Ralis par : JABER YASSINE

EXERCICE (1) :

Le tableau suivant donne les rsultats dune tude transversale sur dix rgions ; les ventes (Y)

du produit sont mises en relation avec les dpenses (X1) de publicit-presse et les dpenses

(X2) de publicit sur les lieux de vente (PLV). Lunit est 103 DH,

Observation (i) Ventes (Y) Publicit-presse (X1) PLV (X2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

30 22 29 35 25 40 24 21 32 15

2 1 6 4 3 2 6 2 7 1

6 3 2 5 3 8 1 2 2 1

Le Modle: = 0+11+22+

1) Mettre le modle sous-forme matricielle ?

2) Estimer les paramtres du modle ?

3) Calculer les rsidus puis en dduire lestimation de la variance rsiduelle 2 ?

4) Estimer la matrice des variances-covariance des coefficients ?

5) Quel est lintervalle de confiance pour la variance de lerreur ?

6) Les variables explicatives sont-elles significativement contributives pour expliquer la

variable endogne au risque de 5% ?

7) Les coefficients 1 et 2 sont-ils respectivement significativement diffrents de 1 et -

0,5 ?

8) Dresser le tableau de lanalyse de la variance ?

9) Calculer 2 , et dduire le coefficient de corrlation multiple et le coefficient de

dtermination corrig, test la validit du modle ?

10) Calculer les prvisions pour les priodes 11 et 12, et son intervalle de 95% sachant que

1 11 = 2 ; 1 12=3 ; 2 11=4 ; 2 12 = 5

Solution :

1) Nous disposons de 10 observations et deux variables explicatives le modle peut donc

scrire comme suit :

12

10

=

1 11 211 12 221

110

210

12

+

1

15

Do

3020

15

=

1 2 61 1 31

1

1

12

+

12

10

Dimensions :

10;1 = (10;3)(3;1) + (10:1)

2) Estimation des paramtres

On sait que = 1

= 1 1 12 1 16 3 1

1 2 61 1 31

1

1

= 10 34 3334 160 9733 97 157

1 = 0,8248 0,1122 0,10406

0,1122 0,02525 0,0079800,10406 0,007980 0,02331

Calcul de

(10) (1,10) 10 (2,10) 10

= 273976

1019 =

9,652,153,13

3) Calcul de 2

On sait que :

2 =

=

2

On a : e = Y e = Y X

Do = + 11 + 2 2

= 9,65 2,151 3,132

On peut donner les valeurs de 1 jusqu 10 observation mais dune manire gnrale :

= Do = 7941 9,15 2,15 3,13 273976

1019

= 155,18

2 =

155,18

103 = 22,17

4) La matrice des variances-covariances :

= E ( )( ) avec = 1XU

= 2 1

Donc :

= 22,17 0,8248 0,1122 0,10406

0,1122 0,02525 0,0079800,10406 0,007980 0,02331

= 18,28 2,49 2,302,49 0,559 0,1772,30 0,177 0,517

= 18,28

1 = 0,559

2 = 0,517

= 4,27 1 = 0,75

2 = 0,72

5) Lintervalle de confiance de la variance de lerreur est donne par :

IC = P (1)

2

2

2 ;(1)

2

1

2

2 avec X : loi de KH-deux

Dans notre exemple au risque 5% est de :

IC = (1021)22,17

16,01;

(1021)22,17

1,69

IC = 9,70 91,83

Soit 9,70 2 91,83, la variance vraie (mais inconnue)

2 de lerreur 95% de chance de

se situer lintervalle.

6) Il convient de calculer les deux ratios de student et de les comparer la valeur lue dans

la table pour un seuil de 5%

On sait que

~ une loi de student a n 1 degr de libert

Les hypothses tester est suivant :

0: 1 = 01 1 0

Et 0: 2 = 01 2 0

Donc, sous 0

=

1

1 =

2,15

0,75 = 2,867

=

2

2 =

3,13

0,72 = 4,347

Daprs la table de student, 1

2 = 103

2 = 2,365

On constate que les deux t-statistiques est suprieure t-lu sur la table de student. On accepte

1 donc ; les variables publicit-presse et publicit sur les lieux de vente sont bien expliquer

la variable endogne qui est la consommation.

