 0 et 1 sont des racines de 𝑃.

2. Soit 𝑎 ≠ 0 tel que 𝑃(𝑎) = 0. 𝑎𝑃(𝑎 − 1) = (𝑎 − 2)𝑃(𝑎) ⇔ 𝑎𝑃(𝑎 − 1) = 0 ⇔ 𝑃(𝑎 − 1) = 0

𝑎 − 1 est une racine de 𝑃.

Soit 𝑎 ≠ 1 tel que 𝑃(𝑎) = 0.

(𝑎 + 1)𝑃(𝑎 + 1 − 1) = (𝑎 + 1 − 2)𝑃(𝑎 + 1) ⇔ (𝑎 + 1)𝑃(𝑎) = (𝑎 − 1)𝑃(𝑎 + 1) ⇔ 0

= (𝑎 − 1)𝑃(𝑎 + 1)

Donc 𝑃(𝑎 + 1) = 0, 𝑎 + 1 est une racine de 𝑃.

3. Supposons que 𝑃 admette une racine 𝑎 telle que ℛ𝑒(𝑎) < 1 différente de 0 alors 𝑎 − 1 est racine, 𝑎 − 1

est différent de 0, donc 𝑎 − 2 est aussi racine, on en déduit aisément que pour tout 𝑘 ∈ ℕ, 𝑎 − 𝑘 est

racine de 𝑃, ce qui voudrait dire que 𝑃 admettrait une infinité de solution or un polynôme non nul admet

un nombre fini de solutions.

Supposons que 𝑃 admette une racine 𝑎 telle que ℛ𝑒(𝑎) > 1 différente de 1 alors 𝑎 + 1 est racine, 𝑎 + 1

est différent de 1, donc 𝑎 + 2 est aussi racine, on en déduit aisément que pour tout 𝑘 ∈ ℕ, 𝑎 + 𝑘 est

racine de 𝑃, ce qui voudrait dire que 𝑃 admettrait une infinité de solution or un polynôme non nul admet

un nombre fini de solutions.

0 et 1 sont les deux seules racines de 𝑃 si 𝑃 n’est pas le polynôme nul.

4. Si 𝑃 n’est pas le polynôme nul, comme 0 et 1 sont les seules racines de 𝑃 il existe 𝛼 ≠ 0 tels que

𝑃 = 𝛼𝑋𝑘(𝑋 − 1)𝑙, et si 𝑃 = 0 alors 𝑃 = 0 × 𝑋𝑘(𝑋 − 1)𝑙 (c’est-à-dire que 𝛼 = 0).

5. Si 𝑃 vérifie 𝑋𝑃(𝑋 − 1) = (𝑋 − 2)𝑃(𝑋) alors 𝑃 est de la forme 𝑃 = 𝛼𝑋𝑘(𝑋 − 1)𝑙, il faut étudier la

réciproque, c’est-à-dire chercher parmi ces polynômes lesquels sont effectivement solution.

On remplace 𝑃 = 𝛼𝑋𝑘(𝑋 − 1)𝑙 dans 𝑋𝑃(𝑋 − 1) = (𝑋 − 2)𝑃(𝑋), on trouve que :

𝑋𝛼(𝑋 − 1)𝑘(𝑋 − 2)𝑙 = (𝑋 − 2)𝛼𝑋𝑘(𝑋 − 1)𝑙

Les puissances en 𝑋 − 2 sont les mêmes donc 𝑙 = 1.

Les puissances en 𝑋 − 1 sont les mêmes donc 𝑘 = 𝑙 = 1

On vérifie qu’alors les puissances en 𝑋 sont les mêmes, finalement

𝑃 = 𝛼𝑋(𝑋 − 1)



1 − 2𝑋 + 𝑋3 + 𝑋4 1 + 𝑋 + 𝑋2

1 + 𝑋 + 𝑋2 1 − 3𝑋 + 2𝑋2

−3𝑋 − 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4

−3𝑋 − 3𝑋2 − 3𝑋3


19

2𝑋2 + 4𝑋3 + 𝑋4

2𝑋2 + 2𝑋3 + 2𝑋4

2𝑋3 − 𝑋4

1 − 2𝑋 + 𝑋3 + 𝑋4 = (1 + 𝑋 + 𝑋2)(1 − 3𝑋 + 𝑋2) + 𝑋3(2 − 𝑋)



1.

𝑋3 − 𝑋2 − 𝑋 − 2 = (𝑋3 − 1) × 1 + (−𝑋2 − 𝑋 − 1)

𝑋3 − 1 𝑋2 + 𝑋 + 1

𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 𝑋 − 1

−𝑋2 − 𝑋 − 1

−𝑋2 − 𝑋 − 1

0

𝑋3 − 1 = (𝑋2 + 𝑋 + 1)(𝑋 − 1)

𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑃, 𝑄) =−𝑋2 − 𝑋 − 1

−1= 𝑋2 + 𝑋 + 1

2. 𝑋2 + 𝑋 + 1 est un diviseur de 𝑃 (et de 𝑄 bien sur) donc on peut mettre 𝑋2 + 𝑋 + 1 en facteur dans 𝑃.

𝑋3 − 𝑋2 − 𝑋 − 2 𝑋2 + 𝑋 + 1

𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 𝑋 − 2

−2𝑋2 − 2𝑋 − 2

−2𝑋2 − 2𝑋 − 2

0

Comme 𝑋2 + 𝑋 + 1 est irréductible dans ℝ[𝑋], la factorisation de 𝑃 est :

𝑃 = (𝑋 − 2)(𝑋2 + 𝑋 + 1)

Et il est évident d’après la deuxième division de l’algorithme d’Euclidienne

𝑄 = (𝑋 − 1)(𝑋2 + 𝑋 + 1)

3. Il est alors clair que

𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑃, 𝑄) = 𝑋2 + 𝑋 + 1

4. Les deux racines complexes de 𝑋2 + 𝑋 + 1 sont 𝑗 = 𝑒2𝑖𝜋

3 et 𝑗 = 𝑗2 = 𝑒4𝑖𝜋

3

Donc

𝑃 = (𝑋 − 2)(𝑋 − 𝑗)(𝑋 − 𝑗2)



𝑋5 + 𝑋4 − 6𝑋3 − 𝑋2 − 𝑋 + 6 𝑋4 + 2𝑋3 − 𝑋 − 2

𝑋5 + 2𝑋4 − 𝑋2 − 2𝑋 𝑋 − 1

−𝑋4 − 6𝑋3 + 𝑋 + 6

−𝑋4 − 2𝑋3 + 𝑋 + 2

−4𝑋3 + 4

𝑋3 − 𝑋2 − 𝑋 − 2 𝑋3 − 1

𝑋3 − 1 1

−𝑋2 − 𝑋 − 1


20

On peut « éliminer » le −4 dans −4𝑋3 + 4

Donc le 𝑃𝐺𝐶𝐷 de 𝑃 et 𝑄 est

𝐷 =−4𝑋3 + 4

−4= 𝑋3 − 1

Les racines communes de 𝑃 et 𝑄 sont celles de 𝑋3 − 1, c’est-à-dire 1, 𝑗 et 𝑗2.



𝑋5 + 2𝑋4 + 2𝑋3 − 𝑋2 − 2𝑋 − 2 𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 − 2

𝑋5 + 3𝑋4 + 3𝑋3 − 2𝑋 𝑋 − 1

−𝑋4 − 𝑋3 − 𝑋2 − 2

−𝑋4 − 3𝑋3 − 3𝑋2 + 2

2𝑋3 + 2𝑋2 − 4

𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 − 2 2𝑋3 + 2𝑋2 − 4

𝑋4 + 𝑋3 − 2𝑋 1

2𝑋 + 1

2𝑋3 + 3𝑋2 + 2𝑋 − 2

2𝑋3 + 2𝑋2 − 4

𝑋2 + 2𝑋 + 2

2𝑋3 + 2𝑋2 − 4 𝑋2 + 2𝑋 + 2

2𝑋3 + 4𝑋2 + 4𝑋 2𝑋

−2𝑋2 − 4𝑋 − 4

−2𝑋2 − 4𝑋 − 4

0

Le P.G.C.D. est le dernier reste non nul unitaire donc 𝑋2 + 2𝑋 + 2

𝐴 et 𝐵 sont divisible par 𝑋2 + 2𝑋 + 2 (qui n’a pas de racine réelle)

𝑋5 + 2𝑋4 + 2𝑋3 − 𝑋2 − 2𝑋 − 2 𝑋2 + 2𝑋 + 2

𝑋5 + 2𝑋4 + 2𝑋3 𝑋3 − 1

−𝑋2 − 2𝑋 − 2

−𝑋2 − 2𝑋 − 2

0

Donc

𝐴 = (𝑋2 + 2𝑋 + 2)(𝑋3 − 1)

Comme 𝑋3 − 1 = (𝑋 − 1)(𝑋2 + 𝑋 + 1) et que 𝑋2 + 𝑋 + 1 n’a pas de racine réelle, la factorisation de 𝐴

dans ℝ[𝑋] est

𝐴 = (𝑋 − 1)(𝑋2 + 2𝑋 + 2)(𝑋2 + 𝑋 + 1)

𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 − 2 𝑋2 + 2𝑋 + 2

𝑋4 + 2𝑋3 + 2𝑋2 𝑋2 + 𝑋 − 1

𝑋3 + 𝑋2 − 2

𝑋3 + 2𝑋2 + 2𝑋

−𝑋2 − 2𝑋 − 2

−𝑋2 − 2𝑋 − 2

𝑋4 + 2𝑋3 − 𝑋 − 2 𝑋3 − 1

𝑋4 − 𝑋 𝑋 + 2

2𝑋3 − 2

2𝑋3 − 2

0


21

0

Donc

𝐵 = (𝑋2 + 2𝑋 + 2)(𝑋2 + 𝑋 − 1)

𝑋2 + 𝑋 − 1 admet deux racines réelles

−1 − √5

2 et

−1 + √5

2

𝐵 = (𝑋2 + 2𝑋 + 2) (𝑋 +1 + √5

2)(𝑋 +

1 − √5

2)



𝑃 = 𝑋2 − 2𝑋 + 1

𝑋2 − 2𝑋 + 1 𝑋2 + 1

𝑋2 + 1 1

−2𝑋

𝑋2 − 2𝑋 + 1 = 1 × (𝑋2 + 1) + (−2𝑋)

𝑋2 + 1 −2𝑋

𝑋2 −1

2𝑋

1

𝑋2 + 1 = −2𝑋 × (−1

2𝑋) + 1

1 = (𝑋2 + 1) + (−2𝑋) (−1

2𝑋) = (𝑋2 + 1) + ((𝑋2 − 2𝑋 + 1) − 1 × (𝑋2 + 1)) (−

1

2𝑋)

⇔ 1 = (1 +1

2𝑋) (𝑋2 + 1) + (−

1

2𝑋) (𝑋 − 1)2



1.

