Exercicio de Sistama Linear Raniere

Lista de Exercícios - Sistemas LinearesProf. Anderson Weber ( [email protected] )

1. (Fgv 2005) a) Mostre que existem infinitas triplasordenadas (x,y,z) de números que satisfazem aequação matricial:

b) Resolva o sistema linear abaixo, nas incógnitas xe y, usando o conceito de matriz inversa:

ý2x + y = aþÿ5x + 3y = b

2. (Fgv 2007) Os números reais x, y e z são taisque x + y + z = 6 e 3x + 4y + 2z = 17.a) Encontre uma solução do sistema formado poressas duas equações.b) Determine todas as soluções do sistema.c) Calcule o valor de 9x + 11y + 7z.

3. (Fuvest 91)ý2y + x = b

S = þ2z - y = bÿaz + x = b

Resolva o sistema S para:a) a = 0 e b = 1b) a = 4 e b = 0

4. (Fuvest 92) a) Resolva o sistema:

ý2x - y = - 3þÿ- x + y = 2

onde x e y são números reais.

b) Usando a resposta do item (a) resolva o sistema:

ý2(a£ - 1) - (b - 1)£ = - 3þÿ- (a£ - 1) + (b - 1)£ = 2

5. (Fuvest 94) Considere o sistema:

ý x - my = 1 - mþÿ(1 + m) x + y = 1

a) Prove que o sistema admite solução única paracada número real m.b) Determine m para que o valor de x seja o maiorpossível.

6. (Fuvest 96) Considere o sistema de equaçãolineares

ýx + y + z = -2nþx - y - 2z = 2nÿ2x + y - 2z = 3n + 5

a) Para cada valor de n, determine a solução(xŠ,yŠ,zŠ) do sistema.b) Determine todos os valores de n, reais oucomplexos, para os quais o produto xŠyŠzŠ é igual a32.

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7. (Fuvest 99) Considere o sistema linear nasincógnitas x, y, z, w:

2x + my = -2x + y = -1y + (m - l) z + 2w = 2z - w = 1

a) Para que valores de m, o sistema tem uma únicasolução?b) Para que valores de m, o sistema não temsolução?c) Para m = 2, calcule o valor de 2x + y - z - 2w.

8. (Fuvest 2002) Carlos, Luís e Sílvio tinham,juntos, 100 mil reais para investir por um ano.Carlos escolheu uma aplicação que rendia 15% aoano. Luís, uma que rendia 20% ao ano. Sílvioaplicou metade de seu dinheiro em um fundo querendia 20% ao ano, investindo a outra metadenuma aplicação de risco, com rendimento anualpós-fixado. Depois de um ano, Carlos e Luís tinhamjuntos 59 mil reais; Carlos e Sílvio, 93 mil reais;Luís e Sílvio, 106 mil reais.

a) Quantos reais cada um tinha inicialmente?

b) Qual o rendimento da aplicação de risco?

9. (Fuvest 2008) João entrou na lanchonete BOG epediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado,algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00.Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, maiso de um suco de laranja, mais o de uma cocadatotaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada umdesses itens.

10. (Puc-rio 2008) Considere o sistema linear

ý3x + 2y = 5þÿy = kx + 1

a) Resolva o sistema para k = 1.b) Ache o valor de x na solução do sistema para k =0; k = 2; k = 3 e k = 5.c) Para quais valores de k o sistema não temsolução?

11. (Unesp 2006) Um laboratório farmacêutico temdois depósitos, D e D‚. Para atender a umaencomenda, deve enviar 30 caixas iguais contendoum determinado medicamento à drogaria A e 40caixas do mesmo tipo e do mesmo medicamento àdrogaria B. Os gastos com transporte, por cadacaixa de medicamento, de cada depósito para cadauma das drogarias, estão indicados na tabela.

Seja x a quantidade de caixas do medicamento, dodepósito D , que deverá ser enviada à drogaria A ey a quantidade de caixas do mesmo depósito quedeverá ser enviada à drogaria B.a) Expressar:- em função de x, o gasto GÛ com transporte paraenviar os medicamentos à drogaria A;- em função de y, o gasto G½ com transporte paraenviar os medicamentos à drogaria B;- em função de x e y, o gasto total G para atenderas duas drogarias.b) Sabe-se que no depósito D existem exatamente40 caixas do medicamento solicitado e que o gastototal G para se atender a encomenda deverá ser deR$ 890,00, que é o gasto mínimo nas condiçõesdadas. Com base nisso, determine,separadamente, as quantidades de caixas demedicamentos que sairão de cada depósito, D e



D‚, para cada drogaria, A e B, e os gastos GÛ e G½.

