Exercícios de provas oficiais - matematicaonline.ptmatematicaonline.pt/materialescolar/index_htm_files/001_ETestesIn... · matA11 trigonometria [email protected] 1 / 43 Exercícios

matA11

trigonometria

www.matematicaonline.pt

[email protected]

1 / 43

Exercícios de provas oficiais

1. Na figura ao lado, está representada uma circunferência

de centro no ponto O e raio 1.

Sabe-se que:

o diâmetros [AC] e [BD] são perpendiculares

o ponto P pertence ao arco AB

[PQ] é um diâmetro da circunferência

o ponto R pertence a [OD] e é tal que [QR] é paralelo

a [AC]

Seja a amplitude, em radianos, do ângulo AOP

0,2

.

Qual das seguintes expressões dá a área do triângulo [PQR], representado a sombreado, em

função de ?

(A) cos 2

4

(B)

sin 2

4

(C)

cos 2

2

(D)

sin 2

2

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2016

2. Na figura ao lado, estão representados o círculo

trigonométrico e um trapézio retângulo [OPQR].

Sabe-se que:

o ponto P tem coordenadas 0,1

o ponto R pertence ao quarto quadrante e à

circunferência

Seja , a amplitude de uma ângulo orientado cujo

lado origem é o semieixo Ox e cujo lado

extremidade é a semirreta OR

Qual das expressões seguintes dá a área do trapézio

[OPQR], em função de ?

(A) cos

sin cos2

(B)

cossin cos

2

(C) sin cos

cos2

(D)

sin coscos

2



matA11

trigonometria


[email protected]

2 / 43

3. Um cubo encontra-se em movimento oscilatório provocado pela força elástica exercida por

uma mola.

A figura abaixo esquematiza esta situação. Nesta figura, os pontos O e A são pontos fixos. O

ponto P representa o centro do cubo e desloca-se sobre a semirreta OA

Admita que não existe qualquer resistência ao movimento.

Sabe-se que a distância, em metros, do ponto P ao ponto O é dada por:

1

1 sin2 6

d t t

A variável t designa o tempo, medido em segundos, que decorre desde o instante em que foi

iniciada a contagem do tempo 0,t .

No instante em que se iniciou a contagem do tempo, o ponto P coincidia com o ponto A.

Durante os primeiros três segundos do movimento, o ponto P passou pelo ponto A mais do

que uma vez.

Determine, sem recorrer à calculadora, os instantes, diferentes do inicial, em que tal

aconteceu.

Apresente os valores exatos das soluções, em segundos.


4. Na figura, está representado o círculo trigonométrico.

Sabe-se que:

o ponto A pertencente ao primeiro quadrante e à

circunferência

o ponto B pertence ao eixo Ox

o ponto C tem coordenadas 1,0

o ponto D pertence à semirreta OA

os segmentos de reta [AB] e [DC] são paralelos ao

eixo Oy

Seja a amplitude do ângulo COD 0,2

.

Qual das expressões seguintes dá a área do quadrilátero [ABCD], representado a sombreado,

em função de .


matA11

trigonometria


[email protected]

3 / 43

(A) sin 2tan

2 2

(B)

sin 2tan

2 4

(C) sin 2

tan4

(D)

sin 2tan

2


5. Na figura, estão representadas, num referencial o.n. xOy, a circunferência de centro O e a

reta r

Sabe-se que:

os pontos A e B pertencem à circunferência

o ponto B tem coordenadas 0,1

a reta r é tangente à circunferência no ponto B

o ponto C é o ponto de interseção da reta r com a semirreta OA

é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB, com 0,2

Qual das expressões seguintes representa, em função de , a área da região a sombreado?

(A) sin

2

(B)

tan

2

(C)

tan

2

(D)

2

matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2014


matA11

trigonometria


[email protected]

4 / 43

6. Na figura ao lado, estão representados uma circunferência de

centro O e raio 2 e pontos P, Q, R e S. Sabe-se que:

os pontos P, Q, R e S pertencem à circunferência

[PR] é um diâmetro da circunferência

PQ PS

é a amplitude, em radianos, do ângulo QPR

0,2

A é a área do quadrilátero [PQRS], em função de

Para um certo número real , com 0,2

, tem-se que tan 2 2 .

Determine o valor exato de A , recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a

calculadora.

Comece por mostrar que 16sin cosA


7. Na figura, está representada,

num referencial o.n. xOy,

uma circunferência de

centro O e raio 1.

Sabe-se que:

os pontos A e B

pertencem à

circunferência

o ponto A tem

coordenadas 1,0

os pontos B e C têm a mesma abcissa

o ponto C tem ordenada zero

o ponto D tem coordenadas 3,0

é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB com ,2

Qual das expressões seguintes representa, em função de , a área do triângulo [BCD]?

(A) 1

3 sin cos2

(B) 1

3 sin cos2

(C) 1

3 cos sin2

(D) 1

3 cos sin2



matA11

trigonometria


[email protected]

5 / 43

8. Qual das expressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer x pertencente

ao intervalo 3

,2

?

(A) sin cosx x (B) cos

tan

x

x (C) tan sinx x (D) sin tanx x

matemática A – 11º ano, teste intermédio, 11-03-2014

9. Considere, em , a equação trigonométrica sin 0,3x .

Quantas soluções tem esta equação no intervalo 20 ,20 ?

(A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80


10. Na figura ao lado, estão representados:

o retângulo [ABCD], em que 1CD e 2BC

o ponto O, ponto médio do segmento [AD]

uma semicircunferência de centro no ponto O e raio 1

Considere que um ponto P se desloca ao longo do

segmento de reta [AB], nunca coincidindo com A, mas

podendo coincidir com B.

Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto de interseção

da reta PO com a semicircunferência.

Seja x a amplitude, em radianos, do ângulo DOQ 0,4

x

Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.

