Exercices-et-probleme-resolus-tome-2-2013-Semestre-2-SMPC-et-SMA.pdf

Edition : 2012

www.rapideway.org F. DANI H. BOUKHARROUB Y. EL HYHY Page | 1

Edition : 2012


Edition : 2012


Remerciement :

Nous vous prsentons ce manuel dans sa deuxime partie, qui comprend des sries

des examens de lanne prcdente, accompagn par des modles de solutions rdiges d'une

faon simple et bien dtaille.

Ce support sera utile pour les tudiants de 1er anne universitaire pour les filires de

physique, chimie et mathmatique de facult des sciences, de sciences et technique ou de

classe prparatoire aux grandes coles.

Il contient la fois Llectricit, Loptique gomtrique, la chimie gnrale, l'analyse

et l'algbre.

Cest avec un rel plaisir que nous avons effectu ce modeste travail pour que les

tudiants : puissent avoir une ide prconue sur le niveau et le degr de difficult des

examens. Puissent bien assimiler leurs cours. Puissent avoir des supports conus afin de bien

se prparer aux examens, et davoir de bonnes notes par la suite.

Nous conseillons les tudiants de bien assimiler leurs cours de chaque matire et aussi

de bien travailler les sries de travaux dirigs avant d'aborder la rsolution des examens dont

le but de bien comprendre les concepts et pour que vous puissiez reconnaitre votre niveau.

Nos remerciements et notre gratitude sadressent tous les collgues qui ont particip

la rdaction de tous les documents, merci tous.

Nous tenons remercier tous les amis qui ont contribu de loin ou de proche

avec leurs encouragement pour la sortie de ce modeste effort sans oublier de

remercier tous les fidles de site RapideWay.org.

Edition : 2012


Trs important :

Si vous souhaitez nous crire, On vous propose les adresses suivantes :

Notre adresse lectronique : [email protected].

Notre site web www.rapideway.org

Notre page Facebook. www.facebook.com/rapideway

En particulier, nous remercions chaleureusement tous ceux d'entre vous qui

prennent la peine de nous signaler les petites erreurs qu'ils trouvent dans nos

documents.

Nous autorisons quiconque le souhait placer sur son site un lien vers nos

documents, mais on n'autorise personne les hberger directement. On interdit par

ailleurs toute utilisation commerciale de nos documents toute modification ou

reproduction sans notre accord.

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Edition : 2012


Sommaire :

Remerciement : ....................................................................................................................................... 3

Trs important : ....................................................................................................................................... 4

Sommaire : .......................................................................................................................................... 5

Algbre : ............................................................................................................................................ 10

Contrle 1 Algbre 2 SMP, SMA, SMC - 2004/2005 ................................................................. 10

Exercice 1 ....................................................................................................................................... 10

Exercice 2 ....................................................................................................................................... 10

Exercice 3 ....................................................................................................................................... 10

Corrig : Contrle 1 Algbre 2 SMP, SMA, SMC - 2004/2005 .................................................. 12

Exercice 1 ....................................................................................................................................... 12

Exercice 2 ....................................................................................................................................... 13

Exercice 3 ....................................................................................................................................... 15

Contrle 2 Algbre 2 SMP, SMA, SMC - 2008/2009 .................................................................. 17

Exercice 1 ....................................................................................................................................... 17

Exercice 2 ....................................................................................................................................... 17

Corrigs : Contrle 2 Algbre 2 SMP, SMA, SMC - 2008/2009 .................................................. 18

Exercice 1 ....................................................................................................................................... 18

Exercice 2 ....................................................................................................................................... 20

Contrle Rattrapage Algbre 2 SMP-SMA-SMC 2008 /2009 ..................................................... 23

Exercice 2 : ..................................................................................................................................... 23

Exercice 3 : ..................................................................................................................................... 23

Exercice 4 : ..................................................................................................................................... 23

Soi la matrice : ............................................................................................................................. 23

Corrigs Contrle Rattrapage Algbre 2 SMP,SMA,SMC 2008 /2009 ....................................... 24

Exercice 2 : ..................................................................................................................................... 24

Exercice 2 : ..................................................................................................................................... 24

Extrait de Contrle 2 Algbre 2 SMP- SMC - SMA -2005/2006 ................................................. 27

Exercice I : ...................................................................................................................................... 27

Corrigs de LExtrait de Contrle 2 Algbre 2 SMP- SMC - SMA -2005/2006 ........................... 28

Exercice I : ...................................................................................................................................... 28

Contrle 2 Algbre2 SMP-SMA-SMC - 2006/2007 .................................................................... 30

Exercice I : ...................................................................................................................................... 30

Edition : 2012


Corrigs de Contrle 2 Algbre2 SMP-SMA-SMC - 2006/2007 ................................................. 31

Exercice I : ...................................................................................................................................... 31

TD de l'algbre diagonalisation des matrices carres ............................................................... 34

Exercice 1 : ..................................................................................................................................... 34

Exercice 2 : ..................................................................................................................................... 34

Exercice 3 : ..................................................................................................................................... 34

Exercice 4 : ..................................................................................................................................... 34

Exercice 5 : ..................................................................................................................................... 35

Corrigs TD de l'algbre diagonalisation des matrices carres ................................................. 36

Exercice 1: ...................................................................................................................................... 36

Exercice 2 : ..................................................................................................................................... 37

Exercice 3 : ..................................................................................................................................... 38

Exercice 4 : ..................................................................................................................................... 40

Exercice 5 : ..................................................................................................................................... 43

Analyse : ............................................................................................................................................ 46

Contrle 1 Analyse 2 SMP-SMC Anne 2005/2006 .................................................................. 46

Exercice I : ...................................................................................................................................... 46

Exercice II: ...................................................................................................................................... 46

Exercice III : .................................................................................................................................... 46

Corrigs Contrle 1 Analyse 2 SMP-SMC Anne 2005/2006 .................................................... 47

Exercice I : ...................................................................................................................................... 47

Exercice II : ..................................................................................................................................... 47

Exercice III: ..................................................................................................................................... 50

Contrle 1 Analyse 2 : Anne 2008 /2009 ................................................................................. 53

Exercice 1 ....................................................................................................................................... 53

Exercice 2 ....................................................................................................................................... 53

Exercice 3 (4pts) ............................................................................................................................ 53

Corrigs Contrle 1 Analyse 2 : Anne 2008 /2009 .................................................................. 54

Exercice 1 ................................................................................................................................... 54

Exercice 3 ....................................................................................................................................... 57

Electricit : ......................................................................................................................................... 59

