Exercicios Lista3

ANÁLISE DE ESTRUTURAS I – LISTA 3

VIGAS, PÓRTICOS, ARCOS E LINHAS DE PRESSÕES, TRELIÇAS, ESTRUTURAS MISTAS

Exercícios propostos (Lista 3)

1) Traçar para a viga Gerber dada abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e de momento fletor

(DM), indicando todos os valores necessários à completa compreensão dos mesmos.

1m 4m5m

12 3

4

4kN/m

2) (a) Traçar para a viga Gerber dada abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e de momento fletor

(DM), indicando todos os valores necessários à completa compreensão dos mesmos. (b) Usando o

princípio dos trabalhos virtuais complementar, calcular o deslocamento vertical do nó 1 ( 1δ ).

Considerar que a viga tem rigidez constante com EI=104kNm

2. (c) Traçar as linhas de influência da

reação vertical em 2, do cortante à esquerda e direita do apoio 3, do momento fletor em 3 e do momento

fletor no meio do vão 2-3. Em que ponto se encontra a carga móvel quando a reação vertical no apoio 2

atinge o valor máximo? Qual a faixa de variação desta reação?

1m 1m 1m 1m4m

6kN3kN 8kN/m

12 3

56

3) Traçar para a viga dada abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e de momento fletor (DM),

indicando todos os valores necessários à completa compreensão dos mesmos.

1m 1m 1m 1m4m

6kN8kN/m

3m

4kN/m

4) Traçar para a viga dada abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e de momento fletor (DM),

indicando todos os valores necessários à completa compreensão dos mesmos.

1m1m1m1m 4m

6kN8kN/m

3m

4kN/m

5) Determinar para o arco circular dado abaixo as equações de esforço normal, esforço cortante e

momento fletor em função da coordenada polar θ. Para tornar o arco mais econômico, pode-se construi-

lo de tal forma que o seu eixo coincida com a linha de pressões do carregamento. Considerando que o

arco deve passar pelas mesmas rótulas que o arco circular, pede-se deduzir as equações que descrevem a

forma da linha de pressões para o carregamento de 4kN/m, suas tangentes e o esforço normal. A seguir,

desenhar o diagrama de esforço normal, destacando os valores extremos.

R=2m

θ

4kN/m

6) Deseja-se construir uma estrutura tri-articulada que passe pelas três rótulas indicadas abaixo e cujo

eixo coincida com a linha de pressões do carregamento dado. Para isto pede-se escrever as equações que

descrevem a forma da linha de pressões, suas tangentes e o esforço normal. A seguir, desenhar o

diagrama de esforço normal, destacando os valores extremos. Qual o valor da inclinação do arco nos

apoios?

h=2m

4m 4m

4kN/m

7) Deseja-se construir uma estrutura tri-articulada com 4m de vão e uma altura de 2m, cujo eixo

coincida com a linha de pressões do carregamento dado. Sabe-se que a rótula intermediária se encontra

no ponto de esforço normal mínimo. Escrever as equações que descrevem a forma da linha de pressões,

suas tangentes e o esforço normal. A seguir, desenhar o diagrama de esforço normal, destacando os

valores extremos. Qual o valor da inclinação do arco nos apoios?

h=2m

4m

3kN/m

1 3

8) Determinar para a estrutura dada abaixo o número de graus de liberdade e restrições. A seguir,

identificar na estrutura as barras submetidas a flexão e traçar para estas barras os diagramas de cortante

e momento fletor. A seguir, calcular os esforços normais em todas as barras, usando a metodologia que

achar mais conveniente. Colocar estes valores nesta folha de questões.

2m2m

h=2m

2m 2m

3m 3m

6kN 6kN

1

2

3 4

5

67



e momento fletor. Finalmente, calcular os esforços normais em todas as barras, usando a metodologia

que achar mais conveniente. Colocar estes valores nesta folha de questões.

2m2m2m2m

2m

2m

3kN/m

2kN/m





1m

1m

1m

1m4m

2kN

3kN

3kN

3kN/m

1

23

45

6 7 8

9





1m

1m

1m

1m 4m

2kN

3kN

3kN

3kN/m

5

432

1

6

78

9

12) Determinar para a estrutura dada abaixo o número de graus de liberdade e restrições e identificar as

barras submetidas a flexão, traçando para estas barras os diagramas de cortante e momento fletor. A

seguir, calcular os esforços normais em todas as barras, usando a metodologia que achar mais

conveniente. Colocar estes valores nesta folha de questões.

