Exercícios Resolvidos - Flexão Pura

Adriano Alberto

1 ENG285 4 Unidade

Fonte: Arquivo da resoluo da lista 1 (Adriano Alberto), Slides do Prof. Alberto B. Vieira Jr., RILEY - Mecnica dos Materiais.

Momento de Inrcia (I)

Para seo retangular:

I

= .

Para seo triangular reta:

I

= .

Semi-crculo:

=

Momento esttico (Q)

Q = A . (distncia do centride L.N.)

= - . ; = .

= - ..

Mdulo de resistncia (W)

= => Wreq = W = ||

Adriano Alberto

2

PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXO

Nas questes abaixo, de acordo com as respostas da lista, no so calculadas as tenses mximas. Para isso, seria necessrio calcular tambm as tenses cisalhantes e, a partir do estado de tenso resultante, calcular as tenses mximas, que podem ou no coincidir com os resultados das questes abaixo.

1) A viga carregada como mostrado tem a seo transversal da figura. Determine a tenso longitudinal: (a) num ponto a 4,5 m a contar da extremidade esquerda e 125 mm acima da superfcie neutra; (b) num ponto 75 mm abaixo da superfcie neutra numa seo a 1,2 m do extremo direito

RA + RD = 30 + 15 + 30 = 75 kN

# = 0 => - 30 . 1,5 - 15 . 4 + 5 . RD 6 . 30 = 0 => RD = 57 kN RA = 18 kN

Para 0 x < 3: V(x) = - 10x + 18

Para V(x) = 0 => x = 1,8 m

Diagrama:

a)

M(4,5) = ?

Para 4 x < 5: V(x) = - 27 kN

M(x) = - 27x + C

M(4) = - 3 kN.m = - 27 . 4 + C =>

M(x) = - 27x + 105 => M(4,5) =

Clculo da Posio da Linha Neutra (L.N.)

Obs: no era preciso calcular para esse caso, devido a simetria da seo.

AT = 200.50.3 = 30 000 mmA1 = 200.50= 10 000 mmA2 = 200.50= 10 000 mmA3 = 200.50= 10 000 mm = 275 mm = 150 mm = 25 mm

27 . 4 + C => C = 105

27x + 105 => M(4,5) = - 27 . 4,5 + 105 => M(4,5) = - 16,5 kN.m


Obs: no era preciso calcular para esse caso, devido a simetria da seo.

000 mm

m

m

Adriano Alberto

3

Adriano Alberto

4 yi =

#.)#.)#.#* =

+,,,,.-./)+/,)-/0,,,, = 150 mm

ys = 300 150 = 150 mm

Clculo do momento de inrcia

Iz = + + = .1 + A1 . 3 = -,,./,

4+- + 10 000 . 275 150- = 158 333 333,3.78 m4

= .1 + A2 . 3 = /,.-,,4

+- + 10 000 .150 150- = 33 333 333,33.78 m4

= .1 + A3 . 3 = -,,./,4

+- + 10 000 . 25 150- = 158 333 333,3 .78 m4

=> Iz = 350 000 000 . 78 m4

= - . => 9: = - ;8+.+-/.+,?4

0/,,,,,,,.+,?@A = 5 892 857,143 Pa

b)

x = 7 1,2 = 5,8 m

M(5,8) = ?

Para 5 x < 7: V(x) = - 15x + C

V(5) = 30 = - 15 . 5 + C => C = 105 => V(x) = - 15x + 105

M(x) = - 7,5 . x + 105 . x + C

M(5) = - 30 kN.m = - 7,5 . 25 + 105 . 5 + C => C = - 367,5

M(x) = - 7,5 . x + 105 . x - 367,5 => M(5,8) = - 7,5 . (5,8) + 105 . 5,8 - 367,5 =>

M(5,8) = - 10,8 kN.m

= - . => 9: = - ;8+,,B.+,4>.8./.+,?4

0/,,,,,,,.+,?@A = - 2 314 285,714 Pa

2) (a) Determine a tenso longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfcie neutra numa seo a 1,3 m do extremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a mxima tenso longitudinal numa seo a 1 m do

C = 0 => RA + RB = 39 000 N# = 0 => 9 000 30 000 . 1,5 + 3 . RRA = 27 000 N

Para 1,5 x D 3,5: V(x) = - 15 000 . x + C

V(1,5) = 18 000 = - 15 000 . 1,5

V(x) = - 15 000 . x + 40 500

Para V(x) = 0 => x = 2,7 m

Diagrama:

2) (a) Determine a tenso longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfcie neutra xtremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a

mxima tenso longitudinal numa seo a 1 m do extremo esquerdo.

= 39 000 N

30 000 . 1,5 + 3 . RB = 0 => RB = 12 000 N

15 000 . 1,5 + C => C = 40 500

Adriano Alberto

5

2) (a) Determine a tenso longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfcie neutra xtremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a

Adriano Alberto

6


AT = 150.50 + 150.50 = 15 000 mm A1 = 150.50= 7 500 mm A2 = 150.50= 7 500 mm = 175 mm = 75 mm yi =

#.)#.#* =

./,,.+./)./,,../+/,,, = 125 mm

ys = 200 125 = 75 mm


Iz = + = .1 + A1 . 3 = +/,./,

4+- + 7 500 . 175 125- = 20 312 500 . 78 m4

= .1 + A2 . 3 = /,.+/,4

+- + 7 500 . 75 125- = 32 812 500 . 78 m4

=> Iz = 53 125 000 . 78 m4

a)

x = 4 1,3 = 2,7 m

M(2,7) = 10,8 kN.m

= - . => 9: = - ;+,,B.+,4>.8+,,.+,?4

/0+-/,,,.+,?@A = 20 329 411,76 Pa

b) M(1) = - 9 kN.m

Clculo das tenses acima da L.N.:

Adriano Alberto

7 = - .F => 9: = - ;8G.+,

4>../.+,?4/0+-/,,,.+,?@A = 12 705 882,35 Pa

Clculo das tenses abaixo da L.N.:

= - .3 => 9: = - ;8G.+,4>.8+-/.+,?4

/0+-/,,,.+,?@A = - 21 176 470,59 Pa = ,

3) Uma barra de ao de 200 mm de dimetro carregada e apoiada como mostrado na figura. Determine a mxima tenso longitudinal numa seo a 1,5 m a partir da parede.