Contrle I Electricit I SMP-SMA-SMC 2004/2005 .................................................................... 59

Exercice I ........................................................................................................................................ 59

Edition : 2012


Exercice II : ..................................................................................................................................... 59

Corrigs Contrle I Electricit I SMP-SMA-SMC 2004/2005 ...................................................... 61

Exercice I : ...................................................................................................................................... 61

Exercice II : ..................................................................................................................................... 63

Contrle 2 lectricits 1 2007 /2008 ........................................................................................ 69

Exercice 1 ....................................................................................................................................... 69

Exercice 2 ....................................................................................................................................... 69

Corrigs Contrle 2 lectricits 1 2007 /2008 .......................................................................... 70

Exercice 1 ....................................................................................................................................... 70

Exercice 2 ....................................................................................................................................... 72

Contrle 2 Electricit 1: SMP-SMC 2006/2007 ....................................................................... 106

Exercice I : .................................................................................................................................... 106

Exercice 2 : ................................................................................................................................... 106

Corrigs Contrle 2 Electricit 1: SMP-SMC 2006/2007 ........................................................ 106

Exercice I : .................................................................................................................................... 106

Exercice II : ................................................................................................................................... 107

Contrle 2 dlectricit 1 SMPC & SMA 2008-2009 ............................................................... 110

Exercice I : .................................................................................................................................... 110

Exercice II ..................................................................................................................................... 110

Corrigs Contrle 2 dlectricit 1 SMPC & SMA 2008-2009 : ............................................... 111

Exercice I : .................................................................................................................................... 111

Exercice II ..................................................................................................................................... 115

Exercice .................................................................................................................................... 117

Exercice 1 : ................................................................................................................................... 117

Corrigs de lExercice : ............................................................................................................ 118

Optique Gomtrique : ................................................................................................................... 122

Contrle 2 optiques gomtriques : SMP-SMA-SMC 2004 ..................................................... 122

EXERCICE I : .................................................................................................................................. 122

EXERCICE II : ................................................................................................................................. 122

EXERCICE III : ................................................................................................................................ 122

Corrigs Contrle 2 optiques gomtriques : SMP-SMA-SMC 2004 ....................................... 124

: ................................................................................................................................................ 124

EXERCICE I : .................................................................................................................................. 124

Edition : 2012


EXERCICE II : ................................................................................................................................. 125

EXERCICE III : ................................................................................................................................ 126

Contrle de loptique gomtrique SMP-SMA-SMC 2006 ...................................................... 128

Exercice I : .................................................................................................................................... 128

Exercice II : ................................................................................................................................... 128

Exercice III : .................................................................................................................................. 128

Corrigs de Contrle de loptique gomtrique SMP-SMA-SMC 2006 ................................... 130

Exercice I : .................................................................................................................................... 130

Exercice II : ................................................................................................................................... 131

Contrle II optique gomtrique : 2007Filires : SMP-SMA-SMC ........................................... 133

Exercice I : .................................................................................................................................... 133

Exercice II : ................................................................................................................................... 133

Exercice III : .................................................................................................................................. 133

Corrigs de Contrle II optique gomtrique : 2007Filires : SMP-SMA-SMC ....................... 135

Exercice I : .................................................................................................................................... 135

Exercice II : ................................................................................................................................... 136

Exercice III : .................................................................................................................................. 137

Contrle 2 optiques gomtriques SMP-SMA-SMC 2007/2008 ............................................. 139

Question de cours : (4pts) ........................................................................................................... 139

Problme :(16 pts) ....................................................................................................................... 139

Corrigs : Contrle 2 optiques gomtriques SMP-SMA-SMC 2007/2008 ............................. 140

Question de cours : ..................................................................................................................... 140

Problme : ................................................................................................................................... 140

Chimie Gnrale : ............................................................................................................................ 143

Extrait de contrle de chimie SMP-SMA-SMC2004 ................................................................. 143

Corrigs Extrait de contrle de chimie SMP-SMA-SMC2004 .................................................. 144

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Edition : 2012


Algbre :

Contrle 1 Algbre 2 SMP, SMA, SMC - 2004/2005

Exercice 1

Soit la matrice (

+

1) Dterminer les valeurs de A et les sous-espaces propres associs.

2)

a) Montrer que A est diagonalisable sur .

b) Dterminer une matrice inversible telle que soit

diagonale.

Exercice 2

Soit la matrice (

+ ou

1) Dterminer les valeurs propre de et les sous-espace propre associs .

a) Monter que est diagonalisable sur .

b) Dterminer une matrice inversible telle que soit

diagonale.

2) Calculer pour tout .

3) Soient les suites relles dfinies par les relations :

{

Avec .

On note (

+ pour tout .

a) Monter que ;

.

b) En dduire en fonction de n .

Exercice 3

Soit le -espace vectoriel [X]= [X] : muni de sa base

canonique .

Soit lendomorphisme de [X] dfini par :

Ou est le polynome driv de P.

1) Dterminer la matrice de relativement la base .

Edition : 2012


2) est-il diagonalisable sur ? Justifier votre rponse.

Edition : 2012


Corrig : Contrle 1 Algbre 2 SMP, SMA, SMC - 2004/2005

Exercice 1

Soit la matrice (

+

1) On chercher les valeurs propres de A :

On a de

|

| |

|

|

| |

|

( )

( )

donc ; 0 est une valeur propre double et 1 une valeur propre simple.

Soient et sa base canonique.

{

Avec ; .

{

{

2)

Edition : 2012


a) Toutes les racine de sont dans et on a et

donc A est diagonalisable sur .

b) est une base de . soit (

+ la matrice

Alors (

+

Exercice 2

Soit la matrice (

+ ou

1) de

de |

|

|

|

Donc :

Trois valeurs propre distinctes simple ; m , m+1 et m+2.

Soient et sa base canonique.

{

{

,

Avec

{

Avec

Edition : 2012


{

Avec

2)

a) admet 3 valeurs propres distinctes dans donc elle est diagonalisable

sur .

b) est une base de soit (

+

La matrice de passage de . Alors on a :

(

+

3) On Calcule pour tout .

(

+et (

+

Avec : (

+ , {

{

(

+ la matrice inverse de .

On a

Avec : (

+ alors ;

(

+(

+(

+

(

)(

+

Edition : 2012


(

)

4)

a) On a (

+ Et (

+ pour tout .

Avec (

+ et

Avec (

Donc :

, on peut le obtenir par rcurrence .

b) on a

. Avec (

+

et (

+ (

+ aussi (

)

alors : (

+ (

)(

+

(

)

Donc : {

Exercice 3

1) .

