Respostas dos Exercícios  

CAPÍTULO 1

EXERCÍCIOS 1.1

a) 2 91 (2 3 )54

x C+ + b) 1/2 1/22( 3) 2arctg( 3)x x C+ − + +

C

c) d)

ln( 4)te + + 1 sen(5 2)5

x C− +

e)

7/2 5/2 3/22 4 2(1 ) (1 ) (1 )7 5 3

x x x+ − + + + +C f)

5/2 3/22 2( 1) ( 1)5 3

x x C+ − + +

g)

5/2 3/22 8( 4) ( 4)5 3

t t− + − +C h)

21 ln sec2

x C+

i)

14/3 1/6 2/33 18 614

x x x− + +C j) 2 2/3 23 ( 4) ( 6)10

x x C+ − +

k) 3 6 62 3 6 6ln( 1)x x x x− + − + +C l) 7/3 4/33 27( 9) ( 9)7 4

x x C+ − + +

m) 9/5 4/55 5(3 2) (3 2)81 18

x x+ − + +C n) 2 2arctg33

x C−+

o) 7/2 5/2 3/22 4 2(1 ) (1 ) (1 )7 5 3

x x xe e e+ − + + + +C

EXERCÍCIOS 1.2

1. a) (ln 1)x x − +C b) 1 (sen cos )2

xe x x C− +

c) cos sen x x x− + +C d) 3 1ln

3 3x x C⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

e) ( )1 cossec cotg ln cossec cotg 2

x x x x C+− + − f) 21arctg ln(1 )2

x x x C− + +

g) 2(2 )cos 2 sen x x x x C− + + h) 2 1

2 2

xe x C−− ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

i) 3/22 (3ln 2)9

x x C− + j) cos (1 ln(cos ))x x C− +

k) sec ln sec tgx x x x− + C+ l) 3 23 2 1xe x x x C− ⎡ ⎤− + + + +⎣ ⎦

m) sen5 cos5125

x x x C+ n) ( )3

29 6 227

xe x x C− + +

o) 2( 2) sen 2 cosx x x x C− + +

2. 2 1 1( )

2 2

tep t t−− ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ 4+

EXERCÍCIOS 1.3

1. a) 5sen

5x C+ b) 31 1 1sen 4 sen 2

16 64 48x x x C− + +

c) 7 5cossec cossec

7 5x x C−+ + d) 3 5 71 2 1cos cos cos

3 5 7x x x− C+ − +

e) 4cos

4x C−+ f)