10.1. Mostre que a área do polígono [BCDQP], representado a sombreado, é dada, em função de

x, por tan sin

22 2

x x

10.2. Para uma certa posição do ponto P, tem-se 3 3

cos2 5

x

Determine, para essa posição do ponto P, a área do polígono [BCDQP]

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.



matA11

trigonometria


[email protected]

6 / 43

11. Na figura, estão representados a circunferência de centro no ponto C e de raio 1, a semirreta

CB , a reta AD e o triângulo [ACE].

Sabe-se que:

os pontos A e B pertencem à circunferência

os pontos D e E pertencem à semirreta CB

a reta AD é perpendicular à semirreta CB

o ponto A desloca-se sobre a circunferência, e os pontos D e E acompanham esse

movimento de modo que 6DE

x é a amplitude, em radianos, do ângulo ACB

0,2

x

Mostre que a área do triângulo [ACE] é dada, em função de x, por 1

3sin sin 24

f x x x


12. Na figura, estão representados, num referencial o.n.

xOy, o triângulo [OAB] e a reta r.

Sabe-se que:

a reta r é definida por 3x

o ponto A pertence à reta r e tem ordenada positiva

o ponto B é simétrico do ponto A em relação ao

eixo Ox

é a amplitude, em radianos, do ângulo cujo

lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado

extremidade é a semirreta OA

;2

a função P, de domínio ;2

, é definida por

6

6tancos

P x xx

Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de , por P .



matA11

trigonometria


[email protected]

7 / 43

13. Na figura ao lado, está representado, num referencial

o.n. xOy, o círculo trigonométrico.

Os pontos A, B, C e D são os pontos de interseção da

circunferência com os eixos do referencial.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco

BC, nunca coincidindo com B nem com C.

Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto do arco

AB que tem ordenada igual à ordenada do ponto P e

seja R o ponto do eixo Ox que tem abcissa igual à

abcissa do ponto Q.

Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo

Ox e por lado extremidade a semirreta ,2

O P

Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora.

13.1. Mostre que a área do trapézio [OPQR] é dada por 3

sin cos2

13.2. Para uma certa posição do ponto P, a reta OP interseta a reta de equação 1x num ponto

de ordenada 7

24 .

Determine, para essa posição do ponto P, a área do trapézio [OPQR]

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.


14. Considere o intervalo 5 4

,6 3

Qual das equações seguintes não tem solução neste intervalo?

(A) cos 0,5x (B) sin 0,5x (C) cos 0,9x (D) sin 0,9x



matA11

trigonometria


[email protected]

8 / 43

15. Na figura, está representado o quadrado [ABCD].

Sabe-se que:

4AB

AB AH BE BF CF

CG DG DH

x é amplitude, em radianos, do ângulo EAB

0,4

x

Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por 16 1 tana x x .


16. Na figura, está representado um trapézio retângulo [ABCD].

Sabe-se que:

1BC

1CD

é a amplitude, em radianos, do ângulo

ADC

,2

Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que o perímetro do trapézio

[ABCD] é dado, em função de , por 1 cos

3sin

P

.


17. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que:

o segmento de reta [AC] tem comprimento

4;

o ponto B é o ponto médio de [AC];

o segmento de reta [BD] é perpendicular a

[AC];

o arco de circunferência CD tem centro

em B.

Admita que o ponto P se desloca ao longo do arco CD, nunca coincidindo com C nem com

D, e que o ponto Q se desloca ao longo do segmento de reta [AB] de tal forma que [PQ] é

sempre perpendicular a [BC].


matA11

trigonometria


[email protected]

9 / 43

Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo CBP e seja A x

a área do triângulo [APQ].

Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que 2sin sin 2A x x x ,

0,2

x

.


18. Seja um número real. Sabe-se que é uma solução da equação 1

sin3

x .

Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação 1

sin3

x ?

(A) (B) (C) 2

(D)

2


19. Considere o triângulo [ABC] representado

na figura ao lado.

Sabe-se que:

2AB

30ºACB

Seja BAC

Qual das expressões seguintes representa BC , em função de α?

(A) 4sin (B) 6sin (C) 4cos (D) 6cos


20. Na figura ao lado, está representado,

num referencial o.n. xOy, o círculo

trigonométrico.

Sabe-se que:

o ponto A tem coordenadas 1,0

o ponto B tem coordenadas 3,0

Considere que um ponto P se move

sobre a circunferência.


matA11

trigonometria


[email protected]

10 / 43

Para cada posição do ponto P, seja d PB e seja 0,2 a amplitude, em radianos, do

ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a

semirreta O P

.

Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.

20.1. Mostre que 2 10 6cosd

Sugestão: Exprima as coordenadas do ponto P em função de α e utilize a fórmula da distância entre

dois pontos.

20.2. Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que 2 10 6cosd

20.2.1. Determine os valores de 0,2 para os quais 2 7d

20.2.2. Para um certo valor de α pertencente ao intervalo 0, , tem-se tan 35

Determine d, para esse valor de α.


21. Na figura, estão representados, num referencial o.n. xOy, uma circunferência e o triângulo

[OAB].

Sabe-se que:

O é a origem do referencial

a circunferência tem centro no ponto O e raio 1

A é o ponto de coordenadas 1,0

B pertence à circunferência e tem ordenada

negativa

O ângulo AOB tem amplitude igual a 2

3

radianos

Qual é a área do triângulo [OAB]?

(A) 3

4 (B)

1

2 (C)

1

4 (D) 3



matA11

trigonometria


[email protected]

11 / 43

22. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy,

parte do gráfico da função f, de domínio , definida

por 4cos 2f x x .