R = 12 kN

12 . 3 + M = 0 => M = - 36 kN.m

M(3) = - 18 kN.m

Iz = HIJK =

H,,+,,JK

A

= LM- = L0,100-

yi = ys = = 100 mm

Adriano Alberto

8 = - .F = -

;8+B.+,4>.+,,.+,?4OP,@PPJ

J = 22 918 311,81 Pa

4) Para a viga mostrada, as tenses longitudinais admissveis na seo sob a carga so de 42 MPa T e 70 MPa C. Determine a mxima carga admissvel P.

RA + RC = P (I)

QR = 0 => - 1 . P + 3,5 . RC = 0=> RC = S,T (II)

Substitundo em (I):

RA + S,T = P => RA =

,T.S,T

RA = 2,5 . RC

Para o trecho 0 x < 1:

V(0) = V(1) = RA

M(x) = RA . x + C

M(0) = 0 => C = 0 => M(x) = RA . x

M(1) = RA

Para o trecho 1 x < 3,5:

V(1) = V(3,5) = RA P

M(x) = (RA - P). x + C

M(1) = RA = (RA - P). 1 + C => C = P => M(x) = (RA - P). x + P

M(3,5) = (RA - P). 3,5 + P = 3,5 . RA 3,5 . P + P = 3,5 . RA 2,5 . P = 3,5 . -,/.U0,/ 2,5 . P = 0

Para x = 3,5:

V(3,5) = RA P + RC = RA P + P RA = 0

Adriano Alberto

9

M(3,5) = 0

Mmx = RA = ,T.S,T


AT = 200.25 + 100.25 = 7 500 mm A1 = 200.25= 5 000 mm A2 = 100.25= 2 500 mm = 125 mm = 12,5 mm yi =

#.)#.#* =

/,,,.+-/)-/,,.+-,/./,, = 87,5 mm

ys = 225 87,5 = 37,5 mm


Iz = + = .1 + A1 . 3 = -/.-,,

4+- + 5 000 . 125 87,5- = 23 697 916,67.78 m4

= .1 + A2 . 3 = +,,.-/4

+- + 2 500 . 12,5 87,5- = 14 192 708,33.78 m4

=> Iz = 37 890 625 . 78 m4

Para o trecho AB:

Mmx = ,T.S,T


= - .F => - 70 . 106 = - WA,X.Y4,X Z.0.,/.+,?40.BG, P = 99 020,83334 N

Adriano Alberto

10


= - .3 => 42 . 106 = - WA,X.Y4,X Z.8B.,/.+,?4

0.BG, P = 25 462,5 N = Padm

5) e 6) Se o momento mostrado atua no plano vertical, determinar a tenso no: (a) ponto A; (b) ponto B.

5)

a) Como o ponto A vai ser comprimido, ser negativo. Mz = 15 kN.m

yi = ys = 60 mm


Como a seo simtrica, e a rea interna concntrica com a rea externa, Iz = [- 3: [- 3= B,.+-,4+- - K,.B,

4+- = 9 813 333,333 . 78 m4

= - . = - ;+/.+,4>.K,.+,?4

GB+0000,000.+,?@A = - 61 141 304,35 Pa

b) Como o ponto B vai ser tracionado, ser positivo. Mz = 15 kN.m

= - .3 = - ;+/.+,4>.8

Adriano Alberto

11

*** 6)

a) Como o ponto A vai ser comprimido, ser negativo. Mz = 2,8 kN.m

yi = ys = 30 mm


Iz = [- 2 . 3 = +-,..0,.+,?4+G,B.8-,.+,?4

+G,B

Adriano Alberto

12

Posio da Linha Neutra (L.N.)

yi = 130 mm


A1 = 200.16= 3 200 mm A2 = 228.10= 2 280 mm A3 = 200.16= 3 200 mm

= 252 mm = 130 mm = 8 mm

Iz = + + = = .1 + A1 . 3 = -,,.+ -/,.+,]

-,/ = ^_.+0,.+,?4

+,/-.+,G0,0.+,?@A => = 80 977,76408 N.m

8) Sabendo-se que uma viga de seo transversal, como mostrado, encurvada em torno de um eixo horizontal e est submetida a um momento fletor de 5,7 kN.m, determinar a intensidade total da fora atuando: (a) na aba superior; (b) na poro sombreada da alma.

Adriano Alberto

13


yi = 87,5 mm


A1 = 150.37,5= 5 625 mm A2 = 50.100= 5 000 mm A3 = 150.37,5= 5 625 mm

= 156,25 mm = 87,5 mm = 18,75 mm

Iz = + + = = .1 + A1 . 3 = +/,.0.,/

4+- + 5 625 . 156,25 87,5- = 27 246 093,75.78 m4

= .1 + A2 . 3 = /,.+,,4

+- + 5 000 . 87,5 87,5- = 4 166 666,667 . 78 m4

=> Iz = 58 658 854,17 . 78 m4

a)

Adriano Alberto

14

Para y = 68,75 mm (distncia da L.N. ao centride da figura)

= - .3 = - /,..+,4. F = - 6 680 577,136 . 5 625 . 10-6 m => F = - 37 578,24639 N

b)

Para y = - 25 mm (distncia da L.N. ao centride da figura)

= - . = - /,..+,4.8-/.+,?4

/B = 2 429 300,777 Pa

F = . A => F = 2 429 300,777 . 50 . 50 . 10-6 m => F = 6 073,251943 N

*** 9) Duas foras verticais so aplicadas a uma viga de seo transversal mostrada. Determinar as mximas tenses de trao e compresso numa seo transversal na poro BC da viga.

RA + RD = 20 kN

RA = RD = 10 kN

Mz = 1,5 kN.m

Adriano Alberto

15


AT = 10.50 + 10.30 + 10.50 = 1 300 mm A1 = 10.50= 500 mm A2 = 10.30= 300 mm A3 = 10.50= 500 mm = 35 mm = 5 mm = 35 mm

yi = #.)#.)#.

#* = /,,.0/)0,,./)/,,.0/

+0,, = 28,07692308 mm

ys = 60 - 28,07692308 = 31,92307692 mm


Iz = + + = .1 + A1 . 3 = +,./,

4+- + 500 . 35 28,07692308- = 128 131,1637 .78 m4

= .1 + A2 . 3 = 0,.+,4

+- + 300 . 5 28,07692308- = 162 263,3137. 78 m4

=

=> Iz = 418 525,6411 . 78 m4

Clculo acima da L.N.

