0

1) ........................................................................................................................................................................ 1 4) ........................................................................................................................................................................ 1

a) .................................................................................................................................................................... 1 b).................................................................................................................................................................... 2 c. .................................................................................................................................................................... 3 d).................................................................................................................................................................... 4

5) ........................................................................................................................................................................ 5 a) .................................................................................................................................................................... 5 b).................................................................................................................................................................... 5

6) ........................................................................................................................................................................ 5 7) ........................................................................................................................................................................ 6

a) .................................................................................................................................................................... 6 b).................................................................................................................................................................... 7

8) ........................................................................................................................................................................ 8 Para o comutador ........................................................................................................................................... 8 Para o anti – comutador ............................................................................................................................... 11

9) ...................................................................................................................................................................... 13 10) .................................................................................................................................................................... 16 11) .................................................................................................................................................................... 18 12) .................................................................................................................................................................... 21

a) .................................................................................................................................................................. 21 b).................................................................................................................................................................. 22

13) .................................................................................................................................................................... 23 a) .................................................................................................................................................................. 23 b).................................................................................................................................................................. 23 c) .................................................................................................................................................................. 23 Pergunta 1.................................................................................................................................................... 23 Pergunta 2.................................................................................................................................................... 23

14) .................................................................................................................................................................... 24 15) .................................................................................................................................................................... 27 16) .................................................................................................................................................................... 28 18) .................................................................................................................................................................... 28

a) .................................................................................................................................................................. 28 b).................................................................................................................................................................. 28

19) .................................................................................................................................................................... 31 a) .................................................................................................................................................................. 31 b).................................................................................................................................................................. 32

20) .................................................................................................................................................................... 34 a) .................................................................................................................................................................. 34 b).................................................................................................................................................................. 34 c) .................................................................................................................................................................. 35

26) .................................................................................................................................................................... 36 31) .................................................................................................................................................................... 37 33) .................................................................................................................................................................... 38

a) .................................................................................................................................................................. 38 i).............................................................................................................................................................. 38 ii)............................................................................................................................................................. 39

b).................................................................................................................................................................. 40

1

1) PROVE [AB,CD]= -AC{D,B}+A{C,B}D-C{D,A}B+{C,A}DB Desenvolvendo o comutador: [AB,CD]=ABCD-CDAB Agora desenvolvendo cada parcela da soma : -AC{D,B}=-ACDB-ACBD A{C,B}D=ACBD+ABCD -C{D,A}B=-CDAB-CADB {C,A}DB=CADB+ACDB somando temos: -AC{D,B}+A{C,B}D-C{D,A}B+{C,A}DB= ABCD-CDAB=[AB,CD] 4) a) tomando Z=XY e Z’=YX Os elementos que compõem a matriz do operador Z podem ser escritos 4.a.1

'''

'' ' '' ' '' ''' ''' 'a

a Z a a XY a a X a a Y a= = ∑

O traço de Z é dado por:

( )'

' 'a

tr Z a Z a= ∑

De 4.a.1 4.a.2 ( )

' '''

' ''' ''' 'a a

tr Z a X a a Y a= ∑∑

Os elementos que compõem a matriz do operador Z’ podem ser escritos 4.a.3

'''

'' ' ' '' ' '' ''' ''' 'a

a Z a a YX a a Y a a X a= = ∑

2

O traço de Z’ é dado por:

( )'

' ' ' 'a

tr Z a Z a= ∑

De 4.a.3

( )' '''

' ' ''' ''' 'a a

tr Z a Y a a X a= ∑∑

''' 'a X a e ' '''a Y a e pela propriedade comutativa:

( )

' '''

' ''' ' ' '''a a

tr Z a X a a Y a= ∑∑

E pela propriedade associativa podemos trocar a ordem dos somatórios

( )''' '

' ''' ' ' '''a a

tr Z a X a a Y a= ∑∑

Os ' tem o papel apenas de diferenciar os índices do somatório, podendo ser simplesmente trocados. Fazendo: 4.a.4 ( )

' '''

' ' ''' ''' 'a a

tr Z a X a a Y a= ∑∑

Comparando 4.a.2 e 4.a.4 temos:

( ) ( )'tr Z tr Z= b) a correspondência dual: † †cdY X a a X Y ←→

e

†cdYX a a YX ←→ Levam a

† † †YX X Y =

3

c. Um operador hermetiano quando escrito em sua própria base tem a seguinte forma:

'

' ' 'a

A a a a= ∑ .

Uma aplicação 2A fica:

2

' '2 2

'

' ' ' ' ' '

' ' 'a a

a

A a a a a a a

A a a a

= =

∑ ∑∑

Podemos intuir que a aplicação nA tem a seguinte forma:

'

' ' 'n n

a

A a a a= ∑ 4.c.1

Uma função f , mesmo não algébrica pode ser a princípio expandida em uma serie de potências.

0

( )n

ii

i

f x c x=

= ∑

De onde podemos tirar o resultado ( )f A da seguinte forma:

0

0 '

( )

( ) ' ' '

ni

iin

ii

i a

f A c A

f A c a a a

=

=

=

=

∑

∑ ∑

A aplicação ( )f A sobre um auto ket de A tem como resultado:

0 '

', ''0 '

0

( ) '' ' ' ' ''

( ) '' ' ' '

( ) '' '' ''

( ) '' ( '') '' 4. .2

ni

ii an

ii a a

i an

ii

i

f A a c a a a a

f A a c a a a

f A a c a a

f A a f a a c

δ

=

=

=

=

=

=

=

∑ ∑

∑ ∑

∑

Por ultimo a aplicação exp( ( ))if A quando aplicada em um auto ket de A :

exp( ( )) ' ?if A a =

4

Utilizando 4.c.1 e 4.c.2

( )exp( ( )) ' '

!