2𝑋4 + 𝑋3 − 2𝑋 − 1 2𝑋4 − 𝑋3 − 3𝑋2 + 𝑋 + 1

2𝑋4 − 𝑋3 − 3𝑋2 + 𝑋 + 1 1

2𝑋3 + 3𝑋2 − 3𝑋 − 2

𝑃 = 1 × 𝑄 + 2𝑋3 + 3𝑋2 − 3𝑋 − 2

2𝑋4 − 𝑋3 − 3𝑋2 + 𝑋 + 1 2𝑋3 + 3𝑋2 − 3𝑋 − 2

2𝑋4 + 3𝑋3 − 3𝑋2 − 2𝑋 𝑋 − 2

−4𝑋3 + 3𝑋 + 1

−4𝑋3 − 6𝑋2 + 6𝑋 + 4

6𝑋2 − 3𝑋 − 3

𝑄 = (𝑋 − 2)(2𝑋3 + 3𝑋2 − 3𝑋 − 2) + 6𝑋2 − 3𝑋 − 3

2𝑋3 + 3𝑋2 − 3𝑋 − 2 6𝑋2 − 3𝑋 − 3

2𝑋3 − 𝑋2 − 𝑋 1

3𝑋 +

2

3

4𝑋2 − 2𝑋 − 2

4𝑋2 − 2𝑋 − 0

0

6𝑋2 − 3𝑋 − 3 = 𝑄 − (𝑋 − 2)(2𝑋3 + 3𝑋2 − 3𝑋 − 2) = 𝑄 − (𝑋 − 2)(𝑃 − 𝑄)

= −(𝑋 − 2)𝑃 + (𝑋 − 1)𝑄


22

𝑋2 −1

2𝑋 −

1

2= −

1

6(𝑋 − 2)𝑃 +

1

6(𝑋 − 1)𝑄

2. Les racines communes de 𝑃 et 𝑄 sont celles de leur 𝑃𝐺𝐶𝐷, c’est-à-dire celles de 𝑋2 −1

2𝑋 −

1

2 soit

𝑋1 = 1 et 𝑋2 = −1

2.



1. 𝑃′ = 5𝑋4 + 4𝑋3 + 6𝑋2 + 4𝑋 + 1

Pour éviter les fractions on remarque que 16

25𝑋3 +

24

25𝑋2 +

16

25𝑋 +

24

25=

8

25(2𝑋3 + 3𝑋2 + 2𝑋 + 3)

5𝑋4 + 4𝑋3 + 6𝑋2 + 4𝑋 + 1 2𝑋3 + 3𝑋2 + 2𝑋 + 3

5𝑋4 +15

2𝑋3 + 5𝑋2 +

15

2𝑋

5

2𝑋 −

7

4

− 7

2𝑋3 + 𝑋2 −

7

2𝑋 + 1

−7

2𝑋3 −

21

4𝑋2 −

7

2𝑋 −

21

4

25

4𝑋2 +

25

4

Pour éviter les fractions on remarque que 25

4𝑋2 +

25

4=

25

4(𝑋2 + 1)

2𝑋3 + 3𝑋2 + 2𝑋 + 3 𝑋2 + 1

2𝑋3 + 2𝑋 2𝑋 + 3

3𝑋2 + 3

3𝑋2 + 3

0

Le PGCD de 𝑃 et 𝑃′ est 𝑋2 + 1.

2. Les racines communes à 𝑃 et 𝑃′ sont 𝑖 et – 𝑖, les racines multiples de 𝑃 sont 𝑖 et – 𝑖. Ce sont au moins

des racines doubles. Ce ne sont pas des racines triples car sinon 𝑃 auraient 6 racines en comptant leurs

multiplicités.

3. 𝑃 est divisible par (𝑋 − 𝑖)2(𝑋 + 𝑖)2 = [(𝑋 − 𝑖)(𝑋 + 𝑖)]2 = [𝑋2 + 1]2.

4. il reste à diviser 𝑃 par (𝑋2 + 1)2 = 𝑋4 + 2𝑋2 + 1 et on trouve, après calculs, 𝑋 + 1, donc

𝑃 = (𝑋2 + 1)2(𝑋 + 1)



1. Oui ! Par exemple 𝑃 = 𝑋3 + 1

2. Si 𝑃 = 𝑎𝑋3 + 𝑏𝑋2 + 𝑐𝑋 + 𝑑, avec 𝑎 ≠ 0, pour qu’il soit de degré exactement 3.

𝑃(𝑋 + 1) − 𝑃(𝑋) = 𝑎(𝑋 + 1)3 + 𝑏(𝑋 + 1)2 + 𝑐(𝑋 + 1) + 𝑑 − 𝑎𝑋3 − 𝑏𝑋2 − 𝑐𝑋 − 𝑑

= 𝑎(𝑋3 + 3𝑋2 + 3𝑋 + 1) + 𝑏(𝑋2 + 2𝑋 + 1) + 𝑐(𝑋 + 1) + 𝑑 − 𝑎𝑋3 − 𝑏𝑋2 − 𝑐𝑋 − 𝑑

= 3𝑎𝑋2 + (3𝑎 + 2𝑏)𝑋 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

Le degré de ce polynôme est 2 puisque 𝑎 ≠ 0

𝑋5 + 𝑋4 + 2𝑋3 + 2𝑋2 + 𝑋 + 1 5𝑋4 + 4𝑋3 + 6𝑋2 + 4𝑋 + 1

𝑋5 +4

5𝑋4 +

6

5𝑋3 +

4

5𝑋2 +

𝑋

5

1

5𝑋 +

1

25

1

5𝑋4 +

4

5𝑋3 +

6

5𝑋2 +

4

5𝑋 + 1

1

5𝑋4 +

4

25𝑋3 +

6

25𝑋2 +

4

25𝑋 +

1

25

16

25𝑋3 +

24

25𝑋2 +

16

25𝑋 +

24

25


23

3.

{𝑃(𝑋 + 1) − 𝑃(𝑋) = 𝑋2 − 1

𝑃(0) = 1⇔ {

(3𝑎 + 𝑏)𝑋2 + (3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐)𝑋 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑋2 − 1𝑃(0) = 1

⇔

𝐿1𝐿2𝐿3𝐿4

{

3𝑎 = 13𝑎 + 2𝑏 = 0𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −1

𝑑 = 1

⇔

{

𝑎 =

1

32𝑏 = −3𝑎 = −1𝑐 = −1 − 𝑎 − 𝑏

𝑑 = 1

⇔

{

𝑎 =

1

3

𝑏 = −1

2

𝑐 = −1 −1

3+1

2= −

5

6𝑑 = 1

𝑃 =1

3𝑋3 −

1

2𝑋2 −

5

6𝑋 + 1



1. (𝑋 − 1)𝑛 n’a qu’une racine 𝑋 = 1, or 1 est racine simple de 𝑋𝑛 − 1 donc

𝑃𝐺𝐶𝐷((𝑋𝑛 − 1), (𝑋 − 1)𝑛) = 𝑋 − 1

2. D’après le théorème de Bézout il existe (𝑈, 𝑉) tels que :

(𝑋3 − 1)𝑈 + (𝑋 − 1)3𝑉 = 𝑋 − 1

Cette équation équivaut à :

(𝑋2 + 𝑋 + 1)𝑈 + (𝑋2 − 2𝑋 + 1) = 1

Car 𝑋3 − 1 = (𝑋 − 1)(𝑋2 + 𝑋 + 1) et (𝑋 − 1)3 = (𝑋 − 1)(𝑋2 − 2𝑋 + 1)

Donc

𝑋2 − 2𝑋 + 1 = 1 × (𝑋2 + 𝑋 + 1) + (−3𝑋)

𝑋2 + 𝑋 + 1 −3𝑋

𝑋2 −1

3𝑋 −

1

3

𝑋 + 1

𝑋

1

Donc

𝑋2 + 𝑋 + 1 = (−3𝑋) (−1

3𝑋 −

1

3) + 1

On en tire que :

1 = (𝑋2 + 𝑋 + 1) − (−3𝑋) (−1

3𝑋 −

1

3)

= 𝑋2 + 𝑋 + 1 − ((𝑋2 − 2𝑋 + 1) − 1 × (𝑋2 + 𝑋 + 1)) (−1

3𝑋 −

1

3)

= −(−1

3𝑋 −

1

3) (𝑋2 − 2𝑋 + 1) + (1 + (−

1

3𝑋 −

1

3)) (𝑋2 + 𝑋 + 1)

= (1

3𝑋 +

1

3) (𝑋2 − 2𝑋 + 1) + (−

1

3𝑋 +

2

3) (𝑋2 + 𝑋 + 1)

Donc

𝑈 = −1

3𝑋 +

2

3

Et

𝑋2 − 2𝑋 + 1 𝑋2 + 𝑋 + 1

𝑋2 + 𝑋 + 1 1

−3𝑋


24

𝑉 =1

3𝑋 +

1

3



1.