Sabe-se que:

os vértices A e D do trapézio [ABC] pertencem ao

eixo Ox

o vértice B do trapézio [ABCD] pertence ao eixo

Oy

o vértice D do trapézio [ABCD] tem abcissa 6

os pontos A e C pertencem ao gráfico de f;

a reta CD é paralela ao eixo Oy

Determine, recorrendo a métodos exclusivamente

analíticos, o valor exato da área do trapézio [ABCD].


23. Na figura abaixo, está representada uma circunferência de centro no ponto O e raio 1.

Sabe-se que:

o ponto A pertence à circunferência

os pontos O, A e B são colineares

o ponto A está entre o ponto O e o ponto B

o ponto P desloca-se ao longo da semirreta AB , nunca coincidindo com o ponto A

d é a distância do ponto A ao ponto P

para cada posição do ponto P, o ponto Q é um ponto da circunferência tal que a reta PQ

é tangente à circunferência

x é a amplitude, em radianos, do ângulo OPQ 0,2

x

Seja f a função, de domínio 0,2

, definida por 1 sin

sin

xf x

x

.

Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.

Mostre, sem recorrer à calculadora, que d f x .



matA11

trigonometria


[email protected]

12 / 43

24. Determine o valor de 1

3tan

sabendo que 0,2

e que 3 4

cos2 5

Resolva este item sem recorrer à calculadora.


25. Considere, em , a equação trigonométrica cos 0,9x

Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?

(A) ,2 2

(B) 0, (C) 3

,4 4

(D) ,4 4


26. Na figura ao lado, está representado o círculo trigonométrico.

Sabe-se que:

a reta r é tangente à circunferência no ponto 1,0A

a reta s passa na origem do referencial e interseta a reta r

no ponto P, cuja ordenada é 2

o ponto Q, situado no terceiro quadrante, pertence à reta

s

Seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado,

assinalado na figura, que tem por lado origem o semieixo

positivo Ox e por lado extremidade a semirreta OQ.

Qual é o valor de , arredondado às centésimas?

(A) 4,23 (B) 4,25 (C) 4,27 (D) 4,29


27. Sejam , e três número reais.

Sabe-se que:

0,4

2

2

Qual das expressões seguintes é equivalente a sin sin sin ?

(A) 2sin cos (B) 2sin cos

(C) cos (D) cos



matA11

trigonometria


[email protected]

13 / 43

28. Na figura ao lado, está representada, em

referencial o.n. xOy, a circunferência de centro em

O e raio 5.

Os pontos A e B são os pontos de interseção da

circunferência com os semieixos positivos Ox e

Oy, respetivamente.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do

arco AB, nunca coincidindo com o ponto A, nem

com o ponto B.

Para cas posição do ponto P, sabe-se que:

o ponto Q é o ponto do eixo Ox tal que PO PQ

a reta r é a mediatriz do segmento [OQ]

o ponto R é o ponto de interseção da reta r com o eixo Ox

α é a amplitude, em radianos, do ângulo AOP 0,2

Seja f a função, de domínio 0,2

, definida por 25sin cosf x x x

Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.

28.1. Mostre que a área do triângulo [OPQ] é dada por f

28.2. Determine o valor de α, pertencente ao intervalo 0,2

, para o qual se tem

225cosf

28.3. Seja um número real, pertencente ao intervalo 0,2

, tal que 5f

Determine o valor de 2

sin cos



matA11

trigonometria


[email protected]

14 / 43

29. Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.

As figuras representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combustível distintas.

Os cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera.

Sabe-se que:

o ponto O é o centro da esfera;

a esfera tem 6 metros de diâmetro;

a amplitude , em radianos, do arco AB é igual à amplitude do ângulo ao centro AOB

correspondente.

A altura AC , em metros, do combustível existente no depósito é dada, em função de , por

h, de domínio 0, .

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

29.1. Mostre que 3 3cosh , para qualquer 0, .

29.2. Resolva a condição 3, 0,h .

Interprete o resultado obtido no contexto da situação apresentada.


30. Na figura, estão representados, num referencial o.n. xOy,

uma circunferência e o triângulo [OAB].

Sabe-se que:

a circunferência tem diâmetro [OA]

o ponto A tem coordenadas 2,0

o vértice O do triângulo [OAB] coincide com a origem

do referencial

o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferência

superior

Para cada posição do ponto B, seja a amplitude do ângulo AOB, com 0,2

.

Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que o perímetro do triângulo [OAB]

é dado, em função de , por

2 1 cos sinh



matA11

trigonometria


[email protected]

15 / 43

31. Na figura, está representado um triângulo retângulo

[ABC], cujos catetos, [AB] e [BC], medem 5 unidades.

Considere que um ponto P se desloca sobre o cateto [BC],

nunca coincidindo com B nem com C.

Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em

radianos, do ângulo BAP 0, .4

x

Seja f a função que, a cada valor de x, faz corresponder o

perímetro do triângulo [APC].

Mostre, usando exclusivamente métodos analíticos, que 5

5tan 50 5cos

f x xx

.


32. Na figura ao lado, está representada um triângulo retângulo [ABC]

cujos lados medem 3, 4 e 5.

Considere que um ponto D se desloca ao longo do cateto [AB],

nunca coincidindo com o ponto A.

Para cada posição do ponto D, seja x o comprimento do segmento

de reta [AD].

Qual das expressões seguintes dá o perímetro do triângulo [ACD],

em função de x?

(A) 24 25x x (B) 25 25x x

(C) 24 6 25x x x (D) 25 6 25x x x


33. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superfície esférica E, de equação

22 2 2 4x y z

Para um certo valor de α pertencente ao intervalo 0,2

, o ponto P, de coordenadas

tan , sin , 2 cos , pertence à superfície esférica E.

Determine os valores numéricos das coordenadas do ponto P. matemática A – 11º ano, teste intermédio, 06-05-2010


matA11

trigonometria


[email protected]

16 / 43

34. Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço

grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox.

Em qual das figuras esse ângulo pode ter 3 radianos de amplitude?

