Exercices sur les applications linaires.

Exercice 1. Montrer que les applications suivantes sont linaires. Prcisez si ce sont des endomorphismes.

f1 : R3 R3(x, y, z) 7 (x y, y z, z x)

f2 : R4 R2(x, y, z, t) 7 (x t z, y t z)

f3 : R3[X] R3[X]P 7 XP

f4 : R2[X] R3[X]P 7 XP + P (0)

f5 : M3(R) M3(R)M 7 M + tM

f6 : M2(R) M2,1(R)M 7 M

(10

)f7 : C([0, 1]) R

f 7 10f(x)dx

f8 : C2([0, 1]) C([0, 1])f 7 f 2f

Exercice 2. Calculer le noyau de f1, f4, f5 de l'exercice 1.

Exercice 3. Calculer l'image et le rang des applications f2, f3, f6 de l'exercice 1.

Exercice 4. Dterminer les matrices des applications f1, f2, f3, f4, f5 et f6 de l'exercice 1 dans les bases canoniques de chacundes espaces.

Exercice 5. Montrer que

u : R2[X] R2[X]P 7 X2P (0) + P

est un automorphisme de R2[X].

Exercice 6. Soit l'application de R3 vers R3 dnie par (x, y, z) = (x y z,x+ y z,x y + z).1. Montrer que est un endomorphisme. Dterminer la matrice de dans la base canonique de R3.2. Dterminer le noyau de .

3. Montrer que est bijective et dterminer 1.

Exercice 7 (ECRICOME 2004). M2(R) dsigne l'espace vectoriel des matrices carres d'ordre 2 coecients rels.La matrice A suivante tant donne

A =

(3 16 2

), P =

(1 13 2

)on dnit l'application A par :

A :M2(R)M2(R)M 7 A(M) = AM MA1. (a) Vrier que A2 = A.

(b) A est-elle inversible ?

(c) Donner l'criture matricielle de P1 puis calculer D = P1AP .

2. Montrer que A est un endomorphisme de M2(R).3. tablir que 3A A = 0.4. Soit M dans M2(R). Montrer que

A(M) = M {DN ND = NN = P1MP

5. On pose N =

(a bc d

).

(a) Trouver l'ensemble des matrices N telles que DN ND = 0.(b) En dduire que la famille (A,M1) avecM1 =

( 2 16 3

)est une base du sous-espace propre kerA associ la valeur

propre 0.

6. Vrier que F = {M M2(R), A(M) =M} est un espace vectoriel.7. Dterminer une base de F et sa dimension.

1

Exercice 8 (EM Lyon 2010). DansM2(R), l'espace vectoriel des matrices carres d'ordre 2, on note : A =

(0 22 3

), F =

(1 00 0

), G =

(0 11 0

), H =

(0 00 1

);

S2 l'ensemble des matrices carres symtriques d'ordre 2.1. Calculer AFA, AGA, AHA.

2. Montrer que S2 est un sous-espace vectoriel de M2(R) et que (F,G,H) est une base de S2. Dterminer la dimension deS2.

On note u l'application qui, chaque matrice S de S2, associe la matrice u(S) = ASA.

3. (a) Montrer : s S2, u(S) S2.(b) Montrer que u est un endomorphisme de l'espace vectoriel S2.(c) Donner la matrice de u dans la base (F,G,H) de S2.

Exercice 9 (EDHEC 2011). On dsigne par E l'espace vectoriel des fonctions polynmiales de degr infrieur ou gal 2 et onnote B la base (e0, e1, e2) de E, o pour tout rel x, on a : e0 (x) = 1, e1 (x) = x et e2 (x) = x2.On considre l'application, note f, qui toute fonction polynmiale P appartenant E, associe la fonction polynmiale f(P )dnie par :

x R, (f (P )) (x) = 2xP (x) (x2 1)P (x) .1. (a) Montrer que f est une application linaire.

(b) En crivant, pour tout rel x, P (x) = a + bx + cx2, dnir explicitement (f(P ))(x) puis en dduire que f est unendomorphisme de E.

(c) crire f(e0), f(e1) et f(e2) comme des combinaisons linaires de e0, e1 et e2, puis en dduire la matrice A de f dansla base B.2. (a) Vrier que Im f = vect (e1, e0 + e2) et donner la dimension de Im f.

(b) Dterminer Ker f.

Exercice 10 (ESCP 2005). Dans tout l'exercice, E dsigne un espace vectoriel rel de dimension n, avec n > 2.1. Dans cette question, on suppose que l'entier n est gal 2, et on considre un endomorphisme f vriant f2 = 0 et f 6= 0.(a) Montrer qu'il existe un vecteur x de E tel que (x, f(x)) soit une base de E.

(b) En dduire que la matrice associe f dans, cette base est

(0 01 0

).

2. Dans cette question, on suppose que n = 4 et on cherche rsoudre l'quation u2 = Id, o u est un endomorphisme deE. Soit f une solution de cette quation.

(a) Montrer qu'il n'existe pas de scalaire tel que l'quation f(x) = x d'inconnue x E, admette une solution nonnulle.

(b) Soit x un vecteur non nul de E. Montrer que la famille (x, f(x)) est libre.On note F le sous-espace vectoriel engendr par cette famille. Quelle est la dimension de F ?

(c) i. Montrer qu'il existe une base de E de la forme (x, f(x), z1, z2).

ii. Soit G le sous-espace vectoriel de E engendr par la famille (z1, z2) ; soit y un vecteur non nul de G. Montrer quela famille (x, f(x), y, f(y)) est libre.

(d) Montrer que dans une base bien choisie, la matrice associe f s'crit :

0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

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