𝑋4 − 3𝑋3 + 3𝑋2 − 3𝑋 + 2 𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 + 3𝑋 + 2

𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 + 3𝑋 + 2 1

−6𝑋3 − 6𝑋

𝑋4 − 3𝑋3 + 2𝑋2 − 3𝑋 + 2 = (𝑋4 + 3𝑋3 + 2𝑋2 + 3𝑋 + 2 ) × 1 + (−6𝑋3 − 6)

𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 + 3𝑋 + 2 −6𝑋3 − 6𝑋

𝑋4 + 𝑋2 −1

6𝑋 −

1

2

3𝑋3 + 2𝑋2 + 3𝑋 + 2

3𝑋3 + 3𝑋

2𝑋2 + 2

𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 + 3𝑋 + 2 = (−6𝑋3 − 6𝑋) (−1

6𝑋 −

1

2) + 2𝑋2 + 2

−6𝑋3 − 6𝑋 2𝑋2 + 2

−6𝑋3 − 6𝑋 −1

3𝑋

0

−6𝑋3 − 6𝑋 = (2𝑋2 + 2) (−1

3𝑋)

Donc

𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑋4 − 3𝑋3 + 3𝑋2 − 3𝑋 + 2, 𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 + 3𝑋 + 2) =2𝑋2 + 2

2= 𝑋2 + 1

On trouve une identité de Bézout de la façon suivante :

2𝑋2 + 2 = 𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 + 3𝑋 + 2 + (−6𝑋3 − 6𝑋) (−1

6𝑋 −

1

2)

= 𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 + 3𝑋 + 2

− (𝑋4 − 3𝑋3 + 2𝑋2 − 3𝑋 + 2 − (𝑋4 + 3𝑋3 + 2𝑋2 + 3𝑋 + 2 ) × 1) (−1

6𝑋 −

1

2)

= (𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 + 3𝑋 + 2) (1 − (−1

6𝑋 −

1

2))

+ (𝑋4 − 3𝑋3 + 2𝑋2 − 3𝑋 + 2) (1

6𝑋 +

1

2)

= (𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 + 3𝑋 + 2) (1

6𝑋 +

3

2)

+ (𝑋4 − 3𝑋3 + 2𝑋2 − 3𝑋 + 2) (1

6𝑋 +

1

2)

Puis il reste à diviser par 2

𝑋2 + 1 = (𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 + 3𝑋 + 2) (1

12𝑋 +

3

4) + (𝑋4 − 3𝑋3 + 2𝑋2 − 3𝑋 + 2) (

1

12𝑋 +

1

4)

2. En divisant 𝑃 par 𝑋2 + 1, on trouve :

𝑃 = 𝑋4 − 3𝑋3 + 3𝑋2 − 3𝑋 + 2 = (𝑋2 − 3𝑋 + 2)(𝑋2 + 1)

Il reste à factoriser 𝑋2 − 3𝑋 + 2, ce polynôme a deux racines réelles 1 et 2 donc


25

𝑃 = (𝑋 − 1)(𝑋 − 2)(𝑋2 + 1)

En divisant 𝑄 par 𝑋2 + 1, on trouve :

𝑄 = 𝑋4 + 3𝑋3 + 3𝑋2 + 3𝑋 + 2 = (𝑋2 + 3𝑋 + 2)(𝑋2 + 1)

Il reste à factoriser 𝑋2 + 3𝑋 + 2, ce polynôme a deux racines réelles −1 et −2 donc

𝑄 = (𝑋 + 1)(𝑋 + 2)(𝑋2 + 1)



1. Je vais juste écrire les résultats des divisions successives de l’algorithme d’Euclide

𝑋2 + 2𝑋 + 1 = 1 × (𝑋2 − 2𝑋 + 1) + 4𝑋

𝑋2 − 2𝑋 + 1 = (1

4𝑋 −

1

2) × 4𝑋 + 1

On en déduit une identité de Bézout

1 = (𝑋 − 1)2 − (1

4𝑋 −

1

2) × 4𝑋 = (𝑋 − 1)2 − (

1

4𝑋 −

1

2) ((𝑋 + 1)2 − 1 × (𝑋 − 1)2)

= (−1

4𝑋 +

1

2) (𝑋 + 1)2 + (

1

4𝑋 +

1

2) (𝑋 − 1)2

On note

𝐴0 = −1

4𝑋 +

1

2 et 𝐵0 =

1

4𝑋 +

1

2

2. On a

{(𝑋 + 1)2𝐴 + (𝑋 − 1)2𝐵 = 1(𝑋 + 1)2𝐴0 + (𝑋 − 1)

2𝐵0 = 1

En faisant la soustraction de ces deux équations

(𝑋 + 1)2(𝐴 − 𝐴0) + (𝑋 − 1)2(𝐵 − 𝐵0) = 0 ⇔ (𝑋 + 1)2(𝐴 − 𝐴0) = −(𝑋 − 1)2(𝐵 − 𝐵0)

(𝑋 + 1)2 divise −(𝑋 − 1)2(𝐵 − 𝐵0) comme (𝑋 + 1)2 et (𝑋 − 1)2 sont premiers entre eux (ils n’ont

aucune racine en commun), d’après le théorème de Gauss (𝑋 + 1)2 divise −(𝐵 − 𝐵0), il existe 𝑈 ∈

ℝ[𝑋] tel que

−(𝐵 − 𝐵0) = 𝑈(𝑋 + 1)2 ⇔ 𝐵 = 𝐵0 − 𝑈(𝑋 + 1)

2

On remplace dans (𝑋 + 1)2(𝐴 − 𝐴0) = −(𝑋 − 1)2(𝐵 − 𝐵0)

(𝑋 + 1)2(𝐴 − 𝐴0) = (𝑋 − 1)2𝑈(𝑋 + 1)2 ⇔ 𝐴− 𝐴0 = (𝑋 − 1)

2𝑈 ⇔ 𝐴 = 𝐴0 + 𝑈(𝑋 − 1)2

L’ensemble des couples (𝐴 = 𝐴0 + 𝑈(𝑋 − 1)2, 𝐵0 − 𝑈(𝑋 + 1)

2) avec 𝑈 ∈ ℝ[𝑋] quelconque sont les

solutions de (𝐸).

3. On cherche les polynômes 𝑃 qui sont de la forme

{𝑃 − 1 = (𝑋 + 1)2𝑄1𝑃 + 1 = (𝑋 − 1)2𝑄2

Où 𝑄1 et 𝑄2 sont deux polynômes.

En faisant la soustraction de ces deux égalités

2 = (𝑋 − 1)2𝑄2 − (𝑋 + 1)2𝑄1 ⇔ (−

1

2𝑄1) (𝑋 + 1)

2 + (1

2𝑄2) (𝑋 − 1)

2 = 1

D’après la deuxième question, il existe 𝑈 ∈ ℝ[𝑋] tel que

{−1

2𝑄1 = 𝐴0 + 𝑈(𝑋 − 1)

2

1

2𝑄2 = 𝐵0 − 𝑈(𝑋 + 1)

2

⇔ {𝑄1 = −2𝐴0 − 2𝑈(𝑋 − 1)

2

𝑄2 = 2𝐵0 − 2𝑈(𝑋 + 1)2

Ce qui entraine que

𝑃 − 1 = (𝑋 + 1)2(−2𝐴0 − 2𝑈(𝑋 − 1)2) ⇔ 𝑃 = 1 − 2𝐴0(𝑋 + 1)

2 − 2𝑈(𝑋 + 1)2(𝑋 − 1)2


26

1 − 2𝐴0(𝑋 + 1) = 1 − 2(−1

4𝑋 +

1

2) (𝑋 + 1) = 1 + (

1

2𝑋 − 1) (𝑋2 + 2𝑋 + 1)

= 1 +1

2𝑋3 + 𝑋2 +

1

2𝑋 − 𝑋2 − 2𝑋 − 1 =

1

2𝑋3 −

3

2𝑋

On pose aussi 𝑉 = −2𝑈. Par conséquent

𝑃 =1

2𝑋3 −

3

2𝑋 + 𝑉(𝑋2 − 1)2, 𝑉 ∈ ℝ[𝑋]

Il faut faire une réciproque 1

2𝑋3 −

3

2𝑋 − 1 admet −1 comme racine double (c’est facile à vérifier) et 2 comme racine simple.

𝑃 − 1 =1

2𝑋3 −

3

2𝑋 − 1 + 𝑉(𝑋2 − 1)2 =

1

2(𝑋 + 1)2(𝑋 − 2) + 𝑉(𝑋 + 1)2(𝑋 − 1)2

= (𝑋 + 1)2 [1

2(𝑋 − 2) + 𝑉(𝑋 − 1)2]

1

2𝑋3 −

3

2𝑋 + 1 admet 1 comme racine double (c’est facile à vérifier) et −2 comme racine simple.

𝑃 + 1 =1

2𝑋3 −

3

2𝑋 + 1 + 𝑉(𝑋2 − 1)2 =

1

2(𝑋 − 1)2(𝑋 + 2) + 𝑉(𝑋 + 1)2(𝑋 − 1)2

= (𝑋 − 1)2 [1

2(𝑋 + 2) + 𝑉(𝑋 + 1)2]

La réciproque est vérifiée



𝑋6 − 𝑋4 − 𝑋2 + 1 𝑋4 + 2𝑋3 − 2𝑋 − 1

𝑋6 + 2𝑋5 − 2𝑋3 − 𝑋2 𝑋2 − 2𝑋 + 3

−2𝑋5 − 𝑋4 + 2𝑋3 + 1

−2𝑋5 − 4𝑋4 + 4𝑋2 + 2𝑋

3𝑋4 + 2𝑋3 − 4𝑋2 − 2𝑋 + 1

3𝑋4 + 6𝑋3 − 6𝑋 − 3

−4𝑋3 − 4𝑋2 + 4𝑋 + 4

𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑃, 𝑄) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑄,−4𝑋3 − 4𝑋2 + 4𝑋 + 4) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑄, 𝑋3 + 𝑋2 − 𝑋 − 1)

𝑋4 + 2𝑋3 − 2𝑋 − 1 𝑋3 + 𝑋2 − 𝑋 − 1

𝑋4 + 𝑋3 − 𝑋2 − 𝑋 𝑋 + 1

𝑋3 + 𝑋2 – 𝑋 − 1

𝑋3 + 𝑋2 − 𝑋 − 1

0

Donc 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑃, 𝑄) = 𝑋3 + 𝑋2 − 𝑋 − 1 = 𝑋2(𝑋 + 1) − (𝑋 + 1) = (𝑋2 − 1)(𝑋 + 1) = (𝑋 − 1)(𝑋 + 1)2

Les racines complexes communes à 𝑃 et 𝑄 sont 1 de multiplicité 1 et −1 de multiplicité 2.



On pose 𝑑°𝑃 = 𝑛.

𝑃′ divise 𝑃 si et seulement si il existe un polynôme 𝑄 tel que :

𝑃 = 𝑄𝑃′

𝑑°𝑃 = 𝑛 et 𝑑°𝑃′ = 𝑛 − 1 ⇒ 𝑑°𝑄 = 1

Donc 𝑄 admet une racine complexe 𝛼.

On pose 𝑄 = 𝑎𝑋 + 𝑏 et 𝑃 = 𝑎𝑛𝑋𝑛 +⋯+ 𝑎1𝑋 + 𝑎0 (avec 𝑎𝑛 ≠ 0) alors 𝑃′ = 𝑛𝑎𝑛𝑋

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1


27

En identifiant les coefficients dominant on trouve que :

𝑎𝑛 = 𝑛𝑎 ⇔ 𝑎𝑛 =1

𝑛

Première méthode :

La formule de Taylor pour le polynôme 𝑃 en 𝛼 donne

𝑃 =∑𝑎𝑘(𝑋 − 𝛼)𝑘

𝑛

𝑘=0

= 𝑎0 + 𝑎1(𝑋 − 𝛼) + 𝑎2(𝑋 − 𝛼)2 +⋯+ 𝑎𝑛(𝑋 − 𝛼)

𝑛

Donc

𝑃′ =∑𝑎𝑘𝑘(𝑋 − 𝛼)𝑘−1

𝑛

𝑘=0

=∑𝑎𝑘𝑘(𝑋 − 𝛼)𝑘−1

𝑛

𝑘=1

=∑𝑎𝑘𝑘(𝑋 − 𝛼)𝑘−1

𝑛

𝑘=1

= ∑(𝑘 + 1)𝑎𝑘+1(𝑋 − 𝛼)𝑘

𝑛−1

𝑘=0

= 𝑎1 + 2𝑎2(𝑋 − 𝛼) +⋯+ 𝑛𝑎𝑛(𝑋 − 𝛼)𝑛−1

En changeant 𝑘 en 𝑘 + 1.