5 3tg tg tg5 3

x x x x C− + − +

g) 7 32 2cos cos7 3

x x C− + h) 9 7 51 2 1tg tg tg9 7 5

x x x C+ + +

i) 4tg4

x C+ j) tg cotgx x C− +

k) 31sen sen3

x x C− +

l) 31 1 1cossec cotg cossec cotg ln cossec cotg4 8 8

x x x x x x−+ − − C+

EXERCÍCIOS 1.4

1. a) 1 arctg2 2

x C+ b) 21 3 3ln

3x C

x x+

− +

c) 2 16ln

4 4x x C−+ + d) 29 arcsen 9

2 3 2x x x C+ − +

e) 2 2625 arcsen 25 (25 2 )8 5 8

x x x x C+ − − + f) 2

2 1ln 1 xx x Cx−

+ − − +

EXERCÍCIOS 1.5

a) 5 6ln | 2 |2

x Cx

+ + ++

b) 3ln | 1 | 5ln2

xx Cx−

− + +−

c) 3ln ln 3 2ln 1x x x− + + − +C d) 2 2 2ln 1x x x C− + + +

e) 2 1ln( 1) arctg 2ln 11

x x x Cx

+ + − − − +−

f) 219 ln( 1) 12arctg ln | |2

x x x x C− + − + +

g) 32 5ln | 33

|x xx

+ − + ++

C h) 3 2 1ln | 2 | ln5 5 2

x x C+ + − +

EXERCÍCIOS EXTRAS

1. 1) 107ln 11

x x Cx

+ − − +−

2) 2arcsen x C+

3) 3 23tt

− +C 4) 21 9 3ln

3x C

x x+

− +

5) 11 tg

Cx

−+

+ 6) tg x C+

7) 1 1 14 1 1

Cx x

⎡ − +⎢ + −⎣ ⎦⎤⎥ 8) 1ln

2 senC

x⎛ ⎞

+⎜ ⎟−⎝ ⎠

9) 1 arctg4 4

x C+ 10) 1 tg55

x x C− +

11) 2 arctg 3

t C+ 12) 3arcsen x C+

13) 31 (2 ) 23

y y− +C 14) 1xe C− +

15) 2 14ln ln( 4) arctg2 2

xx x x+ + + − +C 16) 2 2

3

(3 2 ) 327x x C

x+ −

+

17) 3 51 sen 2 sen 2

2 3 5Cθ θ⎡

−⎢⎣ ⎦

⎤+⎥ 18)

221 ln( 1) arctg

4 4x x x x C+ − + + +

19) 2

2 21 1 sen( 1) cos( 1)4 4

xx xe e e−

+ − − C+ 20) xxe C−− +

21) 5 31 2cotg cotg cotg5 3

x x x− − − C+ 22) 15ln 1 3ln 51

x x Cx

+ − − − ++

23) 26

1 1cos 3

xe Cx x

− − + 24) 2 24 ln 4x x x C− + + − +

25) 2

12(16 )

Cx

+−

26) 2 sen 2cos5 2 2

x x xe C⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

27) 24

2 14

x xe x⎡ ⎤

− + +⎢ ⎥⎣ ⎦

C 28) 21 tg2

x C+

29) 2

2 2 1arctg2( 2 3) 4 2

x x Cx x− − +⎛ ⎞− +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

30) ( 1) tg ln cosx x x C− + +

2. a) ≈ 13,18 b) ≈ 7,4 c) ≈ 41,85 3. 5/2

4. 31 1( ) cos cos 109 3

p t t t t= − +29

+

5. ≈ 0,082

CAPÍTULO 2

EXERCÍCIOS 2.1

5. a) 3 31 ( )3

y y x C+ − + = 0 b) 2 xy e=

c) d) 2 3 22 2 2 3y y x x x− − − − − = 0 22ln(1 ) 4y x= − + +

e) 2ln sen 1 0y y x+ − − = f) 32 ln 13

y x C= ± + +

g) 2 21 ( )2

y xy x e e C−− + − + = 0 h) 22y

x C=

−

i) 1yx C−

=+

j) 2

42

xey C= ± +

k) 2y x= ± +C l) ( )2

2ln 02xy C− + =

6. a) b) tg( 1)y x= − 2 ( 1) 3tx e t= − + 7. k = -3 ou k = 3. 8. 2

24 2

yx x

−=

+ −

9. Considerando 0 temos 4y≤ <2

02

03

4 4( ) , onde 1

t

yy t Cy

Ce−

−= =

+

.

a) ( ) 4.t y t→+∞ ⇒ → b) unidades de tempo. 3,3T ≈ 10. 21 1( ) (1 ); ( ) quando .

8 8xy x e y x x−= − → →∞

EXERCÍCIOS 2.3

1. ( ) (1 )k tC t C e−= − , onde k é a constante de proporcionalidade.

2. t = 24 dias e meio 0,0282804 t−( ) 100C t e=

3. a) aproximadamente 13 anos; b) 29,58 mg

4. Aproximadamente 13.334 anos

5. 0

0( ) ,

1 p tp p xx t C −

xCe α−= =+

0

0

1 1( ) ,1 t

xx t CxCe β−−

= =+

6.

7. Q(0) = 160 bactérias

8. 29,3 gramas; ; 0 grama de A e 30 gramas de B. 60 quando x t→ →+∞

(10) 1834; ( ) 2000 quando C C t t= → → +∞

9.