On a ; ; par siute on a

(

+ .

Edition : 2012


de |

|

2)

est une valeur proper triple de .

{

avec

On a , donc nest pas diagonalisable sur .

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Contrle 2 Algbre 2 SMP, SMA, SMC - 2008/2009

Exercice 1

On munit de sa base canonique et on considre lendomorphisme de donn

par :

Soit ( + (

+ (

+

1) Donner la matrice de relativement

2) Calculer limage pour un vecteur . / de

3) Montrer que est une base de

4) Soit P la matrice de passage de . Donner P.

5) Calculer

6) Exprimer en fonction de

7) En dduire linverse de P.

8) Dterminer la matrice de relativement .

9) Dterminer le noyau de limage de .

Exercice 2

Soit (

+

1) Vrifier que le polynme caractristique de est

2) Dterminer les valeurs propres de

3) Pour chaque valeur propre se determiner le sous-espace propre cerrespondant.

4) La matrice est-elle diagonalisable sur ? Justifier votre rponse.

5) Dterminer tel que soit diagonale.

6) Calculer pour

Edition : 2012


Corrigs : Contrle 2 Algbre 2 SMP, SMA, SMC - 2008/2009

Exercice 1

la base canonique de

est un endomorphisme de (cas particulier dune application linaire

1) La matrice relative de :

(

+

2) Pour . / de on a z

Alors . /

Donc,

3) On montre que est une base de

on a: {

{

Donc la famille est libre.

On peut calculer le dterminant de

|

| |

| |

|

On a , et puisque est libre alors est une base de

4) : La matrice de passage de la base :

On a

Edition : 2012


(

+

5) ( + (

+ (

+ (

+ ( +

6)

Or

(

)

7) linverse de est la matrice de passage de la base la base

On a

Alors

(

)

8) La matrice de relativement

On peut la calculer par deux mthodes

( + (

+ car on a deja montrer que .

/ (

+

( + (

+ ( +

(

*

( +

( +

(

* (

* (

*

Edition : 2012


Alors

(

)

(

+

Le noyau de

e

{ (

*}

{(

*}

(Avec (

))

di e

Li age de :

{

Et puisque est libre alorsdi .

Exercice 2

(

+

1) 0n a de

|

|

|

|

Edition : 2012


2) Les valeurs propres de

On a

Alors 1 est une valeur propre double de A

2 est une valeur propre simple de A

3) -Pour

Soit la base canonique de

{(

+. / .

/ }

{

}(avec )

-Pour

{(

+. / .

/ } {

(avec )

4) On a = le nombre de multiplicit de la valeur propre 1

et = le nombre de multiplicit de la valeur propre 2

Donc A es diagonalisable su

5) La famille est libre et , donc est une base de

.

Edition : 2012


Donc il existe une matrice P : la matrice de passage de la base telle que (P est

une matrice inversible et son inverse est la matrice de passage de

(

+ On a{

{

{

(

+Alors (

+

6) On a

On montre que (

+

(

+(

+(

+ (

+(

+

(

+

Edition : 2012


Contrle Rattrapage Algbre 2 SMP-SMA-SMC 2008 /2009

Exercice 2 :

Soit l endomorphisme de donn par . Calculer la matrice de relativement

a la base

Exercice 3 :

(

+

1) Calculer le polynme caractristique de

2) a matrice A est elle inversible ?

Exercice 4 :

Soi la matrice :

(

+

1) Calculer le polynme caractristique de

2) Montrer que les rels sont les valeurs propres de

3) Pour chaque valeur propre, dterminer le sous espace propre correspondant.

4) Montrer que la matrice est diagonalisable.

5) Dterminer tel que soit diagonale.

6) Calculer pour un entier

Edition : 2012


Corrigs Contrle Rattrapage Algbre 2 SMP,SMA,SMC 2008 /2009

Exercice 2 :

Lendomorphisme de

Soit la base

On dtermine la matrice de f dans la base

On

(

+

Exercice 2 :

(

+

Le polynme caractristique de la matrice :

(x) = det (A-X ) = |

|

= |

|

=|

| = -X|

|

= -X(-1+X2 ) = -X(X-1)(X+1)

2) la matrice A nest pas inversible. Car 0 est une valeur propre de A en effet : A est

diagonalisable on peut former une base B tel que

A = DP avec D = (

+

On a et puis que les deux matrice sont semblable donc

Don A nest pas inversible.

Edition : 2012


A(

+

1)- le polynme caractristique de A.

(X) = det (A-X ) = |

|

= |

|

= |

| = (X+1) |

| = (X+1)(X2-1-3)

= (X-1)(X2-4) = (X+1)(X+2)(X-2) = 0

(X) = (X+1)(X+2)(x-2) = 0

3)- on a (X) = (X+1)(X+2)(x-2) = 0

Alors les valeurs propre de A sont : =2 , =-2 , = -1

4)- la matrice A possde 3 valeurs propre simple donc elle est diagonalisable sur car les valeurs propret

sont simple .

5)- pour =2 soit Bc (e1,e2,e3) la base canonique de

On a E2= {AV = 2V / V } (

+. /=2 .

/ {

z = x et 2 = x

E2={x=z =

y / x,y,z } = {(x,

x,z):/x }=vect {(2,1,2)}=vect {V1} avec V1=(2,1,2).

E2= { AV = -2V / V } (

+. /= -2 .

/ {

z = x

{

y =-2 x et y = - 2z x = z = -1/2y

E2 {(2y,-y ,2y)/y }=vect {2,-1,2)} v2(2,-1,2)

E-1 = { AV = -V / V } (

+. /= -.

/

Edition : 2012


{

{

x=-y et z=0

E-1 {(x,x ,0)/x }=vect {1,-1,0)} v3(1,-1,0)

Alors P = (

+

On a {

{

e 3=

(V2-V1+V2-2V3+

V- -

V2)

=

(-

V1+

V2 - 2 V3) = -

V1 +

V2 V3

= (

, =

(

+

AP = (

+

6)- on a D = AP A = PD = P

On a = (

+ n

=

(

+(

+(

+

=

(

)(

+

=

(

)

Edition : 2012


Extrait de Contrle 2 Algbre 2 SMP- SMC - SMA -2005/2006

Exercice I :

Soit la matrice =(

+

1) Jordaniser la matrice sur

2) On considre le systme diffrentiel homogne suivant :

( ){

a) Rsoudre le systme ( ).

b) Trouver un systme fondamental de solutions de ( ).

