Exercices Statistique

7/30/2019 Exercices Statistique

1/10

Page 1/10 [email protected]

STATISTIQUES A UNE VARIABLE

EXERCICES CORRIGESExercice n1

Les 33 lves dune classe ont obtenu les notes suivantes lors dun devoir :

Note 2 4 5 8 10 11 12 14 15 18 20

Effectif 1 2 1 4 2 7 6 3 4 2 1

1) Dterminer ltendue et le mode de cette srie.2) Calculer la moyenne de cette srie.

3) Construire un tableau donnant les effectifs cumuls, les frquences et les frquences cumules.

4) Dterminer la mdiane de cette srie.

5) Quel est le nombre dlves ayant une notre strictement infrieure 8 ?

6) Quel est le pourcentage dlves ayant une note suprieure ou gale 10 ?

Exercice n2

Rpartition du nombre de supermarchs en France suivant la surface en 2m :

Surface [400 ;800[ [800 ;1000[ [1000 ;2500]

Effectif 2613 928 3379

1) Dterminer la surface moyenne x daprs ce regroupement par classe.

2) Sachant que la surface totale de vente est de 6739000 2m , calculer la surface moyenne dun supermarch

Comparer avec la valeur obtenue la question 1.

Exercice n3

Une loterie a t organise avec des gains en argent liquide.

Tous les billets nont pas t vendus.

Le tableau ci-dessous rsume les gains effectivement perus par les joueurs :

Gain (en ) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Effectif 2 1 1 3 2 2 3 5 0 1

Partie A : Analyse de la srie statistique

1) Combien y a-t-il de gagnants cette loterie ? (personne na gagn plus dune fois)

2) Quel a t le gain moyen parmi les gagnants ?

3) a) Quelle est la mdiane de cette srie statistique ? Quels sont les quartiles ?

b) Dterminer lcart interquartile.

4) Faire un diagramme en bote moustaches de la srie.

5) Calculer lcart type de la srie

Partie B : Augmentation des gains

Lassociation qui organise la loterie envisage une augmentation des gains.6) La premire hypothse envisage consiste augmenter tous les gains de 217 euros. Dans ce cas, comment

varient :

a) La moyenne ? b) Lcart type ? c) La mdiane ?

7) La deuxime hypothse envisage consiste multiplier tous les gains par 1,2. Dans ce cas, comment varient :

a) La moyenne ? b) Lcart type ? c) La mdiane ?

On donne : 2 100 200 300 3 400 2 500 2 600 3 700 5 800 1000 11200 + + + + + + + + =

2 2 2 2 2 2 2 2 22 100 200 300 3 400 2 500 2 600 3 700 5 800 1000 7520000 + + + + + + + + =

2560 313600=

62400 250


2/10


Exercice n4

On effectue un contrle de la qualit pendant 100 heures de travail sur deux machines produisant des pices

mcaniques destines la fabrication de grues. Certaines pices prsentent un dfaut qui les rend inutilisables.

On a relev le nombre de pices inutilisables constates durant chaque heure :

Machine A :

Nombre de pices inutilisables 0 1 2 3 4 5 6 7

Nombres dheures 13 42 38 2 2 1 1 1

Machine B :Nombre de pices inutilisables 0 1 2 3 4 5

Nombres dheures 35 40 1 1 10 13

1) a) Calculer le nombre moyenA

m de pices inutilisables pendant les 100 heures tudies pour la machine A.

Calculer ensuite la varianceA

V

b) Calculer le nombre moyen Bm de pices inutilisables pendant les 100 heures tudies pour la machine B.

Calculer ensuite la varianceB

V

2) a) Dterminer la mdiane, puis lcart interquartile dans le cas de la machine A. Calculer ltendue AE .

b) Dterminer la mdiane, puis lcart interquartile dans le cas de la machine B. Calculer ltendue BE .3) a) Parmi la moyenne, lcart type, la mdiane, lcart interquartile ou ltendue, quels sont les paramtres qui

mesurent la dispersion ?

b) Quel(s) paramtre(s) semble(nt) le(s) plus intressant(s) exploiter pour comparer ces deux machines ?

Justifier.

On donne : 13 0 42 1 38 2 2 3 2 4 1 5 1 6 1 7 150 + + + + + + + =

35 0 40 1 1 2 1 3 10 4 13 5 150 + + + + + =

2 2 2 2 2 2 2 213 0 42 1 38 2 2 3 2 4 1 5 1 6 1 7 354 + + + + + + + =

2 2 2 2 2 235 0 40 1 1 2 1 3 10 4 13 5 538 + + + + + =

Exercice n5

On mesure les diamtres de troncs darbres dune mme espce.