EXERCÍCIOS 2.4

1. a) 21( ) (3 1)

2xy x e= − b) 2

sen ( ) xy xx

=

32( ) (

3x xy x e c) 2 31 1( )

3 3x xe Ce− −+ +y x x⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠)C= + d)

e) 3 cos(( ) sen(2 )2 2

xy x xx

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦2 ) C+ 3 f) 2( ) 2 ( 1)x xe+y x e x= −

g) 3

2( )5x Cy x

x= + h) 2 21( ) ( 1)

2xy x e x−= −

2. a) b) → → 0,04 te− ndo t +∞

t

100( ) 0,3(1 ), ( ) 0,3 quando .te i t t−= − → →∞

( ) 500 400C t = − ( ) 500 gr quaC t 3. 7h, 42min≈ 4. Levará aproximadamente 82 seg para atingir 90ºC e 146 seg para atingir 98ºC. 5. Aproximadamente 25ºC. 6. i t 7. . 50 50( ) 0,01(1 ), ( ) 0,5t tq t e i t e− −= − = EXERCÍCIOS EXTRAS

1. a) a = 0 ou a = 2; b) a = 0 ou a = -1/3

2. a) 21 5( )

2 2x x xy x e e− −= − + b) 2 1/21( ) (1 )

2x= +y x

c) d) 3 3

( ) t t ty t e e− −= + 215( ) (2 )16

y x x 1= + +

e) 3 3( )

2t ty t e e−= −

3t− f) 5 54

5 51 4( )5 5

x x

y x e e−

= +

g) 2

15( )9

y xx

=+

h) 1( )y x xx

= −

3. 51 .xe−⎞

⎟01( )5 5

y x y⎛= + −⎜⎝ ⎠

a) A solução é decrescente para y0 > 1/5 e crescente para y0 < 1/5. b) y(x) → 1/5 quando x →¶ e independe do valor de y0.

4. 02

4( ) .9

yy xx

=−

a) x > 3 para e -¶ < x < ¶ para y0 = 0. 0 0y ≠ b) y(x) → 0 quando x →¶ e independe do valor de y0. 6. A solução do PVI é dada implicitamente por 3 23y y x x 0.− − − = A solução tem um extremo local

onde 0dydx

= , ou seja, em x = -1/2.

7. ≈ 50.200 anos. 8. 30/4 gramas.

9. a) 1

2100( ) ( 100)t

Q t e t−

= + b) 1

10(10) 2C e−

= gramas por litro. 10. y0 = 64 11. t ≈ 2,71 h 12. t ≈ 0,5 h 13. 760 14. 11 horas 15. T(1) = 31,67°F; Aproximadamente 0,06 min.

17. /10

2 /10

60(1 ), 0 20( )

60( 1) , 20

t

t

e ti t

e e t

−

−

⎧ − ≤⎪= ⎨− >⎪⎩

≤

18. 1( )/0( ) t t RCE t E e− −=

19. sen0( ) k tP t P e=

20. 276 estudantes infectados

CAPÍTULO 3

EXERCÍCIOS 3.2

(a) d = 5  (b)   86 9,27d = ≈

 

 

EXERCÍCIOS 3.4

1. a)        b)    

  

 

 

 ; ;

;  

   

( )1,2 1f − = − ( ), 3f b x b x= +

  c)      d)   ( ) ( ), ,

3f x x y f x y

x+ Δ −

=Δ

( ) ( ), ,1

f x y y f x yy

+ Δ −=

Δ

2. a)  b)      ( ){ }2 2 2, :D x y x y= ∈ + ≤ 4 ( ){ }2 2, :D x y y x= ∈ ≥

  c)    d)   ( ){ }2, :D x y y x= ∈ ≠ ± ( ){ }2, : 4 2D x y x y= ∈ > −

3. a)    b)    c)   ( )2,1 5f = ( ) 33 , 9 1f a a a= + ( ) ( )2 2, 1f ab a b a b a b− = − +

4. a)  b)    ( ) ( )( ) 2 1, 3 0f x t y t t t= + ( ) ( )( )0 , 0 0f x y =

5.   ( ){ }2 2, :D x y x y= ∈ ≠

6. a)          ( ) 2 3, :2xD x y y −⎧ ⎫= ∈ ≠⎨ ⎬

⎩ ⎭( ) 72,1

8f = ( )6, 4 0f − =

     b)   ;       ( ){ }2, :D x y y x= ∈ ≥ ± ( )4,5 3f = ( )1,2 3f − =

 