3) Rsoudre le systme diffrentiel suivant :

( ) {

Edition : 2012


Corrigs de LExtrait de Contrle 2 Algbre 2 SMP- SMC - SMA -2005/2006

Exercice I :

=(

+

1) on dtermine les valeurs propre de A.

On a |

|= |

|

= ( )

Alors a pour des valeurs propres :

1 valeur propre dordre double

2 valeur propre dordre simple

Soit la base canonique de

,

-(

+. / .

/ {

,

On a au nombre de multiplicit de la valeur propre 1

nest pas diagonalisable on peut trianguler

(

+. / .

/ {

,

On choisit un vecteur tel que soit |

|

donc on peut former une base

Tel que

: est la matrice triangulaire

: la matrice de passage de la base a la base

Edition : 2012


(

+on a {

donc (

+

(

+(

+(

+ (

+(

+

(

+

2)

{

On pose (

+ et (

)

(

+(

+

On a => avec (

+ et (

)

(

)

(

+(

+{

{

Alors {

=>(

+ (

+(

+

Do {

et on pose

Edition : 2012


Contrle 2 Algbre2 SMP-SMA-SMC - 2006/2007

Exercice I :

Soit la matrice A=(

+

1)

a) Dterminer les valeurs propres de A et les sous espaces propres associs. b) En deduire que A diagonalisable sur R et diagoniliserA .

c) Calculer ( pour tout n1. 2) On considre les suites ) definies par leurs termes initiaux

et par les relations de rcurence :

{

Calculer en fonction de n ;pour tout n1. 3)

a) Montre que A vrifi la relation suivante :

b) Donner lexpression de en fonction de

4) Rsoudre le systme diffrentiel suivant :

{

Edition : 2012


Corrigs de Contrle 2 Algbre2 SMP-SMA-SMC - 2006/2007

Exercice I :

A=(

+

1)

a) Les valeurs propres de A

On a |

| |

|

alors les valeurs propres de A sont : e Les ss-espaces propres associs aux valeurs propres sont :

={AV =V / V }

(

+. / .

/

{

= {(x,0,-x)/x } = vect{(1,0,-1)} = vect{ } avec (1,0,-1)

={AV=2V / V }

(

+. / .

/

{

= {(0,y,0)/y } = vect{(0,1,0)} = vect{ } avec =(0,1,0)

={AV =3V / V }

(

+. / .

/

{

avec (1,0,1)

b) A est diagonalisable car tous les valeurs propres de F sont simple

On a P=(

+

P est la matrice de passage de la base canonique la base B=

B est une base alors P admet un inverse

est la matrice de passage de la base B Bc

Edition : 2012


On a : {

{

et par suite : =(

,

et

c)

on a :

(

+(

+(

+

=

(

+(

+

=(

+

2) on a

{

On pose : (

+ (

+

(

+(

+=A

Donc : A

A , A

.

(

+ (

+(

+ ;(

+ ( +

{

; {

;

3)

a) - On a : =(3-X)(2-X)(1-X) = 0

= - +6 -11 +6 = 0 On a donc : = 0

Alors :

Edition : 2012


b) Lexpression de en fonction de :

On a : Alors : A(

Donc :

4)

on a :

{

On pose :

Y=(

+ et (

)

(

+(

+= A Y A Y

tq : (

+

{

{

Y=PZ=(

+(

+ (

+

{

Edition : 2012


TD de l'algbre diagonalisation des matrices carres

Exercice 1 :

Les matrices sont-elles diagonalisables ?

(Prciser si cest dans R ou dans C )

(

+ (

+

Exercice 2 :

Soit le -espace vectoriel deg de sa base canonique B=(1,X, ).

Soit f lendomorphisme de par :

P' +P

O P' est le polynme driv de P.

1) Dterminer la matrice de relativement la base B. 2) est-il diagonalisable sur ? Justifier votre rponse.

Exercice 3 :

*Soit la matrice (

+

1) Dterminer les valeurs propres de A et les sous-espaces propres associs. 2) a) Montrer que A est diagonalisable sur .

b) Dterminer une matrice inversible P telle que AP soit diagonale.

Exercice 4 :

Soit la matrice (

+ o m

1) Dterminer les valeurs propres de et les sous-espaces propres associs. 2) a) Montrer que est diagonalisable sur R.

b) Dterminer une matrice inversible P telle que P soit diagonale.

3) Calculer pour tout n

Edition : 2012


4) Soient les suites relles dfinies par les relations :

{

Avec : , et .

On note =(

+ pour tout n

a) Montrer que :

b) En dduire en fonction de n.

Exercice 5 :

Soit la matrice (

+o .

1) Dterminer les valeurs propres de leurs ordres de multiplicit. 2) a) Pour quelle valeur de , la matrice et diagonalisable ? Justifier votre rponse.

b) Dans ce cas diagonaliser et calculer pout tout n 1.

Edition : 2012


Corrigs TD de l'algbre diagonalisation des matrices carres

Exercice 1:

(

+ on dtermine le polynme caractristique de la

matrice A . = det (A - X ) = 0

|

|= (1-X)|

|= (1-X)( ) = 0 a

A possde une valeur propre 1 simple dans A nest pas diagonalisable dans car le sous espace de la valeur propre 1 est de dim = 1 on peut pas cre une base propre de

.

A possde 3 valeurs propre simple dans (1 , i , -i ) .

A est diagonalisable dans chaque valeur propre on a une vecteur propre cre une base B ( )

tel que : D= A P = (

+

P : la matrice de passage de la base canonique la base B.

: la matrice de passage de B

(

+ on dtermine le polynme caractristique de la matrice B .

= det (B - X ) = 0

|

| = |

|

= |

| = (1-X) |

|

= (1-X)( 6X + 5) = (1-X)(X-1)(X-5)

B :

o 1 racine double ( ) o 5 racine simple ( )

tout les racines on peut diagonaliser B dans .

Edition : 2012


soit la base canonique dans

o

= { / A = } {

{

x = - (2y+z)

{ (x,y,z) / x = - 2y z } = {(-2y z , y , z) / y,z ) }

{ y (-2,1,0) + z (-1,0,1) / z,y ) }

= vect { (-2,1,0) , (-1,0,1) }

dim = 2 = ordre de la valeur propre 1 B est diagonalisble sur .