2m2m 2m 2m

h=2m

3m 3m

6kN 6kN

1

2

34

5

67

4m

8

2kN/m

13) Para o pórtico plano dado abaixo pede-se: (1) determinar o número de graus de liberdade e

restrições; (2) decompor a estrutura, indicando as reações de apoio e forças de ligação e descrever, a

seguir, como as cargas são transmitidas no interior da estrutura e qual a seqüência adotada para os

cálculos; (3) usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de cortante e momento fletor,

mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados. Usando diagramas de

corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós.

1m2m4m

2m

2m

2kN4kN/m

1

2

3

45 6

7

8







1m 2m 4m

2m

2m

2kN 3kN/m

2

3 4 56

7

1 8






corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós 1 e 4.

1m 4m

2m

2m

2kN 4kN/m

2

3 45

6 7

1

8

9

2kN.m

1m4m


restrições; (2) usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de normal, cortante e

momento fletor, mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados. (3)

Calcular, usando o PTVC o valor do deslocamento vertical em 4 4Vδ . Considerar que o pórtico tem

rigidez constante com EI=104kNm

2. (4) Usando diagramas de corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós 2

e 5.

1m 2m 4m

2m

2m

1kN 4kN/m

2

3

4 5 67

1

8

9


identificar na estrutura as barras submetidas a apenas esforço normal e as barras submetidas a flexão e

traçar para estas últimas os diagramas de cortante e momento fletor. A seguir, calcular os esforços

normais em todas as barras, usando a metodologia que achar mais conveniente.

2m

2m

1m1m3m

2kN.m

1kN

2kN/m

1

2 3 4

5 67

8



e momento fletor. Finalmente, calcular os esforços normais em todas as barras, usando a metodologia

que achar mais conveniente. Colocar estes valores nesta folha de questões.

1m 2m

2m

3kN/m

1m

1m

1m

1

2 3 4 5

6 7

1m2m

8

9

19) Para o pórtico plano dado abaixo pede-se traçar os diagramas de cortante e momento fletor,



1kN

1kN

2kN

2kN/m

1

2

3

4

5

6

78

1m

1m

1m

1m1m 2m


restrições; (2) usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de cortante e momento

fletor, mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados. Mostrar

também a distribuição de esforços normais na estrutura. Usando diagramas de corpo livre, mostrar o

equilíbrio dos nós 2, 4 e 7.

1kN

3kN

4kN/m

1

2

3

4 5

6

78

9

2m

2m

2m 2m 2m4m

21) Para o pórtico plano dado abaixo pede-se: (1) usando a numeração dos nós fornecida, traçar os

diagramas de normal, cortante e momento fletor, mostrando todos os valores necessários ao completo

entendimento dos resultados. (2) Calcular, usando o PTVC o valor da rotação da tangente à elástica no

nó 1 1θ . Considerar que o pórtico tem rigidez constante com EI=104kNm

2. (3) Usando diagramas de

corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós 3 e 6.

2kN/m

3

1

2

1m

1m

1m 1m2m

3kN

1m

45

76

8

1,5kN.m





mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados e (4) usando

diagramas de corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós 2 e 4.

2kN/m

2kN

6kN.m

1,5m

1,5m

1,5m

1,5m

2m2m4m 4m

1

2

3

4

5

6

8

9

7

2kN/m

7

Exercícios resolvidos (Lista 3)

1) Deseja-se construir uma estrutura tri-articulada cujo eixo coincida com a linha de pressões do

carregamento dado abaixo. Para isto pede-se escrever as equações que descrevem a forma da linha de

pressões, suas tangentes e o esforço normal. Sabe-se que a rótula intermediária se encontra no ponto de

normal mínimo e que a altura máxima do arco deve ser de 3m. A seguir, desenhar o diagrama de

esforço normal, destacando os valores extremos. Qual a vantagem de se construir uma barra curva na

forma da linha de pressões do seu carregamento?

6 kN/m

4 m 2 m

1 3

Cálculo das reações verticais:

6 kN/m

1 3

V1

H1H3

V3

( )( ) ( ) 02246V:0M

24VV046VV:0V

31

3131

=−=Σ

=+⇒=−+=Σ

logo:

kN8V

kN16V

3

1

=

=

Variação da resultante das forças verticais:

16 kN

2.67 m

8 kN

+

-

Variação do momento causado pelas forças verticais:

21.33 kN.m

16.00 kN.m

A.- A equação da carga é: 6q −= para m4xm0 ≤≤ .