Comme 𝑄 est un polynôme de degré 1 dont 𝛼 est une racine donc 𝑄 =1

𝑛(𝑋 − 𝛼)

On remplace ces deux expressions dans 𝑃 = 𝑄𝑃′.

𝑎0 + 𝑎1(𝑋 − 𝛼) + 𝑎2(𝑋 − 𝛼)2 +⋯+ 𝑎𝑛(𝑋 − 𝛼)

𝑛

= 𝑎(𝑋 − 𝛼)[𝑎1 + 2𝑎2(𝑋 − 𝛼) +⋯+ 𝑛𝑎𝑛(𝑋 − 𝛼)𝑛−1]

⇔ 𝑎0 + 𝑎1(𝑋 − 𝛼) + 𝑎2(𝑋 − 𝛼)2 +⋯+ 𝑎𝑘(𝑋 − 𝛼)

𝑘 +⋯+ 𝑎𝑛(𝑋 − 𝛼)𝑛

=1

𝑛𝑎1(𝑋 − 𝛼) +

2

𝑛𝑎2(𝑋 − 𝛼)

2 +⋯+𝑘

𝑛𝑎𝑘(𝑋 − 𝛼)

𝑘…+ 𝑎𝑛(𝑋 − 𝛼)𝑛

⇔

{

𝑎0 = 0

𝑎1 =2

𝑛𝑎1

⋮

𝑎𝑘 =𝑘 + 1

𝑛𝑎𝑘

⋮𝑎𝑛 = 𝑎𝑛

⇔

{

𝑎0 = 0𝑎1 = 0⋮

𝑎𝑘 = 0⋮

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛

Donc

𝑃 = 𝑎𝑛(𝑋 − 𝛼)𝑛

Deuxième méthode :

En dérivant 𝑃 = 𝑄𝑃′, et on rappelle que 𝑄′ =1

𝑛

𝑃′ = 𝑄′𝑃′ + 𝑄𝑃′′ ⇔ 𝑃′ =1

𝑛𝑃′ + 𝑄𝑃′′ ⇔ (1 −

1

𝑛)𝑃′ = 𝑄𝑃′′ ⇔ 𝑃′ =

𝑛

𝑛 − 1𝑄𝑃′′

Donc

𝑃 = 𝑄𝑃′ =𝑛

𝑛 − 1𝑄2𝑃′′

En dérivant (1 −1

𝑛)𝑃′ = 𝑄𝑃′′

(1 −1

𝑛)𝑃′′ = 𝑄′𝑃′′ + 𝑄𝑃′′′ =

1

𝑛𝑃′′ + 𝑄𝑃′′′ ⇔ (1 −

2

𝑛)𝑃′′ = 𝑄𝑃′′′ ⇔ 𝑃′′ =

𝑛

𝑛 − 2𝑄𝑃′′′

Donc

𝑃 =𝑛

𝑛 − 1𝑄2𝑃′′ =

𝑛2

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)𝑄3𝑃′′′

Pour tout 𝑘 ∈ {0,1, … , 𝑛 − 1}. On montre par récurrence que

(1 −𝑘

𝑛)𝑃(𝑘) = 𝑄𝑃(𝑘+1)

Et que


28

𝑃 =𝑛𝑘

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)… (𝑛 − 𝑘)𝑄𝑘+1𝑃(𝑘+1)

On dérive (1 −𝑘

𝑛)𝑃(𝑘) = 𝑄𝑃(𝑘+1)

(1 −𝑘

𝑛) 𝑃(𝑘+1) = 𝑄′𝑃(𝑘+1) + 𝑄𝑃(𝑘+2) =

1

𝑛𝑃(𝑘+1) + 𝑄𝑃(𝑘+2) ⇔ (1 −

𝑘 + 1

𝑛)𝑃(𝑘+1) = 𝑄𝑃(𝑘+2)

⇔ 𝑃(𝑘+1) =𝑛

𝑛 − 𝑘 − 1𝑄𝑃(𝑘+2)

𝑃 =𝑛𝑘

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)… (𝑛 − 𝑘)𝑄𝑘+1𝑃(𝑘+1) =

𝑛𝑘

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)… (𝑛 − 𝑘)𝑄𝑘+1

𝑛

𝑛 − 𝑘 − 1𝑄𝑃(𝑘+2)

=𝑛𝑘+1

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)… (𝑛 − 𝑘)(𝑛 − (𝑘 + 1))𝑄𝑘+2𝑃(𝑘+2)

Cette relation étant vraie au rang 0, elle est vraie pour tout 𝑘 ≤ 𝑛 − 1.

On l’applique au rang 𝑛 − 1 :

𝑃 =𝑛𝑛−1

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)… (𝑛—(𝑛 − 1))𝑄𝑛𝑃(𝑛)

𝑃(𝑛) = 𝑛 × (𝑛 − 1) × …× 2 × 1 × 𝑎𝑛 (ce qui est important c’est que c’est une constante).

Peu importe la constante, il est clair que 𝑃 = 𝐾𝑄𝑛, comme 𝑄 est un polynôme de degré 1, on peut écrire

ce polynôme sous la forme :

𝑃 = 𝜆(𝑋 − 𝛼)𝑛



1.

𝑃(𝑋)

𝑋2=2𝑋4 + 3𝑋3 − 𝑋2 + 3𝑋 + 2

𝑋2= 2𝑋2 + 3𝑋 − 1 +

3

𝑋+2

𝑋2

Comme

𝑌2 = 𝑋2 + 2 +1

𝑋2⇒ 𝑋2 +

1

𝑋2= 𝑌2 − 2

On a

𝑃(𝑋)

𝑋2= 2(𝑋2 +

1

𝑋2) + 3 (𝑋 +

1

𝑋) − 1 = 2(𝑌2 − 2) + 3𝑌 − 1 = 2𝑌2 + 3𝑌 − 5

Les racines de 𝑄 sont 1 et −5

2

Donc les racines de 𝑃 vérifient

{𝑋 +

1

𝑋= 1

𝑋 +1

𝑋=5

2

⇔ {

𝑋2 + 1 = 𝑋ou

𝑋2 + 1 =5

2𝑋

⇔ {

𝑋2 − 𝑋 + 1 = 0ou

𝑋2 −5

2𝑋 + 1 = 0

Les racines de 𝑋2 − 𝑋 + 1 = 0 sont

−𝑗 =1

2− 𝑖

√3

2 et − 𝑗2 =

1

2+ 𝑖

√3

2

Et celles de 𝑋2 −5

2𝑋 + 1 = 0 sont

1

2 et 2

On en déduit la factorisation de 𝑃 dans ℝ[𝑋]

𝑃(𝑋) = 2 (𝑋 −1

2) (𝑋 − 2)(𝑋2 − 𝑋 + 1)

Et dans ℂ[𝑋]


29

𝑃(𝑋) = 2 (𝑋 −1

2) (𝑋 − 2)(𝑋 + 𝑗)(𝑋 + 𝑗2)



1. Comme sin(𝑛휃) ≠ 0, 𝑑°𝑃 = 𝑛.

𝑃 =∑(𝑛𝑘) sin(𝑘휃) 𝑋𝑘

𝑛

𝑘=1

=∑(𝑛𝑘) sin(𝑘휃) 𝑋𝑘

𝑛

𝑘=0

=∑(𝑛𝑘)𝑒𝑖𝑘𝜃 − 𝑒−𝑖𝑘𝜃

2𝑖𝑋𝑘

𝑛

𝑘=0

=1

2𝑖∑(

𝑛𝑘) 𝑒𝑖𝑘𝜃𝑋𝑘

𝑛

𝑘=0

−1

2𝑖∑(

𝑛𝑘) 𝑒−𝑖𝑘𝜃𝑋𝑘

𝑛

𝑘=0

=1

2𝑖∑(

𝑛𝑘) (𝑒𝑖𝜃𝑋)

𝑘𝑛

𝑘=0

−1

2𝑖∑(

𝑛𝑘) (𝑒−𝑖𝜃𝑋)

𝑘𝑛

𝑘=0

=1

2𝑖(1 + 𝑒𝑖𝜃𝑋)

𝑛−1

2𝑖(1 + 𝑒−𝑖𝜃𝑋)

𝑛

Les racines 𝑧 ∈ ℂ de 𝑃 vérifient

1

2𝑖(1 + 𝑒𝑖𝜃𝑧)

𝑛−1

2𝑖(1 + 𝑒−𝑖𝜃𝑧)

𝑛= 0 ⇔ (1 + 𝑒𝑖𝜃𝑧)

𝑛= (1 + 𝑒−𝑖𝜃𝑧)

𝑛⇔ (

1 + 𝑒𝑖𝜃𝑧

1 + 𝑒−𝑖𝜃𝑧)

𝑛

= 1

⇔ ∃𝑘 ∈ {0,1,… , 𝑛 − 1},1 + 𝑒𝑖𝜃𝑧

1 + 𝑒−𝑖𝜃𝑧= 𝑒

2𝑖𝑘𝜋𝑛 ⇔ ∃𝑘 ∈ {0,1, … , 𝑛 − 1}, 1 + 𝑒𝑖𝜃𝑧 = 𝑒

2𝑖𝑘𝜋𝑛 (1 + 𝑒−𝑖𝜃𝑧)

⇔ ∃𝑘 ∈ {0,1, … , 𝑛 − 1}, 𝑒𝑖𝜃𝑧 − 𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 𝑒−𝑖𝜃𝑧 = 𝑒

2𝑖𝑘𝜋𝑛 − 1

⇔ ∃𝑘 ∈ {0,1,… , 𝑛 − 1}, 𝑧 (𝑒𝑖𝜃 − 𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 𝑒−𝑖𝜃) = 𝑒


Il faut quand même vérifier que 𝑒𝑖𝜃 − 𝑒2𝑖𝑘𝜋

𝑛 𝑒−𝑖𝜃 ≠ 0

𝑒𝑖𝜃 − 𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 𝑒−𝑖𝜃 = 0 ⇔ 𝑒2𝑖𝜃 = 𝑒

2𝑖𝑘𝜋𝑛 ⇔ ∃𝑗 ∈ ℤ, 2휃 =

2𝑘𝜋

𝑛+ 2𝑙𝜋 ⇔ ∃𝑗 ∈ ℤ, 휃 =

𝑘𝜋

𝑛+ 𝑙𝜋 ⇔ ∃𝑗

∈ ℤ, 𝑛휃 = 𝑘𝜋 + 𝑛𝑙𝜋 ⇔ sin(𝑛휃) = 0

Ce qui n’est pas possible d’après l’énoncé.