= = { / A = } {

{

,

x = y = z

vect { (1,1,1) } ; dim = 1

soit B une base de

la matrice de passage de est P = (

+

donc : D= B P = (

+

Exercice 2 :

Edition : 2012


[x]= { P [x] : deg P 2 } dans la base B=(1,X, )

f es une endo o phis e de *x+ (cas particulier dune application linaire).

f(P)= P + P [x]

1) La matrice de f dans la base canonique B , M(f,B)

M(f,B) =

f

(

+

2) On dtermine la polynme caractristique de M(f,B)

= det (M - X ) = |

| = (1-X) )|

|

= = 0

M(f,B) a une valeur propre 1 triple .

Soient B la base canonique de et B une base de B( ) .

On a = { MV = 1 V / V( ) }

(

+(

) (

) {

= Vect{ } = Vect {(1,0,0)}

di = 1 < Lordre de la valeur propre.

nest pas diagonalisable.

Exercice 3 :

(

+

1) Les valeurs propres de A :

On dtermine = det (A - X ) = 0

Edition : 2012


|

| = |

|

|

|

x.|

|= x.(-(2+x)(x-3)-6)

Donc on a :

1= 0 valeur propre double de A

2= 1 valeur propre simple de A On considre la base canonique de

=

{

ec ; ( ) sont libres.

=

{

{

{

=

ec .

On a dim1= 2 = lordre de multiplicit de 1, et dim 2 = 1 = lordre de multiplicit de 2.

Donc A est diagonalisable sur .

Edition : 2012


2) b)- Soit la base B tel que . La matrice de passage de la base Bc la base B est P :

(

+et on a B une base de det P 0, donc P est

inversible et son inverse est la matrice de passage de la base B la base Bc.

Do :

D = = (

+

Exercice 4 :

(

+ou m

1) Les valeurs propre de :

On a : = det ( - X ) = 0

= |

| = (m+1-X))|

|

= (m-X)(m+1-X)(m+2-X)

Donc :

valeur propre simple = m+1 valeur propre simple = m+2 valeur propre simple

Les sous espaces propre de A :

On considre la base canonique dans

= { A = m / (x,y,z) }

Edition : 2012


(

+( * = m(

* {

x=y et y=0

= Vect { } = Vect {(1,0,0)}

= = { A = (m+1) / }

(

+( * = (m (

* {

,

= Vect { } = Vect {(1,0,1)}

= = { A = (m+2) / }

(

+( * = (m (

* {

,

= Vect { } = Vect { }

2) a)

possde 3 valeurs propre simple

Et on a chaque valeur propre une vecteur propre associ cette valeur.

Donc est Diagonalisable sur .

b)

soit la base B ( ) ; , (1,0,1) et (0,0,1)

P : la matrice de passage de la base de la base B

P= (

+ on a B est une base de dest P 0

Edition : 2012


Donc il existe linverse de P .

est la matrice de passage de la base B la base

Do : = P = (

+

3)

On a = P = P

=

= P

Pour m = -2 on a : =

On dtermine la matrice de passage de la base B la base

On a :{

{

Donc : =

(

+

= (

+

= (

+(

+(

+

= (

)(

+ = (

)

4) sont des suites relles.

{

Avec : {

= ( * ;

Edition : 2012


= (

* = (

+ ( * =

=

On a :

=

= = =

= = =

.

=

On peut dmontrer par rcurrence.

b) On a

( * = (

) ( * avec : (

* (

*

{

{

Exercice 5 :

(

+ avec

1) On dtermine = det (A - X ) = 0.

|

| = |

|

|

|

Edition : 2012


|

|= (2-x)(1-x)|

|= (1-x)(2-x)

Donc les valeurs de A sont :

1= 1 valeur propre double de A

2= 2 valeur propre simple de A

2) a)- soit la base canonique de

= E1 =

{

Si

ec ; ( ) sont libres.

dim = 2 = le nombre de multiplicits de 1 dans ce cas A1 est diagonalisable.

Si x = y = -z

ec

dim 1 nombre de multiplicits de 1ans ce cas A nest pas diagonalisable.

b) pour on a

ec

{

{ - } = vect{ } = vect {(0,1,-1)}

est une base de car dim + dim = 2+1 =3 et ( .

Donc il existe une matrice D semblable A1tel que D= A1 P avec P est la matrice de passage de la base

Bc la base B et est son inverse ( est la matrice de passage de la base B la base Bc)

Edition : 2012


(

+on a {

{

(

+

On a D= A1 P A1 = PD (A1 )n= (PD n PDn

On a (

+ Dn (

+

= (

+(

+(

+ (

+(

+

(

+

Edition : 2012


Analyse :

Contrle 1 Analyse 2 SMP-SMC Anne 2005/2006

Exercice I :

Soit une fonction numrique de classe sur . On considre dans

la fonction dfinie parf

.

1- Vrifier que f est homogne. Quel est son degr ?

2- Montrer que f vrifier

.

Exercice II:

On considre la fonction f dfinie sur par :

f {

1- Etudier la continuit de f.

2- Calculer et

pour .

3- Montrer que et

.

4- Est-ce que et

sont continues ?

5- Est-ce que f est diffrentiable ?

Exercice III :

On considre la forme diffrentielle suivante :

d

1- Vrifier que nest pas exacte.

2- Trouver un nombre rel tel que la fonction soit un facteur

intgrant de dans .

3- En dduire la rsolution de lquation diffrentielle .

Edition : 2012


Corrigs Contrle 1 Analyse 2 SMP-SMC Anne 2005/2006

Exercice I :

Soit f

Avec une fonction numrique de sur IR

1- Soit on a f (

) (

)

Donc f f

Do f est homogne de degr gal 1

2-

( (

)* (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

* (

)

(

)+

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( (

)*

(

)

(

)

* (

)+

(

)

Donc

(

)

(

)

Exercice II :

Soit

f {

1- La continuit de f

Les fonctions h h , g g

Et

sont continues sur

Donc f est continue sur

La continuit de f en (0,0)

On pose { cos sin

Alors f f

sin cos

Edition : 2012


Par suite li li

sin cos

Do li

On a alors li

Donc f est continue au point (0,0).

Conclusion : f est continue sur et de plus f est continue au point

(0,0), on dduit alors que f est continue sur .

2- Calculons et

pour .

Calcul pour .

.

/

.

/

(

)

.

/

.

/

Calcul pour .

.

/

.

/

(

)

.

/

.

/

.

/

3- Montrons que et

Calcul de

Edition : 2012


li

li

Calcul de

li

li

4- Continuit de

On a

{

.

/

Continuit de

Pour

On a et sont des fonctions

continues sur

Donc

est continue sur

Do est continues sur

Pour

Calculons li

Pour cela, utilisons les coordonnes polaires :

Posons { cos

sin

Alors li li

li

li

sin

Alors li

Donc la fonction est continue au point (0,0)

{

Donc est continue sur .

