Manual de Solues Econometria Bsica Gujarati

CAPTULO 7 ANLISE DE REGRESSO MLTIPLA: O PROBLEMA DA ESTIMAO

7.1 Os resultados das regresses so:

1 2

1 2

1 2 3

3,00; 3,50 4,00; 1,357 2,00; 1,00; 1,00

= = = = = = =

(a) No. Dado que o modelo (3) o verdadeiro, 2 um estimador tendencioso de

2 . (b) No. Pela mesma razo de (a), 3 um estimador tendencioso de 3 . A lio aqui que uma equao mal especificada pode levar estimao tendenciosa dos parmetros do modelo verdadeiro. 7.2 Aplicando as frmulas dadas no texto, os resultados da regresso so os seguintes:

iY = 53,1612 + 0,727X2i + 2,736X3i ep= (0,049) (0,849) 2R = 0,9988 2R = 0,9986. 7.3 Omitindo o subscrito de observao i por convenincia, recorde que:

2 22 3 3 2 3 2 3 2 3 3

2 2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 2 3 3

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) /( )( )( ) ( ) ( ) ( ) /( )yx x yx x x yx yx x x x

x x x x x x x x = =

=

2 322 23 2 3

( ) ( )( ) (

yx yx b23)x b x x

= , aplicando 2 323 23

( )( )

x xb

x= , 2 23 32 2 2 23 3

( )( )

y x b xx x b x

= .

7.4 Como foi informado que , gere, por exemplo, 25 observaes a partir

de uma distribuio normal com esses parmetros, o que a maioria dos softwares faz normalmente. Dessas observaes, calcule a varincia da amostra como

(0, 4)iu N

22 ( )

24iX XS= , em que Xi o valor observado de ui na amostra de 25 observaes.

Repita este exerccio, digamos, outras 99 vezes, para completar 100 experimentos. Ao final, haver 100 valores de S2. Tire a mdia desses valores, que dever estar em

Manual de Solues Econometria Bsica Gujarati torno de 2 = 4. s vezes, podem ser necessrias mais de 100 amostras para se conseguir uma boa aproximao. 7.5 A partir da Equao (7.11.7) do texto, temos 2 2 2 213 13 12.3(1 )R r r= + r . Logo,

2 22 13

12.3 2131

R rrr= .

Este o coeficiente de determinao parcial, e pode-se interpret-lo como o coeficiente que descreve a proporo da variao da varivel dependente no explicada pela varivel X3, mas explicada pela incluso de X2 ao modelo. 7.6 Pode-se escrever a equao dada como: X1 = (2 / 1)X2 + (3 / 1)X3, ou X2 = (1 / 2)X1 + (3 / 2)X3, ou X3 = (1 / 3)X1 + (2 / 3)X2 . Assim, os coeficientes de regresso parcial seriam os seguintes: 12.3 = (2 / 1); 13.2 = (3 / 1) 21.3 = (1 / 2); 23.1 = (2 / 3) 31.2 = (1 / 3); 32.1 = (2 / 3).

Relembrando a Questo 3.6, temos 2 112.3 12.3 21.31 2

( )( )( )( ) 1( )( )

r 1= = = = .

7.7 (a) No. O valor absoluto de r no pode ser maior que um. Aplicando Equao (7.11.2) os dados fornecidos, obteremos r12.3 = 2,295, o que, logicamente, impossvel. (b) Sim. Seguindo o mesmo procedimento de (a), encontraremos r12.3 = 0,397, um resultado possvel. (c) Sim. Da mesma forma pode-se demonstrar que r12.3 = 0,880, outro resultado possvel. 7.8 Se excluirmos do modelo a varivel anos de experincia (X3), o coeficiente de escolaridade (X2) ser tendencioso, e a natureza do vis depender da correlao entre X2 e X3. O erro-padro, a soma residual dos quadrados e R2 sero afetados em conseqncia dessa excluso. Este um caso de vis de varivel excluda. 7.9 Os coeficientes angulares nos modelos duplo log fornecem estimativas diretas da elasticidade (constante) da varivel do lado esquerdo em relao varivel do lado direito. Neste caso:

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22 2 2

ln /ln /

Y Y YX X X

= = e 33 3 3ln /

ln /Y Y YX X X

= = . 7.10 (a) & (b) Se multiplicarmos X2 por 2, verificaremos pelas Equaes (7.4.7) e (7.4.8) do texto que os coeficientes angulares no sero afetados. Se, por outro lado, multiplicarmos Y por 2, os coeficientes angulares, assim como os interceptos e seus erros-padro, sero multiplicados por 2. Sempre tenha em mente as unidades em que o regressando e os regressores so medidos.

7.11 A partir da Equao (7.11.5), sabemos que: 2 2

2 12 13 12 13 32

23

21

r r r r rRr

+ = . Portanto, quando r23 = 0, isto , no h correlao entre X2 e X3,

2 212 13

2R r r= + , ou seja, o coeficiente de determinao mltiplo a soma dos coeficientes de determinao na regresso de Y contra X2 e na de Y contra X3. 7.12 (a) Reescreva o modelo B como:

*1 2 2 3 3 1 2 2 3 3(1 )i t t t tY X X u X = + + + + = + + +t tX u 2, em que *2 (1 ) = + . Os dois

modelos so, portanto, similares. Sim, os interceptos nos modelos so iguais. (b) As estimativas de MQO do coeficiente angular de X3 sero iguais nos dois modelos. (c) *2 2(1 ) 2 = + = . (d) No, porque os regressandos so diferentes nos dois modelos. 7.13 (a) Aplicando MQO, obtemos:

2

2 22 2 2 2

( )( ) ( ) 1i i i i i i i ii i i i

y x x z x x z xx x x x

= = = = . Ou seja, o coeficiente angular da regresso de poupana contra renda (quer dizer, a propenso marginal a poupar) igual a um menos o coeficiente angular da regresso de consumo contra renda (quer dizer, a propenso marginal a consumir). Dito de outra forma, a soma das duas propenses marginais igual a 1, como, alis, no poderia deixar de ser, pois a receita total igual ao total das despesas de consumo mais o

total das poupanas. A propsito, repare que 1 1 = .

(b) Sim. A SQR para a funo consumo : 21 2 ( iY )iX . Agora, substitua ( )i iX Y por iZ , 1 1 = , e 2 (1 )2 = e verifique que as duas SQR so iguais. (c) No, porque os dois regressandos no so iguais.

Manual de Solues Econometria Bsica Gujarati 7.14 (a) Conforme visto na Seo 6.9, para aplicar o modelo normal de regresso linear clssico (MNRLC), necessrio presumir que ln ui N(0,2). Depois de estimar o modelo Cobb-Douglas, obtenha os resduos e submeta-os ao um teste de normalidade, tal como o Jarque-Bera.

(b) No. Como vimos na Seo 6.9, iu log normal 2 2 2/ 2[ , ( 1e e e )] .

7.15 (a) As equaes normais seriam:

22 2 2 3 2i i i i iY X X X X = + 3

3

2

3 2 2 3 3i i i i iY X X X X = + . (b) No, pela mesma razo do caso de duas variveis. (c) Sim, essas condies so vlidas. (d) Depender da teoria subjacente. (e) Isso uma generalizao simples das equaes normais dadas anteriormente. Problemas 7.16 (a) Modelo linear:

tY = 10816,04 2227,704X2i + 1251,141X3i + 6,283X4i 197,399X5i ep = (5988,348) (920,538) (1157021) (29,919) (101,156) R2 = 0,835 Neste modelo, os coeficientes angulares medem a taxa de variao de Y em relao varivel pertinente. (b) Modelo loglinear:

ln = 0,627 1,274 lnX2i + 0,937 lnX3i + 1,713 lnX4i 0,182 lnX5i tYep = (6,148) (0,527) (0,659) (1,201) (0,128) R2 = 0,778 Neste modelo, todos os coeficientes angulares parciais so elasticidades parciais de Y em relao varivel pertinente. (c) Espera-se que a elasticidade preo prpria seja negativa, a preo cruzada seja positiva para bens substitutos e negativa para bens complementares, e a elasticidade renda seja positiva, j que rosas so um bem normal.