𝑃(𝑧) = 0 ⇔ ∃𝑘 ∈ {0,1,… , 𝑛 − 1}, 𝑧 =𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 − 1

𝑒𝑖𝜃 − 𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 𝑒−𝑖𝜃

Les 𝑛 racines de 𝑃 sont les complexes 𝑧𝑘 =𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 −1

𝑒𝑖𝜃−𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 𝑒−𝑖𝜃

avec 𝑘 ∈ {0,1, … , 𝑛 − 1}

2.

𝑧𝑘 =𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 − 1


=𝑒−


𝑒−𝑖𝜃 − 𝑒− 2𝑖𝑘𝜋𝑛 𝑒𝑖𝜃

=𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 (𝑒−

2𝑖𝑘𝜋𝑛 − 1)

𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 (𝑒−𝑖𝜃 − 𝑒−

2𝑖𝑘𝜋𝑛 𝑒𝑖𝜃)

=1 − 𝑒

2𝑖𝑘𝜋𝑛

𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 𝑒−𝑖𝜃 − 𝑒𝑖𝜃

=𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 − 1


= 𝑧𝑘

Donc ces complexes sont des réels.



Le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, il faut diviser 𝑋4 − 𝑋 + 2 par

(𝑋 − 1)(𝑋2 − 1) = 𝑋3 − 𝑋2 − 𝑋 + 1

𝑋4 − 𝑋 + 2 𝑋3 − 𝑋2 − 𝑋 + 1

𝑋4 − 𝑋3 − 𝑋2 + 𝑋 𝑋 + 1

𝑋3 + 𝑋2 − 2𝑋 + 2

𝑋3 − 𝑋2 − 𝑋 + 1


30

2𝑋2 − 𝑋 + 1

𝐹(𝑋) =𝑋4 − 𝑋 + 2

(𝑋 − 1)(𝑋2 − 1)= 𝑋 + 1 +

2𝑋2 − 𝑋 + 1

(𝑋 − 1)(𝑋2 − 1)

On pose

𝐺(𝑋) =2𝑋2 − 𝑋 + 1

(𝑋 − 1)(𝑋2 − 1)=

2𝑋2 − 𝑋 + 1

(𝑋 − 1)2(𝑋 + 1)=

𝑎

(𝑋 − 1)2+

𝑏

𝑋 − 1+

𝑐

𝑋 + 1

Je multiplie par (𝑋 − 1)2 puis 𝑋 = 1

𝑎 = [2𝑋2 − 𝑋 + 1

𝑋 + 1]𝑋=1

=2

2= 1

Je multiplie par 𝑋 + 1 puis 𝑋 = −1

𝑐 = [2𝑋2 − 𝑋 + 1

(𝑋 − 1)2]𝑋=−1

=4

4= 1

Je multiplie par 𝑋 puis 𝑋 tend vers l’infini.

2 = 𝑏 + 𝑐 donc 𝑏 = 1.

Donc

𝐹(𝑋) = 𝑋 + 1 +1

(𝑋 − 1)2+

1

𝑋 − 1+

1

𝑋 + 1



1.

𝐹(𝑋) =6𝑋3 + 3𝑋2 − 5

(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)(𝑋2 + 1)=

𝑎

𝑋 − 1+

𝑏

𝑋 + 1+𝑐𝑋 + 𝑑

𝑋2 + 1

Je multiplie par 𝑋 − 1 puis 𝑋 = 1

𝑎 = [6𝑋3 + 3𝑋2 − 5

(𝑋 + 1)(𝑋2 + 1)]𝑋=1

=6 + 3 − 5

2 × 2= 1

Je multiplie par 𝑋 + 1 puis 𝑋 = −1

𝑏 = [6𝑋3 + 3𝑋2 − 5

(𝑋 − 1)(𝑋2 + 1)]𝑋=−1

=−6 + 3 − 5

−2 × 2= 2

Je multiplie par 𝑋, puis 𝑋 tend vers l’infini.

6 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, donc 𝑐 = 6 − 1 − 2 = 3

𝑋 = 0

5 = −5 + 𝑏 + 𝑑 donc 𝑑 = 5 + 1 − 2 = 4

Donc

𝐹(𝑋) =6𝑋3 + 3𝑋2 − 5

(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)(𝑋2 + 1)=

1

𝑋 − 1+

2

𝑋 + 1+3𝑋 + 4

𝑋2 + 1

2. Il reste à décomposer dans ℂ[𝑋]

3𝑋 + 4

𝑋2 + 1=

3𝑋 + 4

(𝑋 − 𝑖)(𝑋 + 𝑖)=

𝑎

𝑋 − 𝑖+

𝑎

𝑋 + 𝑖

Je multiplie par 𝑋 − 𝑖, puis 𝑋 = 𝑖.

𝑎 = [3𝑋 + 4

𝑋 + 𝑖]𝑋=𝑖

=3𝑖 + 4

2𝑖=(3𝑖 + 4)(−𝑖)

2=3

2− 2𝑖

Donc

𝐹(𝑋) =6𝑋3 + 3𝑋2 − 5

(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)(𝑋2 + 1)=

1

𝑋 − 1+

2

𝑋 + 1+

32 − 2𝑖

𝑋 − 𝑖+

32 + 2𝑖

𝑋 + 𝑖


31



1. Il existe 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 tels que :

−𝑋2 + 2𝑋 + 1

(𝑋 − 1)2(𝑋2 + 1)=

𝑎

𝑋 − 1+

𝑏

(𝑋 − 1)2+𝑐𝑋 + 𝑑

𝑋2 + 1

Je multiplie par (𝑋 − 1)2, puis 𝑋 = 1

𝑏 = [−𝑋2 + 2𝑋 + 1

𝑋2 + 1]𝑋=1

=2

2= 1

Je multiplie par 𝑋2 + 1, puis 𝑋 = 𝑖

𝑐𝑖 + 𝑑 = [−𝑋2 + 2𝑋 + 1

(𝑋 − 1)2]𝑋=𝑖

=−𝑖2 + 2𝑖 + 1

(𝑖 − 1)2=

2 + 2𝑖

𝑖2 − 2𝑖 + 1=2 + 2𝑖

−2𝑖=1 + 𝑖

−𝑖= −1 + 𝑖

Donc 𝑐 = 1 et 𝑑 = −1

Je multiplie par 𝑋, puis 𝑋 → +∞

0 = 𝑎 + 𝑐

Donc 𝑎 = −1

−𝑋2 + 2𝑋 + 1

(𝑋 − 1)2(𝑋2 + 1)=

−1

𝑋 − 1+

1

(𝑋 − 1)2+𝑋 − 1

𝑋2 + 1

Autre méthode

On trouve 𝑏 = 1 et 𝑎 + 𝑐 = 0 comme ci-dessus.

On prend 𝑋 = 0

1 = −𝑎 + 𝑏 + 𝑑 ⇔ 𝑑 = 𝑎

Puis on prend 𝑋 = −1

−2

4 × 2= −

𝑎

2+𝑏

4+−𝑐 + 𝑑

2

On multiplie le tout par 2 et on remplace 𝑏 par 1

−1

2= −𝑎 +

1

2− 𝑐 + 𝑑 ⇔ −(𝑎 + 𝑐) + 𝑑 = −1 ⇔ 𝑑 = −1

D’où : 𝑎 = −1 et 𝑐 = −𝑎 = 1

2.

𝑋3 𝑋2 − 1

𝑋3 − 𝑋 𝑋

𝑋

Donc 𝑋3 = (𝑋2 − 1)𝑋 + 𝑋 et

𝐺(𝑋) =(𝑋2 − 1)𝑋 + 𝑋

𝑋2 − 1= 𝑋 +

𝑋

(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)

Il existe 𝑎 et 𝑏 des réels tels que

𝑋

(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)=

𝑎

𝑋 − 1+

𝑏

𝑋 + 1

Je multiplie par 𝑋 − 1, puis 𝑋 = 1

𝑎 = [𝑋

𝑋 + 1]𝑋=1

=1

2

Je multiplie par 𝑋 + 1, puis 𝑋 = −1

𝑏 = [𝑋

𝑋 − 1]𝑋=−1

=−1

−2=1

2

Donc

𝐺(𝑋) = 𝑋 +

12

𝑋 − 1+

12

𝑋 + 1


32



3

(𝑋2 + 𝑋 + 1)(𝑋 − 1)2=

𝑎𝑋 + 𝑏

𝑋2 + 𝑋 + 1+

𝑐

𝑋 − 1+

𝑑

(𝑋 − 1)2 (∗)

On multiplie par (𝑋 − 1)2, puis 𝑋 = 1

𝑑 = [3

𝑋2 + 𝑋 + 1]𝑋=1

= 1

Première méthode

On multiplie par 𝑋2 + 𝑋 + 1, puis 𝑋 = 𝑗

𝑎𝑗 + 𝑏 = [3

(𝑋 − 1)2]𝑋=𝑗

=3

(𝑗 − 1)2=

3

𝑗2 − 2𝑗 + 1=

3

−3𝑗= −

1

𝑗= −𝑗2 = 1 + 𝑗

Donc 𝑏 = 1 et 𝑎 = 1

On prend 𝑋 = 0 dans (∗)

3 = 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 ⇒ 𝑐 = −3 + 𝑏 + 𝑑 = −3 + 1 + 1 = −1

Et donc

3

(𝑋2 + 𝑋 + 1)(𝑋 − 1)2=

𝑋 + 1

𝑋2 + 𝑋 + 1−

1

𝑋 − 1+

1

(𝑋 − 1)2

Deuxième méthode

𝑋 = 0 dans (∗)

3 = 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 ⇔ 𝑏 − 𝑐 = 3 − 𝑑 = 2 ⇔ 𝑏 = 2 + 𝑐