Continuit de

Edition : 2012


Pour

On a et sont des fonctions

continues sur

Do est continue sur

Pour

Calculons li

Pour cela, utilisons les coordonnes polaires :

De mme posons { cos

sin

Alors li li

li

( sin

On a alors li

Donc la fonction est continue au point (0,0)

{

Donc est continue sur .

5- et

existent et sont continues sur donc f est diffrentielle sur .

Exercice III:

d

1- On a

et

Et on a

Donc nest pas exacte.

2- est un facteur intgrant de lexistence dune fonction f diffrentielle

tel que df

Exacte

( )

Donc

Edition : 2012


(( ) )

(( ) )

(( ) )

Ou

Donc Ou (impossible car (x>0) et (y>0))

Alors

Facteur intgrant de

3- facteur intgrant de lexistence de f diffrentielle tel que

df

f d

f d

(

)

(

)

{

{

{

{

{

Et par suite

,

Edition : 2012


On a df

Donc

Conclusion : Les solutions de lquation diffrentielle sont donne par

Edition : 2012


Contrle 1 Analyse 2 : Anne 2008 /2009

Exercice 1

Soit log .

1) Vrifier que (0,0) est un point critique de .

2) Ecrire la formule de Taylor lordre 2 de au point (0,0).

3) Prciser la nature de ce point critique.

Exercice 2

On considre la fonction dfinie dans par :

{ sin (

*

1) Calculer et

pour tout .

2) Etudier la continuit de et

dans ?

3) est-elle diffrentiable dans ? Justifier votre rponse.

4) Etudier lexistence de et

.

5) Montre que li

sin (

) .

6) En dduire que possd un dveloppement limit lordre 2 au point (0,0)

Exercice 3 (4pts)

On considre lquation

(E)

On pose .

1) Calculer

en fonction de

.

2) Rcrire lquation (E) en fonction de .

Edition : 2012


Corrigs Contrle 1 Analyse 2 : Anne 2008 /2009

Exercice 1

Soit log .

1) on calcul

.

log

log

On a :{

le point est un point critique de

2) Formule de Taylor lordre 2 de au point .

On a :

( )( )

( )( )

( )

;

et

Or ; on a la formule de Taylor scrit :

(

)

Avec : li 0

Donc :

3) On a :

Or admet un minimum en (0,0).

Exercice 2 (12pts)

Edition : 2012


On considre la fonction dfinie dans par :

{ sin (

*

1)

Pour tout

On a : sin (

)

cos (

)

Et :

cos (

)

Pour tout

On a : li

li

li

sin

Or |sin

| | sin

| | | avec li |

|

Donc : li

si

On a : li

li

Dou : {

sin (

)

cos (

)

{

cos (

*

2) la continuit de et

dans

La fonction est continue en tout point (x,y)

Car cest la somme, produit, rapport et compos des fonctions continues sur \

{(0,0)} .

Pour

On a | | | | | | |sin

| |

| |cos

|

Avec | | |sin

| | |

Edition : 2012


Et |

| |cos

| | | |

| | |

Car |sin

| |cos

| et

Alors | | | | | | | | , li | | |

| | |

est continu sur

est continu en tout point car

est la somme ,

produit rapport et compos des fonction continues sur 0,0)} .

Pour on a | | |

cos (

)|

| | |

cos (

*|

On a |cos (

)| et |

|

car

Alors | | | | | | | | et li | |

A do

Donc :

sont continus sur .

3) est diffrentiable dans car admet des drives partielles

et

drives sont continus sur

4)

li

li

(

)

(

)

li

sin (

) cos (

)

on a : |sin (

)| | sin (

)|

Or li li

sin (

)

Avec li

cos (

)

en effets : soit

,

Edition : 2012


on a : li li mais ,cos

cos et cos

cos

.

La limite nexiste pas donc nexiste pas

li

donc

5)

on a |

sin (

)|

|sin (

)|

or li donc li

sin (

)

6)

on a sin (

)

on pose

sin (

) on a li

avec li

donc admet un dveloppement limit au voisinage de (0,0) lordre 2

scrit : avec li

Exercice 3

On considre lquation

: (E)

On pose .

1)

on calcule

en fonction de

{

{

donc {

Edition : 2012


2)

on a

(

donc la rsolution de lquation diffrentielle

est quivalente la

rsolution du

Edition : 2012


Electricit :

Contrle I Electricit I SMP-SMA-SMC 2004/2005

N.B. pour lexercice I, rpondre brivement mais de manire prcise.

Exercice I

A- Soit un conducteur plein (C) qui a la fore dun ellipsode (voir la figure 1-a). Ce

conducteur (C) porte une charge Q positive, isol et en quilibre lectrostatique.

Rpondre aux questions suivantes en justifiant vos rponses :

1- Le champ est-il nul lintrieur de (C)?

2- Le potentiel est-il le mme en A et en A ?

(Les points A et A tant deux points de la surface du conducteur (C) (voir la

figure 1-a).

3- La densit de charge est-elle positive, ngative ou nulle ?

4- La densit de charge est-elle la mme en A et en A ?

5- Les modules des champs au voisinage des points A et A sont-t-ils les

mme ?

B- On approche du conducteur (C) une sphre conductrice initialement neutre et

isole (figure 1-b). lensemble des deux conducteurs est en quilibre

lectrostatique.

1- Les conducteurs (C) et (S) sont-ils en influence totale ? justifier votre

rponse.

2- Illustrer sur le mme schma :

a- La rparation des charges sur les conducteurs (C) et (S).

b- Une reprsentation des lignes de champ entre les deux conducteurs.

3- Comparer les valeurs du potentiel en A et au point B.

4- Que se passera-t-il si on relie la sphre (S) au sol.

Exercice II :

On considre le circuit de la figure 2-a

1- En appliquant les lois de Kirchhoff, dterminer les courants , et en fonction

de E, et .

Pour les questions suivantes, on prendra = = =R

2- On branche aux bornes de la rsistance un diple (E, r) (voir la figure 2-b), par

lapplication du thorme de Thevenin, dterminer le courant I traversant le diple

(E, r) (on donnera lexpression littrale de I).

3- On donne E = 40V, E = 10V, r = 2 et R = 24 , calculer numriquement le courant

I, le diple (E, r) est-il un gnrateur ou un rcepteur ? Justifier votre rponse.

4- Calculer la puissance P consomme par le diple (E, r).