Manual de Solues Econometria Bsica Gujarati (d) A frmula geral para a elasticidade das equaes lineares : Elasticidade =

i

i

XYX Y , em que iX o regressor pertinente. (e) Os dois modelos apresentam resultados semelhantes. Uma vantagem do modelo log-linear que os coeficientes angulares fornecem estimativas diretas da elasticidade (constante) da varivel pertinente em relao ao regressor sob avaliao. Mas tenha em mente que os R2 no so comparveis diretamente. 7.17 (a) A priori, todas as variveis parecem relevantes para explicar a atividade de prospeco de petrleo. Espera-se que todos os coeficientes angulares sejam positivos, exceto o da varivel de tendncia, que pode ser positivo ou negativo. (b) O modelo estimado :

iY = -37,186 + 2,775X2i + 24,152X3i - 0,011X4i - 0,213X5i ep = (12,877) (0,57) (5,587) (0,008) (0,259) 2R = 0,656

2R = 0,603. (c) As variveis preo por barril e produo interna so estatisticamente significativas no nvel de 5%, e seus sinais esto de acordo com as expectativas. As outras variveis no so estatisticamente diferentes de zero. (d) Outra especificao pode ser o modelo log-linear que, alm de fornecer estimativas diretas das elasticidades, pode amarrar caractersticas no-lineares (nas variveis), se houver. 7.18 (a) Os resultados da regresso so:

iY = 19,443 + 0,018X2i - 0,284X3i + 1,343X4i + 6,332X5i ep = (3,406) (0,006) (0,457) (0,259) (3,024) 2R = 0,978 2R = 0,972

2R modificado = 0,734. (b) A priori, esperava-se que todos os coeficientes angulares fossem positivos. exceo do coeficiente para as vendas militares dos Estados Unidos, todas as outras variveis so estatisticamente significativas no nvel de 5%, e seus sinais esto de acordo com as expectativas. (c) Despesas federais globais e algum tipo de varivel de tendncia podem ser muito importantes. 7.19 (a) O modelo (5) parece ser o melhor porque abrange todas as variveis economicamente relevantes, inclusive o preo real dos substitutos da carne de frango, o que deve ajudar a minorar o possvel problema de multicolinearidade entre o preo

Manual de Solues Econometria Bsica Gujarati da carne bovina e o da carne suna existente no modelo (4). O modelo (1) no tem informaes sobre os substitutos, e elas so limitadas nos modelos (2) e (3). (b) O coeficiente de lnX2 representa a elasticidade de renda, e o de lnX3 representa a de preo prprio. (c) O modelo (4) considera as carnes suna e bovina como bens substitutos, ao passo que o (2) considera apenas a suna. (d) Pode haver um problema de multicolinearidade entre o preo da carne bovina e o da suna. (e) Sim. Isso deve amenizar o problema da multicolinearidade. (f) Devem ser bens substitutos porque competem com a carne de frango como produto de consumo. (g) Os resultados da regresso do modelo (5) so os seguintes:

ln = 2,030 + 0,481 lnX2t - 0,351 lnX3t - 0,061 lnX6t tY ep = (0,119) (0,068) (0,079) (0,130) 2R = 0,980 2R = 0,977