On tudie 400 spcimens. On obtient les rsultats suivants :

Diamtre en cm 25 26 27 28 29 30

Pourcentage 10 % 15 % 30 % 35 % 5 % 5 %

1) a) Combien de spcimens ont un diamtre suprieur ou gal 27 cm ?

b) Parmi les spcimens qui ont un diamtre suprieur ou gal 26 cm, quel pourcentage prsente un diamtre

infrieur ou gal 27 cm ?

2) Quel est le diamtre moyen de ces troncs ?

3) Dterminer la variance, arrondie 0,01 prs, puis lcart type, arrondi 0,01 prs, de la srie statistiquersume dans le tableau.

4) a) Dterminer lintervalle interquartile et calculer lcart interquartile de la srie statistique

b) Reprsenter le diagramme en botes de la srie en y faisant figurer les valeurs extrmes et tous les quartiles.

5) Dans un autre pays, une autre tude a recens les diamtres de 500 troncs darbres de la mme espce que

prcdemment.

Les quartiles obtenus sont : 1 25,5Q = ; 2 27,5Q = ; 3 29Q = .

Les spcimens sont-ils plus homognes (moins de dispersion) ou moins homognes (plus de dispersion) que

lors de la 1re

tude ? Justifier.

On donne : 25 10 26 15 27 30 28 35 29 5 30 5 2725 + + + + + = 2 2 2 2 2 225 10 26 15 27 30 28 35 29 5 30 5 74405 + + + + + =

2 2 2 2 2 225 10 26 15 27 30 28 35 29 5 30 5 68425 + + + + + = 227, 25 742, 5625= 1, 49 1, 22 21,49 2, 22


3/10


Exercice n6

On a indiqu dans le tableau suivant la distance entre le bureau et le domicile (en km) dun groupe demploys

parisiens.

Distance 0 1 2 3 4 5 8

Effectif 5 21 24 15 20 13 2

1) a) Combien demploys comporte le groupe tudi ?

b) Dterminer la distance moyenne entre le domicile et le lieu de travail.

2) Quel est lcart-type de cette srie (on arrondira au centime) ?

3) Quelle est la mdiane de cette srie ? Dterminer lintervalle interquartile.

Reprsenter le diagramme en botes de cette srie.

4) On sintresse maintenant uniquement aux employs qui nhabitent pas dans les environs immdiats du

bureau (ceux qui habitent au moins 1 kilomtre).

Quel est, parmi eux, le pourcentage des employs qui travaillent cinq kilomtres ou plus de leur domicile (on

arrondira au centime) ?

Exercice n7

Le magasin SuperTech fait la liste des capacits des disques durs, en Go, des ordinateurs quil propose la

vente. Les rsultats sont rsums dans le tableau suivant :

Capacit

en Go

10 20 50 80 160 250 320 500 800 1000 1150

Effectif 2 4 5 12 10 7 2 4 1 2 1

1) Combien dordinateurs sont proposs la vente dans ce magasin ?

2) a) Dterminer la mdiane Me de cette srieb) Quel est le pourcentage dordinateurs dont la capacit en Go est infrieure Me ?

3) a) Dterminer le premier quartile 1Q et le troisime quartile 3Q .

b) Dterminer lcart interquartile

4) Faire un diagramme en bote moustaches sur lequel on prcisera les valeurs extrmes des capacits en Go,

la mdiane et les quartiles 1Q et 3Q .

5) a) Lcart type vaut environ 260 Go. La moyenne vaut 225 Go.

Un autre magasin, HyperTech avec la mme capacit moyenne de 225 Go pour les ordinateurs vendus prsenteun cart type de 90 Go.

Que peut-on en dduire pour les ordinateurs vendus dans le magasin HyperTech ?

b) Rappeler le lien entre cart type s et variance V.

Donner, sans faire les calculs, une formule permettant de calculer la variance V.

6) De manire simplifier ltude du stock, on regroupe les ordinateurs en 4 catgories :

moins de 80 Go , Entre 80 et 250 Go , entre 250 et 500 Go , Plus de 500 Go

a) Recopier et complter le tableau suivant en tant attentif aux bornes des diffrents intervalles :

Capacit en Go ]0 ;80] ]80 ;250] ]250 ;500] ]500 ;1150]

Effectif 23

b) On considre, pour calculer la moyenne, le centre de chaque classe ; cest--dire quon remplace lintervallepar la valeur situe au centre de lintervalle. On remplace ainsi ]0 ;80] par 40.

Dterminer la moyenne obtenue par ce procd. Pourquoi ne trouve-t-on pas 225 Go ?