( ')exp( ( )) ' '

!exp( ( )) ' exp( ( ')) '

j

jj

j

if Aif A a a

j

if aif A a a

jif A a if a a

∞

∞

=

=

=

∑

∑

O que significa que o operador exp( ( ))if A tem autovalores do tipo exp( ( '))if a onde 'a é o autovalor

associado ao auto ket 'a . d)

( ) ( )*' '

' ' '

' ' ' 'a aa a a

a a a aψ ψ⋅ = ⋅ = ⋅ =∑ ∑ ∑x' x'' x' x'' x'' x' x'' x'

5

5) a) Chamamos de A operador α β . Para obter os elementos de A fazemos:

,

,

i ji j

i ji j

A a A a

A a aα β

=

=

Como os produtos a α e a β são conhecidos podemos montar a matriz

* * *

* *

*

' ' ' '' ' '''

'' ' '' ''

''' '

a a a a a a

a a a aA

a a

α β α β α β

α β α β

α β

=

…

b)

Tomando ;zsα = + e ;xsβ = + com ;zs + = + e ( )1;

2xs + = + + −

( ) ( )

( ) ( )

* *

* *

* * * *

1 1

2 2

1 1

2 2

αα β α βα β

α β α βα α

+ + + + + − + − + + − + + + − = = − + − − − + + + − − − + + −

1 1 1 112 2 0 020 0

α β = =

6) Se ' ''a a+ também é autoket de A então

( ) ( )' '' ' ''A a a c a a+ = + Mas é de se esperar que

( )' '' ' ' '' ''A a a a a a a+ = + De onde tiramos ( )' '' ' ' '' ''c a a a a a a+ = +

Como 'a e ''a são linearmente independentes temos que essa igualdade só é possível se:

' ''c a a= = Ou seja ' ''a a= , 'a e ''a são autovalores degenerados.

6

7) a)

( ) ( )( ) ( ) ( )'

' . ... '' 'n

a

A a A a A a A aα α − = − ⋅ − ⋅ − ⋅

⋅∏

Mas α pode ser reescrito em termos da base de A.

'

' 'a

a aα α= ⋅∑

Ficamos com

( )( ) ( ) ( )''

... '' ' '' ''n

a

A a A a A a a a α− ⋅ − ⋅ − ⋅⋅ ∑

A aplicação ( )k l l

l

A a a a α− ⋅∑ tem como resultado

( )l l l k l l l k l l

l l l

a a a a a a a a a aα α α− = −∑ ∑ ∑

De modo que as aplicações sucessivas levam:

( )kl

l k l l

aa

a a a a α−∑∏

Daí temos então :

( ) ( )' '''

' . '' ' '' ''a aa

A a a a a aα α − = −

∑∏ ∏

Como em algum momento ''a e 'a se igualarão, o produtório inteiro será nulo e, por conseguinte o somatório também. Fica provado então que se trata de um operador nulo.

7

b)

( ) ( )( )( )

( ) ( )' ''

' ''' '. ...

'' ' '' ''' '' '''

n

na a

A aA a A a A a

a a a a a aa aα α

≠

− − − − = ⋅ ⋅ ⋅ − − −− ⋅∏

Mas α pode ser reescrito em termos da base de A.

'

' 'a

a aα α= ⋅∑

Ficamos com

( )( )( )

( ) ( )''

''' '... '' ''

'' ''' '' '''

n

na

A a A a A aa a

a a a aa aα

− − −⋅ ⋅ ⋅

− −−⋅ ∑

A aplicação ( )

l

kl l

m ka

A aa a

a aα

−⋅

−∑ tem como resultado

( )l l l

l kl kl l l l l l

m k m k m ka a a

a aa aa a a a a a

a a a a a aα α α

−− =

− − −∑ ∑ ∑

De modo que as aplicações sucessivas levam:

( )kl

l kl l

m kaa

a aa a

a aα

−

−∑∏

Daí temos então :

( ) ( )' '' ''''

' ''' '. ''' '''

'' ' '' 'a a aa

A a a aa a

a a a aα α

≠

− − = − − ∑∏ ∏

para ''' ''a a≠ o produtório sempre apresentara um termo nulo, logo o produtório será nulo, restando somente o produtório em ''' ''a a= .

( ) ( )''

' '' '

' '' '. '' '' '' ''

'' ' '' ' aa a a

A a a aa a a a

a a a aα α α α

≠

− − = = = Λ − − ∏ ∏ . Onde concluímos que esse é o

operador projeção

8

8) Para o comutador Caso 1 , 0x x x x x xs s s s s s = − =

Está de acordo com 0xxz zi sε = . Para dois operadores iguais o resultado é nulo. Caso 2

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0

,

2 2

2 2

2 2

2 2

x y x y y xs s s s s s

i

i

i

i

+ + − −

= −

= + − + − + ⋅ − + − + − +

− − + − + − + ⋅ + − + − +

= ⋅ − + − ⋅ + − + + − ⋅ − + − − + ⋅ + − + + − ⋅ − +

− ⋅ − + − ⋅ + −

( )0

2z

i

i s

+ + − −

− + − ⋅ − + + − + ⋅ + − + + − ⋅ − +

= ⋅ + + − − −

= ⋅

Estando mais uma vez de acordo com xyz z zi s i sε = Caso 3 É fácil ver que , ,y x x ys s s s = − logo: ,y x zs s i s = − ⋅

Estando mais uma vez de acordo com yxz z zi s i sε = − .