= - .F = - +,/.+,4.0+,G-0,.

Adriano Alberto

16

= - .3 = - +,/.+,4.8-B,,.

Adriano Alberto

17

=> Iz = 1 576 277,333 . 78 m4

Clculo do centride da figura

AT = 12.44 + 20.20= 928 mm A1 = 12.44= 528 mm A2 = 20.20= 400 mm A3 = 10.50= 500 mm = 22 mm = 10 mm

= #.)#.#* = /-B.--)K,,.+,G-B = 16,82758621 mm = y

= - . = - K.+,4.+

Adriano Alberto

18

Para 0 x D 2: V(x) = bc. de + C1 => V(x) = b3. de + C1 => V(x) = 3x + C1 V(0) = 0 => 3 . 0 + C1 = 0 => C1 = 0

=> V(x) = 3x

V(0) = 0

V(2) = 3 . 2 = 6 kN

M(x) = bfe. de + C2 => M(x) = b3x. de + C2 => M(x) = 1,5 x + C2 M(0) = - 12 => 1,5 (0) + C2 = - 12 => C2 = - 12 => M(x) = 1,5 x - 12

M(0) = - 12 kN.m

M(2) = 1,5 . (2) - 12 => M(2) = - 6 kN.m

Para 2 x D 5:

V(x) = - bc. de + C3 => V(x) = - b5. de + C3 => V(x) = - 5x + C3 V(2) = 6 + 5,5 = 11,5 kN => - 5 . 2 + C3 = 11,5 => C3 = 21,5

=> V(x) = - 5x + 21,5 (OK)

V(2) = 11,5 kN

V(5) = - 5 . 5 + 21,5 => V(5) = - 3,5 kN

Para V(x) = 0 => - 5x + 21,5 = 0 => x = 4,3 m

M(x) = bfe. de + C4 => M(x) = b5x + 21,5. de + C4 => M(x) = - 2,5 x + 21,5 . x + C4 M(2) = - 6 kN.m => - 2,5 (2) + 21,5 . 2 + C4 = - 6 => C4 = - 39 => M(x) = - 2,5 x + 21,5 . x 39

Adriano Alberto

19

M(2) = - 6 kN.m

M(5) = - 2,5 (5) + 21,5 . 5 - 39

=> M(5) = 6 kN.m

Mf,mx = M(4,3) = - 2,5 . (4,3) + 21,5 . 4,3 - 39 => Mf,mx = 7,225 kN.m

Para 5 x D 7:

3 . 2 + 5,5 5 . 3 - 3 - V(x) = 0 => V(x) = - 6,5 kN

M(x) = bfe. de + C5 => M(x) = b6,5. de + C5 => M(x) = - 6,5x + C5 M(5) = 6 kN.m => - 6,5 . 5 + C5 = 6 => C5 = 38,5 => M(x) = - 6,5x + 38,5

M(5) = 6 kN.m

M(7) = - 6,5 . 7 + 38,5 => M(7) = - 7 kN.m

Diagrama:


AT = 100.25 + 40.100 =A1 = 100.25= 2 500 mm A2 = 100.40= 4 000 mm = 112,5 mm = 50 mm yi =

#.)#.#* =

-/,,.++- 9: = - ;8+-.+,4>./,,G 9: = - ;8+-.+,4>.8.K,,0BK 9: = - ;.,--/.+,4>./,,G

Adriano Alberto

22 = - .3 => 9: = - ;.,--/.+,

4>.8.K,,0BK RC = 7,5 kN Qj = 0 => 7,5 . 1 . 0,5 7,5 . 4 . 2 + 7,5 . 4 + M = 0 => M = 26,25 kN.m


V(x) = - 7,5 . x + C

V(0) = 0 = - 7,5 . 0 + C => C = 0 => V(x) = - 7,5 . x

V(1) = - 7,5 kN

M(x) = - .,/.:A- + C

M(0) = 0 = 0 + C => M(x) = - .,/.:A-

M(1) = - 3,75 kN.m


V(x) = - 7,5 . x + C

V(1) = - 7,5 + 30 = 22,5 kN = - 7,5 . 1 + C => C = 30 => V(x) = - 7,5 . x + 30

Para V(x) = 0 => x = 4 m

M(x) = - .,/.:A- + 30x + C

Adriano Alberto

23 M(1) = - 3,75 kN.m = - .,/.+- + 30 . 1 + C => C = - 30

M(x) = - k,T. + 30x 30

M(4) = - .,/.+ Iz = 19 270 833,33 . 78 m4

Para o trecho AB:

Mmx = - 3,75 kN.m

Adriano Alberto

24


= - .F => 9: = - ;80,./.+,4>. 9: = - ;80,./.+,4>.8B.,/.+,?4

+G-.,B00,00.+,?@A = - 17 027 027,03 Pa

Para o trecho BC:

Mmx = 30 . 10 N.m


= - .F => 9: = - ;0,.+,4>. 9: = - ;0,.+,4>.8B.,/.+,?4

+G-.,B00,00.+,?@A = 136 216 216,2 Pa

Logo:

a) ;,>* = 136 216 216,2 Pa (no trecho BC, abaixo da L.N.) b) ;,>l = - 97 297 297,31 Pa (no trecho BC, acima da L.N.)

13)

Adriano Alberto

25

Utilizando os clculos da questo 13 da lista 1

RA 7 . 2 7 14 . 2 + RD 7 . 2 = 0 => RA + RD = 63 kN (I) QR = 0 => 25 7 . 2 . 1 7 . 2 14 . 2 . 3 11 + 7 . RD 7 . 2 . 8 = 0

=> RD = -+,. = 30 kN

Substitundo em (I):

RA + 30 = 63 => RA = 33 kN

Para 2 x D 4: V(x) = 33 7 . 2 7 14(x 2) => V(x) = - 14x + 40

Para V(x) = 0 => x = 2,857142857 m

Clculo do momento fletor partir da rea do diagrama do esforo cortante:

(- 25) + (14 + 38) + (0,857142857 . +-- ) (1,142857143 . + 9: = - ;8-/.+,4>.+,/.+,?4

.B/.,,,,.+,?@A = 33 409 698,36 Pa


= - .3 => 9: = - ;8-/.+,4>.8+ 9: = - ;0K.+,4>.+,/.+,?4

.B/.,,,,.+,?@A = - 45 437 189,77 Pa


= - .3 => 9: = - ;0K.+,4>.8+* = 71 401 298,21 Pa (no trecho CD, abaixo da L.N.) b) ;,>l = - 52 500 954,56 Pa (no trecho AB, abaixo da L.N.)