4/10



5/10


STATISTIQUES A UNE VARIABLE

CORRECTIONExercice n1

1) Ltendue de cette srie est la diffrence entre les valeurs extrmes de la srie. Elle vaut ici 20-2=18

Le mode de cette srie est la valeur du caractre correspondant leffectif maximum. Il vaut ici 11

2) La moyenne de cette srie statistique est gale 1 2 2 4 .... 1 20 374

11,33

1 2 1 .... 2 1 33

x + + +

= =

+ + + + +

arrondi au

centime.

3) Les frquences sont gales au quotient entre les effectifs et leffectif total.

Note 2 4 5 8 10 11 12 14 15 18 20

Effectif 1 2 1 4 2 7 6 3 4 2 1

Effectifs

cumuls

croissants

1 1+2

=3

3+1

=4

4+4

=8

8+2

=10

10+7

=17

17+6

=23

23+3

=26

26+4

=30

30+2

=32

32+1

=33

Frquences 1

33

2

33

1

33

4

33

2

33

7

33

6

33

3

33

4

33

2

33

1

33

Frquencescumules

croissantes

133

133

+ 233

=3

33

333

+ 133

=4

33

433

+ 433

=8

33

833

+ 233

=10

33

1033

+ 733

=17

33

1733

+ 633

=23

33

2333

+ 333

=26

33

2633

+ 433

=30

33

3033

+ 233

=32

33

3233

+ 133

=33

33

(Remarque : la dernire ligne peut tre obtenue par quotient des effectifs cumuls et de leffectif total)

4) La mdiane dune srie ordonne de 33 valeurs est gale 17me

valeur

Daprs le tableau dress en question 2, 10 lves ont une note infrieure ou gale 10 tandis que 17 lves ont

une note infrieure ou gale 11

La note du 17me

lve se situe donc parmi les 7 notes gales 11.

La mdiane de cette srie statistique est donc gale 11.

5) Daprs le tableau des effectifs cumuls croissants de la question 3), il y a 4 lves qui ont une note

strictement infrieure 8

6) Toujours daprs le tableau de la question 3), 8 lves sur 33 ont une note strictement infrieure 8, donc 33-

8=25 lves ont une note suprieure ou gale 10, soit un pourcentage gal 25

100 75, 75 %33

Exercice n2

1) Pour dterminer la surface moyenne x , il faut considrer le milieu de chaque intervalle.

On obtient le tableau :

Surface 600 900 1750

Effectif 2613 928 3379

On calcule : 2600 2613 900 928 1750 3379

1201,772613 928 3379

x m + +

=

+ +

210 prs.

2) Il y a au total 2613+928+3379=6920 supermarchs.

Si la surface totale de vente est de 6739000 2m , la surface moyenne dun supermarch est gale

26739000973,84

6920m

210

prs.

Cette dernire valeur est bien infrieure celle obtenue la question 1.


6/10


Exercice n3

Partie A : Analyse de la srie statistique

1) Le nombre de gagnants cette loterie est gal 2+1+1+3+2+2+3+5+0+1=20.

Il y a 20 gagnants cette loterie.

2) Le gain moyen parmi les gagnants vaut :

2 100 200 300 3 400 2 500 2 600 3 700 5 800 1000 11200560

20 20

+ + + + + + + += =

3) a) La mdiane dune srie statistique ordonne de 20 valeurs est gale la demi somme entre la 10me

et la

11me

valeur.

Puisque les 10me

et 11me

valeur valent toutes les deux 600 , on en dduit que la mdiane de cette srie

statistique vaut donc 600

Le quartile 1Q est la plus petite valeur de la srie telle quau moins 25 % des valeurs de la srie lui sont

infrieures ou gales. 25 % des 20 valeurs de la srie reprsentent 5 valeurs.

7 valeurs sur 20 sont infrieures ou gales 400 , donc 1 400Q =

Le quartile 3Q est la plus petite valeur de la srie telle quau moins 75 % des valeurs de la srie lui sont

infrieures ou gales. 75 % des 20 valeurs de la srie reprsentent 15 valeurs.19 valeurs sur 20 sont infrieures ou gales 800 , donc 3 800Q =

b) Lcart interquartile vaut 3 1 800 400 400Q Q = =

4) Le diagramme en bote moustaches de la srie est donn ci-dessous :

5) Daprs la formule Variance=moyenne des carrs-carr de la moyenne , on calcule :

( )