Nous aurions pu tout aussi bien rpondre cette question en calculant les intervalles de

confiance de chacun des coefficients :

On sait que

=

2 =

2

=

2 +

Do lintervalle de confiance est de :

P (

2 +

2 ) = 1

Pour 1:

On a: 1= 0,75

Daprs la table de student : 1

2 = 103

2 = 2,365

Don : IC = P (0,4205 1 3,8795) = 0,95

De mme pour 2 :

IC = P (1,47 2 4,79) = 0,95

Donc on constate que la valeur zro nappartient pas lintervalle de confiance 95% de 1

et 2 , donc ces deux coefficients sont significativement diffrents de zro.

7) La formulation des hypothses est la suivante :

0: 1 = 11 1 1

Et 0: 2 = 0,51 2 0,5

Pour 1 :

Sous 0 : =

11

1 =

2,151

0,75 = 1,53 < 2,365 = 7

0,05

On accepte 0, 1 nest pas significativement diffrent de 1.

Pour 2 : =

22

2 =

3,13(0,5)

0,72 = 5,04 > 2,365

On accepte 1, le coefficient de rgression 2 est significativement diffrent de 0,5 :

8) Le tableau de lanalyse de la variance est prsent comme suit :

Source de variance Sommes des carrs Degr de libert Carrs moyens

1 , 2 SCE= 332,92 2 166,46 Rsidu SCR= 155,18 7 22,17

Total SCT= 488,1 9

On a 2 = 155, 18 SCT= 488,1 SCR= SCT SCE = 332,92

9) Calcul du 2

2 =

= 1

=

332,92

488,1 = 0, 68

Le coefficient du corrlation est de : r = 0,82

Le coefficient de dtermination corrig : 2 = 1 1

1(12)

2 = 1 9

7(1 0,68) = 0,58

Teste de 2 :

Lhypothse est de : 0:

2 = 0

1 2 0

Calcule le teste de Fisher :

= ( )2/1

2/

= 2/1

(12)/ do =

0,68

(10,68) (

7

2) = 7,4375

Or, daprs la table de FISHER SNEDECOR, F lu avec un risque de 5% et de degr de libert

pour le numrateur = 2 et degr de libert pour le dnominateur = 7. 2;70,05

= 4,74

Puisque > 2;70,05

= 4,74 donc on accepte 1 la rgression est globalement

significative.

10) La prvision pour les deux priodes est calcule partir du modle estim :

11 = 9,65 + 2,15 2 + 3,13 4 = 26,47

12 = 9,65 + 2,15 3 + 3,13 5 = 31,75

La variance de lerreur de prvision est donne par :

+2 =

2(1+ + ()1+)

Soit 11 = 124 ; 12 =

135

On a

()1 = 0,8248 0,1122 0,10406

0,1122 0,02525 0,0079800,10406 0,007980 0,02331

Donc :

112 = 22,17 1 + (1 2 4)()1

124 17,94

122 = 22,17 1 + 1 3 5 ()1

135 14,08

Lintervalle de prvision est donne par :

+ = + 1

2 +

Donc pour un seuil de 95% :

11= 26,47 2,365 17,94 11 = 16,45; 36,48

12 = 31,75 2,365 14,08 12= 22,87; 40,62

EXERCICE (2) :

Sur n = 100 observations et pour trois sries (Y ; 1 2 ) nous avons les rsultats

suivants :

V(y) = 1000 ; ;12 = 0,75 ; 1;2

2 = 0,45 ; ;22 = 0,85 ; = 12

1) Nous avons effectu la rgression : = 101 6

Le coefficient de 1 est-il significativement diffrent de zro ?

2) La rgression de y sur 2 donne = 42 + 8 le coefficient de 2 est-il

significativement diffrent de zro ?

3) Calculer les coefficients du modles : y = 0 + 11 + 22 + et le coefficient de

corrlation multiple ?

4) Les coefficients 1 et 2 sont-ils significativement diffrents de zro ?

5) La rgression est-elle globalement significative ?