CAPÍTULO 4

EXERCÍCIOS 4.1

2.  a)  b)  3 25 ; 15x yz y z xy= = ( )22

12 ; 3 ln 2 12 1

yy

x yxez z

  c)  d)      

e xx

= = −−

x ; x yz ycosx z sen= = ( ) ( )2 27 1 2 ; 7 1 2xy xyx ye xy z xe xy= + = +z y

  e)  f)    ( )

2 3

2

6 8 ; 1 4 1 4

x yx xz z

y y= =

− −

3 3 ; x yz zx y

−= =

  g)   ( ) ( )2 2 2 22 cos ; 9x yz x x ysen x y z x sen x y y⎡ ⎤= − = − +⎣ ⎦2

  h)   ( ) ( ) 11 ln ; lnxy xyx yz e y x y z e x x y

y⎡ ⎤

= ⎡ + − ⎤ = − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

  i)   ( ) ( )

2 2

2 2

2 ; x yx xy y x xz z

x y x+ − −

= =+ + y

  j)   ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 3 3 2

2 22 2

1 1 3 2- + ; - + ; +2 2x y z

z y x yz z y x xz z y x zy x xyf f fx y x yxyz xyz xyzx z x z x z

− −= = =

+ ++ + +

  k)   2 3 3 3 3 2 3 3 2 2 23

w2

2

3 2 3 ; 6 - - ; 3 ; 32 32 32w y x zw z w z xyz y z w z xy zf f xy f y f

y y w w y= = = − = −

4.   2 ; m m

P T

V VR RTT P P P

∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5.       ( ) (3,2 12,2xf ≈ )3;2, 16,8xf ≈2

 

EXERCÍCIOS 4.2

1.   dT V dP P dVdt R dt R dt

= +

2.   2

4

2( )dT dP abV aV dVR V b Pdt dt V dt

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

3. a)      b)   30,88 / mindV cmdt

π= 20,46 / mindA cmdt

π=

4.   20,07626 /dS cm anodt

=

5. a) A produção de trigo diminui a medida que a temperatura aumenta. 

        A produção de trigo aumenta a medida que a chuva aumenta. 

  b)   (Nestas condições, a produção de trigo diminuirá cerca de 1,1 unidades por ano.) 1,1dWdt

= −

6.           53,1 10 /dI A sdt

−= − ×

7.   0,27dVdt

= −

8.   ( 0)dw tdt

= = 4

10.       216

−

11. a)      b)   ( )2

6 3dz yt xdt x y

−

−= ( )2 29 6 1 18dz x y t

dt⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

12. a)      b)  

                

                  

( ) 2

' 2 t

y x

f f coste tx y

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠G t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 0 1,0 1,0 1,0 1,0 5

y x

f dx f dyGx dt y dt

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

 

EXERCÍCIOS 4.3

1. a) b)

3 4z x= − 25z y= −

     

2. 

 4z x= −

3.       2 53 3

z x= + 5 43 3

z y= +

4.      (coeficiente angular da reta tangente à curva de nível gerada, no plano yz, quando se fixa  x = 1)  ( )1,2 8xf = −

         (coeficiente angular da reta tangente à curva de nível gerada, no plano xz, quando se fixa  y = 2)       ( )1,2 4yf = −

5.  (a)          (b)             3

40 e 9

x x= = 0 e 1x x= =

6.     (a partir do ponto (2,3) do plano xT, para cada uma unidade que você anda (aumenta), na 

direção do eixo x, o valor de z diminui de 2,4 unidades)   

( )2,3 2,4y

Tx

∂⎛ ⎞ = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

          (a partir do ponto (2,3) do plano yT, para cada uma unidade que você anda (aumenta), na 

direção do eixo y, o valor de z diminui de 9 unidades)                      

( )2,3 9x

Ty

⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

7.  (a)    axa de variação da temperatura aparente em relação a temperatura do ar, 

mantendo a umidade relativa do ar como constante).                          