On multiplie par 𝑋, puis 𝑋 → +∞

0 = 𝑎 + 𝑐 ⇔ 𝑎 = −𝑐

𝑋 = −1 dans (∗) 3

4= −𝑎 + 𝑏 −

𝑐

2+𝑑

4⇔3

4= 𝑐 + (2 + 𝑐) −

𝑐

2+1

4⇔3

4−1

4− 2 =

3

2𝑐 ⇔ −

3

2=3

2𝑐 ⇔ 𝑐 = −1

Et donc

3

(𝑋2 + 𝑋 + 1)(𝑋 − 1)2=

𝑋 + 1

𝑋2 + 𝑋 + 1−

1

𝑋 − 1+

1

(𝑋 − 1)2

Pour la décomposition dans ℂ(𝑋), il suffit de décomposer 𝑋+1

𝑋2+𝑋+1, comme

𝑋2 + 𝑋 + 1 = (𝑋 − 𝑗)(𝑋 − 𝑗2)

Il existe 𝐴 ∈ ℂ tel que

𝑋 + 1

𝑋2 + 𝑋 + 1=

𝑋 + 1

(𝑋 − 𝑗)(𝑋 − 𝑗2)=

𝐴

𝑋 − 𝑗+

𝐴

𝑋 − 𝑗2

On multiplie par 𝑋 − 𝑗, puis 𝑋 = 𝑗

𝐴 = [𝑋 + 1

𝑋 − 𝑗2]𝑋=𝑗

=𝑗 + 1

𝑗 − 𝑗2=

−12 + 𝑖

√32 + 1

−12 + 𝑖

√32 − (−

12 − 𝑖

√32 )

=

12 + 𝑖

√32

𝑖√3 =1

2− 𝑖

√3

6

𝑋 + 1

𝑋2 + 𝑋 + 1=

12 − 𝑖

√36

𝑋 − 𝑗+

12 + 𝑖

√36

𝑋 − 𝑗2

3

(𝑋2 + 𝑋 + 1)(𝑋 − 1)2=

12− 𝑖

√36

𝑋 − 𝑗+

12+ 𝑖

√36

𝑋 − 𝑗2−

1

𝑋 − 1+

1

(𝑋 − 1)2




33

𝐹 =𝑋2 + 1 − 1

(𝑋2 + 1)2010=

𝑋2 + 1

(𝑋2 + 1)2010−

1

(𝑋2 + 1)2010=

1

(𝑋2 + 1)2009−

1

(𝑋2 + 1)2010



Il faut d’abord diviser le numérateur par le dénominateur.

𝑋4(𝑋 − 1)3 = 𝑋4(𝑋3 − 3𝑋2 + 3𝑋 − 1) = 𝑋7 − 3𝑋6 + 3𝑋5 − 𝑋4

𝑋8 + 𝑋 + 1

𝑋4(𝑋 − 1)3=(𝑋7 − 3𝑋6 + 3𝑋5 − 𝑋4)(𝑋 + 3) + 6𝑋6 − 8𝑋5 + 3𝑋4 + 𝑋 + 1

𝑋4(𝑋 − 1)3

= 𝑋 + 3 +6𝑋6 − 8𝑋5 + 3𝑋4 + 𝑋 + 1

𝑋4(𝑋 − 1)3

On pose alors

𝐺(𝑋) =6𝑋6 − 8𝑋5 + 3𝑋4 + 𝑋 + 1

𝑋4(𝑋 − 1)3

0 est un pôle d’ordre 4 du dénominateur on effectue alors la division suivant les puissances croissantes

de

1 + 𝑋 + 3𝑋4 − 8𝑋5 + 6𝑋6 par (𝑋 − 1)3 = −1 + 3𝑋 − 3𝑋2 + 𝑋3 à l’ordre 4 − 1 = 3

(Le 4 est le 4 de 𝑋4)

1 + 𝑋 + 3𝑋4 − 8𝑋5 + 6𝑋6 −1 + 3𝑋 − 3𝑋2 + 𝑋3

1 − 3𝑋 + 3𝑋2 − 𝑋3 −1 − 4𝑋 − 9𝑋2 − 16𝑋3

4𝑋 − 3𝑋2 + 𝑋3 + 3𝑋4 − 8𝑋5 + 6𝑋6

4𝑋 − 12𝑋2 + 12𝑋3 − 4𝑋4

9𝑋2 − 11𝑋3 + 7𝑋4 − 8𝑋5 + 6𝑋6

9𝑋2 − 27𝑋3 + 27𝑋4 − 9𝑋5

16𝑋3 − 20𝑋4 + 𝑋5 + 6𝑋6

16𝑋3 − 48𝑋4 + 48𝑋5 − 16𝑋6

28𝑋4 − 47𝑋5 + 22𝑋6

On en tire

1 + 𝑋 + 3𝑋4 − 8𝑋5 + 6𝑋6

= (−1 + 3𝑋 − 3𝑋2 + 𝑋3)(−1 − 4𝑋 − 9𝑋2 − 16𝑋3) + 28𝑋4 − 47𝑋5 + 22𝑋6

⇔6𝑋6 − 8𝑋5 + 3𝑋4 + 𝑋 + 1

(𝑋 − 1)3

=(−1 + 3𝑋 − 3𝑋2 + 𝑋3)(−1 − 4𝑋 − 9𝑋2 − 16𝑋3) + 28𝑋4 − 47𝑋5 + 22𝑋6

(𝑋 − 1)3

⇔6𝑋6 − 8𝑋5 + 3𝑋4 + 𝑋 + 1

(𝑋 − 1)3= −1 − 4𝑋 − 9𝑋2 − 16𝑋3 +

28𝑋4 − 47𝑋5 + 22𝑋6

(𝑋 − 1)3

⇔6𝑋6 − 8𝑋5 + 3𝑋4 + 𝑋 + 1

𝑋4 (𝑋 − 1)3=−1 − 4𝑋 − 9𝑋2 − 16𝑋3

𝑋4+𝑋4(28 − 47𝑋 + 22𝑋2)

𝑋4(𝑋 − 1)3

⇔ G = −1

𝑋4−4

𝑋3−9

𝑋2−16

𝑋+28 − 47𝑋 + 22𝑋2

(𝑋 − 1)3

𝑋8 + 𝑋 + 1 𝑋7 − 3𝑋6 + 3𝑋5 − 𝑋4

𝑋8 − 3𝑋7 + 3𝑋6 − 𝑋5 𝑋 + 3

3𝑋7 − 3𝑋6 + 𝑋5 + 𝑋 + 1

3𝑋7 − 9𝑋6 + 9𝑋5 − 3𝑋4

6𝑋6 − 8𝑋5 + 3𝑋4 + 𝑋 + 1


34

On pose alors

𝐻 =28 − 47𝑋 + 22𝑋2

(𝑋 − 1)3=

𝑎

𝑋 − 1+

𝑏

(𝑋 − 1)2+

𝑐

(𝑋 − 1)3

On multiplie par (𝑋 − 1)3, puis 𝑋 = 1.

𝑐 = [28 − 47𝑋 + 22𝑋2]𝑋=1 = 3

On multiplie par 𝑋, puis 𝑋 → +∞

22 = 𝑎

𝑋 = 0,

28 = −𝑎 + 𝑏 − 𝑐 ⇔ −28 = −22 + 𝑏 − 3 ⇔ 𝑏 = −33

Donc

𝐻 =28 − 47𝑋 + 22𝑋2

(𝑋 − 1)3=

22

𝑋 − 1+

53

(𝑋 − 1)2+

3

(𝑋 − 1)3

Et alors

𝐹 = 𝑋 + 3 −1

𝑋4−4

𝑋3−9

𝑋2−16

𝑋+

22

𝑋 − 1−

3

(𝑋 − 1)2+

3

(𝑋 − 1)3



Le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur, pas de division.

La forme de la décomposition est :

𝑋4 + 1

𝑋2(𝑋2 + 𝑋 + 1)2=𝑎

𝑋+𝑏

𝑋2+

𝑐𝑋 + 𝑑

𝑋2 + 𝑋 + 1+

𝑒𝑋 + 𝑓

(𝑋2 + 𝑋 + 1)2

On multiplie par 𝑋2, puis 𝑋 = 0.

𝑏 = [𝑋4 + 1

(𝑋2 + 𝑋 + 1)2]𝑋=0

= 1

On multiplie par (𝑋2 + 𝑋 + 1)2, puis 𝑋 = 𝑗.

𝑒𝑗 + 𝑓 = [𝑋4 + 1

𝑋2]𝑋=𝑗

=𝑗4 + 1

𝑗2=𝑗 + 1

𝑗2=−𝑗2

𝑗2= −1

Donc 𝑒 = 0 et 𝑓 = −1.

Ensuite ce n’est pas simple, il manque encore 3 coefficients.

On pourrait multiplier par 𝑋 puis faire tendre 𝑋 vers l’infini, mais ensuite il faudra prendre deux valeurs

et bonjour les fractions pénibles, alors on va inaugurer une nouvelle technique qui sert dans des cas un

peu compliqués.

𝑋4 + 1

𝑋2(𝑋2 + 𝑋 + 1)2=𝑎

𝑋+1

𝑋2+

𝑐𝑋 + 𝑑

𝑋2 + 𝑋 + 1+

−1

(𝑋2 + 𝑋 + 1)2

⇔𝑋4 + 1

𝑋2(𝑋2 + 𝑋 + 1)2−1

𝑋2+

1

(𝑋2 + 𝑋 + 1)2=𝑎

𝑋+

𝑐𝑋 + 𝑑

𝑋2 + 𝑋 + 1

J’appelle

𝐺 =𝑋4 + 1

𝑋2(𝑋2 + 𝑋 + 1)2−1

𝑋2+

1

(𝑋2 + 𝑋 + 1)2

C’est une fraction rationnelle, d’après l’unicité de sa décomposition en élément simple, qui est, d’après

la ligne ci-dessus, 𝑎

𝑋+

𝑐𝑋+𝑑

𝑋2+𝑋+1, on doit pouvoir, en réduisant au même dénominateur, trouver que le

dénominateur de 𝐺 est 𝑋(𝑋2 + 𝑋 + 1). On y va.


35

𝐺 =𝑋4 + 1

𝑋2(𝑋2 + 𝑋 + 1)2−1

𝑋2+

1

(𝑋2 + 𝑋 + 1)2=𝑋4 + 1 − (𝑋2 + 𝑋 + 1)2 + 𝑋2

𝑋2(𝑋2 + 𝑋 + 1)2

=𝑋4 + 𝑋2 + 1 − (𝑋4 + 𝑋2 + 1 + 2𝑋3 + 2𝑋2 + 2𝑋)

𝑋2(𝑋2 + 𝑋 + 1)2=−2𝑋3 − 2𝑋2 − 2𝑋)

𝑋2(𝑋2 + 𝑋 + 1)2

=−2

𝑋(𝑋2 + 𝑋 + 1)

On a donc

−2

𝑋(𝑋2 + 𝑋 + 1)=𝑎

𝑋+

𝑐𝑋 + 𝑑

𝑋2 + 𝑋 + 1

On multiplie par 𝑋, puis 𝑋 = 0

𝑎 = [−2

𝑋2 + 𝑋 + 1]𝑋=0

= −2

On multiplie par 𝑋2 + 𝑋 + 1, puis 𝑋 = 𝑗.