A equação da resultante das forças verticais é: xCdxqRv 6161 −=+= ∫ para

( )[ ]16160 1 =⇒= CR

A equação do momento é: ∫ −=+= 2

2 316 xxCdxRM vv para ( )[ ]0C00M 2 =⇒=

Cálculo das reações horizontais:

Esforço normal mínimo ocorre quando Rv é igual a zero (x=5m). Estando a rótula neste ponto (y=3m),

tem-se

kN11.73

33.21H

HH0HH:0H

1

3131

==

=⇒=−=Σ

logo:

kN11.7H

kN11.7H

3

1

=

=

A equação do que descreve a geometria do arco é:

11.7

x3x16y

2

1−

=

A equação da tangente é:

−=ϕ

11.7

x616arctg1

logo, a equação do esforço normal será:

( )22 x61611.7N −+−=

B.- A equação da carga é: 0q −= para m6xm4 ≤≤ .

A equação da resultante das forças verticais é: 83 −=+= ∫ CdxqRv para

( )[ ]880 3 −=⇒−= CRv

A equação do momento é: ∫ −=+= xCdxRM vv 8164 para ( )[ ]0C00M 4 =⇒=

A equação do que descreve a geometria do arco é:

11.7

x816y1

−=


−=ϕ

11.7

8arctg2

logo, a equação do esforço normal será:

22 811.7N +−=

O diagrama de esforços normais será:

17.5 kN

10.7 kN

10.7 kN

7.11 kN

-




normal mínimo e que a altura máxima do arco deve ser de 4m. A seguir, desenhar o diagrama de normal

destacando os valores extremos e determinar o valor da tangente nas extremidades de cada barra. Pede-

se também para definir a linha de pressões e comentar sobre sua importância em engenharia estrutural.

3 m

1 3

2 kN/m

Cálculo das reações verticais:

1 3

2 kN/m

H1

V3

H3

V1

4 m

( )( )

( ) ( ) 03V33

13:0M

HH0HH:0H

3VV0232

1VV:0V

31

2121

3131

=+

−=Σ

=⇒=−=Σ

=+⇒=−+=Σ

logo:

kN1V

kN2V

3

1

=

=

A equação da carga é: x3

22q +−=

A equação da resultante das forças verticais 2

13

222 xxCdxqRv +−=+= ∫ para

( )[ ]220 1 =⇒= CRv

A equação do momento é: 9

23

2

2

xxxCdxRM vv +−=+= ∫ para ( )[ ]0C00M 2 =⇒=

A força vertical será nula quando:

03

22:02

=+−=x

xRv (ponto de normal mínimo) em m268.1x =

O momento fletor das forças verticais nesse ponto é: ( ) m.kN1547.1268.1M = .

O valor da reação horizontal será (momento nulo na rótula intermediária): 4

155.1H =

logo:

kN29.0H

kN29.0H

2

1

=

=

A equação que descreve a geometria do arco é:

+−=9

xxx2

29.0

1y

32

A equação do ângulo da tangente ao eixo da barra será:

+−=ϕ

3

xx22

29.0

1arctg

2

Finalmente, a equação do esforço normal será:

22

2

3

xx2229.0N

+−+−=

A geometria final do arco é:

1 3

4 m

81.7o 73.8o

1.27 m 1.73 m

O diagrama de esforços normais será:

-

2.02 kN

2.021.04

0.29 kN




normal mínimo e que a altura máxima do arco deve ser de 3 m. A seguir, desenhar o diagrama de

esforço normal, destacando os valores extremos.

12 kN

6 kN/m

2 m 4 m

Cálculo das reações:

12 kN

6 kN/m

H1

V1V3

H3

( ) ( ) ( ) 03362126V:0M

48VV03612VV:0V

31

3131

=−−=Σ

=+⇒=−−+=Σ

logo:

kN26V

kN22V

3

1

=

=

Diagrama de esforço cortante e momento fletor:

26 kN

1/3 m

2 kN

14 kN

22 kN

40 kN.m40.33 kN.m

2.0 m

A.- Tramo m0.2x0.0 ≤≤

A equação do carregamento será: 6q −=

A equação da resultante das forças verticais: xCdxqRv 6261 −=+= ∫ para

( )[ ]26260 1 =⇒= CR

A equação do momento será: ∫ −=+= 2

2 326 xxCdxRM vv para ( )[ ]0C00M 2 =⇒=

Cálculo das reações horizontais:

kN44.133

33.40H

HH0HH:0H

1

3131

==

=⇒=−=Σ

logo:

kN44.13H

kN4.13H

3

1

=

=


44.13

x3x26y

2

1−

=


−=ϕ

44.13

x626arctg1

E a equação do esforço normal será:

( )221 x62644.13N −+−=

B.- Tramo m0.4x0.2 ≤≤

A equação do carregamento será: 6q −=

A equação da resultante das forças verticais: xCdxqRv 623 −=+= ∫ para

( )[ ]220 3 =⇒= CRv

A equação do momento será: ∫ −+=+= 2

4 3240 xxCdxRM vv para

( )[ ]40C400M 2 =⇒=


44.13

x3x240y

2

2−+

=


−=ϕ

44.13

x62arctg1

E a equação do esforço normal será:

( )221 x6244.13N −+−=

Diagrama de esforços normais:

29.26 kN

13.56 kN19.4 kN

13.44 kN

25.27 kN

4) Identificar na estrutura isostática dada abaixo as barras submetidas a flexão e traçar para estas barras

os diagramas de cortante e momento fletor. A seguir, calcular os esforços normais em todas as barras,

usando a metodologia que achar mais conveniente.

2 kN

2 kN/m

2 m 2 m 2 m 2 m 2 m

2 m

2 m

1

10

8

976

5

4

3

2


2 kN

2 kN/m

1

10

8

976

5

4

3

2

V1

H1

H10

V10

( ) ( )

( ) ( ) 04168V:0M

0224H:0M

2HH02HH:0H

16VV:0V

10)dir(4

1)esq(4

101101

101

=−=Σ

=+−=Σ

=+⇒=+−−=Σ

=+=Σ

logo:

kN8V

kN8V

kN1H

kN1H

10

1

10

1

=

=

=

=

Esforços normais nas barras:

1

10

8

976

5

4

3

2

8

1

8

1

-7

0

-1.41

-9

+11.31-8-1.41

-7

-9

+8

-8

-9-9

+11.31

Diagrama de esforço cortante e de momento fletor: Só há momento fletor e cortante na viga de rigidez.

1

10

8

976

5

4

3

2

+

--

- -

+

4 kN.m

4 kN 4 kN

4 kN4 kN

4 kN.m

5) Identificar na estrutura isostática dada abaixo as barras submetidas a flexão. a seguir, calcular os

esforços normais em todas as barras usando a metodologia que achar mais conveniente.

4 kN/m

2 kN

2 m1 m 2 m 2 m 1 m2 m

1 m

1 m

1 432

1211

10

9

78

65

1413

Barras submetidas a flexão: barra 10-13 e barra 7-9


( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0185.112724V:0M

0H:0H

22VV0254VV:0V

31

1

3131

=−+−=Σ

==Σ

=+⇒=−−+=Σ

logo:

0H

kN1V

kN21V

1

3

1

=

=

=

Esforços nas barras:

4 kN/m

2 kN

1 432

1211

10

9

78

65

1413

21 1

-48

-1

0

0

-21

0+42

6

-6-50

42

2121

42

- +

44

22 +19-20 -

-

325

+50

+50

-50

+25

+50

0

6) Identificar na estrutura isostática dada abaixo as barras submetidas a flexão e traçar para estas barras

os diagramas de cortante e momento fletor. a seguir, calcular os esforços normais em todas as barras,

usando a metodologia que achar mais conveniente. (3 pontos)

2 m 2 m 2 m

2 m

2 m

2 m 2 m

4 kN/m

2 kN

12

7

5

6

1011

98

4

2

31


4 kN/m

2 kN

12

7

5

6

1011

98

4

2

31

V12

V1

H1

( ) ( ) ( ) 06V22432:0M

02H:0H

032VV:0V

121

1

21

=++−=Σ

=+−=Σ

=−+=Σ

logo:

kN0.2H

kN67.20V

kN33.11V

1

12

1

=

=

=

E estrutura pode ser dividida em:

4 kN/m

2 kN

7

5

6

10

98

4

2

3

11

12

V12

1

V1

H1

RH10

RV10

RH1

RV1

RH1

RV1

RH10

RV10

Cálculo das reações internas:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 04RH22:0M

04RH8RV22432:0M

02RVRH:0H

032RVRV:0V

10esq7

10101

101

101

=−=Σ

=−++−=Σ

=+−−=Σ

=−+=Σ

logo:

kN1RH

kN16RV

kN1RH

kN16RV

10

10

1

1

=

=

=

=

As barras submetidas a flexão são: Barra 1 – 7, Barra 1 – 11, Barra 11 – 10.