Adriano Alberto

28

PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXO DE SEO HETEROGNEA

14) Duas barras de lato so unidas firmemente a duas barras de alumnio, formando a seo composta mostrada. Determinar o maior momento fletor permissvel, quando a viga encurvada em torno de um eixo horizontal. Dados:

Ealum = 70 GPa ; Elat = 105 GPa ; mn = 100 MPa ; mo = 160 MPa

Posio da L.N.:

yi = p.#.mn)p.#.mop.#mn)p.#mo =

= .,.+,q.B,,.+,?].0,.+,?4)+,/.+,q.K,,.+,?]./.+,?4)+,/.+,q.K,,.+,?].//.+,?4

.,.+,q.B,,.+,?])+,/.+,q.B,,.+,?]

=> yi = 30 mm (OK)


mn = 2 . r.1 + s. 3t = 2 . r+,.K,4+- + 400. 30 30-t = 7777 . 78 m4 mo = 2 . r.1 + s. 3t = 2 . rK,.+,4+- + 400. 55 30-t = T7777 . 78 m4

mn = - .p.mnp.mn)p.mo

9uvwuxyw = 100 . 106 = - ^_.70.109.20.10370.109.4APPPP4 .1012)105.109.@XAPPPP4 .1012 => Mz = 777

N.m

mo = - .p.mop.mn)p.mo

Adriano Alberto

29 9uvwxuz = 160 . 106 = - ^_.105.109.30.10370.109.4APPPP4 .1012)105.109.@XAPPPP4 .1012 =>

=> Mz = 3 081,481481 N.m (resposta)

Obs: se as diferentes partes do lato e/ou do alumnio estivessem em posies diferentes em relao L.N, seria necessrio calcular as tenses correspondentes em cada parte (sendo que quanto mais distante o ponto estiver da L.N., maior ser a tenso). No presente problema, devido simetria de ambos em relao L.N, as tenses acima e abaixo da L.N. so iguais em mdulo (trao e compresso).

15) Uma barra de ao e uma de alumnio so unidas firmemente, para formar a viga composta mostrada. O mdulo de elasticidade para o alumnio de 70 GPa e para o ao de 200 GPa. Sabendo-se que a viga curvada em torno de um eixo horizontal por um momento M = 1500 N.m, determinar a mxima tenso no: (a) alumnio; (b) ao.

Adriano Alberto

30

Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.

Adriano Alberto

31

Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.

15) a) 66,2 MPa T b) 112,4 MPa C

*** 16) Uma viga de concreto reforada por trs barras de ao, colocadas como indicado. Os mdulos de elasticidade so de 20 GPa para o concreto e de 200 GPa para o ao. Usando uma tenso admissvel de 10 MPa para o concreto e de 150 MPa para o ao, determinar o maior momento fletor que pode ser aplicado viga.

Econc = 20 GPa ; Eao = 200 GPa ; {|}{ = 10 MPa ; | = 150 MPa

Aao = 3 . . 7, 7 m Aconc = 0,225 . 0,500 - 3 . L . 0,012- = 0,1125 - 3 . . 7, 7 m

Adriano Alberto

32

Posio da L.N.:

yi = p.#.{|}{)p.#.|

p.#{|}{)p.#| =

=

-,.+,q.r0,11253.L.0,0122t.-/,.+,?4)-,,.+,q.3.L.0,0122./,.+,?4-,.+,q.r0,11253.L.0,0122t)-,,.+,q.3.L.0,0122

=> yi = 228,2356038 mm

ys = 500 - 228,2356038 = 271,7643962 mm


Iao = 3 . r. +s. W| 3Zt = 3.rH.+-JK + L. 12-. 50 228,2356038-t =

= 43 163 277,54 . 78 m4 = .1 + s. 3 = --/.K,,4+- + 225.400. 300 228,2356038- = 1 663 511 571.78 m4 I2 =

.1 +s. 3 - Iao =

--/.+,,4+- +100.225. 50 228,2356038- - 43 163 277,54

=> I2 = 690 365 157,9 . 78 m4 Iconc = I1 + I2 = 2 353 876 729 . 78 m4

{|}{ = - .p.{|}{p.{|}{)p.|

9uvw = 10 . 106 = - ^_.-,.+,q.-.+,.

Adriano Alberto

33 9uvwu = 150 . 106 = - ^_.-,,.+,q.8--B,-0/ Mz = 219 636,2917 N.m (no serve)

Obs: a resposta da lista deu 79,1 kN.m, mas acredito que meus clculos esto corretos.

Conferir com o mtodo da homogeneizao.

PROBLEMAS ENVOLVENDO CARGA EXCNTRICA

17) Duas foras de 10 kN so aplicadas a uma barra de seo retangular de 20 mm x 60 mm, como mostrado. Determinar a tenso no ponto A, quando: (a) b = 0; (b) b = 15 mm; (c) b = 25 mm.

N = 10 + 10 = 20 kN

Posio da L.N.:

yi = ys = 0,03 m

= # - = -,.

Adriano Alberto

34

9: = -,,,,,,,-,.,,,

Adriano Alberto

35

N = P = ?

= S# -


yi = #.)#.

#* = KK.-,..,)

Adriano Alberto

36 => 90 . 106 = U,,,,+G< + 338,0500089 . P => 176 400 = P + 0,662578017 . P =>

=> P = 106 100,2841 N

20) A fora axial excntrica P atua no ponto D, que est localizado a 30 mm abaixo da borda superior da barra de ao mostrada. Para P = 90 kN, determinar: (a) a largura d da barra para que a tenso no ponto A seja mxima; (b) o correspondente valor da tenso no ponto A.

N = P = 90 kN

Posio da L.N.:

yi = ys =

= # - = ,,,/,.v4+- a)

Mz = - 90 000 . Wv- 0,030Z

9: = G,,,,,,,/,.v - 8G,,,,.WA,,,0,Z.A

P,PXP.4@A

G,,,,,,,/,.v =

G,,,,.WA,,,0,Z.AP,PXP.4

@A => 1 =

WA,,,0,Z.AA@A

= Wv- 0,030Z.