9

Caso 4

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0

,

2 2

2 2

2 2

2 2

x z x z z xs s s s s s

+ − − +

+ −

= −

= + − + − + ⋅ + + − − −

− + + − − − ⋅ + − + − +

= ⋅ + − ⋅ + + − + − ⋅ − − + − + ⋅ + + − − + ⋅ − −

− ⋅ + + ⋅ + − + + + ⋅ − +

( )0

2yi s

− +

− − − ⋅ + − − − − ⋅ − +

= ⋅ − + − + − +

= − ⋅

Estando mais uma vez de acordo com xzy y yi s i sε = − . caso 5 a relação é provada em analogia ao caso 3 ,z x ys s i s = ⋅

Estando mais uma vez de acordo com zxy y yi s i sε = .

10

Caso 6

( ) ( )

( ) ( )

0 0

,

2 2

2 2

2 2

2 2

y z y z z ys s s s s s

i

i

i

i

+ − − +

+ −

= −

= − + − + − + ⋅ + + − − −

− + + − − − ⋅ − + − + − +

= ⋅ − + − ⋅ + + + + − ⋅ − − + − + ⋅ + + − − + ⋅ − −

− ⋅ − + + ⋅ + −

( )0 0

2x

i

i s

− +

+ + + ⋅ − + + − − ⋅ + − − − − ⋅ − +

= ⋅ + − + − +

= ⋅

Estando mais uma vez de acordo com yzx x xi s i sε = . caso 7 a relação também é provada em analogia ao caso 3 ,z y xs s i s = − ⋅

Estando mais uma vez de acordo com zyx x xi s i sε = − . Esgotamos assim todos os casos. Fica provado que ,i j ijk ks s i sε =

11

Para o anti – comutador Primeiro estabelecemos a relação: { }, , 2i j i j i js s s s s s + = Os valores de i js s podem ser retirados dos casos anteriores faltando apenas os i is s

2x y z y xi

s s s s s= = − , 2x z y z xi

s s s s s= = − , 2y z x z yi

s s s s s= = −

( ) ( )

2

02

2 2

4

14

x xs s

+ + − −

=

= + − + − + ⋅ + − + − +

= + − ⋅ + − + + − ⋅ − + + − + ⋅ + − + − + ⋅ − +

= ⋅

( ) ( )

2

0 02

2 2

4

14

y ys s

i i

+ + − −

=

= − + − + − + ⋅ − + − + − +

= − + − ⋅ + − − + − ⋅ − + − − + ⋅ + − + − + ⋅ − +

= ⋅

( ) ( )

2

02

2 2

4

14

z zs s

+ + − − − −

=

= + + − − − ⋅ + + − − −

= + + ⋅ + + − + + ⋅ − − − − − ⋅ + + + − − ⋅ − −

= ⋅

Logo / 2i j ijk ks s i sε= para i j≠ e 2

14

⋅ para i j=

Caso 1, para i j=

{ }

{ }

{ }

2

2

, , 2

, 0 2 14

,2

i i i i i i

i i

i i

s s s s s s

s s

s s

+ =

+ = ⋅

=

Está de acordo com 2

2 iiδ .

12

Caso 2 para i j≠ { }{ }{ }

, , 2

, 2 / 2

, 0

i i i i i i

i i ijk k ijk k

i i

s s s s s s

s s i s i s

s s

ε ε

+ = + ==

Está de acordo com 2

2 ijδ com . fica assim provado.

{ }2

,2i i ijs s δ=

13

9)

Tomando ˆˆ ˆˆ x y zn n i n j n k= + + com ( ) ( )sin cosxn β α= , ( ) ( )sin sinyn β α= e ( )coszn β= (vetor

unitário) também ˆˆ ˆx y zs s i s j s k= + + de modo que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ sin cos sin sin cosx x y y z z x y zs n n s n s n s s s sβ α β α β⋅ = + + = + + (produto escalar)

O vetor de estado ;̂s n⋅ + que corresponde ao estado orientado no sentido positivo do spin na direção n

pode ser escrito em termos das bases ± . Fazendo:

;̂s n a b⋅ + = + + − onde pela condição de normalidade 2 21a b+ =

Alem disso o estado ;̂s n⋅ + é auto estado do operador ˆs n⋅ que corresponde ao observável spin na direção n e leva a equação de autovalor: ˆ ˆ ˆ; / 2 ;s n s n s n⋅ ⋅ + = ⋅ +

O produto escalar ˆs n⋅ leva a uma representação desse operador em termos de uma combinação dos operadores xS , yS e zS . Nas bases ± eles têm a seguinte representação:

( )/ 2xS = + − + − + , ( )/ 2yS i= − + − + − + , ( )/ 2zS = + + − − − . Desenvolvendo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆsin cos sin sin cos ; / 2 ;x y zs s s s n s nβ α β α β+ + ⋅ + = ⋅ +

14

Mas ;̂s n a b⋅ + = + + − , então temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin cos sin sin cos / 2x y zs s s a b a bβ α β α β+ + + + − = + + − Agora usando a representação dos operadores S na base ± :

( )( ( )( )( ) ( )( )

( )( ) )( ) ( )

sin cos2sin sin

cos / 2

i

a b a b

β α

β α

β

+ − + − + +

+ − + − + − + +

+ + − − − + + − = + + −

Desenvolvendo:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

sin cos sin sin cos2

sin cos sin sin cos / 22

a i

b i a b

β α β α β

β α β α β

− + − + + +

+ + − + + − − = + + −

Simplificando:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

sin cos sin cos2

sin cos sin cos / 22

i

i

e

e

a i

b i a b

α

α

β α α β

β α α β−

/ + − + + + / / / / − + − − = + + − /

Continuando a simplificar:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )sin cos sin cosi ib e a a e b a bα αβ β β β− + + + − − = + + −

De onde tiramos:

( ) ( )( ) ( )

sin cos

sin cos

i

i

b e a a

a e b b

α

α

β β

β β

− + = − =

Reescrevendo:

( ) ( )( )

( ) ( )( )2

2

2 sin ( /2)

