PIN 302 - Feuille dexercice 2Annee 2006/2007
1 Integrales doubles
Exercice 1.9Calculez laire de la lemniscate, cest-a`-dire de
lacourbe dequation (x2 + y2)2 = 2a2xy, avec a > 0.
Exercice 1.10On souhaite calculer linegrale
I =
10
x 1
ln xdx
1. On pose
f(x) =
a si x = 0x 1
ln xsi 0 < x < 1
b si x = 1
Determinez a et b pour que f soit une fonctioncontinue sur [0,
1].
2. Pour K = [0, 1][0, 1], calculez de deux
manie`reslintegrale
K
xt dx dt
et deduisez-en la valeur de I .
Exercice 1.11Soit f une fonction continue, derivable et de
deriveecontinue, definie sur R+. On suppose que f(x) est nulsi x
> R (R reel positif). Montrez que
+0
f(bx) f(ax)
xdx = f(0) ln
(ab
).
Indication : on verifiera que lintegrale porte en fait
sur un intervalle fini et on introduira la fonction
h(x, y) = f (xy) que lon inte`grera sur [a, b][0, +[.
2 Integrales triples
Exercice 2.1Pour chacun des solides E suivants, supposes
ho-moge`nes et de densite volumique egale a` 1, calculezle volume V
de Eles coordonnees (x0, y0, z0) du centre de gravite de Ele moment
dinertie I de E par rapport a` laxe Oz.
1. E est le cylindre :
E ={(x, y, z) R3, x2 + y2 6 1 et 0 6 z 6 1
}.
Indication : utilisez les coordonnees cylindriques.
2. E est le tetrae`dre :
E = {x > 0, y > 0, z > 0 et x + y + z 6 1} .
Indication : utilisez le changement de variable
u = x + y + z, v = y + z, w = z.
3. E est lhemisphe`re :
E ={(x, y, z) R3, x2 + y2 + z2 6 1 et z > 0
}.
Indication : utilisez les coordonnees spheriques.
Exercice 2.2Calculez les integrales triples suivantes
1.
D
(1 + x) dx dy dz ou` D est delimite par les
plans x + y + z = 1, x = 0, y = 0 et z = 0.
2.
D
x3 y2 z dx dy dz ou` D = {(x, y, z)
R3, 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x, 0 6 z 6 xy}.
3.
D
x2 dx dy dz ou` D est delimite par la sur-
face x2 + y2 + z2 = 1.
4.
D
z dx dy dz ou` D = {(x, y, z) R3, 0 6
x 61
2, x 6 y 6 2x, 0 6 z 6
1 x2 y2}.
5.
D
z dx dy dz ou` D = {(x, y, z) R3,x2
9+
y2
4+ z2 6 1, z > 0}.
6.
D
dx dy dz
(x + y + z + 1)3ou` D est delimite par les
plans x = 0, y = 0, z = 0 et x + y + z = 1.
7.
D
x2 + y2 dx dy dz ou` D est delimite par
les surfaces z = x2 + y2, z = 4.
8.
D
z dx dy dz ou` D est linterieur du cone z =x2 + y2, limite par
la surface x2 + y2 + z2 = 4.
9.
D
x2 dx dy dz ou` D = {(x, y, z) R3, x2 +
y2 + z2 6 R2}.
10.
D
z
x2 + y2 dx dy dz ou` D est delimite par
y = 0, z = 0, z = a, x2 + y2 = 2x.
11.
D
(x2 + y2) dx dy dz ou` D = {(x, y, z)
R3, x2 + y2 + z2 6 R2, z > 0}.
Exercice 2.3Touvez le volume du domaine delimite par
1. x2 + y2 = hz et z = h,
2. y = x2, y = 1, x + y + z = 3 et z = 0,
3. 2z = x2 + y2 et x2 + y2 + z2 = 3.
Exercice 2.4 (Temple de Viviani)Dans lespace euclidien usuel R3
muni du repe`re
(O,~i,~j,~k), on conside`re B la boule centree en Oet de rayon R
et C le cylindre de base le cercle dediame`tre [O, O+R~i] et daxe
dirige par ~k. Lintersec-tion V = BC sappelle temple de Viviani.
Calculezson volume.
1