=> 1 = 3 ,,+Bv => ,,+Bv = 2 => d = 0,09 m = 90 mm

b)

9: = G,,,,,,,/,.,,,G - 8G,,,,.WP,PqA ,,,0,Z.P,PqA

P,PXP.P,Pq4@A

= 40 MPa

PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXO ASSIMTRICA

21) e 22) A viga com uma seo transversal mostrada est submetida a um momento fletorM aplicado no plano a a. Determine: (a) a inteorientao do eixo neutro, mostre o

21) M = 1.200 N.m

tg = 0K => = arctg(0,75) My = - 1 200 . sen[arctg(0,75)]

Mz = 1 200 . cos[arctg(0,75)]

Iz = 2 . r+-,.0,4+- + 120.30Iy = 2 . r0,.+-,4+- t + +-,.0,+-

tg = .. = 8+-,,.

+-,,.

tg = . tg

A e B so os pontos mais distantes da L.N.


21) e 22) A viga com uma seo transversal mostrada est submetida a um momento fletor. Determine: (a) a intensidade da mxima tenso de flexo; (b) a

orientao do eixo neutro, mostre o resultado num esboo.

arctg(0,75)]

[arctg(0,75)]

30. 165 90-t + 0,.+-,4+- = 45 360 000 . 70,4

= 8 910 000 . 78 m4

,,./.K/0 = - 75,32360686


Adriano Alberto

37


21) e 22) A viga com uma seo transversal mostrada est submetida a um momento fletor nsidade da mxima tenso de flexo; (b) a

78 m4

Adriano Alberto

38

Para o ponto A:

= - . + . = -

+-,,.,,./.,,,G,K/0

Adriano Alberto

39


Para o ponto A:

= - . + . = -

-,,,,.+,.,,,G,55080000.1012 +

-,,,,.+,.8,,,K/K,/,,,,.+,?@A =

= - 70 771 743,83 Pa (resposta)

Para o ponto B:

9: = - -,,,,.+,.8,,+/,55080000.1012 + -,,,,.+,.,,,+/K,/,,,,.+,?@A = 66 501 594,48 Pa

*** 23) Uma cantoneira de 200 x 200 x 24 mm usada numa viga que suporta um momento fletor de + 10.000 N.m aplicado no plano yx. Os momentos de inrcia obtidos em um manual de ao estrutural so Iz = Iy = 33,3 x 106 mm4, e Iyz = + 19,5 x 106 mm4. Determine: (a) a tenso de flexo no ponto A; (b) a mxima tenso de flexo e sua localizao na seo transversal; (c) a orientao do eixo neutro, mostre a localizao num esboo.

Adriano Alberto

40 = . 8.)..8;> + . .8.

.8;>

Ou

= - .)..8;> . y + .)..8;> . z

= #. y . z

tg = .)..).

a)

My = 0 ; Mz = 10 000 N.m

= - ..8;> . y + .

.8;> . z ou

= . 8.)..8;> = 10 000 . r00,0.+,].+,?@A./B,K.+,?4)+G,/.+,].+,[email protected]/B,K.+,?4

00,0.+,].+,[email protected],0.+,].+,?@A8+G,/.+,].+,?@AA t =

= - 42 318 840,58 Pa

c)

tg = = 19,5.106.1012

33,3.106.1012 => = 30,35262473

Adriano Alberto

41

b) A maior distncia L.N. em relao ao ponto B, onde ocorre a maior tenso.

= 10 000 . r00,0.+,].+,[email protected]+K+,

Adriano Alberto

42

a)

= . 8.)..8;> = 20 000 . r+K,,K.+,].+,[email protected]+,/.+,?4)G,.-.+,].+,?@A.+/.+,?4

+K,,K.+,].+,[email protected],G = 34,69515353

25), 26) e 27) O momento M aplicado a uma viga de seo transversal mostrada, em um plano formando um ngulo com a vertical. Determinar: (a) a tenso no ponto A; (b) o ngulo que a linha neutra forma com o plano horizontal.

25)

My = 2 800 . sen(20)

Mz = 2 800 . cos(20)

Iz = +,,.-,,4

+- = 77777777 . 78 m4

Iy = -,,.+,,4

+- = T7777777

. 78 m4

a)

Para o ponto A:

Adriano Alberto

43 = - . +

. = -

-B,,.-,.,,+,,APPPPPPPP

4 .+,?@A +

-B,,.-,.,,,/,XPPPPPPP

4 .+,?@A = - 1 073 739,803 Pa

Para o ponto B:

9: = - -B,,.-,.8,,+,,APPPPPPPP4 .+,?@A

+ -B,,.-,.,,,/,

XPPPPPPP4 .+,?@A

= 6 819 678,211 Pa

b)

tg = . tg = APPPPPPPP4 .+,?@AXPPPPPPP4 .+,?@A

. tg20 => = 75,96375653

26)

My = 10 000 . sen(55)

Mz = - 10 000 . cos(55)

Iz = 2 . r160.10312 + 160.10. 175 902t + 10.1603

12 = 26 560 000 . 78 m4

Adriano Alberto

44 Iy = 2 . r10.160312 t + 160.10

312 = 6 840 000 . 78 m4

a)

Para o ponto A:

9: = - 8+,,,,.//.,,,G,- a = 49,946228 mm

b)