0,885 1,2h

I ht∂⎛ ⎞

⎜ ⎟ (t

 

;     ;           

= +∂⎝ ⎠

              (taxa de variação da temperatura aparente em relação a umidade relativa do ar, 

mantendo a temperatura do ar como constante).                                           

22,4 1,2t

I th∂⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

     (b)       e            0,8

1,845h

It =

∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 32

16ot

Ih =

∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

EXERCÍCIOS 4.4

1.  a)     ( ){ }2, : 0, D V T V V b= ∈ > ≠

  b)          

3.   

4. a) Não satisfaz o teorema   

  b) Satisfaz o teorema   

6. a)   

  b)   

  c)   

  d)   

( )2 3

2

T

P RT aV VV b∂

= − +∂⎝ ⎠ −

⎛ ⎞⎜ ⎟ ( )V

P RT V∂⎛ ⎞

b⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠=

( )

2

32 4

2 6

T

P RTV VV b

⎛ ⎞∂= +⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠

a

2 2

2m mV VR

P T P T P⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )xy yxf f≠

( )xy yxf f=

2 22 8 ; 16 ; 16 ; 18 8xx xy yx yyf y f xy f xy f y x= = = − += +

2 21 1 ; 0 ; 0 ; xx xy yx yyf f f fx y

= − = = = −

2 2e ; +xy ; ; xy xy xy xy xyxx xy yx yy

xyf y f e e f e xye f x= = = + = e

)( )(( )

2 2 2 2

42 2

4 3 yx

x x y x yf

x y

+ − +=

+

  e)       

( )

2 2

32 2 2 2

1 1

zzx yfx y z

+ −=

− − − ( )3

2 2 2 2

=

1yx

xyfx y z

−

− − −

EXERCÍCIOS 4.5

1. a) (0,0,0) é um ponto de mínimo relativo 

  c) (0,0,5) é um ponto de sela 

  e) não existem pontos de máximo, mínimo ou sela 

2. a) Máximo absoluto em    b) Máximo absoluto em (3,‐2) 11,2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3. (0,0,0) é um ponto de sela 

  (‐1,1,1) é um ponto de máximo relativo 

4. Os números são: x = y = z = 8 

9. A antena deve ser instalada no ponto   5 1,4 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

EXERCÍCIOS 4.7

3. a)

b) Quando α = 0 e β = 0, tem‐se que V = cte (que significa que se trata de um fluido (líquido) incompressível. 

c)   

d)   

dV dT dPV

α β= −

-124 bar C⋅

32 1,267 cmV =

4.

EXERCÍCIOS 4.9

2. Considere     utilize derivação implícita.  e( ) ( )2, , 0aF P T V P V b RTTV

⎛ ⎞= + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

   

( )

( )2 2

2 3

2P

a V bRV V T

T a V baPTV TV

−+⎛ ⎞∂

=⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠+ −

EXERCÍCIOS EXTRAS

1. a)  ( )4y

z xy sen x yx∂⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

  ;   ( )22x

z x sen x yy

⎛ ⎞∂= − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

 

    b)  ( ) ( )cosx y

y

z e x y sen xx

−∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂⎝ ⎠y+   ;   ( ) ( )cosx y

x

z e x y sen xy

−⎛ ⎞∂ y⎡ ⎤= + −⎜ ⎟ +⎣ ⎦∂⎝ ⎠ 

2. a)  3 3 220 6 7y

f x y x yx∂⎛ ⎞ = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

−   ;   4 2 315 2x

f x y xy

⎛ ⎞∂= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

 

    b)  21 '

y

z xfx yy

⎛ ⎞∂⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠  ;   2 3

1 'x

z x xf fy yy y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

xy

 

    c) 1 ' cos

y

z x xf senx y y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠  ;   2 ' cos

x

z x x xf seny yy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠y

 

    d) ( )

2

22

y

z x xyx x y∂ +⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ +

y−  ;  

( )