2cos ( /2)

sin cos 1 0

sin cos 1 0

i

i

b e a

a e b

α

βα

β

β β

β β

−

−

+ − = − + =

Continuando

( )( )

2

2

sin 2 sin ( / 2) 0

sin 2 cos ( / 2) 0

i

i

b e a

a e b

α

α

β β

β β

− − = − =

15

O que leva:

( )( )

( )

2

2

2

sin 2 sin ( / 2) 0

sin 2 cos ( / 2) 0

sin

2 sin ( / 2)

i

i

i

b e a

a e b

b ea

α

α

α

β β

β β

β

β

−

−

− = − =

=

Pela condição de normalização * * 1aa bb+ = então

( ) ( )*

*2 2

sin sin1

2 sin ( / 2) 2 sin ( / 2)

i ib e b ebb

α αβ β

β β

− − + =

( ) ( )**

2 2

sin sin1

2 sin ( / 2) 2 sin ( / 2)

i ib e b ebb

α αβ β

β β

− + =

( )* 2*

4

sin1

4 sin ( / 2)

bbbb

β

β+ =

( ) ( )* 2 2*

4

4 sin / 2 cos / 21

4 sin ( / 2)

bbbb

β β

β+ =

( )* 2*

2

cos / 21

sin ( / 2)

bbbb

β

β+ =

( ) ( ) ( )* 2 * 2 2cos / 2 sin / 2 sin / 2bb bbβ β β+ =

( )* 2sin / 2bb β=

Escrevendo b em sua forma polar ire θ

( )2sin / 2i ire reθ θ β− =

( )2 2sin / 2r β=

( )sin / 2r β= b fica

( )sin / 2 ib e θβ= Já a

( ) ( )2

sin / 2 sin

2 sin ( / 2)

i ie ea

θ αβ β

β

−

=

( )sin

2 sin( / 2)

i ie ea

θ αβ

β

−

=

( ) ( )2 sin / 2 cos / 2

2 sin( / 2)

i ie ea

θ αβ β

β

−

=

16

( )cos / 2i ia e eθ αβ −= θ é um fator de fase arbitrário. Escolhendo θ α=

( ) ( );̂ cos / 2 sin / 2 is n e αβ β⋅ + = + + − 10)

( )1 1 1 2 2 1 2 2H a= + + − A representação de H nas bases 1 e 2 pode ser obtida fazendo :

ijH i H j=

11 1 1H H a= = , 12 1 2H H a= =

21 2 1H H a= = , 22 1 2H H a= = − De onde sai

1 1

1 1H a

= −

Estamos interessados nos autokets e autovalores. Montando a equação de autovalor: H h h h=

1 1

1 1

m ma h

n n

= −

1 10

1 1

ma h

n

− ⋅ = − 1

0( )

a h a m

a a h n

− = − +

Esse problema só admite solução não trivial se:

det 0( )

a h a

a a h

− = − +

Fazendo

( ) 2det ( ) 0( )

a h aa h a h a

a a h

− = − − + − = − +

( )2 2 2 0a h a− − − =

2h a= ±

17

Resolvendo o sistema

0( )

a h a m

a a h n

− = − +

( )0

( )

a h m a n

a m a h n

− + ⋅ = ⋅ − +

( ) 0

( ) 0

a h m a n

a m a h n

− + ⋅ = ⋅ − + =

Colocando n em termos de m:

( )

a mn

a h

⋅=

+

Temos que os autokets tem a seguinte forma:

1

( ) ( )

mh ma m a

a h a h

= =⋅ + +

onde m é arbitrário

Como 2h a= ± temos os dois autokets

11

'2 1

( 2 )

h m ma

a a

= = − +

e

11

''2 1

( 2 )

h m ma

a a

= = − − −

Pela condição de normalização, 1h h = . Para 'h

( ) ( ) ( )

( )

2 2 21

' ' 1 2 1 1 2 2 2 1 4 2 2 12 1

1

4 2 2

h h m m m

m

= − = + − + = − = −

=−

( )11

'2 14 2 2

h = − −

18

Para o ket ''h

( ) ( ) ( )

( )

2 2 21

'' '' 1 2 1 1 2 2 2 1 4 2 2 12 1

1

4 2 2

h h m m m

m

= − − = + + + = + = − −

=+

( )11

''2 14 2 2

h = − − +

Os kets 1 e 2 em sua própria base são representados por

11

0

= ,

02

1

=

Escrevendo 'h em termos de 1 e 2

( )( )( )1

' 1 2 1 24 2 2

h = + −−

Escrevendo ''h em termos de 1 e 2

( )( )( )1

'' 1 2 1 24 2 2

h = − ++

11)

11 12 12 221 1 1 2 2 1 2 2H H H H H= + + + A representação matricial:

11 12

12 22

H HH

H H

=

Montando a equação de autovalor:

11 12

12 22

H H m mh

H H n n

=

11 12

12 22

0H h H m

H H h n

− = −

19

Esse sistema só tem solução não trivial se :

11 12

12 22

det 0H h H

H H h

− = −

Fazendo

( )2 211 22 12 11 2

11 12

12 22

2

det 0

0h H H h H H H

H h H

H H h

− = − + − − + =−

Que tem como resposta

2 2 211 11 22 12 2211 22

2 2 211 11 22 12 2211 22

2 4'

2 2 22 4

''2 2 2

H H H H HH Hh

H H H H HH Hh

− + += + −

− + += + +

Os auto vetores ficam

11 12

12 22

0H h H m

H H h n

− = −

( )( )

11 12

12 22

0

0

H h m H n

H m H h n

− + = + − =

Colocando n em termos de m : ( )

( )11 12

11

12

0H h m H n

H hn m

H

− + =−

= −

E os autovetores tem a seguinte forma:

( )11

12

1

'' H hh m

H

−= −

e ( )11

12

1

'''' H hh m

H

−= −

Eles devem ser normalizados. Para 'h

( ) ( )11211

1212

1'

'' ' 1 1H h

H hh h mH

H

− −= − = −

( ) 2112

12

'1 1

H hm

H

− − =

20

( ) 211

12

1

'1

mH h

H

= − −

ficamos

( )( )112

11 12

12

11

'''

1

H hhH h HH

−= − − −

Para ''h

( )( )11211

1212

1''

'''' '' 1 1H h

H hh h mH

H

− −= − = −

( ) 2112

12

''1 1

H hm

H

− − =

( ) 211

12

1

''1

mH h

H

= − −

ficamos

( )( )112

11 12

12

11

''''''

1

H hhH h HH

−= − − −

Para 12 0H = os autovalores ficam:

2 211 11 22 2211 22

11 22 11 2222

2 211 11 22 2211 22

11 22 11 2211

2 0'

2 2 2

'2 2 2

2''

2 2 2

''2 2

0

2

H H H HH Hh

H H H Hh H

H H H HH Hh

H H H Hh H

− + += + −

= + − =

− + += +

+

−

−

+

= + =

O que significa que a base genérica também é base do operador Hamiltoniano. Os autovetores viriam:

11

22

00

0

H h m

H h n

− = −

21

( )( )11

22

0

0

H h m

H h n

− = − =

Para 11h H= , m pode ser qualquer numero e 0n = . O auto vetores associados ao autovalor:

1'

0h m

= que normalizado:

1'

0h

=

Para 22h H= , n pode ser qualquer numero e 0m = . O auto vetor associado ao autovalor:

0''

1h n

= que normalizado:

0''

1h

=

12)

O vetor n está no plano xz formando um ângulo γ com z. Isso corresponde na expressão utilizada na questão 9 a um valor de 0α = e β γ= .

( ) ( );̂ cos / 2 sin / 2s n γ γ⋅ + = + + − a)

a probabilidade de medir / 2 é dada por 2ˆ; ;xs s n+ ⋅ + :

( ) ( )ˆ; ; cos / 2 ; sin / 2 ;x x xs s n s sγ γ+ ⋅ + = + + + + −

( ) ( ) ( ) ( )1 1ˆ; ; cos / 2 sin / 2

2 2xs s n γ γ

+ ⋅ + = + + − + + + + − −

( ) ( )( )1ˆ; ; cos / 2 sin / 2

2xs s n γ γ+ ⋅ + = +

Conseqüentemente

( ) ( )( )2 21ˆ; ; cos / 2 sin / 2

2xs s n γ γ+ ⋅ + = +

22

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 1 sin1ˆ; ; cos / 2 2 cos / 2 sin / 2 sin / 2

2 2xs s nγ

γ γ γ γ+

+ ⋅ + = + + =

b) o valor esperado de xs é:

ˆ ˆ; ;x xs s n s s n= ⋅ + ⋅ +

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )cos / 2 sin / 2 / 2 cos / 2 sin / 2xs γ γ γ γ= + + − + − + − + + + −

( ) ( )( ) ( ) ( )( )/ 2 cos / 2 sin / 2 cos / 2 sin / 2xs γ γ γ γ= + + − − + +

( ) ( ) ( ) ( )( )/ 2 cos / 2 sin / 2 sin / 2 cos / 2xs γ γ γ γ= +

( )sin / 2xs γ= o valor esperado de 2

xs é:

2 2ˆ ˆ; ;x xs s n s s n= ⋅ + ⋅ +

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2cos / 2 sin / 2 / 4 cos / 2 sin / 2xs γ γ γ γ= + + − + − + − + + − + − + + + −

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )2 2 / 4 cos / 2 sin / 2 cos / 2 sin / 2xs γ γ γ γ= + + − + − + − + − + +

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 / 4 cos / 2 sin / 2 cos / 2 sin / 2xs γ γ γ γ= + + − + + −

( ) ( )( )2 22 2 / 4 cos / 2 sin / 2xs γ γ= +

2 2 / 4xs =

A dispersão 2

xs∆ `

22 2

x x xs s s∆ = −

( )( )22 2 / 4 sin / 2xs γ∆ = −

( )( ) ( )2 22 2 2/ 4 1 sin cos / 4xs γ γ∆ = − =

23

13) a) O operador correspondente a detecção do átomo de spin / 2 orientado na direção z . O operador que tem

dois autovalores, 1 e 0 , correspondentes a detectar ou não detectar. Escrito na base zs ,sua própria base, temos:

1 0M+ = + + + − − b) O operador correspondente a detecção do átomo de spin / 2 orientado na direção n. O operador que tem

dois autovalores 1 e 0 , correspondentes a detectar ou não detectar. Escrito na base ;̂n ± , sua própria base, temos:

ˆ ˆ ˆ ˆ1 ; ; 0 ; ;nM n n n n+ = + + + − −

( ) ( )( ) ( ) ( )( )cos / 2 sin / 2 cos / 2 sin / 2nM γ β β β+ = + + − + + − c) O operador correspondente a detecção do átomo de spin / 2− . O operador que tem dois autovalores 0 e

1 . Escrito na base zs , sua própria base, temos:

0 1M− = + + + − − Pergunta 1 O que significa o feixe final (sz= / 2− ) quando o feixe (sz= / 2 ) que sobrevive à primeira medida é 1? O operador M+ aceita átomos com estado de spin + e rejeita átomos no estado de spin − (estados

puros). Átomos que estejam em estados intermediários (combinação de e + e − ) tem probabilidade entre

0 e 1 de serem aceitos. Ao final, temos átomos preparados no estado de spin + .se a probabilidade de todo