Solution :

1) Dtermination de lcart-type de coefficient :

On sait que, dans une rgression simple la variance du coefficient de rgression est donne

par :

12 =

2

(1 )2

Nous savons que dans le cadre de rgression simple, il ya galit entre corrlation simple et

corrlation multiple, soit :

;12 =

( ;1 )2

(1) =

1 ( )2

( )2 (1 )2 = 2 =

= 1

= 0,75

Or v(y) = ( )2

= ( )2 = n v(y) ( )2 = 100 1000 =100000

Donc 2 = 1

100000 = 0,75 SCR = 25000

2 =

25000

1002 = 255,1

Dtermination de la variance de 1 :

On a : = 1 ( )

(1 )2 = 10 et ;1

2 = 1 ( )

2

( )2 (1 )2 = 0,75

Do 1 ( ) = 10 (1 )2

On remplace dans ;12

0,75 = 102 (1 )

4

( )2 (1 )2 0,75 =

100 (1 )2

( )2

Do

100 (1 )2 = 0,75100000

(1 )2 = 750 et 1 ( ) = 10 750 = 7500

V (1) = 7,5 et cov (1 ; ) = 75

Donc

12 =

2

(1 )2 =

255,1

75 = 0,34 = 0,58

Teste :

=

10

0,58 = 17,24 > >30

0,05= 1,96

Do le coefficient de rgression de y sur 1 est significativement diffrent de zro au risque

de 5%.

2) De mme pour 2 :

SCR = (1 0,85)100000 = 15000 2 =

15000

98 = 153,06

Dtermination de la variance de 2 :

= 2 ( )

(2 )2 = 4 2 ( ) = 4 (2 )

2

On a ;22 =

2 ( )2

( )2 (2 )2 = 0, 85 (2 )

2 = 5312, 5

V 2 = 53,125 et Cov (y; 2) = 212,5

Donc :

22 =

153,06

5312,5 = 0,0288 = 0,17

Teste : sous 0

=

4

0,17 = 23,53 > 0,05= 1,96 donc, le coefficient de rgression de y sur 2 est

significativement diffrent de zro.

3) Estimation des paramtres du modle

= 0 + 11+ 22

Nous raisonnons sur les donnes centres, donc les paramtres estimer peut scrire en

fonction des matrices des variances-covariances

1 2

= 1 1; 2

1; 2 2 1

; 1

; 2

Dtermination 1; 2 :

On a: 122 =

cov 1;2 2

1 2 = 0, 45

1 2 2 = 0, 45 1

2 2 2

= 0, 45 750 5312, 5 = 1792968, 75

1 2 = 1339, 01

Cov 1; 2 = 1339,01

100 = 13, 39

Nous connaissons donc:

V 1 = 7,5 et Cov ; 1 = 75 et Cov 12 = 13,39 et Cov ; 2 = 212,5 et

V 2 = 53,125

Do

1 2

= 7,5 13,39

13,39 53,125 1

75

212,5

1 2

= 1

219,14

53,125 13,3913,39 7,5

75

212,5

1 2

= 5,1972,69

La constante est donn par 0 = 1 1 2 2

Or = 12 et 1 = 12+6

10 = 1,8 et 2 =

128

4 = 1

Donc 0 = 12 5,197 1,8 2,69 1 = 0,032

Le modle estimer est de : = 0,032 + 5,1971 + 2,692 +

Dtermination de coefficient de dtermination :

2 =

=

=

=

1

2 =

2

Donc 2 = 5,197 2,69

750021250

100000 = 0,96

4) Calcule des cart-types de chacun des coefficients :

On sait que = 2 1 =

2 1 1; 2

1; 2 2 1

Dtermination de la variance de lerreur :

2 =

2

or 2 = 1

= 0,96 (1 0,96)SCT = SCR

SCR = 4000

Donc 2 =

4000

1003 = 41,24

Do

= 41,42 7,5 13,39

13,39 53,125 1

= 41,42 0,2424 0,0611

0,0611 0,0342

Do

12 = 41,42 0,2424 = 10 1 = 3,16

22 = 41,42 0,0342 = 1,41 2= 1,18

Teste : sous 0

1 =

1

1 =

5,197

3,16 = 1,64 < 0,05 = 1,96

2 =

2

2 =

2,69

1,18 = 2,27 > 0,05 = 1,96

Le coefficient 1 nest pas significativement diffrent de zro donc la variable 1 nest pas

contributive lexplication de y, il convient donc de la retirer de ce modle et de procder

une nouvelle estimation.

Alors que le coefficient 2 est bien explicatif la variable endogne y

Pour la rgression en doit calculer F :

=

21

1 2 1

= 0,96

31

10,96 10021

= 1164 > 2;970,05

= 3,10

F-calculer est largement suprieure F lu sur la table FISHER-SNEDECOR

Donc la rgression est globalement significative.