(A)

(B)

(C)

(D)


35. Considere a equação trigonométrica sin 0,1x

Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?

(A) ,2 2

(B) 0, (C) 0,6

(D) ,6 2


36. Na figura ao lado, está representado o quadrado [ABCD]

de lado 2

Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado

[CD], nunca coincidindo com o ponto C, nem com o

ponto D.

Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em

radianos, do ângulo BAP ,4 2

x

Resolva os três itens seguintes, sem recorrer à

calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos.

36.1. Mostre que a área da região sombreada é dada por 2

4tan x

.

36.2. Determine o valor de x para o qual a área da região sombreada é 12 2 3

3

.

36.3. Para um certo valor de x, sabe-se que 15

cos2 17

x

Determine, para esse valor de x, a área da região sombreada.



matA11

trigonometria


[email protected]

17 / 43

37. Na figura, está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio

igual a 1.

Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência.

Qual das expressões seguintes representa, em função de x, a área da parte sombreada?

(A) sin 2x (B) sin 22

x (C) 2sin 2x (D)

sin 2

4

x


38. Na figura ao lado estão representados:

uma circunferência de centro O e raio 1;

dois pontos, A e B, sobre a circunferência, tais

que [AB] é um diâmetro;

uma semirreta OA ;

um segmento de reta [PQ]

Considere que:

o ponto P, partindo de A, se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa,

no sentido indicado pelas setas da figura.

o ponto Q se desloca sobre a semirreta OA , acompanhando o movimento do ponto P,

de tal forma que se tem sempre 3PQ .

Para cada posição do ponto P, seja x a

amplitude, em radianos, do ângulo

orientado que tem por lado origem a

semirreta OA e por lado extremidade a

semirreta OP (ver figura ao lado).

Seja d a função que, a cada valor de x

pertence a 0,2 , associa a distância,

d x , do ponto Q ao ponto O.


matA11

trigonometria


[email protected]

18 / 43

Defina analiticamente a função d no intervalo 0,2

(isto é, determine uma expressão que

dê o valor de d x , para cada x pertencente a este intervalo).

Sugestão: trace a altura do triângulo [OPQ] relativa ao vértice P, designe por R o ponto de interseção

desta altura com a semirreta OA , e tenha em conta que OQ OR RQ .


39. Na figura abaixo, está representado, em referencial

o.n. xOy, o círculo trigonométrico.

Os pontos P e Q pertencem à circunferência, sendo

a reta PQ paralela ao eixo Ox. O ponto R pertence

ao eixo Ox. O ângulo ROP tem 53º de amplitude.

Qual é o perímetro do triângulo [OPQ] (valor

aproximado às décimas)?

(A) 3,2 (B) 3,4 (C) 3,6 (D) 3,8


40. A Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 10h e 45 minutos.

Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos minutos

tinha rodado 3 radianos.

Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante?

(A) 11h e 15 min (B) 11h e 45 min (C) 12h e 15 min (D) 13h e 45 min


41. Considere a equação trigonométrica cos 0,3x

Num dos intervalos seguintes, esta equação tem apenas uma solução. Em qual deles?

(A) 0,2

(B) 0, (C) 3

,2 2

(D) 3

,22



matA11

trigonometria


[email protected]

19 / 43

42. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy:

o círculo trigonométrico

o raio [OB] deste círculo

o arco de circunferência AB, de centro no ponto C

Tal como a figura sugere, o ponto B pertence ao primeiro

quadrante, os pontos A e C pertencem ao eixo Ox e a reta

BC é perpendicular a este eixo. Seja a amplitude do

ângulo AOB.

Qual é a abcissa do ponto A?

(A) 1 sin (B) 1 cos

(C) cos sin (D) 1 cos sin


43. Relativamente à figura junto, sabe-se que:

o triângulo [ABD] é retângulo

o ponto C pertence ao cateto [BD]

x designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAD

2AB e 1BC

43.1. Mostre que a área do triângulo [ACD] é dada por 2tan 1x .

43.2. Determine o valor de x para o qual a área do triângulo [ACD] é

igual a 1.

43.3. Sabendo que 5

sin2 13

e que 0,

2

, determine o valor de 2tan 1


44. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um arco de

circunferência AB, de centro na origem do referencial e raio igual

a 1.

A reta r tem equação 1y .

O ponto C pertence ao arco AB

Seja α a amplitude do ângulo AOC.

Qual das expressões seguintes dá a distância d do ponto C à reta r?

(A) 1 sin (B) 1 sin

(C) 1 cos (D) 1 cos



matA11

trigonometria


[email protected]

20 / 43

45. Seja 0,2

x

. Qual das expressões seguintes designa um número positivo?

(A) cos x (B) sin x

(C) 3

cos2

x

(D)

3sin

2x


46. Na figura está representado o círculo

trigonométrico.

Tal como a figura sugere, O é a origem do

referencial, Q pertence à circunferência, P é o ponto

de coordenadas 1,0 e R é o ponto de coordenadas

1,0 .

A amplitude, em radianos, do ângulo POQ é 5

7

.

Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área

do triângulo [OQR]?

(A) 0,39 (B) 0,42 (C) 0,46 (D) 0,49


47. Na figura está representado um triângulo [ABC] com dois ângulos de amplitude α e um

ângulo de amplitude β.

Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas condições?

(A) cos sin 2 (B) cos cos 2

(C) cos sin 2 (D) cos cos 2



matA11

trigonometria


[email protected]

21 / 43

48. Seja um valor pertencente ao intervalo ,2

.

Qual das expressões seguintes designa um número real positivo?

(A) cos sin (B) sin cos

(C) sin tan (D) sin tan


49. Considere a equação 1 3tan 2 4x .

Qual dos seguintes valores é solução desta equação?