átomo passar por M+ é 1, então isso significa que no inicio tínhamos um feixe polarizado de átomos no

estado de spin + . A explicação para a detecção de átomos com estado de spin − ao final do experimento

vem do fato de nM + preparar átomos num estado de spin intermediário i.e num estado que é uma

combinação de + e − . Pergunta 2 A probabilidade de um fóton vindo de M+ passar por nM + é dada por

21 ;̂p n= + +

( ) ( )( ) 21 cos / 2 sin / 2p β β= + + + −

24

( )21 cos / 2p β=

A probabilidade de um feixe saído de nM + passar por M− é dada por

22 ;̂p n= + −

( ) ( )( ) 22 cos / 2 sin / 2p β β= + + − −

( )22 sin / 2p β=

A probabilidade total:

( ) ( )2 2cos / 2 sin / 2Tp β β=

( ) ( )( )22 cos / 2 sin / 2 / 4Tp β β=

( )( )2sin / 4Tp β= . Então vemos que a probabilidade será máxima quando β for / 2π sendo a probabilidade ¼. Ela também está associada a razão entre a intensidade do feixe que entra e o que sai, de onde tiramos que o feixe que sai de M− tem intensidade máxima dada pro ¼ da intensidade que entra em M+ 14) O Operador é representado pela matriz

0 1 011 0 1

2 0 1 0

A

=

Procuramos os aukets e autovetores. Montando a equação de autovalor:

0 1 011 0 1

2 0 1 0

a a

b b

c c

λ

=

0 1 0 1 0 011 0 1 0 1 0 0

2 0 1 0 0 0 1

a

b

c

λ

− =

0 1 0 1 0 011 0 1 0 1 0 0

2 0 1 0 0 0 1

a

b

c

λ

− =

0 1 / 2 0 0 0

1 / 2 0 1 / 2 0 0 0

0 00 1 / 2 0

a

b

c

λλ

λ

− =

25

1 / 2 0

1 / 2 1 / 2 0

0 1 / 2

a

b

c

λ

λ

λ

− − = −

Esse problema só tem solução não trivial se :

1 / 2 0

det 1 / 2 1 / 2 0

0 1 / 2

λ

λ

λ

− − = −

3 0λ λ− + = De onde tiramos:

1 0λ = , 2 1λ = e 3 1λ = − . Os autovetores. Para 1λ :

0 1 / 2 0

1 / 2 0 1 / 2 0

0 1 / 2 0

a

b

c

=

( )/ 2

1 / 2 0

/ 2

b

a c

b

+ =

Temos para isso que 0b = e Podemos colocar c em função de a c a= − O autovetor fica:

1

' 0 0

1

a a

a b a

c a

= = = − −

'a deve ser normalizado, o que leva a 1

2a = . Temos:

1

1' 0

2 1

a

= −

26

Os autovetores. Para 2λ :

1 1 / 2 0

1 / 2 1 1 / 2 0

0 1 / 2 1

a

b

c

− − = −

/ 2

/ 2 / 2 0

/ 2

a b

a b c

b c

− + − + = −

Podemos colocar b em função de a

2b a= Também podemos colocar c em função de a / 2 / 2 0a b c− + =

/ 2 2 / 2 0a a c

c a

− + =

=

O autovetor fica:

1

'' 2 2

1

aa

a b a a

c a

= = =

O vetor deve ser normalizado

( ) ( )2 2

1

'' '' 1 2 1 2 1 2 1 1

1

a a a a

= = + + =

1

2a =

''a fica:

1

1'' 2

21

a

=

27

Os autovetores. Para 3λ :

1 1 / 2 0

1 / 2 1 1 / 2 0

0 1 / 2 1

a

b

c

=

/ 2

/ 2 / 2 0

/ 2

a b

a b c

b c

+ + + = +

Podemos colocar b em função de a

2b a= − Também podemos colocar c em função de a / 2 / 2 0a b c+ + =

/ 2 2 / 2 0a a c

c a

− + =

=

O autovetor fica:

1

''' 2 2

1

aa

a b a a

c a

= = − = −

O vetor deve ser normalizado

( ) ( )2 2

1

''' ''' 1 2 1 2 1 2 1 1

1

a a a a

= − − = + + =

1

2a =

'''a fica:

1

1''' 2

21

a

= −

15) Se os kets { }', 'a b são autokets simultâneos de A e B temos que

', ' ' ', ' ' ' ', 'AB a b Ab a b a b a b= =

', ' ' ', ' ' ' ', 'BA a b Ba a b a b a b= =

28

Temos que ( ) ', ' 0AB BA a b− =

, ', ' 0A B a b = Então , 0A B = 16) Supondo que exista um ket ', 'a b que e simultaneamente auto ket de A e B .Aplicando o anti comutador { }, ', ' 0A B a b =

( ) ', ' 0AB BA a b+ =

( ) ', ' 0ab ba a b+ = O ket nulo não é aceito como auto ket então temos que pelo menos um dos autovalores deve ser então zero. 18) a) ( )( )* 0α λ β α λ β+ + ≥

* * 0α α λ α β λ β α λ λ β β+ + + ≥ Agora tomando λ β β β α= − tem como conseqüência que *λ β β α β= − . Multiplicando a

desigualdade por β β

* * 0β β α α λ β β α β λ β β β α λ λ β β β β+ + + ≥

0β β α α β α α β α β β α β α α β− − + ≥

β β α α β α α β≥ 2

β α β β α α≤ b) temos as relações: A Bα λ α∆ = ∆ e conseqüentemente *A Bα α λ∆ = ∆ 18.b.1

O valor esperado para o comutador ,A B ∆ ∆

,A B A B B Aα α α α α α ∆ ∆ = ∆ ∆ − ∆ ∆

29

Usando 18.b.1

, *A B B B B Bα α α λ α α λ α ∆ ∆ = ∆ ∆ − ∆ ∆

, *A B B B B Bα α λ α α λ α α ∆ ∆ = ∆ ∆ − ∆ ∆ Como λ é puramente imaginário:

,A B B B B Bα α λ α α λ α α ∆ ∆ = − ∆ ∆ − ∆ ∆ 2, 2A B Bα α λ α α ∆ ∆ = − ∆ 18.b.2

O valor esperado para o anticomutador { },A B∆ ∆

{ },A B A B B Aα α α α α α∆ ∆ = ∆ ∆ + ∆ ∆ Usando 18.b.1

{ }, *A B B B B Bα α α λ α α λ α∆ ∆ = ∆ ∆ + ∆ ∆

{ }, *A B B B B Bα α λ α α λ α α∆ ∆ = ∆ ∆ + ∆ ∆ Como λ é puramente imaginário:

{ },A B B B B Bα α λ α α λ α α∆ ∆ = − ∆ ∆ + ∆ ∆

{ }, 0A Bα α∆ ∆ = 18.b.3 Temos a identidade

{ }1 1, ,

2 2A B A B A B ∆ ∆ = ∆ ∆ + ∆ ∆

1,

2A B A B ∆ ∆ = ∆ ∆

2 21,

4A B A B ∆ ∆ = ∆ ∆ 18.b.4

Ainda de 18.b.1 A Bα λ α∆ = ∆

*A Bα λ α∆ = ∆

*A A B Bα α λ α λ α∆ ∆ = ∆ ∆

*A A B Bα α λ λ α α∆ ∆ = ∆ ∆ 22 2A Bα α λ α α∆ = ∆

Multiplicando por 2Bα α∆ os dois membros

30

2 22 2 2A B Bα α α α λ α α∆ ∆ = ∆ Finalmente de 18.b.2

2

2 2,

4

A BA B

α αα α α α

∆ ∆ ∆ ∆ =

E de 18.b.4

22 2A B A Bα α α α α α∆ ∆ = ∆ ∆ Que corresponde à expectativa do aparecimento da igualdade entre os dois membros, sendo este um caso particular do principio da incerteza.

31

19) a) fazemos primeiro

( )/ 2xS = + − + − +

( ) ( )2 / 2 / 2xS = + − + − + + − + − +

( ) ( )22 / 2xS = + + + − − O valor esperado

( ) ( )22 / 2xS+ + = + + + + − − +

( )22 / 2xS+ + = O valor esperado de xS

( )/ 2xS+ + = + + − + − + +

0xS+ + =

Para ( )2xS+ ∆ +

( ) ( ) ( )2 2 2/ 2 0 / 2xS+ ∆ + = − = 19.a.1

Agora fazemos

( )/ 2yS i= − + − + − +

( ) ( )2 / 2 / 2xS i i= − + − + − + − + − + − +

( ) ( )22 / 2yS = + + + − − O valor esperado

( ) ( )22 / 2yS+ + = + + + + − − +

( )22 / 2yS+ + = O valor esperado de yS

( )/ 2yS+ + = + + − + − + +

0yS+ + =

Para ( )2yS+ ∆ +

32

( ) ( ) ( )2 2 2/ 2 0 / 2yS+ ∆ + = − = 19.a.2

Do princípio da incerteza e de 19.a.1 e 19.a.2

( ) ( )2 22 1,

4x y x yS S S S + ∆ + + ∆ + ≥ + +

( ) ( )2 2 21/ 2 / 2

4 zi S≥ + +

( ) ( )2

2 2 1/ 2 / 2

4 2i≥

2 2

16 16≥

b) Fazemos primeiro

( )/ 2 ; ; ; ;x x x x xS S S S S= + + − − −

( ) ( )2 / 2 ; ; ; ; / 2 ; ; ; ;x x x x x x x x xS S S S S S S S S= + + − − − + + − − −

( )22 / 2 1xS = O valor esperado

( )22; ; / 2 ; 1 ;x x x x xS S S S S+ + = + +

( )22; ; / 2x x xS S S+ + = O valor esperado de xS

( ); ; ; / 2 ; ; ; ; ;x x x x x x x x xS S S S S S S S S+ + = + + + − − − +

; ; / 2x x xS S S+ + =

Para ( )2; ;x x xS S S+ ∆ +

( ) ( ) ( )2 2 2; ; / 2 / 2 0x x xS S S+ ∆ + = − = 19.b.1

33

Do princípio da incerteza e de 19.b.1 e 19.a.2

( ) ( )22 1; ; ; ; ; , ;

4x x x x y x x x y xS S S S S S S S S S + ∆ + + ∆ + ≥ + +

( )2 10 ; ; ; ;

4x y x x z xS S S S i S S+ ∆ + ≥ + +

( )( )10 ; / 2 ;4 x xi S S≥ + + + − − − +

0 0≥

34

20) a) fazendo ( )det 0B Iλ− =

( )0 0

det 0 0

0

b

B I ib

ib

λλ λ

λ

− − = − − = −

( ) ( )2 2 0b b bλ λ λ− − − =

1 2 3, ,b b bλ λ λ= = = −

B também apresenta degeneração. b)

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

a b

AB a ib

a ib

= − − −

0 0

0 0

0 0

ab

AB iab

iab

= −

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

b a

BA ib a

ib a

= − − −

0 0

0 0

0 0

ba

BA iba

iba

= −

0AB BA− =

35

c) Montando a equação de autovalor para a matrizB

0 0

0 0

0 0

b x x

ib y y

ib z z

λ

− =

Onde λ é um autovalor de B

0 0

0 0

0

b x

ib y

ib z

λλ

λ

− − − = −

Os autovalores são é claro b ,b e b− . Para bλ = 0 0 0

0 0

0

x

b ib y

ib b z

− − = −

0

0

by ibz

iby bz

− − =− =

Colocando z em termos de y ficamos com um auto vetor do tipo z iy=

1 0

', ' 0 1

0

x

a b y x y

iy i

= = +

O ket 1

0

0

já é auto ket de A. uma olhada rápida é suficiente para ver que o ket 0

1

i

e o ket 1

0

0

são ortogonais.