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

2 100 200 300 3 400 2 500 2 600 3 700 5 800 1000560

20

7520000560 62400

20

V x

V x

+ + + + + + +

==

=+

On en dduit que lcart-type de la srie vaut 62400 250 =

Partie B : Augmentation des gains

6) Si lassociation augmente tous les gains de 217 euros, sans changer les effectifs :

a) La moyenne sen trouve galement augmente de 217 euros, et devient donc gale 560+217=777

b) Lcart type est inchang car la dispersion des notes autour de la moyenne nest pas modifie par cette

augmentation

c) La mdiane sen trouve galement augmente de 217 euros, et devient donc gale 600+217=817

7) Si lassociation multiplie tous les gains par 1,2, sans changer les effectifs :

a) La moyenne sen trouve galement multiplie par 1,2 et devient donc gale 560 1,2 672 =

b) Lcart sen trouve galement multiplie par 1,2 et devient donc environ gal 250 1, 2 300 = c) La mdiane sen trouve galement multiplie par 1,2 , et devient donc gale 600 1,2 720 =


7/10


Exercice n4

1) a) On calcule pour la machine A :

13 0 42 1 38 2 2 3 2 4 1 5 1 6 1 7 1501,5

13 42 38 ..... 1 1 100A

m + + + + + + +

= = =

+ + + + +

. Pendant les 100 heures tudies pour

la machine A, il y a en moyenne 1,5 pice inutilisable.

On utilise la formule variance=moyenne des carrs-carr de la moyenne pour calculer :

( )2 2 2 2 2 2 2 2

2 213 0 42 1 38 2 2 3 2 4 1 5 1 6 1 7 3541,5 3,54 2, 25 1,29

13 42 38 ..... 1 1 100A A

V m + + + + + + +

= = = =

+ + + + +

b) On calcule de mme pour la machine B :

35 0 40 1 1 2 1 3 10 4 13 5 150 1501,5

35 40 ... 13 100B

m + + + + + =

= = =

+ + +

. Pendant les 100 heures tudies pour la

machine B, il y a en moyenne 1,5 pice inutilisable.

On utilise la formule variance=moyenne des carrs-carr de la moyenne pour calculer :

( )2 2 2 2 2 2

2

2

35 0 40 1 1 2 1 3 10 4 13 5

35 40 ... 13

5381,5 5,38 2,25 3,13

100

B BV m + + + + +

=

+ + +

= = =

2) a) La mdiane de la srie ordonne de 100 valeurs relatives la machine A est la demi-somme entre la 50me

et la 51me

valeur, soit ici1 1

12

+=

Le quartile 1Q est la plus petite valeur pour laquelle au moins 25 % des valeurs de la srie lui sont infrieures.

Ici 1 1Q =


Ici 3 2Q =

Lcart interquartile dans le cas de la machine A vaut3 1

2 1 1Q Q = = .

Ltendue correspond la diffrence entre les valeurs maximale et minimale donc 7 0 7A

E = =

b) La mdiane de la srie ordonne de 100 valeurs relatives la machine B est la demi-somme entre la 50me

et

la 51me

valeur, soit ici1 1

12

+=


Ici 1 0Q =


Pendant 75 heures, le nombre de pices dfectueuses a t gal 0 ou 1.

Pendant 76 heures, le nombre de pices dfectueuses a t gal 0,1 ou 2.

Le quartile 3Q sera par convention la moyenne entre la 75me

et la 76me

valeur, soit1 2

1,52

+=

Ainsi 3 1,5Q =

Lcart interquartile dans le cas de la machine B vaut 3 1 1,5 0 1,5Q Q = = .

Ltendue correspond la diffrence entre les valeurs maximale et minimale donc 5 0 5B

E = =

3) a) Les paramtres qui mesurent la dispersion sont lcart type et lcart interquartile. Plus ils sont petits, et

plus la srie est regroupe. Plus ils sont grands, et plus la srie est disperse.

b) Dans le cas des deux machines ci-dessus, puisque leurs moyennes sont identiques, les variances (et donc les

carts-type qui en sont leur racine carre) nous indique que les valeurs de la machine B sont plus disperses quecelles de la machine A. Il en est de mme de lcart interquartile. La machine A semble donc plus

homogne que la machine B.


8/10


Exercice n5

1) a) Le pourcentage de spcimens ayant un diamtre suprieur ou gal 27 cm est gal 30+35+5+5=75 %

Les 75 % de 400 spcimens reprsentent 300 spcimens.

Le nombre de spcimens ayant un diamtre suprieur ou gal 27 cm est donc gal 300.

b) Les spcimens ayant un diamtre suprieur ou gal 26 cm reprsentent 90 % de la totalit, soit 360

spcimens. Les spcimens ayant un diamtre suprieur ou gal 26 cm et infrieur ou gal 27 cm reprsentent

15+30=45% de la totalit, soit45

400 180100

= spcimens.