(A) 8

(B)

3

8

(C)

5

8

(D)

7

8


50. Na figura estão representadas, em referencial o.n. xOy,

uma reta AB e uma circunferência com centro na origem

e raio igual a 5.

Os pontos A e B pertencem à circunferência.

O ponto A também pertence ao eixo das abcissas.

Admita que o ponto B se desloca ao longo da

circunferência, no primeiro quadrante.

Para cada posição do ponto B, seja α a amplitude do

ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo

Ox e cujo lado extremidade é a semirreta O B

Seja d o comprimento do segmento [AB]

50.1. Mostre que 2 50 50cosd .

50.2. Para uma certa posição do ponto B, tem-se tan 24

Sem recorrer à calculadora, determine, para este caso, o

valor de d.



matA11

trigonometria


[email protected]

22 / 43

51. Na figura seguinte está representada uma artéria principal do corpo humano, cuja seção é um

círculo com raio R, e uma sua ramificação, mais estreita, cuja secção é um círculo com raio

r.

A seção da artéria principal tem área A e a ramificação tem área a.

Seja 0,2

a amplitude, em radianos, do ângulo que a artéria principal faz com a sua

ramificação (medida relativamente a duas geratrizes complanares dos dois cilindros).

Sabe-se que cosa A

Admitindo que o modelo descrito se adequa com exatidão à situação real, determine no

caso em que os raios referidos verificam a relação 4 2 R r .


52. Indique as soluções da equação 5 2cos 6x que pertencem ao intervalo 0,2

(A) 3

e

4

3

(B)

3

e

5

3

(C) 6

e

7

6

(D)

6

e

11

6



matA11

trigonometria


[email protected]

23 / 43

53.

53.1. Na figura junta estão representados, em referencial o.n. xOy:

o circulo trigonométrico

a reta r, de equação 1x

o ângulo, de amplitude α, que tem por lado origem o

semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta

O A

o ponto B, interseção do prolongamento da semirreta

O A

com a reta r.

Como a figura sugere, a ordenada de B é 8

Sem recorrer à calculadora, determine o valor de

5sin 2cos 32

53.2. Considere agora um ponto P, do primeiro quadrante (eixos

não incluídos), pertencente à circunferência de centro na

origem e raio 1.

Sejam ,r s as coordenadas do ponto P.

Seja t a reta tangente à circunferência no ponto P.

Seja Q o ponto de interseção da reta t com o eixo Ox.

Prove que a abcissa do ponto Q é 1

r.


54. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um arco

AB, que está contido na circunferência de equação 2 2 1x y .

O ponto C pertence ao eixo Ox e o segmento de reta [AC] é

perpendicular a este eixo.

é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB.

Qual é a expressão que dá o perímetro da região sombreada,

em função de ?

(A) sin cos (B) sin 1 cos

(C) 1 sin cos (D) 1 sin cos



matA11

trigonometria


[email protected]

24 / 43

55. Como sabe, a Terra descreve uma órbita elíptica em torno do Sol.

Na figura está representado um esquema dessa órbita. Está assinalado o periélio, o ponto da

órbita da Terra mais próximo do Sol.

Na figura está assinalado um ângulo de amplitude x radianos 0,2x .

Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado

extremidade passa na Terra.

A distância d, em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é (aproximadamente) dada, em

função de x, por 149,6 1 0,0167cosd x .

Sabe-se que x verifica a relação 2

0,0167sint

x xT

, em que:

t é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo periélio até ao

instante em que atinge a posição correspondente ao ângulo x;

T é o tempo que a Terra demora a descrever uma órbita completa (365,24 dias).

Mostre, para x , se tem 2

Tt .

Interprete este resultado no contexto da situação descrita.


56. Na figura está representada uma esfera suspensa de um fio com 1 metro de comprimento,

fixo no ponto O.

O centro da esfera oscila entre os pontos A e B, que são simétricos relativamente à reta

vertical r. A reta r passa pelo centro O e é perpendicular à reta OS.

No instante inicial, o centro da esfera coincide com o ponto A.

Admita que, t segundos após esse instante inicial, o centro da esfera está num ponto P tal que

a amplitude, em radianos, do ângulo SOP é dada (aproximadamente) por

cos 9,8 2 6

t t


matA11

trigonometria


[email protected]

25 / 43

Nas duas alíneas seguintes, não utilize a calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos

numéricos.

56.1. Determine a distância do centro da esfera à reta OS, no instante inicial.

56.2. Determine o instante em que o centro da esfera passa pela primeira vez na reta r.

Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.


57. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [OPR].

O ponto P desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante.

O ponto R desloca-se ao longo do eixo Ox, de tal modo que o triângulo [OPR] é sempre

isósceles.

Sendo α a amplitude, em radianos, do ângulo ROP, qual das expressões seguintes dá a área

do triângulo [OPR], em função de α?

(A) sin .cos (B) 2.sin .cos

(C) 1 sin .cos

2

(D)

1 cos .sin

2


58. Da amplitude α de um certo ângulo orientado sabe-se que cos 0 e tan 0 .

Qual das expressões seguintes dá o valor de sin ?

(A) 21 cos (B) 21 cos

(C) 21 cos (D) 21 cos



matA11

trigonometria


[email protected]

26 / 43

59. Sabe-se que é uma solução da equação 1

sin5

x

Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação 1

cos5

x ?

(A) (B) 2

(C) (D)

2


60. Na figura junta está representado o círculo trigonométrico.

Considere que um ponto P parte de 1,0A e se desloca

sobre a circunferência, dando uma volta completa, em

sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

Para cada posição do ponto P, seja x, em radianos, do ângulo

orientado cujo lado origem é a semirreta OA e cujo lado

extremidade é a semirreta OP 0,2 .x

Seja g a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área da região sombreada (região

limitada pelos segmentos de reta OP , PA e AO ).

Qual dos seguintes gráficos pode ser o da função g?