Aplicando A em 0

1

i

percebemos que ele está associado ao autovalor a− .

Podemos então retirar os dois autokets associados aos autovalores degenerados de B .

1

', ' 0

0

a b

=

e

36

01

'', '' 12

a b

i

=

Para bλ = − 2 0 0

0 0

0

b x

b ib y

ib b z

− =

0

0

by ibz

iby bz

− =+ =

Colocando z em termos de y z iy= −

0 0

''', ''' 1a b y y

iy i

= = + − −

Rapidamente vemos que ele é ortogonal a ', 'a b fazendo o teste com '', ''a b também é verificada a

ortogonalidade. Aplicando A percebemos que está associado ao autovalor a− . Normalizado esse era o ket que faltava.

0 01

''', ''' 12

a b y

iy i

= = − −

.

26) Montando a matriz

1;

2xU S+ + = + + = , 1

;2

xU S+ − = + − =

1;

2xU S− + = − + = , 1

;2

xU S− − = − − = −

A matriz transformação

1 111 12

U = −

Que deve ser perfeitamente coerente com a generalização, pois

( ) ( )r r

r

U b a= ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r l r r r l

r

a U a a b a a= ∑

37

( ) ( ) ( ) ( )r l r ra U a a b=

31) Temos as seguintes referencia

( ), ' 'dx dx = x T 31.1

( ), ' 0dx = p T 31.2

( )'dxα α→ T 31.3 de 31.3 e do fato de que o ket evoluído também deve ser normalizado.

( ) ( )†' ' 1dx dxα α =T T

( ) ( )†' ' 1dx dx =T T 31.4

O valor esperado

( ) ( )†' 'dx dxα αxT T 31.5

De 31.1 podemos tirar

( ), ' 'dx dx = x T

( ) ( )' ' 'dx dx dx− =x xT T

( ) ( )' ' 'dx dx dx= +x xT T 31.6

38

Substituindo o resultado 31.6 em 31.5

( ) ( ) ( )†' ' 'dx d dx dxα α+x xT T T

( ) ( ) ( )† †' ' ' 'dx dx dx dxα α α α+ xT T T

( )†' 'dx dxα α α α+ xT

'dxα α α α+ x

'dxα α +x Agora o valor esperado de p

( ) ( )†' 'dx dxα αpT T

A relação 31.2 diz que os operadores translação e momento comutam

( ) ( )†' 'dx dxα αpT T

α αp 33) a) i) Sabemos que

' '1

' '2

x pi

x p eπ

=

'' ' ' '

'

xx p i x p

p

∂=

∂

' ' ' ' ''

i x p x x pp

∂− =

∂ 33.1

Agora partindo para a primeira prova ' ' ' ' 'p x dx p x x xα α= ∫

' ' ' ' ' 'p x dx x p x xα α= ∫

' '' ' ' ' ' ' '' ''p x dp dx x p x x p pα α= ∫ ∫

39

Usando 33.1 ' '' ' ' ' ' ' '' ''p x dp dx p x x x p pα α= ∫ ∫

' '' ' ' ' ' '' ''''

p x dp dx p x i x p pp

α α∂

= −∂∫ ∫

' ' ' ' '' ' '' ''''

p x dx p x dp i x p pp

α α∂

= −∂∫ ∫

''

''' ' ' ' ' '' '' '' ' '' ''

''

p

pp x dx p x i x p p dp i x p p

pα α α

→∞

→−∞

∂ = − − ∂∫ ∫

''

''' ' ' ' ' '' '' ' '' ' ' ' '' ''

''

p

pp x i dx p x x p p i dx dp p x x p p

pα α α

→∞

→−∞

∂ = − + ∂∫ ∫ ∫''

''' ' '' '' '' ' ' ' ' '' ''

''

p

pp x i p p p i dp dx p x x p p

pα α α

→∞

→−∞

∂ = − + ∂∫ ∫

( ) ''

''' ' '' '' '' ' ' ' ' '' ''

''

p

pp x i p p p i dp dx p x x p p

pα δ α α

→∞

→−∞

∂ = − − + ∂∫ ∫

( )' '' ' '' ''''

p x i dp p p pp

α δ α∂

= −∂∫

' ''

p x pp

α α∂

=∂

Usando 33.1

' ' ' ' ''

p x dx i p x xp

α α∂

=∂∫

ii)

' ' 'x dp p p xβ α β α= ∫

De i)

' ' 'x dp p p xβ α β α= ∫

' ' ''

x dp p pp

β α β α∂

=∂∫

( ) ( )* *' ' ''

x dp p ppβ αβ α φ φ∂

=∂∫

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b) vamos examinar algumas propriedades desse operador. Fazendo Ξ pequeno e igual a 'dp

exp 1ixdp dp

ix +

O comutador entre x e o operador

,1 ,1 , 0dp dp

x ix x i x x

+ = + =

Agora com p

( ),1 ,1 ,dp dp dp

p ix p i p x i i dp

+ = + = − =

Como vemos existe uma semelhança entre o operador e o operador translação. O operador translação espacial comuta com pmas não com x sendo o comutador aproximadamente dx que tem dimensão de espaço. Já o operador em questão comuta com x mas não com p , dando como resultado dp que tem unidade de momento linear. Os operadores se assemelham muito, sendo a diferença entre eles a relação trocada que tem com x e p . Se o primeiro tem significado físico de translação espacial, é muito coerente dizer que o outro tem significado físico de translação do momento.