La proportion de spcimens ayant un diamtre infrieur ou gal 27 cm parmi ceux ayant un diamtre

suprieur ou gal 26 cm est donc gale 180 1

100 100 50%360 2

= = .

(on pouvait aussi calculer grce aux pourcentages :45

100 2 100 50%90

= = ).

2) Le diamtre moyen des troncs est gal :

25 10 26 15 27 30 28 35 29 5 30 5 272527,25cm

100 100

+ + + + + = =

3) La variance peut se calculer par la formule de Koenig : Variance=Moyenne des carrs-carr de la moyenne2 2 2 2 2 2

2

2

25 10 26 15 27 30 28 35 29 5 30 527,25100

74405742,5625 744,05 742,5625 1,49 10 prs

100

V

+ + + + +

=

= =

On en conclut donc que lcart-type vaut 1,49 1, 22 = 10-2

prs.

4) a) Pour dterminer lintervalle interquartile, il nous faut connatre la valeur des quartiles 1Q et 3Q

Le quartile 1Q est la plus petite valeur telle quau moins 25 % des valeurs de la srie statistique lui soit

infrieure ou gale. Le tableau nous informe immdiatement que 10+15=25 % des spcimens ont un diamtre

infrieur ou gal 26 cm. Le quartile 1Q vaut dont 26 cm.

Le quartile 3Q est la plus petite valeur telle quau moins 75 % des valeurs de la srie statistique lui soitinfrieure ou gale. Le tableau nous informe que 10+15+30+35=90 % des spcimens ont un diamtre infrieur

ou gal 28 cm. Le quartile 3Q vaut dont 28 cm.

Lintervalle interquartile est donc [26 ;28] et lcart interquartile vaut donc 28-26=2

b) Pour reprsenter le diagramme en botes de la srie, il nous faut galement la valeur de la mdiane.

La mdiane dune srie ordonne de 400 valeurs est gale la moyenne entre la 200me

et la 201me

valeur.

Ces deux valeurs tant gales 27 cm, la mdiane de la srie statistique vaut donc 27 cm

Le diagramme en bote de la srie statistique est donc :

5) Pour la deuxime srie, lintervalle interquartile est [25,5;29] et lcart interquartile vaut donc 29-25,5=3,5

Le deuxime cart interquartile tant suprieur celui de la 1re

tude, les spcimens sont moins homognes

(plus de dispersion)

Exercice n6

1) a) Leffectif total du groupe slve 5+21+24+15+20+13+2 = 100 employs

b) La distance moyenne entre le domicile et le lieu de travail vaut :7

1 0 5 1 21 2 24 3 15 4 20 5 13 8 2 275 2,75100 100 100

i i

i

n x

x = + + + + + +

= = = =

La distance moyenne entre le domicile et le lieu de travail vaut donc 2,75 km


9/10


10/10

Page 10/10 jgc a @hotmail com

b) Le nombre dordinateurs dont la capacit en Go est infrieure ou gale Me est gal 33, soit un

pourcentage gal 33

100 66%50

=

3) a) Le premier quartile 1Q est la plus petite valeur de la srie statistique pour laquelle au moins 25 % des

valeurs de la srie lui sont infrieures ou gales. Puisque1

50 12,54

= , il suffit de prendre pour 1Q la 13me

valeur, soit 1 80Q =

Le troisime quartile 3Q est la plus petite valeur de la srie statistique pour laquelle au moins 75 % des valeurs

de la srie lui sont infrieures ou gales. Puisque3

50 37,54

= , il suffit de prendre pour 3Q la 38me

valeur, soit

3 250Q =

b) Lcart interquartile vaut 3 1 250 80 170Q Q = =

4) Diagramme en bote moustaches dextrmits les valeurs minimales et maximales :

5) a) Des informations relatives aux cart-types, on peut dduire que les disques durs des ordinateurs vendus

dans le magasin HyperTech ont des capacits plus homognes, plus regroupes autour de leur moyenne.

b) Puisque s V= , on a donc 2V s=

6)a) On complte le tableau par addition :Capacit en Go ]0 ;80] ]80 ;250] ]250 ;500] ]500 ;1150]

Effectif 23 17 6 4

b) La moyenne obtenue en substituant son milieu chaque intervalle est gale :

23 40 17 165 6 375 4 825185,5

50x

+ + + = =

Le regroupement des 23 premires capacits au sein dune seule catgorie aux quelles on affecte

arbitrairement la valeur 40 donne une rpartition moins prcise que dans le premier cas, ce qui explique

cette diffrence de moyenne.

Documents

Exercices Statistique