Q = 135 000 . 0,049946228 = 6 742,740781 N.m

tg = .. = Q = 2 . Q2

Q1 = A1 . | 3|

Q2 = A2 . | 3| = 60 . 100 . |150 80| = 420 000 . 78 m

Q = 840 000 . 78 m

b = 2 . 60 = 120 mm = 0,120 m

: = - ;8+-,/.+,4>.BK,,,,.+,?q++ Q = 2 . Q2

Q1 = A1 . | 3|

Q2 = A2 . | 3| = 60 . 120 . |140 80| = 432 000 . 78 m

Q = 864 000 . 78 m

b = 2 . 60 = 120 mm = 0,120 m

: = - ;+/.+,4>.B.B

Adriano Alberto

52

RA + RB = 16 kN

RA = RB = 8 kN

V(x) = - 4x + 8

x = 0,5 m

V(0,5) = - 4 . 0,5 + 8 = 6 kN

M(x) = - 2x + 8x + C

M(0) = 0 = - 2 . 0 + 8 . 0 + C => C = 0 => M(x) = - 2x + 8x

M(0,5) = - 2(0,5) + 8 . 0,5 = 3,5 kN.m


yi = 100 mm


A1 = 40.180= 7 200 mm A2 = 40.120= 4 800 mm A3 = 40.180= 7 200 mm

= 180 mm = 100 mm = 20 mm

Adriano Alberto

53

Iz = + + = .1 + A1 . 3 = +B,.K,

4+- + 7 200 . 180 100- = 47 040 000 . 78 m4

= .1 + A2 . 3 = K,.+-,4

+- + 4 800 . 100 100- = 5 760 000 . 78 m4

= .1 + A3 . 3 = +B,.K,4

+- + 7 200 . 20 100- = 47 040 000 . 78 m4

=

=> Iz = 99 840 000 . 78 m4

a)

= - .3 => 9: = - ;0,/.+,4>.8K,.+,?4

GGBK,,,,.+,?@A = 1 402 243,59 Pa

b)

Clculo abaixo da L.N. para a rea abaixo de y = 40 mm

= - ..

Q = Q1 + Q2

Q1 = A1 . | 3| = 20 . 40 . |50 100| = 40 000 . 78 m

Q2 = A2 . | 3| = 180 . 40 . |20 100| = 576 000 . 78 m

Q = 616 000 . 78 m

b = 40 mm = 0,040 m

: = - ;. RC = 6,64 kN

QR = 0 => - 6 6 . 1,5 + 3 .

Diagrama:

q,K, = - 925 480,7692 Pa

???????

Qual a diferena entre tenso tangencial horizontal e tenso tangencial vertical?

31) a) 1,402 MPa T b) 0,925 MPa c) 0,925 MPa

32) Para a viga mostrada, a reao esquerda de 5,36 kN para cima. Determine: (a) a mxima da viga; (b) a tenso tangencial horizontal mxima.

= 6,64 kN

3 . 6,64 + M = 0 => M = - 4,92 kN.m

Adriano Alberto

54

Qual a diferena entre tenso tangencial horizontal e tenso tangencial vertical?

kN para cima. Determine: (a) a mxima da viga; (b) a tenso tangencial horizontal mxima.

Adriano Alberto

55


yi = 100 mm


A1 = 50.100= 5 000 mm A2 = 50.100= 5 000 mm A3 = 50.100= 5 000 mm

= 175 mm = 100 mm = 25 mm

Iz = + + = .1 + A1 . 3 = +,,./,

4+- + 5 000 . 175 100- = 29 166 666,67 . 78 m4

= .1 + A2 . 3 = /,.+,,4

+- + 5 000 . 100 100- = 4 166 666,667 . 78 m4

= .1 + A3 . 3 = +,,./,4

+- + 5 000 . 25 100- = 29 166 666,67 . 78 m4 =

=> Iz = 62 500 000,01 . 78 m4

a)

yi = ys

Para o trecho 0 x 9: = - ;K,0.+,,.+,?4

Adriano Alberto

56

Para o trecho 1 x 9: = - ;8K,G-.+,4>.+,,.+,?4

RA + RB = P

- 2P + 5 . RB = 0 => RB = 0,4 . P

RA = 0,6 . P


AT = 200.75 + 200.50 =A1 = 200.75= 15 000 mmA2 = 200.50= 10 000 mm = 150 mm = 25 mm yi =

#.)#.#* =

+/,,,.+/,-/

ys = 250 100 = 150 mm


Iz = + = .1 + A1 . 3 = .1 + A2 . 3

= 0,4 . P


= 25 000 mm

m

+/,)+,,,,.-/-/,,, = 100 mm


3 = ./.-,,4+- + 15 000 . 150 100- = 87 500 000

= -,,./,4

+- + 10 000 . 25 100- = 58 333 333,33

Adriano Alberto

57

87 500 000.78 m4 58 333 333,33.78 m4

Adriano Alberto

58

=> Iz = 145 833 333,3 . 78 m4


= - .3 => 12 . 106 = - +,-.U.8+,,.+,?4+K/B00000,0.+,?@A => P = 14 583,33333 N

Vmx = 0,6 . P

= - ..

Clculo acima da L.N.

Q

= A

. | 3| = 150 . 75 . |175 100| = 843 750 . 78 m

b = 75 mm = 0,075 m

0,7 . 106 = - ,, P = 15 123,45679 N

Clculo abaixo da L.N.

Q = Q1 + Q2

Q1 = A1 . | 3| = 50 . 75 . |75 100| = 93 750 . 78 m

Q2 = A2 . | 3| = 200 . 50 . |25 100| = 750 000 . 78 m

Q = 843 750 . 78 m

b = 50 mm = 0,075 m

0,7 . 106 = - ,, P = 15 123,45679 N

Logo,

Pmx = 14 583,33333 N

Adriano Alberto

59

34) e 35) Para a viga com carregamento indicado, considerar a seo nn e determinar: (a) a maior tenso normal, e indicar onde ela ocorre; (b) a tenso de cisalhamento no ponto A; (c) a maior tenso de cisalhamento e indicar onde ela ocorre

34)

RA = 36 kN

- 36 . 0,760 + M = 0 => M = 27,36 kN.m

Mz = - 0,600 . 36 = - 21,6 kN.m

yi = ys = 75 mm

A1 = 100.8= 800 mm A2 = 134.8= 1 072 mm A3 = 134.8= 1 072 mm A4 = 100.8= 800 mm

= 146 mm = 75 mm = 75 mm = 4 mm


Iz = + + + = =

= .1 + A1 . 3 = +,,.B4

+- + 800 . 146 75- = 4 037 066,667.78 m4 = .1 + A2 . 3 = B.+0K

4+- + 1 072 . 75 75- = 1 604 069,333.78 m4

Adriano Alberto

60

=> Iz = 11 282 272 . 78 m4

Como a seo simtrica, e a rea interna concntrica com a rea externa, este clculo apresentaria o mesmo resultado subtrando-se [ - 3: +,,.+/,4

+- - BK.+0K4

+- = 11 282 272 . 78 m4

= - .3 = - ;8-+,../.+,?4

++-B--.-.+,?@A = 143 588 100 Pa (no topo ou na base da seo)

b)

V(0,160)

= 36 kN

= - ..