12. (Unesp 2007) Uma pessoa consumiu nasegunda-feira, no café da manhã, 1 pedaço de boloe 3 pãezinhos, o que deu um total de 140 gramas.Na terça-feira, no café da manhã, consumiu 3pedaços de bolo e 2 pãezinhos (iguais aos do diaanterior e de mesma massa), totalizando 210gramas. A tabela seguinte fornece(aproximadamente) a quantidade de energia emquilocalorias (kcal) contida em cada 100 gramas dobolo e do pãozinho.

Após determinar a quantidade em gramas de cadapedaço de bolo e de cada pãozinho, use a tabela ecalcule o total de quilocalorias (kcal) consumidopela pessoa, com esses dois alimentos, no café damanhã de segunda-feira.

13. (Unicamp 93) Resolva o seguinte sistema deequações lineares:

14. (Unicamp 95) Encontre o valor de a para que osistema

ý2x - y + 3z = aþx + 2y - z = 3ÿ7x + 4y + 3z = 13

seja possível. Para o valor encontrado de a ache asolução geral do sistema, isto é, ache expressões

que representem todas as soluções do sistema.Explicite duas dessas soluções.

15. (Unicamp 97) Considere o sistema:

ýx + (y + z)/2 = pþy + (x + z)/2 = pÿz + (x + y)/2 = p

a) Mostre que se tal sistema tem solução (x, y, z)com x, y e z inteiros, então o parâmetro p é múltiplointeiro de 17.b) Reciprocamente, mostre que se o parâmetro pfor múltiplo inteiro de 17, então este sistema temsolução (x,y,z) com x, y e z inteiros.

16. (Unicamp 2002) Considere o sistema linear aseguir, no qual a é um parâmetro real:

ýax + y + z = 1þx + ay + z = 2ÿx + y + az = - 3

a) Mostre que para a = 1 o sistema é impossível.

b) Encontre os valores do parâmetro a para osquais o sistema tem solução única.

17. (Unicamp 2004) Dado o sistema linearhomogêneo:

ý[cos(‘) + sen(‘)] x + [2sen(‘)] y = 0þÿ [cos(‘)] x + [cos(‘) - sen(‘)] y = 0

a) Encontre os valores de ‘ para os quais essesistema admite solução não-trivial, isto é, soluçãodiferente da solução x = y = 0.b) Para o valor de ‘ encontrado no item (a) queestá no intervalo [0, ™/2], encontre uma soluçãonão-trivial do sistema.



18. (Unesp 2004) Considere a matriz

a) Determine todos os números reais — para osquais se tem det (A - —I) = 0, onde I é a matrizidentidade de ordem 3.b) Tomando — = - 2, dê todas as soluções dosistemaý(6 - —) x - 3y = 0þ- 3x + (6 - —) y = 0ÿx - y + (2 - —) z = 0

19. (Fgv 2001) O sistema linear nas incógnitas x ey:

ýx - 2y = 7þ2x + my = 0ÿ3x - y = 6

a) é determinado qualquer que seja m.b) é indeterminado para m = 2/3.c) é impossível para m · 2/3.d) é determinado para m · 2/3.e) é impossível qualquer que seja m.

20. (Fgv 2002) O sistema linear a seguir

ýx + 2y - 3z = 1þÿ2x - y - z = 4

a) é impossível.b) admite apenas uma solução.c) admite apenas duas soluções.d) admite apenas três soluções.e) admite infinitas soluções.

21. (Fgv 2005) O sistema linear

ýx + ‘y - 2z = 0þx + y + z = 0ÿx - y - z = 0

admite solução não-trivial, se:a) ‘= -2b) ‘ · -2c) ‘ = 2d) ‘ · 2e) ‘ Æ IR, sendo IR o conjunto dos números reais.

22. (Fgv 2007) A condição necessária e suficientepara que a representação gráfica no planocartesiano das equações do sistema linear

ý(m + 1) x - y = 2þÿ3x + 3y = 2n

nas incógnitas x e y seja um par de retas paralelascoincidentes éa) m · -2 e n · -3.b) m · -2 e n = -3.c) m = -2.d) m = -2 e n · -3.e) m = -2 e n = -3.

23. (Fgv 2008) Sendo n um número real, então osistema de equações

ýnx + y = 1þny + z = 1ÿx + nz = 1

não possui solução se, e somente se, n é igual aa) -1.b) 0.c) 1/4.d) 1/2.e) 1.