(A)

(B)

(C)

(D)



matA11

trigonometria


[email protected]

27 / 43

61. Na figura está representada uma circunferência com

efeito com centro no ponto O e raio 3.

Os diâmetros EF e GH são perpendiculares.

Considere que o ponto B se desloca sobre o arco FG.

Os pontos A, C e D acompanham o movimento do

ponto B, de tal forma que:

as cordas AB e CD permanecem paralelas a

EF

AD e BC são sempre diâmetros da

circunferência

Os pontos I e J também acompanham o mesmo movimentos, de tal forma que são sempre os

pontos de interseção de GH com AB e CD , respetivamente.

Para cada posição do ponto B, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo FOB 0, .2

x

Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por

18 sin .cosA x x x x

Sugestão: use a decomposição sugerida na figura.


62. Na figura está representada parte do gráfico de uma função periódica.

Qual dos valores seguintes poderá ser período desta função?

(A) 9

(B)

2

9

(C)

2

3

(D)

4

3



matA11

trigonometria


[email protected]

28 / 43

63. A figura representa um depósito de forma cilíndrica, que contém um certo volume de

combustível.

Admita que a função V, de domínio 0,2 , definida por

80 sinf x x x ,

dá o volume, em metros cúbicos, de combustível existente no depósito, em função da

amplitude x, em radianos, do arco ABC (que, como se sabe, é igual à amplitude do ângulo ao

centro correspondente, assinalado na figura acima).

63.1. Qual é a capacidade total do depósito, em metros cúbicos?

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas

decimais.

63.2. Determine, em metros cúbicos, o volume do combustível existente no

depósito, no momento em que a sua altura é 1

4 da altura máxima.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve,

no mínimo, três casas decimais.

63.3. Admita agora que o depósito está vazio e que,

num certo instante, se começa a introduzir

combustível a uma taxa constante, até ficar cheio,

o que acontece ao fim de cinco horas.

Seja h t a altura do combustível no depósito, t

horas após o instante em que começa a ser

introduzido.

Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função h?

Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, indique as razões que o levam a

rejeitar os restantes gráficos (indique três razões, uma por cada gráfico rejeitado).


matA11

trigonometria


[email protected]

29 / 43

(A)

(B)

(C)

(D)


64. Na figura está representado um trapézio retângulo [ABCD], cujas bases têm 10 e 30 unidades

de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento.

Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [AB].

Para cada posição do ponto P, seja x amplitude, em radianos, do ângulo PDA.

Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [PD] divide o trapézio em duas

figuras com a mesma área.

Qual das equações seguintes traduz este problema?

(A) 230 sin

1002

x (B)

230 tan100

2

x

(C) 30 10sin

1504

x (D)

30 10tan150

4

x



matA11

trigonometria


[email protected]

30 / 43

65. Considere a função f, de domínio 3

,2 2

, definida por

sinf x x x

Determine, sem recorrer à calculadora, os valores de x, pertencentes ao intervalo 3

, ,2 2

tais que cos .f x x x


66. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um

arco de circunferência AB, de centro na origem do

referencial.

O ponto Q move-se ao longo desse arco.

Os pontos P e R, situados sobre os eixos Ox e Oy,

respetivamente, acompanham o movimento do ponto Q,

de tal forma que o segmento de reta [PQ] é sempre

paralelo ao eixo Oy e o segmento de reta [QR] é sempre

paralelo ao eixo Ox.

Para cada posição do ponto Q, seja x a amplitude do

ângulo AOQ e seja h x a área da região sombreada.

Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função h?

(A)

(B)

(C)

(D)

matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2003


matA11

trigonometria


[email protected]

31 / 43

67. Considere a expressão 2sinf x a b x .

Sempre que se atribui um valor real a a e um valor real a b, obtemos uma função de domínio

.

67.1. Nesta alínea, considere 2a e 5b .

Sabe-se que 1

tan2

. Sem recorrer à calculadora, calcule f .

67.2. Para um certo valor de a e um certo valor de b, a função

f tem o seu gráfico parcialmente representado na figura

junta. Conforme essa figura sugere, tem.se:

o contradomínio de f é 3,1 ;

0 e são maximizantes;

2

e

2

são minimizantes.

Determine a e b.


68. Na figura está representado a sombreado

um polígono [ABEG].

Tem-se que:

[ABFG] é um quadrado de lado 2;

FD é um arco de circunferência de

centro em B; o ponto E move-se ao

longo desse arco; e consequência, o

ponto C desloca-se sobre o segmento

[BD], de tal forma que se tem sempre

EC BD ;

x designa a amplitude, em radianos, do ângulo CBE 0, .2

x

68.1. Mostre que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de x, por

2 1 sin cosA x x x .

Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio [ACEG].

68.2. Determine 0A e 2

A

.

Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos.



matA11

trigonometria


[email protected]

32 / 43

69. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma reta r.

Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura.

Inicialmente, o ponto P encontra-se à distância de 2 unidade da reta r.

Seja d a distância de P a r, após uma rotação de amplitude .

Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo ?

(A) 1 cosd x (B) 2 sind x

(C) 1 cosd x (D) 2 sind x


70. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, o

círculo trigonométrico e um triângulo [OAB].

Os pontos A e B pertencem à circunferência.

O segmento [AB] é perpendicular ao semieixo positivo Ox.

O ponto C é o ponto de interseção da circunferência com

o semieixo positivo Ox.

Seja a amplitude do ângulo COA. 0,2

.

Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OAB], em função de ?

(A) sin .cos (B) tan .cos

2

(C) tan .sin (D) tan .sin

2



matA11

trigonometria


[email protected]

33 / 43

71. Na figura está representado um quadrado [ABCD], de lado

1.

O ponto E desloca-se sobre o lado [AB], e o ponto F desloca-

se sobre o lado [AD], de tal forma que se tem sempre

AE AF .