𝑐𝑗 + 𝑑 = [−2

𝑋2]𝑋=𝑗

=−2

𝑗2= −2𝑗

Donc 𝑐 = −2 et 𝑑 = 0

Finalement

𝑋4 + 1

𝑋2(𝑋2 + 𝑋 + 1)2=−2

𝑋+1

𝑋2+

−2𝑋

𝑋2 + 𝑋 + 1+

−1

(𝑋2 + 𝑋 + 1)2



Ensuite je diviserai par 16

𝐹 =16𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

16𝑋5

(𝑋 − 1)2(𝑋 + 1)2(𝑋 − 𝑖)2(𝑋 + 𝑖)2

=𝑎

𝑋 − 1+

𝑏

(𝑋 − 1)2+

𝑐

𝑋 + 1+

𝑑

(𝑋 + 1)2+

𝑒

𝑋 − 𝑖+

𝑓

(𝑋 − 𝑖)2+

𝑒̅

𝑋 + 𝑖+

𝑓̅

(𝑋 + 𝑖)2

Avec 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 réels et 𝑒 et 𝑓 complexes.

Il est facile de trouver 𝑏, 𝑑 et 𝑓.

Je multiplie par (𝑋 − 1)2, puis 𝑋 = 1

𝑏 = [16𝑋5

(𝑋 + 1)2(𝑋 − 𝑖)2(𝑋 + 𝑖)2]𝑋=1

= [16𝑋5

(𝑋 + 1)2(𝑋2 + 1)2]𝑋=1

= 1

Je multiplie par (𝑋 + 1)2, puis 𝑋 = −1

𝑑 = [16𝑋5

(𝑋 − 1)2(𝑋 − 𝑖)2(𝑋 + 𝑖)2]𝑋=1

= [16𝑋5

(𝑋 − 1)2(𝑋2 + 1)2]𝑋=−1

= −1

Je multiplie par (𝑋 − 𝑖)2, puis 𝑋 = 𝑖

𝑓 = [16𝑋5

(𝑋 + 1)2(𝑋 − 1)2(𝑋 + 𝑖)2]𝑋=1

= [16𝑋5

(𝑋2 − 1)2(𝑋 + 𝑖)2]𝑋=𝑖

=16𝑖5

(−2)2(2𝑖)2=

16𝑖

4(−4)= −𝑖

𝐹 est impaire donc 𝐹(−𝑋) = −𝐹(𝑋), soit encore : −𝐹(−𝑋) = 𝐹(𝑋)

−𝐹(−𝑋) = −(𝑎

−𝑋−1+

𝑏

(−𝑋−1)2+

𝑐

−𝑋+1+

𝑑

(−𝑋+1)2+

𝑒

−𝑋−𝑖+

𝑓

(−𝑋−𝑖)2+

�̅�

−𝑋+𝑖+

𝑓̅

(−𝑋+𝑖)2)

−𝐹(−𝑋) =𝑎

𝑋+1−

𝑏

(𝑋+1)2+

𝑐

𝑋−1−

𝑑

(𝑋−1)2+

𝑒

𝑋+𝑖−

𝑓

(𝑋+𝑖)2+

�̅�

𝑋−𝑖−

𝑓̅

(𝑋−𝑖)2

En identifiant les coefficients avec ceux de 𝐹(𝑋), on a :

𝑎 = 𝑐, 𝑏 = −𝑑, 𝑒 = 𝑒̅ et 𝑓 = −𝑓 ̅

𝑏 = −𝑑, çà on le savait déjà, 𝑒 = 𝑒̅ donc 𝑒 est réel et 𝑓 = −𝑓 ̅entraine que 𝑓 est un imaginaire pur, ce

que l’on savait déjà.

𝑋 = 0 donne


36

𝐹(0) = 0 = −𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑖𝑒 − 𝑓 − 𝑖𝑒̅ − 𝑓̅ = −𝑎 + 𝑐 + 𝑖(𝑒 − 𝑒̅)

Car 𝑏 + 𝑑 = 0 et – 𝑓 − 𝑓̅ = 𝑖 − 𝑖 = 0

Cela donne 0 = −𝑎 + 𝑐 + 𝑖(𝑒 − 𝑒̅) − 𝑎 + 𝑐 + 2𝑖(𝑖Im(𝑒) = −𝑎 + 𝑐 − 2Im(𝑒)

Or 𝑎 = 𝑐 donc Im(𝑒) = 0 autrement dit 𝑒 est réel.

Je multiplie par 𝑋, puis je fais tendre 𝑋 vers ∞.

0 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑒 + 𝑒̅ = 2𝑎 + 2𝑒

Donc 𝑒 = −𝑎

Comme 𝑐 = 𝑎, 𝑏 = 1, 𝑑 = −1 et 𝑓 = −𝑖

On a :

𝐹 =16𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

𝑎

𝑋 − 1+

1

(𝑋 − 1)2+

𝑎

𝑋 + 1−

1

(𝑋 + 1)2−

𝑎

𝑋 − 𝑖−

𝑖

(𝑋 − 𝑖)2−

𝑎

𝑋 + 𝑖+

𝑖

(𝑋 + 𝑖)2

Ceci étant vrai pour tout 𝑋 ∈ ℂ\{−1,1, −𝑖, 𝑖}, je prends 𝑋 = 2 . 16 × 32

(16 − 1)2=

𝑎

2 − 1+

1

(2 − 1)2+

𝑎

2 + 1−

1

(2 + 1)2−

𝑎

2 − 𝑖−

𝑖

(2 − 𝑖)2−

𝑎

2 + 𝑖+

𝑖

(2 + 𝑖)2

⇔16 × 32

152= 𝑎 + 1 +

𝑎

3−1

9−𝑎(2 + 𝑖)

5−𝑖(2 + 𝑖)2

52−𝑎(2 − 𝑖)

5+𝑖(2 − 𝑖)2

52

⇔16 × 32

152=4𝑎

3+8

9−4𝑎

5−𝑖(3 + 4𝑖)

25+𝑖(3 − 4𝑖)

25

⇔16 × 32

32 × 52=20 − 12

15𝑎 +

8

9+8

25

⇔ 16 × 32 = 8 × 15𝑎 + 8 × 25 + 8 × 9 ⇔ 2 × 32 = 15𝑎 + 25 + 9 ⇔ 30 = 15𝑎 ⇔ 𝑎 = 2

Donc

𝐹 =16𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

2

𝑋 − 1+

1

(𝑋 − 1)2+

2

𝑋 + 1−

1

(𝑋 + 1)2−

2

𝑋 − 𝑖−

𝑖

(𝑋 − 𝑖)2−

2

𝑋 + 𝑖+

𝑖

(𝑋 + 𝑖)2

Il reste à diviser par 16 :

𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

18

𝑋 − 1+

116

(𝑋 − 1)2+

18

𝑋 + 1−

116

(𝑋 + 1)2−

18

𝑋 − 𝑖−

𝑖16

(𝑋 − 𝑖)2−

18

𝑋 + 𝑖+

𝑖16

(𝑋 + 𝑖)2

Ensuite pour décomposer dans ℝ[𝑋] il faut réunir les conjugués.

𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

18

𝑋 − 1+

116

(𝑋 − 1)2+

18

𝑋 + 1−

116

(𝑋 + 1)2−1

8(1

𝑋 − 𝑖+

1

𝑋 + 𝑖)

−𝑖

16(

1

(𝑋 − 𝑖)2−

1

(𝑋 + 𝑖)2)

𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

18

𝑋 − 1+

116

(𝑋 − 1)2+

18

𝑋 + 1−

116

(𝑋 + 1)2−

𝑋4

𝑋2 + 1−𝑖

16

(𝑋 + 𝑖)2 − (𝑋 − 𝑖)2

(𝑋2 + 1)2

𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

18

𝑋 − 1+

116

(𝑋 − 1)2+

18

𝑋 + 1−

116

(𝑋 + 1)2−

𝑋4

𝑋2 + 1−𝑖

16

4𝑖𝑋

(𝑋2 + 1)2

𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

18

𝑋 − 1+

116

(𝑋 − 1)2+

18

𝑋 + 1−

116

(𝑋 + 1)2−

𝑋4

𝑋2 + 1+

𝑋4

(𝑋2 + 1)2

Je vais maintenant décomposer directement cette fraction dans ℝ[𝑋].

Comme dans ℂ[𝑋] je vais décomposer 𝐹 =16𝑋5

(𝑋4−1)2

𝐹 =16𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

𝛼

𝑋 − 1+

𝛽

(𝑋 − 1)2+

𝛾

𝑋 + 1+

𝛿

(𝑋 + 1)2+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1+

휂𝑋 + 휃

(𝑋2 + 1)2

De la même façon, on trouve que 𝛽 = 1 et 𝛿 = −1

Je multiplie par (𝑋2 + 1)2, puis je prends 𝑋 = 𝑖


37

휂𝑖 + 휃 = [16𝑋5

(𝑋2 − 1)2]𝑋=𝑖

=16𝑖5

(−1 − 1)2= 4𝑖

Donc 휂 = 4 et 휃 = 0.

𝐹 est impaire donc −𝐹(−𝑋) = 𝐹(𝑋)

−𝐹(−𝑋) = −(𝛼

−𝑋 − 1+

𝛽

(−𝑋 − 1)2+

𝛾

−𝑋 + 1+

𝛿

(−𝑋 + 1)2+−휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1+−휂𝑋 + 휃

(𝑋2 + 1)2)

=𝛼

𝑋 + 1−

𝛽

(𝑋 + 1)2+

𝛾

𝑋 − 1−

𝛿

(𝑋 − 1)2+휀𝑋 − 휁

𝑋2 + 1+

휂𝑋 − 휃

(𝑋2 + 1)2

−𝐹(−𝑋) = 𝐹(𝑋) ⇔ {

𝛼 = 𝛾𝛽 = −𝛿휁 = 0휃 = 0

On savait déjà que 𝛽 = −𝛿 et que 휃 = 0.

Pour l’instant on en est à :

𝐹 =16𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

𝛼

𝑋 − 1+

1

(𝑋 − 1)2+

𝛾

𝑋 + 1−

1

(𝑋 + 1)2+

휀𝑋

𝑋2 + 1+

4𝑋

(𝑋2 + 1)2

Je multiplie par 𝑋, puis on fait tendre 𝑋 vers ∞.

0 = 𝛼 + 𝛾 + 휀

Comme 𝛼 = 𝛾, on a 휀 = −2𝛾.