EXERCICE 3 :

Soit le modle trois variables explicatives suivant :

= 0 + 11 + 22 + 33 +

Nous disposons des donnes du tableau :

t Y 1 2 3 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

12

14

10

16

14

19

21

19

21

16

19

21

25

21

2

1

3

6

7

8

8

5

5

8

4

9

12

7

45

43

43

47

42

41

32

33

41

38

32

31

25

29

121

132

154

145

129

156

132

147

128

163

161

172

174

180

1) Mettre le modle sous forme matricielle ?

2) Estimer les paramtres du modle ?

3) Calculer les rsidus puis en dduire lestimation de la variance rsiduelle 2 ?

4) Estimer la matrice des variances-covariances des coefficients ?

5) Tester, commenter et donner les probabilits critiques (p-valeur) des testes suivants au

risque de 5% :

0 0 = 01 0 0

0 1 = 01 1 0

0 2 = 01 2 0

0 3 = 01 3 0

6) Dresser le tableau de lanalyse de la variance ?

7) Calculer le 2 et le 2 corrig, effectuer le teste globale au risque de 5% ?

Solution :

1) Forme matricielle :

Nous disposons de 14 observations et trois variables explicatives, le modle peut donc scrire

comme suit :

Y = X + U

Donc en peut crire :

1

14

=

1 2 45

1 7 29

121

180

0123

+

1

14

Dimensions :

14;1 = 14;4 4;1 + 14;1

2) Estimation des paramtres :

Soit le modle sous forme matricielle, comme suit :

Y = X + U

Et daprs la Mthode des Moindres Carrs Ordinaires (MCO), qui consiste minimiser la

somme des carrs des erreurs.

Donc, on a : = 1

Dtermination de 1 et

=

1 12

45

121 180

1 2 45

1 7 29

121

180

=

14 85 53285

532631

31263126

131322094 13132 78683

20941313278683

317950

1 =

20,168 0,015 0,2310,015

0,2310,013

0,00110,0011

0,003630,076 0,00094 0,000575

0,0760,000940,0005750,000401

Calcul de :

=

1 12

45

121 180

12

21

=

24816229202

37592

Calcul de

=

20,168 0,015 0,2310,015

0,2310,013

0,00110,0011

0,003630,076 0,00094 0,000575

0,0760,000940,0005750,000401

24816229202

37592

=

32,8910,8019

0,38130,0371

Donc :

= 32,9 + 0,801 0, 382 0,0373 +

3) Calcul des rsidus et la variance rsiduelle :

On sait que : = = X

Do = 32,9 0,801 + 0, 382 + 0,0373

Par exemple pour 1 :

1 = 12 32,9 0,802 + 0, 3845 + 0,037121 = 0,84

Ainsi de suite jusqu 14 .

Mais dune manire gnrale :

= Y

Donc : = 4620 32,9 0,80 0,381 0,0371

24816229202

37592

= 67,45

Donc :

2 =

=

67,45

144 = 6,745

4) Matrice variance-covariance :

La matrice des variances-covariances est donne par :

= E ( )( ) = 2 1

Donc :

= 6,745

20,168 0,015 0,2310,015

0,2310,013

0,00110,0011

0,003630,076 0,00094 0,000575

0,0760,000940,0005750,000401

Les variances des coefficients de rgression se trouvent sur la premire diagonale :

02 = 6,745 20,168 = 136,04 0 = 11,66

12 = 6,745 0,0132 = 0,089 1 = 0,29

22 = 6,745 0,00363 = 0,0245 2 = 0,15

32 = 6,745 0,000401 = 0,0027 3 = 0,05

5) Les testes :

On sait que :

~ Une loi de student a n 1 degr de libert

Do le t-statistique est de : sous 0

0 =

0

0 =

32,8913

11,66 = 2,82

1 =

1

1 =

0,8019

0,29 = 2,765

2 =

2

2 =

0,38136

0,15 = 2,5424

3 =

3

3 =

0,03713

0,05 = 0,7426

Le 100,05

lu sur la table de student avec un risque de 5% et de degr de libert de 10 (14

4) est : 100,05

= 2,228

Rgle de dcision :

> On accepte 1

< On accepte 0

On voit bien que, 1 et 2 sont significativement diffrents de zro, cest--dire que les

variables 1 et 2 sont contributive lexplication de Y

Alors que, 3 et non significativement diffrent de zro, donc la variable 3 nest pas

contributive lexplication de Y, il convient donc de la retirer de ce modle et de procder

une nouvelle estimation.