Q

= A

. | 3| = 100 . 8 . |146 75| = 56 800 . 78 m

b = 2 . 8 mm = 0,016 m

: = - 0 S = 22,5 (anti-horrio)

Para o ponto B:

= + * Q = H.A- .

K.0H =

-40

j = U.A44O.J

J .-. +

.-,,/.H.4 =

UH

= 0

= = SW{ )Z{

A lista no apresentou a resposta para est

U.J4H.A + .-

,,/.H.4 = ,,/..U.J4 ).-,,/.H.4 =

SW{ )Z{

Z

a resposta para esta questo.

Adriano Alberto

72

Z

Adriano Alberto

73

*** 39) Vrias foras so aplicadas ao tubo mostrado. Sabendo-se que o tubo tem dimetro, interno e externo, de 40 mm e 48 mm, respectivamente, determinar as tenses normal e de cisalhamento no: (a) ponto H; (b) ponto K.

N = 660 N ; Vy = 0 ; Vz = 0

T = 880 . 0,250 = 220 N.m

My = 660 . 0,100 + 220 . 0,250 880 . 0,250 = - 99 N.m

Mz = - 660 . 0,250 = - 165 N.m

Iz = Iy = H,,,-KJ8,,,-,J

K = 1,349125549 . 78k m4

= # - +

Para o ponto H:

9 =

Adriano Alberto

74

R = = 15273004,07- +19568230,71- = 24 822 979,4 Pa 9 = 9^ + R = 40 095 983,47 Pa 9 = 9^ - R = - 9 549 975,33 Pa

senS = +G/ S = 26,01398101 (horrio)

Para o ponto K:

9 =

9^ = 8+ # = 81 487 330,86 Pa

= ,,/.H.I4 = 8 # = - 30 557 749,07 Pa

A representao das tenses de cizalhamento, do estado de tenso, deve seguir a mesma conveno.

9^ = B+KB.00,,B

40 743 665,43 Pa

43- +30557749,07- = 50 929 581,79 Pa 91 673 247,22 Pa

10 185 916,36 Pa

S = 18,43494882 (anti-horrio)

Adriano Alberto

79

41)

Como Vz, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma trao no ponto A, a conveno de sinais deve ser de forma que positivo.

N = - 60 000 N ; Vy = 0 ;

T = - 0,100 . 5 000 0,100 . 3 000

My = 5 000 . 2 3 000 . 2 = 4

Mz = 0

O sinal do torque T tem que seguir a mesma conveno para os sinais de M

Iz = Iy = HIJK =

H,,,-/JK

= # + +

Para o ponto A:

9R = 8


, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma trao no ponto A, a conveno de sinais deve ser de forma que seja positivo. Ou seja, sentido anti

= 0 ; Vz = - 5 000 N e 3 000 N

0,100 . 3 000 = - 800 N.m

000 N.m


,,,.,,,-/P,PAXJ

J => # = 295 391 574,4 Pa

,-/4 = - 32 594 932,35 Pa

=> # = - 32 594 932,35 Pa A representao das tenses de cizalhamento, do estado de tenso, deve seguir a mesma

Adriano Alberto

80

, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma trao no ponto A, a conveno seja positivo. Ou seja, sentido anti-horrio como

O sinal do torque T tem que seguir a mesma conveno para os sinais de My e Mz.

A representao das tenses de cizalhamento, do estado de tenso, deve seguir a mesma

9^ = -G/0G+/.K,K),- = 147 695 787,2

R = R = 147695787,2 9R = 9^ + R = 298 945 498,5 9R = 9^ - R = - 3 553 924,1

senS = 0-/GKG0-,0/+/+-KG.++,0 =>

*** 42) Uma barra de ao de 50 mm de dimetro estDetermine, e mostre num esboo, a tenso principal mxima noadjacente ao apoio.

147 695 787,2 Pa

2- +32594932,35- = 151 249 711,3 Pa 298 945 498,5 Pa

3 553 924,1 Pa

S = 6,222551599 (anti-horrio)

Uma barra de ao de 50 mm de dimetro est carregada como mostrado na figura. mostre num esboo, a tenso principal mxima no topo da superfcie

Adriano Alberto

81

carregada como mostrado na figura. topo da superfcie

Como Vy, ao flexionar a barra em torno de z, causa uma trao no ponto superior, a conveno de sinais deve ser de forma que positivo.

N = 15 000 N ; Vy = - 500

T = 1 200 N.m

My = 0

Mz = 500 . 0,900 = 450 N.m


Iz = Iy = HIJK =

H,,,-/JK

= # + +

Para o ponto:

9: = +/,,,H,,,-/A + K/,.,,,-/OP,PAXJJ =>

= ,,/.H.I4 = +-,,,,/.H.,,,-/

: = + _ = + 0 = =>


9^ = KK0,B.0 = 44 308 736,16 Pa

,-/4 = 48 892 398,52 Pa

=> = 48 892 398,52 Pa A representao das tenses de cizalhamento, do estado de tenso, deve seguir a mesma

22 154 368,08 Pa

Adriano Alberto

82

, ao flexionar a barra em torno de z, causa uma trao no ponto superior, a seja positivo. Ou seja, sentido horrio como



R = w: = 22154368,08 9: = 9^ + R = 75 831 948,67 9: = 9^ - R = - 31 523 212,51

senS = KBBG-0GB,/-/0

Na resposta da lista tem antitorque tem que ser positivo de acordo com a conveno adotada.

*** 43) O eixo circular macio de ao est submetido aosDetermine, e mostre num esboo, as tenses principapontos: (a) A; (b) B.

08- +48892398,52- = 53 677 580,59 Pa 75 831 948,67 Pa

31 523 212,51 Pa

S = 32,81176569 (horrio) Na resposta da lista tem anti-horrio. Isso seria vlido para um torque negativo. Mas, o torque tem que ser positivo de acordo com a conveno adotada.

43) O eixo circular macio de ao est submetido aos torques e cargas indicados. esboo, as tenses principais e a tenso tangencial

Adriano Alberto

83

o seria vlido para um torque negativo. Mas, o

torques e cargas indicados. is e a tenso tangencial mxima nos

a)

Como Vz, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma compresso no ponto Aconveno de sinais deve ser de forma que como negativo.