Para cada posição do ponto E, seja x a amplitude do ângulo

BEC ,4 2

x

.

Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos,

que o perímetro do quadrado [CEAF] é dado, em função de x, por 2 2

2tan sin

f xx x


72. Na figura estão representados, em referencial o.n. Oxy:

uma circunferência de raio 1, centrada no ponto

0,1,1 e contida no plano yOz;

o ponto 0,2,1A ;

o ponto B, pertencente ao semieixo positivo Ox.

Considere que um ponto P, partindo de A, se desloca

sobre essa circunferência, dando uma volta completa, no

sentido indicado na figura.

Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do arco AP 0,2 e

seja d a distância de P ao ponto B.

Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função d?

(A)

(B)

(C)

(D)



matA11

trigonometria


[email protected]

34 / 43

73. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy:

um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1;

uma semirreta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto

1,0 ;

um ponto A pertencente a esta semirreta;

um ângulo de amplitude , cujo lado origem é o semieixo

positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OA .

Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada,

em função de ?

(A) tan

4 2

(B)

2

4 tan

(C) tan

2

(D)

2

tan


74. Na figura está representado o gráfico da função f, de domínio 0,2 , definida por

2cosf x x x .

A e B são pontos do gráfico cujas ordenadas são extremos relativos de f.

Mostre, sem recorrer à calculadora, que a ordenada do ponto A é 6 3

6

e que a do ponto

B é 5 6 3

6

.



matA11

trigonometria


[email protected]

35 / 43

75. Na figura está representada uma pirâmide quadrangular

regular.

Sabe-se que:

a base da pirâmide tem centro F e lado 2;

G é o ponto médio da aresta [BC];

x designa a amplitude do ângulo FGE.

Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de

x, por

4cos 4

cos

xA x

x

0,

2x


76. Considere a função f, definida em , definida por 2 cosf x x x .

76.1. Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que a função f tem, pelo menos um zero, no

intervalo 0, .

76.2. Seja 'f a função derivada de f. Mostre que ' 0, f x x , e justifique que o zero de

f, cuja existência é garantida pelo enunciado da alínea anterior, é o único zero desta função.

76.3. Na figura abaixo estão representadas:

parte do gráfico da função f;

parte de uma reta r, cuja inclinação é de 45º, que contém o ponto 3,0A e que

interseta o gráfico da função f no ponto B.

Recorrendo à sua calculadora, determine a área do triângulo [AOB], onde O designa a

origem do referencial. Apresente o resultado arredondado às unidades.

Nota: sempre que, nos valores intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, uma

casa decimal.



matA11

trigonometria


[email protected]

36 / 43

77. Um satélite S tem uma órbita elíptica em

torno da Terra, tal como se representa na

figura.

Tenha em atenção que os elementos nela

desenhados não estão na mesma escala.

Na elipse estão assinalados dois pontos:

- o apogeu, que é o ponto da órbita mais

afastado do centro da Terra;

- o perigeu, que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra.

O ângulo x, assinalado na figura, tem o seu vértice no centro da Terra; o seu lado origem

passa no perigeu, o seu lado extremidade passa no satélite e a sua amplitude estão

compreendida entre 0 e 360 graus.

A distância d, em km, do satélite ao centro da Terra, é dada por 7820

1 0,07cosd

x

.

Considere que a Terra é uma esfera de raio 6378 km.

Num certo instante, o satélite está na posição indicada na

figura.

A distância do satélite ao centro da Terra é, então, de 8200

km.

Determine o valor de x, em graus, arredondado às

unidades.


78. No ano civil de 2000, em Lisboa, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr-do-sol, no dia

de ordem n do ano, foi dado em horas, aproximadamente, por

81

12,2 2,64sin183

nf n

1,2,3,...,366fn

(o argumento da função seno está expresso em radianos).

Por exemplo: no dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre

o nascer e o pôr-do-sol foi de 34 10,3f horas.

No dia 24 de Março, Dia Nacional do Estudante, o sol nasceu às seis e meia da manhã. Em

que instante ocorreu o pôr-do-sol? Apresente o resultado em horas e minutos (minutos

arredondados às unidades).

Notas:

Recorde que, no ano 2000, o mês de fevereiro teve 29 dias;

Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três

casas decimais.



matA11

trigonometria


[email protected]

37 / 43

79.

79.1. Seja [ABC] um triângulo isósceles em que BA BC .

Seja a amplitude do ângulo ABC.

Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por

2

sin2

BC 0,

79.2. Considere agora um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio 1.

Utilize o resultado da alínea anterior para mostrar que a área do polígono é dada por

2sin

2n

nA

n

matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2000

80. Indique qual das expressões seguintes define uma função injetiva, de domínio .

(A) cos x (B) 2x x (C) 1x (D)

3x


81. Na figura está representado um

triângulo [ABC].

Tem-se que:

x designa a amplitude do ângulo

BAC;

a amplitude do ângulo BCA é igual

ao dobro da amplitude do ângulo

BAC;

a altura BD é igual a 10.

Seja 275 25tan

tan

xg x

x

81.1. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por g x , para qualquer 0,4

x

.

81.2. Considere o triângulo [ABC] quando 4

x

.

Classifique-o quanto aos ângulos e quanto aos lados e prove que a sua área ainda é dada

por g x .



matA11

trigonometria


[email protected]

38 / 43

82. Na figura

o triângulo [ABC] é isósceles AB BC ;

[DEFG] é um retângulo: 2DG e 1DE ;

x designa a amplitude do ângulo BAC.

82.1. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada, em

função de x, por

1

2 tantan

f x xx

0,2

x

Nota: pode ser-lhe útil reparar que ˆˆBEF BAC .

82.2. Mostre que

2 2

cos 2'

sin .cos

xf x

x x ( 'f designa a derivada de f).