Barra 1-7: Diagramas de esforço cortante e momento fletor na viga de rigidez

8 kN

8 kN

8 kN

8 kN

8 kN.m8 kN.m

-

--

-

Barra 1-11-10: Diagramas de esforço cortante e momento fletor no pórtico inferior

+

-

-

-

-

1 kN

16 kN

4.67 kN

4 kN.m

4 kN.m

32 kN.m

7) Classificar o pórtico plano dado abaixo e, usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas

de cortante e momento fletor, mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos

resultados. Usando diagramas de corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós. (3 pontos)

1

2

3 5

7

64

89

1 kN.m

3 kN/m

2 kN

2 kN

6 kN.m

2 m 2 m 4 m 3 m

2 m

2 m


1

2

3 5

7

64

89

1 kN.m

3 kN/m

2 kN

2 kN

6 kN.m

V2

H9V8V9

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0424142224H6V:0M

063V:0M

02H:0H

0242VVV:0V

92esq7

8dir7

9

892

=+++−+−=Σ

=+−=Σ

=−=Σ

=−−−+=Σ

logo:

kN0.2V

kN0.2H

kN83.9V

kN17.18V

8

9

9

2

=

=

=

=

Diagrama de esforço cortante:

+

+

1 kN

-

+

-

+

-

1 kN

0

2 kN

1 kN

7.83 kN

10.17 kN

1.2 kN

Diagrama de momento fletor:

--

-

+ --

-

+

+

+2 kN.m

6 kN.m

2 kN.m

10.24 kN.m

7 kN.m

6 kN.m

4 kN.m

1 kN.m

1 kN.m

Equilíbrio dos nos:

7

1

6

42

1

1

8) Classificar o pórtico plano dado abaixo e, usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas

de cortante e momento fletor, mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos

resultados. Usando diagramas de corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós.

2 m

2 m

12 kN4 kN/m

4 kN.m

2 m 2 m2 m6 m

1

6

5432 7


12 kN4 kN/m

4 kN.m

1

6

5432 7

H1V1

H6

V6

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 84H2V303248124H6V:0M

6HV04182H2V:0M

0HH:0H

44VV08412VV:0V

1111)esq(4

6666)dir(4

61

6161

−=+−⇒=+++−=Σ

=−⇒=−−−=Σ

=+−=Σ

=+⇒=−−+=Σ

logo:

kN6H

kN12V

kN6H

kN32V

10

10

1

1

=

=

=

=

Diagrama de esforços cortantes:

+-

-

+

-

6 kN

0 kN.m

6 kN

12 kN

12 kN

20 kN

5 m

Diagrama de momentos fletores:

-

----

-

24 kN.m 12 kN.m

4 kN.m

16 kN.m

2 kN.m

24 kN.m

48 kN.m

Equilíbrio nos nós:

24 kN.m

24 kN.m

48 kN.m 16 kN.m

12 kN.m

4 kN.m

9) Classificar o pórtico isostático dado abaixo, mostrando claramente as restrições, e explicar como as

cargas são transmitidas até os apoios. A seguir, traçar os diagramas de cortante e momento fletor. (3

pontos)

2 m 1 m2 m4 m2 m

2 m

2 m

2 kN/m

4 kN.m2 kN.m

1

9

876

5432

Estrutura com: IsostáticaLG12

R12⇒


2 kN/m

4 kN.m2 kN.m

1

9

876

5432

V1

V9

H9

H1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0424162H6V:0M

02282H2V:0M

16VV016VV:0V

119

11)esq(4

9191

=+−−+=Σ

=−−−=Σ

=+⇒=−+=Σ

logo:

kN1H

kN1H

kN6V

kN10V

9

1

9

1

=

=

=

=

Cálculo das reações na estrutura à direita do pórtico:

4 kN.m

87

6

5

V5

H5

H6

V6

( )( ) ( ) 02V22:0M

2H042H:0M

VV:0V

HH:0H

5sup7

665

65

65

=−=Σ

=⇒=−=Σ

==Σ

==Σ

logo:

kN2H

kN2V

kN2H

kN2V

5

5

6

6

=

=

=

=

Diagrama de forças cortantes:

4 kN

1 kN

1 kN

0

2 kN

3 kN

6 kN

6 kN

3 m

-

+-

Diagrama de momentos fletores:

-

-

- -

-

-

2 kN.m2 kN.m

4 kN.m

8kN.m

8 kN.m

1 kN.m

8 kN.m

4 kN.m

4 kN.m

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