Dtermination de p-valeur :

Dans notre cas, il sagit ici dun test bilatral, donc p-valeur est donne comme suit :

p-valeur = 2 1 ( <

= 2 1 ()

Par exemple pour 2

On sait que = 2,54

On trouve daprs la table de student que les valeurs encadrent = 2,54, avec un DDL de

10 sont : 2,228 et 2,764.

0,975.x ?.....................0,99

10 ..2,228 ..2,542,764

Donc en procde une interpolation linaire :

x = 0,975 + (0,99 0,975) 2,542,228

2,7642,228 = 0,9837

Donc p-valeur = 2 1 0,9837 = 3,24%

Rgle de dcision p-valeur < au risque On accepte 1

p-valeur > au risque On accepte 0

Donc, notre cas : p-valeur < au risque , 0,0324 < 0,05 acceptation de 1 . Donc si la mme

dcision par apport a la premire de t-statistique.

6) Tableau de lanalyse de la variance :

Source de variance Sommes des carrs Degr de libert Carrs moyens

1 , 2 , 3 SCE= 159,40 3 53,13 Rsidu SCR= 67,45 10 6,745

Total SCT= 226,85 13

7) Calculer le 2 et le 2 corrig, effectuer le teste globale au risque de 5% ?

2 =

= 1-

= 1 67,45

226,85 = 0,702 = 70,2%

2 = 1 1

1(1 - 2 )

= 1 141

1431 (1 0,702) = 61,3%

Test :

Pour tester le modle ou bien le coefficient de dtermination2, on utilise le test de FISHER

SNEDECOR not F.

=

21

(1 2)

=

1

= 0,702

(10,702)

10

3 = 7,85

Le F lu avec un risque de 5% et de degr de libert pour le numrateur = 3 et de DDL pour le

dnominateur = 10 est de = 3,71

On constate que > = 3,71. Donc on accepte1 , la rgression est globalement

significative.

Exercice 4 :

On examine lvolution dune variable en fonction de deux exognes 1 et 2 . on

dispose de n observations de ces variables. On note X = 1 1 2 ou 1 est le vecteur

constante et 1 et 2 sont les vecteurs des variables explicatives.

1) On obtenu les rsultats suivants :

= 25 0 0? 9,3 5,4? ? 12,7

1 = 0,04 0 0

0 0,1428 0,06070 0,0607 0,1046

(a) Donner les valeurs manquantes ?

(b) Que vaut n ?

2) La rgression de Y sur la constante et les deux exognes donne :

= -1,61 + 0,611 + 0, 462 ; SCR =0,3 = 73,48 et = -1,6

(a) Calculer la somme des carrs expliqus (SCE), la somme des carrs totale (SCT), le

2 et le 2 ajust ?

(b) Dduire la matrice variance-covariance, et tester la significativit individuelle de

chaque paramtre ainsi que leur significativit conjointe ?

Solution :

1)

On sait que =

1 2 1 1

2 12 2 21 2

2

On a 1 = 0 et 2 = 0 21 = 12 = 5,4 n = 25

2)

a) On sait que SCT = SCE + SCR

SCT = - n 2 = 73,48 25(1,6)2 = 9,48

Donc SCE = SCT SCR = 9,48 0,3 = 9,18

2 =

=

9,18

9,48 = 0,968

2 = 1- 1

(1 - 2 ) = 1 -

24

23 (1- 0,968) = 0,966

b) La matrice variance covariance :

= 2 ()1

On sait que la 2 =

=

0,3

22 = 0,01363

Donc = 0,01363 0,04 0 0

0 0,1428 0,06070 0,0607 0,1046

Les variances des coefficients de rgression se trouvent sur la diagonale :

02 = 0,01363 0,04 = 5.452 104 0 = 0,0233

12 = 0,01363 0,1428 = 1.946364 103 1 = 0,0441

22 = 0,01363 0,1046 = 1.425698 103 2 = 0,03778

Teste : sous 0

0 =

0

0 =

1,61

0,0233 = 69,09

1 =

1

1 =

0,61

0,0441 = 13,83

2 =

2

2 =

0,42

0,03778 = 11,116

Le 10,05

= 220,05

= 2,074 lu sur la table de STUDENT FISHER.

On constate que est largement suprieure au 22

0,05 = 2,074. Donc les variables exognes

sont contributive lexplication de Y.