Edition : 2012


Edition : 2012


Corrigs Contrle I Electricit I SMP-SMA-SMC 2004/2005

Exercice I :

A-

1- Oui le champ lintrieur du conducteur est nul.

Parce que :

- Le champ est nul lintrieur dun conducteur en quilibre.

Ou - puisque les charges est immobiles lintrieur des conducteur donc la

somme des forces lectriques est nulle ( = 0)

2- Oui le potentiel est le mme en A et A.

Parce que :

- Le conducteur est en quilibre lectrostatique ce qui implique et

puisque on a V = donc V = constante, do =

3- La densit des charges volumique est nulle.

Parce que :

- Daprs la relation de la forme locale du thorme de Gausse

et puisque E = 0 lintrieur du conducteur,

Donc

et par suite = 0 ( # 0).

4- La densit de charge en A et en A nest pas la mme.-

Parce que :

- La forme de la surface en A et en A nest pas la mme.

Ou - Le rayon de la courbure en A et en A nest pas le mme.

5- Le champ au voisinage de A et A nest pas le mme.

Parce que :

- Daprs le thorme de Coulomb, le champ au voisinage dun point du

conducteur en quilibre dpend de la densit en ce point, et comme

(A) # (A) ce qui est implique que les champs au voisinage de A et A

sont diffrents.

B-

1- Non, les deux conducteurs sont en influence partielle.

Parce que :

- Aucun conducteur nentoure pas lautre.

Ou - toutes les lignes de champ partant du conducteur (C) narrivent pas totalement au

conducteur (S).

2- a la rpartition des charges sur les deux conducteurs.

Edition : 2012


Les charges positives du conducteur (C) attirent les charges ngatives du conducteur (S) et

repoussent les charges positives.

b-La reprsentation de quelques lignes de champ.

Les lignes de champ partent de (C) perpendiculairement la surface et aboutissent (S)

galement perpendiculairement la surface.

3- Le potentiel en B est inferieur le potentiel en A (V(A)>V(B))

Parce que :

- De A vers B les potentiels dcroissants ( V)

4- Si on relie (S) au sol les charges positives du conducteur (S) vont scouler vers la

terre.

Edition : 2012


Exercice II :

1- Application des lois de Kirchhoff

(Loi des nuds et loi des mailles) au circuit de la figure 2-a.

-Loi des nuds :

Nud A

Nud B (mme quation)

Donc = 0 (1)

-Loi des mailles :

Dans le circuit il y a deux mailles indpendantes (I) et (II).

- Pour la maille (I) on a

-E + = 0

On met E car on rencontre le ple (-) en premier.

Si on rencontre le ple (+) on premier on met +E.

Donc = E (2)

- Pour la maille (II) on a (3)

On met le signe (-) devant car le sens de parcours est diffrent que celui du courant .

Edition : 2012


On met le signe (+) devant car le sens de parcours est le que celui mme du courant .

Les relations (1), (2) et (3) forment le systme suivant :

{

(2)

(2)

Dans (1)

(

) (1)

Dans (1) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

-Pour

(2)

(2)

(1) (

)

(2) dans (1)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

-Pour

On a

Edition : 2012


(

) (

)

Mthode :

On a

{

(

+(

+ ( +

On pose I = (

+ est la matrice associe au systme.

Donc

,

,

Avec = det I le dterminant associ au systme.

|

| |

|

|

|

Et |

|

Pour : on a

Et puisque |

| En remplaant la premire colonne ( + par (

+

Et on trouve que

Ce qui donne

(

)

Pour : on a

Et puisque |

| En remplaant la deuxime colonne (

+ par ( +

Donc on trouve que

Ce qui donne

(

)

Pour : on a

Et puisque |

| En remplaant la troisime colonne (

+ par ( +

Edition : 2012


Donc on trouve que

Ce qui donne

Par suite on prendra

2- Application du thorme de Thevenin

On enlve la branche AB contenant le diple (E, r) le montage devient celui de la figure 2-a

avec

Tension de Thevenin .

Avec

Donc

Et par suite

Do

Rsistance de Thvenin

On court-circuit le gnrateur E

R//R//R

Edition : 2012


Do

On met la branche AB enleve

Soit le montage suivant :

Et on a

Donc

Et par suite

3- Application numrique

E = 40V, E = 10V, r = 2 et R = 24

On a I>0 le diple (E, r) se comporte comme un rcepteur.

4- La puissance consomme par le rcepteur (E, r)

Edition : 2012


Donc

Application numrique :

E= 10V, I4 = 0.33A et r = 2

Do

Edition : 2012


Contrle 2 lectricits 1 2007 /2008

Exercice 1

Soit un conducteur (A) sphrique de rayon portant la charge Q. (A) est suppos en

quilibre.

1) Comment est rpartie la charge Q dans le conducteur (A) et avec quelle densit ?

2) Quel est le champ au voisinage du conducteur ? Justifier votre rponse.

3) Quel est le potentiel cre au centre O du conducteur (A) par un lment de sa

surface portant la charge ? En dduire la capacit du conducteur (A).

4) En dduire la capacit du conducteur (A).

Un autre conducteur (B) sphrique et creux, de rayon interne et externe

initialement neutre, entoure le premier conducteur (A)

.

5) Quelle est la charge de (B) et comment est-elle rpartie ?

6) On met le conducteur (B) au sol. quelle est la nouvelle rpartition de charge ? Justifie

votre rponse.

7) Quel est le potentiel du conducteur (B) ?

8) Dterminer le nouveau potentiel du conducteur (A).

9) Que reprsente lassociation des conducteurs (A) et (B) ? Quelle est a capacit ?

Exercice 2

Soit le circuit de la figure1

constitu de rsistances

.

1) Exprimer les rsistances

quivalentes entre

A et C et entre A et

B en fonction des et

calculer leurs valeurs.

On donne

2) Supposons que lon branche entre A et B un gnrateur de force lectromotrice E et de

rsistance interne r.

a) Dterminer la ddp entre A et C

b) Dduire les intensits des courants qui circulent dans les rsistances .

c) Trouver le courant dbit par le gnrateur.(On donnera lexpression littrale

puis la valeur numrique). On donne

Figure 1

Edition : 2012


3) Le gnrateur prcdent (E,r) est maintenant branch entre A et B. Calculer le courant

dbit par le gnrateur.

4) Comparer les expressions de . a quelle condition sont-t-elles gales ? Le

courant driv par un gnrateur de tension dpend-il du circuit que lon branche ses

bornes ? Justifier votre rponse.