2

2x

z x xy x y

⎛ ⎞∂ −=⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠

 

    e)  ( )4

2 22

23 ln 22y

z xx x yx x y∂⎛ ⎞ = − − −⎜ ⎟∂ − −⎝ ⎠

  ;  3

22y

z xx x y∂⎛ ⎞ = −⎜ ⎟∂ − −⎝ ⎠

 

    f)  [ ]23 1 2xy

y

z ye xyx∂⎛ ⎞ = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

  ;   [ ]23 1 2xy

x

z xe xy

⎛ ⎞∂= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

y  

    g) 3 1

y

z xsenx y y∂⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ x

  ;   23 1

x

z x xseny yy

⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ y

 

    h)  7 lnx

y

w y yx

∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠  ;   17 x

x

w xyy

−⎛ ⎞∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

 

3.  ( )1,1 17y

wx

∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 

4.  ( ) 4 2 21, 7 ln 12

f x y x y xy y K= − + + +  

5. a) 66

x

y

f yf x=

=    b) 

62

x

y

f xf=

=    c)  2

6

3

yx

yy

f xe

f x e

=

=    d) 

3 2

2

xyx

xyy

f ye

f xe

= +

= 

    e)  2

2

2x

y

xfy

xfy

=

= −   f) 

( )2

11

1

x y

y

yy

he

xehe

=+

= −+

    g) ( )( )

6 3 4

2 3 4x

y

f x y

f x y

= − +

= − − + 

    h) ( )

( )

1 ln

ln

xy xx

xy xyy

yf e y x yex

f e y x xe

= − + −

= + −    i) 

( )

3

3 1

x y

y y

yfex y

fe

=

−=

    j) 2 c

cos

x

y

y yf xsen y osx x

yf xx

= −

= 

6. a) 32VRC =     b)  ( )

53223ln 2

RTPeS R mkT

Lhπ

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

   c) 25 3

2 2TR RR

P⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

  d) 5 13

P

V

C RTC P

= +  

7. , ,

e 0P n T n

V VnRT P∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

8. 2

4,18I

H RIt

∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ calorias/s 

9.  0 02

760 760 e 1

273 273P T

TT P P P

ρ ρρ ρ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎞+ ⎟⎠ 

10. a) 21

58r

Ah

π∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠    b) 

958h

Ar

π∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 

11.   1 1

1 T

T

PB VV V

V Pβ

∂⎛ ⎞= = − = − ⎜ ⎟∂ ∂⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟∂⎝ ⎠

   ⇒    

 

 2 T T

m mV V V V V

mV

μ μμ ⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

T

T

VV

V

μ μμ μ

⎛ ⎞∂= − = − ⎜ ⎟∂ ∂⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟∂⎝ ⎠

 

T TT T

V P V PBV V

μ μT

Pμμ μ μ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⋅ = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦  ⇒   

12.  ⇒    H  é  função  crescente  da  temperatura  e  que  H  é  linear.  Portanto,  a 

isóbara  é  uma  reta  com  coeficiente  angular  positivo  e  igual  a  .    Somente  com  a  informação  dada  não  é 

possível saber se a reta passa pela origem ou não. 

é uma constante positivaP

HT

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠

52

R

19. 0,3% 

22. Escreva a diferencial total para U e divida a equação obtida por dV, com P constante. 

23. (a)   T

S nV T∂ R

=∂⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟

  (b) Como n, R e V são grandezas positivas, segue que      ⇒   as isotermas são curvas monótonas 

crescentes. Calculando a derivada segunda de S em relação a V, concluímos que   e, portanto, a curva 

será côncava para baixo. 

0T

SV∂⎛ ⎞ >⎜ ⎟∂⎝ ⎠

2

2 0T

SV

⎛ ⎞∂<⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

 ⇒    26.   

  

∴   

  Como  

 

segue que   

 

CAPÍTULO 5

EXERCÍCIOS 5.1

1. 43,2      2.   

3.        4.   