82.3. Determine o valor de x para o qual a área do triângulo [ABC] é minha.


83. A figura abaixo representa um canteiro de forma circular

com 5 m de raio.

O canteiro tem uma zona retangular, que se destina à

plantação de flores, e uma zona relvada, assinalada a

sombreado na figura.

Os vértices A, B, C e D do retângulo pertencem à

circunferência que limita o canteiro.

Na figura estão também assinalados:

dois diâmetros da circunferência, [EG] e [HF], que

contém os pontos médios dos lados do retângulo;

o centro O da circunferência;

o ângulo BOF, de amplitude x 0,2

x

.

Mostre que a área (em m2) da zona relvada é dada, em função de x, por

25 50sin 2g x x



matA11

trigonometria


[email protected]

39 / 43

84. Duas povoações, A e B, distanciadas 8 km uma da

outra, estão a igual distância de uma fonte de

abastecimento de água, localizada em F.

Pretende-se construir uma canalização ligando a

fonte às duas povoações, como se indica na figura

abaixo. A canalização é formada por três canos:

um que vai da fonte F até um ponto P e dois que

partem de P, um para A e outro para B. O ponto P

está a igual distância de A e de B.

Tem ainda que:

o ponto M, ponto médio de [AB], dista 4 km de F;

x é uma amplitude de ângulo PAM 0,4

x

.

84.1. Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da canalização é

dado por

8 4sin

4cos

xg x

x

(Sugestão: comece por mostrar que 4

cosPA

x e que 4 tanFP x )

84.2. Calcule 0g e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e

consequente comprimento.


85. Na figura ao lado pode observar-se parte da

representação gráfica da função f definida por

cos .ln 1f x x

Os pontos P, Q, R e S são pontos de interseção

do gráfico da função f com o eixo das abcissas.

A abcissa do ponto P é

(A) 1

2 (B) 1 (C)

3

2 (D) 2



matA11

trigonometria


[email protected]

40 / 43

86. Uma roda gigante de um parque de diversões tem doze cadeiras, numeradas de 1 a 12, com

um lugar cada uma (ver figura abaixo). Seis raparigas e seis rapazes vão andar na roda

gigante e sorteiam entre si os lugares que vão ocupar.

Depois de toda a gente estar sentada nas respetivas cadeiras, a roda gigante começa a girar.

Um dos rapazes, O Manuel, ficou sentado na cadeira número 1. No instante em que a roda

gigante começa a girar, a cadeira está na posição indicada na figura.

Admita que a distância, em metro, da cadeira 1 ao solo, t segundos a roda gigante ter

começado a girar, é dada por

7 5sin30

td t

86.1. Determine a distância a que a cadeira número 1 se encontra do solo no instante em que a

roda gigante começa a girar.

86.2. Resolva a equação 9,5d t para 0,75t .

Indique, justificando, quanto tempo demora o Manuel a encontrar-se pela primeira vez a

uma distância de 9,5 metros do solo, depois da roda gigante ter começado a girar.



matA11

trigonometria


[email protected]

41 / 43

87. Indique qual das seguintes figuras pode ser parte da representação gráfica da função definida

por 1

sins x

x .

(A)

(B)

(C)

(D)


88. Dos quatro ângulos seguintes, um deles tem 1 radiano de amplitude. Identifique-o.

(A)

(B)

(C)

(D)

matemática A – 12º ano, exame 135, prova modelo, 1997

Bom trabalho!!


matA11

trigonometria


[email protected]

42 / 43

Principais soluções

1. (D)

2. (D)

3. 2

3seg , 2seg ,

8

3seg

4. (B)

5. (B)

6. 32 2

9

7. (C)

8. (C)

9. (B)

10. 10.1.

10.2. 77

40

11. 12. 13. 13.1.

13.2. 252

625

14. (D)

15. 16. 17. 18. 19. (B)

20. (A)

21. (A)

22. 7

12

23. 24. 24.1.

24.2.

24.2.1. 5

;3 3

24.2.2. 11d

25. 9

4

26. (C)

27. (B)

28. (D)

29. 29.1.

29.2. 2

30. 31. 32.

32.1.

32.2. 4

32.3. 7

5

33. (D)

34. 3 5

3, ,2 2

35. (B)

36. (D)

37. (A)

38. 2cos 9 sind x x x

39. 39.1.

39.2. 3

x

39.3. 44

15

40. (A)

41. (C)

42. (B)

43. (C)

44. 44.1.

44.2. 4

x

44.3. 19

5

45. (B)

46. (A)

47. (B)

48. (D)

49. (D)

50. (C)

51. 3

52. 52.1.

52.2. 60d

53. (B)

54. (D)

55. 56.

56.1. 3

2

56.2. 0,5t

57. (A)

58. (B)

59. (B)

60. (A)

61. 62. (D)

63. 63.1. 503 m3

63.2. 98 m3

63.3. Gráfico B

64. (B)

65. 4

x

e 5

4x

66. (B)

67.

67.1. 1f

67.2. 1a e 4b

68. 68.1.

68.2. 0 4A e 42

A

69. (A)

70. (A)

71. 72. (B)

73. (A)

74. 75. 76. 76.1. 76.2. 76.3. 77. 229º

78. 84 12,336f

Pôr-do-sol: 18h e 50 m

79. 79.1. 79.2. 80. (D)

81. 81.1. 81.2. Triângulo retângulo e

82. 82.1. 82.2.

82.3. 4

83. 84. 84.1.

84.2. 0 12g

85. (C)

86.


matA11

trigonometria


[email protected]

43 / 43

86.1. 0 7d

86.2. 5t

87. (A)

88. (C)


Documents

Exercícios de provas oficiais - matematicaonline.ptmatematicaonline.pt/materialescolar/index_htm_files/001_ETestesIn... · matA11 trigonometria [email protected] 1 / 43 Exercícios