2R modificado = 0,810. As elasticidades renda e preo prprio tm os sinais corretos. (h) A conseqncia de estimar o modelo (2) seria a possibilidade de tendenciosidade dos estimadores devido a erro de especificao do modelo. Esse assunto detalhado no Captulo 13. 7.20 (a) Ceteris paribus1, as interpretaes so as seguintes, em mdia:

um aumento de 1% na taxa de desemprego leva a um aumento de 0,34% na taxa de desistncia do emprego;

um aumento de 1% no percentual de empregados com menos de 25 anos leva a um aumento de 1,22% na taxa de desistncia do emprego;

um aumento de 1% na razo de empregados na indstria no trimestre leva a um aumento de 1,22% na taxa de desistncia do emprego;

um aumento de 1% no percentual de mulheres empregadas leva a um aumento de 0,80% na taxa de desistncia do emprego;

ao longo do perodo estudado, a taxa de desistncia do emprego baixou razo de 0,54% ao ano.

(b) Sim, esperase que a taxa de desistncia e a de desemprego estejam negativamente relacionadas.

1 Ceteris paribus Expresso latina muito usada em Economia e que significa Todos os outros fatores se mantendo constantes.

Manual de Solues Econometria Bsica Gujarati (c) medida que aumenta a contratao de pessoas com menos de 25 anos, a expectativa que a taxa de desistncia aumente por causa da rotatividade entre os trabalhadores mais jovens. (d) A taxa de queda 0,54%. Motivos provveis para essa queda seriam as melhorias nas condies de trabalho e nos benefcios de penses ao longo do tempo. (e) No. O significado de baixo relativo. (f) Como os valores t so dados, podemos facilmente calcular os erros-padro. Sob a

hiptese nula de que 1 verdadeiro zero, temos a relao: ( )( )i i

ii

t eptep

= = . 7.21 (a) Os resultados da regresso so os seguintes:

2lnM = 1,2394 + 0,5243 ln PIBR 0,0255 ln TJCP ep = (0,6244) (0,1445) (0,0513) R2 = 0,7292. Os resultados da regresso com a TJLP so os seguintes:

2ln tM = 1,4145 + 0,4946 ln PIBRt 0,0516 ln TJLPt ep = (1,3174) (0,2686) (0,1501) R2 = 0,7270. As elasticidades renda (0,5243 ou 0,4946) e taxa de juros (0,0255 ou 0,0516) no so muito diferentes, mas, como veremos no Captulo 8, a regresso usando a TJCP apresenta melhores resultados estatsticos. (b) A razo M/PIB conhecida na literatura como o k da equao de Cambridge (Cambridge k), que representa a proporo da renda que as pessoas querem ter em dinheiro. uma relao sensvel taxa de juros, uma vez que esta representa o custo de se guardar o dinheiro, o qual em geral no produz grandes ganhos com juros. Seguem os resultados da regresso:

2lnt

MPIB

= 3,4785 0,1719 ln TJCPt ep = (0,0780) (0,0409) r2 = 0,5095.

2lnt

MPIB

= 3,8318 0,3123 ln TJLPt ep = (0,1157) (0,0532) r2 = 0,6692. Sendo ambas as regresses bivariadas, podemos verificar que, em termos estatsticos, o Cambridge k est inversamente relacionado taxa de juros, conforme as expectativas. Em termos numricos, mais sensvel s taxas de longo prazo do que s de curto prazo. Como a varivel dependente a mesma nos dois modelos, pode-se ver que o r2 obtido com a TJLP apresenta um ajuste muito melhor. (c) A resposta est no Exerccio 8.29.