24. (Fuvest 91) Existem dois valores de m para osquais tem solução única o sistema:

ýx + y = mþÿx£ + y£ = 4

A soma desses dois valores de m é:a) -2b) -2Ë2c) 0d) 2e) 2Ë2

25. (Fuvest 2003) O sistema

onde c · 0, admite uma solução (x,y) com x = 1.Então, o valor de c é:a) -3b) -2c) -1d) 1e) 2

26. (Fuvest 2005) Um supermercado adquiriudetergentes nos aromas limão e coco. A compra foientregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascosem cada caixa. Sabendo-se que cada caixacontinha 2 frascos de detergentes a mais no aromalimão do que no aroma coco, o número de frascosentregues, no aroma limão, foia) 110b) 120c) 130d) 140e) 150

27. (Ita 97) Sejam a, b, c Æ |R* com a£ = b£ + c£. Sex, y e z satisfazem o sistema

ýc cos y + b cos z = aþc cos x + a cos z = bÿb cos x + a cos y = c

então cos x + cos y + cos z é igual aa) (a - b)/cb) (a + b)/cc) (b + c)/ad) (c + a)/be) (b£ + c£)/a

28. (Ita 98) Seja a, b Æ IR. Considere os sistemaslineares em x, y e z:

ýx + y - z = 0þx - 3y + z = 1ÿ- 2y + z = a

e

ýx - y = 0þx + 2y - z = 0ÿ2x - by + 3z = 0

Se ambos admitem infinitas soluções reais, então:a) a/b = 11b) b/a = 22c) ab = 1/4d) ab = 22e) ab = 0

29. (Ita 99) A soma de todos os valores de a Æ [0,2™[ que tornam o sistema

ýx + y + z = 0þx sen a + y cos a + z(2sen a + cos a) = 0ÿx sen£a + y cos£ a +z(1 + 3sen£a + 2sen 2a) = 0

possível e indeterminado é:a) 5 ™b) 4 ™c) 3 ™d) 2 ™e) ™



30. (Ita 2003) O número de todos os valores de a Æ[0, 2™], distintos, para os quais o sistema nasincógnitas x, y e z, dado por

-4x + y - 6z = cos 3ax + 2y - 5z = sen 2a6x + 3y - 4z = -2 cos a,

é possível e não-homogêneo, é igual a:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

31. (Ita 2005) O sistema linear

ýbx + y = 1þby + z = 1ÿx + bz = 1

não admite solução se e somente se o número realb for igual aa) - 1.b) 0.c) 1.d) 2.e) - 2.

32. (Ita 2005) Em uma mesa de uma lanchonete, oconsumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa,o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Então, oconsumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1pedaço de torta totaliza o valor dea) R$ 17,50.b) R$ 16,50.c) R$ 12,50.d) R$ 10,50.e) R$ 9,50.

33. (Ita 2006) A condição para que as constantesreais a e b tornem incompatível o sistema linearýx + y + 3z = 2þx + 2y + 5z = 1ÿ2x + 2y + az = b

éa) a - b · 2b) a + b = 10c) 4a - 6b= Od) a/b = 3/2e) a . b = 24

34. (Ita 2008) Considere o sistema Ax = b, em que

Sendo T a soma de todos os valores de k quetornam o sistema impossível e sendo S a soma detodos os valores de k que tornam o sistemapossível e indeterminado, então o valor de T - S éa) - 4b) - 3c) 0d) 1e) 4



35. (Mackenzie 2001) Com relação ao sistema

ýx + ky = 1þÿkx + y = 1 - k

k Æ IR, considere as afirmações:

I) É indeterminado para um único valor de k.II) Sempre admite solução, qualquer que seja k.III) Tem solução única, para um único valor de k.

Das afirmações acima:a) somente I está correta.b) somente I e II estão corretas.c) somente II e III estão corretas.d) nenhuma está correta.e) todas estão corretas.

36. (Uece 2007) O valor de h para que o sistema

ý2 x - y + 3 z = 0þx + 2 y - z = 0ÿx + h y - 6 z = 0

tenha a solução não nula éa) 5b) 6c) 7d) 8

37. (Ufrs 2004) O sistema linearý(k + 2) x + y - z = 0þ x + ky + z = 0ÿ -x + (k - 1) z = 4

é possível e determinado, exceto para um númerofinito de valores de k. A soma de todos essesvalores de k éa) -1.b) -1/2.c) 0.d) 1/2.e) 1.

38. (Ufscar 2008) Uma loja vende três tipos delâmpada (x, y e z). Ana comprou 3 lâmpadas tipo x,7 tipo y e 1 tipo z, pagando R$ 42,10 pela compra.Beto comprou 4 lâmpadas tipo x, 10 tipo y e 1 tipoz, o que totalizou R$ 47,30. Nas condições dadas, acompra de três lâmpadas, sendo uma de cada tipo,custa nessa lojaa) R$ 30,50.b) R$ 31,40.c) R$ 31,70.d) R$ 32,30.e) R$ 33,20.