1T U V

U V TV T U∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−1 1 1

T U

U V U V

U TV T V TV VT U T U

∂ − ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − ⋅ = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠V

UT

∂∂

U V

T U UV T V∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠T

J VU V

T UCV T

μ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

J Vμ ⋅ =T

UCV∂⎛ ⎞−⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( ) 2

ab a b+

1 2

1 2

5.   2

3a

EXERCÍCIOS 5.2

1. 0,1      2. 448 

3. a)    b)    ( )1 1

0,

yf x y dxdy∫ ∫ ( )2

1 1

1,

xf x y dydx

−∫ ∫

4. a) Para uma função contínua, a afirmação é falsa. 

  b) Verdadeira, pois   5 6 6 5

3 2 2 332xdydx xdxdy= =∫ ∫ ∫ ∫

5. a) ‐0,072    b) ‐0,359  c)      d) ≈ 0,382 8 -7

6. a) 15,37    b) 1,27    c) 0,535    d) 0,57    e) 159,15 

  f) 2,25    g) 1,08    h) 0,125    i) 0,8    j) 2,66    k) 1,097 

7. a)  2 2eπ

−     b)  43    c)  4

3    d) 18 

 

EXERCÍCIOS 5.3

 

EXERCÍCIOS 5.4

EXERCÍCIOS 5.5

3. a) VM = 16    b) VM =      c) VM = 0    d) VM =   92

2 3e4−

 

EXERCÍCIOS 5.7

4. a)   ( ){ , : 0 1 cos , 0 2 }R r rθ θ θ= ≤ ≤ + ≤ ≤ π

    b)   ( ){ , : 0 2cos , - }2 2

R r r π πθ θ= ≤ ≤ ≤θ ≤

5. A π=

EXERCÍCIOS EXTRAS

2. (a)  (b)       (c)         ( )22 420 0

1 14

yye dxdy e= −∫ ∫

1

01

2y

e

e

eydxdy = +∫ ∫ ( )2 4 20 0

cos 0,38yy xy dxdy =∫ ∫

(a)

(b)

 

4. (a) 21,3      (b) 39,06    d) 1 cos64

3−

    e) 0,54    f) 0,035   g) 1 

5. (a)      (b)         64

5π 5

2π

6. (a)      (b) 3,46 ( )3 10

3

e −

7.  

(a)

(b) 1,35

(c) 0,54

83

   

8. a)  ( )0 2

,y

2 4f x y dxdy∫ ∫     b)  ( )

31 y

0,

yf x y dxdy∫ ∫     c)  ( ) ( )

0 1 ln, ,

e y

22 2 2ef x y dxdy f x y dxdy+∫ ∫ ∫ ∫  

9.  94    10.  4V π=     11.  

15. 16 32

3V π −=   16. e ‐1   17. Área= 27,87   18.  (1 cos8

3− )1

   

19. 24    20. ‐25,5    21. 2 23 3

Re−−  

23. kA    

24. Falsa.      

( )

2

.y dxdy1 1 2 20 0

8 1y

V x−

= − −∫ ∫

25.   83

CAPÍTULO 6

EXERCÍCIOS 6.5

1. a)  ( )1 2,3 e 1 2,6v a= =  

2. a)  0,87 6,93 e 0,5 86 6

v i j a i⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

jπ π 

4. a)  ( ) ( )1 1 1 2 j2 e 22 3 2 9

v i j a i= − − = +     b)  ( ) ( )0 2 e 0 4v i j a i j= − = +  

       ( )2 0,v = 6                ( )0 2,2v 4=  

5. a)  ( ) ( ) (3

2 42 3 3 2 13tr t i t t j t k)⎛ ⎞

= + + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

  b)  ( ) ( ) ( )2

3 47 2 12tr t t t i t t j t k3

⎛ ⎞= + + + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 

6. b)   ( )' 2 2r t i tj= +

7. 

24 48 12

x ty tz t

= += += +

 

 

EXERCÍCIOS 6.7

5. b) 12,92−

 

 

EXERCÍCIOS 6.9

a)     b)      c)   1e − 13

24π−

 

EXERCÍCIOS 7.0

1)   1

12−

 

 

EXERCÍCIOS EXTRAS

49. 2ka2