Manual de Solues Econometria Bsica Gujarati 7.22 (a) Seguem os resultados do ajuste da funo de produo Cobb-Douglas fornecidos pelo software Eviews 3: Varivel dependente: LOG(PRODUO)

Amostra: 1961 1987 Observaes includas: 27

Varivel Coeficiente Erro-padro Estatstica-t Probabilidade

C -11,93660 3,211064 -3,717335 0,0011 LOG(MO-DE-OBRA) 2,328402 0,599490 3,883972 0,0007

LOG(CAPITAL) 0,139810 0,165391 0,845330 0,4063 R-quadrado 0,971395 Varivel dependente mdia 4,493912

R-quadrado ajustado 0,969011 Desviopadro da varivel dependente

0,461432

E.P. da regresso 0,081229 Critrio info Akaike -2,078645 Soma quad resduos 0,158356 Critrio Schwarz -1,934663 Verossimilhana Log 31,06171 Estatstica-F 407,5017 Estat Durbin-Watson 0,373792 Probabilidade (Estatstica-F) 0,000000 As elasticidades estimadas produo/mo-de-obra e produo/capital so positivas, como era de se esperar. Mas veremos no prximo captulo que os resultados, economicamente falando, no fazem sentido porque o capital no tem relao com a produo, fato que, se verdadeiro, seria surpreendente. Como veremos, o problema com os dados talvez seja a colinearidade. (b) Os resultados da regresso so os seguintes: Varivel dependente: LOG(PRODUTIVIDADE)

Data: 29/07/2000 Hora: 18:11 Amostra: 1961 1987 Observaes includas: 27

Varivel Coeficiente Erro-padro Estatstica-t Probabilidade C -1,155956 0,074217 -15,57533 0,0000

LOG(RELAO CAP/MDO)

0,680756 0,044535 15,28571 0,0000

R-quadrado 0,903345 Varivel dependente mdia -2,254332

R-quadrado ajustado 0,899479 Desvio-padro da varivel dependente

0,304336

E.P. da regresso 0,096490 Critrio info Akaike -1,767569 Soma quad resduos 0,232758 Critrio Schwarz -1,671581 Verossimilhana Log 25,86218 Estatstica-F 233,6528 Estat Durbin-Watson 0,263803 Probabilidade (Estatstica-F) 0,000000 A elasticidade de produo/mo-de-obra (isto , produtividade da mo-de-obra) em relao razo capital/mo-de-obra de aproximadamente 0,68, indicando que se

Manual de Solues Econometria Bsica Gujarati esta aumenta em 1%, a produtividade sobe cerca 0,68%, em mdia. Um das principais caractersticas das economias desenvolvidas uma relao capital/mo-de-obra relativamente elevada. 7.23 Repare que usamos todas as 528 observaes para estimar a regresso cujos resultados so mostrados a seguir: Varivel dependente: LOG(SALRIOM)

Amostra: 1 528 Observaes includas: 528

Varivel Coeficiente Erro-padro Estatstica-t Probabilidade C 4,661661 1,954190 2,385470 0,0174

LOG(ESTUDO) -3,165721 1,566685 -2,020650 0,0438 [LOG(ESTUDO)]2 0,836412 0,313436 2,668524 0,0079

R-quadrado 0,157696 Varivel dependente mdia 2,063647

R-quadrado ajustado 0,154488 Desvio-padro da varivel dependente

0,521224

E.P. da regresso 0,479275 Critrio info Akaike 1,372579 Soma quad resduos 120,5946 Critrio Schwarz 1,396835 Verossimilhana Log -3593609 Estatstica-F 49,14535 Estat Durbin-Watson 1,909008 Probabilidade (Estatstica-F) 0,000000 Este um modelo duplo-log, e, portanto, os coeficientes angulares medem elasticidade. Os resultados sugerem que o percentual de mudana dos salrios por hora diminui medida que aumentam os anos de estudo, mas a uma taxa maior, ou seja, torna-se menos negativa. (b) No possvel estimar esse modelo devido perfeita colinearidade. fcil ver isso com as propriedades dos logaritmos: log(estudo) = 2log(estudo). 7.24 Este exerccio para ser feito em aula. Observe que sua resposta depender do nmero de repeties que fizer. Quanto maior esse nmero, melhor ser a aproximao.