N = 8 000 . N ; Vy = 0; V

T = - 5 000 . L + 3 000 . L =

My = - 1,5 . 500 . L = - 750 .

Mz = 0


Iz = Iy = HIJK =

H,,,/JK

= # + +

9: = B,,,.HH,,,/A - ./,.H.,,,/OP,PXJJ =>

= ,,/.H.I4 = 8-,,,.H,,/.H.,,,/ : = + = + 0 = =>


9^ = 8-,B,,,,,),- = - 10 400 000

flexionar a barra em torno de y, causa uma compresso no ponto Aconveno de sinais deve ser de forma que seja negativo. Ou seja, sentido horrio

; Vz = 500 . N = - 2 000 . N.m

N.m


=> = - 20 800 000 Pa

4 = - 32 000 000 Pa

=> = - 32 000 000 Pa A representao das tenses de cizalhamento, do estado de tenso, deve seguir a mesma

10 400 000 Pa

Adriano Alberto

84

flexionar a barra em torno de y, causa uma compresso no ponto A, a seja, sentido horrio



R = R = 10400000- 9: = 9^ + R = 23 247 585,35 9: = 9^ - R = - 44 047 585,35

senS = 0-,,,,,,00

b)

9: = B,,,.HH,,,/A + 0 + 0 => =

- +32000000- = 33 647 585,35 Pa 23 247 585,35 Pa

44 047 585,35 Pa

S = 35,9979192 (horrio)

= 3 200 000 Pa

Adriano Alberto

85

= ,,/.H.I4 = 8-,,,.H,,/.H.,,,/

_ = _..

Q = A . = HIA- . K.I0H =

_= 500.L.AP,PX4

4 OP,PXJJ .,,+,,

= 266 666,6667 Pa

: = + _ = - 32 000 000


9^ = 0-,,,,,),- = 1 600 000 Pa

R = j = 3200000- 9: = 9^ + R = 33 373 643,86 9: = 9^ - R = - 30 173 643,86

senS = 0+.00000,000+..0

O resultado da lista deu diferente. Mas, pelos cldiferena est no = - 31 733 333,33 Pa. Como o torque no variou em rela(cuja resposta foi igual da lista), o erro est no clculo do acredito que meus clculos estejam corretos.

4 = - 32 000 000 Pa

266 666,6667 Pa

+ 266 666,6667 => = - 31 733 333,33 Pa A representao das tenses de cizalhamento, do estado de tenso, deve seguir a mesma

00 000 Pa

+31733333,33- = 31 773 643,86 Pa 33 373 643,86 Pa

30 173 643,86 Pa

S = 43,55679075 (anti-horrio)

O resultado da lista deu diferente. Mas, pelos clculos, = 1 600 000 Pa coincide. Ento, a 31 733 333,33 Pa. Como o torque no variou em rela

(cuja resposta foi igual da lista), o erro est no clculo do = 266 666,6667 Paque meus clculos estejam corretos.

Adriano Alberto

86


coincide. Ento, a 31 733 333,33 Pa. Como o torque no variou em relao letra a

266 666,6667 Pa. Porm,

43) b) 1 = 33,1 MPa T 2 = 29,9 MPa C mx = 31,5 MPa p = 43,5

*** 44) Sabendo-se que nos pontos tangencial so limitadas a mximo permissvel de P.

= 29,9 MPa C 3 = 0

se que nos pontos A e B, sobre o eixo da figura, as tenses normal e 90 MPa T e 60 MPa, respectivamente. Determine o

Adriano Alberto

87

figura, as tenses normal e , respectivamente. Determine o valor

Adriano Alberto

88

;,># = ;,> = 90 . 106 Pa ;,># = ;,> = 60 . 106 Pa

P = ?

Conveno de sinais: sentido horrio positivo para o ponto A e negativo para o ponto B

N = 8P ; Vy = P ; Vz = 0

T = 0,200 . P

My = 0,200 . 8P = 1,6 . P

Mz = 0,400 . P


Iz = Iy = HIJK =

H,,,/JK

= # + +

Para o ponto A:

9R = BUH,,,/A + 8,,K,,..8,,,/OP,PXJJ + +, 9R = BUH,,,/A + ,,K,,.U.KH,,,/4 =>

9R = BU.,,,/)+, # = 5 092,958179 . P

= ,,/.H.I4 = ,,-,,.U,,/.H.,,,/4 = 1 018,591636 . P

R = + _ = + 0 = => # = 1 018,591636 . P

Para o ponto B:

Adriano Alberto

89 9j= BUH,,,/A + ,,K,,..,_ + +, 9j =

BUH,,,/A +

+,

9j = BU.,,,/) = 17 316,05781 . P

= * +

= - ..

Q = A . = HIA- . K.I0H =

= - U.AP,PX4

4 OP,PXJJ .,,+,,

= - 169,7652726 . P

j = - 1 018,591636 . P - 169,7652726 . P => = - 1 188,356909 . P

No ponto B, a fora P em Vy e o torque T apresentam o mesmo sentido. Logo, devem ter o mesmo sinal que, no caso, deve ser o de T, que j foi convencionado negativo no incio dos clculos.

Como as tenses foram maiores no ponto B, utiliza-se esses valores pra o crculo de Mohr.

9^ = +.,0+

Adriano Alberto

90

9j = 9^ + R = 17,3972312 . 103 . P

60 . 106 = 8,73920229 . 103 . P => P = 6 865,615191 N (no serve)

90 . 106 = 17,3972312 . 103 . P => P = 5 173,236992 N = Padm

Resp da lista: 5199 N

45) Sabendo-se que o tubo estrutural mostrado tem uma espessura da parede uniforme de 6 mm, determinar a tenso de cisalhamento em cada um dos trs pontos indicados (a, b e c).

Vy = - 40 000 N

Posio da L.N.: yi = ys = 30 mm

Iz = +,,.

Adriano Alberto

91

Para o ponto b:

= + * = - . b = 0,006 . 2 = 0,012 m

Q = A . = 0,027 m Q = (0,100. 0,006) . 0,027 = 16,2 . 78 m

= - 8K,,,,.+ = 0 + => { = 30 864 197,53 Pa

45) a = 97,1 MPa b = 85,5 MPa c = 30,9 MPa

Documents

Exercícios Resolvidos - Flexão Pura