39. (Ufu 2007) Se o sistema linear

ýx + b y + c z = 1þx + y + z = 2ÿ3 x + 2 y = 4

em que b e c são números reais, tem infinitassoluções, então, b + c é igual aa) 0.b) 1.c) 2.d) 3.

40. (Unesp 2008) Uma lapiseira, três cadernos euma caneta custam, juntos, 33 reais. Duaslapiseiras, sete cadernos e duas canetas custam,juntos, 76 reais. O custo de uma lapiseira, umcaderno e uma caneta, juntos, em reais, é:a) 11.b) 12.c) 13.d) 17.e) 38.



41. (Unifesp 2006) Considere o sistema deequações

ýx - y = 2þÿcx + y = 3

onde c é uma constante real. Para que a soluçãodo sistema seja um par ordenado no interior doprimeiro quadrante (x > 0, y > 0) do sistema deeixos cartesianos ortogonais com origem em (0, 0),é necessário e suficiente quea) c · -1.b) c < -1.c) c < -1 ou c > 3/2.d) 3/2 < c.e) -1 < c < 3/2.

42. (Unifesp 2007) Em uma lanchonete, o custo de3 sanduíches, 7 refrigerantes e uma torta de maçãé R$ 22,50. Com 4 sanduíches, 10 refrigerantes euma torta de maçã, o custo vai para R$ 30,50. Ocusto de um sanduíche, um refrigerante e uma tortade maçã, em reais, éa) 7,00.b) 6,50.c) 6,00.d) 5,50.e) 5,00.



GABARITO1. a) A partir do enunciado obtemos o sistemalinear:

ýx + 2y - z = 0þ2x - 10z = 0ÿ-x + y + 7z = 0

Este sistema é homogêneo e, portanto, admite asolução trivial (0,0,0).Para que um sistema linear homogêneo tenhaoutras soluções além da trivial, o determinante

da matriz incompleta deve ser nulo.Calculando este determinante, concluímos que osistema é possível e indeterminado. Desse modo, aequação matricial dada possui infinitas soluções.

b) S = {( 3a - b; -5a + 2b)}

2. a) (-1, 3, 4)b) S = { (7 - 2‘; ‘ - 1, ‘); ‘ Æ IR}c) 52

3. a) V = {(1, 0, 1/2)}b) V = {(-4‘, 2‘, ‘); ‘ Æ IR}

4. a) V = {(-1, 1)}b) V = {(0, 0); (0, 2)}

5. a) D · 0, ¯ m Æ IRb) m = - 1/2

6. a) xŠ = - n - 1, yŠ = n + 3 e zŠ = - 2n - 2b) n = 1 ou n = - 3 - 2i ou n = - 3 + 2i

7. a) m · -1 e m · 2b) m = -1c) -4

8. a) Carlos 20 mil reais, Luís 30 mil e Sílvio 50 mil.

b) 60 %

9. hambúrguer: R$ 4,00suco de laranja: R$ 2,50cocada: R$ 3,50

10. a) S = { (3/5, 8/5) }

b) k = 0 => x = 1, k = 2 => x = 3/7, k = 3 => x = 1/3 ek = 5 => x = 3/13.

c) k = - 3/2

11. a) GÛ = (360 - 2x) reaisG½ = (600 - y) reaisG = (960 - 2x - y) reais

b) D : 30 caixas para A e 10 caixas para B.D2: nenhuma caixa para A e 30 caixas para

B.GÛ = 300 reais e G½ = 590 reais.

12. 453 kcal.

13. V = {(-1, 0, 1, 2)}

14. a = 2S = {[(7-5z)/5, (5z+4)/5, z)]} (z Æ IR)

15. O sistema dado é possível e determinado sex = y = z = p/2.Logo, os valores de x, y e z são inteiros se, esomente se, p é par. Concluí-se daí que asproposições a e b da questão não são verdadeiras.Esta questão foi anulada pela Unicamp!

16. a) Para a = 1:

x + y + z = 1 (equação 1)x + y + z = 2 (equação 2)x + y + z = - 3 (equação 3)

Multiplicando a equação 1 por "-1" temos:- x - y - z = - 1

Somando com a equação 2 temos:



0 = 1

Para a = 1 o sistema é impossível.

b) a · 1 e a · -2.

17. a) ‘ = (™/8) + (k™/2), k Æ Zb) ((Ë2) - 2; 1)

18. a) — = 2 ou — = 3 ou — = 9b) S = { (0, 0, 0) }

19. [C]

20. [E]

21. [A]

22. [E]

23. [A]

24. [C]

25. [B]

26. [C]

27. [C]

28. [B]

29. [A]

30. [A]

31. [A]

32. [D]

33. [A]

34. [A]

35. [D]

36. [C]

37. [A]

38. [C]

39. [A]

40. [C]

41. [E]

42. [B]





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