5) Calculer pour chacune des situations des questions 2 et 3 : (On donnera les

expressions littrales puis les valeurs numriques).

a) Les puissances fournies par le gnrateur. On notera et ces puissances.

b) Les puissances dissipes par effet Joule dans le gnrateur. On les notera et .

c) Les puissances dissipes par effet Joule dans le circuit extrieur au gnrateur. On

les notera et .

d) Vrifier la conservation des puissances.

Corrigs Contrle 2 lectricits 1 2007 /2008

Exercice 1

1) Comme le conducteur (A) est suppos en quilibre donc le charge Q est rpartie sur

la surface, avec une densit surfacique

En effet :

Comme le conducteur (A) est sphrique donc le rayon de courbure est uniforme

ou S la surface de (A)

2) Le champ au voisinage de (A) la surface

S du

conducteur est une

quipotentielles(

), et les ligne de champ sont normales

au quipotentielles ,

ou bien la distribution admet une

symtrique donc le champ est port par

avec

ou la normal au conducteur

Thorme de Gauss :

S

Edition : 2012


( avec S= )

E=

Donc le champ au voisinage du conducteur est

avec et

3) Le potentiel cre au centre O du conducteur.

Pour V(0) :

On a:

Si la surface de la sphre {conducteur (A)}

Alors :

Le conducteur (A) est en quilibre, donc daprs (1) on a

Donc le potentiel V est le mme que celui cre par la charge Q place au centre O .

4) La capacit C par dfinition est :

5) Le conducteur (B) est initialement neutre donc

La rpartition des charges sur les deux conducteur

(

1

)

S

dQ

O

Edition : 2012


Influence total

Et puisque (B) est neutre

6) Si on met le conducteur (B) au sol les charges (+Q)

de la face extrieur vont scouler vers la terre ce qui implique que la charge

Sur cette face devient nulle.

7) Potentiel ,

On a :

pour un point P

Avce OP=

8)

On a pour un point O,

Daprs (3) : (

)

(

) , comme A en quilibre

9) Lassociation des conducteurs (A) et (B) reprsente un conducteur sa capacit

est donn par

,

(

) ,

(

)

Exercice 2

1) La rsistance quivalente

, Alors : (

)

(

)

A C

Edition : 2012


- La rsistance quivalent : + = .

Avec :

et

2)

a) On a (1) ,

la loi de maille :

(2)

(2) dans (1)

b) Lintensit de courant qui circul dans

Maille (I) :

Nud :

On a :

Alors :

Donc :

Nud :

{

r

E

I

(1)

r

E

I

(I)

C

Edition : 2012


{

(

)

Avec (

)

De mme

Ou plus simple, toutes les rsistances ont la mme tension

Donc {

Et : car le circuit est ouvert.

c) Daprs la relation (2) de { 2)-a)}

, application numrique

.

3) Le gnrateur (E,r) est branche entre A et B

Maille (I) :

avec :

AN ;

4) On a et donc :

Il est donc vident que le courant dlivr par un gnrateur de tension dpend du circuit

branche entre ses bornes.

5)

a)

b)

Edition : 2012


c)

d) On a vrifi bien que et

Edition : 2012


Contrle 2 Electricit 1: SMP-SMC 2006/2007

Exercice I :

Une sphre conductrice pleine de centre O et de rayon R portant une charge Q uniformment

rpartie avec une densit est en quilibre lectrostatique .

1-Dterminer le potentiel lectrostatique V de ce conducteur

2- Dterminer la capacit C de ce conducteur

3- Dterminer la valeur de rayon R pour raliser une capacit de 1 Farad.

4-Physiquement cette capacit est elle ralisable? Justifier votre rponse.

On donne

Exercice 2 :

Dans une salle de travaux pratiques ; on dispose dun gnrateur idal de force lectromotrice

E suprieur 12 V. On veut alimenter une lampe de 12V (la lampe ne sallume que lorsque

la tension ces bornes est gale 12V). Pour ce faire on a ralis le montage de la figure 1.

La lampe a une rsistance r. la rsistance entre A et B est R. lorsque le curseur mobile C est

au niveau de B ;la lampe est teinte. On dplace doucement le curseur partir du niveau B

jusqu la position o la lampe est sallume. La rsistance entre A et C est alors xR

1- En appliquant les lois de kirchhoff ; dterminer les courants dans les diffrentes branches

en fonction de E ; x ; r et R et calculer les valeurs de ces courants.

2- Quelle est la valeur de la d.d.p. U aux bornes de la lampe ? Exprimer U en fonction de E ;

x ; r et R

3- En dduire la valeur de E .

4- En comparant E et U ; quel le role de ce montage ?

5- Calculer la puissance fournie

lampe . Comparer

6- Par application du thorme de Thevenin ; trouver le courant I traversant la deuxime

lampe.

7- Dterminer la valeur de I.

8- Les lampes seront-elles allumes ou teintes ? justifier votre rponse.

Edition : 2012


Figure 1 A Figure 2 A

xRxR

E C E C

I D

(1-x)Rrlampe . (1-x)R. r r

B B E

Edition : 2012


Corrigs Contrle 2 Electricit 1: SMP-SMC 2006/2007

Exercice I :

1/ le potentiel V de conducteur M O R

Le conducteur possede une symtrie sphrique r Sg

Donc est port par

et ne dpend que de r

Surface de Gauss ,

On a

Comme le conducteur en quilibre

Pour r=R on a

2/ la capacit C

On a C =

3/calculons R pour C= 1F

On a C =

avec

A.N

4/ physiquent cette capacit nest pas ralisable cause de dimention du

rayon R est trs petit

Edition : 2012


Exercice II :

1/ Application des lois de kirchoff (loi des nuds et loi des mailles )

Loi des nuds A

Nud c

1 xR

Loi des mailles + 1

Dans le circuit il ya deux mailles indpendantes E C

*maille (1). E+xR

2 (1-x)R 2 r

*maille (2). r 3 B

Les relation 1 ; 2 et 3 forment le systmesuivant .

{

|

|

Donc

Avec |

| |

| |

|

|

|

|

| |

| |

|

|

| |

| |

| |

|

= Er + E(1-x)R

|

| |

| |

| |

|

Edition : 2012


|

| |

| |

| |

|

= E

Pour

Pour

Pour

2/la valeur de la ddp U au bornes de la lamp

3/ daprs 2

A.N ( )

4/

5/ la puissance fourmi par le gnrateur

6/ Application du thorme de thevenin

On enlve la xR

Tension de thevenin

Documents

Exercices-et-probleme-resolus-tome-2-2013-Semestre-2-SMPC-et-SMA.pdf