On peut essayer 𝑋 = 0 mais cela redonne 𝛼 = 𝛾.

Pour l’instant on en est à :

𝐹 =16𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

𝛾

𝑋 − 1+

1

(𝑋 − 1)2+

𝛾

𝑋 + 1−

1

(𝑋 + 1)2−

2𝛾𝑋

𝑋2 + 1+

4𝑋

(𝑋2 + 1)2

Comme dans ℂ[𝑋], je vais prendre 𝑋 = 2.

16 × 32

(16 − 1)2= 𝛾 + 1 +

𝛾

3−1

9−4𝛾

5+8

52⇔16 × 32

152=4𝛾

3−4𝛾

5+8

9+8

25⇔16 × 32

152=8𝛾

15+8 × 34

9 × 25

⇔ 16 × 32 = 8 × 15𝛾 + 8 × 34 ⇔ 2 × 32 = 15𝛾 + 34 ⇔ 𝛾 = 2

𝐹(𝑋) =16𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

2

𝑋 − 1+

1

(𝑋 − 1)2+

2

𝑋 + 1−

1

(𝑋 + 1)2−

4𝑋

𝑋2 + 1+

4𝑋

(𝑋2 + 1)2

On divise par 16 et voilà.

A partir de là, on peut retrouver la décomposition dans ℂ[𝑋], pour cela il suffit de décomposer

4𝑋

𝑋2 + 1=

𝑎

𝑋 − 𝑖+

�̅�

𝑋 + 𝑖

Et

4𝑋

(𝑋2 + 1)2=

𝑏

𝑋 − 𝑖+

�̅�

𝑋 + 𝑖+

𝑐

(𝑋 − 𝑖)2+

𝑐̅

(𝑋 + 𝑖)2

A faire.

Troisième méthode

On repart de

𝐹(𝑋) =16𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

𝛼

𝑋 − 1+

1

(𝑋 − 1)2+

𝛾

𝑋 + 1−

1

(𝑋 + 1)2+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1+

4𝑋

(𝑋2 + 1)2

=𝛼

𝑋 − 1+

𝛾

𝑋 + 1+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1+

1

(𝑋 − 1)2−

1

(𝑋 + 1)2+

4𝑋

(𝑋2 + 1)2

On va calculer


38

1

(𝑋 − 1)2−

1

(𝑋 + 1)2+

4𝑋

(𝑋2 + 1)2

=(𝑋 + 1)2(𝑋2 + 1)2 − (𝑋 − 1)2(𝑋2 + 1)2 + 4𝑋(𝑋 − 1)2(𝑋 + 1)2

(𝑋 − 1)2(𝑋 + 1)2(𝑋2 + 1)2

=((𝑋 + 1)2 − (𝑋 − 1)2)(𝑋2 + 1)2 + 4𝑋(𝑋2 − 1)2

(𝑋2 − 1)2(𝑋2 + 1)2

=(𝑋2 + 2𝑋 + 1 − 𝑋2 + 2𝑋 − 1)(𝑋4 + 2𝑋2 + 1) + 4𝑋(𝑋4 − 2𝑋2 + 1)

(𝑋4 − 1)2

=4𝑋(𝑋4 + 2𝑋2 + 1) + 4𝑋(𝑋4 − 2𝑋2 + 1)

(𝑋4 − 1)2=8𝑋(𝑋4 + 1)

(𝑋4 − 1)2

Donc

𝐹 =16𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

𝛼

𝑋 − 1+

1

(𝑋 − 1)2+

𝛾

𝑋 + 1−

1

(𝑋 + 1)2+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1+

4𝑋

(𝑋2 + 1)2

=𝛼

𝑋 − 1+

𝛾

𝑋 + 1+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1+8𝑋(𝑋4 + 1)

(𝑋4 − 1)2⇔ 𝐹 −

8𝑋(𝑋4 + 1)

(𝑋4 − 1)2

=𝛼

𝑋 − 1+

𝛾

𝑋 + 1+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1⇔

16𝑋5

(𝑋4 − 1)2−8𝑋(𝑋4 + 1)

(𝑋4 − 1)2=

𝛼

𝑋 − 1+

𝛾

𝑋 + 1+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1

⇔16𝑋5 − 8𝑋(𝑋4 + 1)

(𝑋4 − 1)2=

𝛼

𝑋 − 1+

𝛾

𝑋 + 1+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1

⇔16𝑋5 − 8𝑋5 − 8𝑋

(𝑋4 − 1)2=

𝛼

𝑋 − 1+

𝛾

𝑋 + 1+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1

⇔8𝑋5 − 8𝑋

(𝑋4 − 1)2=

𝛼

𝑋 − 1+

𝛾

𝑋 + 1+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1

⇔8𝑋(𝑋4 − 1)

(𝑋4 − 1)2=

𝛼

𝑋 − 1+

𝛾

𝑋 + 1+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1

⇔8𝑋

𝑋4 − 1=

𝛼

𝑋 − 1+

𝛾

𝑋 + 1+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1

⇔8𝑋

(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)(𝑋2 + 1)=

𝛼

𝑋 − 1+

𝛾

𝑋 + 1+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1

On multiplie par 𝑋 − 1, puis 𝑋 = 1

𝛼 = [8𝑋

(𝑋 + 1)(𝑋2 + 1)]𝑋=1

= 2

On multiplie par 𝑋 + 1, puis 𝑋 = −1

𝛽 = [8𝑋

(𝑋 − 1)(𝑋2 + 1)]𝑋=−1

= 2

On multiplie par 𝑋2 + 1, puis 𝑋 = 𝑖

𝜖 + 𝑖휁 = [8𝑋

𝑋2 − 1]𝑋=𝑖

= −4𝑖 ⇒ 𝜖 = 0 et 휁 = −4

Donc

𝛼

𝑋 − 1+

𝛾

𝑋 + 1+휀𝑋 + 휁

𝑋2 + 1=

2

𝑋 − 1+

2

𝑋 + 1−

4𝑋

𝑋2 + 1

Et enfin

𝐹 =16𝑋5

(𝑋4 − 1)2=

2

𝑋 − 1+

1

(𝑋 − 1)2+

2

𝑋 + 1−

1

(𝑋 + 1)2−

4𝑋

𝑋2 + 1+

4𝑋

(𝑋2 + 1)2

Il ne reste qu’à diviser par 16




39

1. 𝛼 est une racine simple de 𝑄 donc il existe 𝑄1 tel que 𝑄 = (𝑋 − 𝛼)𝑄1 avec 𝑄1(𝛼) ≠ 0

𝐹 =𝑃

𝑄=

𝑃

(𝑋 − 𝛼)𝑄1=

𝑎

𝑋 − 𝛼+ ⋯

En multipliant par 𝑋 − 𝛼, puis en faisant 𝑋 = 𝛼, on trouve (classiquement)

𝑎 =𝑃(𝛼)

𝑄1(𝛼)

D’autre part

𝑄 = (𝑋 − 𝛼)𝑄1 ⇒ 𝑄′ = 𝑄1 + (𝑋 − 𝛼)𝑄1′

En faisant 𝑋 = 𝛼 dans cette dernière expression on trouve que 𝑄′(𝛼) = 𝑄1(𝛼)

Par conséquent

𝑎 =𝑃(𝛼)

𝑄′(𝛼)

2.

𝑋𝑛 − 1 =∏(𝑋 − 𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 )

𝑛−1

𝑘=0

Donc il existe 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1 tels que :

𝐹 = ∑𝑎𝑘

𝑋 − 𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛

𝑛−1

𝑘=0

En appliquant le résultat du 1°), avec 𝑃 = 𝑋 et 𝑄′ = 𝑛𝑋𝑛−1

𝑎𝑘 =𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛

𝑛 (𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛 )

𝑛−1 =1

𝑛𝑒2𝑖𝑘(1−(𝑛−1))𝜋

𝑛 =1

𝑛𝑒2𝑖𝑘(2−𝑛)𝜋

𝑛 =1

𝑛𝑒4𝑖𝑘𝜋𝑛

Donc

𝐹 = ∑

1𝑛 𝑒

4𝑖𝑘𝜋𝑛

𝑋 − 𝑒2𝑖𝑘𝜋𝑛

𝑛−1

𝑘=0



1. 𝑃 = 𝑋5 − 𝑋3 + 𝑋2 − 1 = 𝑋3(𝑋2 − 1) + (𝑋2 − 1) = (𝑋2 − 1)(𝑋3 + 1)

−1 est racine de 𝑋3 + 1 donc on peut factoriser par 𝑋 + 1, et on trouve, à l’aide d’une division

élémentaire 𝑋3 + 1 = (𝑋 + 1)(𝑋2 − 𝑋 + 1). 𝑋2 − 𝑋 + 1 n’a pas de racine réelle

On déduit de tout cela que la décomposition dans ℝ[𝑋] est :

𝑃 = (𝑋 − 1)(𝑋 + 1)(𝑋 + 1)(𝑋2 − 𝑋 + 1) = (𝑋 − 1)(𝑋 + 1)2(𝑋2 − 𝑋 + 1)

𝑋2 − 𝑋 + 1 admet deux racines complexes conjuguées

1 − 𝑖√3

2= −𝑗 et

1 + 𝑖√3

2= −𝑗2


𝑃 = (𝑋 − 1)(𝑋 + 1)2(𝑋 + 𝑗)(𝑋 + 𝑗2)

2. Il existe 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 réels tels que :

𝑋 + 1

𝑃=

𝑋 + 1

(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)2(𝑋2 − 𝑋 + 1)=

1

(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)(𝑋2 − 𝑋 + 1)

=𝑎

𝑋 − 1+

𝑏

𝑋 + 1+

𝑐𝑋 + 𝑑

𝑋2 − 𝑋 + 1

On multiplie par 𝑋 − 1, puis 𝑋 = 1

𝑎 = [1

(𝑋 + 1)(𝑋2 − 𝑋 + 1)]𝑋=1

=1

2


40

On multiplie par 𝑋 + 1, puis 𝑋 = −1

𝑏 = [1

(𝑋 − 1)(𝑋2 − 𝑋 + 1)]𝑋=−1

= −1

6

On pose 𝑋 = 0

−1 = −𝑎 + 𝑏 + 𝑑 ⇒ 𝑑 = −1 + 𝑎 − 𝑏 = −1 +1

2+1

6= −

1

3

On multiplie par 𝑋, puis 𝑋 tend vers l’infini

0 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ⇒ 𝑐 = −𝑎 − 𝑏 = −1

2+1

6= −

1

3

𝑋 + 1

𝑃=

12

𝑋 − 1−

16

𝑋 + 1+−13𝑋 −

13

𝑋2 − 𝑋 + 1


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